直线的倾斜角和斜率（通用8篇）
直线的倾斜角与斜率笔记
直线的倾斜角与斜率笔记直线是我们生活中常见的几何概念之一，研究直线的性质有助于我们更好地理解和应用这个概念。
在研究直线时，我们经常遇到两个重要的概念：倾斜角和斜率。
本文将详细介绍直线的倾斜角和斜率的定义、计算方法以及它们之间的关系。
一、倾斜角的定义和计算方法倾斜角是指直线与水平线之间的夹角。
在几何中，我们通常使用斜率来计算直线的倾斜角。
斜率表示直线上两个点之间纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。
具体计算方法如下：假设有直线通过两个点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁ ≠ x₂。
1. 计算纵坐标的变化量△y = y₂ - y₁。
2. 计算横坐标的变化量△x = x₂ - x₁。
3. 计算斜率 k = △y / △x。
4. 计算倾斜角θ = arctan(k)。
需要注意的是，当直线平行于水平线时，即斜率为0时，倾斜角为0度。
当直线垂直于水平线时，斜率不存在，我们将其倾斜角定义为90度。
举个例子来说明倾斜角的计算方法：例如，有两个点A（2，3）和B（5，9）。
我们可以按照上述方法计算倾斜角。
1. △y = 9 - 3 = 6。
2. △x = 5 - 2 = 3。
3. k = 6 / 3 = 2。
4. θ = arctan(2) ≈ 63.43度。
所以，通过A（2，3）和B（5，9）两点的直线的倾斜角约为63.43度。
二、斜率的定义和计算方法斜率是直线上两个点之间纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比，它是描述直线 steepness（陡峭程度）的一个重要指标。
前文中已经提到，斜率的计算方法是通过纵坐标和横坐标的变化量之比得到的。
假设有直线通过两个点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁ ≠ x₂。
斜率的计算方法是 k = △y / △x。
我们来看一个具体的例子：例如，有两个点A（2，3）和B（5，9）。
通过计算纵坐标和横坐标的变化量之比，我们可以得到直线的斜率。
△y = 9 - 3 = 6。
直线的倾斜角与斜率
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
两条直线垂直的判定与应用
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
1-(-2) 3 -1-(-2)
所以 y 3 的最大值为8,最小值为 4 .
x2
3
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.
两条直线(不重合)平行的判定
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
2.1直线的倾斜角与斜率 课件(共28张PPT).ppt
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课堂小结
0
180
1、直线的倾斜角定义及其范围：
a
2、直线的斜率定义：ktan
3、斜率k与倾斜角 α之间的关系
y2 y1
4、斜率公式：k
x2 x1
(a90
)
2
2.1.2两条直线平行和垂直的判定
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新知探究
探究三
注意： (1)轴的正方向；
(2)直线向上方向；
(3)当直线 与x轴平行或重合时，倾斜角为0°.
0°≤α<180°
l
α
o
o
6
新知探究
思考2: 直线a//b，那么它们的倾斜角ɑ相等吗？
y
a b
o
x
方向相同的直线，倾斜程度相同，倾斜角相等；
思考3: 一个倾斜角ɑ能确定一条直线吗？
一点+倾斜角
1 − 2
=
1 − 2
2 − 1 1 − 2
=
=
2 − 1 1 − 2
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母k表示,即k=tanα
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新知探究
思考4：当直线与x 轴平行或重合时，上述式子还适用吗？为什么？
y
P
1(x
1, y
1)
x1
P2 ( x2 , y1 )
o
x2
x
1 − 1
=
=0
1 − 2
适用，斜率为0
思考5：当直线垂直于x 轴时，上述式子还适用吗？
直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率都是用来表示直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”这个侧面来刻 画直线倾斜程度的，是一个几何量；而斜率则是从“数”这个侧面来表示直线倾斜程度的， 是一个数量.它们之间既有联系又有区别.【倾斜角】当直线l 与x 轴相交时，x 轴的正方向与直线l 向上方向之间所成的角α，叫做直线l 的倾斜角. 规定.当直线l 与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.倾斜角的取值范围：α∈[0，π).【斜率】当直线l 的倾斜角α≠π2时，α的正切值叫做直线l 的斜率.记作k=tanα.特别地，当α=π2时，直线的斜率不存在.注意：任何直线都有一个确定的倾斜角α，且α∈[0，π)；但是并非任何直线都有斜率，如当α=π2时，其斜率就不存在.【斜率与倾斜角间的函数关系】k=tan α，α∈[0，π)且α≠π2.其对应的函数图像如图3.1—1所示.在处理已知斜率求倾斜角或已知倾斜角的关系寻求斜率的相应关系 时，要充分地利用图3.1—1来“看图说话”.k >0⇔α为锐角；k <0⇔α为钝角.【斜率的两种求法】1.当已知倾斜角α且α≠π2时，利用k=tanα求之.2.当已知两点的坐标A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)时，利用 k =y 2−y1x 2−x 1(x 1≠x 2)求之.例1.(1)已知直线的倾斜角为α，且sinα= 45，则此直线的斜率为( ).A.43. B.− 43. C.± 43. D ± 34.(2)若过P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是_ . 解:(1) ∵ 直线的倾斜角α∈[0，π)且sinα=45，∴ cos α=±35，∴ k=tanα=± 43. 应选C.(2)由已知有k PQ =a−12+a ，∵ 直线PQ 的倾斜角为钝角，∴ k PQ <0，解得a ∈(－2，1).例2.(1)若直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R)，求直线l 的倾斜角α的取值范围. (2)若直线l 的倾斜角α∈[π6，2π3)，求直线l 斜率的取值范围.解:(1)∵ 直线l 的斜率k=1-m 2(m ∈R), ∴ 直线l 斜率k≤1，结合图3.1—1知， 直线l 的倾斜角α的取值范围为α∈[0,π4]∪(π2,π).O xy。
第5讲 直线的倾斜角与斜率(解析版)
第5讲 直线的倾斜角与斜率新课标要求①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
知识梳理 一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率定义(α为直线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α=90°直线斜率不存在记法 常用小写字母k 表示,即k=tan α 范围 R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),(x 1≠x 2),则直线的斜率公式为k=y 2-y1x 2-x 1.四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图 示五、两条直线垂直与斜率之间的关系对应 关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示名师导学知识点1 直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线2y =-的倾斜角是( ) A ．3πB ．4π C ．6π D ．56π 【分析】利用直线的倾斜角的定义作答．【解答】解：由于直线2y =-([0,))θθπ∈，则tan θ 故它的倾斜角为3π， 故选：A ．【例1-2】（三明期末）已知直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】直接利用直线的倾斜角求出直线的斜率即可．【解答】解：直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率为：tan451︒=．故选：A ．【变式训练1-1】（舟山期末）直线1y x =+的倾斜角是( ) A ．6πB ．4π C ．2π D ．34π 【分析】根据题意，设直线1y x =+的倾斜角为θ，由直线的方程可得其斜率k ，则有tan 1θ=，结合θ的范围即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线1y x =+的倾斜角为θ， 直线的方程为：1y x =+， 其斜率1k =，则有tan 1θ=， 又由0θπ<， 则4πθ=，故选：B ．【变式训练1-2】（钦州期末）直线1y =+的倾斜角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．【解答】解：因为直线1y =+的斜率为k =，所以直线的倾斜角为α，tan α=，所以120α=︒． 故选：C ．【例2-1】（南京期末）若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为( ) A ．23B ．23-C ．32 D ．32-【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得结论．【解答】解：直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为3(3)3132--=---，故选：D ．【例2-2】（玉林期末）已知直线l 过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则(m = )A ．-B ．0C ．D ．【分析】根据条件，由斜率公式得到关于m 的方程，再求出m 的值．【解答】解：设直线l 的斜率为k ，则2tan 3k π==，故m =-． 故选：A ．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为( ) A ．2-B ．12-C ．12D ．2【分析】由题意利用直线的斜率公式，求出结果． 【解答】解：点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为631172-=--， 故选：B ．【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．150︒【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角．【解答】解：一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的斜率为30121-=---， 故该直线的倾斜角为135︒， 故选：C ．知识点3 直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l 的斜率存在,则直线l 斜率的取值范围为 .【分析】分别求出直线AP 和BP 的斜率,再数形结合即可判断. 【解答】直线AP 的斜率k=3+2-2+1=-5, 直线BP 的斜率k=0+23+1=12,因为直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段 相交,所以k l ≥12或k l ≤-5.则直线l 的斜率的取值范围是(-∞,-5]∪[12,+∞).【例3-2】（红桥区期中）已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线，则x = ．【分析】直接利用直线的斜率相等求出结果．【解答】解：已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线， 所以022302(1)32AB BC k k x --==-==---， 解得：52x =-，故答案为：52-．【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.(-∞,-3 ]∪[1,+∞)B. [-3,1]C.[-1,3]D.以上都不对 【分析】分别求出PA 、PB 的斜率结合图形即可求出. 【解答】如图所示,直线PB,PA 的斜率分别为k PB =1,k PA =-3,结合图形可知k≥1或k≤-3. 故选A.【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则2a b -= ． 【分析】三点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，可得AB BC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：三点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上， AB BC k k ∴=，∴111010ba----=--， 化为：21a b -=． 故答案为：1．知识点4 两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).【分析】斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论. 【解答】(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行.(2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2. 又k AM =3-1-1-0=-2≠-1, 则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.【变式训练4-1】（长高一调研）已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论.【解答】当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-m m -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1.知识点5 两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.【分析】(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.【解答】解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-a a -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l （ ） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==-，121k k ∴⋅=-， 12l l ∴⊥. 知识点6 平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.【分析】利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系. 【解答】由斜率公式得k OP =t -01-0=t , k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t,k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t=-1t.所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C . （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．名师导练A 组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线:3l x π=，则直线l 的倾斜角为( )A ．3π B ．2π C ．4π D ．6π 【分析】根据题意，由直线l 的方程分析可得直线l 是与x 轴垂直的直线，据此可得答案． 【解答】解：根据题意，直线:3l x π=，是与x 轴垂直的直线，其倾斜角为2π； 故选：B ．2．（广陵区校级期中）若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是( ) A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒【分析】直接用两点式求直线斜率，然后求倾斜角． 【解答】解：由题可知，直线l 的斜率30130k --==--，设倾斜角为α，则tan 1α=-，135α∴=︒． 故选：A ．3．( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【分析】设此直线的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，已知tan θ=θ． 【解答】解：设此直线的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，tan θ=，60θ∴=︒．故选：B ．4．（郑州期末）过两点(0,)A y ，3)B -的直线的倾斜角为60︒，则(y = ) A ．9-B ．3-C ．5D ．6【分析】首先利用点斜式写出直线方程，然后将点A 的坐标代入求值．【解答】解：由题意知，直线AB 的方程为：3y x +=-． 把0x =代入，得36y +=-． 故9y =-． 故选：A ．5．（银川一中高二月考）已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D【解析】∵由条件知过A (1,1)，B (1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB ⊥CD ，∴k CD ＝0，即23mn -+＝0，得m ＝2，n ≠－3，∴点(m ，n )有无数个．6．（沙坪坝区校级期末）过点(2,1)A ，(,3)B m 的直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，则实数m 的取值范围是( ) A ．02m <B ．04m <<C ．24m <D ．02m <<或24m <<【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围，再由两点求斜率求出AB 所在直线的斜率，得到关于m 的不等式，求解m 的范围，再由2m =时直线的倾斜角为2π，符合题意，则答案可求． 【解答】解：由直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，得直线的斜率存在时，有1k <-或1k >． 又31222AB k m m -==--， ∴212m <--或212m >-， 解得02m <<或24m <<． 当直线的斜率不存在时，2m =． 综上，实数m 的取值范围是(0,4)． 故选：B ．7．（公安县期末）若直线l 经过(2,1)A ，(1B ，2)()m m R -∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．04παB ．2παπ<< C ．42ππα<D ．324ππα< 【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k ，分析可得斜率k 的范围，结合直线的斜率k 与倾斜角的关系可得tan 1k α=，又由倾斜角的范围，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l 经过(2,1)A ，2(1,)B m -，则直线l 的斜率221121m k m +==+-，又由m R ∈，则211k m =+， 则有tan 1k α=， 又由0απ<，则42ππα<；故选：C ．8．（多选）（惠州期末）如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是( )A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论．【解答】解：如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α， 则230k k >>，10k <，故2302παα>>>，且1α为钝角，故选：AD ．9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有( ) A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论轮．【解答】解：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A 正确； 但由于和x 轴垂直的直线倾斜角等于90︒，故它的斜率不存在，故B 错误；若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为不一定是α，如330α=︒时，此时，直线的倾斜角为30︒． 若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α，故D 正确， 故选：AD ．10．（多选）下列命题中正确的为( )A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为1-，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为1-. 【答案】AC【解析】当直线12,l l 斜率12,k k 都存在且两直线不重合时,若12k k =，则12l l //；若121k k =-，则12l l ⊥，可知①③正确,当两条直线均与x 轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误,当两条直线一条与x 轴垂直，一条与y 轴垂直时，两直线垂直，但与x 轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 11．（资阳期末）若过点(4,)A a ，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则a = ． 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得a 的值． 【解答】解：由题意可得33tan 1442a π+=-=-，求得5a =-， 故答案为：5-．12．（宜兴市月考）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为 ．【分析】设直线l 的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，可得tan 1θ=，然后求出θ的值． 【解答】解：设直线l 的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒． tan 1θ∴=，解得45θ=︒．故答案为：45︒．13．（北碚区校级期末）已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 ．【分析】由题意画出图形，分别求出PA ，PB 所在直线当斜率，数形结合得答案． 【解答】解：如图，(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -． 2(1)332PB k --==-，4(1)132PA k --==---． ∴若直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是(-∞，1][3-，)+∞．故答案为：(-∞，1][3-，)+∞．14．（闵行区期末）若直线l 的倾斜角的范围为[4π，)3π，则l 的斜率的取值范围是 ．【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：直线l 的倾斜角[4πθ∈，)3π，则l 的斜率tan [1θ∈． 故答案为：[1．15．已知1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______ 【答案】()10,6-【解析】设(),D x y ，则2131AB k ==-，422033BC k -==--，4CD y k x -=，1AD yk x =- AB CD ∵⊥，//AD BC 411213AB CD AD BCy k k x y k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩，解得：106x y =⎧⎨=-⎩，即：()10,6D - 16．（金凤区校级期末）若三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于 ． 【分析】三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，可得AB AC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上， AB AC k k ∴=，∴11112383b --=---， 即11055b -=-，化为110b -=-． 解得9b =-． 故答案为9-．17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.18．（平遥县月考）已知直线l 过点(1,2)A ，(,3)B m ，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．【分析】设直线AB 的倾斜角为θ，0180θ︒<︒，根据斜率的计算公式分类讨论：1m ≠和1m =，倾斜角与斜率的关系求得直线AB 的倾斜角的取值范围． 【解答】解：设直线AB 的倾斜角为θ，0180θ︒<︒， 由题意知，(1,2)A ，(,3)B m ，当1m =时，直线AB 的斜率不存在，此时90θ=︒； 当1m ≠时，直线AB 的斜率321011k m m -==≠--，所以0θ≠︒， 综上得，直线AB 的倾斜角的取值范围是(0︒，90)(90︒︒⋃，180)︒， 斜率的取值范围是{|0}k k ≠．19．（全国课时练）已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】()()22232tan 45123ABm mk m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．3211216AC n k n --==-+-，解得85n =，∴点2114,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.20．（武城县校级月考）（1）求证：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -三点共线． （2）若三点1(2,3),(3,4),(,)2A B m C m --共线，求m 的值．【分析】（1）求出直线的斜率，证明三点共线即可； （2）根据三点共线，得到关于m 的方程，解出即可．【解答】（1）证明：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -，71221AB K -+∴==--，31201AC K -+==⋯- AB AC K K ∴=又直线AB 与AC 有公共点A ⋯直线AB 与直线AC 为同一条直线即A 、B 、C 设共线 （2）解：题意得直线AB ，AC 的斜率都存在A ，B ，C 三点共线AB AC K K ∴=，即43313(2)(2)2m m ---=----12m ∴=21．（芜湖期末）已知点(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ． （1）若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值． （2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．【分析】（1）由A ，B ，C 三点共线，可得AB BC k k =．利用斜率计算公式即可得出． （2）12AB k =-，1BC k m =-，13AC m k +=-．利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：（1）A ，B ，C 三点共线，AB BC k k ∴=． 即11(1)2115m ---=--， 解得：12m =． （2）12AB k =-，1BC k m =-，13AC m k +=-．若2ABC π∠=，则1(1)12m --=-，解得3m =． 若2ACB π∠=，1(1)13m m +--=-，解得2m =±． 若2CAB π∠=，11()132m +-⨯-=-，解得7m =-． 故2m =±，3，7-．22．（静宁县校级期末）已知(1,1)M -，(2,2)N ，(3,0)P ． （1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ．（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角． 【分析】（1）设(,)Q x y ，根据PQ MN ⊥得出313y x ⨯=--，然后由PN MQ ‖得出121y x +=--，解方程组即可求出Q 的坐标．（2）设(,0)Q x 由NQP NPQ ∠=∠得出NQ NP k k =-，解方程求出Q 的坐标，然后即可得出结果． 【解答】解：设(,)Q x y由已知得3MN k =，又PQ MN ⊥，可得1MN PQ k k ⨯=- 即31(3)3yx x ⨯=-≠-① 由已知得2PN k =-，又PN MQ ‖，可得PN MQ k k =，即12(1)1y x x +=-≠-② 联立①②求解得0x =，1y = (0,1)Q ∴（2）设(,0)Q xNQP NPQ ∠=∠，NQ NP k k ∴=-又22NQ k x=-，2NP k =- ∴222x=- 解得1x = (1,0)Q ∴，又(1,1)M -， MQ x ∴⊥轴故直线MQ 的倾斜角为90︒．23．（孝感期末）已知(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标． 【解答】解：由题，(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C 所以2AC k =，12AB k =-，3BC k =设D 的坐标为(,)x y ，分以下三种情况： ①当BC 为对角线时，有CD AB k k =，BD AC k k =， 所以，125BD y k x -==- 得7x =，y=5.②当AC 为对角线时，有CD AB k k =，AD BC k k =， 所以，331AD y k x -==-- 得1x =-，9y =③当AB 为对角线时，有BD AC k k =，AD BC k k = 所以125BD y k x -==-，331AD y k x -==-- 得3x =，3y =-所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-．B 组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线l 方程为(,)0f x y =，11(P x ，1)y 和22(P x ，2)y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示( )A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线【分析】利用点在直线上推出1(f x ，1)0y =，判断2P 与方程的关系，利用直线的平移，推出结论． 【解答】解：由题意直线l 方程为(,)0f x y =，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =，两条直线平行， 11(P x ，1)y 为直线l 上的点，1(f x ，1)0y =，(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =，化为(f x ，2)(y f x -，2)0y =，显然22(P x ，2)y 满足方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =， 所以(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示过点2P 且与l 平行的直线． 故选：C ．2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3123()x x x x x =<<处的函数值分别为11()y f x =，22()y f x =，33()y f x =，则在区间1[x ，3]x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，131z k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是( )A ．1425 B ．35C ．1625D ．1725【分析】根据题意设()sin y f x x ==，且10x =，22x π=，3x π=，计算对应的1y 、2y 、和3y 的值，求出1k 、2k 和k 的值，代入题目中的二次函数计算即可． 【解答】解：设()sin y f x x ==，且10x =，22x π=，3x π=，则有10y =，21y =，30y =；所以11022k ππ-==-，0122k πππ-==--，224k π=-，由2111212244()()()()f x y k x x k x x x x x x ππ≈+-+--=-+，可得2244sin x x x ππ≈-+，224416sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=． 故选：C ．3．（越城区校级期中）已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．且实数[1m ∈-1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．【分析】分类讨论，当1m =-时，直线AB 倾斜角2πα=；②当1m ≠-时，直线AB 的斜率为11m +，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 【解答】解：①当1m =-时，直线AB 倾斜角2πα=；②当1m ≠-时，直线AB 的斜率为11m +，1[m +∈， 1(1k m ∴=∈-∞+，3[3，)+∞， [6πα∴∈，)(22ππ⋃，2]3π，综合①②知，直线AB 的倾斜角[6πα∈∈，2]3π．。
直线的倾斜角与斜率(优质课)PPT课件
、
的斜率为 k2,求.x,y.的值 .
1.直线的倾斜角的定义 2.直线的斜率的定义
3.两点间斜率公式
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P.89习题3.1 A组 1，2， 3，4，5
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4
y l3 l2 l1
Q
O
P
x
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5
yl
x O
yl
x O
yl
O
x
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0
y
l
x O
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直线的倾斜角
y
l
α o
定义：当直线
l 与x轴相交时， 我们取x轴作为 基准，x轴正向 与直线 l 向上方 向之间所成的角 x α 叫做直线 l 的 倾斜角．
规定：直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
()
()
象限. 象限.
3、已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点直线的倾斜角： （1）A(a,c),B(b,c) （2）C(a,b),D(a,c) （3）P(b,b+c),Q(a,a+c)
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4、 如图 ，已知 A(3,2), B(4,1),C(0,1)，求直
线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角．
蓬街私立中学林葵31117世纪法国数学家笛卡尔有一天躺在床上观察虫子在天花板上爬行位置激发了灵感产生了坐标的概念创立了解析几何
3.1.1 倾斜角与斜率
蓬街私立中学林葵
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17世纪，法国数学家笛卡尔，有一天躺在 床上观察虫子在天花板上爬行位置，激发了灵 感，产生了坐标的概念，创立了解析几何。
直线的倾斜角和斜率
3.1 直线的倾斜角和斜率第一课时 倾斜角与斜率一、知识点回顾知识点1：直线的倾斜角和斜率 （1） 直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角。
它直观描述且表现了直线对x 轴正方向的倾斜程度，取值范围是0180α≤< 。
（2）直线的斜率倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示斜率，即tan (90)k αα=≠倾斜角是90 的直线的斜率不存在。
（3）直线的倾斜角和斜率间的关系直线的倾斜角是从几何角度刻画直线的方向，而斜率tan (90)k αα=≠ 是从代数的角度去刻画直线与x 轴正方向的倾斜程度。
倾斜角为90 时，直线的斜率不存在，但该直线存在且与x 轴垂直，即所有的直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
由斜率公式tan (90)k αα=≠ ，结合正切函数的单调性可知，当090α≤< 时，随着角α的增大，斜率也越来越大，从0增大到+∞，当90180α<< 时，随着角α的增大，斜率也越来越大，从-∞增大到0。
根据斜率求倾斜角，事实上是反三角函数知识的应用，用斜率k 的反正切函数表示倾斜角α时，由于反正切函数的值域是(,)22ππ-，而倾斜角的取值范围是[0,)π，故当 0k ≥时 ，arctan k α=；当0k <时，因tan tan()k απα=--=，又(,)2παπ∈，故arctan()k πα-=-，即arctan k απ=+，斜率不存在时，倾斜角为90 。
知识点2：过两点的直线的斜率公式经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率公式121212()y y k x x x x -=≠- ①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒，应用时要注意直线与x 轴垂直（即12x x =）时，k 不存在，但倾斜角为90 ；②斜率公式表明，直线对于x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，比用几何方法求出倾斜角再求斜率的方法方便；③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用；知识点3：直线的方向向量设111222(,),(,)P x y P x y 为直线上的两点，直线上的向量12P P及与它平行的向量都称为直线的方向向量，当12x x ≠时，直线12P P 的方向向量的坐标也可写为(1,)k ，（其中k 是直线12P P 的斜率），已知直线的方向向量就相当于已知直线的斜率。
知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是［0°, 180°）直线的倾斜角α与斜率k的关系：当α ≠ 90°时，k与a的关系是k = tana； « = 90°时，直线斜率不存在：经过两点P I（X If y1）P=（x=,y=）（χ1≠χ=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kλc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0= ψ-⅞）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式方程为y = kx+b i不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - >,ι v2-西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线• a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：①过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为y≡b②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b；③已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a^④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀GltCM TXπA.—B. —C. —D.——3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan—,c? ∈[0,Λ∙),求α ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + √3>- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当α∈[O,-)f⅛, /r∈[0Λ∞), k随α的增大而增大；2②当QE(Z+s)时，k∈ (-≪>,0) I&随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=--cosθ,故：心亜3 3 一一3当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：0≤α≤兰3 6当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π3 6所以，直线的倾斜角的范围：0≤a≤-和竺SavTr6 6(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数f(x) = a∖{a> O且a≠l),当xVo时,f(x) > 1,方程y = ax +丄表aV点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈ (0,1),从而斜率k∈ (0,1),截距b>∖,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。
直线的倾斜角与斜率)
直线的倾斜角与斜率【知识要点梳理】知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．知识点二：直线的斜率倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．知识点三：斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式..斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由、点的坐标求的值；(2)已知及中的三个量可求第四个量；(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；(4)证明三点共线.知识点四：两直线平行设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.因此，若，则.反之，若，则.知识点五：两直线垂直设两条直线的斜率分别为.若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.【规律方法指导】1．由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．2．直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、大小的判断、求解及直线方程的求解等．3．我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断；4．判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意；5．平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意.【经典例题透析】类型一：倾斜角与斜率的关系已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；类型二：斜率定义已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率类型三：斜率公式的应用求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．类型四：两直线平行与垂直四边形的顶点为，，，，试判断四边形【典例精析】例1．直线123,,l l l 如图所示，则123,,l l l 的斜率123,,k k k 的大小关系为 ，倾斜角123,,ααα的大小关系为 ．1l2l3l例2．已知三点A(1，-1)，B(4，-2)，C (-2,0)，证明A 、B 、C 三点共线．例3．（1）若过原点O 的直线l 与连结P(2,2)，Q(6,23)的线段有公共点，求直线l 的倾斜角和斜率的取值范围．（2）已知实数x ，y 满足y=x 2-2x+2（-1≤x ≤1），求y+3x+2的最大值和最小值．【课堂练习】 （一）、判断正误：①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan . （ ） ②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β. （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率 （ ）④因为平行于y 轴的直线没有斜率，所以平行于y 轴的直线没有倾斜角（ ） （二）选择题1.直线l 经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是( ) A.4π B. 45π C.4π或45π D.－4π2.过点P (－2,m )和Q(m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或43.斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a ,b 的值是( ) A.a =4,b =0 B.a =－4,b =－3 C.a =4,b =－3 D.a =－4,b =34.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) 王新敞A.k ≥43或k ≤－4B.－4≤k ≤43C. 43≤k ≤4D.－43≤k ≤4（三）填空题：5.已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 .6.已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 .7.已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 .8.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 . 9.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 11.已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2为________.12已知直线l 过A (－2,(t +t 1)2)、B (2,(t －t1)2)两点，则此直线斜率为 ,倾斜角为___13.已知两点A (x ,－2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为21，则x =（四）解答题：14.已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)α＝32π； （2）α＝89°； （3）α＝2.15.已知两点A (－3,4)、B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围.16.过P (－1,2)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线的斜率和倾斜角.。
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直线的倾斜角和斜率（通用8篇） 直线的倾斜角和斜率 篇1 教学目标 （1）了解直线方程的概念. （2）正确理解直线倾斜角和斜率概念.理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率. （3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. （4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. （5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 教学建议 1.教材分析 （1）知识结构 本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分体现了解析几何的思想方法. （2）重点、难点分析 ①本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键. ②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受. 2.教法建议 （1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相应的教学过程也有三个阶段 ①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念. ②本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗.再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数 的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计： (1) α变化→直线变化→ 中的 系数 变化 （同时注意 的变化）. (2) 中的 系数 变化→直线变化→α变化 （同时注意 的变化）. 运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中 系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的. ③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备. ④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系.为将来学习曲线方程做好准备. （2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价.倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展.教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价. 教学设计示例 教学目标： （1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. （3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. （4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 教学重点、难点：直线斜率的概念和公式 教学用具：计算机 教学方法：启发引导法，讨论法 教学过程： （一）直线方程的概念 如图1，对于一次函数 ，和它的图像——直线 有下面关系： （1）有序数对（0，1）满足函数 ，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）. （2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足 . 一般地，满足函数式 的每一对 ， 的值，都是直线上的点的坐标（ ， ）； 反之，直线上每一点的坐标（ ， ）都满足函数式 ，因此，一次函数 的图象是一条直线，它是以满足 的每一对x，y的值为坐标的点构成的. 从方程的角度看，函数 也可以看作是二元一次方程 ，这样满足一次函数 的每一对 ， 的值“变成了”二元一次方程 的解，使方程和直线建立了联系. 定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线. 以上定义改用集合表述： ， 的二元一次方程的解为坐标的集合，记作 .若（1） （2） ，则 . 问：你能用充要条件叙述吗？ 答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……. （二）直线的倾斜角 【问题1】 请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同. ； ； 过定点，方向不同. 如何确定一条直线？ 两点确定一条直线. 还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？ 学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度. 【导入 】 今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向. 【问题2】 在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的. 学生：展开讨论. 学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导. 通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向.根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念. 【板书】 定义：一条直线l向上的方向与 轴的正方向所成的最小正角叫做直线 的倾斜角. （教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2） 轴的正方向，（3）最小正角.） 特别地，当 与 轴平行或重合时，规定倾斜角为0°. 由此定义，角的范围如何？ 0°≤α＜180°或0≤α＜π 如图3 至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的. （三）直线的斜率 【问题3】 下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程.然后观察思考： 直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？ 学生：在练习本上画出直线，写出方程. 30° ß--à ＝ 45° ß--à ＝ 135°ß--à ＝ （注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决.） 【演示动画】 观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中 系数变化的关系 (1) 直线变化→α变化→ 中的 系数 变化 （同时注意 α的变化）. (2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化 （同时注意 α的变化）. 教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与 的系数的关系：倾斜角不同，方程中 的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！ 【板书】 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.记作 ，即 . 这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量——斜率. 指出下列： (1) ＝- (2) ＝ tg60° (3) ＝ tg(-30°) 学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？) 画图，指出倾斜角和斜率. 结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况. 注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在. α＝0° ß--à ＝0 0°＜α＜90° ß--à ＞0 α＝90° ß--à 不存在 90°＜α＜180°ß--à ＜0 （四）直线过两点斜率公式的推导 【问题4】 如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 ＝tgα求出直线的斜率； 如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？ 即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率. 思路分析： 首先由学生提出思路，教师启发、引导： 运用正切定义，解决问题. (1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标.） (2)角α是“标准位置”吗？（不是.） (3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量 ，使P1与原点重合，得到新向量 .） (4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1） (5)直线的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2） (6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）.