高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用 定积分在经济生活中的应用素材素材 北师大版选修2-2
4.3 定积分在经济生活中的应用
俗话说“买卖两心眼儿”，这句话到底有无道理？我们现在就来研究这个问题．
在经济生活中，消费者和生产者是两大群体，影响消费者的需求、生产者的供给的主要因素是价格．如果不考虑价格以外的其他因素，需求量、供给量与价格的关系是：
商品价格越低，需求量越大；商品价格越高，需求量越小；
商品价格越高，供给量越大；商品价格越低，供给量越小．
在市场条件下，价格并不随时受需求影响，而是在一段时间内呈现固定状态，它有一个固定的值，这个固定的值就是这一段时间内的实际价格．因此，“买卖两心眼儿”不过是一种心理上的感悟罢了．
下面我们就来研究在一段时间内购买、卖出一定数量的商品，买价、卖价与实际价格的关系．
1．消费者剩余
在经济学上，消费者剩余是指消费者对一定量的商品或服务最多愿意支付的价钱与实际支付的价钱之差，它是对消费者从交易中所得利益的一种货币度量．
设消费者对商品的需求函数（即消费者愿意或能够买进的某商品的数量关于该商品价格的函数）为()pDq(0)q≥（经济学惯常以横轴表示商品数，以纵轴表示价格，p为价格，q为数量）．根据需求量与价格的关系，可知函数()(0)pDqq≥是减函数．
一般地，需求函数()pDq图象上一点()qp，的含义是：消费者购买q单位商品时，他最多愿意为第q单位商品支付p单位货币，这正如变速直线运动的时间———速度曲线()vft上一点()tv，表示物体在第t单位时刻的瞬时速度v一样，物体从开始(0)t至第0t单位时刻的位移为00()tftdt．类似地，消费者购买q单位商品，他最多愿意支付的金额为0()qDqdq，如果此时市场价格为，那么实际支付的金额为0qpqpdq，两者的差额就是消费者剩余，即消费者剩余0[()]qDqpdq．
2．生产者剩余
在经济学上，生产者剩余是指生产者出售一定量商品或服务实际获得的价钱与生产者可以接受的最低价钱之差，是对生产者从交易中所得利益的一种货币度量．设生产者对商品的供给函数（可类比需求函数理解）为()(0)pSqq≥．根据供给量与价格的关系，可知函数()(0)pSqq≥是增函数．
一般地，供给函数()pSq图象上一点()qp，的含义是：生产者出售q单位商品时，他愿意从第q单位商品至少获得p单位货币．从而根据定积分定义可知，生产者出售q单位商品，他愿意获得的最少金额为0()qSqdq，如果此时市场价格为，那么实际获得的金额为 0qpqpdq．两者的差额就是生产者剩余，即生产者剩余0[()]qpSqdq．
例1 如图1，A品牌的摩托车的需求函数是2005(02005)pqq≤，售价为1800元/台，求消费者剩余．
分析：由消费者剩余公式可知，求出q是解本题的关键．
解：由已知，摩托车的实际价格为1800，即1800p．
把1800p代入2005pq，得205q．
所以消费者剩余是2052205001(20051800)20521012.502qdqqq（元）．
答：消费者剩余是21012.50元．
点评：对本例的实际意义解析如下：摩托车的售价为1800元/台时，消费者的需求量为205台．其中，第1～204台摩托车的购买者总计便宜了21012.50元；第205台摩托车的购买者既没占便宜也没吃亏；第206～2020台的摩托车的购买者都要吃亏；而且越往后越吃亏．同学们可试着考虑：摩托车的售价为2020元时，有人买吗？
例2 Ｂ型号的大型民用飞机的供给函数是2(0120)()120()qqSqqq ≤， ≥，销售单价为a亿元/架(120)a，求生产者剩余．
解：如图2所示，由已知，飞机的实际价格为paur．
因为120a时，120q，()Sqq，
所以pa时，qa．
所以生产者剩余为000[()]()qaapSqdqpdqSqdq
212000120120anqadqdqqdq
3120200120113602aaaqqq
221480072002aa
2124002a（亿元）．
答：生产者剩余为2124002a亿元．
定积分在经济问题中的应用
２０１０年１２月 第２６卷第６期 长春教育学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ Ｄｅｃ．２０１０ Ｖｏ１．２６ Ｎｏ．６
定积分在经济问题中的应用
王伟珠
（辽宁对外经贸学院，辽宁大连１１６０５２）
摘要：定积分的应用范围很广。尤其在经济问题中。本文从三个方面，举例说明定积分在经济问题中的简单应用。
关键词：定积分；经济问题；应用 中图分类号：Ｏ１７２．２ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１６７１－６５３１（２ＯＬＯ）０６－００５２－０３
。 黧 姓 Ｄ（Ｑ） 表示由一些愿意付出 更高的价格 要以举例子的方式谈谈定积分在三个经济问题中的应用。 一、 ’ ～… 一 …
一、消费者剩余和生产者剩余
在市场经济中，生产并销售某一商品的数量可由这一商
品的供给曲线与需求曲线来描述。供给曲线描述的是生产者
根据不同的价格水平所提供的商品数量，一般假定价格上涨
时。供应量将会增加。因此，把供给量看成价格的函数 的消费者的总消费量，而Ｐ’Ｏ。表示实际的消费额，两者之
差为消费者省下来的钱，即消费者剩余。
同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以比市
场价格尸’低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处
Ｐ＝ｌＳ－（Ｑ），供给曲线是单调递增的．需求曲线则反映了顾 ．
客的购买行为，通常假定价格上涨，购买的数量下降，即需 称为生产者剩余（ ），由图可以看出
求曲线Ｐ＝Ｄ（Ｑ）随价格的上涨而单调递减（如下图）。 ＰＳ＝Ｐ—ａ— Ｓ（Ｑ）ｄＱ．
例１ 设需求函数为Ｄ（Ｑ）＝２４—３Ｑ，供给函数为
（Ｑ）＝２Ｑ＋９，求消费者剩余和生产者剩余．
解首先求出均衡价格与供需量．由２４—３Ｑ＝２Ｑ＋９，
得Ｏ‘＝３，Ｐ’＝１ ５．于是
＝ｆ（２４ ， －１５ｘ３＝（２４９一号９ ４５＝孚，
在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋于平衡 ‘ ｐ 一 ４５—２Ｑ＋９）ｄＱ＝４５一（Ｑ ＋９Ｑ）Ｉ３＝９．
典型例题：定积分的简单应用
定积分的简单应用
定积分是高中新增的数学的内容，是高等数学的基础。它在初等数学中有着广泛的应用。下面举例说明如下，供同学们学习时参考。
一．求函数表达式
例1设)(xf连续，且10)(2)(dttfxxf，求)(xf
解：记10)(dttfa，则axxf2)(
两端积分得：1010221)2()(adxaxdxxf
aa221，21a
1)(xxf。
二、计算平面图形的面积
例2计算正弦曲线y=sin在[0,]上与轴所围成的平面图形的面积。
解：。
例3求曲线22)2(,xyxy与x轴围成的平面图形的面积 2 解：如图，由,)2(,22xyxy得两曲线交点（1，1）
取x为积分变量，]2,0[x,
所求面积
323)2(3d)2(d213103212102xxxxxxA
三、平行截面面积为已知的立体体积
例4曲线1522yx绕x轴旋转一周，求旋转体的体积。
解：11222)15(dxxV，11221)15(dxxV
12VVV1122)15(dxx1122)15(dxx
211210220120dxx
四、求旋转体的体积
例5求底圆半径为r，高为h的圆锥体的体积。
解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线
,xhryhx及x轴所围成三角形绕x轴旋转一
周而成，故圆锥体体积
hrxhrxxhrVhh2003222π313πd)(π
五、求函数利润问题
例6
O x y
2 2)2(xy 2xy
x y
O ),(rh 215xy215xy11O3
六、在物理中的应用
例7汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离
高数三：函数平均值和定积分的经济学应用
三、平均值
在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。例如：对某一零件的长度进行n次测量，每次测得的值为 。通常用算术平均值
作为这个零件长度的近似值。
然而，有时还需要计算一个连续函数 在区间 上的一切值的平均值。
我们已经知道，速度为 的物体作直线运动，它在时间间隔 上所经过的路程为
用 去除路程s，即得它在时间间隔 上的平均速度，为
一般地，设函数 在区间 上连续，则它在 上的平均值 ，等于它在 上的定积分除以区间 的长度b-a，即
图 5-34
这个公式叫做函数的平均值公式。它可变形为
它的几何解释是：以 为底、 为曲边的曲边梯形面积，等于高为 的同底矩形的面积（见图5-33） 图
5-33 例6 求从O到T这段时间内自由落体的平均速度。
解 ： 自由速度为 。所以要计算的平均速度（见图5-34）为
例7 计算纯电阻电路中正弦交流电 在一个周期内功率的平均值。
解 设电阻为R，那么电路中R两端的电压为
而功率
因为交流电 的周期为 ，所以在一个周期 上，P的平均值为
就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流和电压的峰值乘积的一半。通常交流电器上标明的功率是平均功率。
四、定积分在经济上的应用举例
定积分在经济活动中应用很广泛。如，已知某经济函数的边际函数的条件下，求原经济函数的改变量时，就需用定积分来解决。
例8 设某工厂生产某产品，边际产量为时间t的函数，已知 求从t=1到t=3这两个小时的总产量。
解：因为总产量 是它的边际产量 的原函数。所以，从t=1到t=3这两小时的总产量是
（千件）
例9 已知生产某产品x件的边际收入是
( 元/件 )
求生产此产品1000件时的总收入，平均收入，及生产1000件到2000件时所增加的收入和平均收入。
解：设总收入函数为 ，总产量为1000件时的总收入R（1000），为
平均收入
积分学基本定理及其在实际生活中的应用
积分学基本定理及其在实际生活中的应用
积分学是数学的一个分支，也是高中数学中比较重要的一块内容。积分学的基本定理主要包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，这些定理在数学上的应用非常广泛，在实际生活中也有着很多应用。本文将介绍积分学的基本定理及其在实际生活中的应用。
一、积分学基本定理
1. 牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是积分学中的一条重要公式，它描述了导数和原函数之间的关系。在数学上，如果函数f(x)是连续的，那么它在区间[a,b]上的定积分可以表示为：
∫abf(x)dx=[F(x)]ba
其中，F(x)是f(x)的原函数。
2. 换元积分法
换元积分法是积分学中的一种方法，它通过变量的替换，将原积分转化成更简单的形式。具体来说，如果我们有一个积分：
∫f(g(x))g'(x)dx
我们可以通过换元将它转化成一个更简单的形式：
∫f(u)du=[F(g(x))]x
其中u=g(x)。
3. 分部积分法
分部积分法是积分学中的另一种方法，它可以将复杂的积分转化成更简单的形式。具体来说，如果我们有一个积分：
∫f(x)g'(x)dx
我们可以通过分部积分法将它转化成一个更简单的形式：
∫f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]-∫g(x)f'(x)dx
其中f(x)和g(x)都是函数，f'(x)和g'(x)是它们的导数。
二、积分学在实际生活中的应用
积分学不仅在数学上有着广泛的应用，在实际生活中也有着很多应用。下面我们就来看看积分学在实际生活中的几个应用。
1. 物理学
物理学中有很多用到积分学的公式和方法。例如，运动学中的加速度和速度之间的关系可以通过积分学中的公式来表示。物理学中的许多方程都可以通过积分学中的方法来求解。
2. 经济学
经济学中也经常用到积分学的方法。例如，在计算某个公司的产量时，可以通过积分学中的方法来求出该公司的总产量。在经济学中，积分学也被用来求解一些相关的指标，例如平均经济增长率等。
高中定积分的计算
高中定积分的计算
在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。
一、定积分的基本概念
定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。
在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：
∫[a,b] f(x) dx
其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。
二、定积分的计算方法
高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。
1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。 2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。
三、定积分的应用场景
高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。以下是一些常见的应用示例：
1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。
2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。
定积分的应用-高中数学知识点讲解
定积分的应用
1．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也
就和求面积相关．
例 1：定积分 3휋
2
| sinx dx 的值是．
|
0
解： 3휋
2 휋
| sinx | dx = 푠푖푛푥푑푥 + 3휋
2
( ―
푠푖푛푥)푑푥
0 0 휋
3휋
＝﹣cosx |휋0 + cosx |
2
휋
＝ ﹣（﹣） 11 0 1
＝3．
3휋
这个题如果这样子出， 在区间（ ）上与 轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应
sinx 0， x
2
用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．
【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积 1 / 32、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线 及射线 所围成的平面图形的面积（图 6）为
r＝（r ） ＝，＝
3、用定积分求平面图形的面积的步骤
2 / 3a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
3 / 3
高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用 定积分在经济生活中的应用素材素材 北师大版选修2-2
4.3 定积分在经济生活中的应用
俗话说“买卖两心眼儿”，这句话到底有无道理？我们现在就来研究这个问题．
在经济生活中，消费者和生产者是两大群体，影响消费者的需求、生产者的供给的主要因素是价格．如果不考虑价格以外的其他因素，需求量、供给量与价格的关系是：
商品价格越低，需求量越大；商品价格越高，需求量越小；
商品价格越高，供给量越大；商品价格越低，供给量越小．
在市场条件下，价格并不随时受需求影响，而是在一段时间内呈现固定状态，它有一个固定的值，这个固定的值就是这一段时间内的实际价格．因此，“买卖两心眼儿”不过是一种心理上的感悟罢了．
下面我们就来研究在一段时间内购买、卖出一定数量的商品，买价、卖价与实际价格的关系．
1．消费者剩余
在经济学上，消费者剩余是指消费者对一定量的商品或服务最多愿意支付的价钱与实际支付的价钱之差，它是对消费者从交易中所得利益的一种货币度量．
设消费者对商品的需求函数（即消费者愿意或能够买进的某商品的数量关于该商品价格的函数）为()pDq(0)q≥（经济学惯常以横轴表示商品数，以纵轴表示价格，p为价格，q为数量）．根据需求量与价格的关系，可知函数()(0)pDqq≥是减函数．
一般地，需求函数()pDq图象上一点()qp，的含义是：消费者购买q单位商品时，他最多愿意为第q单位商品支付p单位货币，这正如变速直线运动的时间———速度曲线()vft上一点()tv，表示物体在第t单位时刻的瞬时速度v一样，物体从开始(0)t至第0t单位时刻的位移为00()tftdt．类似地，消费者购买q单位商品，他最多愿意支付的金额为0()qDqdq，如果此时市场价格为，那么实际支付的金额为0qpqpdq，两者的差额就是消费者剩余，即消费者剩余0[()]qDqpdq．
2．生产者剩余
在经济学上，生产者剩余是指生产者出售一定量商品或服务实际获得的价钱与生产者可以接受的最低价钱之差，是对生产者从交易中所得利益的一种货币度量．设生产者对商品的供给函数（可类比需求函数理解）为()(0)pSqq≥．根据供给量与价格的关系，可知函数()(0)pSqq≥是增函数．
定积分的概念及性质
1 / 1 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用
一． 定积分的定义
A）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
，
把区间[a,b]分成n个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211niiixxxnixxx在[iixx,1]上任意取一点i，作和式：)1.......()(1iniixf
如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[iixx,1]怎样选取，只要0有iniixf1)(I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做badxxf)(即I=badxxf)(其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
例：求曲边图形面积：3xy的图像在1,0x间与1x及x轴围成的图形面积。
注：
1、有定义知道badxxf)(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即badxxf)(=baduuf)(=badttf)(
2、定义中的0不能用n代替
3、如果iniixfLim10)(存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？
经典反例：中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(xxxf在[0，1]上不可积。
2 / 2 可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
高中数学 4.3定积分的简单应用定积分在物理中应用及简
- 1 - 4.3定积分的简单应用--定积分在物理中应用及简单几何体的体积同步练习
1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即badttvs)(．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
dtt53sin3．（只列式子）
3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 –t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 325 ．
4．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．
5．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的
功W =badxxF)(．
6．一物体在力F (x) =10(02)34(2)xxx（单位：N）的作用下沿与力F(x)做功为（ B ） A．44J B．46J C．48J D．50J
7．证明：把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W =
G·()Mmhkkh，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·122mmr，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·2()Mmkx故该物体从地面升到h处所做的功为
0()hWfxdx =20()hMmGkx·dx = GMm201()hkxd (k + 1) = GMm01()|hkx
=11()()MnhGMmkGkhkkh．
8．直线2yx，1x，2x与x轴围成的平面图形绕旋x轴转一周得到一个圆台，则求该圆台的体积。 - 2 - 答案：320；
定积分的计算与应用 (1)
哈尔滨师范大学
学 年 论 文
题 目 定积分的计算与应用
学 生 刘 影
指导教师 皮晓明
年 级 2010级6班
专 业 数学与应用数学
系 别 数学系
学 院 数学科学学院
哈尔滨师范大学
2012年12月
电话：180045056
1 定积分的计算与应用
刘影
摘 要：定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分的一些基本应用。
关键词：牛顿莱布尼兹公式 积分 定积分
恩格斯增经指出微积分是变量数学的重要组成部分,微积分是数学一个分支,学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具，定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。如复杂图形的研究，化学反应过程的分析，求数列极限等等。
一、定积分的计算方法
1、 按照定义计算定积分
定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求面积和的极限：
nkkkTlbaxfdxxf10)()()(lim
例1 求由抛物线2xy，]1,0[x，及0y所围平面图形的面积。
解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分102dxx .显然，这个定积分是存在的。
取分割T为n等份，并取knk1，nk,,2,1，则所求面积为：
1220111lim()nnkkSxdxSnn
2311lim(1)nnkkn
3(1)(21)1lim63nnnnn