平面向量数量积及其应用模长问题-2021跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)
第41题 平面向量数量积及其应用（2）——模长问题
一．题源探究·黄金母题
已知2,5,3abab，求,abab．
【解析】
由2()42(3)2523abab
2()42(3)2535abab
【试题来源】人教版A版必修四第108页习题2.4 A组 第3题．
【母题评析】本题为求向量模长的基本问题，求解思路，可依据完全依据2||aa进行，需要对定义的理解及运算能力是成功解题的关键。
【思路方法】按平面向量的模的定义。
二．考场精彩·真题回放
【2020年全国Ⅰ卷理】设,ab为单位向量，且||1ab，则||ab______________
【答案】3
【解析】因为,ab为单位向量，所以||||1ab
所以222||||2||221ababaabbab，
解得：21ab，
所以222||||2||3ababaabb，
故答案为：3. 【命题意图】本类题主要考查（1）向量模长的计算及向量的数量积运算。（2）数量积的性质运用如：模长、投影、垂直等。
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下．
【学科素养】数学运算
【难点中心】（1）对定义的准确理解和运用是一个难点；（2）由向量数量积定义出发，综合多种条件，求模长，判断垂直等综合问题。
三．理论基础·解题原理
2021年新高考数学专题练习--第6章第2讲 平面向量的数量积及应用
第 1 页 共 6 页 2021年新高考数学专题练习--
第六章 平面向量
第二讲 平面向量的数量积及应用
练好题﹒考点自测
1.[改编题]下列说法正确的个数为 ( )
(1)向量在另一个向量方向上的投影是数量,而不是向量.
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.
(3)由a·b=0可得a=0或b=0.
(4)(a·b)·c=a·(b·c).
(5)两个向量的夹角的范围是[0,π2].
A.2 B.3 C.4 D.5
2.[易错题]已知两个非零向量a与b的夹角为θ,则“a·b>0”是“θ为锐角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.[2019全国卷Ⅱ,5分]已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t),|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
4.[2020全国卷Ⅲ,5分]已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos= ( )
A.-3135 B.-1935 C.1735 D.1935
5.[2020山东,5分]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
6.[2020青岛市质检][多选题]已知向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b的夹角为θ,则 ( )
A.|a|=|b| B.a⊥c
C.b∥c D.θ=135°
7.[2020全国卷Ⅱ,5分]已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k= .
8.[2021合肥市调研检测]已知a=(1,1),b=(2,-1),则向量b在a方向上的投影等于 .
专题3量词的应用跳出题海之高中数学必做黄金100题(原卷版)
第3题 量词的应用
一．题源探究·黄金母题
写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）:p任意两个等边三角形都是相似的；
（2）2000:,220pxRxx．
【试题来源】人教版A版选修1-1，2-1第25页例5．
【母题评析】本题考查了全称命题与特称命题的否定以及真假的判断．作为基础题，全称命题与特称命题的否定以及真假的判断，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】（1）对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
（2）命题p与p真假性恰好相反．
二．考场精彩·真题回放
【2016高考浙江理数】命题“*xn，RN，使得2nx”的否定形式是 （ ）
A．*xn，RN，使得2nx B．*xn，RN，使得2nx
C．*xn，RN，使得2nx D．*xn，RN，使得2nx
【命题意图】本类型主要考查全称的否定．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度一般不大；从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．
【学科素养】数学运算，逻辑推理，数学抽象.
【难点中心】解答此类问题，关键在于熟记全称命题和特称命题的概念，以及全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
三．理论基础·解题原理
考点一 全称命题、特称命题的否定
1．全称量词与全称命题：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
2．存在量词与特称命题：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．含有存在量词的命题，叫做特称命题．
高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题
单选题
1、定义空间两个向量的一种运算𝑎⃑⊗𝑏⃑⃑
=|𝑎⃑|⋅|𝑏⃑⃑
|sin⟨𝑎⃑,𝑏⃑⃑
⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的
有（ ）
A．𝜆(𝑎⃑⊗𝑏⃑⃑
)=(𝜆𝑎⃑)⊗𝑏⃑⃑
B．(𝑎⃑⊗𝑏⃑⃑
)⊗𝑐⃑=𝑎⃑⊗(𝑏⃑⃑
⊗𝑐⃑)
C．(𝑎⃑+𝑏⃑⃑
)⊗𝑐⃑=(𝑎⃑⊗𝑐⃑)+(𝑏⃑⃑
⊗𝑐⃑)
D．若𝑎⃑=(𝑥
1,𝑦
1)，𝑏⃑⃑
=(𝑥
2,𝑦
2)，则𝑎⃑⊗𝑏⃑⃑
=|𝑥
1𝑦
2−𝑥
2𝑦
1|
答案：D
分析：A．按𝜆的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量
的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
A．(𝜆𝑎⃑)⊗𝑏⃑⃑
=|𝜆𝑎⃑||𝑏⃑⃑
|sin<𝜆𝑎⃑,𝑏⃑⃑
>，
𝜆>0时，<𝜆𝑎⃑,𝑏⃑⃑
>=<𝑎⃑,𝑏⃑⃑
>，(𝜆𝑎⃑)⊗𝑏⃑⃑
=𝜆|𝑎⃑||𝑏⃑⃑
|sin<𝑎⃑,𝑏⃑⃑
>=𝜆(𝑎⃑⊗𝑏⃑⃑
)，
𝜆=0时，𝜆(𝑎⃑⊗𝑏⃑⃑
)=0,(𝜆𝑎⃑)⊗𝑏⃑⃑
=0，成立，
𝜆<0时，<𝜆𝑎⃑,𝑏⃑⃑
>=𝜋−<𝑎⃑,𝑏⃑⃑
>，sin<𝜆𝑎⃑,𝑏⃑⃑
>=sin(𝜋−<𝑎⃑,𝑏⃑⃑
>)=sin<𝑎⃑,𝑏⃑⃑
> (𝜆𝑎⃑)⊗𝑏⃑⃑
=−𝜆|𝑎⃑||𝑏⃑⃑
|sin<
𝑎⃑,𝑏⃑⃑
>=−𝜆(𝑎⃑⊗𝑏⃑⃑
)，
综上，A不恒成立；
B．𝑎⃑⊗𝑏⃑⃑
是一个实数，(𝑎⃑⊗𝑏⃑⃑
)⊗𝑐⃑无意义，B不成立；
C．若𝑎⃑=(0,1),𝑏⃑⃑
=(1,0)，𝑐⃑=(1,1)，则𝑎⃑+𝑏⃑⃑
=(1,1)，
<𝑎⃑+𝑏⃑⃑
,𝑐⃑>=0，(𝑎⃑+𝑏⃑⃑
)⊗𝑐⃑=|𝑎⃑+𝑏⃑⃑
||𝑐⃑|sin0=√2×√2×0=0，
2024年高一数学真题汇编(北京专用)平面向量的数量积及其应用(含坐标)5种常考题型归类(解析版)
专题02平面向量的数量积及其应用（含坐标）5种常考题型归类
向量数量积的运算
1．（2023春•西城区校级期中）向量||||2ab，a与b的夹角为3
4，则ab等于()
A．22B．22C．2D．4
【解析】||||2ab，a与b的夹角为3
4，32||||cos22()2242abab．
故选：A．
2．（2023春•西城区校级期中）已知向量a，b
，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上
小正方形的边长为1，则()abc；ab．
【解析】如图建立平面直角坐标系，
所以(2,1)a，(2,1)b
，(0,1)c，
所以(0,2)ab，()2abc，221(1)3ab．
故答案为：2；3．
3．（2023春•东城区校级期中）已知菱形ABCD边长为1，60BAD，则(BDDC
)
A．3
2B．3
2C．1
2D．1
2
【解析】60BAD，
由菱形的几何性质可得：1ABBDDC，,120BDDC
，故111cos1202BDDC
．
故选：D．
4．（2023春•怀柔区校级期中）已知菱形ABCD的边长为a，60ABC，则(DACD
)
A．21
2aB．21
4aC．21
4aD．21
2a
【解析】已知菱形ABCD的边长为a，60ABC，则2211||||cos(180)()22DACDDACDADCaa
．
故选：A．
5．（2021秋•西城区校级期中）在ABC中，90C，4AC，3BC，点P是AB的中点，则
(CBCP
)
A．9
4B．4C．9
2D．6
【解析】在ABC中，90C，则0CBCA
2021届跳出题海之高中数学必做100题64空间垂直关系的证明 (解析版)
1 / 25 2021届跳出题海之高中数学必做100题
第64题 空间垂直关系的证明
一．题源探究·黄金母题
如图，在正方体1111ABCDABCD中，求证：
（1）1BD平面11ACB；
（2）1BD与平面11ACB的交点H是11ACB的重心。
【解析】（1）连接11BD，1111BDAC，
又1DD⊥面1111ABCD，∴111DDAC，
∵1111BDAC，1111DDBDD
∴11AC⊥面1DDB，因此111ACBD．
同理可证：11BDAB，∴1BD平面11ACB．
（2）连接11AHBHCH，，，
由11111ABBBCB，得11AHBHCH．
∴点H为11ABC的外心.又11ABC是正三角形，
∴点H为11ABC的中心，也为11ABC的重心．
【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题．
【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．
【思路方法】两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面或垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．
二．考场精彩·真题回放 HC1D1B1A1CDAB
2 / 25 【2020年全国Ⅰ卷理数】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD．ABC△是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO．
（1）证明：PA平面PBC；
（2）求二面角BPCE的余弦值．
【解析】（1）设DOa，由题设可得63,,63POaAOaABa，
22PAPBPCa.
因此222PAPBAB，从而PAPB.
2021年新高考数学总复习：第六章《平面向量》第3节 平面向量的数量积及其应用(附答案解析)
第 1 页 共 20 页 2021年新高考数学总复习：第六章《平面向量》
第3节 平面向量的数量积及其应用
1．(2020·开封一模)已知向量a＝(m－1，1)，b＝(m，－2)，则“m＝2”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝( )
A．2 B．23
C．3 D．25
3．(2020·唐山质检)若向量a＝tan 67.5°，1cos 157.5° ，向量b＝(1，sin 22.5°)，则a·b＝( )
A．2 B．－2
C.2 D．－2
4．(2020·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A.π3 B.2π3
C.5π6 D.π6
5．(2020·惠州模拟)已知两个非零向量a与b，若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，则a2－b2的值为( )
A．－3 B．－24
C．21 D．12
6．(2020·佛山调研)在Rt△ABC中，AB＝AC，点M、N是线段 第 2 页 共 20 页 AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足PC→＝kBC→，当PM→·PN→取得最小值时，实数k的值为( )
A.12 B.13
C.14 D.18
7．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________．
8．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
9．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD→＝2DC→，AE→＝λAC→－AB→(λ∈R)，且AD→·AE→＝－4，则λ的值为________．
平面向量数量积运算专题(附答案)
平面向量数量积运算
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________.
(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为( )
A.－4＋2 B.－3＋2
C.－4＋22 D.－3＋22
变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝________.
题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角
例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A.π4 B.π2 C.3π4 D.π
(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于π3，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于( )
A.126 B.－126 C.112 D.－112
变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________.
题型三 利用数量积求向量的模
例3 (1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|2a＋b|等于( )
A.2 B.4
C.25 D.6
(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________.
变式训练3 (2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
高考题型精练
1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→等于( )
2021年学年高二数学《平面向量的数量积》练习题及答案题型归纳
2021年学年高二数学《平面向量的数量积》练习题及答案题型归纳
数学是一个要求大家严谨对待的科目，有时一不小心一个小小的小数点都会影响最后的结果。下文就为平面向量的数量积练习题及答案，希望大家认真对待。
一、选择题
1.已知向量
，且
与
B.
D.
，
轴的单位向量，且
等于( ).
A.
C.
，
( ).
A.8 B.4 C.2 D.1
考查目的：考查平面向量加、减法运算的几何意义，以及数形结合思想.
答案：C.
.二、填空题
4.已知
方向相同的单位向量
5.已知：
与
，则 方向上的投影为 .
考查目的：考查平面向量投影的概念与计算.
答案：
的边长为，平面内一点M满足
= .
考查目的：考查平面向量的加、减法运算和平面向量的数量积运算.
答案：-2.
三、解答题
7.已知
，试求实数的值.
考查目的：考查平面向量的数量积运算和平面向量垂直的性质等.
答案：
，
.⑴求
值;
⑵若
共线，求实数
2021高考数学题源探究——平面向量平面向量的数量积及应用举例
平面向量的数量积及应用举例
【考点梳理】
1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
【教材改编】
1．(必修4 P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b为( )
A．103 B．－103
C．10 D．－10
[答案] D
[解析] a·b＝|a|·|b|cos 120°＝5×4×cos 120°＝20×－12＝－10.故选D.
2．(必修4 P107例6改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为( )
A．－4 B．4
C.327 D．－327
[答案] A
[解析] 由a·b＝－2，得
5×(－6)＋(－7)t＝－2， －7t＝28，∴t＝－4，故选A.
3．(必修4 P108A组T6改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
[答案] D
[解析] cos θ＝a·b|a|·|b|＝－632×6＝－32.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6，故选D.
平面向量数量积及其应用-模长问题-高中理科数学精品复习讲义
平面向量数量积及其应用---模长问题I．题源探究·黄金母题
【例1】已知2,5,3ababrrrr，
求,ababrrrr．
【解析】
由2()42(3)2523ababrrrr
2()42(3)2535ababrrrr
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017课标1理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
【答案】23
【解析】222|2|||44||abaabb
4421cos60412
所以|2|1223ab.
秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2ab的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.
【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
【例3】【2016高考新课标1卷】设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,
则m= .
【答案】2
【解析】：由222||||||abab,得ab,所以1120m,解得2m.
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若1122,,,xyxyab,则
1122xyxyab.量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.
【例4】【2017浙江15】已知向量a，b满足1,2,ab则abab的最小值是________，最大值是_______．
【答案】4，25
【解析】设向量,ab的夹角为，由余弦定理有：2212212cos54cosab2212212cosab