双曲线抛物线基础训练题及答案
双曲线抛物线基础训练题
姓名____________分数______________
一、选择题
1 ．已知抛物线x y 42
=的焦点为F ，点M 的坐标为)4,3(-，那么线段MF 的中点坐标为
（ ）
A ．)2,1(-
B ．)2,1(-
C ．)2,1(--
D ．)2,1(
2 ．抛物线2
8y x =-的焦点坐标是
（ ）
A ．(2,0)
B ．(- 2,0)
C ．(4,0)
D ．(- 4,0)
3 ．抛物线y x 42
=的焦点坐标为
（ ）
A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(0,2)
D ．(2,0)
4 ．抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是x 轴,抛物线过点(5-,25),则抛物线的标准方程是 （ ）
A ．y 2
=-2x
B ．y 2
=2x
C ．y 2
=-4x
D ．y 2
=-6x
5 ．双曲线
125
162
2=-y x 的两条渐近线的夹角是 （ ）
A ．54arctan 2
B ．45arctan 2
C ．54arctan 2-π
D ．4
5arctan 2-π
6 ．若双曲线()22
2213
x y a o a -=>的离心率为2,则a 等于
（ ）
A ．2
B C ．
3
2
D ．1 7 ．抛物线y=2x 2
的焦点坐标是
（ ）
A ．(1,0)
B ．(
4
1,0) C ．(0,
41) D ．(0,
8
1) 8 ．抛物线)0(22
>=p px y 的焦点到准线的距离是
（ ）
A ．
4
p B ．
2
p C ．p D ．p 2
9 ．抛物线02
=+y x 的焦点位于
（ ）
A ．x 轴的负半轴上
B ．x 轴的正半轴上
C ．y 轴的负半轴上
D ．y 轴的正半轴上
10．抛物线2
4
1x y
=
的焦点坐标是 （ ）
A ．⎪⎭⎫
⎝⎛0,161 B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛161,
0 C ．()1,0
D ．()0,1
11．抛物线2
8x y =-的准线方程是
（ ）
A ．2x =-
B ．2x =
C ．2y =-
D ．2y =
12．双曲线6x 2
=3＋y 2
的范围是
（ ）
A ．x ≥2
B ．x y ≥≥23，
C ．x ≥
22
D ．x y ≥≥2
23， 13．双曲线16
102
2=-y x 的焦点坐标是 （ ）
A ．（－2，0），（2，0）
B ．（0，－2），（0，2）
C ．（0，－4），（0，4）
D ．（－4，0），（4，0）
14．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0）、（4，0），则双曲线方程为 （ ）
A ．
110622=-y x B ．161022=-y x C ．112422=-y x D ．14
122
2=-y x 15．双曲线3mx 2
-my 2
=3的一个焦点是（0，2），则m 的值是
（ ）
A ．1
B ．-1
C ．
210
D ．-
2
10 16．焦点为（－1，0），顶点为（1，0）的抛物线方程是
（ ）
A ．y 2=8(x+1)
B ．y 2=－8(x+1)
C ．y 2=8(x －1)
D ．y 2=－8(x －1)
17．F 1、F 2分别是双曲线2
2
19
y x -=的左右焦点，若点P 在双曲线上且021=∙PF PF ， 则12PF PF +=（ ）。
（ ）
A B ．
C D ．18．抛物线y 2
=ax(a ≠0)的焦点坐标，准线方程分别为
（ ）
A ．(a x a
404，，)=- B ．(-
=a x a
404，，) C ．(-=a x a 202
，，)
D ．(a x a 202
，，)=-
19．双曲线22
1169
x y -=的焦距为
（ ）
A ．10
B C ．D ．5
20．抛物线2
1
8x
y =-的准线方程是
（ ）
A ．32
1
=y B ．2x =
C ．32
1=
x D ．2-=y
21．双曲线3x 2
-y 2
=3的渐近线方程是
（ ）
A ．y=+3x
B ．y=+1
3
x
C ．x
D ．y=+
33
x
22．以双曲线2
214
x y -=的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线方程是 ( )
A. 2y =-
B. 2y =-
C.2y =-
D.2
y =-
23．焦点在y 轴，实轴长等于8，5
4e =
的双曲线的标准方程为 （ ） A ．22
1169
x y -=
B ．221169y x -=
C ．221167x y -=
D ．22
197
x y -=
24．双曲线
22
149
x y -=的渐近线方程是 （ ）
A ．23
y x =±
B ．49y x =±
C ．32
y x =±
D ．94
y x =±
25．已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是
（ ） A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线 D ．双曲线右支
26．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是
（ ）
A ．
12
y x )D (1
y 2x )C (1
16y 4x )B (14y 16x 2
2
22222
2=-=-=-=-
27．实轴长为10,焦点分别为(0,－29),(0,29)的双曲线方程是
（ ）
A ．
14
252
2=-y x B ．
12542
2=-x y C ．
12542
2=-y x D ．
14
252
2=-x y 28．抛物线2
4y x =的焦点坐标是
（ ）
A ．(4,0)
B ．(2,0)
C ．(1,0)
D ．(0,1)
29．函数31y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =
（ ）
A ．18
B ．14
C ．12
D ．1
30．若抛物线px y 22
=的焦点与双曲线13
2
2
=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ） A ．4
B ．4-
C ．2
D ．2-
二、填空题
31．抛物线x y 82
-=的焦点坐标为_________________.
32．以
22
1124
y x -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为____________. 33．准线方程为2x =的抛物线的标准方程是 ．
34．双曲线2
214
y x -=的渐近线的方程为
35．若双曲线
22
14x y m
-=的渐近线方程为y x =，则实数m 的值为 36．已知双曲线22
1169
x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为__________
37．双曲线19
22
=-y x 的焦点到渐近线的距离是 38．抛物线2
4y x =的准线方程是
39．已知双曲线
22
14x y m
-=的离心率为2，则实数m = 40．焦点为(6,0),相应准线为直线x=
3
16
离心率为423的双曲线方程
三、解答题
41．已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率3=
e ,一条准线的方程为063=-x ,求此双曲线
的标准方程.
42．求双曲线16y 2
-9x 2
=144的焦点坐标、准线方程和渐近线方程.
参考答案
一、选择题 1. A 2. B 3. B 4. C 5. D
6. 解析解析 由222123x y a a
-
===c 可知虚轴e=a ,解得a=1或a=3,参照选项知而应选D.
7. D 8. C 9. C
10. C 11. D 12. C 13. D 14. C 15. B 16. D 17. B 18. A
19. A 20. A 21. C
22. D 23. B 24. C 25. C 26. A 27. D 28. C 29. B 30. A 二、填空题 31. ()0,2-
32.
22
1164
y x += 33. 2
8y x =-
34. 2y x =± 35. 3m = 36. 18
37. 1； 38. 1-=x 39. 12 40. x 2
-8y 2
=32 三、解答题
41.解： 由题设, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3632c
a a
c
解得 2,6,2===b c a .
∴双曲线方程为 14
22
2=-y x . 42. (0,±5);5y ±9=0;3x ±4y =0。
第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线 (精讲)-2(含答案解析)
第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线(精讲）-2第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线（精讲）角度2：由中点弦确定曲线方程典型例题例题1．（2022·四川南充·高二期末（文））1．过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=例题2．（2022·全国·高二课时练习）2．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．22152x y -=D ．22125x y -=例题3．（2022·江苏南京·模拟预测）3．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点1,2⎛ ⎝⎭，直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为0.5-，求椭圆C 的标准方程；例题4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）4．斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；同类题型归类练（2022·四川南充·二模（文））5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -与椭圆C相交于不同的两点,A B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22142x y +=C ．22153x y +=D ．22163x y +=（2022·全国·高三专题练习（理））6．已知椭圆C ：22221(>0)>x y a b a b +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，AB 的中点坐标为21(,)33-.求椭圆C 的标准方程；（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）7．已知椭圆C ∶22221(0)x y a b a b+=>>经过点3)2P ，O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l 与直线OM 的斜率乘积为14-.求椭圆C的标准方程；（2022·全国·高三专题练习）8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点的纵坐标为2．求C 的方程.题型三：弦长问题典型例题例题1．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．247B ．127C ．7D ．7例题2．（2022·全国·高三专题练习）10．经过双曲线2213y x -=的左焦点F 1作倾斜角为6π的直线AB ，分别交双曲线的左、右支为点A 、B ．求弦长|AB |=_____例题3．（2022·贵州遵义·高二期末（理））11．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>左右焦点为1F ，2F 2M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点()2,3A ，倾斜角为π4直线l 与椭圆交于B ，C 两点，求BC ．例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)P -．(1)求C 的方程；(2)若,A B 是C 上两点，直线AB 与圆222x y +=相切，求AB 的取值范围．例题5．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）13．已知动圆C 过定点()0,1F ，且与直线1:1l y =-相切，圆心C 的轨迹为E ．(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线2l 交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则PQ 的最大值为多少？同类题型归类练（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）14．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点(F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长||AB =（）A ．7B ．8C ．9D ．10（2022·四川·遂宁中学高二期中（文））15．已知椭圆的中心在原点，焦点在x12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45°的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A ､B 两点，求AB （2022·河北·衡水市第二中学高二期中）16．（1）已知A ，B 两点的坐标分别是()6,0-，()6,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是29.求点M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状：（2）已知过双曲线22136x y -=上的右焦点2F ，倾斜角为30 的直线交双曲线于A ，B 两点，求AB .（2022·安徽·六安一中高二开学考试）17．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））18．已知抛物线C ：()220x py p =>，圆O ：221x y +=.(1)若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为C 和圆O 的一个交点，求AF ；(2)若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M ，N ，求MN 的最小值及相应p 的值.（2022·安徽省舒城中学三模（文））19．已知抛物线C ：22y px =（p ＞0），抛物线C 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF 的最小值为1．(1)求p ；(2)设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线C 上不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足123k k OA OB <⋅=-，求｜AB ｜的取值范围．参考答案：1．A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A 2．D【分析】根据点差法得2225a b=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果.【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-=()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（）2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.3．22142x y +=【分析】由离心率得,a b 的一个关系式，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用斜率关系得关于,a b 的另一等式，联立可求得22,a b 得椭圆标准方程．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即121212OM y y k x x +==-+．因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()()()121222121210y y y y a b x x x x +-+=+-，又12121AB y y k x x -==-，所以221102a b-=，即222a b =．又因为椭圆C过点⎛ ⎝⎭，所以221123a b +=，解得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=；4．24y x=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入抛物线方程相减，利用弦中点坐标，直线斜率求得p ，得抛物线方程．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.5．B【分析】先求得焦点，也即求得c ，然后利用点差法求得22ba，从而求得,a b ，也即求得椭圆C 的方程.【详解】直线0x y -=过点()F，所以c =设()()1122,,,A x y B x y ，由2222112222221,1x y x y a b a b +=+=两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，即22222222111,,222b b a b bc a a ⎛⎫-=-⋅===+ ⎪⎝⎭，所以2b c a ===，所以椭圆C 的方程为22142x y +=.故选：B 6．2212x y +=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标、离心率求得直线AB 的斜率得直线方程，从而求得焦点坐标，求出,,c a b 得椭圆标准方程．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212221x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--，2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+，将1243x x +=-，1223y y +=代入上式，得2221(12AB b k e a ⋅-=-=-，又2=e ，∴=1AB k ，∴直线l 的方程为1233y x -=+，即1y x =+，即()11,0F -，∴1c =，1a b ==，∴椭圆C 的标准方程2212x y +=；7．221123x y +=【分析】已知点的坐标代入得,a b 的一个关系式，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用斜率关系得,a b 的另一等式，联立可求得22,a b 得椭圆标准方程．【详解】解：因为椭圆经过点3)2P ，所以223914a b +=（1），设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，因为线段AB 的中点为M ，且直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，所以2214b a -=-（2），由（1）（2）解得223,12b a ==，所以椭圆方程为：221123x y +=；8．24y x =.【分析】中点弦问题利用点差法进行处理.【详解】解：设点()()1122,,A x y B x y ，，则12+22y y =，所以12+4y y =，又因为直线AB 的斜率为1，所以21211y y x x -=-，将A 、B 两点代入抛物线方程中得：21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，将上述两式相减得，()2212122y y p x x -=-，即()()()121212+2y y y y p x x -=-，所以12121221+y y p y y x x -==-，即214p=，所以2p =，因此，抛物线的方程为24y x =.9．A【分析】利用弦长公式求解即可.【详解】设直线AB 方程为1y x =-，联立椭圆方程22143x y+=整理可得：27880x x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1287x x +=，1287x x ⋅=-，根据弦长公式有：AB =247．故B ，C ，D 错误.故选：A.10．3【分析】直线AB的方程可设为2)y x =+，联立方程，利用弦长公式可得结果.【详解】∵双曲线的左焦点为F 1（﹣2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB的方程可设为2)y x =+，代入方程2213y x -=得，8x 2﹣4x ﹣13＝0，∴1212113,28x x x x +==-，∴12||||3AB x x =-==.故答案为：3.11．(1)2214x y +=(2)5BC =【分析】（1）利用椭圆的离心率，过点1,2M ⎛ ⎝⎭，及222a b c =+，列方程解出,a b 即可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解.【详解】（1）解：由题意得222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，解得224a b =，又因为点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，带入222214x y b b+=得21b =，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）解：易得直线l 的解析式为1y x =+，设()11,B x y ，()22,C x y 联立椭圆的方程22441x y y x ⎧+=⎨=+⎩得2580x x +=1285x x +=，120x x =12BC x=-=所以5BC =．12．(1)22163x y+=(2)【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此可求得椭圆的方程.（2）对直线AB 斜率分成不存在、直线AB 的斜率为0、直线AB 的斜率不为0三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）由题意得，222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a b c ===，所以C 的方程为22163x y +=.（2）圆222x y +=的圆心为(0,0)，半径圆r =①当直线AB的斜率不存在时，方程为x =x =于是有22163x x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩或22163x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得y =所以AB =②当直线AB 的斜率为0时，方程为y =或y =，于是有22163y x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩或22163y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得x =所以AB =③当直线AB 的斜率不为0时，设斜率为k ，方程为y kx t =+，0kx y t -+=因为直线AB 与圆222x y +==222(1)t k =+建立方程组22163y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 并化简得222(21)4260k x ktx t +++-=，2222222Δ164(21)(26)488243280k t k t k t k =-+-=-+=+>.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122421kt x x k +=-+,21222621t x x k -⋅=+，所以AB ===>而2214448kk++≥+=，当且仅当2214kk=，即22k=时，等号成立.所以3AB=，所以3AB<≤.综上所述，AB的取值范围是.13．(1)24x y=(2)6【分析】（1）利用抛物线的定义直接可得轨迹方程；（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得PQ，再根据二次函数的性质可得最值.（1）由题设点C到点F的距离等于它到1l的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，1l为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为24x y=；（2）由题意易知直线2l的斜率存在，设PQ中点为(),2t，直线2l的方程为()2y k x t-=-，联立直线与抛物线()242x yy k x t⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得24480x kx kt-+-=，()()()2244481620k kt k kt ∆=---=-+>，且124x x k +=，1248x x kt =-，又PQ 中点为(),2t ，即1242x x k t +==，2t k =，故()24280t t ∆=-+>恒成立，122x x t +=，21228x x t =-，所以PQ ，当22t =时，PQ 取最大值为6.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．14．D【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得22,a b ，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得.【详解】 双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y =，b a∴，即.b =左焦点()F，c ∴=222233c a b a ∴=+==，21a ∴=，22b =，∴双曲线C 的方程为22 1.2y x -=易知直线l 的方程为(2=y x ，设11(,)A x y ，22(,)Bx y ，由(22212y x y x ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消去y 可得270++=x，12x x ∴+=-127.10.x x AB =∴==故选：D15．(1)2214x y +=；(2)85.【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、椭圆中的,,a b c 关系进行求解即可；（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的离心率为2且过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2222222231144123a b a c b a c a b c ⎧+=⎪⎧⎪=⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，所以椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）由（1）可知：F ，所以直线l的方程为：0tan 45(y x y x ︒-=⇒=2224(40580x x x +--=⇒-+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121285x x x x +==，因此85AB =.16．（1）轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点；（2）5AB =.【分析】（1）设(),M x y ，根据题意列出等式，化简即可得轨迹方程，判断轨迹形状，即得答案；（2）求出直线方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，根据弦长公式求出弦长即得答案.【详解】（1）设(),M x y ，因为()6,0A -，()6,0B ，所以()2,6669AM BM y y k k x x x ⋅=⋅=≠±+-，整理得()2216368x y x -=≠±，故点M 的轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点.（2）由22136x y -=得，23a =，26b =，所以2229c a b =+=,即3c =，所以右焦点()23,0F ，因为直线AB 的倾斜角是30 ，且直线经过右焦点()23,0F ，所以直线AB的方程为)3y x =-,由)223136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得：256270x x +-=，所以1265x x +=-，12275x x =-，所以245AB ====17．(1)22142x y -=（2x ≠±）(2)【分析】（1）设(),M x y ，用坐标表示AM ，BM 的斜率，由已知可得曲线方程，注意斜率有意义；（2）直线方程与曲线方程联立，消元后应用韦达定理，由弦长公式计算弦长．（1）设(),M x y ，则AM ，BM 的斜率分别为12y k x =+，22y k x =-，由已知得1222y y x x ⋅=+-，化简得22142x y -=（2x ≠±），即曲线C 的方程为22142x y -=（2x ≠±）；（2）联立221423x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得212220x x -+=，设()11,E x y ，()22,F x y ，则1212x x +=，1222x x =，12EF x -===18．1(2)最小值为p =【分析】（1）由()0,1F 得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出A y ，最后由抛物线定义得出AF ；（2）由导数的几何意义得出切线l 的方程，由点O 到切线l 的距离等于1结合勾股定理得出2MN =20204411y y ++--，再由基本不等式得出MN 的最小值及相应p 的值.（1）由题意，得()0,1F ，从而C ：24x y =.解方程组22241x y x y ⎧=⎨+=⎩，整理得，2410y y +-=，解得2A y所以11A AF y +==.（2）设()00,M x y ，由212y x p =得 x y p '=，故切线l 的方程为()000x y x x y p=-+，注意到2002x py =，故整理得000x x py py --=由1ON =且ON l ⊥，即点O 到切线l 的距离等于11=所以0py ==，整理，得02021y p y =-且201y ->0，所以2222200001121MN OM x y py y =-=+-=+-22200022004414142811y y y y y =+-=++-≥+--，当且仅当0y =.所以MN 的最小值为p ==19．(1)2(2)4AB ≥【分析】（1）由于2p PF ≥，即可求得12p =，从而得2p =；（2）设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由123k k OA OB <⋅=- 得124y y =-，设AB 直线方程为y kx b =+，代入抛物线方程结合韦达定理得出b k =-，从而y kx b =+过焦点()1,0，即可求解AB 的取值范围．【详解】（1）因为2p PF ≥，则12p =，所以2p =；（2）由（1）得24y x =，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则121244,k k y y ==，由123k k OA OB <⋅=- 得()212121216316y y y y y y <+=-，所以124y y =-，设AB 直线方程为y kx b=+联立方程组24y kx b y x =+⎧⎨=⎩得204k y y b -+=，所以1244b y y k ==-则b k =-故()1y kx b kx k k x =+=-=-过焦点()1,0所以24AB p ≥=．。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高三数学二轮专题复习椭圆双曲线抛物线01含答案
椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称 椭圆双曲线抛物线定义 PF 1＋PF 2＝2a (2a > F 1F 2)|PF 1－PF 2|＝2a (2a < F 1F 2)PF ＝PM 点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)图形几何性质范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b )(±a,0)(0,0) 对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点(±c,0)(p2，0) 轴长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b离心率 e ＝ca＝ 1－b 2a 2(0<e <1)e ＝c a＝ 1＋b 2a 2(e >1) e ＝1 准线 x ＝±a 2cx ＝±a 2cx ＝－p 2渐近线y ＝±b ax考点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若F A ＝2FB ，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)223【详细分析】(1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，两式平方相减得4PF 1PF 2＝4×3，所以PF 1·PF 2＝3.(2)方法一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2,0)． 如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ， BN ⊥l 于点N .由F A ＝2FB ，则AM ＝2BN ，点B 为AP 的中点． 连结OB ，则OB ＝12AF ，∴OB ＝BF ，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(1,22)．∴k ＝22－01－(－2)＝223.方法二如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ，又AF ＝2BF ，∴BC AC ＝BB ′AA ′＝12，即B 是AC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与⎩⎪⎨⎪⎧y 2A ＝8x A ，y 2B ＝8x B ，联立可得A (4,42)，B (1,22)．∴k AB ＝42－224－1＝223.(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的定义中要求PF 1－PF 2＜F 1F 2，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为 ________．答案 (1)x 220＋y 25＝1 (2)y 2＝3x【详细分析】(1)∵椭圆的离心率为32，∴ca ＝a 2－b 2a ＝32， ∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则NF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．(2)(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．答案 (1)57 (2)33【详细分析】(1)在△ABF 中，由余弦定理得 AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF cos ∠ABF ， ∴AF 2＝100＋64－128＝36，∴AF ＝6， 从而AB 2＝AF 2＋BF 2，则AF ⊥BF . ∴c ＝OF ＝12AB ＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则BF ′＝AF ＝6，∴2a ＝BF ＋BF ′＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.(2)如图，F (c,0)，B (0，b )，则直线BF 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy－bc ＝0，d 1＝bcb 2＋c 2＝bc a d 2＝a 2c －c ＝b 2c ， 由已知条件d 2＝6d 1 即b 2c ＝6bca ，整理得：6b 2＋ab －6a 2＝0解得b a ＝26，∴e ＝c 2a 2＝ 1－b 2a 2＝33. 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 (1)33 (2)102【详细分析】(1)设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )， 则B F →＝(c ，－b )，F D →＝(x D －c ，y D )，∵B F →＝2F D →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D ，∴⎩⎨⎧x D ＝3c2，y D＝－b2.又∵点D 在椭圆C 上，∴⎝⎛⎭⎫3c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22b 2＝1，即e 2＝13.∴e ＝33.(2)设c ＝a 2＋b 2，双曲线的右焦点为F ′.则PF －PF ′＝2a ，FF ′＝2c .∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点，∴OE ∥PF ′，且PF ′＝2OE . ∵OE ⊥PF ，OE ＝a2，∴PF ⊥PF ′，PF ′＝a ，∴PF ＝PF ′＋2a ＝3a . ∵PF 2＋PF ′2＝FF ′2，即9a 2＋a 2＝4c 2，∴c a ＝102.∴双曲线的离心率为102.考点三 圆锥曲线的综合问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭 圆的上顶点，且满足MF →·FB →＝2－1. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )， ∴MF →＝(c ，－b )，FB →＝(a －c,0)，∴MF →·FB →＝ac －c 2＝2－1.又e ＝c a ＝22，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2＝2－1，∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的直线l .∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，即m 2<3， 又x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝2m 2－23－4m 23＋m 2＝m 2－23.又F 为△MPQ 的垂心，连结PF ，则PF ⊥MQ ，∴PF →·MQ →＝0， 又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)，∴PF →·MQ →＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2 ＝－43m ＋m －2m 2－23－m 2－23＝－m 2－m 3＋43＝－13(3m 2＋m －4)＝－13(3m ＋4)(m －1)＝0，∴m ＝－43或m ＝1(舍去)，经检验m ＝－43符合条件，∴存在满足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0.(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1.在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴AC ＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12OB ·AC ＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k .又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1，∴AC 与OB 不垂直． 故OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．1． 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短． 椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1F A ＋1FB 为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.1． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 (1,2)【详细分析】由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是AF <EF ，b 2a<a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.2． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2________.(填“内”“外”“上”) 答案 内【详细分析】∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a .∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2.∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内． 3． 过抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上一点A (a,0)(a >0)的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向直线l ：x ＝－a 作垂线，垂足分别为M 1、N 1. (1)当a ＝p2时，求证：AM 1⊥AN 1；(2)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3.是否存在λ，使得对任意的a >0，都有S 22＝λS 1S 3成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．(1)证明 当a ＝p 2时，A (p2，0)为该抛物线的焦点，而l ：x ＝－a 为准线，由抛物线的定义知MA ＝MM 1，NA ＝NN 1， 则∠NN 1A ＝∠NAN 1，∠MM 1A ＝∠MAM 1. 又∠NN 1A ＝∠BAN 1，∠MM 1A ＝∠BAM 1， 则∠BAN 1＋∠BAM 1＝∠NAN 1＋∠MAM 1， 而∠BAN 1＋∠BAM 1＋∠NAN 1＋∠MAM 1＝180°， 则∠N 1AM 1＝∠BAN 1＋∠BAM 1＝90°， 所以AM 1⊥AN 1.(2)解 可设直线MN 的方程为x ＝my ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2px 得y 2－2pmy －2pa ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2pa . S 1＝12(x 1＋a )|y 1|，S 2＝12(2a )|y 1－y 2|，S 3＝12(x 2＋a )|y 2|，由已知S 22＝λS 1S 3恒成立，则4a 2(y 1－y 2)2＝λ(x 1＋a )(x 2＋a )|y 1y 2|.(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2＋8pa ，(x 1＋a )(x 2＋a )＝(my 1＋2a )(my 2＋2a )＝m 2y 1y 2＋2ma (y 1＋y 2)＋4a 2 ＝m 2(－2pa )＋2ma ×2pm ＋4a 2＝4a 2＋2pam 2.则得4a 2(4p 2m 2＋8pa )＝2pa λ(4a 2＋2pam 2)，解得λ＝4， 即当λ＝4时，对任意的a >0，都有S 22＝λS 1S 3成立．(推荐时间：70分钟)一、填空题1． 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________________． 答案 y 2＝4x 或y 2＝16x【详细分析】由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是____________．答案y 2－x 23＝1 【详细分析】椭圆x 212＋y 216＝1的离心率为16－1216＝12，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c ＝2，2a ＝2得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线方程是y 2－x 23＝1.3． 已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶ 5【详细分析】由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即FM ∶MN ＝MH ∶MN ＝FO ∶AF ＝1∶ 5.4． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是________． 答案2【详细分析】由已知条件知，点M 为直三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.5． 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于________． 答案433【详细分析】抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.6． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．答案 2【详细分析】建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.7． 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________． 答案 [12，22]【详细分析】设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF →1＝(－c －x ，－y )，PF →2＝(c －x ，－y )，PF →1·PF →2＝x 2＋y 2－c 2. 又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.8． 椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案3－1 【详细分析】由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°， MF 1⊥MF 2，所以MF 1＝c ，MF 2＝3c ， 所以MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a .即e ＝ca＝3－1.9． 已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44【详细分析】由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且PQ ＝QA ＋P A ＝4b ＝16，由双曲线定义，PF －P A ＝6，QF －QA ＝6.∴PF ＋QF ＝12＋P A ＋QA ＝28，因此△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________． 答案 7【详细分析】由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7. 二、解答题11．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1①x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33，所以可得AB ＝463； 将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则CD ＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，CD 取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB ·CD ＝863.12．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，得1a 2＋94b2＝1，① 又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点的抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标；(3)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，且满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0. ①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (3)若存在直线l 1满足条件，则直线l 1的斜率存在，设其方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0.所以k 1>－12. x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21. 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54， 解得k 1＝±12.因为A ，B 为不同的两点，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
双曲线练习题及答案
运用双曲线的定义
例 1．若方程 x2 sin y 2 cos 1表示焦点在 y 轴上的双曲线，则角 所在象限是（ ）
A、第一象限
B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
练习 1．设双曲线 x2 y 2 1 上的点 P 到点 (5,0) 的距离为 15，则 P 点到 (5,0) 的距离是（ ） 16 9
双曲线相关知识
双曲线的焦半径公式： 1：定义：双曲线上任意一点 P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1 点 P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点 P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
A．7
B.23
C.5 或 23
D.7 或 23奎奎 奎奎奎 奎奎
例 2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆 x 2 ＋ 5y2 =1 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个
10 32
焦点，则此双曲线的方程是（ ）。
（A） x 2 － y2 =1 （B） x 2 － y2 =1 （C） x 2 － y2 =1 （D） x 2 － y2 =1
课 1、[解析]设双曲线方程为 x2 4 y2 ，
当
0 时，化为
x2
y2
1， 2
5 10 20 ， 4
4
当
0
时，化为
y2
y2
1 ， 2
5 10 20 ， 4
4
综上，双曲线方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1
ππ 3 3
π
抛物线知识点练习及答案
戴氏教育专题练习（双曲线）一、选择题（题型注释） 1．抛物线y = 2x 的准线方程是( )A ．y=12B ．y=－12C ．x=12D ．x=－ 122．已知双曲线116922=-x y ，抛物线)0(22>=p px y ，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为3，则=p ( )A.415 B. 5 C.215 D. 10 3．抛物线281x y =的焦点坐标为( ) （A ）)2,0( （B ）)321,0( （C ）)0,2( （D ）)0,321( 4．如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于（ ）A ．2πB ．4πC ．23πD ． 3π 5．设抛物线2:2(0)C y px p =>，直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于Q R 、两点，若S 为C 的准线上一点，QRS △的面积为8，则p =（ ）（A （B ）2 （C ）（D ）42yO B M PN A直，l 与C 交于Q R 、两点， S 为C 的准线上一点，若QRS △的面积为8，则p =（ ）（A （B ）2 （C ）（D ）47．B A ,是抛物线y x =2上任意两点（非原点），当OB OA ⋅最小时，,所在两条直线的斜率之积OB OA k k ⋅的值为( ) A.21 B.21-C.3D.3- 8．在抛物线)0(22>=p px y 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( )A.1=xB.21=xC.1-=xD.21-=x二、填空题（题型注释）9．已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为 .10．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(2>=a ax y 的准线相切，则=a ．11．在抛物线C ：22y x =上有一点p ，若它到点(1,3)A 的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点p 的坐标是________．12．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题（题型注释）13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，4PF =．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ) 设点1122(,),(,)(0,1,2)i A x y B x y y i ≤=是抛物线上的两点，APB ∠的角平分线与x 轴垂直，求PAB ∆的面积最大时直线AB 的方程．14．四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线2y x =上，A ，C 关于y 轴对称，BD 平行于抛物线在点C 处的切线。
双曲线、椭圆、圆专题训练与答案
圆锥曲线习题——双曲线1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 （A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A 2B 35108. 已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（ ）A. -12B. -2C. 0D. 4 二、填空题9. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线的渐近线方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线的方程为，令，所以渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程.2.双曲线的虚轴长等于( )A．B．-2t C．D．4【答案】C【解析】由于双曲线，所以其虚轴长,故选C．【考点】双曲线的标准方程．3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.已知、是双曲线（，）的左右两个焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B是锐【解析】根据题意，易得，由题设条件可知为等腰三角形，2角三角形，只要为锐角，即即可；所以有，即解出故选B【考点】双曲线的简单性质5.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（）A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】整理准线方程得，∴，a=4，∴=2a=8或=2a=8，∴=2或18，故选C．.【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用．6.双曲线的渐近线方程为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令,解得【考点】双曲线渐近线的求法.7.如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
【答案】（1）（2）【解析】（1）求动点轨迹方程，一般有四步.第一步，设所求动点的坐标，第二步，将条件转化为坐标表示，本题，两边取正切，转化为斜率关系，第三步，化简关系式为常见方程形式，第四步，根据方程表示图像，去掉不满足的部分.（2）研究取值范围，首先将表示为函数关系式.因为等于,所以先求出，从而有，利用直线与双曲线有两个交点这一限制条件，得到m>1,且m2，这作为所求函数定义域，求出值域即为的取值范围是试题解析：解（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）综上可知，轨迹C 的方程为3x2-y2-3=0（x>1） 5分 (2)由方程消去y ，可得。
椭圆、双曲线内、抛物线真题与解析
椭圆、双曲线内、抛物线真题与解析A 级 基础一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b2．(2019·天一联考)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，点N 在右支上，若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 23．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.674．(2019·长郡中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)的左、右焦点，若点F 2关于双曲线渐近线的对称点A 满足∠F 1AO ＝∠AOF 1(O 为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x5．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. 2B. 3 C．2 D. 5二、填空题6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2 b2＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．7．(2019·珠海调研)已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F，且与直线l相切，则抛物线的方程为________．8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M 的坐标为________．三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0. 证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．B 级 能力提升11．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 12．(2019·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解析：A级基础一、选择题1．解析：由e＝ca＝12，则a＝2c.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.答案：B2．解析：由∠F2MN＝∠F2NM，知|F2M|＝|F2N|，又|MF2|－|MF1|＝42，|NF1|－|NF2|＝4 2.两式相加，得|NF1|－|MF1|＝82，故|MN|＝|NF1|－|MF1|＝8 2.答案：C3．解析：如图所示，在△AFB中，|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF＝4 5，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos ∠ABF＝100＋64－2×10×8×45＝36，所以|AF|＝6，∠BFA＝90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．所以|BF′|＝6，|FF′|＝10，所以2a＝8＋6，2c＝10，解得a＝7，c＝5，所以e＝ca＝57.答案：B4．解析：设F2A与渐近线y＝ba x交于点M，且O，M分别为F1F2、F2A的中点，故OM∥F1A，则F1A⊥F2A，OA＝OF1＝c.又∠F1AO＝∠AOF1，所以△F1OA为正三角形，所以∠MOF2＝π3，故双曲线的渐近线为y＝±3x. 答案：A5．解析：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设PQ 与OF 交于点M ，连接OP ，如图所示． 则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， 故ca ＝2，离心率e ＝ 2. 答案：A 二、填空题6．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则9－16b2＝1(b ＞0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．解析：由已知圆心在OF 的中垂线上，故圆心到准线的距离为34p ，所以34p ＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x8．解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎨⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15) 三、解答题9．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解：由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－32)，|FP →|＝32，于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3（1－x 214）＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 .② 将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.B 级 能力提升11．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a 2， 故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2. 由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1， 得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案：B12．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意2b ＝4，得b ＝2.又e ＝c a ＝55，且a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2， 解之得a ＝5，c ＝1.所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. (2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k 4＋5k 2， 代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2， 进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k. 在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k. 由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k 2. 由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245， 从而k ＝±2305. 所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.。
(完整版)双曲线练习题(含标准答案)
双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 7．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 11．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】关于t的方程的不同的两根为0，，不妨取=0，=，直线AB 过原点，斜率为==，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选D.【考点】直线的方程，双曲线的渐近线，2.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足，且，则该双曲线离心率为．【答案】.【解析】，在中，设，则，.【考点】双曲线的离心率.3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.5.已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若, 则此双曲线的离心率等于( )．A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵抛物线的焦点F（，0），∴由题意知双曲线的一个焦点为F（c，0），>a,（1）即p>2a．∴双曲线方程为，∵点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若,∴p点横坐标x=，代入抛物线y2=8x得P，把P代入双曲线P，得，解得或因为p>2a．所以舍去，故（2）联立（1）（2）两式得c=2a,即e=2．故选A．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的离心率的求法．6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率的值是．【答案】【解析】根据渐近线方程有,可知其渐近线的斜率的绝对值小于1,所以两条渐近线的倾斜角分别是与,则根据,得,根据双曲线中有则离心率为.【考点】双曲线渐近线,离心率.7.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可得，所以，所以该双曲线的离心率，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其几何性质.8.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以三角形为等腰三角形，因此到直线的距离等于底边上的高线长，从而因此又所以该双曲线的渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线11.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，，因为，所以，故选C．【考点】双曲线的离心率．12.若双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为．【答案】.【解析】由双曲线的渐近线方程为及性质可知，两边平方得，即.【考点】双曲线的几何性质.13.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 .【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为，∴；双曲线的焦点到其渐近线的距离.【考点】双曲线的定义、抛物线的定义.14.已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题中唯一的条件是，为了充分利用此条件，我们设，且不妨设，则根据双曲线定义有，对利用余弦定理有，即，因此可求得，下面最简单的方法是利用面积法求得到轴的距离，，可得。