高中数学《空间向量及其运算》公开课优秀课件
高中人教A版(2019)数学选择性必修第一册第一章1.1《空间向量及其运算》第一课时教案
人教A版2019高中数学选择性必修第一册
1.1《空间向量及其运算》第一课时教案
【教材分析】
本节课选自《2019人教A版高史数学选择性必修策一册》第一课《空间向量与立体几何》，这节课主要学习空间向量及其运算。平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。
【教学目标与核心素养】
教学目标：
1.经历平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念；
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程；
3.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算、运算律及其表示；
4、掌握共线向量定理和共面向量定理
核心素养
1. 通过空间向量有关概念的学习,培养学生的数学抽象核心素养.
⒉.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.
【教学重点】
重点：空间向量的概念与线性运算、理解共线向量和共面向量定理
【教学难点】
难点：空间向量概念的准确把握和熟练掌握空间向量的线性运算.
【教学方法】
讲授法、探究教学法、启发教学法
【教学过程】
一、复习导入：
1、平面向量基本概念
向量-既有大小又有方向 数量-只有大小没有方向的量
零向量 单位向量
有向线段，AB 向量的模，AB
平行向量
共线向量 相等向量
向量的表示
2、平面向量运算
（1）向量加法三角形法则：首尾相接，首尾连向
（2）向量减法的三角形法则:共起点,连终点,指向被减向量
（3）向量加法的平行四边形法则：共起点,对角线
（4）向量的数乘运算：
3、平面向量运算律
（1）加法交换律：abba
（2）加法结合律：()()abcabc
()abcabc
《空间向量及其运算》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《空间向量及其运算》教学设计
1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
重点：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
难点：掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
(一)复习：空间向量的概念及表示；
(二)新课讲解：
1．共线(平行)向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.读作：a平行于b，记作：//ab．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量,(0),//abbab的充要条件是存在实数，使ab(唯一)．
推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量.在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或(1)OPtOAtOB②
当12t时，点P是线段AB的中点，此时1()2OPOAOB③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．
3．向量与平面平行：
如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使pxayb．
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①
上面①式叫做平面MAB的向量表达式．
(三)例题分析： ◆ 教学过程 ◆ 教学重难点
◆ ◆ 教学目标
alPBAO例1．已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC，
试判断：点P与,,ABC是否一定共面？
解：由题意：522OPOAOBOC，
∴()2()2()OPOAOBOPOCOP，
∴22APPBPC，即22PAPBPC，
所以，点P与,,ABC共面．
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义 1.1空间向量及其运算(含解析)
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洪创教育精品文档工作室 1.1
空间向量及其运算
1、空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2、空间向量的有关定理
〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点
〔2〕共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点
3、空间向量的数量积及运算律
〔1〕数量积及相关概念
①两向量的夹角：两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，那么∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，假设〈a，b〉＝π2，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
〔2〕空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
知识梳理 洪创教育精品文档工作室
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题型一 空间向量根本关系
例1 向量,ab互为相反向量，b＝3，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A．ab B．ab为实数0
C．a 与b方向相同 D．||a＝3
【答案】D
【详解】
向量,ab互为相反向量，
那么,ab模相等、方向相反.
0ab.
空间向量及其运算说课稿(2)
1 《2.2空间向量及其运算》
各位评委、各位老师：
大家好！今天我说课的内容是《空间向量及其运算》，选自普通高中课程标准实验教科书湘教版选择性必修第二册第二章.下面我就从说教材、明目标；说教法、明策略；说过程、明意图；说反思、明方向等方面对这节课进行说明.
本节内容是第二章《空间向量与立体几何》的第二节，由于这节课中也包含了章引言的内容.章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算.它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用.本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具.本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的加减法.
新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，学生在高一时就学习了平面向量，能利用平面向量解决平面几何的问题.在平面向量的教学中，我始终注重与实数的类比、数形结合等数学思想方法的渗透，不仅让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.基于此，我将本节课的教学过程分为5个环节：创设情境、引出课题；问题引导、概念类比；例题练习、巩固新知；问题引导、运算类比；总结反思，深化认知；布置作业、应用迁移。其中重点是概念的形成和概念的深化。
首先我通过视频导入提问帮助学生回顾平面向量学习的内容，学习的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的学习做铺垫.通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体
2 的研究方向.概念形成首先我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念，最后师生小结。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 空间向量及其运算
课时分配:
第一课 空间向量及其加减运算 1个课时
第二课 空间向量的数乘运算 1个课时
第三课 空间向量的数量积运算 1个课时
第四课 空间向量运算的坐标表示 1个课时
3. 1.1 空间向量及其加减运算
【教学目标】
1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；
2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；
3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】
点在已知平面内的充要条件。共线、共面定理及其应用。
【教学难点】
对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
【学前准备】：多媒体，预习例题
教学课程
第一课
教学环节 导案/学案 师生互动//随堂测试 备注
一、复习引入 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
空间向量的运算
2.定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
注：（1）空间的一个平移就是一个向量；
（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
（3）空间的两个向量可用同一平面内的两
baABOAOB；baOBOABA；)(RaOP
3．平行六面体：
平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－DCBA它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
高中数学《向量组的线性相关性》课件
高中数学《向量组的线性相关性》课件
1、 引言
在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。
二、 向量组的线性相关性定义
定义：设向量组 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎1,𝛼2,...,𝛼𝑚，如果存在不全为零的数 𝑘1,𝑘2,...,𝑘𝑚，使得
$$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$
则称向量组 𝛼1,𝛼2,...,𝛼𝑚 线性相，否则称向量组 线性无关。
三、 向量组线性相关性的判定
1. 利用定义判定
根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 𝑘1,𝑘2,...,𝑘𝑚 使得 𝑘1𝛼1+𝑘2𝛼2+...+𝑘𝑚𝛼𝑚=0 来判定向量组的线性相关性。
2. 利用秩判定
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 𝑟，则：
• 当 𝑟<𝑚 时，向量组线性相关。
• 当 𝑟=𝑚 时，向量组线性无关。
3. 利用行列式判定
设向量组 𝛼1,𝛼2...,𝛼𝑚 的坐标分别为
(𝑎11,𝑎12,...,𝑎1𝑛),(𝑎21,𝑎22,...,𝑎2𝑛),...,(𝑎𝑚1,𝑎𝑚2,...,𝑎𝑚𝑛)，则* 当 𝑚>𝑛 时，向量组线性相关。 * 当 𝑚=𝑛 时，向量组线性相关当且仅当行列式
∣∣∣∣∣∣𝑎11𝑎12...𝑎1𝑎21𝑎22...𝑎2𝑛............𝑎𝑚1𝑎𝑚2...𝑎𝑚𝑛∣∣∣∣∣∣=0
* 当 𝑚<𝑛 时，向量组线性无关。
四、 向量组线性相关性的性质
1. 零向量组线性相关
2. 包含零向量的向量组线性相关 3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关
教案-1.1 空间向量及其运算
1.1 空间向量及其运算
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算。
平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。
课程目标 学科素养
A.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；
B.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；
C.能运用向量运算判断向量的共线与垂直. 1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直；
2..直观想象：向量运算的几何意义；
3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运算律；
1.教学重点：理解空间向量的概念
2.教学难点：掌握空间向量的运算及其应用
多媒体
教学过程 教学设计意图
核心素养目标 一、情境导学
章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。
二、探究新知
知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.
空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作AB―→，其模记为__________.
空间向量及其运算备课稿
3.1空间向量及其运算（一）
教学目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会
用联系的观点看待事物．
教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
教学方法：讨论式．
教学过程：
Ⅰ.复习引入
［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向；
当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．
空间向量及其线性运算——教学设计
选修2-1 第3章 3.1 空间向量及其线性运算 高中数学教学设计
编写人：卢奇鹏
教学课题 空间向量及其线性表示
课程类型 新授课
课时 1课时
教材分析 本节是本章内容的第一节内容，是在数学4“平面向量”的基础上展开的，本节充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过内比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间。既使相关内容相互沟通，又使学生学习内比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平。
学情分析 学生已经在数学4“平面向量”中接触平面过向量，可引导学生利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过内比，将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间。
教学重点 空间向量的相关概念
空间向量的加减及其运算律，几何意义
空间向量的加减运算在几何体中的应用
教学难点 空间向量的加减及其运算律，几何意义
应用空间向量解决立体几何问题
教学目标 一、知识目标：
①运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程
②了解空间向量的概念
③理解空间向量共线的充要条件
二、能力目标
①掌握空间向量的线性运算及其性质
②利用空间向量知识解决实际问题
三、情感目标
①学生体会内比、归纳、推广、化归等思想方法，感悟数学的美
②促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平。感悟数学对实际生活的作用。
③认识到事物是不断发展的，会用联系的观点看问题。
教学方法 类比、讨论
学法渗透 讨论
教学过程设计
教学步骤 教师活动 学生活动 设计意图
一、复习引入 问：同学们我们已经在必修四第二章学习了平面向量的内容。那么你们还记得什么叫向量吗？又是怎样表示的呢？（提问）
生:既有大小又有方向的量叫向量
3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)
3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)
空间向量及其运算 ( 一 )
教课目标：
1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算 .
2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 ..
教课要点： 空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律 .
教课难点： 用向量解决立几问题 .
讲课种类： 新讲课 .
课时安排： 1 课时 .
教具 ：多媒体、实物投影仪 .
教课过程 ： 一、复习引入：
1. 向量的观点 (1) 向量的基本因素：大小和方向 .
(2) 向量的表示：几何表示法 uuur r r r
AB ， a ；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3) 向量的长度：
即向量的大小，记作｜ a ｜ .
(4) 特别的向量：零向量 a ＝ 0 ｜ a ｜＝ 0.
单位向量 a0 为单位向量 ｜ a0 ｜＝ 1.
(5) 相等的向量：大小相等，方向同样 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2
y1 y2
(6) 平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量 . 记作 a ∥ b . 因为向量能够进
行随意的平移 ( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量 .
2. 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性 质
运算种类 几何方法 坐标方法 运算性质
向 a b b a
量
1. 平行四边形法例 a b ( a b) c a (b c) 的
2. 三角形法例 ( x1 x2 , y1 y2 )
加 uuur uuur uuur
法 AB BC AC
向 a b a ( b)
量 a b uuur uuur
的 三角形法例