2020版高考数学新增分大一轮新高考专用课件：第八章 8.4 直线、平面垂直的判定与性质
2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．
【知识点展示】
（一）空间平行关系
1.直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b
2. 面面平行的判定与性质
判定
性质
定义 定理
图形
条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b α∥β，a⊂β
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
3.判断或证明线面平行的常用方法：
利用线面平行的定义，一般用反证法；
利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)
利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
（二）平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【常考题型剖析】
题型一：与线、面平行相关命题的判定
例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m//，m//n，则n// B．若m//，n//，则m//n
C．若m//，n，则m//n D．若m//，m，＝n，则m//n
2022届高考数学(理)大一轮复习教师用书：第八章第三节直线、平面平行的判定与性质 Word版含解析
第三节直线、平面平行的判定与性质
突破点(一) 直线与平面平行的判定与性质
基础联通
抓主干学问的“源”与“流”
直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行) l∥α，l⊂β，
α∩β＝b⇒l∥b
考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”
线面平行的判定
[例1] 如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
[证明] 如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.
在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，
所以点O为CD的中点．
又由于点H为BC的中点， 所以OH∥BD.
又由于OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
[方法技巧]
判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
线面平行性质定理的应用
[例2] 如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH 的面积．
[解] (1)证明：由于BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第八章 立体几何8.5 含解析
§8.5 空间中的垂直关系
最新考纲
考情考向分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.
1．直线与平面垂直
图形 条件 结论
判
定 a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线) a⊥α
a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥α
a∥b，a⊥α b⊥α
性
质 a⊥α，b⊂α a⊥b
a⊥α，b⊥α a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定
定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直 l⊂βl⊥α
⇒α⊥β
性质
定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
α⊥βα∩β＝al⊂βl⊥a⇒l⊥α
概念方法微思考
1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示 垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．
2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？
提示 垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．
2022新高考大一轮复习第八章直线的方程(格式)
§8.1 直线的方程
（挖空）删掉后边黑色背景
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则AB→就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准， 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 xa＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
微思考（删除） 1．直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
提示 不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0° 0°
k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0
k的增减性 随α的增大而增大
随α的增大而增大
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
题型一 直线的倾斜角与斜率（去掉背景，左对齐，空格2字符）
例1 (1)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈－33－1，3－1，则直线AB的倾斜角α的取值范围是( )
A.π6，π2 B.π2，2π3
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第八章 不等式 第45课 一元二次不等式(含分式不等式) 文-人教版
word 1 / 14 第45课 一元二次不等式(含分式不等式)
(本课时对应学生用书第 页)
自主学习回归教材
1.(必修5P75例1改编)不等式-3x2+6x>2的解集为.
【答案】33|1-133xx
【解析】将不等式-3x2+6x>2转化为3x2-6x+2<0，所以不等式的解集为33|1-133xx.
2.(必修5P80习题11改编)不等式-13xx<0的解集为.
【答案】{x|-3
3.(必修5P71习题7改编)已知不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|3
【答案】-112712
4.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p=160-2x，生产x件所需成本C=500+30x元.若使得日获利不少于1300元，则该厂日产量所要满足的条件是.
【答案】[20，45]
【解析】由题意得(160-2x)·x-(500+30x)≥1300，解得20≤x≤45.
5.(必修5P80习题8改编)若不等式x2-2x+k2-2>0对于任意的x∈[2，+∞)恒成立，则实数k的取值X围是.
【答案】(-∞，-2)∪(2，+∞) word
2 / 14 【解析】由x2-2x+k2-2>0，得k2>-x2+2x+2，设f(x)=-x2+2x+2，f(x)=-(x-1)2+3，当x≥2，可求得f(x)max=2，则k2>f(x)max=2，所以k>2或k<-2.
1.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：
设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，则不等式的解的各种情况如下表：
Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根 有两个相异实数根x1，x2(x1
高考数学(广东专用,文科)大一轮复习配套课时训练：第八篇 平面解析几何 第4节 双曲线(含答案)
第4节 双曲线
课时训练 练题感 提知能
【选题明细表】
知识点、方法 题号
双曲线的定义 1、4、6
双曲线的标准方程 3、5、7
双曲线的几何性质 2、8、9、10、16
直线与双曲线的位置关系 11、13
综合应用问题 12、14、15
A组
一、选择题
1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( B )
(A)1 (B)17
(C)1或17 (D)以上答案均不对
解析:由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,
又|PF1|=9,
∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,
∴|PF2|=17.
故选B.
2.(2013年高考湖北卷)已知0
(A)实轴长相等 (B)虚轴长相等
(C)离心率相等 (D)焦距相等
解析:双曲线C1的半焦距c1==1,双曲线C2的半焦距c2==1,故选D.
3.(2012年高考湖南卷)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( A )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:由焦距为10,知2c=10,c=5.
将P(2,1)代入y=x得a=2b.
a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,
所以方程为-=1.故选A.
4.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:∵c2=2+2=4,
∴c=2,2c=|F1F2|=4,
由题可知|PF1|-|PF2|=2a=2,
|PF1|=2|PF2|,
∴|PF2|=2,|PF1|=4,
由余弦定理可知cos∠F1PF2==.故选C.
5.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( A )
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第四章 4.7 解三角形的实际应用
雨衣专享
雨衣专享 §4.7 解三角形的实际应用
最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
测量中的有关几个术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与
俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与
坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度，θ为坡角；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比，即i＝hl＝tan θ
概念方法微思考
在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？
提示 实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．
雨衣专享
雨衣专享
题组一
思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.( × )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.( √ )
题组二 教材改编
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________ m.
答案 502
解析 由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，
又B＝30°，
∴AB＝ACsin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．
2020版高考数学(理科)大一轮精准复习精练：8.2空间点、线、面的位置关系含解析
8.2 空间点、线、面的位置关系
挖命题
【考情探究】
考点 内容解读 5年考情
预测热度
考题示例 考向 关联考点
1.点、线、面的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义,了解有关可以作为推理依据的公理和定理.
②能运用公理、定理和已获得的结论证明空间图形的位置关系 2016浙江,2,5分 点、线、面的位置关系 线面平行、垂直的性质
★★☆ 2015福建,7,5分 线、面的位置关系 充分条件、必要条件
2.异面直线所成的角 会求异面直线所成的角 2018课标Ⅱ,9,5分 异面直线所成的角 余弦定理、空间向量
★★★ 2017课标Ⅱ,10,5分 异面直线所成的角 余弦定理、空间向量
2016课标Ⅰ,11,5分 异面直线所成的角 面面平行的性质
2014课标Ⅱ,11,5分 异面直线所成的角 余弦定理、空间向量
分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明有关异面或共面问题.2.会判定和证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为依托,求异面直线所成的角,分值约为5分,属中档题.
破考点
【考点集训】
考点一 点、线、面的位置关系
1.(2018四川泸州模拟,6)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是 ( )
A.a∥b,b⊂α,则a∥α
B.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥b
C.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β
D.α∥β,a⊂α,则a∥β
答案 D
2.(2018江西期中,4)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )
A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
(天津专用)2020版高考数学大一轮复习9.1直线方程与圆的方程精练
1 9.1 直线方程与圆的方程
【真题典例】
挖命题
【考情探究】
考点 内容解读 5年考情
预测热度
考题示例 考向 关联考点
1.直线的倾斜
角、斜率与方程 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式
3.掌握确定两直线位置关系的几何要素以及求直线方程的几种形式
4.了解斜截式与一次函数的关系 2017北京,14 直线的斜率 统计图的理解 ★☆☆
2.直线与直线的位置关系 1.能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系
2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标 2013天津文,5 直线与直线的位置关系 直线与圆的位置关系 ★☆☆ 2 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离
3.圆的方程 1.掌握确定圆的几何要素
2.掌握圆的标准方程与一般方程
3.会用待定系数法和直接法求圆的方程 2017天津文,12
圆的方程 抛物线
★★☆
2016天津文,12 点到直线距离公式
分析解读 从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.
破考点
【考点集训】
考点一 直线的倾斜角、斜率与方程
1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是 .
2020版高考数学(文)江苏专用新精准大一轮复习：第八章7第7讲抛物线含解析
1．(2019·江苏七校联考)抛物线14x2＝y的焦点坐标是________．
解析：由14x2＝y⇒x2＝4y，于是焦点坐标为(0，1)．
答案：(0，1)
2．(2019·连云港模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是________．
解析：设抛物线方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8.
所以抛物线方程是x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
3．抛物线的焦点为椭圆x29＋y24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．
解析：由c2＝9－4＝5得F(－5，0)，
则抛物线方程为y2＝－45x.
答案：y2＝－45x
4．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝54x0，则x0＝________．
解析：由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为AF＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝AF＝54x0，解得x0＝1.
答案：1
5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．
解析：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为x2＝－2y，当水面下降1米时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝±6，所以此时水面宽为26米．
答案：26
6．(2019·江苏省第一次统一检测)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，⊙M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为________．
解析：将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r＝2，又因为抛物线的准线方程为x＝－p2，所以4－p2＝2，p＝12或4.
答案：12或4
7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则QF＝________．