六年级线与线之间的关系
数学人教版六年级下册数学思考之点连线问题
数学思考之点连线问题教学目标：1．使学生理解点与点之间连线段的内在联系，归纳点数与所连线段条数之间的关系，掌握正确的计算线段条数的方法，并灵活应用在其他生活实际问题中。
2．让学生经历画图、列表、观察、分析、归纳等过程，掌握思考问题的方式可从最简单的情况入手，进一步发展合情推理能力和问题解决能力。
3．使学生进一步体会数形结合思想，感受数学的魅力，增强数学学习的兴趣。
教学重、难点：重点：掌握点数与所连线段条数之间的关系，掌握正确的计算线段条数的方法，并灵活应用在其他生活实际问题中。
难点：探究点与点之间连线段的内在联系，归纳点数与所连线段条数之间的关系。
学情分析：学生六年来学习了数学广角的内容，这些内容给学生渗透了一些解决问题的策略和数学思想方法。
比如排列组合、集合、等量代换、逻辑推理、统筹优化、数字编码、抽屉原理等等。
学生已有利用画图、列表、观察、分析等方法解决具体问题，并体会转化思想、数形结合思想的经历。
本节课的安排是让学生回顾自己所领会的各种数学思想方法，并能运用数学思想方法化难为易解决问题。
教学过程:一、故事引入，激发兴趣。
1．出示图片。
师：老师给大家带来了你们儿时就知道的故事。
生：曹冲称象。
师：这个故事告诉我们在当时年代想要称大象的重量是一件难事（板书：难），是因为大象太大（板书：大），可是小曹冲将称大象改成称石头，就化大为小，化难为易了（板书：小，易）。
设计意图：运用故事引入本课，初步体会利用化难为易、化繁为简的方法来解决问题。
2.引入课题。
这也是我们学习数学当中很好的一种思想方法，今天就让我们一起走进数学思考的殿堂。
（板书：数学思考）二、自主探究，合作交流。
1．课件出示20个点，师：每两个点能连成一条线段，20个点呢？（课件继续出示点连线的过程，但是非常凌乱）师追问：要解决这个问题你有什么打算？生：把数量减少，并寻找规律。
（教师鼓励运用了化繁为简的思想解决问题）设计意图：将问题从课本的6个点，8个点直接提升难度到20个点，让学生经历凌乱的数线段的过程，制造困难，让学生不得不想到要从简单的问题入手，并尝试有序思考，探寻规律。
六年级数学上册 线段、射线、直线导学案 鲁教版五四学制
六年级数学上册线段、射线、直线导学案鲁教版五四学制1、理解什么是线段、射线、直线。
2、会表示线段、射线、直线。
3、了解两点确定一条直线的事实。
4、培养合作参与、探究目标的能力。
导学指导Ⅰ：自学课本第87页的前三段内容并观察如下几张图片回答：生活中，哪些物体可以近似地看做线段、射线、直线？活动一、观察：（1）绷紧的琴弦、人行横道都可以近似地看做（2）探照灯的灯光给我们以的形象。
（3）向两个方向无限延伸的铁轨给我们以的形象。
发现：你发现直线、射线、线段有什么联系吗？又有什么区别呢？导学指导Ⅱ：1、线段有个端点，射线有个端点，直线有个端点。
2、把“线段”作为最基本的原始概念，试用“线段”填空：①将线段就形成了射线；②将线段就形成了直线。
联系：都是直线的一部分。
区别：类型端点个数延伸方向可否度量线段射线直线导学指导Ⅲ自学课本第87页“议一议”，弄清下列问题：1、线段、射线、直线的画法2、线段、射线、直线的表示方法3、线段、射线、直线的联系与区别活动二、线段、射线、直线的表示方法。
线段射线直线表示方法用大写的(端点)两个字母表示用端点字母和射线上一点表示用大写的(内部)两个字母表示用一个小写字母表示用一个小写字母表示用一个小写字母表示考考你1、下列给线段取名正确的是：( )（A）线段M (B)线段m （C )线段Mn (D)线段mn2、如图，若射线AB上有一点C,下列与射线AB是同一条射线的是( )（A)射线BA (B)射线AC CBAA (C )射线BC (D)射线CB判断下列各题，对的“√”，错的打“”（1）线段有两个端点, 射线有一个端点, 直线没有端点、 ( )（2）线段AB长2000米,射线AB长2000米、 ( )（3）射线比直线短一半、 ( ) （4）线段，射线可以度量长度，直线不能 ( )（5）射线AB 与射线BA是同一条射线()、1、长方体的棱是 _________ ，其特点是有_____个端点。
北师大版六年级数学下册知识点归纳
北师大版六年级数学下册知识点归纳The document was prepared on January 2, 2021圆柱和圆锥一、面的旋转1.“点、线、面、体”之间的关系是：点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。
2.圆柱的特征：（1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。
（2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。
（3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。
3.圆锥的特征：（1）圆锥的底面是一个圆。
（2）圆锥的侧面是一个曲面。
（3）圆锥只有一条高。
二、圆柱的表面积1.沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）。
（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）2.圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝ch。
3.圆柱的侧面积公式的应用：（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch；（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝πd h；（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2πr h4.圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：S表=S侧+2S底或S表=πdh+πd2/2=或S表=2πrh+2πr25.圆柱表面积的计算方法的特殊应用：（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。
（2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。
三、圆柱的体积1.圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。
2.圆柱的体积＝底面积×高。
如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V＝Sh。
3.圆柱体积公式的应用：（1）计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。
（2）已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝πr2h；（3）已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V＝π(d/2)2h；（4）已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V＝π(C/2π)2h；圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。
六年级春季班第16讲：线段的相等与和、差、倍-学生版
AB线段的相等与和、差、倍线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容．重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系，能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线段的中点的意义．另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍，并学会用作图语言描述画法．1、 线段的表示（1）可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点．如图所示： 线段可以用表示端点的两个字母A 、B 表示，记作线段AB ． （2）也可以用一个小写英文字母，如图所示： 线段可以用小写英文字母a 表示，记作线段a ． 2、 线段的大小比较通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”． 线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法．叠合法如下：将线段AB 移到线段CD 的位置，使端点A 与端点C 重合，线段AB 与线段CD 叠合．这时内容分析知识结构模块一：线段的大小的比较知识精讲aaABC图形点B 的位置符号表示情况一点B 在线段CD 上（C 、D 之间）记作：AB < CD（或CD > AB ）情况二点B 与点D 重合 记作：AB = CD情况三点B 在线段CD 的延长线上记作：AB > CD （或CD < AB ）3、 如图，已知线段a ，用圆规、直尺画出线段AB ，使AB = a ． （1）画射线AC ；（2）在射线AC 上截取线段AB = a ．（以点A 为圆心，a 为半径画弧，交射线AC 于点B ） 线段AB 就是所要画的线段．4、 两点之间的距离：联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离． 两点之间，线段最短．【例1】 判断题：（1）在“线段AB ”中，A 、B 分别表示这条线段的两个端点．（ ） （2）“线段AB ”与“线段BA ”指的是同一条线段．（ ） （3）“射线AB ”与“射线BA ”也指同一条射线．（ ） （4）射线AB 的端点是点A 和点B ．（ ）（5）线段AB 和线段CD ，如果点A 和点B 落在线段CD 内，则AB < CD ．（ ）AB C D (B )(A ) A B C D(B ) (A ) A B CD (B )(A ) 例题解析ABC D【例2】过一点可做______条直线，过两点可作_____条直线．【例3】线段有______个端点，射线有______个端点，直线有______个端点，．【例4】如图所示，图中共有______条线段，共有______条射线．【例5】如图所示，图中最短的线段是______，最长的线段是______，点B与线段CD的位置关系是__________．【例6】下列画图画法的语句正确的是（）A．画直线AB、CD相交于点M B．直线AB、CD相交于点MC．在射线OC上截取线段PC = 3厘米D．延长线段AB到点C，使BC = ABABCDABCA BCDABCD【例7】 如图，已知AB < CD ，则AC 与BD 的大小关系是（ ）A ．AC > BDB ．AC = BD C ．AC < BDD ．不能确定【例8】 如图，已知ABC 中，边AB 的长大于边AC 的长，试用圆规、直尺在线段AB 上画出线段AD ，使AD = AC ．【例9】 图中共有几条线段？几条射线？【例10】 如图，已知线段AB 、线段 CD ．利用圆规和无刻度的直尺比较这两条线段的大小．【例11】已知平面上有4个点，无三点共线，请问，这4个点可以构成多少条线段？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？【例12】已知一条直线上有4个点，则以这4个点为端点的线段有多少条？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？【例13】图中共有多少条线段？ab a b1、 线段的和（或差）两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和（或差）． 2、 线段的中点将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．【例14】 如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于a b +； （2）画出一条线段，使它等于b a -．【例15】 如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于2a ； （2）画出一条线段，使它等于2a b -．模块二：画线段的和、差、倍知识精讲例题解析A B C DA BC A BC D A B 【例16】 根据图形填空：（1）AD =______+ BC +______= AC + ______= AB + ______； （2）AB = AD -______；（3）AC = AD -______= BC +______．【例17】 如图，已知点C 是线段AB 的中点，则AC =____AB ，AB = 2____= 2____，12AB =______=______．【例18】 如图，已知点C 是线段AB 的中点，AC = 20，BD = 29，则AB =______，DC = ______．【例19】 线段AB = 2厘米，延长线段AB 至点C ，使得BC = 2AB ，则AC =_____厘米．【例20】 线段AB = 2厘米，反向延长线段AB 至点C ，使得BC = 3AB ，则AC =_____厘米．【例21】 线段AB = 2005厘米，P 、Q 是线段AB 上的两个点，线段AQ = 1200厘米，线段BP = 1050厘米，那么线段PQ =______厘米．【例22】 如图，线段AD = 90厘米，B 、C 是这条线段上的两点，AC = 70 厘米，且13CD BC =，则AB 的长为______．A BA B CD E A B C D E【例23】 如图，已知D 为线段AB 的中点，E 为线段BC 的中点，若AC = 12，EC = 4，求线段AD 的长度．【例24】 如图点A 、B 、C 、D 、E 在同一条直线上，已知AB = a ，AD = b ，CD = c ，CE = d ，用含a 、b 、c 、d 的式子表示BC 、DE 的长．【例25】 两条长度不等的线段，它们的长度和为a ，一条线段的2倍等于另一条线段的3倍，求这两条线段的长度差．（结果用a 表示）【例26】 已知线段AB ，用直尺、圆规作出它的中点C ．A B C DA B C D E【例27】 两条线段的长度分别为6和8，使这两条线段在同一直线上，并有一个端点重合，求这两条线段的中点所确定的线段的长度．【例28】 如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，已知12AC CD =，35AB BD =，求AB : BC : CD ．【例29】 在直线上顺次排列的四个点A 、B 、C 、D 满足AB : BC : CD = 2 : 3 : 4，AB 的中点M 点与CD 的中点N 点的距离是3厘米，求BC 的长．【例30】 如图，线段AB = BC = CD = DE = 1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于多少？ABCD EF【习题1】 用叠合法比较线段AB 与线段CD 的大小，把点A 与点C 重合，当点B 在线段CD 上，则AB ______CD ；若点B 在线段CD 的延长线上，则AB ______CD ；如点B 与点D 重合，则AB ______CD ．【习题2】 把一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是_________________．【习题3】 判断下列语句是否正确：（1）点A 与点B 的距离就是线段AB ；（ ）（2）若线段AM 与线段BM 相等，则M 是线段AB 的中点．（ ）【习题4】 下列各式中不能表达M 为线段AB 中点的语句是（ ）A ．12AM AB = B ．2AB BM = C ．AM BM = D ．AM M B AB +=【习题5】 找出图中的所有线段，并将它们表示出来．【习题6】 已知M 是线段AB 上的一点，点C 是线段AM 的中点，点D 是线段MB 的中点，AM = 8厘米，MD = 2厘米，则BC =______厘米．随堂检测a cb 【习题7】 已知线段AB = 6 cm ，延长AB 到C ，使12BC AB =，反向延长AB 到D ，使14AD BD =，则线段CD = ______cm ．【习题8】 已知线段a 、b 、c ，画出线段AB 使122AB a b c =+-．【习题9】 已知在平面上有10个点，无三点共线，请问这10个点可以构成多少条线段？【习题10】 在直线上有两点A 、B ，它们的距离等于10，在该直线上另有一点P ，P 到A 、B 的距离之和为12，请判断点P 与点A 的位置关系．A B C D【作业1】 下列语句错误的是（ ）A ．线段AB 和线段BA 是同一条线段B ．射线AB 和射线BA 不是同一条射线C ．“延长线段AB 到点C ”与“延长线段BA 到点C ”意义相同D ．直线不能比较大小【作业2】 比较下列各图中线段AB 与CD 的大小．ABC D【作业3】如图，直线上有A、B、C三点，图中共有______条射线，______条线段．【作业4】线段AB =182厘米，点C是线段AB的中点，则线段BC =______厘米．【作业5】延长线段AB至点C，使13BC AB，D是AC的中点，若DC = 2厘米，则AB =______厘米．【作业6】已知线段AB，点D为线段AB的中点，延长线段AB到C，使点B为线段AC的中点，反向延长线段AB到E，使得点A为线段DE的中点，则BC =______AE．【作业7】延长线段AB到C，使AC = 3AB，在AB反向延长线上取一点D，使AD = AB，若E是AB的中点，DE = 7.2 cm，求CD的长．【作业8】如图，已知AE = 14 cm，B为AE上一点，且AB : BE = 3 : 4，C为AE中点，D 为BE中点，求线段CD的长．【作业9】已知A、B、C为一直线上三点，且AB = 10 cm，BC = 20 cm，则AC的长度为多少？【作业10】在直线l上有100个点，以这100个点为端点的线段有多少条？。
北师大版六年级数学下册知识点归纳(1)
圆柱和圆锥一、面的旋转1.“点、线、面、体”之间的关系是：点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。
2.圆柱的特征：（1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。
（2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。
（3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。
3.圆锥的特征：（1）圆锥的底面是一个圆。
（2）圆锥的侧面是一个曲面。
（3）圆锥只有一条高。
二、圆柱的表面积1.沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）。
（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）2.圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝ch。
3.圆柱的侧面积公式的应用：（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch；（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ dh；（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2 rh4.圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，Sd表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这底表示底面积，个圆柱的表面积为：S表=S侧+2S底或S表= dh+d2/2=或S表=2rh+2 r25.圆柱表面积的计算方法的特殊应用：（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。
（2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、圆柱形物体。
三、圆柱的体积1.圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。
2.圆柱的体积＝底面积×高。
如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V＝Sh。
3.圆柱体积公式的应用：（1）计算圆柱体积时，若题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。
（2）已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝ r2h；（3）已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V＝(d/2)2h；（4）已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V＝(C/2 )2h；4.圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。
5.圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。
12册六年级数学《数学思考》点和线的规律(一)
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探究卡
1、连
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2、填
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3、发现
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点
数
●
●
●
增加条数
2 1 3
3 6
4 10
5 15
总条数
8个点连成的线段条数: 1+2+3+ … +7=28 20个点连成的线段条数：1+2+3+ … +19=190
1+2+3+…+9=45次
挑战！
摆一摆，找规律。
…
（1）第6个图形是什么图形？
（2）摆第7个图形需要用多少根小棒？
3+2X6=15
多边形
边数
3 180°
4 360°
5 540°
6 720°
内角和
（1）多边形内角和与它的边数有什么关系？ 多边形内角和＝（边数-2）×180° （2）一个九边形的内角和是多少度？ （9-2）×180°＝1260°
用点连线的规律：
从1开始前（n-1）个连续自然数的和
（即从1开始加起，一直加到比点数 少1的连续几个自然数的和） n个点： 1+2+3+…+（n-1）
同学们，在我们生活中有许多看似复杂 的问题，我们都可以尝试从简单问题去思 考，逐步找到其中的规律，从而来解决复 的问题。
10个好朋友，每2位好朋友握手 1次，大家一共要握手多少次？
本课小结 这节课你有什么收获? 你学会了哪些知识?
2022-2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 第11讲线段的相等与和、差、倍带讲解
第11讲线段的相等与和、差、倍（核心考点讲与练）一．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．二．两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．三．比较线段的长短（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．（3）线段的和、差、倍、分及计算做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．一．线段的性质：两点之间线段最短（共3小题）1．（2022•石家庄模拟）星期日，小丽从家到书店购买复习资料，已知从家到书店有四条路线，由上到下依次记为路线l1、l2、l3、l4，如图所示，则从家到书店的最短路线是（）A．l1B．l2C．l3D．l4【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：∵两点之间线段最短，∴从家到书店的最短路线是l2，故选：B．【点评】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．2．（2021秋•霸州市期末）如图，下列说法不正确的是（）A．直线m，n相交于点P B．直线m不经过点QC．PA+PB＜QA+QB D．直线m上共有三个点【分析】根据三角形的三边关系、结合图形判断即可．【解答】解：A、直线m与直线n相交于点P，本选项说法正确，不符合题意；B、直线m不经过点Q，本选项说法正确，不符合题意；C、在△ABQ中，AB＜QA+QB，∴PA+PB＜QA+QB，本选项说法正确，不符合题意；D、直线m上有无数个点，本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是点与直线的位置关系、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．3．（2021秋•两江新区期末）下列说法中正确的个数有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②倒数等于它本身的数是﹣1、0、1；③不能作射线OA的延长线；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝±3．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义进行判断即可．【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，符合题意；②倒数等于它本身的数是﹣1、1，不符合题意；③不能做射线OA的延长线，只能做射线OA的反向延长线，符合题意；④若|a|＝|b|，则a＝±b，不符合题意；⑤方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝﹣3，不符合题意，正确的个数有2个．故选：A．【点评】本题考查了线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义，熟练掌握各定义是解题的关键．二．两点间的距离（共6小题）4．（2021秋•沂水县期末）已知射线OP，在射线OP上截取OC＝10cm，在射线CO上截取CD＝6cm，如果点A、点B分别是线段OC、CD的中点，那么线段AB的长等于2cm．【分析】根据OC、CD和中点A、B求出AC和BC，利用AB＝AC﹣BC即可．【解答】解：如图所示，∵OC＝10cm，CD＝6cm，点A、点B分别是线段OC、CD的中点，∴AC＝5，BC＝3，∴AB＝AC﹣BC＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线段的和差计算，能准确画出对应的图形是解题的关键．5．（2021秋•和平县期末）在直线MN上取A、B两点，使AB＝10cm，再在线段AB上取一点C，使AC＝2cm，P、Q分别是AB、AC的中点，则PQ＝4cm．【分析】画出大致示意图进行解题即可【解答】解：如图，∵AB＝10cm，P为AB的中点∴AP＝PB＝5cm∵AC＝2cm，∴CP＝3cm∵Q为AC的中点∴QC＝AQ＝1cm∴PQ＝QC+CP＝1+3＝4cm故答案为：4【点评】此题主要考查两点间的距离（线段长度）计算，此类题目，通常利用图形结合进行解题．6．（2019秋•阳谷县期中）已知在数轴上的点A、B、C分别代表﹣2、﹣1.5、2.1这三个数，原点为O．（1）分别求线段OA、BC的长度；（2）求BC的中点D对应的数；（3）求点B关于点C的对称点E对应的数．【分析】（1）根据两点间的距离即可得到结论；（2）根据线段中点的定义即可得到结论；（3）根据中心对称的性质即可得到结论．【解答】解：（1）OA＝|﹣2﹣0|＝2；BC＝|2.1﹣（﹣1.5）|＝3.6；（2）BC中点D对应的数为＝0.3；（3）点B关于点C的对称点E对应的数2.1+[2.1﹣（﹣1.5）]＝5.7．【点评】本题考查了两点间的距离，数轴，正确的理解题意是解题的关键．7．（2021春•浦东新区期末）如图，已知点C在线段AB上，AC＝6，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点．求DE的长．请把下面的解题过程补充完整：解：因为点D是线段AB的中点，所以DB＝AB；因为点E是线段BC的中点，所以BE＝BC；因为DE＝DB﹣BE，所以DE＝AB﹣BC＝AC；因为AC＝6，所以DE＝3．【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．【解答】解：因为点D是线段AB的中点，所以DB＝AB；因为点E是线段BC的中点，所以BE＝BC；因为DE＝DB﹣BE，所以DE＝AB﹣BC＝AC；因为AC＝6，所以DE＝3．故答案为：AB，BC，AB，BC，AC，3．【点评】本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键．8．（2021春•杨浦区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点，且CD＝，若AD＝4，求AB长度．【分析】设CD＝x，则BD＝3x，根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进行计算可得结论．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∵点D是线段AB上一点，且CD＝，∴设CD＝x，则BD＝3x，∴AD＝4x+x＝5x或AD＝3x﹣x﹣x＝x，∵AD＝4，∴5x＝4或x＝4，∴x＝或4，∴AB＝或16．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．9．（2021秋•南丹县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上一点，DB＝BC，若线段AC＝6，则CD＝4．【分析】根据中点的定义可求线段BC＝AC＝6，再根据DB＝BC可求DB，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴BC＝AC＝6，∵DB＝BC，∴DB＝2，∴CD＝BC﹣DB＝6﹣2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．三．比较线段的长短（共4小题）10．（2019春•松江区期末）如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（）A．AC＝CB B．BC＝2CD C．AD＝2CD D．CD＝AB【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案．【解答】解；∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB，故A正确；∵点D是CB的中点，∴BC＝2CD＝2DB，故B正确；∵CB＝AB，BC＝2CD∴CD＝AB，故D正确；∴只有C错误；故选：C．【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义．11．（2020秋•丹阳市期末）点A、B、C在直线l上，AB＝4cm，BC＝6cm，点E是AB中点，点F是BC的中点，EF＝5cm或1cm．【分析】因为A、B、C三点位置不明确，分点B在A、C之间和点A在B、C之间两种情况讨论，①根据中点定义先求出BE、BF的长，BE+BF＝EF；②根据中点定义先求出BE、BF的长，BF﹣BE＝EF．【解答】解：如图，∵AB＝4cm，BC＝6cm，点E是AB中点，点F是BC的中点，∴BE＝AB＝2cm，BF＝BC＝3cm，①点B在A、C之间时，EF＝BE+BF＝2+3＝5cm；②点A在B、C之间时，EF＝BF﹣BE＝3﹣2＝1cm．∴EF的长等于5cm或1cm．故答案为：5cm或1cm．【点评】本题利用线段中点定义，需要分两种情况讨论．12．（2021春•浦东新区月考）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有6条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．13．（2010秋•瑞金市期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置；（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，所以点P在线段AB上距离A的处；（2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ 与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以．【解答】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴点P在线段AB上的处；（2）如图：∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；又AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴，∴．当点Q'在AB的延长线上时AQ'﹣AP＝PQ'所以AQ'﹣BQ'＝PQ＝AB所以＝1；（3）②．理由：当CD＝AB时，点C停止运动，此时CP＝5，AB＝30①如图，当M，N在点P的同侧时MN＝PN﹣PM＝PD﹣（PD﹣MD）＝MD﹣PD＝CD ﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝②如图，当M，N在点P的异侧时MN＝PM+PN＝MD﹣PD+PD＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝∴＝＝当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，＝．【点评】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．四．线段的和差（共4小题）14．（2020秋•柳南区校级期末）如图，已知线段AC＝7cm，AD＝2cm，C为线段DB的中点，则线段AB＝12cm．【分析】根据线段的和差和，线段中点的定义，即可得到结论．【解答】解：∵AC＝7cm，AD＝2cm，∴CD＝AC﹣AD＝5cm，∵C为线段DB的中点，∴BC＝CD＝5cm，∴AB＝AC+BC＝7+5＝12（cm），答：线段AB＝12cm，故答案为：12．【点评】本题主要考查了线段的和差，线段的中点的定义，掌握中点的定义是解本题的关键．15．（2020秋•虎林市期末）如图，C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点，若AB ＝16，CB＝6．线段MN的长．【分析】根据已知条件M是AB的中点，N是CB 的中点，可得MB和BN的长度，根据MN＝MB﹣BN，代入计算即可得出答案．【解答】解：因为M是AB的中点，N是CB的中点，若AB＝16，CB＝6，所以MB＝＝，BN＝，所以MN＝MB﹣BN＝8﹣3＝5．【点评】本题主要考查了两点的距离，熟练应用两点间的距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．16．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，且AB＝BC．（1）若BC＝8，求DC的长；（2）若DE＝6，求AC的长．【分析】（1）根据线段之间的和差关系及线段中点的性质求解即可；（2）结合图形易得AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，再根据线段中点的性质推出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，进而根据线段之间的和差关系求解即可．【解答】解：（1）∵BC＝8，∴AB＝BC＝×8＝6，∴AC＝AB+BC＝6+8＝14，∵点D是线段AC的中点，∴DC＝DA＝AC＝×14＝7；（2）∵AB＝BC，∴AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，∵点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，∴DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，∴DE＝DC﹣EC＝BC﹣BC＝BC＝6，解得BC＝16，∴AC＝×16＝28．【点评】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据线段中点的性质得出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，并且应充分运用数形结合的思想方法，寻找各线段之间的和差关系．17．（2021秋•汝阳县期末）已知在数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧．线段BC的长度为2个单位，线段BC在数轴上移动．（1）如图在（1）中图BC位置情况下，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB＝AB，求此时满足条件的b的值．【分析】（1）由题意可知B点表示的数比点C对应的数少2，进一步用b表示出AC、OB之间的距离，联立方程求得b的数值即可；（2）分别用b表示出AC、OB、AB，进一步利用AC﹣OB＝AB建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）由题意得：9﹣（b+2）＝b，解得：b＝3.5．答：线段AC＝OB，此时b的值是3.5．（2）由题意得：①9﹣（b+2）﹣b＝（9﹣b），解得：b＝．②9﹣（b+2）+b＝（9﹣b），解得：b＝﹣5，答：若AC﹣OB＝AB，满足条件的b值是或﹣5．【点评】本题考查了线段的和差，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的长度是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共7小题）1．（2019春•虹口区期末）已知线段AB，反向延长AB到C，使AC＝AB，AC＝2cm，则BC等于（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．【解答】解：如图，∵AC＝AB，AC＝2cm，∴AB＝6cm，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8（cm），故选：C．【点评】本题考查了两点之间的距离，解决本题的关键是画出图形．2．（2019春•松江区期末）如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（）A．AC＝CB B．BC＝2CD C．AD＝2CD D．CD＝AB【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案．【解答】解；∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB，故A正确；∵点D是CB的中点，∴BC＝2CD＝2DB，故B正确；∵CB＝AB，BC＝2CD∴CD＝AB，故D正确；∴只有C错误；故选：C．【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义．3．（2020秋•罗湖区校级期末）已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么点A与点C之间的距离是（）A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm【分析】由于点A、B、C都是直线l上的点，所以有两种情况：①当B在AC之间时，AC＝AB+BC，代入数值即可计算出结果；②当C在AB之间时，此时AC＝AB﹣BC，再代入已知数据即可求出结果．【解答】解：∵点A、B、C都是直线l上的点，∴有两种情况：①如图，当B在AC之间时，AC＝AB+BC，而AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝AB+BC＝8cm；②如图，当C在AB之间时，此时AC＝AB﹣BC，而AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝AB﹣BC＝2cm．点A与点C之间的距离是8或2cm．故选：C．【点评】在未画图类问题中，正确理解题意很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．4．（2017秋•洪山区期末）已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC＝2BC，在AB的反向延长线上取一点D，使DA＝2AB，那么线段AC是线段DB的（）倍．A．B．C．D．【分析】熟悉线段的概念和定义，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．【解答】解：根据题意：AC＝2BC，得：AB＝BC，又DA＝2AB，则DB＝DA+AB＝3AB，又AC ＝2BC＝2AB．则AC是线段DB的倍．故选：A．【点评】能用同一条线段表示两条线段，从而找到它们的关系．5．（2015春•浦东新区校级月考）下列说法错误的有（）（1）两点之间，直线最短；（2）延长线段AB到C，使得BC＝2AC；（3）画射线AB＝2厘米；（4）在射线AC上截取线段BC＝2厘米．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据两点间的距离，即可解答．【解答】解：（1）应为两点之间，线段最短，故错误；（2）应为延长线段AB到C，使得AC＝2BC，故错误；（3）应为画线段AB＝2厘米，故错误；（4）在射线AC上截取线段BC＝2厘米，正确；错误的有3个，故选：C．【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是熟记两点间的距离．6．（2021秋•江油市期末）把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（）A．两点之间，射线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，直线最短D．两点之间，线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，故选：D．【点评】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．7．（2021秋•八公山区期末）已知线段AB＝60，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段EB＝5，则线段CD的长为（）A．20B．30C．40D．20或40【分析】根据中点的定义求出BC，BD，再由CD＝BC﹣BD或CD＝BC+BD，可得出答案．【解答】解：∵AB＝60，C是AB的中点，∴BC＝AB＝30，又∵E为BD的中点，EB＝5，∴BD＝2EB＝10，∴CD＝CB﹣BD＝30﹣10＝20，或CD＝CB+BD＝30+10＝40．故选：D．【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．二．填空题（共13小题）8．（2021秋•太康县期末）如图，AC＝12cm，AB＝5cm，点D是BC的中点，那么CD＝cm．【分析】首先根据线段的和差求出BC的长，再利用线段的中点可得CD．【解答】解：∵AC＝12cm，AB＝5cm，∴BC＝AC﹣AB＝7cm，∵点D是BC的中点，∴CD＝BC＝cm．故答案为：．【点评】本题考查线段的和差，掌握线段中点的定义是解题关键．9．（2021春•杨浦区期末）若线段AB＝6cm，反向延长AB到C，使BC＝4AC．则AC＝2cm．【分析】先设出AC的长度，然后列出关于AC长度的方程，求出AC即可．【解答】解：设AC的长为x，则：x+6＝4x，解得x＝2，∴AC的长度为2cm，故答案为2．【点评】本题主要考查线段的知识，我们清楚的知道什么是延长，什么是反向延长，还有理解线段的和与差的含义．10．（2019春•黄浦区期末）延长线段AB到C，使BC＝AB＝2cm，则AC＝6cm．【分析】根据BC与AB的关系，可得BC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由BC＝AB，若AB＝4cm，由线段的和差，得AC＝AB+BC＝2+4＝6cm；故答案为：6．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段BC与AB的关系得出BC的长是解题关键，又利用了线段的和差．11．（2021春•宝山区期末）如图，点C、点D是线段AB上的两个点，且AD＝CB，如果AB＝5cm，CD＝1cm，那么BD的长等于2cm．【分析】根据AD＝CB，得出AC＝BD，再根据AB＝5cm，CD＝1cm求出BD．【解答】解：∵AD＝CB，∴AD﹣CD＝CB﹣CD，即AC＝BD，∵AB＝5cm，CD＝1cm，∴BD＝2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键．12．（2020春•浦东新区期末）如图，C、D两点是线段AB的三等分点，点M、N分别是线段AC、BD的中点，则MN＝AB．【分析】由已知可求得MC+DN的长度，再根据MN＝MC+CD+DN不难求解．【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝AB，M和N分别是AC和BD的中点，∴MC＝AC＝AB，DN＝BD＝AB，∴MN＝MC+DN+CD＝AB+AB+AB＝AB，故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．13．（2019秋•崇明区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC 的长4﹣4cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．14．（2020春•嘉定区期末）如图，点C、D是线段AB的三等分点，如果点M、N分别是线段AC、BD的中点，那么MN：AB的值等于．【分析】由已知可求得MC+DN的长度，再根据MN＝MC+CD+DN不难求解．【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝AB，M和N分别是AC和BD的中点，∴MC＝AC＝AB，DN＝BD＝AB，∴MN＝MC+DN+CD＝AB+AB+AB＝AB，∴MN：AB＝，故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．15．（2019秋•东阳市期末）如图，点C在线段AB的延长线上，BC＝2AB，点D是线段AC的中点，AB＝4，则BD长度是2．【分析】先根据AB＝4，BC＝2AB求出BC的长，故可得出AC的长，再根据D是AC的中点求出AD的长度，由BD＝AD﹣AB即可得出结论．【解答】解：∵AB＝4，BC＝2AB，∴BC＝8．∴AC＝AB+BC＝12．∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝6．∴BD＝AD﹣AB＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．16．（2010秋•闵行区期末）已知点P在线段AB上，AP＝4PB，那么PB：AB＝1：5．【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、P三点之间的位置关系，再根据正确画出的图形解题．【解答】解：如图，∵AP＝4PB，那么PB：AB＝PB：（AP+PB）＝PB：5PB，∴那么PB：AB＝1：5．故答案为1：5．【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．17．（2010春•黄浦区校级期末）如图，M是AC的中点，N是BC的中点，则＝2．【分析】根据M是AC的中点，求MC，N是BC的中点，求CN，由MN＝MC+CN求MN与AB的关系，再求比值．【解答】解：∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MC＝AC，CN＝CB，∴MN＝MC+CN＝AC+CB＝AB，∴＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了比较线段的长短．关键是由中点求MC与AC，CN与CB的大小关系．18．（2021秋•大同期末）如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点．若AD＝8，则CE的长为2．【分析】根据线段中点的定义，可得AC＝CD＝DB＝4，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后CE＝AE﹣AC．【解答】解：∵AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点，∴AD＝AC+CD＝8．AC＝CD＝DB＝4，∴AB＝12，AE＝AB＝6，则CE＝AE﹣AC＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．19．（2021秋•滨城区期末）如图，点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是两点之间，线段最短．【分析】依据线段的性质，即可得出结论．【解答】解：点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．20．（2021春•虹口区校级期末）已知直线AB上有一点C，AC＝2AB，如果AB＝3cm，则BC＝3cm 或9cm．【分析】已知直线AB上有一点C，AC＝2AB，有两种可能，一种是C在与B在A的两侧，此时BC ＝AB+AC，由于AC＝2AB，因此，BC＝3AB，AB＝3cm，据此可求出BC；一种是C在与B在A的同侧，此时BC＝AC﹣AB，由于AC＝2AB，因此，BC＝AB，AB＝3cm，据此可求出BC．【解答】解：如图，有两种情况：C在与B在A的两侧时，BC＝AB+AC，由于A＝2AB，因此，BC＝3AB，AB＝3cm，因此BC＝3AB＝3×3＝9（cm）．C在与B在A的同侧，此时BC＝AC﹣AB，由于A＝2AB，因此，BC＝AB，AB＝3cm，因此BC＝AB＝3（cm）．故答案为：9cm或3cm．【点评】本题考查了线段的计算，注意，分类讨论是解题的关键．三．解答题（共3小题）21．（2020秋•丘北县期末）如图，已知点C在线段AB上，且AC：CB＝2：5，AB＝28，若点D是线段AC的中点，求线段BD的长．【分析】根据按比例分配，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得CD的长，最后BD＝CD+BC解答即可．【解答】解：设AC＝2x，BC＝5x，则2x+5x＝28，解得：x＝4，∴AC＝8，BC＝20，∵点D是AC的中点，∴CD＝4，∴BD＝CD+BC＝4+20＝24．【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，一元一次方程的应用，利用按比例分配得出BC和CD的长是解题关键．22．（2021春•杨浦区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点，且CD＝，若AD＝4，求AB长度．【分析】设CD＝x，则BD＝3x，根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进行计算可得结论．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∵点D是线段AB上一点，且CD＝，∴设CD＝x，则BD＝3x，∴AD＝4x+x＝5x或AD＝3x﹣x﹣x＝x，∵AD＝4，∴5x＝4或x＝4，∴x＝或4，∴AB＝或16．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．23．（2021春•浦东新区月考）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有6条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．题组B 能力提升练一．填空题（共8小题）1．（2021春•虹口区校级期末）线段AB被点M分成了1：2两段，同时又被点N分成了3：2两段，MN＝4cm，则线段AB的长为15或60cm．【分析】根据题意M的位置是有两种可能性的，N的位置也有两种可能性，因此需要分4种情况每种情况具体分析才能得出最后的结果．【解答】解：①AM：BM＝1：2，AN：BN＝3：2时（图1），设AM＝x，则BM＝2x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝3：2，∴，∴，∴x＝5cm，∴AB＝15cm．②AM：BM＝1：2，AN：BN＝2：3时（图2），设AM＝x，则BM＝2x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝2：3，∴，∴，x＝20cm，∴AB＝3x＝60cm．③AM：BM＝2：1，AN：BN＝2：3时（图3），设AM＝2x，则BM＝x，则AB＝3x，∵AN：BN＝2：3，∴，∴，∴x＝5cm，∴AB＝15cm．④AM：BM＝2：1，AN：BN＝3：2时（图4），设AM＝2x，则BM＝x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝3：2，∴，∴，∴x＝20cm，∴AB＝60cm，综上，AB＝15或60cm．故答案为：15或60．【点评】本题难点是分类讨论，对于此类题目在进行分类讨论时要做到不重不漏，才能得出正确结果．2．（2021春•奉贤区期末）如图，已知BD＝16cm，BD＝AB，点C是线段BD的中点，那么AC＝32cm．【分析】先由BD＝16cm，BD＝AB知AB＝BD＝40cm，再由点C是线段BD的中点知BC＝BD＝8cm，根据AC＝AB﹣BC求解可得答案．【解答】解：∵BD＝16cm，BD＝AB，∴AB＝BD＝×16＝40（cm），又∵点C是线段BD的中点，∴BC＝BD＝8cm，则AC＝AB﹣BC＝40﹣8＝32（cm），故答案为：32．【点评】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差计算及线段的中点的性质．3．（2021春•浦东新区期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝15cm，，点O是线段AC的中点，则线段OB＝5cm．【分析】由B在线段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝15cm，BC＝AB 代入即可得AB的值，根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．【解答】解：∵AB＝15cm，BC＝AB＝5cm，∴AC＝AB+BC＝15+5＝20（cm）；∵点O是线段AC的中点，∴CO＝AC＝×20＝10（cm），∴OB＝CO﹣BC＝10﹣5＝5（cm）．故答案为：5cm．【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．4．（2020秋•工业园区期末）已知点A、B、C在同一直线上，AB＝12cm，BC＝AC．若点P为AB 的中点，点Q为BC的中点，则PQ＝ 4.5或9cm．【分析】分类讨论点C在AB上，点C在AB的延长线上，根据线段的中点的性质，可得BP、BQ 的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：（1）点C在线段AB上，如图1：∵AB＝AC+BC，BC＝AC，∴AB＝3BC+BC＝4BC又∵AB＝12cm，∴BC＝3cm，∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点，∴PB＝AB＝6cm，QB＝CB＝1.5cm，∴PQ＝BP﹣BQ＝6﹣1.5＝4.5cm；（2）点C在线段AB的延长线上，如：∵AB＝AC﹣BC，BC＝AC，。
《线的认识》教学设计
《线的认识》教学设计教学内容：冀教版小学四年级上册第三单元线和角之直线、射线和线段教学目标：知识与技能：能区分直线、线段和射线，能按要求画指定长度的线段。
过程与方法：结合生活中的实例，经历认识线段、直线和射线的过程。
情感态度与价值观：对周围的事物有好奇心，体验数学与生活的联系，培养初步的空间观念。
教学重点：认识直线、线段和射线，理解他们的区别与联系。
教学难点：直线、线段和射线的区别与联系。
教具与学具：教具：直尺、课件学具：直尺一、导入师：板书：线（生齐读）师：看到“线”这个字眼，你想到了生活中的哪些线？师：线在我们生活中无处不在，有直的，有弯的，今天我们就来研究直直的线。
这节课我们学习线的认识。
（板书：线的认识）二、创设各种情境，让学生感知直线、线段和射线。
观察一组图片，找找生活中的线，把这些线画出来。
（一）认识直线同学们，笔直的线里也有很多学问！1、电脑出示铁轨图，引导学生观察师：图中画的是铁轨，如果把铁轨看作是一条线的话，请同学们来说说这是一条怎样的线？（铁轨很长，笔直的铁轨，一直伸向远方，一眼望不到头。
）2、你能用最简单的线条来表示这种无限延伸的感觉吗？开动小脑筋思考一下，然后把你的想法用水彩笔在纸上画出来。
（学生独立思考并画画。
）3、教师根据学生的回答，在黑板上画一条直线，并介绍直线的特征：像这样直直的，可以向两端无限延伸的线叫做“直线”4、介绍直线的表示方法及读法，现在，老师在这条直线上任意选两点A、B，这时，这条直线就读作：直线AB（或直线BA）。
请你也给自己的直线起个名字。
（生标出：直线BC、或直线CD等等）（二）认识射线（1）好，现在请同学们继续观察屏幕，看你又有什么新的发现。
[演示探照灯]它是直线吗？生活中还有哪些这样的线？（生举例）（2）师：你能把这样的线画出来吗？学生汇报自己的作品。
说说为什么这样画？（有一个端点，另一端无限延长到线叫射线）（3）师：像这样有一个端点，另一端可以无限延伸的线，叫做射线。
北师大版六年级数学下册知识点归纳总结
（北师大版）六年级数学下册知识点归纳总结第一单元圆柱和圆锥1、“点、线、面、体”之间的关系是：点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。
2、圆柱的特征：（1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆，侧面是曲面。
（2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。
（3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。
（4）圆柱是由长方形绕长或宽旋转360度得到的立方体，所以沿高线切割后的切面是长方形。
3、圆锥的特征：（1）圆锥的底面是一个圆，和底面相对的位置有一个顶点。
（2）圆锥的侧面是一个曲面。
（3）圆锥只有一条高。
（4）圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转360度得到的立方体，所以沿高线切割后的切面是等腰三角形。
4、沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）。
圆柱的侧面积=底面周长×高用字母表示为：S侧＝Ch。
圆柱的侧面积公式的应用：（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch；（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝πdh；（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2πrh。
圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：S表=S侧+2S底或S表=πdh+πd2/2 或S表=2πrh+2πr2圆柱表面积的计算方法的特殊应用：（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。
（2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。
5、圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。
6、圆柱体积公式的推导：复习六年级上册圆的面积公式的推导：把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形或长方形。
拼成的平行四边形的底相当于圆周长的一半，高相当于圆的半径；拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
所以：圆的面积=π×半径×半径=π×半径²。
2012年六下数学《毕业总复习--线与角》课件(19)
（平行线间的距离处处相等） 平行线间的距离处处相等）
下面各组直线，互相平行的是（ 下面各组直线，互相平行的是（ B 垂直的是（ 垂直的是（ C ）
）互相
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
判断对错。
１、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。（ 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。（ ）
２、两条平行线间的距离处处相等。 两条平行线间的距离处处相等。 平行线间的距离处处相等 3、如图 、 A
垂足
请你画出一组平行线和一组垂线。 请你画出一组平行线和一组垂线。
平行线间的距离有什么特点？ 平行线间的距离有什么特点？ 距离有什么特点
点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离 点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离 垂线段的长度
哪条是点到直 线的距离？ 线的距离？
由一点到一条直线所引的所有线段中，（ 最短。 由一点到一条直线所引的所有线段中，（ 垂线段 ）最短。
不能度量 不能量 可以度量
线段和射线都是直线的一部分
1、填空。 、填空。
（1）直线上两点间的一段叫做（ 线段 ）。 ）直线上两点间的一段叫做（
（2）把线段的一端无限延长，就得到一条（射线 ）。 ）把线段的一端无限延长，就得到一条（
（3）把线段两端都无限延长就得到一条（ 直线 ）。 ）把线段两端都无限延长就得到一条（
做一做（ 做一做（过直线外一点做 已知直线的垂线和平行线） 已知直线的垂线和平行线）
M
）、什么是角 （1）、什么是角？ ）、什么是角？ 由一点引出两条射线所组成的图形叫做角） （由一点引出两条射线所组成的图形叫做角）
边
顶点 边
（2）角的大小与什么有关？ ）角的大小与什么有关？
（角的大小与两边张开的大小有关，与两边的长短无关） 角的大小与两边张开的大小有关，与两边的长短无关） 两边张开的大小有关 长短无关
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学科教师:
辅导科目：
线与线之间的关系
教学内容
1. 能利用三角尺中的直角，过一点（直线上、直线外）画已知直线的垂线；
2. 认识点到直线的距离，知道直线外一点与直线上一点联结的线段中，垂线段是最短的；
3. 能过直线外一点画出与已知直线平行的直线，能利用有关平行线的经验来判断两条直线是否平行.
问题：你知道哪些路相交成直角的吗?
教法说明：垂直在日常生活中有着广泛的应用，结合学生生活的实际，让学生找出身边的垂直现象。使学生 感受到数学来源于生活，
又服务于生活，两者相互依存。只有当学生体会到这一点，学生才学得兴趣盎然， 对数学充满亲切感。
知识点1 :垂直于互相垂直
观察以下图形，你能够说说直线 a、b之间的关系吗？
授课日期 XX年 XX月 XX日 时间 A / B / C / D / E / F
段
学员姓名:
年级:
动探索
（此环节设计时间在 10-15分钟）
教法说明：通过案例的形式来学习新课内容, 案例1 :观察以下地图 ------- 栖 山——離 ---- 1— 重点要让学生参与到课堂教学中•学科教师应准备一副三角尺
平验校 屋
实
学
*
厚
(£
蹲
当两条直线相交成直角时，这两条直线 互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的 垂线，这两条直线
的交点叫做垂足.
垂直可以用符号"丄”表示.如直线 a和直线b互相垂直，记作 a丄b,读作a垂于b;或记作b丄a,
读作b垂直于a，直线a和直线b的交点0就是垂足.
试一试：
1.线段AB和线段CD互相垂直
A
C ------------------- M -------------- * D
B
记作：AB丄CD , 读作：AB垂直于 CD
或记作：CD _ B, 读作： ____________________________
2.下面图形中哪些是直角？在图中用直角记号标出，哪些线段是互相垂直的？用垂直符号表示。
知识点2:点到直线的距离 案例：下图中，P点到直线I上有多条线段，你知道哪条最短吗?
线段
长度
教法说明：让学生一起来量，并填入右边的表格中。
从直线I外一点P引直线I的垂线，垂足为 B,线段PB的长度叫做点P到直线I的距离。
试一试：量出下图中各点到直线 I的距离
B・
C •
A・
---------------------------------------- I
案例：观察下图，你能发现什么?
上图的长方形中，边 a和c都垂直于边b，像a、c这样垂直于同一条边的两条边，我们说它们是互相 平行的。平行可用符号//表
示。 a与c互相平行，可记作：a // c,读作：a平行于c。或记作：c// a,
读作：c平行于a。
PB
PC
PD
PA
问题1 ：你会画一组平行线吗?
知识点3:平行线之间的距离
教法说明：让学生一起来量，并填入右边的表格中。
两条平行线a，b之间，垂直于这两条平行线的线段 CE最短，我们把这条线段的长度叫做两条平行线
之间的距离。
问题：我们一起来量平行线之间的距离，我们量出的平行线之间的距离有什么关系?
案例1：下图中，两条平行线 a, b之间有很多与
b都相交的线段，你知道哪条最短吗?
B D E G
线段
长度
AB
CD
CE
FG
l的平行线?
r 厂 r
b
平行线之间的距离都是相等的。
精讲提升
(此环节设计时间在 50-60分钟)
例题1:过直线I上的点P画直线I的垂线。
教法指导：(1)三角尺的一条直角边与直线 I重合；
(2) 三角尺直角的顶点与点 P重合；
(3) 沿着三角尺的另一条直角边画一条过点 P的直线.
试一试：过直线|外的点P画直线I的垂线.
I
重合;
P
；
教法说明：(1)三角尺的一条直角边与直线
(2) 三角尺的另一条直角边过点
(3) 沿着三角尺的另一条直角边画一条过点
P
的直线.
说明：例1和试一试在画法上唯一的区别就是；如果点 p直线I上，那么三角尺直角的顶点必须与点 p重合;
如果点p不在直线I上，那么三角足的另一条直角边必须过点 P,在画垂线时还需注意，当按要求重合后一定
要按住三角尺保持三角足不移动再画垂线。
例题2:画直线a的平行线b，使它们之间的距离是 3厘米。
教法说明：可以按以下步骤解答：
(1) 在直线a上任意取一点 A，过点A作直线a的垂线;
(2) 在垂线上量 AB长3厘米；
⑶过点B作AB的垂线b.
⑴
(2) (3)
达标
PK
此环节设计时间在 30分钟左右(20分钟练习+10分钟互动讲解)
1. 量一量，画一画。
(1)先过点P画直线I的垂线；
⑴ ⑵ ⑶
(2) 再过点P画一条平行于直线I的平行线；
(3) 画完后量一量点 P到直线I的
距离，这两条平行线之间的距离是 cm.
P •
---------------------------------------- I
2. 画一画
(1) 过A点作线段BC的垂线；
(2) 过A点作线段BC的平行线.
3
占
筑
铤我的收获
(此环节设计时间在 5-10分钟内)
让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾 过一点(直线
上、直线外)画垂线方法：
点到直线的距离： 过直线外一点画已知直线的平行线方法：
平行线之间的距离：
1.过P点作射线 OA的垂线 m,过P点作射线 0B的平行线n。
B C
3.过B点，画长方形对角线 AC的垂线。
预习思考： 复习四年级第一学期内容，下次
课测试。