输油管布置问题的优化模型(获奖论文)
输油管铺设优化资料
变拆迁补偿输油管布置的优化模型 问题：某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A 厂位于郊区（图中的I 区域），B 厂位于城区（图中的II 区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
问题推广：3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
4.假如拆迁费用与距郊区的距离呈线性关系()10k x x 万元/千米，进一步考虑问题2.工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20一、 问题分析在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，根据各种不同的情况，输油管线设计方案不同。
共用管线费用一般比非共用管线费用贵，但不会超过2倍，否则不用共用管线。
本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以借助几何方法来描述。
二、 模型假设与符号说明模型假设（1）两炼油厂分别为A 、B ，位于铁道线的同侧；（2）铁路是一条直线，不考虑其弯曲情况，且E 点为车站； （3）相同资质的工程咨询公司在估价中权重相等；（4） 点P 为共用管线与非共用管线的节点；共用管线费用是非共用管线费用k倍，且（12k ≤≤）（5）不考虑施工工艺对管道铺设的影响。
输油管布置的数学模型
输油管布置的数学模型作者：周小红邓昌瑞来源：《读写算》2011年第68期摘要本文建立了输油管线布置方案的优化模型。
依据提供的数据及相关信息，对各个问题进行了分析与论证，得到了相应的结论。
问题的提出某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
两炼油厂的具体位置由附图所示，两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
管线铺设费用分别为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元。
针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形与考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，提出管线的设计方案。
假设：不考虑地貌的影响，假设管线都在同一水平线，假设以铁路线为水平线，而垂直于铁路的线为竖直线。
符号说明：：炼油厂A到铁路线的垂直距离；：炼油厂B到铁路线的垂直距离；：输送A厂成品油的管线长度；：输送B厂成品油的管线长度；：共用管线的长度；：炼油厂A在铁路线上的垂点到车站的距离；：两炼油厂间的距离；：炼油厂B在铁路线上的垂点到车站的距离；：炼油厂A到车站的单位非共用管线费用；：单位共用管线费用；：炼油厂B到车站的单位非共用管线费用；：总费用；：炼油厂A到共用管线一端水平线的垂直距离；：炼油厂B到共用管线一端水平线的垂直距离。
问题分析1问题的性质。
本文主要研究的是输油管的布置问题，我们需要解决的关键问题是共用管线长度的确定。
2解决问题的思路(1)输油管布置：根据问题的要求以“费用最少”为目标，主要针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油长间距离的不同情况建立不同的方案。
对两炼油厂间水平距离的不同的分析：有两种情况：(Ⅰ)两炼油厂间水平距离为0；(Ⅱ)两炼油厂间水平距离不为0。
对有共用管线情况的分析，考虑到共用管线有多种情况：（1）当管线费用与非共用管线费用相同时；（2）当单位共用管线费用小于两种单位非共用管线费用之和时；（3）当单位共用管线费用大于两种单位非共用管线费用之和时。
输油管的最优设计
输油管的最优设计模型摘要：本文是对铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站的输油管设计问题。
根据两炼油厂间的距离和各自到铁路线距离的不同情形，设计出在不同条件下的管线建设方案，使管线建设费用达到最少。
针对问题一，在费用相同的情况下，建立最短距离函数m in f ，并对其求极值，分析,,l a b 之间的关系得到三种管线建设方案和对应所需建设费用（见8P 表一）。
在费用不同的情况下，建立管线建设费用函数min 12()()F t k QA QB k QP =⨯++⨯，用类似方法，分析12,,,,l a b k k 之间的关系得到三种管线设计路线和所需费用（见11P 表二）。
针对问题二，用层次分析法，计算出采取三家工程咨询公司估算值的权重i w 。
由附加费用331iii k hw ==⨯∑得到321.5k =万元/千米。
在问题一得基础上建立管线总费用函数，通过求解其最小值得到管线设计方案为,,BT TQ AQ （见16p 图七），所需的费用F=282.69万元。
针对问题三，在问题二的基础上建立管线总费用函数，通过求解其最小值得到管线最佳布置方案（见19P 图八）和所需的最小费用为251.96F =万元。
关键词： 输油管设计 费用函数 求导 最小值 层次分析一问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
问题1：针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
问题 2：设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由附图一所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
输油管线的最佳布置模型及应用
费用约为 ２ １ ． ３ ８ 万元／ ｋ ｍ ． 然后分别讨论无共Ｈ ｊ 管线和有共 Ｉ ｛ ｊ 管线的最优方案， 最后Ｊ ｛ ｊ Ｌ Ｉ Ｎ Ｇ Ｏ ［ ２ 】 软ｆ ｌ ： 计算得 到最优解． 在这两种方案 中，再设法证明对于郊区的非共用管线按照对称点法铺设的路线是最优方案． ２ ． ３ 问题 ３的分析
２ ０ １ ３年 ３月 第 ７卷 第 １ 期
伊 犁 师范学 院学 报 （ 白然科 学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｙｉ ｌ ｉ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
级 资质 ）进 行 了估 算 ． 估 算 结果如 表 ｌ 所示 ：
表 １ 三家工程咨询公司的估算值
请 为设 计 院给 山管 线布 置方 案及 相应 的 费 ． 问题 ３ ：在 该实 际 问题 中 ，为进一 步节 省 费用 ，可 以根据 炼 油厂 的生产 能力 ，选 用相 适应 的 油管．这
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若 所有 管 线 的铺 设费用 均 为每 ｋ ｍ ７ ． ２万元 ． 铺 设在 城 的管 线还 需增加 拆迁 ｌ Ｉ Ｅ 补 偿等 附加 费用 ，
为对 此 项 附加 费川 进行 估计 ，聘 请三 家工程 咨询 公 司 （ 其 中公 司一 具有 甲级 资质 ，公司二和 公司三 具有 乙
， ＇
情形二 ：当 Ａ、Ｂ的连线与铁路线不垂直 （ 不妨设 ），又分别考虑两种铺设方案并建立相关模型．
ｊ ＿
（ １ ） 不 存 在共川 管线 ．此时只 要找 山管线 的最短 路线就 能得 到最优 铺 设方案 ， 运 川对 称法 可 以得 山两
_输油管线铺设_的数学模型
象限。 这时原问题可表述为：
min c1 （ SA + SB ）+c2 ST
s．t． y1 ≥0，y1 ≤kx＋a
其中 2c1 ＞c2 ≥c1 ,记约束条件为 gi≥0（i＝1，2），X＝（x1，y1，x2）. 问题二、三的模型建立：
视炼油厂 A 位于郊区，B 位于城区， 对两炼油厂共用管线与非共
用管线的交点 S 和城区输油管线与郊区输油管线的交点 E 进行选址，
姨2 2
在不可 微 点 A 处 ，目 标 函 数 值 f（A）＝c1 AB ＋c2（ x2 ＋a 是 关 于
x2 的函数，为了使 f 取得 最 小 值 ，只 需 令 x2 ＝0，即 站 点 T（0，0），共 用 管
线与非共用管线交点 S（0，a），且 此 时 有 fmin（A）＝c1 AB ＋c2a；类 似 地 ， 在不可微点 B 处有 fmin （B）＝c1 AB ＋c2b. 对可微点有Δg1＝（0，1，0）T,Δ
题二；若 v≠1，则模型是问题三）.
3 符号说明
3．1 c1：单位非共用管线费用; 3．2 c2：单位共用管线费用; 3．3 v：输送 B 厂成品油的管线单位费用与输送 A 厂成品油的管线单 位费用之比; 3．4 A：附加费用的期望值; 3．5 mij：第 i 个咨询公司的第 j 个评价标准参数; 3．6 Ai：第 i 个咨询公司附加费用; 3．7 Pi 第 i 个咨询公司的加权系数.
姨 3 c1 ＞c2 ＞2c1 ，当 l1＜ AB ＜l2 时 ，X 为 *（2） 该 问 题 的 最 优 解 ，共 用 管 线 与 非 共 用 管 线 的 交 点 S 应 建 在 点 X*（2）处 ，站 点 应 建 在 点 X*（2）在 铁 路 线上的投影 T 处.当 AB ≥l2 时，与②同理，可求得最优解.
数学建模在工程中的应用案例——输油管的布置
数学建模在工程中的应用案例——输油管的布置输油管的布置是石油工业中至关重要的问题，它涉及到输油系统的安全、可靠和经济性。
在实际应用中，输油管的布置受到多种因素的影响，如地形、管道材料、输油量、管道长度、压力损失、维修等。
数学建模可以帮助工程师优化输油管的布置方案，以满足工程要求和经济效益。
下面介绍一种数学建模方法来解决输油管布置问题。
1.问题描述某石油公司需要在一座山地地区建设一条长距离输油管道来输送原油。
由于地形崎岖，管道必须蜿蜒穿过山区，长度为1000公里。
为了降低管道的成本，工程师需要确定最佳的输油管布置方案，以在保证输油安全和可靠的前提下尽可能地降低成本。
2.数学模型（1）建立成本模型沿着输油管道，安装每一段管道的成本由以下因素决定：（a）管道长度（b）管道材料（c）安装费用我们可以将输油管道的总成本表示为：C=\sum_{i=1}^{N}c_il_i+m_i+k_i其中，N是管道的段数，c_i是每一段管道的单位长度成本，l_i是每一段管道的长度，m_i是每一段管道的材料成本，k_i是每一段管道的安装费用。
（2）建立规划模型工程师需要确定每一段管道的长度，以满足下列约束条件：（a）安全约束：管道必须能够承受设计条件下的最大压力和温度，以确保输油系统的安全运行。
（b）可靠性约束：管道必须经过密集的检查和维护，以保证管道的可靠性和安全性。
（c）经济性约束：在满足安全和可靠性的前提下，工程师需要尽可能地降低管道的总成本。
我们可以将这个问题表示为一个数学规划模型：Minimize C=\sum_{i=1}^{N}(c_il_i+m_i+k_i)Subject to:a_{i,j}l_j\geq b_i,i=1,2,\cdots,ml_j\geq 0,j=1,2,\cdots,N其中，a_{i,j}表示第j段管道能够承受的最大压力和温度，b_i 表示设计条件下的压力和温度，m是检查和维护的次数。
这个模型可以通过数学规划算法进行求解，例如线性规划、整数规划等。
数学建模在工程中的应用案例——输油管的布置
数学建模在工程中的应用案例——输油管的布置输油管的布置在油气工程中起着至关重要的作用。
合理的输油管布置可以有效地提高输送效率、降低能耗、减少工程投资，并确保管道系统的安全运行。
因此，如何通过数学建模来优化输油管的布置问题成为工程领域中一个重要的研究课题。
在石油行业，输油管道系统是将原油从生产地运送到加工厂或终端市场的关键环节。
合理布置输油管道可以减少能源消耗和成本，并提高原油运输效率。
然而，由于地理环境、生产规模和市场需求等因素的不同，每个项目都有其独特的要求和限制。
因此，在设计和规划过程中，需要综合考虑多个因素，并通过数学建模来寻找最佳方案。
首先，在进行数学建模之前，需要收集有关项目区域地理特征、气候条件、土壤性质等方面的数据。
这些数据将用于确定最佳路径以及确定最佳布置方案所需考虑的限制条件。
其次，在进行数学建模时，需要确定优化目标和约束条件。
优化目标可以是最小化总成本、最小化能源消耗、最小化运输时间等。
约束条件可以包括最大坡度、最大弯曲半径、最大压力等。
通过将这些目标和约束条件转化为数学方程，可以建立数学模型。
然后，可以使用数学优化算法来求解建立的数学模型。
常用的优化算法包括线性规划、整数规划、遗传算法等。
通过这些算法，可以找到满足约束条件的最优解。
在输油管布置问题中，还需要考虑到安全性和可靠性因素。
例如，需要考虑管道的抗震性能和抗腐蚀性能等方面。
通过将这些因素纳入数学模型中，并进行综合评估，可以找到既满足经济要求又满足安全要求的最佳布置方案。
此外，在进行输油管布置问题的研究时还需要考虑到环境保护因素。
例如，在敏感地区或生态保护区域内进行布置时需要遵守相关环境保护法规，并减少对生态环境的影响。
在实际工程中，输油管道系统通常由多个节点组成，每个节点都有多个可能的连接点和路径选择。
因此，在进行数学建模时，需要考虑到这些节点之间的相互关系，并通过数学模型来确定最佳的节点连接和路径选择。
最后，通过数学建模和优化算法求解，可以得到最佳的输油管布置方案。
输油管线布置模型
输油管道的布置濮阳职业技术学院范志远苏玉洁袁文飞指导老师：任艳敏目录一摘要 (1)二问题的重述 (2)三模型的假设 (2)四符号的约定 (2)五模型的建立与求解 (3)5.2.1 问题分析， (9)5.2.2 模型的求解 (12)5.2.3 考虑炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
(13)六模型的评价 (14)七参考文献 (15)一摘要输油管地布置数学建模目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普通的最短路径问题。
该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非共用管线价格的不同等。
我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了适合的数学模型，做出了相应的解答和处理。
问题一：此问只需要考虑两个炼油厂和铁路之间的位置关系，根据位置的不同设计相应的模型，有无共用管线的情况下，考虑如何设计最短线路，设一些变量列出最短途径函数；在有共管线的情况下，考虑共用管线与非共管线的格不同，建立未知变量，列出相应函数并解答。
问题二：此问给出了两个炼油厂的具体位置，并且增加了城区和郊区的特殊情况，我们进一步改进数学模型，输油管线路横跨两个不同区域，管道建设费用也有不同；我们在平面上建立坐标系，设两非共管线与共用管线连接口位置为（x,y）,根据图像列出函数并用偏导求出极值点的坐标，进而确定车站的具体位置，再列出费用函数并求解。
问题三：该问题的解答方法和问题二类似，但是由于A炼油厂的输油管道，B炼油厂的输油管道，以及共用管道三者的价值均不相同，我们利用问题二中设计的数学模型，进行求解。
关键词：输油管，费用最省，最优解，路径最短，车站，权重问题，二元函数二问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省，但是不同于普通的最短路径问题。
（1）两个炼油厂和铁路之间位置的关系的数学模型，并对无共用管线，以及共用管线与非共用管线价格的相同于不同情况下说明费用最省问题。
输油管的布置模型
产能力 ，选用相适 应的油管 。这时 的管线铺 设费用将 分别降
为输 送 Ａ厂 成 品 油 的每 千 米 ５ ６万 元 ，输 送 Ｂ厂 成 品 油 的 每 ． 千米 ６ ０万 元 ，共 用 管 线 费 用 为 每 千 米 ７ ２万 元 ，拆 迁 等 附 ． ．
用不同的最优 模型，而最终应给 出管线费用统一的最优模型；
２ 、２ ， 求 为 设计 院给 出管 线 布 置 方 案 及 相 应 的 费 用 ； （ ） ４ Ｏ 要 ３ 在 该 实 际 问题 中 ， 为进 一 步 节 省 费 用 ，可 以根 据 炼 油 厂 的 生
咨 询 公 司 资质 不 同 ， 选 择 切 合 实 际 的 附 加 费 用 才 能 给 出输 油 管 布 置 的最 优 方 案 ； （ ）针 对 题 目的要 求 ， 可 以建 立 管 线 费 ２
等 影 响 ； 管 线 按 直 线 铺 设 ， 除 所 给 不 同 费用 外 ， 不再 考 虑 其
他 费用，并约定管线建 设费用简称为管线费用 ，两个 区域 的
分 界 线 简 称 为 城 区 分 界 线 ， 拆 迁 和 工 程 补 偿 等 附加 费用 简称 为附加费用。
Ｂ厂位 于 城 区 （ １中 的 Ｉ 图 Ｉ区域 ） ，两 个 区 域 的 分 界 线 （ 以
下 简 称 城 区 分 界线 ）用 图 中 的 虚 线 表 示 。 图 中 各 字 母 表 示 的
距 离 （ 位 ： 千米 ）分 别 为 ａ＝ ５ ｂ＝８ 单 ， ，ｃ＝ １ ，』： ２ 。 ５ ０
（ ） 表 示 附加 费用 ， 表 示 输 送 炼 油 厂 Ａ的 管 线 铺 设 ２ 费用 ， 表 示 输 送 炼 油 厂 Ｂ 的 管 线 铺 设 费用 ， ，表 示 共 用 管 ７
数学建模输油管的布置模型【范本模板】
输油管的布置模型摘要为了解决两家炼油厂到地铁站台运送成品油使用管线费用最省问题，本模型根据不同情况,作出相应的输油管的几何布置方案。
利用数学中将图形建立直角坐标系的思想、两点间距离公式，采用最优化模型,以及matlab软件中的最小多变量函数，求出相应的最小值和最小值点，利用比较法得出管线费用最省方案。
1、对于问题一，针对共用管线与非共用管线两种情形,设计出两类模型作为最优方案的参考。
2、对于问题二，根据数学模型采用车站建在郊区且选择共用管线方法，可计算出最省费用为282。
6973万元.3、在问题三中，车站建在郊区且采用公用管线方法,可计算出最省费用为251.9685万元。
关键字：几何布置最优化模型最小多变量函数比较法某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性,油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1。
针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域),B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15,l = 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示:工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用(万元/千米）21 24 20请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
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1 输油管布置问题的优化模型 摘要 本文针对输油管线的布置问题，从不同角度出发，以总费用最省为目标函数，建立了多个优化模型。 对问题一：分为所铺设的管线中无共用管线和有共用管线这两种情况考虑。当所铺设的管线中无共用管线时，建立直角坐标系，标出各点坐标，分别设两炼油厂铺设管线
的单位费用为万元、万元，根据与是否相等分为两种情况来考虑：当时，利用对称及两点间直线最短的原理，可以找到此种情况下的铺设管线的最佳路径，此时要增建的车站的位置点G的坐标为(0,baad),根据G点坐标可以求出最省的总费用为
))()((2222baadbaaddba万元。当时，设出车站建设点G的坐标，根据总
费用等于A厂铺设的非共用管线的费用和B厂铺设的非共用管线费用之和，最终建立总费用最省的优化模型，并利用Matlab软件进行求解[6]，由于结果过于繁琐，不加表述。当所铺设的管线中有共用管线时，要使铺设管线的总费用最小，需要考虑共用管线费用与各炼油厂非共用管线的费用之和最小。根据此分析，建立直角坐标系，分别设出共用管线和非共用管线交接点E及车站建设点G的坐标，同样根据总费用最省的计算方法，建立优化模型，运用Matlab软件对其求解[6] ，由于此处结果过于复杂，不加表述。 对问题二：首先对每个公司的估算值进行加权求和，确定出附加费用。建立直角坐标系，分别设出各点的坐标。从费用最省的角度出发，可建立一个总费用最小的目标函数，再根据题意及参考文献[5]中的结论找出约束条件，由此建立单目标的优化模型，运用Lingo软件求解得出此种情况下最省的总费用为282.6973万元，且要增建车站G点坐标为(5.45,0)。从对城市规划的影响及扰民情况方面进行分析，就要使得在城区内铺设的管线长度最短。同样可以建立一个总费用最少的目标函数，根据分析找出约束条件，从而建立优化模型，并用Lingo求解得出此情况下最省的总费用为283.8307万元，要增建车站G点坐标为(4.90,0)。 对问题三：首先建立直角坐标系，标出各点坐标。其次根据问题二的分析方法进行建模，并用Lingo求解得到铺设管线的最省总费用为251.9685万元，要增建车站G点坐标为(6.73,0)。通过对问题三结果的分析可以发现，共用管线的长度仅为0.14千米，又因为根据资料[7]可得，当两炼油厂有共用管线时且采用间歇传送成品油时，如果两炼油厂传送的成品油种类不同时，会产生一定的混油量，而混油会造成成品油价值的贬值，从而造成经济损失，所以可以考虑需铺设的管线中无共用管线。通过此分析可建立一个总费用最少的目标函数，且根据分析找出其约束条件，进而建立优化模型，用Lingo求解可得在此种情况下的最省总费用为251.9755万元，要增建车站G点坐标为(6.73,0)。 关键词：费用最省 直角坐标系 费尔马点 优化模型 2
一、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。油田设计学院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1、针对两炼油厂到铁路线距离与两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2、两油厂的具体位置已确定（见题中附图），其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中虚线表示。图中个字母表示的距离（单位：千米）分别为5a,8b,15c,20l。设所有管线的铺设费用均为7.2万元。铺设在城区的管线还需要增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算（估算结果见题目）。要求为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 3、在该实际问题中，为进一步节省费用，可根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这是的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的5.6万元/千米，输送B厂成品油的6.0万元/千米，共用管线费用为7.2万元/千米，拆迁等附加费用同上。要求给出管线的最佳布置方案及相应的费用。
二、符号说明
iC 表示编号为i的公司估算出的附加费用。
iW 表示编号为i的公司分配到的权重。
l 表示加权求和后确定的每千米的附加费用。 L 表示铺设管线的最少总费用。 三、基本假设 1、假设油田所在区域的铁路线为直线。 2、假设铺设管线时是沿着所设计的路径直线铺设的。 3、假设铺设管线的总费用只考虑管线铺设费用和附加费用。 4、假设将两个炼油厂及要增建的车站看作三个点。 5、假设油田所在区域不存在影响输油管线线路选择的限制区域(如国家重点文物，国家军事设施等)。 6、假设城区内人口分布比较均匀。
四、问题分析 结合该油田输油管的布置所提出的三个问题和相关要求，我们从以下几方面进行分析和讨论。 对问题一要分两种情况考虑： (1)当铺设的管线中无共用管线时，该问题可以转化为一个以总费用最省为目标函数的优化模型。在这种情况下又分别考虑两个炼油厂单位管线的铺设费用相同和不同两种情形；建立出不同的优化模型。(2)当铺设的管线中有 3
共用管线时，即要考虑共用管线的铺设费用与各炼油厂非共用管线铺设费用之和最小，从而建立出以总费用最省为目标函数的优化模型。 对问题二：由于铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等费用，首先根据三家工程咨询公司具有的资质，对各个公司估算的附加费用分配权重，进而通过加权求和确定出每千米的附加费用。从单纯考虑铺设费用最省的角度，可以建立一个总费用最省的优化模型。又从城市的规划与扰民情况考虑，在城区内铺设的管道要尽可能短，由此角度考虑，同样可以建立另一种总费用最省的优化模型。 对问题三：问题三是问题二的细化，即给出各炼油厂非共用管线的单位铺设价格和共用管线的单位铺设价格。因为都是要求铺设费用最省，且问题三只是将问题二中的费用具体化，所以问题三可按照问题二中单纯考虑总费用最少的模型的分析方法，建立模型，求出最佳的铺设方案。
五、模型的建立与求解 5.1问题一模型的建立与求解 此问题需要分两种情况考虑：一是所铺设的管线中没有共用管线；二是所铺设的管线中有共用管线。 5.1.1所需铺设的管线中无共用管线模型的建立与求解 首先，设两炼油厂为A和B,以铁路线所在的直线为横坐标轴，以垂直与铁路线且过其中A炼油厂的直线为纵坐标轴，以C点为坐标原点，建立直角坐标系。设需要增建
的车站为点G；设A点坐标为),0(a，B点坐标为),(bd，D点的坐标为(d,0),G点坐
标为)0,(x；设铺设A厂管线费用为每千米万元，铺设B厂管线费用为每千米万元。各点的具体表示见图1：
图1 炼油厂与车站坐标示意图 当时，即铺设费用大小只取决于两炼油厂到车站的距离之和，要满足铺设费用最少，只需要满足距离和最小即可。因此可以利用几何知识求解出铺设管线总费用最省的设计方案。具体步骤如下：
在图一的基础上，做出A点关于x轴的对称点'A，然后连接'BA，与x轴交于G点，再连接AG，G点即为要增建车站的位置。AG和BG即为需要铺设的管线，如图2： 4
图2 各炼油厂非共用管线的费用相同时的设计图 根据几何知识可以求得点G的坐标为(0,baad)，又根据勾股定理可以求得：
22)(aAGbaad，22)(baaddbBG，根据以上分析可求得此情况下的最小费用
为：)(BGAGL，即：))()((2222baadbaaddbaL。则此情况下最小的总费用为))()((2222baadbaaddba万元。 当时，结合图一，可以将该问题转化为在x轴上寻找一点G，使得BGAG的值最小。由此可建立目标函数为：BGAGLmin，又根据勾股
定理可求得22xaAG，22)(bxdBG，所以该目标函数可以转化为： 2222)(minxdbxaL
(1)
对该目标函数的约束条件分析如下： (1)根据参考文献[5]的结论可知点G是落在ACDB这个区域内的。又因为此处考虑 的是无共用管线的情况，所以点G一定落在CD这条线段上，即: dx0 (2)
(2),,,,dba均为未知参数。 根据以上分析，可建立单目标优化模型如下： 目标函数：2222)(minxdbxaL
均为未知参数,,,,0..dbadxts (3)
运用Matlab软件对以上模型进行求解(程序[6]见源程序一)，由于结果过于繁琐，不便于表达，在此不做叙述。具体运用时可直接将,,,,dba等参数带入模型中求解。 5.1.2所需铺设的管线中有共用管线模型的建立与求解 设两炼油厂为A和B，以该铁路线所在直线为横坐标轴，以垂直于该铁路线且过A 5
炼油厂的直线为纵坐标轴，以C点为坐标原点，建立直角坐标系。设从两个炼油厂A和B铺设的管线相接于E点，过E点做x轴的垂线，与x轴相交于G，则共用管线的铺设路线即为点E向铁路线做的那条垂线，G点即为要增建的车站位置。过A点做与x轴平
行的直线AM交BD与M。设A点坐标为),0(a，B点坐标为),(bd，D点的坐标为
(d,0),E点坐标为),(yx，G点坐标为)0,(x。得到图3：
图3 有共用管线时的设计图 结合图三，运用两点间的距离公式可以得出：22)()(ybxdBE，yEG，
22)(yaxAE。因为要求铺设管线的总费用最省，即使AE、BE、EG乘以各自
的所铺设管线的费用之和最小，由此可建立目标函数如下： EGBEAELmin
即：yybxdyaxL2222)()()(min (4) 对于约束条件我们做了以下分析： (1)根据参考文献[5]的结论可知点G是落在ACDM这个区域内的。由此可得
dx0，ay0 (5)
(2),,,,,dba均为未知参数。 综合以上分析可建立模型如下： 目标函数：yybxdyaxL2222)()()(min
均为未知参数,,,,,00..dbaaydxts (6)
运用Matlab对以上模型求解(程序[6]见源程序二)，由于结果过于繁琐，不便于表达，在此不做叙述。具体运用时可直接将,,,,,dba等参数带入模型中求解。 5.2问题二模型的建立与求解 5.2.1附加费用的确定