上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题10 图形的性质之选择题(55道题)(解析版)
专题10 图形的性质之选择题参考答案与试题解析一．选择题（共55小题）1．（2019•上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11B．10C．9D．8【答案】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．由题意：，解得，故选：C．【点睛】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．2．（2019•上海）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平分D．矩形对角线交点到四条边的距离相等【答案】解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的性质，难度不大．3．（2018•上海）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7D．2＜OB＜7【答案】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O＝30°，AD＝2，∴OA＝4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC＝3，∴OB＝OA+AB＝4+3﹣2＝5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB＝OA+AB＝4+2+3＝9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．4．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【答案】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．5．（2019•闵行区一模）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°【答案】解：∵从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西30°方向．故选：B．【点睛】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．6．（2019•普陀区二模）如图，直线l1∥l2，如果∠1＝30°，∠2＝50°，那么∠3＝（）A．20°B．80°C．90°D．100°【答案】解：过∠3的顶点作l1的平行线m，∴∠1＝∠4，∵l1∥l2∴m∥l2，∴∠2＝∠5∴∠3＝∠4+∠5＝∠1+∠2＝80°故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，运用了转化的数学思想．7．（2019•奉贤区二模）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么∠1的度数是（）A．75°B．90°C．100°D．105°【答案】解：如图：过∠1的顶点作斜边的平行线，利用平行线的性质可得，∠1＝60°+45°＝105°．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，利用了转化的数学思想．8．（2019•杨浦区三模）下列说法中正确的是（）A．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等B．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等C．三角形三条中线的交点到三个顶点的距离相等D．三角形三条中线的交点到三边的距离相等【答案】解：A、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，故错误；B、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，故正确；C、三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故错误；D、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，故错误；故选：B．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．9．（2019•奉贤区二模）如图，已知△ABC，点D、E分别在边AC、AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．AE＝AD B．BD＝CE C．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB．【答案】解：A、添加AE＝AD，在△ABD和△ACE中∠∠，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故此选项不合题意；B、添加BD＝CE，在△ABD和△ACE中∠∠，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故此选项不合题意；C、添加∠ECB＝∠DBC，又∵∠ABD＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故此选项不合题意；D、添加∠BEC＝∠CDB，不能证明△ABD≌△ACE，因此也不能证明AB＝AC，进而得不到△ABC为等腰三角形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．10．（2019•虹口区一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9【答案】解：∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD＝2：3，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．11．（2019•普陀区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①；②；③；④，正确的个数是（）四边形A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，∵DE∥BC，且DE经过重心G，∴△ADE∽△ABC，∴，故①正确；∴，故③正确；∵DG∥BF，∴，故②错误；∵△ADE∽△ABC，，∴，，故④正确；∴四边形故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．12．（2019•杨浦区三模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．∠BCD＝90°C．AB＝CD D．AB∥CD 【答案】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠ABC＝90°，∴AO＝OB＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，∴AO＝OB＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，无法得出△ABO≌△DCO，故无法得出四边形ABCD是平行四边形，进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∵BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠BAO＝∠ODC，∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；故选：C．【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．13．（2019•浦东新区二模）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（）A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD【答案】解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，在△ADO与△CBO中，∠∠，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴AD＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC∴四边形ABCD是菱形；故B正确；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，14．（2019•嘉定区二模）已知，，而且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】解：∵，，而且和的方向相反，∴3，故选：D．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（2019•宝山区二模）已知，，而且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】解：∵，，而且和的方向相反，∴，∴23，故选：D．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2019•普陀区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接▱ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①∵AC⊥BD，∴新的四边形成为矩形，符合条件；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO．∵C△ABO＝C△CBO，∴AB＝BC．根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBO＝∠ADO．∵∠DAO＝∠CBO，∴∠ADO＝∠DAO．∴AO＝OD．∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④∵∠DAO＝∠BAO，BO＝DO，∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C．【点睛】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线的性质．17．（2019•徐汇区二模）下列说法，不正确的是（）A．B．如果||＝||，那么C．D．若非零向量（k≠0），则【答案】解：A、正确．∵，∴．不符合题意．B、错误．模相等的向量不一定相等，符合题意．C、正确．向量的解法返回加法交换律．不符合题意．D、正确．根据平行向量的判定得出结论．不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，平行向量的判定，向量的加法交换律等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（2019•徐汇区二模）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（）A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC【答案】解：A选项：若AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；B选项：当AD∥BC时，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；C选项：当BC＝CD时，△ABD≌△BCD（SSS），∴∠A＝∠C．∵AB∥CD，∴∠C+∠ABC＝180°．∴∠A+∠ABC＝180°．∴AD∥BC．又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；D选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形．故选：D．【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义．19．（2019•黄浦区二模）下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】解：（B）原式，故B错误；（C），故C错误；（D）原式，故D错误；故选：A．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于基础题型．20．（2019•松江区一模）已知为单位向量，3，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝3C．与方向相同D．与方向相反【答案】解：A、由为单位向量，3知：两向量方向相反，相互平行，即∥，故本选项错误．B、由3得到||＝3，故本选项错误．C、由为单位向量，3知：两向量方向相反，故本选项正确．D、由为单位向量，3知：两向量方向相反，故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．21．（2019•闵行区一模）已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．B．2C．||＝||D．||＝||【答案】解：∵AC＝2BC，∴BC AB，AC AB，∴AC+2BC AB，AC﹣2BC＝0，AC+BC＝AB，AC﹣BC＝BC，∴，24，||＝||，||＝3||．故选项ABD等式不成立，选项C等式正确．故选：C．【点睛】考查了平面向量，掌握平面向量的定义和线段间的数量关系是解题的关键，难度不大．22．（2019•徐汇区一模）若2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．4D．【答案】解：A、由2推知||＝2，故本选项不符合题意．B、由4推知||＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：4，故本选项符合题意．D、依题意得：，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．23．（2019•青浦区一模）下列判断错误的是（）A．0•B．如果，，其中，那么∥C．设为单位向量，那么D．如果，那么或【答案】解：A、0•，故本选项不符合题意．B、由，得到：，，故两向量方向相反，∥，故本选项不符合题意．C、为单位向量，那么，故本选项不符合题意．D、由只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．24．（2019•宝山区一模）设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m（n）＝（mn）B．（m+n）m nC．m（）＝m m D．若m，那么【答案】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）＝（mn），故本选项结论正确；B、如果m、n为实数，那么（m+n）m n，故本选项结论正确；C、如果m、n为实数，那么m（）＝m m，故本选项结论正确；D、如果m为实数，那么若m，那么m＝0或，故本选项结论错误．故选：D．【点睛】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．25．（2019•长宁区一模）如果||＝2，，那么下列说法正确的是（）A．||＝2||B．是与方向相同的单位向量C．2D．【答案】解：A、由得到||||＝1，故本选项说法错误．B、由得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C、由得到2，故本选项说法错误．D、由得到，故本选项说法正确．故选：D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．26．（2019•嘉定区一模）如图，在△ABC中，点D是在边BC上，且BD＝2CD，，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】解：∵BD＝2CD，∴BD BC．∵，∴．又，∴．故选：D．【点睛】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应用．27．（2019•静安区一模）下列说法不正确的是（）A．设为单位向量，那么||＝1B．已知、、都是非零向量，如果2，4，那么∥C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||，那么这个四边形一定是平行四边形D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解【答案】解：A、设为单位向量，那么||＝1，故本选项说法正确．B、已知、、都是非零向量，如果2，4，那么、方向相反，则∥，故本选项说法正确．C、四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，||＝||即AD＝BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，故本选项说法错误．D、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确．故选：C．【点睛】此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是明确平面向量的表示形式，难度一般．28．（2019•奉贤区一模）对于非零向量、，如果2||＝3||，且它们的方向相同，那么用向量表示向量正确的是（）A．B．C．D．【答案】解：∵2||＝3||，∴||||．又∵非零向量与的方向相同，∴．故选：B．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．29．（2019•崇明区一模）已知向量和都是单位向量，那么下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】解：A、向量和都是单位向量，但方向不一定相同，则不一定成立，故本选项错误．B、向量和都是单位向量，但方向不一定相同，则不一定成立，故本选项错误．C、向量和都是单位向量，但方向不一定相同，则不一定成立，故本选项错误．D、向量和都是单位向量，则||＝||＝1，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键．30．（2019•虹口区一模）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（）A．3B．3C．3D．3【答案】解：∵向量为单位向量，向量与向量方向相反，∴3．故选：B．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．31．（2019•黄浦区一模）已知、、都是非零向量．下列条件中，不能判定∥的是（）A．B．C．∥，∥D．，【答案】解：A、只能说明与的模相等，不能判定∥，故本选项符合题意．B、说明与的方向相同，能判定∥，故本选项不符合题意．C、∥，∥，能判定∥，故本选项不符合题意．D、，说明与的方向相反，能判定∥，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．32．（2019•杨浦区模拟）已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（）A．||B．||C．D．【答案】解：A、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；B、符合向量的长度及方向，故本选项正确；C、得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误；D、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了向量的性质，属于基础题．33．（2019•杨浦区一模）下列关于向量的运算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】解：A、，故本选项错误．B、，故本选项正确．C、（），故本选项错误．D、，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．34．（2019•普陀区一模）已知、、都是非零向量，如果2，2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．0D．与方向相反【答案】解：A、因为2，2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；B、因为2，2，所以||＝||＝|2|，故选项说法正确；C、因为2，2，所以∥，则•0，故本选项说法错误；D、因为2，2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；故选：C．【点睛】考查了向量，向量是既有方向又有大小的．35．（2019•青浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A．4＜OC B．4≤OC C．4＜OC D．4≤OC【答案】解：作DE⊥BC于E，如图所示：则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x；∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x；故选：B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键．36．（2019•静安区二模）如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是（）A．8°B．15°C．18°D．28°【答案】解：∵正五边形的内角的度数是（5﹣2）×180°＝108°，又∵正方形的内角是90°，∴∠1＝108°﹣90°＝18°；故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理、正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．37．（2019•虹口区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（）A．2B．3C．4D．5【答案】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF＝CF＝2，∵tan B＝2，∴，即AF＝4，∴AB，∵D为AB的中点，∴BD，G是△ABC的重心，∴GF AF，∴CG，∴CD CG，∵点B在⊙D内，点C在⊙D外，∴＜r＜，故选：B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判别方法．38．（2019•虹口区二模）正六边形的半径与边心距之比为（）A．：B．：C．：D．：【答案】解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r R，∴R：r＝1：2：，故选：D．【点睛】本题考查正多边形与圆的知识，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h a（a是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．39．（2019•松江区二模）在直角坐标平面内，已知点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为（）A．0＜r＜5B．3＜r＜5C．4＜r＜5D．3＜r＜4【答案】解：∵点M的坐标是（4，3），∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，∵点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，∴r的取值范围是3＜r＜4，故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．40．（2019•金山区二模）已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1O2＝3，那么O2A的长等于（）A．2B．3C．8D．2或8【答案】解：设⊙O2的半径为r，∵⊙O1与⊙O2内切于点A，∴O2A＝r，O1A＝5，∴r﹣5＝3或5﹣r＝3，∴r＝8或r＝2，即O2A的长等于2或8．故选：D．【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系：两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d＝R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．41．（2019•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定（）A．与x轴和y轴都相交B．与x轴和y轴都相切C．与x轴相交、与y轴相切D．与x轴相切、与y轴相交【答案】解：∵点（3，4），∴点到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，∴在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定与x轴相切，与y轴相交，故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质，点的坐标，直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．42．（2019•张店区二模）半径分别为1和5的两个圆相交，它们的圆心距可以是（）A．3B．4C．5D．6【答案】解：∵5﹣1＝4，1+5＝9，∴相交时，4＜圆心距＜9，∴只有C中5满足．故选：C．【点睛】本题利用两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的数量关系进行判断．43．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部【答案】解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识，根据已知条件正确的作出判断是解题的关键．44．（2019•崇明区一模）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交【答案】解：∵r＞1，∴2＜3+r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d ＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．45．（2019•奉贤区一模）已知⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，如果⊙C与⊙A有公共点，那么⊙C的半径长r的取值范围是（）A．r≥2B．r≤8C．2＜r＜8D．2≤r≤8【答案】解：∵⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，∴点C到⊙A的最大距离为8，最小距离为2，∵⊙C与⊙A有公共点，∴2≤r≤8．故选：D．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d ＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．46．（2019•金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（）A．点B、点C都在⊙A内B．点C在⊙A内，点B在⊙A外C．点B在⊙A内，点C在⊙A外D．点B、点C都在⊙A外【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC BC＝2，∵⊙A的半径为3，4＞3，2＞3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了含30°角的直角三角形的性质．47．（2019•宝山区一模）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P 的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定【答案】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP4＜5，∴点P在⊙A内，故选：A．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．48．（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5B．4C．3D．2【答案】解：∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA，OB5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．49．（2019•普陀区一模）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．8【答案】解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3﹣x＝2，∴x＝1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：1+3＝4．故选：B．【点睛】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差，外切时，r+R＝d．50．（2019•崇明区二模）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜﹣1时，点B在圆A外D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内【答案】解：如图：∵A（1，0），⊙A的半径是2，∴AC＝AE＝2，∴OE＝1，OC＝3，A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在⊙A上，正确，故本选项不合题意；B、当a＝﹣3时，B在⊙A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；C、当a＜﹣1时，AB＞2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；D、当﹣1＜a＜3时，B在⊙A内正确，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系和坐标与图形性质的应用，当d＝r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，当d＜r时，点在圆内.51．（2019•嘉定区二模）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（）A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补【答案】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．52．（2019•长宁区二模）下列命题中，真命题的是（）A．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等B．如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离C．如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切D．如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦【答案】解：A没强调在同圆或等圆中，不正确；B两个圆没有公共点，这两个圆的位置是内含或外离，只说外离不正确；C直线和圆相交时，交点与圆心的距离也等于半径，说这条直线与圆相切是错的；D垂径定理的推论，正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的有关概念及性质，准确把握圆的性质是解决本题的关键．。
2019年上海市中考数学试卷-答案
上海市2019年初中毕业统一学业考试 数学答案解析一、选择题1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】C二．填空题7．【答案】64a8．【答案】09．10．【答案】14m ＞11．【答案】1312．【答案】5613．【答案】62y x =-+14．【答案】9015．【答案】12016．【答案】2a b +17．【答案】218．【答案】53三、解答题19．【答案】原式1243--+-=-。
20．【答案】解：去分母，得22282x x x -=-。
移项、整理得2280x x +-=。
解这个方程，得12x =，24x =-。
经检验：12x =是增根，舍去；24x =-是原方程的根。
所以，原方程的根是4x =-。
21．【答案】解：（1）设一次函数解析式为y kx b =+（0k ≠）。
一次函数的图像平行于直线12y x =，12k ∴=。
又 一次函数的图像经过点()2,3A ，1322b ∴=⨯+，解得2b =。
所以，所求一次函数的解析式是122y x =+。
（2）由122y x =+，令0y =，得1202x +=，解得4x =-。
∴一次函数的图像与x 轴的交点为()4,0B -。
点C 在y 轴上，∴设点C 的坐标为()0,y 。
由AC BC =12y =-。
经检验：12y =-是原方程的根。
∴点C 的坐标是10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。
22．【答案】解：（1）过点D '作D H BC '⊥，垂足为点H ，交AD 于点F 。
由题意，得90 AD AD '==（厘米），60DAD '∠= 。
四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴ ，90AFD BHD ''∴∠=∠= 。
在Rt AD F '△中，sin 90sin 60D F AD DAD '''=∠=⨯= （厘米）。
又40 CE = （厘米），30 DE =（厘米），70 FH DC DE CE ∴==+=（厘米）。
2019年上海市中考数学模拟试题 (含解析)
2019年上海市中考第二次模拟考试数学试卷一．选择题（满分24分，每小题4分）1．计算（﹣x2）3的结果是（）A．﹣x6B．x6C．﹣x5D．﹣x82．下列方程中，有实数解的个数是（）①﹣1＝0，②＝4﹣x，③＝，④＝﹣xA．0个B．1个C．2个D．3个3．已知一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则m、n的取值范围（）A．m＞0，n＜0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＞0 D．m＜0，n＜0 4．下列事件中，属于必然事件的是（）A．随时打开电视机，正在播天气预报B．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上C．从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除D．长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形5．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（）A．3 B．4 C．6 D．86．如图，⊙O的半径为4，点A，B在⊙O上，点P在⊙O内， sin∠APB＝，AB⊥PB，如果OP⊥OA，那么OP的长为（）A．B．3 C．D．二．填空题（满分48分，每小题4分）7．计算：a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3＝．8．小明在数轴上先作边长为1的正方形，再用圆规画出了点A（如图所示），则点A所表示的数为．9．不等式3x≤x+4的非负整数解是．10．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为．11．已知反比例函数y＝的图象经过点（1，2），则k的值是．12．已知抛物线y＝2x2﹣4x+5，将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的解析式为．13．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是．14．在100个数据中，用适当方法抽取50个样本进行统计，在频数分布表中，54.5～57.5这一组的频率是0.2，那么估计总体数据落在54.5～57.5之间的约有个．15．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于厘米．（）＝．16．化简：17．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有个．18．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝．三．解答题19．（10分）先化简代数式1﹣÷，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的代入求值．20．（10分）解二元二次方程组．21．（10分）如图，在△ABC中（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．22．（10分）某景区在同一线路上顺次有三个景点A，B，C，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离景点A的路程s（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．（1）甲的速度是米/分钟；（2）当20≤t≤30时，求乙离景点A的路程s与t的函数表达式；（3）乙出发后多长时间与甲在途中相遇？（4）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？23．（12分）如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF．求证：（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）OB2＝OE•OF；24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE．（2）若DE＝，AB＝6，求AE的长．（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：（﹣x 2）3＝﹣x 6，故选：A ．2．解：①﹣1＝0，＝1，2x +8＝1，解得x ＝﹣，经检验x ＝﹣是原方程的解；②＝4﹣x ， x ﹣6＝（4﹣x ）2，整理得x 2﹣9x +22＝0，△＝92﹣4×22＞0，方程没有实数解，所以原方程无实数解；③＝x +5＝2﹣x ，所以x ＝﹣，经检验x ＝﹣是原方程的解；④＝﹣x ，x +1＝x 2，整理得x 2﹣x ﹣1＝0，解得x 1＝，x 2＝，经检验x ＝为原方程无实数解．故选：D ．3．解：∵一次函数y ＝mx +n 的图象过二、四象限，∴m ＜0，∵函数图象与y 轴交于正半轴，∴n ＞0，故选：B．4．解：A，随时打开电视机，正在播天气预报是随机事件；B，抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上是随机事件；C，从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除是必然事件；D，长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形是不可能事件；故选：C．5．解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，∴这个多边形的中心角＝60°，∴＝60°，∴n＝6，故选：C．6．解：如图，连接OB，作BM⊥OP交OP的延长线于M，作AN⊥MB交MB的延长线于N．则四边形AOMN是矩形，∵∠AOP＝∠ABP＝90°，∴A、O、P、B四点共圆，∴∠BOP＝∠BAP，∵sin∠APB＝，∴tan∠BAP＝，tan∠BOM＝tan∠BAP＝＝，设BM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMB中，（4k）2+（3k）2＝42，解得k＝（负根已经舍弃），∴BM＝，OM＝，BN＝MN﹣BM＝，∵∠MBP+∠BPM＝90°，∠MBP+∠ABN＝90°，∴∠BPM＝∠ABN，∵∠BMP＝∠ANB＝90°，∴△BMP∽△ANB，∴＝，∴＝，∴PM ＝，∴OP ＝OM ﹣PM ＝．故选：D ．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．解：原式＝•＝．故答案为．8．解：根据勾股定理得，正方形的对角线的长度为＝，则点A 表示的数为1+， 故答案为：1+． 9．解：解不等式3x ≤x +4得，x ≤2，∴不等式3x ≤x +4的非负整数解是0，1，2，故答案为：0，1，2．10．解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣4x +1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m ﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（m ﹣1）＞0且m ≠1，解得m ＜5且m ≠1，故答案为：m ＜5且m ≠1．11．解：∵点（1，2）在函数y ＝上，则有2＝，即k ＝2．故答案为：2．12．解：抛物线y ＝2x 2﹣4x +5＝2（x ﹣1）2+3，其顶点坐标是（1，3），将该抛物线沿x 轴翻折后的新抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），抛物线开口方向与原抛物线方向相反，所以新抛物线的解析式为y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣3．故答案是：y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣3．13．解：∵共6个数，大于3的数有3个，∴P （大于3）＝＝；故答案为．14．解：用样本估计总体：在频数分布表中，54.5～57.5这一组的频率是0.2， 估计总体数据落在54.5～57.5这一组的频率同样是0.2，那么总体数据落在54.5～57.5之间的约有100×0.2＝20个．故答案为：20．15．解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，∴d ＝R ﹣r ＝5﹣2＝3cm ，故答案为：3．16．解：（）＝﹣＝（﹣+）+（1﹣）＝．故答案是：． 17．解：根据题意作图可发现符合题意的有5种情况：▱ABC 2D 3、▱ABC 1D 2、▱AC 1BD 1、▱AC 2BC 3、正方形ABD 1C 2、正方形ABC 3C 1．故答案为：6．18．解：∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB，∴∠E AB＝∠AEB，∴AB＝BE，∴D'B＝BE﹣D'E＝AB﹣1，在Rt△ABD'中，AB2＝D'A2+D'B2，∴AB2＝9+（AB﹣1）2，∴AB＝5故答案为：5三．解答题（共7小题，满分78分）19．解：原式＝1﹣×＝1﹣＝﹣＝﹣，由题意得，x≠﹣1，0，1，当x＝3时，原式＝﹣20．解：，把（1）变形y＝1﹣x，代入（2）得x2﹣（1﹣x）﹣2x﹣1＝0，化简整理得x2﹣x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝2，把x＝2代入（1）得y＝﹣1，把x＝﹣1代入（1）得y＝2，所以原方程组的解．21．解：（1）如图所示，直线DE即为所求；（2）∵DE是BC的垂直平分线，∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9，∴cos∠C＝＝＝．22．解：（1）甲的速度＝＝60米/分钟，故答案为：60（2）当20≤t≤30时，设s＝mt+n，由题意得解得∴s＝300t﹣6000（3）当20≤t≤30时，60t＝300t﹣6000，解得t＝25，∴乙出发后时间＝25﹣20＝5，当30≤t≤60时，60t＝3000，解得t＝50，∴乙出发后时间＝50﹣20＝30，综上所述：乙出发5分钟和30分钟时与甲在途中相遇；（4）设乙从B步行到C的速度是x米/分钟，由题意得5400﹣3000﹣（90﹣60）x＝360，解得x ＝68，所以乙从景点B 步行到景点C 的速度是68米/分钟．23．解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠D ＝∠BCF ，∵∠EAB ＝∠BCF ，∴∠EAB ＝∠D ，∴AB ∥CD ，∵DE ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形；（2）∵DE ∥BC ，∴＝，∵AB ∥CD ，∴＝，∴，∴OB 2＝OE •OF ；24．解：（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0），将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：，解得：，∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∴S△APC∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．△ANM∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．25．解：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD，BD＝CD，∴＝，∴OD⊥BE；（2）∵∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∵BD＝CD，∴BC＝2DE＝2，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠BAC，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，∴CE＝2，∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4；（3）∵BD＝CD，∴S△CDE ＝S△BDE，∵BD＝CD，AO＝BO，∴OD∥AC，∵△OBF∽△ABE，∴＝（）2＝，∴S△ABE ＝4S△OBF，∵＝，∴S△ABE ＝4S△OBF＝6S△CDE，∴S△CAB ＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，∴＝，∵BD＝CD，AB＝AC，∴＝，即AC＝BC．。
2019上海中考数学试卷真题
2019上海中考数学试卷真题2019年上海中考数学试卷共有两个卷子，分为甲、乙两部分，总分为150分。
本文将分别从甲、乙两部分的考题中挑选几道题，介绍其中涉及的数学知识点和解法。
甲卷1、选择题：有一条公路，其中有一个地段的平均速度为72千米每小时，另一地段的平均速度为80千米每小时，两地段间有一个坡，车在爬坡时速度降为每小时60千米，下坡时速度提高到每小时88千米。
一辆小车按如图所示行驶，小车从起点到终点行驶2小时10分，行驶的路程是80千米。
则这个坡的坡长是多少？本题考察内容为平均速度、路程、坡长等知识点。
解法是运用平均速度公式和匀加速运动公式，将问题转化为解一个方程组。
通过解方程组得到答案。
2、填空题：本题为一道简单的解方程题。
3、解答题：把10的10次方加到19的19次方，再除以10的10次方加上19的19次方，所得的结果的个位数字为多少？本题考察内容为指数运算和取余运算，解法是先将式子化简，然后仅保留个位数字。
乙卷1、选择题：已知等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，D为BC中点，则$\triangle ABD$的面积是$\_\_\_ $ 。
本题考察内容为等腰直角三角形的性质和面积公式，解法是运用等腰直角三角形的面积公式，将三角形ABC分成两个直角三角形，然后求出$\triangle ABD$的面积。
2、填空题：G是等边三角形ABC内一点，把$\triangle ABG、\triangle BCG、\triangle ACG$全等地移动，拼成图中的四棱锥，四棱锥的高为1，则图中三角形的面积之和为$\_\_\_ $。
本题考察内容为等边三角形、全等三角形和四棱锥的性质，解法是将四棱锥的底面拆成三个等腰三角形，然后利用全等三角形和平行四边形的性质，求出三角形面积之和。
3、解答题：如图，在平面直角坐标系中，$x$轴正方向上有定点A，$y$轴正方向上有定点B，坐标分别是$A(6,0)$和$B(0,12)$。
2019年上海市中考数学试题解析(精校版)
2019年上海市中考数学试题解析一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24分。
下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4分）下列运算正确的是（ ） A ．3x +2x ＝5x 2B ．3x ﹣2x ＝xC ．3x •2x ＝6xD ．3x ÷2x =23解析：（A ）原式＝5x ，故A 错误；（C ）原式＝6x 2，故C 错误；（D ）原式=32，故D 错误；故选：B ． 2．（4分）如果m ＞n ，那么下列结论错误的是（ ） A ．m +2＞n +2B ．m ﹣2＞n ﹣2C ．2m ＞2nD ．﹣2m ＞﹣2n解析：∵m ＞n ，∴﹣2m ＜﹣2n ，故选：D ．3．（4分）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（ ） A ．y =x3B ．y =−x 3C ．y =3xD ．y =−3x解析：A 、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随x 的增大而增大，故本选项正确．B 、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．C 、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．D 、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误．故选：A ．4．（4分）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．甲的成绩比乙稳定B ．甲的最好成绩比乙高C ．甲的成绩的平均数比乙大D ．甲的成绩的中位数比乙大解析：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，则其中位数为8，平均数为8，方差为15×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，则其中位数为8，平均数为8，方差为15×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低， 故选：A ．5．（4分）下列命题中，假命题是（ ） A ．矩形的对角线相等B ．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C ．矩形的对角线互相平分D ．矩形对角线交点到四条边的距离相等 解析：A 、矩形的对角线相等，正确，是真命题；B 、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C 、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；D 、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，故选：D ．6．（4分）已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与⊙A 、⊙B 都内切，且AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，那么⊙C 的半径长是（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8解析：如图，设⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径为x ，y ，z ．由题意：{x +y =5z −x =6z −y =7，解得{x =3y =2z =9，故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分。
上海市2019年中考数学试卷(解析版)
B、∵﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B 不正确；
1
上海市 2019 年中考数学试卷(解析版)
C、当 x=0 时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项 C 正确； D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线 x= ，
∴当 x＞ 时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确， 故选 C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线 x=- ，当 a＞0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当 a＜0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， c=0 时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键. 4. 据统计，某住宅楼 30 户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是： 27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 25 和 30 B. 25 和 29 C. 28 和 30 D. 28 和 29 【答案】D 【解析】【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案. 【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30， 处于最中间是数是 28， ∴这组数据的中位数是 28， 在这组数据中，29 出现的次数最多， ∴这组数据的众数是 29， 故选 D． 【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据 中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数 （或中间两数的平均数）是这组数据的中位数. 5. 已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 【答案】B 【解析】【分析】由矩形的判定方法即可得出答案． 【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形， 正确； B、∠A=∠C 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题17 图形的变化之解答题(1)(50道题)(解析版)
专题17 图形的变化之解答题（1）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【答案】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（4570）厘米．答：点D′到BC的距离为（4570）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．2．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．【答案】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．3．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【答案】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD∠BAC，同理∠ABD∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE（∠ABC+∠BAC）＝90°∠C，∴∠E＝90°﹣（90°∠C）∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E∠C，∴∠ABC＝∠E∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时2．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时2．综上所述，∠ABC＝30°或45°，2或2．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【答案】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF，∵tan∠DBF，∴DF，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD，∴AD＝5，则．【点睛】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．5．（2019•嘉定区二模）如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如果P A＝PE，求证：△APB≌△EPC．【答案】证明：（1）由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ＝EQ∵E为AB的中点，∴AE＝EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）∵AF∥EC，∴∠APB＝∠EQB＝90°，由翻折性质∠EPC＝∠EBC＝90°，∠PEC＝∠BEC，∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP＝EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP＝∠AEP＝60°，∠CEP＝∠CEB60°，在△ABP和△EPC中，∠∠，∴△ABP≌△EPC（AAS）．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6．（2019•宝山区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，联结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）如果P A＝PE，联结BP，求证：△APB≌△EPC．【答案】证明：（1）由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ＝EQ∵E为AB的中点，∴AE＝EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）∵AF∥EC，∴∠APB＝∠EQB＝90°，由翻折性质∠EPC＝∠EBC＝90°，∠PEC＝∠BEC∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP＝EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP＝∠AEP＝60°，∠∠∠∠在△ABP和△EPC中，∴△ABP≌△EPC（AAS）【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7．（2019•崇明区二模）如图，已知△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，tan∠．（1）求边AC的长；（2）将△ABC沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值．【答案】解：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，如图1所示：∵AB＝6，∠B＝30°，AH⊥BC，∴AH＝3，∵tan∠ACB，∴CH＝2，∴AC；（2）由翻折得：BD AB＝3，AE＝BE，∠BDE＝90°，∵cos B，∴，∴BE＝2，∴AE＝2，∴EH，∴EC＝CH+EH＝2，∴46．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．8．（2019•青浦区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，CE与AF相交于点G．（1）求证：∠FGC＝∠B；（2）延长CE与DA的延长线交于点H，求证：BE•CH＝AF•AC．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，而AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，在△ABF和△CAE中，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴∠BAF＝∠ACE，∵∠FGC＝∠GAC+∠ACG＝∠GAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴∠FGC＝∠B；（2）如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BCE＝∠H，∴△BCE∽△DHC，∴，∵△ABF≌△CAE，∴CE＝AF∵CA＝CB＝CD，∴，∴BE•CH＝AF•AC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了菱形的性质．9．（2019•浦东新区二模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N．求证：（1）∠ABD＝∠BCM；（2）BC•BN＝CN•DM．【答案】证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠MBC，∴∠ABD＝∠MBC，∵AB＝AD，AM⊥BD，∴BM＝DM，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴CM＝BM＝DM，∴∠MBC＝∠BCM，∴∠ABD＝∠BCM；（2）∵∠BNM＝∠CNB，∠NBM＝∠NCB，∴△NBM∽△NCB，∴BN：CN＝BM：BC，而BM＝DM，∴BN：CN＝DM：BC，∴BC•BN＝CN•DM．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．10．（2019•静安区二模）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵点M为AC的中点，∴AM＝CM．在△AME与△CMF中∠∠∴△AME≌△CMF（ASA），∴ME＝MF．∴四边形AECF为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF为菱形；（2）解：∵CD2＝BF•BC，∴，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴又∵∠ABF＝∠CBA，∴△ABF∽△CBA，∴∠2＝∠3，∵四边形AECF为菱形，∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°，∴即∠1＝30°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质．11．（2019•虹口区二模）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC 于点F，点F为BC的中点．（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．【答案】证明：（1）∵BE∥AC，∴△COF∽△BFE∴∵点F为BC的中点，∴CF＝BF，∴OC＝BE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO∴AO＝BE∵BE∥AC，∴四边形AOEB是平行四边形（2）∵四边形AOEB是平行四边形，∴∠BAO＝∠E∵∠OBC＝∠E，∴∠BAO＝∠OBC∵∠ACB＝∠BCO，∴△COB∽△CBA∴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC∵点F为BC的中点，∴BC＝2FC∴即BO•OC＝AB•FC【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．12．（2019•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，点E在AD的延长线上，∠ACE＝∠BCD，EC2＝ED•EA．（1）求证：四边形ABCD为梯形；（2）如果，求证AB2＝ED•BC．【答案】（1）证明：∵EC2＝ED•EA∴而∠E＝∠E∴△ECA∽△EDC∴∠EAC＝∠ECD又∵∠ACE＝∠BCD∴∠ACE﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD即∠ECD＝∠BCA∴∠EAC＝∠BCA∴AE∥BC，∵AD＜BC，故四边形ABCD是梯形．（2）证明：由（1）可知△ECA∽△EDC∴即得而由已知可得∴CD＝AB，即梯形ABCD是等腰梯形∴∠B＝∠BCD而∠BCD＝∠EDC∴∠B＝∠EDC由（1）知∠BCA＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴而AB＝CD∴AB2＝ED•BC故AB2＝ED•BC得证．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，以及等腰梯形的判定与性质，通过比例式得出对应线段相等也是证明线段相等的一种方法．13．（2019•长宁区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC＝90°，AE2＝EB•EC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）延长DB、AE交于点F，若AF＝AC，求证：AE＝BF．【答案】证明：（1）∵AE2＝EB•EC∴又∵∠AEB＝∠CEA∴△AEB∽△CEA∴∠EBA＝∠EAC而∠EAC＝90°∴∠EBA＝∠EAC＝90°又∵∠EBA+∠CBA＝180°∴∠CBA＝90°而四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形即得证．（2）∵△AEB∽△CEA∴即，∠EAB＝∠ECA∵四边形ABCD是矩形∴OB＝OC∴∠OBC＝∠ECA∴∠EBF＝∠OBC＝∠ECA＝∠EAB即∠EBF＝∠EAB又∵∠F＝∠F∴△EBF∽△BAF∴而AF＝AC∴BF＝AE即AE＝BF得证．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及矩形的性质，利用三角形的相似进行边与角的转化是解决本题的关键．14．（2019•张店区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（1）求证：△ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．【答案】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DAF＝∠B，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，∴∠DEC＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADF，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF．（2）∵AC•FC＝AE•EC，AC＝AB，∴AB•FC＝AE•EC，∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，∴△BAE∽△CEF，∴，∴，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠B，∴∠B＝∠FEC，∴AB∥DE，∵AD∥BE，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD＝BE．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（2019•普陀区二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，，△ADE 的面积等于3．（1）求△ABC的面积；（2）如果BC＝9，且cot B，求∠AED的正切值．【答案】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，∵S△ADE＝3，∴S△ABC＝27．（2）如图，作AH⊥BC于H．∵S△ABC BC×AH＝27，∴AH＝6，∵cot B，∴BH＝4，CH＝9﹣4＝5，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∴tan∠AED＝tan∠C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．16．（2019•闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin∠，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE ∥QC，求的值．【答案】（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠PBA＝∠PCA＝90°，∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠MAN＝∠BPD；（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，∴∠BPD＝∠BPE．∴∠BPE＝∠BAC，在Rt△ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，∴∠APB＝∠ABE，∴∠BAC＝∠ABE，∴sin∠BAC＝sin∠ABE，∵AB＝2，∴AE＝6，∴BE2，∴BD＝BE＝2；（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，设BD＝2a，PC＝2b，∵∠BPD＝∠MAN＝45°，∴DP＝BD＝2a，∴CD＝2a+2b，在Rt△ABG和Rt△BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，∴BG＝AG，DP＝BD，∵QH∥BD，点Q为BP的中点，∴PH PD＝a．QH BD＝a，∴CH＝PH+PC＝a+2b，∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，∴BG＝DC＝2a+2b．∴AC＝4a+2b，∵BE∥QC，BE⊥AP，∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，∴∠QCH＝∠P AC，∴△ACP∽△QCH，∴，即，解得，a＝b，∴CH＝3a．由勾股定理得，CQ a，∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，∴△QCH∽△PFC，∴，即，解得，FC a，∴QF＝QC﹣FC a，∵BE∥QC，Q是PB的中点，∴PE＝EF，∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，∴．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．（2019•闵行区二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AC．过点A作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交于点G．求证：（1）△ACG≌△DOA；（2）DF•BD＝2DE•AG．【答案】证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD＝CD，AC⊥BD，OB＝OD，∴∠DAC＝∠DCA，∠AOD＝90°，∵AE⊥CD，CG⊥AC，∴∠DCA+∠GCE＝90°，∠G+∠GCE＝90°，∴∠G＝∠DCA，∴∠G＝∠DAC，∵BD＝2AC，BD＝2OD，∴AC＝OD，在△ACG和△DOA中，∠∠∴△ACG≌△DOA（AAS）；（2）∵AE⊥CD，BD⊥AC，∴∠DOC＝∠DEF＝90°，又∵∠CDO＝∠FDE，∴△CDO∽△FDE，∴，即得OD•DF＝DE•CD，∵△ACG≌△DOA，∴AG＝AD＝CD，又∵OD BD，∴DF•BD＝2DE•AG．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．18．（2019•崇明区二模）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．过点D作DE⊥BC，交AC于点F．（1）联结OE，若，求证：OE∥CD；（2）若AD＝CD且BD⊥CD，求证：．【答案】证明：（1）∵∠ABD＝90°，DE⊥BC，∴AB∥DE，∴，∵，∴，∴OE∥CD；（2）∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED为平行四边形又∵∠ABD＝90°，∴四边形ABED为矩形，∴AD＝BE，∠ADE＝90°，又∵BD⊥CD，∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，∴∠CDE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，在△ADO和△CDF中∠∠∴△ADO≌△CDF（ASA），∴OD＝DF，∵AB∥DE，∴，∵AD∥BC，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角梯形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．19．（2019•黄浦区二模）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO＝BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE＝∠ACB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求证：．【答案】解：（1）证明∵AD∥BC，∴，∵DO＝BO，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AC，∴∠ACD+∠DCE＝90°，∵∠DCE＝∠ACB，∴∠ACB+∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∠ADC＝90°，∵AD∥BC，∴，∴∴，∵∠ADC＝∠ACF＝90°，∴∠，∴．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，成比例的线段性质的理解和掌握，此题难度不大．20．（2019•黄浦区二模）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF＝∠A．（1）如图1，当点E在线段AD上时，若AB＝AD，在线段AB上截取AG＝AE，联结GE．求证：GE＝DF；（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB＝3，AD＝4，cos A，设AE＝x，DF＝y，求y 关于x的函数关系式及其定义域；（3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长．【答案】解：（1）∵AG＝AE，∴∠．∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝2∠C，∴∠，∴∠AGE＝∠C，∵AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°，又∠BGE+∠AGE＝180°，∴∠BGE＝∠D，∵∠BEF+∠FED＝∠A+∠GBE，∵∠BEF＝∠A，∴∠FED＝∠GBE，又AB＝AD，AG＝AE，∴BG＝ED，∴△GBE≌△DEF（ASA），∴GE＝DF；（2）在射线AB上截取AH＝AE，联结EH，∵∠HBE＝∠A+∠AEB，∠DEF＝∠BEF+∠AEB，又∠BEF＝∠A，∴∠HBE＝∠DEF．∵AD∥BC，∴∠EDC＝∠C，∠A+∠ABC＝180°．∵AH＝AE，∴∠，又∠ABC＝2∠C，∴∠H＝∠C，∴∠H＝∠EDC，∴△BHE∽△EDF，∴．过点H作HP⊥AE，垂足为点P．∵，AE＝AH＝x，∴，，，∴，∵AB＝3，AD＝4，AE＝x，DF＝y，∴，∴＞；（3）记EH与BC相交于点N．∵△EMF∽△ABE，∠BEF＝∠A，∴∠AEB＝∠EMF，或∠AEB＝∠EFM，若∠AEB＝∠EMF，又∠AEB＜∠EMF，矛盾，∴此情况不存在，若∠AEB＝∠EFM，∵△BHE∽△EDF，∴∠BEH＝∠EFM，∴∠AEB＝∠BEH，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠BEH＝∠EBC，∴BN＝EN＝BH＝x﹣3，∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴线段AE的长为．【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．21．（2019•黄浦区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝∠B，点E在边AB上，联结CE 交AD于点H，点F在CE上，且满足CF•CE＝CD•BC．（1）求证：△ACF∽△ECA；（2）当CE平分∠ACB时，求证：．【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠BCA，∠CAD＝∠B，∴△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝CD•BC，∵CF•CE＝CD•BC，∴AC2＝CF•CE，∴，∵∠ACF＝∠ECA，∴△ACF∽△ECA；（2）证明：∵CF•CE＝CD•BC，∴，∵∠DCF＝∠ECB，∴△CFD∽△CBE，∴∠CFD＝∠B，∵∠CAD＝∠B，∴∠CFD＝∠CAD，∴A，F，D，C四点共圆，∴∠AFC＝∠ADC，∵△ACF∽△ECA，∴∠CAE＝∠AFC，∴∠CAE＝∠ADC，∵当CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCH，∴△ACE∽△DCH，∴（）2，∵AC2＝CD•BC，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（2019•长宁区一模）已知锐角∠MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC＝25，点A在∠MBN的内部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F 在线段BE上（点F不与点B重合），且∠EAF＝∠MBN．（1）如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴cos∠BCA＝cos∠MBN，∴∴AC＝15∴AB20∵S△ABC AB×AC BC×AF，∴AF12，∵AF⊥BC∴cos∠EAF＝cos∠MBN∴AE＝20∴EF16（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H，由（1）可知：AB＝20，AH＝12，AC＝15，∴BH16，∵BF＝x，∴FH＝16﹣x，CF＝25﹣x，∴AF2＝AH2+FH2＝144+（16﹣x）2＝x2﹣32x+400，∵∠EAF＝∠MBN，∠BCA＝∠MBN∴∠EAF＝∠BCA，且∠AFC＝∠AFC，∴△F AE∽△FCA∴，∠AEF＝∠F AC，∴AF2＝FC×EF∴x2﹣32x+400＝（25﹣x）×EF，∴EF∴BE＝BF+EF∵∠MBN＝∠ACB，∠AEF＝∠F AC，∴△BDE∽△CF A∴∴∴y（0＜x）（3）如图，若△ADF∽△CEA，∵△△ADF∽△CEA，∴∠ADF＝∠AEC，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF，∴AB＝AE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF，∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°，∴∠BDE＝90°＝∠AFC，∵S△ABC AB×AC BC×AF，∴AF12，∴BF16，∵AB＝AE，∠AFC＝90°，∴BE＝2BF＝32，∴cos∠MBN，∴BE，如图，若△ADF∽△CAE，∵△ADF∽△CAE，∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，∴AC∥DF∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN，∴∠MBN＝∠DFB，∴DF＝BD，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC，∴△ABE∽△CAE∴设CE＝3k，AE＝4k，（k≠0）∴BE k，∵BC＝BE﹣CE＝25∴k∴AE，CE，BE∵∠ACB＝∠F AE，∠AFC＝∠AFE，∴△AFC∽△EF A，∴，设AF＝7a，EF＝20a，∴CF a，∵CE＝EF﹣CF a，∴a，∴EF，∵AC∥DF，∴，∴，∴DF，综上所述：当BD为或时，△ADF与△ACE相似【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．23．（2019•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．【答案】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DCE．又∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△AED∽△DEC，∴，∴DE•CD＝AD•CE；（2）∵AB＝AC，∴BD＝CD BC．∵F为DE的中点，∴DE＝2DF．∵DE•CD＝AD•CE，∴2DF•BC＝AD•CE，∴．又∵∠BCE＝∠ADF，∴△BCE∽△ADF，∴，∴AF•BC＝AD•BE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理证出△AED∽△DEC；（2）利用相似三角形的判定定理证出△BCE∽△ADF．24．（2019•浦东新区一模）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G．已知∠A＝∠CDE＝30°，AB＝12．（1）求小三角尺的直角边CD的长；（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2），求点B、E 之间的距离；（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求∠BAE的正弦值．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝AB cos30°＝6，BC＝6，由重心的性质得：，则CD＝4，DE＝8；（2）连接BE，过点C作CH⊥AB交于点H，BH BC＝3，CH＝BC sin60°＝3，AH＝9，HD，AD＝AH﹣HD＝9，∵∠ACD＝∠ECB，，∴△ADC∽△BEC，∴，即：AD BE，∴BE（9）＝3；（3）①如图，当DE在AC下方时，∵△ADC∽△BEC，∴∠BEC＝∠ADC＝∠AEB+∠CED＝∠DCE+∠DEC＝90°+∠CED，即：∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，设：BE＝x，则AD x，AB＝12，AE＝AD+DE x+8，即：（x+8）2+x2＝122，解得：x＝42，②当DE在AC上方时，求得：x＝42；sin∠BAE．【点睛】本题是三角形相似综合题，核心是确定图象旋转后的位置，利用相似确定边角关系，此类题目难度在于作图的准确性．25．（2019•普陀区一模）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．【答案】解：（1）如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH⊥AB，∴∠AHC＝∠BHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，∴∠BCH＝∠A，∴△ACH∽△CBH，∴，∵OC＝2，∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OH OC＝1，CH，∴，整理得：2a2﹣a﹣4＝0，解得a或（舍弃）．经检验a是分式方程的解．∴a．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH，CH x．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴（3a）2＝（x）2+（2a x）2，整理得：x2+ax﹣5a2＝0，解得x＝（1）a或（1）a（舍弃），∴OC＝（1）a，（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，∴∠AOQ＝∠KCO，∵AQ∥BK，∴∠Q＝∠K，∴△QOA∽△KCO，∴，∴，∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴，∴【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26．（2019•宝山区一模）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，∴∠HAD＝∠HDA＝45°∴HD＝AH＝2，AE＝AP，根据勾股定理得，HE3，则ED＝1；（2）连接CP，设AP＝x．∵AB∥CD，∴∠EP A＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴，即：PE2＝AE•CE，而EC＝2PB＝2（5﹣x），即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，解得：x（不合题意值已舍去），即：AP；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，∴DE＝HE﹣HD＝22，EC＝HC﹣HE＝5﹣2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°，则∠CEG＝45°，∴EG EC＝52，∴，即：，解得：FG＝31．【点睛】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．27．（2019•黄浦区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点O是AB的中点，点D是边AC 上一点，DE⊥BD，交BC的延长线于点E，OD⊥DF，交BC边于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H．（1）求证：；（2）设CD＝x，NE＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长．【答案】（1）证明：如图1中，∵OD⊥DF，BD⊥DE，∴∠ODF＝∠BDE＝90°，∴∠ODB＝∠NDE，∵EG⊥AB，∴∠BGM＝∠MDE＝90°，∵∠BMG＝∠EMD，∴OBD＝∠DEN，∴△OBD∽△NED，∴．（2）解：如图1中，∵∠BCD＝∠BDE＝90°，∴tan∠DBC，∵，∴，在Rt△ABC中，AB5，∴OB＝OA＝2.5，∴，∴y x（0＜x＜2）．（3）解：①如图2﹣1中，当DE＝DF时，作OK⊥AC于K．∵∠OKD＝∠DCF＝∠ODF＝90°，∴∠ODK+∠KOD＝90°，∠ODK+∠CDF＝90°，∴∠DOK＝∠CDF，∴△OKD∽△DCF，∴，∴，∴CF x（2﹣x），∵DF＝DE，DC⊥EF，∴∠CDE＝∠CDF，∵∠CDE+∠CDB＝90°，∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠∠CDE＝∠CBD＝∠CDF，∵∠DCF＝∠DCB＝90°，∴△DCF∽△BCD，∴，∴CD2＝CF•CB，∴x2＝x（2﹣x），解得x或0（舍弃）∴CD．如图2﹣2中，当DE＝EF时，∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∴∠EDC+∠CDF＝∠DBC+∠BDF，∵∠EDC＝∠DBC，∴∠CDF＝∠BDF，∵∠CDF+∠ADO＝90°，∠BDF+∠BDO＝90°，∴∠ADO＝∠BDO，∵AO＝OB，易知DA＝DB，设DA＝DB＝4﹣x，在Rt△BCD中，∵BD2＝CD2+BC2，∴（4﹣x）2＝x2+32，∴x，∴CD．综上所述，CD的长为或．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．28．（2019•徐汇区一模）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．【答案】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE AB BC，∴，∴BC2＝2DF•BF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．29．（2019•奉贤区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E 是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CE＝m，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当△AFD∽△ADG时，求∠DAG的余弦值．【答案】解：（1）如图，∵DC∥EF，DF∥CE∴四边形DCEF是平行四边形∴CD＝EF，∵AB＝2CD＝6，∴AB＝2EF，∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AB，∴△CFE∽△CAB∴∴BC＝2CE，∴BE＝CE∴EC：BE＝1：1＝1（2）如图，延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H∵AD⊥CD，CN⊥CD∴AD∥CN，且CD∥AB∴四边形ADCN是平行四边形，又∵∠DAB＝90°∴四边形ADCN是矩形，∴AD＝CN＝4，CD＝AN＝3，∴BN＝AB﹣AN＝3，在Rt△BCN中，BC5∴BE＝BC﹣CE＝5﹣m，∵EF∥AB∴，即∴ME＝BE＝5﹣m，∴MC＝ME﹣CE＝5﹣2m，∵EF∥AB∴∴HC m，∵CG∥EF∴即∴GC∴DG＝CD﹣GC＝3∴S△DFG DG×CH（3）过点C作CN⊥AB于点N，∵AB∥CD，∠DAB＝90°，∴∠DAB＝∠ADG＝90°，若△AFD∽△ADG，∴∠AFD＝∠ADG＝90°∴DF⊥AG又∵DF∥BC∴AG⊥BC。
2019年上海市中考数学解读之历年中考类型题解题思路归纳ppt课件
100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数
为
．
（2013上海）
【例3】17.一组数：2， 1， 3， x， 7， y， 23，…，满足“从第三个数起，
前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a－b”，例如这组数中的第三个数
“3”是由“2×2－1”得到的，那么这组数中y表示的数为
_____．
（2014上海）
【类型与方法】
【考点8】根式（最简二次根式、无理数、二次根式计算、有理化因式等）
【类型与方法】
★★★★★★★★
【考点9】学习型---新概念 ★★★★★★
【类型与方法】
【考点10】图形的三大运动 ★★★★★★★★
【类型与方法】 图形三大运动突出“巧”
【考点11】正比例、反比例、一次函数、二次函数性质 ★★★★★★★★
更新题型，解法能否推广。
6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使
四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A、AD＝BD； C、∠CAD＝∠CBD；
BD、、O∠D＝OCCAD＝6；∠判6O断6CB题．
【2015年】
6．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条
基本要求 稳、准、快
说明
稳中有快、准中有 快、快中不乱。
15---20分钟 30分钟
2---5分钟
稳步推进
复杂问题 简单化
查漏补缺
分而治之 各个击破
（二）中考总体策略
选择重概念； 简答明算理； 证明清推理； 综合会分解。
填空保正确； 统计知思想； 应用细分析；
（三）注意事项
1、提醒学生：
1）考题“似曾相识”，（最高境界）但“从未做过”（告诉学生）
2019年上海市中考数学试卷及参考答案
2019年上海市中考数学试卷及参考答案 1 / 7 上海市中考数学试卷及参考答案 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、如果a与3互为倒数，那么a是（ ）
A、3 B、3 C、31 D、31
2、下列单项式中，与ba2是同类项的是（ ） A、ba22 B、22ba C、2ab D、ab3
3、如果将抛物线22xy向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A、2)1(2xy B、2)1(2xy C、12xy D、32xy
4、某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ） 次数 2 3 4 5 人数 2 2 10 6 A、3次 B、5.3次 C、4次 D、5.4次
5、已知在ABC△中，ACAB，AD是角平分线，点D在边BC上，设aBC，bAD，那么向量AC用向量a、b表示为（ ）
6、如图，在ABCRt△中，90C，4AC，7BC，点D在边BC上，3CD，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
第6题 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、计算：aa3
8、函数23xy的定义域是 9、方程21x的解是 2019年上海市中考数学试卷及参考答案 2 / 7 10、如果21a，3b，那么代数式ba2的值为 11、不等式组0152xx的解集是 12、如果关于x的方程032kxx有两个相等的实数根，那么实数k的值是 13、已知反比例函数xky（0k），如果在这个函数图像所在的每一个象限内，y的值随着x的增大而减小，那么k的取值范围是 14、有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是 15、在ABC△中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么ADE△的面积与ABC△的面积的比 是 16、今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，如图所示是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题01 数与式之选择题(21道题)(解析版)
专题01 数与式之选择题参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2019•上海）下列运算正确的是（）A．3x+2x＝5x2B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x【答案】解：（A）原式＝5x，故A错误；（C）原式＝6x2，故C错误；（D）原式，故D错误；故选：B．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．2．（2019•浦东新区二模）下列各数不是4的因数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：∵4的因数有：1、2、4，∴各数不是4的因数是3．故选：C．【点睛】此题主要考查了求一个数因数的方法，要熟练掌握，应有顺序的写，做到不重不漏．3．（2019•嘉定区二模）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（）A．324×105B．32.4×106C．3.24×107D．0.32×108【答案】解：32400000＝3.24×107元．故选：C．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．（2019•宝山区二模）32400000用科学记数法表示为（）A．0.324×108B．32.4×106C．3.24×107D．324×108【答案】解：32400000用科学记数法表示应记为3.24×107，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（2019•奉贤区二模）电影《流浪地球》从2月5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情获得大众的喜爱与支持，截止3月底，中国电影票房高达4559000000元．数据4559000000用科学记数法表示为（）A．45.59×108B．45.59×109C．4.559×109D．4.559×1010【答案】解：4559000000＝4.559×109，故选：C．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．6．（2019•黄浦区二模）下列自然数中，素数是（）A．1B．2C．4D．9【答案】解：素数是2，故选：B．【点睛】此题考查有理数，关键是根据素数的概念解答．7．（2019•普陀区二模）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，这与圆周率π有关，下列表述中，不正确的是（）A．π＝3.14B．π是无理数C．半径为1cm的圆的面积等于πcm2D．圆周率是圆的周长与直径的比值【答案】解：（A）π≈3.14，故A错误；故选：A．【点睛】本题考查无理数，解题的关键是正确理解π，本题属于基础题型．8．（2019•金山区二模）下列实数中，是有理数的是（）A．πB．C．D．【答案】解：有理数是整数和分数的集合，故选：D．【点睛】本题考查有理数，解题的关键是熟练运用有理数的定义，本题属于基础题型．9．（2019•闵行区二模）下列各数中是无理数的是（）A．B．C．D．【答案】解：（A）原式，故A不是无理数；（B）原式＝﹣2，故B不是无理数；（C）是分数，故C不是无理数；故选：D．【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题型．10．（2019•崇明区二模）下列计算中，正确的是（）A．2B．40＝0C．2D．4﹣1＝﹣4【答案】解：A.，故A正确；B.40＝1，故B错误；C.，故C错误；D.4﹣1，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查了分数指数幂、零指数幂与负指数幂，熟练运用相关幂的运算公式是解题的关键．11．（2019•杨浦区二模）如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是（）A．|a+b|＝a﹣b B．|a+b|＝﹣a﹣b C．|a+b|＝b﹣a D．|a+b|＝a+b【答案】解：∵b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a+b＜0，∴|a+b|＝﹣a﹣b．故选：B．【点睛】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．12．（2019•青浦区二模）下列单项式中，与ab2是同类项的是（）A．a2b B．a2b2C．﹣ab2D．2ab【答案】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．A、a的指数是2，b的指数是1，与ab2不是同类项；B、a的指数是2，b的指数是2，与ab2不是同类项；C、a的指数是1，b的指数是2，与ab2是同类项；D、a的指数是1，b的指数是1，与ab2不是同类项．故选：C．【点睛】本题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．13．（2019•静安区二模）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（）A．a2﹣1B．1﹣a2C．a2﹣2a+1D．﹣a2+2a﹣1【答案】解：原式＝（﹣a）2﹣12＝a2﹣1，故选：A．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．14．（2019•松江区二模）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（2a）3＝6a3C．3a2•（﹣a3）＝﹣3a5D．4a6÷2a2＝2a3．【答案】解：A．a2+a2＝2a2，此选项错误；B．（2a）3＝8a3，此选项错误；C．3a2•（﹣a3）＝﹣3a5，此选项正确；D．4a6÷2a2＝2a4，此选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则及单项式的乘方、乘法和除法法则．15．（2019•徐汇区二模）在下列各式中，运算结果为x2的是（）A．x4﹣x2B．x4•x﹣2C．x6÷x3D．（x﹣1）2【答案】解：x4与x2不是同类项，不能合并，A选项错误；x4•x﹣2＝x2，B选项正确；x6÷x3＝x3，C选项错误；（x﹣1）2＝x﹣2，D选项错误；故选：B．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．16．（2019•普陀区二模）下列计算中，正确的是（）A．（a2）3＝a5B．a2•a3＝a6C．2a•3a＝6a2D．2a+3a＝5a2【答案】解：（a2）3＝a6，A选项错误；a2•a3＝a5，B选项错误；2a•3a＝6a2，C选项正确；2a+3a＝5a，D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．17．（2019•黄浦区二模）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．a2•a3＝a5C．（2a）2＝4a D．a6÷a3＝a2【答案】解：A、（a2）3＝a6，错误；B、a2•a3＝a5，正确；C、（2a）2＝4a2，错误；D、a6÷a3＝a3，错误；故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．18．（2019•静安区一模）化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x5【答案】解：原式＝x6，故选：C．【点睛】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2019•浦东新区二模）如果分式有意义，则x与y必须满足（）A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y D．x≠y【答案】解：由题意得：x﹣y≠0，即：x≠y，故选：D．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式分母不为零．20．（2019•静安区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】解：与是同类二次根式的是，故选：C．【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．21．（2019•新宾县模拟）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】解：，故A选项不是最简二次根式；是简二次根式；，故C选项不是最简二次根式；，故D选项不是最简二次根式，故选：B．【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．。
2019年上海中考数学试卷(2021年整理精品文档)
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2019年上海中考数学试卷一.选择题1。
假如a 与3互为倒数，那么a 是〔〕A 。
3- B.3C.13- D.132.以下单项式中，与2a b 是同类项的是〔〕A.22a bB.22a b C 。
2ab D.3ab3。
假如将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是〔〕A.2(1)2y x =-+B.2(1)2y x =++C 。
21y x =+D 。
23y x =+4.某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男A 。
3次B 。
3。
5次C.4次D 。
4。
5次5.在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =，AD b =， 那么向量AC 用向量a 、b 表示为〔〕A.12a b +B 。
12a b - C.12a b -+ D.12a b -- 6.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，⊙A 的半径长为3,⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是〔〕A 。
14r << B.24r <<C 。
18r << D.28r <<二.填空题7。
计算：3a a ÷=8。