人教版八年级数学上册 第十五章 章末复习与小结
例 解方程： 1 1 1 1 . x4 x7 x5 x6
解：移项，得
1 x+4
-
1 x+5
=
1 x+6
-
1 x+7
两边分别通分,得
（x+5）-（x+4） （x+4）（x+5）
=
（x+7）-（x+6） （x+6）（x+7）
1 （x+4）（x+5）
1 = （x+6）（x+7）
专题选讲—— 分式方程的解法
3 2
经检验，x=-
3 2
是原分式方程的解.
专题选讲—— 分式方程的解法
类型一 分式方程的解法
练一练：解分式方程：
x
x 1
2x x2
1 1
1
解：方程两边都乘以（x-1）（x+1）
得x（x+1）-2x+1=x2-1
解得x= 2 经检验，x= 2 是原分式方程的解.
专题选讲—— 分式方程的解法
类型二 特殊的分式方程的解法
例
已知关于x的方程
x 2 m x3 x3
有一个正数解，求m
的取值范围.
解：方程两边同乘x-3,去分母,得
x-2（x-3）=m
整理,得x=6-m. ∵ x>0, ∴ 6-m>0,
x-3≠0,
6-m-3≠0,
解得m<6且m≠3,
∴当m<6且m≠3时,原方程有一个正数解.
重难突破 1 分式方程的解法
例1 （4分）解方程： 3 1 1. 2x 2 x 1
专题选讲—— 分式的化简与求值
类型一 分式的运算
例 计算：
（1） x x 4x ； x2 x2 x2
解：原式=
(x-2)x-(x+2)x ÷ 4x
(x-2)(x+2)
x-2
=
4x
÷ 4x
(x-2)(x+2)
x-2
=
4x
× x-2
(x-2)(x+2)
4x
1 =
x+2
专题选讲—— 分式的化简与求值
类型一 分式的运算
例 计算：
（2） 2a a 1
2a a2
4 1
a
2
a
2 2a
1
.
解：原式=
2a a+1
-
2(a-2) (a+1)(a-1)
×
(a-1)2 a-2
= 2a a+1
- 2(a-1) a+1
=2 a+1
专题选讲—— 分式的化简与求值
类型一 分式的运算
练一练：计算：
a 2 5 • 2a 4
解：方程两边都乘以2（x+1），得3+2＝2（x+1），（1分） 解得x＝1.5. （2分）
检验：当x＝1.5时，2（x+1）≠0，（3分） 所以，原分式方程的解为x＝1.5. （4分）
重难突破 2 分式方程的应用
例2 （8分）A，B两地相距150 km，乙车从A地开出 30 min后，甲车也从A地出发，结果两车同时到达B 地.已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，求甲、乙两车 的速度.
类型二 特殊的分式方程的解法
例 解方程： 1 1 1 1 . x4 x7 x5 x6
∵两个分式分子相同,分式值相同,则分式分母相同,
∴（x+4）（x+5）=（x+6）（x+7）.
化简得 x2+9x+20=x2+13x+42,
即-4x-22=0，解得x=-
11 2
检∴验x=：-121当x是=-原121分时式,方（程x+的4）解（. x+5）（x+6）（x+7）≠0,
专题选讲—— 分式方程的解法
类型三 含有字母系数的分式方程 例 解关于x的方程： 1 a 1 b （a≠b）.
axbx
解：方程两边都乘以abx 得bx+a2b=ax+ab2 解得x= ab
经检验，x= ab是原分式方程的解.
专题选讲—— 分式方程的解法
类型四 解含有字母系数的分式方程中的隐含条件
重难突破 2 分式方程的应用
解：设乙车的速度是x km/h，则甲车的速度是1.2x km/h，（2分）
根据题意得 150 x
- 150 1.2x
=
1 2
，（4分）
方程两边同乘6x，得900-750=3x， 解得x＝50. （6分）
检验：当x＝50时，6x≠0. （8分）
所以，原分式方程的解为x＝50，则1.2x＝60.
解：方程两边都乘以2（x-2）
得3-2x=x-2
解得x=
5 3
经检验，x=
5 3
是原分式方程的解.
专题选讲—— 分式方程的解法
类型一 分式方程的解法
例 解分式方程：
（2）1
2x 3 2x 1
8 4x2 1
；
解：方程两边都乘以（2x-1）（2x+1）
得 4x2-1-（2x+1）（2x+3）=8
解得x=-
x-1 3x+2
=（3x+62x）+（10x+1）
当x=2时，原式=
12+10 24
=
11 12
专题选讲—— 一练：先化简，再求值：1
，
x
3
2
x 1 x2 2x
x
x 1
解：其原中式x满=足xxx++22-2-x3-1=×0.x（xx-+12） -
x x+1
a2 3a
· （a+2）（a-2）-5 2（a-2）
解：原式=
a-2
3-a
· = （a+3）（a-3） a-2
2（a-2） 3-a
=-2a-6
专题选讲—— 分式的化简与求值
类型二 分式的化简求值
例 先化简，再求值：
其中x=2.
6 x 1
x
4 2
1
3x 2 x 1
，
解：原式=
（6x（-1x）+1（）x++41）×
答：甲车的速度为50 km/h，乙车的速度为60 km/h.（7分）
课后习题
双休作业：分式的有关概念与计算 P110 双休作业：整数指数幂与分式方程 P119 综合训练：第十五章 分式 P95 综合检测：第十五章 分式 P145（活页）
练一练：已知 x y z 0 ，求 3x y z 的值.
347
y
解：∵
x 3
=
y 4
=
z 7
≠0
∴设
x 3
=
y 4
=
z =k 7
则x=3k，y=4k，z=7k.
原式=
3×3k+4k+7k 4k
=5
专题选讲—— 分式方程的解法
类型一 分式方程的解法
例 解分式方程：
（1） 3 x 1 ； 2x 4 x 2 2
= x-
x x+1
= x2 x+1
∵x2-x-1=0,∴x2=x+1.∴原式=1.
专题选讲—— 分式的化简与求值
类型三 求分式值的特殊方法
例
已知a2-a+1=2，求
a2
2
a
a
a2
的值.
解：∵a2-a+1=2,∴a2-a=1，a-a2=-1.
∴原式=2-1=1
专题选讲—— 分式的化简与求值
类型三 求分式值的特殊方法
第十一章 三角形
章末复习与小结
知识网络 专题选讲
重难突破 课后习题
知识网络
类比分
类比分
数性质
数运算
列式
分式
分式基本 性质
分式的 运算
实际问题
目标
列方程
去分母
分式方程
目标
整式方程
解整式方程
实际问 题的解
检验
分式方程
的解
整式方程的解
专题选讲 本章专题索引
方法专题14 分式的化简与求值 P109
方法专题15 分式方程的解法 P118
人教版八年级上册数学 第十五章 分式实际应用题 综合复习练习题(含答案)
人教版八年级上册数学第十五章分式实际应用题综合复习练习题
1．某装修工程，甲、乙两人可以合作完成，若甲、乙两人合作4天后，再由乙独作12天可以完成，已知甲独作每天需要费用580元．乙独作每天需费用280元．但乙单独完成的天数是甲单独完成天数的2倍．
（1）甲、乙两人单独作这项工程各需多少天？
（2）如果工期要求不超过18天完成，应如何安排甲乙两人的工期使这项工程比较省钱？
2．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？
3．新冠肺炎疫情爆发之后，全国许多省市对湖北各地进行了援助，广州市某医疗队备好医疗防护物资迅速援助武汉．
第一批医疗队员乘坐高铁从广州出发，2.5小时后，第二批医疗队员乘坐飞机从广州出发，两批队员刚好同时到达武汉．已知广州到武汉的飞行距离为800千米，高铁路程为飞行
距离的倍．
（1）求广州到武汉的高铁路程；
（2）若飞机速度与高铁速度之比为5：2，求飞机和高铁的速度．
4．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等．
（1）甲、乙二人每小时各做零件多少个？
（2）甲做几小时与乙做4小时所做机械零件数相等？
5．小明准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少6元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．（1）求这种笔和本子的单价各是多少？
（2）小明准备用自己的180元压岁钱购买这种笔和本子，计划180元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．。
人教版八年级数学上册第十五章分式方程解轮船顺逆水航行问题
100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流 速为多少？
路程（千米）
速度（千米 / 时） 时间（小时）
顺水航行
逆水航行
时间
48 x4 48 x4
等量关系：顺流用时 + 逆流用时 =5 （小时）
例 2 轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时
间相等，已知水流速度为 2 千米／时，求船在静水中的速度。
分析：此题的等量关系很明显：顺水航行 30 千米的时间 = 逆水中航行 20
30千米
20千米
千米的时间，即
=
．设船在静水中的速度为 x 千米
顺水航行速度 逆水航行速度
／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题
可解决．
解： 设船在静水中速度为 x 千米／时，则顺水航行速度为 ( x 2) 千米／时，
逆水航行速度为 (x 2) 千米／时，依题意，得
30 20
=
，解得 x 10 ．
7 、小芳在一条水流速度是 0.01m/s 的河中游泳，她在静水中游泳的速度是 0.39m/s, 而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是 60m, 求她从出发点到小艇来 回一趟所需的时间。
8、志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来 回一趟大约用了 2.5min ，假设当时水流的速度是 085m/s ，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？
9、一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米 / 时，它沿江以最大航速顺流航 行 100 千米所用的时间与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等， 问： 江水的流速为多少？设江水的流速为 x 千米 / 时，则可列方程
人教版八年级数学上册《章末复习》ppt教学课件
结合本章知识结构图，思考以下问题： （2）通过本章的学习，说一说证明线段相等和角
相等的方法有哪些？
回忆全等三角形、角平分线的性质和判定 的作用．
典例精析 ①巧添辅助线构造全等三角形 例1 如图，在△ABC中，AB =12，AC =8，
AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.
解：延长AD至E，使AD = DE，连接BE，CE.
A.AB = BF
B.AE = ED
C.AD = DC D.∠ABE =∠DFE
综合应用 2.如图，AB = CD，AD = BC，O为BD上任
意一点，过O点的直线分别交AD，BC于M、N点. 求证：∠1 =∠2.
证明：在△ABD和△CDB中，
AB CD，
AD
CB，
BD DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS）.
知识梳理
推进新课
请同学们回答下列问题：
（1）你能举出实际生活中运用全等形的例子吗？ （2）举例说明全等三角形有什么性质？ （3）从三角形的三条边对应相等、三个角对应相 等中任选三个作为条件，可组合出几种情况？哪些 能判定两个三角形全等？两个直角三角形全等的条 件是什么？
请同学们回答下列问题：
（4）学习本章后，你对角平分线有了哪些新的认 识？对比角平分线的性质和判定，它们有何 异同？你能用全等三角形证明角平分线的性 质和判定吗？
课后反思
1、同学们，今天你学到了什么？ 和同桌说说这节课你有什么收获。
2、师生共同总结反思学习情况。
课后反馈总结 布置作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
人生格言：
我们要知道别人能做到的事，只要自己有恒心，坚持努力， 就没有什么事是做不到的。在我们心里必须懂得： 1. 人生想学习一点东西，就应该先学会谦逊。 3. 没有伞的孩子必须努力奔跑。 4. 你不勇敢，没人替你坚强。 5. 好学而不勤问非真好学者。 6. 形成天才的决定因素应该是勤奋。 7. 一分耕耘，一分收获。一艺之成，当尽毕生之力。 8. 虚心使人进步，骄傲使人落后，我们应当永远记住这个真理。 9.读书不知要领，劳而无功。
新人教版八年级上数学第十五章分式复习学案
1人教版八年级上数学第十五章分式 第 课时 分式复习学案 （总第 课时）一、基础知识和基本概念1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
（分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零）2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
C B C A B A ∙∙= （0≠C ） )0(≠÷÷=C CB CA B A3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则:分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
bdacd c b a =⨯分式除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
bcadc d b a d c b a =⨯=÷分式乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方。
n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛分式的加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
cba cbc a ±=±异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减bdbcad d c b a ±=±混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程；(4)验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
人教版八年级数学上册 第十五章分式 单元说课课件(共53张PPT)
2.八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车 先走，过了t min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．
已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．
设计意图：引导学生总结发现等量关系关键词：完成、比、是、倍等。 通过探究不同的实际问题，提高思考、解决问题的能力。
说教法学法
说教法学法
情境教学：
设置问题，创设 情境为主线。
类比学习法：
比较分数和分数 的基本性质，来 学习本章知识， 体会数式通性。
多媒体教学：
利用Flash动画展 示形象直观
小组合作法：
进行小组形式探究 性学习活动，灵活 运用自学、对学、 群学多种学习分 式，提高合作能力 和学习意识。
说教学过程
先进行因式分解
设计意图：通过练习的形 式，使学生突破约分中出 现的难点。
通分的重难点：找各分母的最简公分母
约分和通分
合作探究
找公因式和找最简公分母的相同点和不同点？
约分和通分
找公因式的方法： 1、系数（各系数 的最大公约数）
2、字母（各式中 共有的字母）
3、指数（找相同 字母的最低指数）
类比
找最简公分母的方法：
通过上面两个题型处理方式的对比，使学生加深对无解和增根两个概念的理解
重难点突破五： 分式方程的应用
工程
A
行程
B
水流
C
其他
D
例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总 工程的 1 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.
3
哪个工程队的施工速度快？
审
1
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 x .
人教版数学八年级上册15.2.1：分式的乘除法课件
分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
(2)12xy8x2y 5a
解：原式
12xy 5a
8
1 x2
y
12xy 5a 8x2 y
3 10 ax
巩固 练习
(3) xy yx ; xy xy
解：原式 x y -(x y) ; xy xy
(x y)(x y) (x y)(x y)
分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
一定要注意符号变化呦！
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行
3a16b 分 的乘法法则：
解：原 式 分 的乘法法则：
2
4b9a （3）因式分解在分式乘除法中的应用；
思考：类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。
2 分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
4 xy （3）因式分解在分式乘除法中的应用； 当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行 2
3 3 分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
6 x y 分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行
分 的乘法法则：
（3）因式分解在分式乘除法中的应用；
4xy 分 的除法法则：
解：原 式 （2）运用法则时注意符号变化；
（3）因式分解在分式乘除法中的应用；
3
3y2x （1）分式的乘除法法则；
当分子分母是多项式时，先分解因式便于约分的进行
分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分 乘分 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
最新人教版八年级数学上册《章末复习》教学教案
章末复习一、复习导入1.导入课题：轴对称的知识在日常生活中应用得非常广泛，我们通过本章的学习已经了解到轴对称的相关知识，这节课我们对轴对称的知识进行系统的复习.2.复习目标：(1)认识生活中的轴对称；(2)掌握轴对称的性质；(3)熟知等腰三角形和等边三角形的性质和判定.3.复习重、难点：重点：轴对称的性质.等腰三角形和等边三角形的性质和判定.难点：运用轴对称寻求“最短路径”的方法.二、分层复习1.复习指导：(1)复习内容：复习教材第58页到第93页的内容.(2)复习时间：10分钟.(3)复习方法：看书、整理、记录、反思以前学习得失.(4)复习参考提纲：知识回顾：请你带着下面的问题，复习一下全章的内容：①你能举出一些实际生活中轴对称应用的例子吗？衣架，房梁，风筝，飞机.②成轴对称的两个图形有哪些特点？“轴对称”与“成轴对称”有何区别？成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够完全重合，轴对称是指单一图形，成轴对称是指两个图形.③在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？关于x轴对称，对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，对称点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.④利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形的知识进行证明吗？性质一：等腰三角形的两个底角相等.性质二：等腰三角形“三线合一”.⑤等腰三角形和等边三角形之间有什么联系和区别？等边三角形有哪些特殊的性质？等边三角形是特殊的等腰三角形.等边三角形三条边相等，三个角相等且都为60°，等边三角形每条边上都具有“三线合一”.⑥在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变换变“折线”为同一直线上.2.自主复习：同学们可结合复习指导进行复习.3.互助复习：(1)师助生：①明了学情：通过本章的学习，了解学生基础知识的缺失，加深运用知识的准确性和灵活性的思想方法的掌握程度.②差异指导：引导学生系统整理知识结构，查找遗漏，指导运用.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化复习：(1)归纳全章重点知识及要点.(2)填空：图形名称等腰三角形等腰梯形长方形等边三角形正方形圆圆环对称轴条数1 1234 无数无数1.复习指导：(1)复习内容：解答参考提纲中的例题.(2)复习时间：10分钟.(3)复习方法：独立尝试解决问题，注意所学知识的灵活运用.(4)复习参考提纲：①巧借轴对称知识解决生活中的实际问题.例1：小华在镜中看到身后墙上的钟，钟面上显示的时刻为8:45，那么此时的实际时间是多少？解：此时的实际时间是3：15.②灵活地运用等腰三角形的性质与判定进行计算与证明例2：在△ABC中，AB=AC,在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G，求证：EG=FG.证明：如图作FD∥BE交BC的延长线于点D.则∠B=∠D.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.又∠ACB=∠FCD，∴∠D=∠FCD，∴FC=FD，又BE=CF，∴BE=DF.在△BEG和△DFG中，∠B=∠D，∠BGE=∠DGF，BE=DF，∴△BEG≌△DFG （AAS）.∴EG=FG.(引导学生回顾证明线段相等的方法，注重“AB=AC”这个条件的作用)③巧借等腰三角形的性质与判定解决探究题.例3：如图，点O到△ABC的两边AB、AC所在的直线的距离相等，且OB=OC.图1 图2(1)如图1，若点O在边BC上，求证AB=AC；(2)如图2，若点O在△ABC内部，求证AB=AC；(3)若点O在△ABC外部，AB=AC成立吗？请画图表示.解：（1）证明：(1)连接AO，∵点O到AB，AC的距离相等，∴AO是△ABC的角平分线.∴∠BAO=∠CAO.∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠BEO=∠CFO=90°.在Rt△BEO在Rt△CFO中，OB=OC，OE=OF，∴Rt△BEO≌Rt△CFO (HL).∴∠B=∠C.∴AB=AC.(2)作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，则∠BEO=∠CFO=90°.在Rt△BEO和Rt△CFO中，OB=OC，OE=OF，∴Rt△BEO≌Rt△CFO(HL).∴∠ABO=∠ACO.连接AO,∵OE=OF，则AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠CAO.在△ABO和△ACO中，∠BAO=∠CAO，∠ABO=∠ACO，AO=AO，∴△ABO≌△ACO (AAS).∴AB=AC.(3)成立，如图所示.2.自主复习：先动手独立完成，有困难可以合作探究.3.互助复习：(1)师助生：①明了学情：了解学生分析例题条件是否全面，由条件到结论需用到的知识是否清楚.②差异指导：引导学生分析例题中的关键条件，点拨条件与问题的联系点.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化复习：(1)重要知识点提示.(2)解题方法的归纳.三、评价1.学生的自我评价：学生交谈自己的学习收获和学后体会.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行点评.(2)纸笔评价(课堂评价检测)；3.教师的自我评价（教学反思）:本章知识与现实生活联系密切，是人们日常生活和生产中应用较广的几何图形，是三角形知识的延续与拓展，涉及的轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形知识，可让解题从全等的模式中解脱出来，而且可简便解决相关的计算、证明问题，使解题过程简化，在复习中应强化这些知识.一、基础巩固（第（一）题每小题5分，第（二）题每小题5分，第（三）题10分，共60分）（一）填空（每题5分）1.如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴.2.圆的对称轴有无数条，半圆形的对称轴有1条.3.在轴对称图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分.4.等边三角形有三条对称轴，等腰三角形有一条对称轴.5.正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，线段有1条对称轴.6.如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，则AC=9cm.（二）判断（每题5分）7.等腰三角形、角和圆都是轴对称图形.（√）8.所有的直径都是圆的对称轴.（×）9.在轴对称图形中，对应线段的延长线不一定交在对称轴上.（×）10.等腰三角形只有一条对称轴.（×）（三）11.画出下列是轴对称图形的所有对称轴.二、综合应用（20分）12.如图，∠A=60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD=1,HE=2，试求BD和CE的长.解：∵∠A=60°，CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠ABD=30°，∠ACE=30°.∵HE=2，∴BH=2HE=4.∵HD=1，∴HC=2HD=2.∴BD=BH+HD=5，CE=CH+HE=4.三、拓展延伸（20分）13.如图，点P是∠AOB内一点，∠AOB=30°，OP=10，点M、N分别是OA、OB上的动点，试通过作图说明△PMN周长的最小值是多少？解：如图，分别作P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2与OA相交于点M，与OB相交于点N，则此时△PMN的周长最小（三点共线）.连接OP1，OP2，则∠P1OP2=2∠AOB=60°，OP1=OP=OP2，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2=OP1=OP=10，∴PM+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=10.即△PMN周长的最小值为10.学习小提示同学们，通过这节课的学习，你们学到了哪些知识？明白什么道理？时间就像日历一样，撕掉一张就不会再回来。
人教版八年级数学上册第十五章分式单元教材分析优秀教学案例
3.小组合作：在教学过程中，我将学生分成若干小组，引导学生共同探讨分式的性质、运算规则等。这种教学方式培养了学生的合作精神，使学生在交流互动中学习和掌握分式的知识。
4.学生通过分式学习，能够总结出分式的性质和运算规则，培养学生的归纳总结能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与分式的学习，对分式学科产生浓厚的兴趣，形成积极的学习态度。
2.学生能够通过分式的学习，感受到数学的乐趣，培养对数学学科的热爱。
3.学生能够理解分式在实际生活中的应用，提高学生学习数学的实用性意识。
其次，针对学生的认知水平，本章节分为三个层次进行教学。第一层次：让学生通过观察、实践、探究，理解分式的概念和性质；第二层次：培养学生运用分式解决实际问题的能力；第三层次：提高学生分析、解决问题的能力，为高中数学学习奠定基础。
最后，教学目标围绕知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度设定。知识与技能目标：掌握分式的概念、性质、运算及分式方程的求解；过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生的数学思维能力和问题解决能力；情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养积极的学习态度和良好的学习习惯。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组学生共同探讨分式的性质、运算规则等，通过小组讨论，让学生在交流互动中学习和掌握分式的知识。我会引导学生关注小组成员之间的交流和合作，鼓励学生提出问题，互相解答，共同提高。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会让学生回顾本节课所学的内容，引导学生自己总结出分式的概念、性质和运算规则。通过总结归纳，让学生加深对分式知识的理解和记忆。
2022年人教版八年级数学上册第十五章分式教案 分式方程(第2课时)
第十五章分式15.3 分式方程第2课时一、教学目标【知识与技能】能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.【过程与方法】1. 以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力.2.培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.【教学难点】将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果.五、课前准备教师:课件、直尺、分式方程的解法等。
学生:三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？这节课我们来学习怎么用分式方程来解决现实生活中的问题。
（出示课件2）教师问:同学们能不能说一下解分式方程的一般步骤是什么？学生回答:解分式方程的一般步骤.(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3) 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.(4)写出原方程的根.（二）探索新知1.创设情境，探究列分式方程解答实际问题教师:请同学们完成下面的题目:（出示课件4）甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？学生小组讨论后回答:（出示课件5）解:设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个零件，依题意得:解得:x=18.经检验，x=18是原分式方程的解，且符合题意.由x＝18，得x–6=12答:甲每小时做18个，乙每小时做12个.教师问:请同学们说一说列分式方程解应用题的步骤:学生讨论后回答:读题，设未知数，列方程，解答.总结点拨:（出示课件6）列分式方程解应用题的一般步骤:1. 审:分析题意，找出数量关系和相等关系.2. 设:选择恰当的未知数，注意单位统一.3. 列:根据数量和相等关系，正确列出方程.4. 解:解这个分式方程.5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.6. 答:注意单位和语言完整.教师小结:客观世界中存在着大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题，这也恰恰体现了我们经常谈到的一个关键词:“学以致用”.例1:两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快?（出示课件7）师生共同解答如下:分析:本题没有具体的工作量，常常把工作量虚拟为1，工作时间的单位为“月”.甲队一个月完成总工程的13，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的16，乙队半个月完成总工程的12x，两队半个月完成总工程的16＋12x.等量关系为:甲队单独做的工作量＋两队共同做的工作量＝总工程量1，则有13＋16＋12x＝1. 解:设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的1x，依题意得（出示课件8）方程两边同乘6x ，得2x+x+3=6x ， 解得 x=1.检验:x=1时，6x≠0，x=1是原分式方程的解.答:由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务， 而甲队1个月完成总工程的 13 ，可知乙队施工速度快.例2:某列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？（出示课件11）解:设提速前列车的平均速度为x km/h ，则提速前列车行驶s km 所用的时间为s x h ；提速后列车的平均速度为（x+v ）km/h ，提速后列车运行 （s+50）km ，所用时间为s+50x+v h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程:去分母得:s(x+v)=x (s+50) (出示课件12)去括号，得sx+sv=sx+50x.移项、合并同类项，得 50x=xv.解得x=sv 50.检验:由于v ，s 都是正数，x=sv 50时，x （x+v ）≠0，x=sv 50是原分式方程的解. 答:提速前列车的平均速度为 sv 50km/h.例3:关于x 的方程 无解，求k 的值.（出示课件14） 解:方程的两边同时乘(x+3)(x –3)得x+3+kx –3k=k+3整理得:(k+1)x=4k ，因为方程无解，则x=3或x = –3当x=3时，(k+1) ·3=4k，k=3，当x= –3时，(k+1)(–3)=4k ， k=-37所以当k=3或k=-37时，原分式方程无解.（三）课堂练习（出示课件17-23）1. 下列方程中属于分式方程的有（ ）；属于一元分式方程的有（ ）. ① ②③④ x 2 +2x –1=02.解方程:3. 某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？4. 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?(2)若甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作____天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元?参考答案:1. ①③；①2. 解:方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1)得:（x–1）+2（x+1）=4∴x=1检验:当x=1时，（x+1）（x–1）=0，所以x=1不是原方程的根.∴原方程无解.3.解:（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x–9）元/条，根据题意得:3120x−9=4200x，解得:x=35，经检验，x=35是原方程的解，∴x–9=26．答:A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a条A型芯片，则购买（200–a）条B型芯片，根据题意得:26a+35（200–a）=6280，解得:a=80．答:购买了80条A型芯片．4. 解:(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x+30)天完成此项工程.由题意得:20( )=1整理得x2–10x–600=0，解得x1=30，x2= –20.经检验:x1=30，x2=–20都是分式方程的解，但x2=–20不符合题意舍去.x+30=60.答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天.(2)设甲单独做a天后，甲、乙再合作(20–)天，可以完成此项工程.(3)由题意得1×a+(1+2.5)(20–)≤64解得a≥36答:甲工程队至少要单独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量和未知量各有几个，量与量之间的基本关系是什么.(2)设未知数，找出尽可能多的相等关系，用含有未知数的代数式表示其他未知量.注意，所设未知量的单位要明确.(3)列方程，抓住题中含有相等关系的语句，将这些语句抽象为含有未知数的等式，这就是方程.(4)解方程，检验解的合理性(包括检验是否是方程的解，是否符合实际)，写出答案.注意:列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程.不同之处是所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.（五）课前预习预习下节课157页小结的相关内容。
人教版八年级数学上册第15章强化复习检测含答案
15.1分式班级：__________ 姓名：__________分数：__________1. 把下列各组分式通分： (1)a 2b，13a，−56abc； (2)b a −ab，a a −b .2. 通分：4a5b 2c ,3c10a 2b ,5b−2ac2； x(2x−4)2,16x−3x2,2xx 2−4．3. 通分：1(x−1)(x−2)，1x 2−2x+1．4. 通分：1(a−b)(a−c)与1(b−c)(b−a)与1(c−a)(c−b)．5. 通分：12m 2+3m，23−2m，2m+54m 2−9．6. 通分：1a 2−ab，1a 2−b2，1a 2−2ab+b 2．7. 通分：1x −x，x 1−2x+x，2x −x−2．8. 先化简，再求值：(1+1x−2)÷x 2−xx 2−4，其中x =−7.9. 已知1x−1y =3，求5x+3xy−5y x−2xy−y的值．10. 先化简再求值：3x−3x2−1÷3xx+1−1x−1，并从不等式组{x−3(x−2)≥24x−2<5x+1的解中选一个你喜欢的数代入，求原分式的值．11. 化简求值：[(x−2y)2+(x−2y)(2y+x)−2x(2x−y)]÷2x，其中x=1，y=2．12. 先化简，再求值：xx2−1+(x+1x−1−x−1x2−2x+1)，然后−√7≤x≤√7的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．13. 已知：a+b+c=0，则求：(b−ca +c−ab+a−bc)⋅(ca−b+ab−c+bc−a)的值．14. （1）通分：①b3a2c2，c−2ab，a5cb3；②29−3a ，a−1a−3−2a，aa−5a+6；③ba−ab ，a−ba+ab． 14.（2）3，2，5的最小公倍数是________，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为________．（3）分母若是多项式，先________，再________．（4）分母9−3a，a2−3−2a，a2−5a+6的最简公分母是________，分母a2−ab，a2+ab的最简公分母是________．15. 若a+b+c=0，求2a2+b2−c2+2b2+c2−a2+2c2+a2−b2的值．参考答案与试题解析15.1分式的性质-通分一、解答题（本题共计 15 小题，每题 10 分，共计150分）1.【答案】解：(1)a2b =3a3c6a bc，1 3a2=2bc6a2bc，5 6abc =5a6a bc；(2)b2=b=b(a+b)，a a−b =a(a−b)(a+b)=a2a(a−b)(a+b).2.【答案】解：∵最简公分母是10a2b2c2∴4a5b c =4a×2a2c5b c×2a c=8a3c10a b c3c 10a2b =3c×bc210a2b×bc2=3bc310a2b2c25b −2ac =−5b×5ab22ac×5ab=−25ab310a b c.解：∵(2x−4)2=[2(x−2)]2=4(x−2)26x−3x2=−3x(x−2)x2−4=(x+2)(x−2)∴最简公分母是12x(x+2)(x−2)2∴x(2x−4)2=3x2(x+2)12x(x+2)(x−2)2 16x−3x2=4(x+2)(x−2)12x(x+2)(x−2)22xx2−4=24x2(x−2)12x(x+2)(x−2)23.【答案】解：1(x−1)(x−2)=x−1(x−1)2(x−2)，4.【答案】解：最简公分母为(a −b )(b −c )(c −a )，1(a−b )(a−c)=−b−c (a−b )(b−c )(c−a )，1(b−c )(b−a)=c−a (a−b )(b−c )(c−a )， 1(c−a )(c−b)=−a−b(a−b )(b−c )(c−a )．5.【答案】解：最简公分母为m(2m +3)(2m −3)，12m 2+3m =1m (2m+3)=2m−3m (2m+3)(2m−3)，23−2m =−22m−3=−2m (2m+3)m (2m+3)(2m−3)，2m+54m 2−9=2m+5(2m+3)(2m−3)=m (2m+5)m (2m+3)(2m−3)．6.【答案】解：三式的最简公分母为a (a +b )(a −b )2， 通分为：(a+b )(a−b )a (a+b )(a−b)2，a (a−b )a (a+b )(a−b)2，a (a+b )a (a+b )(a−b )2．7.【答案】 解：∵1x 2−x=1x (x−1)，x 1−2x+x 2=x(x−1)2，2x 2−x−2=2(x−2)(x+1)，∴ 上式的最简公分母为：x (x −1)2(x −2)(x +1)， ∴ 通分得：1x −x=(x−1)(x−2)(x+1)x (x−1)(x−2)(x+1)，x 1−2x+x 2=x 2(x−2)(x+1)x (x−1)2(x−2)(x+1)，2x 2−x−2=2x (x−1)2x (x−1)2(x−2)(x+1)．8.【答案】解：(1+1x−2)÷x 2−xx 2−4 =x −1x −2⋅(x +2)(x −2)x (x −1)=x+2x.当x=−7时，原式=−7+2−7=579.【答案】125．10.【答案】当x=2时，原分式的值是−12．11.【答案】解：原式=[(x−2y)×(x−2y+2y+x)−2x(2x−y)]÷2x =[(x−2y)×2x−2x(2x−y)]÷2x=x−2y−2x+y=−x−y 当x=1，y=2时，原式=−1−2=−312.【答案】解：原式=x(x+1)(x−1)+[x+1x−1−x−1(x−1)]=x(x+1)(x−1)+(x+1x−1−1x−1)=x(x+1)(x−1)+xx−1=x(x+1)(x−1)+x2+x(x+1)(x−1)=x2+2x(x+1)(x−1)=x2+2xx2−1∵−√7≤x≤√7，且x为整数∴要使分式有意义，则x能取0、2或−2∴当x=−2时，原式=4−44−1=0，或当x=2时，原式=4+44−1=83，或当x=0时，原式=0−1=0．13.【答案】解：∵a+b+c=0∴a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a 则原式为：[ab(a−b)+bc(b−c)+ac(c−a)abc]⋅[c(b−c)(c−a)+a(a−b)(c−a)+b(a−b)(b−c)()()()]=(b−c)(a−b)(a−c)⋅−2(a3+b3+c3)−3abc()()()˙∵a+b+c=0∴a^3+b^3+c^3=3abc ∴上式=914.【答案】解：（1）①b3a2c2，c−2ab，a5cb3；由题意可得：最简公分母为：30a^2 b^3 c^2，则b3a2c2=10b430a2b3c2，c−2ab=−−15ab2c330a2b3c2，a5cb3=6a3c30a2b3c2；②29−3a ，a−1a2−3−2a，aa2−5a+6，由题意可得：最简公分母为：3(a−3)(a−2)(a+1)，则29−3a =−23(a−3)=−2(a−2)(a+1)3(a−3)(a−2)(a+1)，a−1a2−3−2a =a−1(a−3)(a+1)=3(a−1)(a−2)3(a+1)(a−2)(a−3)，aa2−5a+6=a(a−2)(a−3)=3a(a+1)3(a+1)(a−2)(a−3)；③ba−ab ，a−ba+ab，由题意可得：最简公分母为：a(a−b)(a+b)，则ba−ab =ba(a−b)=b(a+b)a(a−b)(a+b)，a−b a2+ab =(a−b)2a(a+b)(a−b)；30,a2b3c2分解因式,通分15.【答案】0人教版数学八年级上册15.2-分式的运算一、选择题1.化简(m2m−2+42−m)÷(m+2)的结果是()A. 0B. 1C. −1D. (m+2)22.若(x−3)0−2(3x−6)−2有意义，则x的取值范围是()A. x>3B. x<2C. x≠3或x≠2D. x≠3且x≠23.下列各式计算正确的是()A. 1a+b ÷a+b2=1 B. a3b÷b2a=3b22a2C. (a2−1)÷a2+aa =a−1 D. 2ab÷3b22a=3b24.计算(1x −12x)⋅x2的结果为()A. −xB. 1x C. −x22D. x25.如果x+y=5，那么(1+y x−y)÷xx2−y2的值为()A. 5B. 1C. −1D. −56.下列计算正确的有() ①10−3=0.0001; ②(0.0001)0=1; ③3a−2=1 3a2; ④(−x)3÷(−x)5=−x−2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.已知3x−4(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2，则A，B的值分别为()A. A=3，B=−4B. A=4，B=−3C. A=1，B=2D. A=2，B=18.若分式x2−y2a2x−a2y ÷(x+y)2ax+ay的值等于5，则a的值是()．9. 已知a =(−2)0，b =(12)−1，c =(−3)−2，那么a ，b ，c 的大小关系为 ( )A. a >b >cB. c >a >bC. b >a >cD. c >b >a10. 下列运算正确的是( )A. −40=1B. (−2)−1=12C. 2−1+12=1D. (−1a)−2=1a11. 计算1x+1−x+3x 2−1÷x 2+4x+3x 2−2x+1的结果是( )A. 2−x(x+1)2B. −2(x+1)2C. 2(x+1)2D. 012. 如果m =yx −xy ，n =yx +xy ，那么m 2−n 2等于 ( )A. 4B. −4C. 0D. 2y 2x 213. 若a =0.32，b =−3−2，c =(−3)0，那么a 、b 、c 三数的大小为 ( )A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. c >b >a14. 甲从A 地到B 地要走m 小时，乙从B 地到A 地要走n 小时，若甲、乙二人同时从A 、B 两地出发，经过几小时相遇( )A. (m +n)小时B.m+n 2小时C. m+nmn 小时D. mnm+n 小时二、填空题15. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a )⋅a 2a−2的值是_________． 16. 当x =2时，式子(2x+1x+x)÷x+1x的值是_______．17. 已知分式x 2−y 2x乘一个分式后结果为−(x−y )2x 2，则所乘分式为________．18. 一项工程，甲队单独做需a 天完成，乙队单独做需b 天完成，问甲、乙两队合作，需 天完成． 19. 数字0.00000012用科学记数法表示为 ．三、计算题20. 变式计算：(1)(y 6x 2)2÷(−y24x 2)2；(2)(a 3−2b )2÷(−a 2b)3⋅b2．四、解答题21.先化简，再求值：a2−6ab+9b2a2−2ab ÷(5b2a−2b−a−2b)−1a，其中a，b满足{a+b=5,a−b=−1.22.已知Ax+1−Bx−3=x+5(x+1)(x−3)(其中A，B为常数)，求A2020B的值．23.先化简，再求值：(xx−1+1)÷4x2−4x+11−x，其中x是满足不等式组{2x+1>−3x+2⩽3的最小整数．24. 已知分式A =(a +1−3a−1)÷a2−4a+4a−1．(1)化简这个分式；(2)当a >2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由．(3)若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和．25. 观察下列各式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，⋯⋯ 回答下列问题：(1)若n 为正整数，则1n(n+1)= ;(2)计算：1a +1a(a+1)+1(a+1)(a+2)+⋯+1(a+49)(a+50)．答案1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】B14.【答案】D15.【答案】116.【答案】317.【答案】y−xx(x+y)18.【答案】aba+b19.【答案】1.2×10−720.【答案】解：(1)原式=y236x4÷y416x4=y236x4÷16x4y4=49y2；(2)原式=a64b2÷(−a6b3)⋅b2=a64b2·(−b3a6)⋅b2=−b28．21.【答案】．解：原式=(a−3b)2a(a−2b)÷[5b 2a−2b −(a+2b)(a−2b)a−2b]−1a=(a −3b)2a(a −2b)÷9b 2−a 2a −2b −1a =(a −3b)2a(a −2b)⋅a −2b (3b −a)(3b +a)−1a=−a−3ba(a+3b)−1a =−a−3ba(a+3b)−a+3ba(a+3b) =−2a a(a+3b)=−2a+3b ，∵{a +b =5a −b =−1,∴{a =2b =3,∴原式=−22+3×3=−211．22.【答案】解：将等式的左边相减，得：Ax+1−Bx−3=A(x−3)−B(x+1)(x+1)(x−3)=(A−B)x+(−3A−B)(x+1)(x−3)，根据左右两边相等，可得：{A −B =1−3A −B =5解得：{A =−1B =−2A 2020B =(−1)2020×(−2)=−2．23.【答案】解：解不等式组{2x +1>−3x +2⩽3得−2<x ⩽1．∵x 是不等式组的最小整数解， ∴x =−1． ∴原式=x+x−1x−1÷(2x−1)21−x=2x−1x−1⋅1−x(2x−1)2=−12x−1=−12×(−1)−1 =13．24.【答案】解：(1)A=a2−1−3a−1÷(a−2)2a−1=(a+2)(a−2)a−1⋅a−1 (a−2)2=a+2a−2；(2)变小了，理由如下：A−B=a+2a−2−a+5a+1=(a+2)(a+1)−(a+5)(a−2)(a+1)(a−2)=12(a−2)(a+1)，∵a>2，∴a−2>0，a+1>0，∴A−B=12(a−2)(a+1)>0，即A>B；(3)A=a+2a−2=1+4a−2，根据题意，a−2=±1、±2、±4，则a=1、0、−2、3、4、6，又a≠1，∴0+(−2)+3+4+6=11，即：符合条件的所有a值的和为11．25.【答案】解：(1)1n −1n+1；(2)原式=1a +(1a−1a+1)+(1a+1−1a+2)+⋯+(1a+49−1a+50)，=2a −1a+50=a+100a(a+50)．15.3分式方程一．选择题1．下列方程中，是分式方程的是（）A．+＝1B．x+＝2C．2x＝x﹣5D．x﹣4y＝12．若关于x的方程有增根，则k的值为（）A．3B．1C．0D．﹣13．定义新运算：对于任意实数a、b都有：a⊕b＝（a+b）÷b，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，如：3⊕6＝（3+6）÷6＝，那么方程（x+2）⊕（2x﹣1）＝4的解为（）A．x＝3B．x＝2C．x＝1D．x＝04．将分式方程＝1去分母后，所得整式方程正确的是（）A．1﹣（x﹣2）＝1B．1﹣（x﹣2）＝x C．x﹣（x﹣2）＝1D．x﹣（x﹣2）＝x5．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前50天完成了这项任务，设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（）A．＝50B．＝50C．＝50D．＝506．“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800米长的河道整治任务．开工后，实际每天比原计划多整治200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天整治x米，那么所列方程正确的是（）A．+＝4B．﹣＝200C．﹣＝4D．﹣＝2007．若a使关于x的分式方程的解为整数，且使关于y的不等式组有且仅有2个整数解，则所有符合条件的整数a的值之和是（）A．1B．3C．4D．78．从﹣7，﹣5，﹣，﹣1，0，，1，3这八个数中，随机抽一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组的解集为x≥1，且关于x的分式方程有整数解，则所有符合条件的m的个数为（）A．1B．2C．3D．49．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（）A．B．且C．m＜6D．m＜6且m≠210．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（）A．B．2C．或2D．1或﹣2二．填空题11．若关于x的分式方程﹣3＝无解，则m＝．12．若关于x的方程有增根，k的值是；若关于x的方程无解，k的值是．13．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程+＝2的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为．14．用换元法解方程时，若设＝t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是．15．已知关于x的方程﹣＝有增根，则常数a＝．三．解答题16．解分式方程（1）；（2）．17．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；（2）该中学为响应习近平总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？18．在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？19．已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点关于原点对称．（1）当m＝2时，求x的值；（2）若不存在满足条件的x值，求m的值．20．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝．（1）已知T（2，1）＝，T（﹣1，1）＝﹣1．①求a，b的值；②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求p的取值范围；（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？。