七年级数学下册三元一次方程组解法举例课件人教版
活动2 活动
观察方程组： 观察方程组： x + y + z = 12, x + 2 y + 5 z = 22, x = 4 y.
① ② ③
仿照前面学过的代入法，可以把③ 仿照前面学过的代入法，可以把③分 别代入①② 得到两个只含y， 的方程 ①②， 别代入①②，得到两个只含 ，z的方程 5 y + z = 12 6 y + 5 z = 22
活动2 活动
总结： 总结： 解三元一次方程组的基本思路是： 解三元一次方程组的基本思路是：通 代入” 加减”进行消元， 过“代入”或“加减”进行消元，把“三 转化为“二元” 元”转化为“二元”，使解三元一次方程 组转化为解二元一次方程组， 组转化为解二元一次方程组，进而再转化 为解一元一次方程
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
活动3 活动
问题1： 问题 ：解三元一次方程组
3 x + 4z = 7 2 x + 3 y + z = 9 5 x − 9 y + 7 z = 8
活动3 活动
问题2 问题 ：在等式 y = ax + bx + c ＝－1时 ＝ ； 中，当x＝－ 时，y＝0；当x＝2时， ＝－ ＝ 时 y＝3；当x＝5时，y＝60 ． 求a、b、c ＝ ； ＝ 时 ＝ 、 、 的值．
活动1 活动1
三元一次方程组： 三元一次方程组：含有三个相同 的未知数， 的未知数，每个方程中含未知数的项 的次数都是1，并且一共有三个方程， 的次数都是 ，并且一共有三个方程， 像这样的方程组叫做三元一次方程 组．
活动2 活动
讨论:如何解三元一次方程组？ 讨论 如何解三元一次方程组？ 如何解三元一次方程组
活动1 活动1
设1元、2元、5元的纸币分别是x张、 元的纸币分别是 张 y张、 z张，根据题意可以得到下列三个 张 张 方程: 方程: x+y+z=12, + + =12, x+2 +5 =22, +2y+5 +2 +5z=22, x=4y. =
活动1 活动1
把三个方程合在一起写成
ห้องสมุดไป่ตู้
x + y + z = 12, x + 2 y + 5 z = 22, x = 4 y.
活动4 活动
2．甲、乙、丙三个数的和是35， ． 丙三个数的和是 ， 甲数的2倍比乙数大 倍比乙数大5， 甲数的 倍比乙数大 ，乙数的三分之 一等于丙数的二分之一． 一等于丙数的二分之一．求这三个 数．
小结与作业
小结： 小结： 本节内容： 本节内容： 1.三元一次方程组的解法 三元一次方程组的解法； 1.三元一次方程组的解法； 2.解多元方程组的思路――消元 解多元方程组的思路――消元． 2.解多元方程组的思路――消元． 作业：习题8.4 作业：习题
8.4 三元一次方程组解法举例
活动1 活动1 纸币问题
小明手头有12张面额分别是 元 小明手头有 张面额分别是1元、2 张面额分别是 元的纸币， 元、5元的纸币，共计 元，其中 元纸 元的纸币 共计22元 其中1元纸 币的数量是2元纸币数量的 元纸币数量的4倍 币的数量是 元纸币数量的 倍．求1元、 元 2元、5元的纸币各多少张？ 元的纸币各多少张？ 元 元的纸币各多少张
2
活动4 自主练习、 活动 自主练习、巩固新知
1．解下列三元一次方程组 . ．
x − 2 y = −9, 3 x − y + z = 4, (1) y − z = 3, (2) 2 x + 3 y − z = 12, 2 z + x = 47. x + y + z = 6.
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人教版数学七年级下册 8.4 三元一次方程组的解法 课件(共21张PPT)
①与④组成方程组
3x＋4z=7
11x＋10z=35
解这个方程组，得
x= 5
z=−2
把x=5、z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，解得y=
所以
=
=
= −
是这个三元一次方程组的解.
x y 3
y z 5
z x 4
小试牛刀
解方程组
解:
③ - ②，得
三元一次方程组的解法
学习目标
1．熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会
解简单的三元一次方程组．
2．会用三元一次方程组的解法解决实际问题．
新课导入
x 2y 3 ①
解方程组：
2 x y 1 ②
（1）这是几元几次方程组？
二元一次方程组
（2）求解的思想是什么？
消元
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0，
①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
利用三元一次方程组解决实际问题-提高
x y 8
如果方程组 y z 6 的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（
z x 4
3x＋4z=7
11x＋10z=35
解这个方程组，得
x= 5
z=−2
把x=5、z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，解得y=
所以
=
=
= −
是这个三元一次方程组的解.
x y 3
y z 5
z x 4
小试牛刀
解方程组
解:
③ - ②，得
三元一次方程组的解法
学习目标
1．熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会
解简单的三元一次方程组．
2．会用三元一次方程组的解法解决实际问题．
新课导入
x 2y 3 ①
解方程组：
2 x y 1 ②
（1）这是几元几次方程组？
二元一次方程组
（2）求解的思想是什么？
消元
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0，
①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
利用三元一次方程组解决实际问题-提高
x y 8
如果方程组 y z 6 的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（
z x 4
人教版七年级下册数学：8.4 三元一次方程组的解法 课件 (共19张PPT)
b 2．
代入①，得 c=-5
②-①，得a+b=1; ④ ③-①，得4a+b=10; ⑤
因此，
a b
3， 2，
④与⑤
答：a
c 5． 3，b 2，c
5．
消去a可以吗？如何操作？ 可将②-①×4，得
6b 3c 3， ④ 即 2b c 1．
新课导入
小明手头有12张面额分别为1元、2元、
5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数
量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元
纸币各多少张.
问题中含有几个未知数？有几 个相等关系？
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1 元、2元、5元纸币各多少张. 分析： （1）这个问题中包含有 三个相等关系： 1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张， 1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍， 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元. （2）这个问题中包含有 三个未知数： 1元、2元、5元纸币的张数.
再将③-①×25，得
30b 24c 60， 即 5b 4c 10. ⑤
消去b可以吗？如何操作？ 可将 ①×2+②，得
6a 3c 3， ④ 即 2a c 1．
再将 ①×5+③，得
30a 6c 60， 即 5a c 10． ⑤
例：在等式 yax2bxc中，当x1时， y 0；当 x 2时， y 3；当 x 5时，y 60．求 a ，b ，c 的值．
a b c 0, 4a 2b c 3, 25a 5b c 60.
（1）先消去哪个未知数？为什么？ （2）选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
解：根据题意，
七年级-人教版-数学-下册-[课件]第1课时--三元一次方程组的解法(1)
![七年级-人教版-数学-下册-[课件]第1课时--三元一次方程组的解法(1)](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/ab80e663e97101f69e3143323968011ca200f778.webp)
思考
小明手头有 12 张面额分别为 1 元、2 元、5 元的纸币，共计 22 元， 其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍．求 1 元、2 元、5 元纸币 各多少张．
分析：这个问题中含有__3__个相等关系． 1 元纸币的数量＝2 元纸币的数量× 4
解：设 1 元、2 元、5 元的纸币分别为 x 张、y 张、z 张，根据题
①
2x 3y z 9， ② 消去 y 5x 9 y 7z 8. ③
④
关于 x，z 的二元一次方程组
解：②×3＋③，得 11x＋10z＝35．
④
①与④组成方程组
3x 4z 7， 11x 10z 35.
解这个方程组，得
x 5，
z
2.
把 x＝5，z＝－2 代入②，得 2×5＋3y－2＝9，
解这个方程组，得
a b 1， 4a b 10. a 3， b 2.
把
a b
3， 2
代入①，得
c＝－5．
a 3， 因此 b 2，
c 5，
即 a，b，c 的值分别为 3，－2，－5．
三元一次方程组
概念 解法
分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原 等式，就可以得到一个三元一次方程组．
解：根据题意，得三元一次方程组
a b c 0，
①
4a 2b c 3，
②
25a 5b c 60.
③
②－①，得 a＋b＝1；
④
③－①，得 4a＋b＝10．
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
意，可以得到下面三个方程： x＋y＋z＝12，
x＋2y＋5z＝22，
x＝4y． 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个
8.4 三元一次方程组的解法(课件)七年级数学下册(人教版)
所以x=2，y=4，z=10.
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1
2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1
2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
10.4 三元一次方程组的解法课件(共25张PPT) 人教版(2025)数学七年级下册
b=-2，
c=-5.
新知讲解
知识点三
三元一次方程组的应用
幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的
铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿
园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)
食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
（人教版）数学（2025）
七年级
下
第十章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组的解法
学习目标
1.理解三元一次方程组的概念．（重点）
2.能解简单的三元一次方程组．（难点）
情境导入
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入
一元一次方程
二元一次方程组
得方程组
5 x 5 y 10 z 35,
20 x 10 y 10 z 70,
5 x 15 y 5 z 35.
新知讲解
(2)-×4,-,得
5 x 5 y 10 z 35,
10 y 30 z 70, ④
10 y 5 z 0.
通过②+③求出z的值，最后再将y与z的值代入任何一个方
程求出x的值即可.
随堂练习
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ）
A.2
B.3
C.4
D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可通过两个方程相加
得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
c=-5.
新知讲解
知识点三
三元一次方程组的应用
幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的
铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿
园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)
食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
（人教版）数学（2025）
七年级
下
第十章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组的解法
学习目标
1.理解三元一次方程组的概念．（重点）
2.能解简单的三元一次方程组．（难点）
情境导入
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入
一元一次方程
二元一次方程组
得方程组
5 x 5 y 10 z 35,
20 x 10 y 10 z 70,
5 x 15 y 5 z 35.
新知讲解
(2)-×4,-,得
5 x 5 y 10 z 35,
10 y 30 z 70, ④
10 y 5 z 0.
通过②+③求出z的值，最后再将y与z的值代入任何一个方
程求出x的值即可.
随堂练习
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ）
A.2
B.3
C.4
D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可通过两个方程相加
得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
最新人教版初中七年级下册数学【三元一次方程组的解法】教学课件
a = 3, 因此 {b =− 2,
c =− 5.
初中数学
小结
通过这节课的学习，你有什么收获？ 1、含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一
共有三个整式方程，像这样的方程组叫三元一次方程组． 2、解三元一次方程组的基本思想是消元，关键也是消元，我们一定要
根据方程组的特点，选准消元对象，定好消元方案． 3、解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验．
y=2
4把yy += 2y代入+③z⑥=可得1：2, 4y + 2y + 5z = 22.
x = 8, z = 2
它们组成方程组
5y + z = 12, ④ {6y + 5z = 22. ⑤
初中数学
因此，三元一次方程组的解为 答：1元8张，2元2张，5元2张.
x = 8, {y = 2, z = 2.
x + y + z = 23,① {2x + y−z =20,②
③
把④分别代入①②,得2y+z=由22⑤⑤;3⑥y-z组=18成,⑥二元一次方程组,解得{yz
= =
8, 6.
把y=8代入④,得x=8+1=9.
你一定会！
x = 9, 所以原方程组的解是{y = 8,
z = 6.
初中数学
练习2：观察下列方程组的特点，如何消元最简单？为什么？
初中数学
④解一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的未知数的值用“{”合写在一起.
三元一次方程 组
消元 二元一次方程 组
消元 一元一次方程
初中数学
练习1：解三元一次方程组
解:
x + y + z = 23, {2x + y−z = 20,x−y = 1. x−y=1由. 方程③,得x=y+1,④
七年级下册数学课件(人教版)三元一次方程组的解法
x
y
z
6．
③
解：(1) ②×2+③得 x+2y=53.
④
④+①得 x=22.
代入④得 y=15 1 ．代入②得 z= 12 1 ．
2
2
x 22,
∴原方程的解是
y 15 1 , 2
z 12 1． 2
解：(2) ①+②得 5x+2y=16.
④
②+③得 3x+4y=18.
⑤
⑤-④×2得 x=2. 代入④得 y=3.
把 x=2， y=3代入③得z=1.
x 2,
∴原方பைடு நூலகம்的解是
y
3,
z 1.
2. 甲乙丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数
大5，乙数的
1 3
等于丙数的 1
2
，求这三个数.
解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z，
x y z 35,
x 10
则 2x y 5,
②
5x 9 y 7z 8．
③
问 对于这个方程组，消哪个元比较方便？为什么？
方程①只含x、z，因此，可以由②③消去y，得到
的方程可与①组成一个二元一次方程组.
解： ②×3+③，得
11x+10z=35.
④
①与④组成方程组
3x 4z 7， 11x 10z 35．
解得
2
x= 1,
∴原方程组的解为
y
1 2
,
z 3.
3.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2;当x=-1时，
人教版七年级下册数学《三元一次方程组解法》课件
y=-2;当x= 3
2
与x=
1 3
时,y的值相等.求,a，b，c的值.
练习2. 一个三位数，个位、百位上的数字 的和等于十位上的数字，百位上的数字的
7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、 十位、百位上的数字的和是14.求这个三位数.
温故知新
1.一个方程组含有三个未知数，每
个方程中含未知数的项的次数都是1，并
且一共有三个方程，这样的方程组叫做
三元一次方程组
2.基本思路:
消元
消元
三元方程组:
二元方程组
一元方程
例2 在等式 y ax2 bx c中,当x=-1时,y=0;
当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求,a，b，c的值.
分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等
式，就可以得到一个三元一次方程组.
观察三元一次方程组中三个三元一次方 程系数的特点，发现的c系数都是1，先 消去c比较容易.
例2 在等式 y ax2 bx c中,当x=-1时,y=0;
当x=2时,y=3;当xຫໍສະໝຸດ 5时,y=60.求,a，b，c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组. 解这个方程组，得
a- b+c =0
①
a =3
4a+2b+c =3 ② 25a+5b+c=60 ③
b=-2 把 a =3 代入①，得c=-5
b=-2
②－①，得 a + b=1 ④
a =3
③－①，得 4a + b=10 ⑤ 因此 b =-2
④与⑤组成二元一次方程组
c=-5
a + b=1 4a + b=10
七年级-人教版-数学-下册-[课件]第2课时--三元一次方程组的解法(2)
类型一、一般型三元一次方程组的解法
2．解三元一次方程组
x 2 y 4z 12，
①
3x 2 y z 1，
②
4x z 7.
③
解：由③，得 z＝4x－7．
④
把④代入①，得 17x－2y＝40． ⑤
把④代入②，得 7x＋2y＝8．
⑥
类型一、一般型三元一次方程组的解法
⑤与⑥组成方程组
177xx22yy84. 0，解这个方程组，得
x
y
2， 3.
把 x＝2代入④，得 z＝1．
x 2，
所以原方程组的解是
y
3，
z 1.
类型二、轮换型三元一次方程组的解法
3．解三元一次方程组
x y 3，
①
y
z
5，
②
z x 4.
③
分析：先将①②③相加，并适当整理所得方程，再分别减去①② ③，就可以得到原方程组的解．
类型二、轮换型三元一次方程组的解法
x 9，
所以原方程组的解是
y
12，
z 15.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 一般型三元一次方程组的解法
三元一次方程组的解法
轮换型三元一次方程组的解法
连等型三元一次方程组的解法
类型一、一般型三元一次方程组的解法
1．解三元一次方程组
x y z 26，
①
x y 1，
②
2x z y 18.
③
解：由②，得 x＝y＋1．
④
把④代入①，得 2y＋z＝25． ⑤
把④代入③，得 y＋z＝16． ⑥
类型一、一般型三元一次方程组的解法
⑤与⑥组成方程组
2y
y
z
z 25， 16.
人教版七年级数学下册8.4三元一次方程组的解法课件(21张PPT)
x 4 y.
③
对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？
将③代入①②，得
4y y z 12， 用的是什么消元方法？还 4y 2y 5z 22． 有什么方法？
即
5y z 12， 6y 5z 22．
如何用加减消元法解这个方程组？
x y z 12，
解决问题
x y z 12， x 2 y 5z 22， x 4 y． 如何解这个三元一次方程组呢？
（1）二元一次方程组是如何求解的？ （2）三元一次方程组可不可以用类似的方法 求解？
x y z 12， x 2 y 5z 22，
① ②
①
解方程组
x+y+z=2, x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
解法一：消去y
①＋②，得 2x+2z=2
xz 1 ④
x-z = 4 ③
xz 1 ④
2. 化“二元”为“一元” 。
①
x+y+z=2,
x-y+z=0,
1课堂小结
（1）三元一次方程组的概念是什么？ （2）如何解一个三元一次方程组？
（3）三元一次方程组的解题思路是什么？
2.知识延伸：
在等式 y=ax2＋ ＋c中,当x=-1 时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求 a,b, c 的值. 作业：
教科书第106页练习 第1题第(1)小题． 习题8.4 第1题、第2题第(1)小题．
②
解法二：消去x x-z=4.
③