人教版九年级数学上册习题课件：第二十四章 圆 方法专题 圆的切线的证明 (共13张PPT)
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数学九年级上册第二十四章圆专题训练(12)证明圆的切线的两种常见方法课件 新人教版
证明：连接DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.又 ∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.∵OC＝OC，ODD在 ⊙O上，∴CD是⊙O的切线
(三)利用角度转换证垂直 5．(鄂尔多斯中考改编)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H， 连接AC.过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F， 且EG＝FG.求证：EG是⊙O的切线；
求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵⊙O与BC相切，∴OM⊥BC，又 ∵ON⊥CD，∴OM＝ON，∴ON是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切
类型2 连半径，证垂直(已知半径证垂直) (一)利用勾股定理证垂直 3．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一 点，PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．
解：(1)如图所示，⊙P为所求的圆 (2)BC与⊙P相切，理由为：过点P作PD⊥BC，垂足为D，∵CP为 ∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA，∵PA为⊙P的半 径，∴BC与⊙P相切
2．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以点O为圆心，OA长为 半径的⊙O与BC相切于点M.
证明：连接OE，如图，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，而∠GFE＝ ∠AFH，∴∠GEF＝∠AFH，∵AB⊥CD，∴∠OAF＋∠AFH＝90°， ∴∠GEA＋∠OAF＝90°，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAF，∴∠GEA ＋∠OEA＝90°，即∠GEO＝90°，∴OE⊥GE，∴EG是⊙O的切线
第二十四章 圆
专题训练(十一) 证明圆的切线的两种常见方法
九年级数学上册 第二十四章 圆 专题训练(十二)与圆的切线有关的计算与证明课件上册数学课件
(2)∵∠AEB＝90°，∴AE＝ AB2－BE2 ＝ 52－32 ＝4，∵△ABC 的面积＝
1 2
AC×BD＝12
BC×AE，∴BD＝BCA×CAE
＝6×5 4
＝254
，∵EF 是△ CDB 的中
位线，∴EF＝12 BD＝152
第五页，共十八页。
类型(lèixíng)2 三角形或四边形的内切圆问题 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别 相切于点D、E、F. (1)求证：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．
第六页，共十八页。
解：(1)证明：∵⊙O 是△ ABC 的内切圆，切点为 D、E、F，∴AD ＝AF，BD＝BE，CE＝CF，∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即 BD＝CF，∴BE＝CE (2)连接 OD、OE、OF，∵⊙O 是△ ABC 的内切圆，切点为 D、E、 F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，又∵OD＝OF，∴四边形 ODAF 是正方形，设 OD＝AD＝AF＝r，则 BE＝BD＝CF＝CE＝2－r，在 △ ABC 中，∠A＝90°，∴BC＝ AB2＋AC2 ＝2 2 ，又∵BC＝BE ＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝2 2 ，得 r＝2－ 2 ，∴⊙O 的半径是 2 －2
2 ).∴符合条件的点 Q 的坐标为( 2 ，－ 2 )或(－ 2 ， 2 )
第十七页，共十八页。
内容(nèiróng)总结
No 第二十四章 圆。1．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径(zhíjìng)，AD⊥l于点D.。2．(玉林中
考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径(zhíjìng)作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过 点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD.。(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．。(2)若∠ABC ＝60°，AB＝10，求线段CF的长．。(1)当点P为AB中点时，请直接写出P点坐标。则AB＝2OC
九年级数学上册 第二十四章 圆 专题课堂(九)与圆的切线有关的计算与证明课件上册数学课件
∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝12 OA＝1，∴ AF＝2，∴AF＝OD，∴四边形 AODF 是菱形， ∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝
60°，∴EF＝12 DF＝1
5．(沈阳中考)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A 作⊙O的切线交BE延长线于点C. (1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数； (2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
2.(2019·盐城)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝ 90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径 的⊙O 分别交 AC，BC 于点 M，N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E.
(1)若⊙O 的半径为52 ，AC＝6，求 BN 的长； (2)求证：NE 与⊙O 相切．
解：(1)连接 DN，ON，∵⊙O 的半径为52 ，∴CD ＝5，∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10，∴BC＝
②当∠D＝22.5°时，∠DAO＝67.5°，而OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝ 67.5°，∴∠AOC＝180°－67.5°－67.5°＝45°，∴∠COE＝45°，利用 对称得∠EOG＝45°，∴∠COG＝90°，易得△OEC≌△OEG，∴∠OGE ＝∠OCE＝90°，∴四边形ECOG为矩形，而OC＝OG，∴四边形ECOG为 正方形．故答案为：①30°；②22.5°
(2)过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，∵AM，BN 分别 切⊙O 于点 A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四 边形 ABFD 是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又 ∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5，∵AM，BN， DC 分别切⊙O 于点 A，B，E，∴DA＝DE，CB ＝CE，∴DC＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13， 在 Rt△DFC 中，DC2＝DF2＋FC2，∴DF＝
60°，∴EF＝12 DF＝1
5．(沈阳中考)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A 作⊙O的切线交BE延长线于点C. (1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数； (2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．
2.(2019·盐城)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝ 90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径 的⊙O 分别交 AC，BC 于点 M，N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E.
(1)若⊙O 的半径为52 ，AC＝6，求 BN 的长； (2)求证：NE 与⊙O 相切．
解：(1)连接 DN，ON，∵⊙O 的半径为52 ，∴CD ＝5，∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10，∴BC＝
②当∠D＝22.5°时，∠DAO＝67.5°，而OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝ 67.5°，∴∠AOC＝180°－67.5°－67.5°＝45°，∴∠COE＝45°，利用 对称得∠EOG＝45°，∴∠COG＝90°，易得△OEC≌△OEG，∴∠OGE ＝∠OCE＝90°，∴四边形ECOG为矩形，而OC＝OG，∴四边形ECOG为 正方形．故答案为：①30°；②22.5°
(2)过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，∵AM，BN 分别 切⊙O 于点 A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四 边形 ABFD 是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又 ∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5，∵AM，BN， DC 分别切⊙O 于点 A，B，E，∴DA＝DE，CB ＝CE，∴DC＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13， 在 Rt△DFC 中，DC2＝DF2＋FC2，∴DF＝
《切线的判定与性质》PPT课件 人教版九年级数学
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一 不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出 圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径
→
有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出 圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径
→
有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2
人教版九年级上册数学精品课件 第24章 圆 专题训练9 切线证明的常用方法
(1)求证：DE是圆O的切线； (2)若直径AB＝6，求AD的长．
︵︵ (1)证明：连接AD，OD，∵ CD ＝ DB ，∴∠CAD＝∠DAB，∵
OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD，∵
DE⊥AC，∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，则DE为⊙O的
切线；
︵ (2)解：连接BD，∵ AC
＝︵ CD＝ Nhomakorabea︵ DB
，∴∠B＝60°，∵AB为⊙O
的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝30°，∴BD＝
1 2
AB＝3，由勾股定
理，得AD＝ AB2－BD2＝ 62－32＝3 3．
3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为
︵ BC
的中点．过
点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
第二十四章
圆
专题训练(九) 切线证明的常用方法
• 方法一 有点连圆心，证垂直 • 1．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦 CD⊥AB，连接OD，PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切 证线明． ： 连 接 OC ， 令 AP 与 CD 交 于 点
E．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC．∵∠ODC
• (2)解：在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝FD，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)．∴EB＝CF．在Rt△ABD和Rt△AFD 中，∵BD＝FD，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)．∴AB＝ AF．∴AB＋EB＝AF＋CF，即AB＋EB＝AC．∴AC＝5＋3＝8．
⊙O的切线，∴∠OAD＝90°，∴∠OED＝90°，∴直线CD是⊙O的切
线．
• 方法二 无点作垂直，证半径 • 5．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心， OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，求证：CD与⊙O相切．
︵︵ (1)证明：连接AD，OD，∵ CD ＝ DB ，∴∠CAD＝∠DAB，∵
OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD，∵
DE⊥AC，∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，则DE为⊙O的
切线；
︵ (2)解：连接BD，∵ AC
＝︵ CD＝ Nhomakorabea︵ DB
，∴∠B＝60°，∵AB为⊙O
的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝30°，∴BD＝
1 2
AB＝3，由勾股定
理，得AD＝ AB2－BD2＝ 62－32＝3 3．
3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为
︵ BC
的中点．过
点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
第二十四章
圆
专题训练(九) 切线证明的常用方法
• 方法一 有点连圆心，证垂直 • 1．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦 CD⊥AB，连接OD，PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切 证线明． ： 连 接 OC ， 令 AP 与 CD 交 于 点
E．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC．∵∠ODC
• (2)解：在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝FD，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)．∴EB＝CF．在Rt△ABD和Rt△AFD 中，∵BD＝FD，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)．∴AB＝ AF．∴AB＋EB＝AF＋CF，即AB＋EB＝AC．∴AC＝5＋3＝8．
⊙O的切线，∴∠OAD＝90°，∴∠OED＝90°，∴直线CD是⊙O的切
线．
• 方法二 无点作垂直，证半径 • 5．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心， OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，求证：CD与⊙O相切．
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
人教版
第二十四章 圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于 点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示， 延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线
第二十四章 圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于 点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示， 延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线
初中数学人教九年级上册第二十四章圆切线定理PPT
O
B
A
C
O
A
B
C
E
D
练 习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。 求证：AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d<r
交点
割线
．Ｏ
l
d
r
┐
┐
．ｏ
l
d
r
．O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
小 结
例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O
r
l
A
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
几何符号表达：
判 断
B
A
C
O
A
B
C
E
D
练 习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。 求证：AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d<r
交点
割线
．Ｏ
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┐
┐
．ｏ
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d
r
．O
l
d
┐
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A
C
B
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相离
相切
相交
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
小 结
例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O
r
l
A
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
几何符号表达：
判 断
人教版九年级上学期数学作业课件：专题训练(五) 证明切线的方法 (共10张PPT)
4
(二)利用全等证垂直 3．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC. 求证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OD，图略．由SAS证△CBO≌△CDO， 得∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．
5
(三)利用勾股定理的逆定理证垂直 4，PB＝4，AB＝12.求证：PC是⊙O的切线．
解：(1)如图所示，⊙P为所求的圆．(2)BC与⊙P相切，证明：过点P作PD⊥BC， 垂足为点D，∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA，∵PA为 ⊙P的半径，∴PD为⊙P的半径，即点D在⊙P上．∴BC与⊙P相切．
7
6．如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线， 切点为E.求证：CD是小圆的切线．
证明：连接OE，过点O作OF⊥CD于点F，图略． ∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，∵AB＝CD， ∴OE＝OF.∴CD与小⊙O相切．
8
9
10
3
2．如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC交⊙O于点C， 且FC＝FE.求证：FC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC.∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC. 又∵∠AED＝∠FEC，∴∠FCE＝∠AED.∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC，∴∠FCO＝∠FCE＋∠OCA＝∠AED＋∠OAC＝ 180°－∠ADE.∵DF⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠FCO＝90°， 即OC⊥FC.又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．
人教版
第二十四章 圆
24．2.2 直线和圆的位置关系
专题训练(五) 证明切线的方法
1
2
类型1 有交点，连半径，证垂直 (一)利用角度转换证垂直 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作∠CAD＝∠B， 且点D在BC的延长线上．求证：直线AD是⊙O的切线．
(二)利用全等证垂直 3．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC. 求证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OD，图略．由SAS证△CBO≌△CDO， 得∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．
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(三)利用勾股定理的逆定理证垂直 4，PB＝4，AB＝12.求证：PC是⊙O的切线．
解：(1)如图所示，⊙P为所求的圆．(2)BC与⊙P相切，证明：过点P作PD⊥BC， 垂足为点D，∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA，∵PA为 ⊙P的半径，∴PD为⊙P的半径，即点D在⊙P上．∴BC与⊙P相切．
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6．如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线， 切点为E.求证：CD是小圆的切线．
证明：连接OE，过点O作OF⊥CD于点F，图略． ∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，∵AB＝CD， ∴OE＝OF.∴CD与小⊙O相切．
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3
2．如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC交⊙O于点C， 且FC＝FE.求证：FC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC.∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC. 又∵∠AED＝∠FEC，∴∠FCE＝∠AED.∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC，∴∠FCO＝∠FCE＋∠OCA＝∠AED＋∠OAC＝ 180°－∠ADE.∵DF⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠FCO＝90°， 即OC⊥FC.又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．
人教版
第二十四章 圆
24．2.2 直线和圆的位置关系
专题训练(五) 证明切线的方法
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类型1 有交点，连半径，证垂直 (一)利用角度转换证垂直 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作∠CAD＝∠B， 且点D在BC的延长线上．求证：直线AD是⊙O的切线．
初中数学人教九年级上册第二十四章圆切线的判定与性质PPT
切线的性质定理：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的切线垂直于过切点的半径。
定理的数学语言表达：
∵ l是⊙O的切线,A是切点 ∴ l ⊥OA
O
l A
切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
O
切线
l
A
切线垂直于半径
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，
O
只要证明AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
A CB
∴ AB⊥OC(三线合一)
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
例2：已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O
为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。
猜想：圆的切线垂直于 过切点的半径。
O
l A
定理证明 O．
证明：假设OA与l不垂直，
过点O作一条半径垂直于l，垂足为M， 根据垂线段最短，则OM＜OA，
MA
l
即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，
因此l与⊙O相交，
这与已知条件“直线l与⊙O相切” 矛盾，
所以OA与l垂直．
即圆的切线垂直于过切点的半径．
证明：过O作OE⊥AC于E。
D
B
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB A
O
OD⊥AB于点D ∴ OE＝OD
E C
∵ OD是⊙O的半径
∴ OE也是半径
∴ AC是⊙O的切线
（点到直线的距离等于半径）。
人教版九年级数学上册课件：第24章圆2 切线判定和性质的四种应用类型(共19张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC， ∴△COD≌△COB(SAS)． ∴∠CDO＝∠CBO. ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°. ∴CD是⊙O的切线．
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OE＝r＋1， ∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°. ∴ED2＋OD2＝OE2. ∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4. ∴⊙O的半径为4.
解：如图，∵OD⊥AC，∴AF＝CF. ∵AC∥DE，且OA＝AE， ∴F为OD的中点，即OF＝FD. 在△AFO和△CFD中， AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，OF＝DF，
∴△AFO≌△CFD(SAS)．∴S△AFO＝S△CFD. ∴S四边形ACDE＝S△ODE. 在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝4， ∴OE＝8，
第24章 圆
∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC， ∴△COD≌△COB(SAS)． ∴∠CDO＝∠CBO. ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°. ∴CD是⊙O的切线．
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OE＝r＋1， ∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°. ∴ED2＋OD2＝OE2. ∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4. ∴⊙O的半径为4.
解：如图，∵OD⊥AC，∴AF＝CF. ∵AC∥DE，且OA＝AE， ∴F为OD的中点，即OF＝FD. 在△AFO和△CFD中， AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，OF＝DF，
∴△AFO≌△CFD(SAS)．∴S△AFO＝S△CFD. ∴S四边形ACDE＝S△ODE. 在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝4， ∴OE＝8，
第24章 圆