九年级数学下册第2章二次函数2.1二次函数同步练习新版北师大版
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2.1二次函数
一、夯实基础
1．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是
( )
A．y＝x(x＋1) B．xy＝1
C．y＝2x2－2(x＋1)2 D．132xy
2．当路程S一定时，速度υ与时间t之间的函数关系是 ( )
A.正比例函数 B．反比例函数 C.一次函数 D．二次函数
3．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个
数，则下列函数关系式正确的是 ( )
A．y＝4n－4 B．y＝4n
C．y=4n＋4 D．y＝n2
4．当m 时，函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数．
5．若y＝(m2－3m)x2m-2m-1是二次函数，则m＝ ．
6.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率
都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=
．
二、能力提升
7．如果水流的速度为a m/min(定量)，那么每分钟的进水量Q(m3)与所选择的水管直径D(m)
之间的函数关系式是什么?
8．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，写
2
出y与x的函数关系式．
9．已知函数y＝(m2－4)x2＋(m2－3m＋2)x－m－1．
(1)当m为何值时，y是x的二次函数?
(2)当m为何值时，y是x的一次函数?
三、课外拓展
10．如图所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那
么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数?
(3)自变量x的取值范围是什么?
四、
中考链接
1.（2015·兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )
A.y=3x-1 B.y=a+bx+c
3
C.s=2-2t+1 D.y=
2.（2014·江苏苏州中考）已知二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代
数式1－a－b的值为（
A．－3 B．－1 C．2 D．5
答案
1． CBA
2．B[提示：本题考查一次函数(包括正比例函数)、反比例函数以及二次函数的概念．当
S一定时，S=υt，υ与t成反比例关系．故选B]
3．B[提示：尝试利用代值的方法解决实际问题，如本题分别将第1，2，3层的三角形
的个数代入各函数关系式中，只有B符合．故选B．]
4．≠2[提示：当m－2≠0，即m≠2时，函数y=(m－2)x2＋4x－5为二次函数．]
5．－1[提示：需m2－3m≠0，m2－2m－l＝2同时成立．]
6.a（1+x）2
7．解：函数关系式为Q＝a·π·(2D)2＝ 24aD.
8．解：由题意，得y＝60(1－x)(1－x)＝60(1－x)2，x的取值范围为0＜x＜1．
9．提示：(1)当二次项系数m2－4≠0时，原函数是二次函数．(2)当二次项系数m2－4
＝0且一次项系数m2－3m＋2≠0时，原函数是一次函数，由此确定m的值．解：(1)由m2－4
≠0，解得m≠±2．故当m≠±2时，y是x的二次函数． (2)由m2－4＝0，解得m=±2．由
m2－3m＋2≠0，解得m≠1，m≠2．所以m＝－2．因此，当m＝－2时，y是x的一次函数．
10．解：(1)根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的
函数关系式为y＝x2－9x＋20． (2)上述函数是二次函数． (3)自变量x的取值范围是0
＜x＜4．
中考链接：
1.解：选项A是一次函数；选项B当a=0，b≠0时是一次函数，当a≠0时是二次函数，所
以选项B不一定是二次函数；选项C一定是二次函数；选项D不是二次函数.故选C
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2. 解：把点（1，1）的坐标代入，得
2021-2022学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步训练试题(含答案及详细解析)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限2、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴为直线x＝1，则以下结论正确的是（）A．ac＞0B．c﹣5b＜0C．2a﹣b＝0D．当a＝﹣1时，抛物线的顶点坐标为(1，5)3、抛物线()212=++的顶点坐标是（）y xA ．（1，2）B ．（1，2-）C ．（1-，2）D ．（1-，2-） 4、对于二次函数()21y x =--的图象的特征，下列描述正确的是（ ）A ．开口向上B ．经过原点C ．对称轴是y 轴D ．顶点在x 轴上5、如图1所示，△DEF 中，∠DEF ＝90°，∠D ＝30°，B 是斜边DF 上一动点，过B 作AB ⊥DF 于B ，交边DE （或边EF ）于点A ，设BD ＝x ，△ABD 的面积为y ，图2是y 与x 之间函数的图象，则△ABD 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、若抛物线27(4)1y x =-+-平移得到27y x =-，则必须（ ）A ．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B ．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C ．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位7、在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝2x 与二次函数2y ax a =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8、抛物线()20y ax bx c a =++<的图象过点3,0，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④9、下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =B ．211y x x=++C ．221y x =-D ．y 10、在求解方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，先在平面直角坐标系中画出函数2y ax bx c =++的图象，观察图象与x 轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（ ）A ．13x =-，22x =B ．13x =-，23x =C ．12x =-，22x =D ．12x =-，23x =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h （m ）与足球被踢出后经过的时间t （s ）之间的关系为h ＝﹣5t 2＋12t ，则足球距地面的最大高度是______m ．2、二次函数y ＝2(1)3k k x -+的图象开口向上，则k ＝___． 3、二次函数21y x x =---的图像有最______点．（填“高”或“低”）4、点()0m ,是抛物线224y x x =--与x 轴的一个交点，则224m m -的值是________． 5、某件商品的销售利润y （元）与商品销售单价x （元）之间满足267y x x =-+-，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为______元．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A - 和 点()3,0B ，与y 轴交于点C , 顶点为D ．（1）求该抛物线的表达式的顶点D 的坐标；（2）将抛物线沿y 轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为M , 点C 的对应点为E ．①如果点M 落在线段BC 上, 求DBE ∠的度数；②设直线ME 与x 轴正半轴交于点P , 与线段BC 交于点Q , 当2PE PQ =时, 求平移后新抛物线的表达式．2、如图，抛物线y ＝ax 2+bx +6与x 轴交于A （2，0），B （8，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，当∠PCB 12=∠BCO 时，求点P 的横坐标．3、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．4、跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1 m ，并且相距4 m ，现以两人的站立点所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.50 m 的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1 m 时，绳子刚好经过她的头顶．（1）求绳子所对应的抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）身高1.70m 的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？（3）身高1.64m 的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手s m ，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s 的取值范围．5、小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值．（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数的图象与直线y n =有两个交点A ，B ，若6AB >，直接写出n 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案【详解】解： y ＝2（x +1）2，20a =>开口向上，顶点坐标为()1,0-∴该函数不经过第三、四象限如图，故选C【点睛】本题考查了2()y a x h =-图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键．2、B【分析】根据图象可判断a 和c 的符号，即可判断A ；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，即可得出930a b c ++=，再根据抛物线对称轴为直线x ＝1，即12b a -=，且可判断出0b >，通过整理可得出752b c b -=-，即可判断B ；由12b a-=，即可判断C ；由1a =-，可求出b 、c 的值，即得出抛物线解析式，再变为顶点式，即可判断D ．【详解】解：根据图象可知，该二次函数开口向下，∴0a <，该二次函数与y 轴交点在x 轴上方，∴0c >，∴0ac <，故A 选项错误，不符合题意；∵该抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，∴930a b c ++=，∵对称轴为直线x ＝1，即12b a-=， ∴2b a =-， ∴9()302b bc ⨯-++=，即302b c -= ∴752b c b -=-． ∵0a <，∴0b >，∴702b -<， ∴50c b -<，故B 选项正确，符合题意； ∵12b a-=， ∴20a b +=，故C 选项错误，不符合题意；当1a =-时，即12(1)9(1)30b b c ⎧-=⎪⨯-⎨⎪⨯-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴该二次函数解析式为2y x 2x 3=-++，改为顶点式为2(1)4y x =--+，∴抛物线顶点坐标为(1，4)，故D 选项错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．3、C【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线()212y x =++的顶点坐标是（1-，2），故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是明确二次函数顶点式()2y x h k =-+的顶点坐标为()h k ，． 4、D【分析】根据二次函数2()y a x h =-的性质判断即可．【详解】在二次函数()21y x =--中，∵10a =-<，∴图像开口向下，故A 错误；令0x =，则2(01)10y =--=-≠，∴图像不经过原点，故B 错误；二次函数()21y x =--的对称轴为直线1x =，故C 错误； 二次函数()21y x =--的顶点坐标为(1,0)，∴顶点在x 轴上，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数2()y a x h =-的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．5、C【分析】由图得点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，由三角函数算出AB ，由三角形面积公式即可求解．【详解】由图可得：点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，tan 3012AB DB =⋅︒==∴1122ABD S =⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A 运动到哪里能使ABD △面积最大是解题的关键．6、B【分析】根据两抛物线的顶点坐标即可确定平移的方向与距离，从而完成解答．【详解】抛物线27(4)1y x =-+-的顶点为(－4，－1)，而抛物线27y x =-的顶点为原点由题意，把抛物线27(4)1y x =-+-的顶点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，即可得到抛物线27y x =-的顶点，从而抛物线27(4)1y x =-+-先向右平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到27y x =-．故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住抛物线顶点的平移．7、C【分析】先由一次函数的性质判断，然后结合二次函数中a ＞0时，a ＜0时，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y ＝2x ，∴一次函数的图像经过原点，且y 随x 的增大而增大，故排除A 、B 选项； 在二次函数2y ax a =-中，当a ＞0时，开口向上，且抛物线顶点在y 的负半轴上，当a ＜0时，开口向下，且抛物线顶点在y 的负半轴上，∴D 不符合题意，C 符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．8、D【分析】根据抛物线的对称性与过点3,0，可得抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0,-可判断②，再依次判断,,a b c 可判断①，由对称轴为直线1x =，可判断③，由函数2y ax bx c =++与1y =-的图象有两个交点，可判断④，从而可得答案.【详解】 解： 抛物线()20y ax bx c a =++<的图象过点3,0，对称轴为直线1x =，∴ 抛物线与x 轴的另一个交点为：()1,0,- 则0,a b c -+= 故②符合题意；∴ 抛物线与y 轴交于正半轴，则0,c >10,2b x a则0,b >0,abc 故①不符合题意；对称轴为直线1x =，∴ 当1x =时，,y a b c 最大值 故③不符合题意；当210ax bx c +++=时，则21,ax bx c而函数2y ax bx c =++与1y =-的图象有两个交点，∴ 方程210ax bx c +++=有实数根．故④符合题意；综上：符合题意的是：②④故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断,,a b c 的符号以及代数式的符号，函数的最值，方程的根”是解本题的关键.9、C【分析】根据二次函数的定义依次判断．【详解】解：A 、21y x =不是二次函数，不符合题意； B 、211y x x =++，不是二次函数，不符合题意；C 、221y x =-，是二次函数，符合题意；D 、y =故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．10、D【分析】由题意观察2y ax bx c =++的图象，进而根据与x 轴的两个交点的横坐标进行分析即可.【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：12x =-，23x =， 所以方程的近似解是12x =-，23x =.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象与x 轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与x 轴的两个交点的横坐标可以看作是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的近似解进行分析.二、填空题1、365【分析】a =-5开口方向向下，最大值为顶点y 值，由公式可得答案．【详解】解：∵h =-5t 2+12t ，∴a =-5，b =12，c =0，∴足球距地面的最大高度是：24(5)0124(5)⨯-⨯-⨯-=7.2m ， 故答案为：7.2．【点睛】本题考察了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图象与系数的关系，利用244ac b a - 求出顶点纵坐标．2【分析】由解析式是二次函数可知22k = ，再由图像的开口向上得10k ->，由此求解即可．【详解】解：∵()213k y k x =-+是二次函数，∴22k =，解得k =∵图像的开口向上，∴10k ->即1k >，∴k =．【点睛】本题考查了二次函数的定义与二次函数图像的性质，熟知 图像开口向上时，a ＞0，图像开口向下时，a ＜0是解题的关键．3、高【分析】根据二次函数图象的开口即可解答．【详解】解：∵二次函数21y x x =---∴二次函数21y x x =---的图象开口向下∴二次函数21y x x =---的图像有最高点．故答案是高．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于y =ax 2+bx +c （a ≠0），当a ＞0，函数图象开口方向向上，函数图象开口方向向下．4、8【分析】根据抛物线224y x x =--与x 轴的一个交点为（m ,0），代入函数解析式得出，得出224m m -=，代入()222422-=-m m m m 即可求解．【详解】解：∵抛物线224y x x =--轴的一个交点为（m ,0），∴将点（m ,0）代入得，2240m m --=，即224m m -=∴代数式224m m -的值为：()222422248-=-=⨯=m m m m ．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是用整体代入法求值．5、2【分析】2267(3)2y x x x =-+-=--+知y 的最大值在3x =时取得，值为2．【详解】解：267y x x =-+-2(3)2y x =--+根据函数图像性质可知在3x =时，y 最大且取值为2故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的最值问题．解题的关键将二次函数化成顶点式．三、解答题1、（1）2y x 2x 3=-++，()1,4D ；（2）①45DBE ∠=︒；②232.2y x x =-+- 【分析】（1）把点()1,0A - 和 点()3,0B 代入抛物线的解析式。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数含答案【及含答案】
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表，x …-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …y …12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 …下列四个结论：①二次函数y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；②抛物线与y轴交点为（0，-3）；③二次函数y=ax2+bx+c 的图像对称轴是x=1；④本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c的解是x1=-1,x2=3.其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.12、已知y关于x的函数图象如图所示，则当y<0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜0B.-1＜x＜1或x＞2C.x＞-1D.x＜-1或1＜x＜23、抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴的交点纵坐标为（）A.-3B.-4C.-5D.-14、抛物线y=3(x-1)2+2的顶点坐标是（）A.（1，-2）B.（-1，2）C.（1，2）D.（-1，-2）5、对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣x+ 与x轴交于An、B n 两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是（）A. B. C. D.16、二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y …4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法正确的是（）A.抛物线G的开口向下B.抛物线G的对称轴是直线C.抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）D.当x＞﹣3时，y随x的增大而增大7、将抛物线y＝2x²向右平移4个单位，再向上平移3个单位，得到的图象的表达式为( )A.y＝2(x－4)²－3B.y＝2(x＋4)²＋3C.y＝2(x－4)²＋3D.y ＝2(x＋4)²－38、若实数a使关于x的二次函数y=x2+（a-1）x-a+2，当x<-1时，y随x的增大而减小，且使关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a值的和为（）A.1B.4C.0D.39、抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是 x=1 ．下列结论中：① ；②；③ ；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个10、关于二次函数，下列说法正确的是 ( )A.当x=2时，有最大值-3；B.当x=-2时，有最大值-3；C.当x=2时，有最小值-3；D.当x=-2时，有最小值-3；11、抛物线y＝3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12、关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x-1=0有两个实数根，a的取值范围为（）A.a≥0B.a<2C.a≥0且a≠1D.a≤2或a≠113、已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14、由抛物线得到抛物线是经过怎样平移的（）A.右移1个单位上移2个单位B.右移1个单位下移2个单位C.左移1个单位下移2个单位D.左移1个单位上移2个单位15、二次函数的图象如图所示，那么，，，这四个代数式中，值为正数的有（）.A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、将抛物线y=﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为________．17、抛物线y=2（x+1）2的顶点坐标为________.18、二次函数y=﹣4（1+2x）（x﹣3）的一般形式y=ax2+bx+c是________．19、如果函数是关于x的二次函数, 则k=________ 。
2024-2025学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》同步练习题(附答案)
2024-2025学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》同步练习题（附答案）一．选择题1．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（）A．y＝﹣x2B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝x2+12．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a的值等于（）A．﹣1B．1C．D．3．已知函数y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列结论错误的是（）A．当m＝0时，y随x的增大而增大B．当m＝时，函数图象的顶点坐标是（，﹣）C．当m＝﹣1时，若x＜，则y随x的增大而减小D．无论m取何值，函数图象都经过同一个点4．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．5．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0）…求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称，根据现有信息，题中的二次函数具有的性质：（1）过点（3，0）（2）顶点是（1，﹣2）（3）在x轴上截得的线段的长度是2（4）c＝3a正确的个数（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（）B．当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D．当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小7．二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣101y3m7n7则当x＝3时，y的值是（）A．3B．m C．7D．n8．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列5个结论，其中正确的结论有（）①abc＜0②3a+c＞0③4a+2b+c＜0④2a+b＝0⑤b2＞4acA．2B．3C．4D．59．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3的关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 10．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5B．﹣4和5C．﹣4和﹣3D．﹣1和5二．填空题11．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是．12．若函数y＝（m2﹣m）x是二次函数，则m＝．13．若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．14．二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1顶点坐标．15．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）16．抛物线y＝2x2+8x+5的顶点坐标为．17．把函数y＝﹣x2﹣4x﹣5配方得，它的开口方向，顶点坐标是，对称轴是，当x＝时，函数y有最值为．18．抛物线的顶点为（2，﹣3），与y轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为．19．关于x的二次函数y＝ax2+a2的最大值为4，则a的值为；三．解答题20．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？21．当m＝时，是关于x的二次函数．22．已知二次函数y1＝ax2+bx+1（a＞0），一次函数y2＝x．（Ⅰ）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，y1的图象与y2图象的交点为P，且点P的横坐标是2，若将y2向上平移t个单位，与y1交于两点Q，R，△PQR面积为2，求t；（Ⅲ）二次函数y1图象与一次函数y2图象有两个交点（x1，y1）（x2，y2），且满足x1＜2＜x2＜4，此时设函数y1的对称轴为x＝m，求m的范围．23．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．参考答案一．选择题1．解：与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．即y＝x2+1，故选：D．2．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＜0，a＞0，则b＞0，正确；第四个图的对称轴﹣＜0，a＜0，则b＜0，故与b＞0矛盾．由于第三个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向上，a＝1．故选：B．3．解：当m＝0时，y＝x﹣1，则y随x的增大而增大，故选项A正确，当m＝时，y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，则函数图象的顶点坐标是（，﹣），故选项B正确，当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+5x﹣3＝﹣2（x﹣）2，则当x＜，则y随x的增大而增大，故选项C错误，∵y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1＝2mx2+x﹣4mx+2m﹣1＝（2mx2﹣4mx+2m）+（x﹣1）＝2m（x﹣1）2+（x﹣1）＝（x﹣1）[2m（x﹣1）+1]，∴函数y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，无论m取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故选项D正确，故选：C．4．解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＜0，∴b＜0，∵函数图象经过原点，∴c＝0，∴一次函数y＝bx+c在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线，故选：D．5．解：（1）因为图象过点（1，0），且对称轴是直线x＝2，另一个对称点为（3，0），正确；（2）顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；（3）抛物线与x轴两交点为（1，0），（3，0），故在x轴上截得的线段长是2，正确；（4）图象过点（1，0），且对称轴是直线x＝﹣＝2时，则b＝﹣4a，即a﹣4a+c＝0，即可得出c＝3a，正确．正确个数为3．故选：B．6．解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；A、当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；B、当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣﹣，|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；C、当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0即对任意m，函数图象都经过点（1，0），函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．D、当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x＝，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选：D．7．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，∵当x＝﹣1或1时，y＝7，∴抛物线的对称轴为x＝0，由抛物线的对称性可知x＝﹣3与x＝3对称，∴当x＝3时，y＝3．故选：A．8．解：①由抛物线的对称轴可知：＞0，∴ab＜0，∵抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵＝1，∴b＝﹣2a，∴由图可知x＝﹣1，y＜0，∴y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，故②错误；③由（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0），（0，0）关于直线x＝1对称点为（2，0），∴x＝2，y＞0，∴y＝4a+2b+c＞0，故③错误；④由②可知：2a+b＝0，故④正确⑤由图象可知：Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，故⑤正确；故选：B．9．解：二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象的开口向下（因为a＝﹣1＜0），对称轴是直线x ＝﹣2，所以在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，点A关于对称轴对称的点的坐标为（0，y1），∵﹣1＜0＜2，∴y3＜y1＜y2，故选：C．10．解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．二．填空题11．解：依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上（如图），当x＝﹣5时，y＝25﹣16＝9，当y＝9时，x2＝7，∵x＞0，∴x＝∵﹣16≤y′≤16，当y′＝16，代入y′＝，得：x＝4，当y＝﹣16，代入上式得：x＝4，若a＜4，则y取不到﹣16；当a＞4，则y取值超过范围；故≤a＜4．12．解：由题意，得m2+m＝2且m2﹣m≠0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．13．解：由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，故答案为：3．14．解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1图象的顶点坐标是（2，1）．故答案为：（2，1）．15．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a416．解：∵y＝2x2+8x+5＝2（x+2）2﹣3，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．17．解：y＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣（x2+4x+5）＝﹣（x+2）2﹣1．∵a＝﹣1＜0，∴开口向下，顶点坐标（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2．当x＝﹣2时，函数y有最大值为﹣1，故答案为：y＝﹣（x+2）2﹣1，下，（﹣2，﹣1），直线x＝﹣2，﹣2，大，﹣1．18．解：∵抛物线的顶点为（2，﹣3），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x﹣2）2﹣3，∵抛物线与y轴交于点（0，﹣7），∴﹣7＝4a﹣3，解得：a＝﹣1，则这个二次函数的解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3．故答案为y＝﹣（x﹣2）2﹣319．解：∵关于x的二次函数y＝ax2+a2的最大值为4，∴a＜0，且a2＝4，∴a＜0且a＝±2，∴a＝﹣2．故答案为﹣2．三．解答题20．解：（1）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m，若这个函数是二次函数，则m2﹣m≠0，解得：m≠0且m≠1；（2）若这个函数是一次函数，则m2﹣m＝0，m﹣1≠0，解得m＝0；（3）这个函数不可能是正比例函数，∵当此函数是一次函数时，m＝0，而此时2﹣2m≠0．21．解：根据二次函数的定义：m2+m＝2，解得：m＝﹣2或1，又m+2≠0，m≠﹣2，故m＝1．故答案为：1．22．解：（1）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，即：ax2+bx+1＝x，△＝（b﹣1）2﹣4a＝0，解得：b2﹣2b+1＝4a，…①答：a与b之间的关系是b2﹣2b+1＝4a；（2）图象如上图所示，若将y2向上平移t个单位后所在直线为PR所在直线为y＝x+t，将P点坐标（2，2）代入二次函数方程得：4a+2b+1＝2…②联立方程①②解得：b＝0，a＝，点Q、R的坐标由方程③和二次函数联立得：x2﹣x+1﹣t＝0，则：|x Q﹣x P|＝4，S△PQR＝•|x Q﹣x P|•PH＝2，解得：t＝1，答：t＝1；（3）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象有两个交点（x1，0）（x2，0），且满足x1＜2＜x2＜4则ax2+（b﹣1）x+1＝0有两不同实根x1，x2，且x1＜2＜x2＜4，a＞0故x＝2时ax2+（b﹣1）x+1＜0，x＝4时ax2+（b﹣1）x+1＞0，，②﹣3×①得：4a﹣2b＞0，∵a＞0，故m＝﹣＞﹣1，∴m＞﹣1，解得：m＞﹣1；答：m的范围为m＞﹣1．23．解：（1）y＝x2+4x+3＝x2+4x+22﹣22+3＝（x+2）2﹣1；（2）列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…如图，（3）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数 含答案
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若抛物线经过点P（1，－3），则此抛物线也经过点（）A.PB.PC.P (1，3)D.P2、已知二次函数y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若当x≤2时，y随x增大而减小，当x≥2时y随x增大而增大，则a的值是A.3B.5C.7D.不确定3、二次函数图象上部分点的坐标满足下表：x…-3 -2 -1 0 1 …y…-3 -2 -3 -6 -11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A.（－3，－3）B.（－2，－2）C.（－1，－3）D.（0，－6）4、如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y= x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A.0或2B.0或1C.1或2D.0，1或25、已知函数（m为常数）的图象上有三点，，，其中，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.6、有一个二次函数y=x2+ax+b，其中a、b为整数．已知此函数在坐标平面上的图形与x轴交于两点，且两交点的距离为4．若此图形的对称轴为x=-5，则此图形通过下列哪一点？（）A.（-6，-1）B.（-6，-2）C.（-6，-3）D.（-6，-4）7、将抛物线y = x2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（）A. B. C. D.8、如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A.①②B.③④C.②③D.①③9、将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y ＝﹣(x+2)2+3，则（）A. a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣10B. a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣16C. a＝﹣1，b＝0，c＝0D. a＝﹣1，b＝0，c＝610、如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A.﹣1B.﹣3C.﹣5D.﹣711、抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示有下列结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A.1B.2 C.3D.412、下表是满足二次函数的五组数据，是方程的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.2A. B. C. D.13、如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为.则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程没有实数根.其中结论正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个14、若函数y=a 是二次函数且图象开口向上，则a=（）A.﹣2B.4C.4或﹣2D.4或315、将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、二次函数的图像的顶点坐标是________.17、在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．18、把20cm长的铁丝剪成两段后，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值是________．19、如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是________．20、已知下列抛物线：①y=x2，②y=－2x2+1，③y= x2+2x－1，则开口最小的抛物线是________(填写序号).21、若将抛物线向左平移3个单位，则所得图象的函数表达式为________.22、二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是________．23、已知（﹣1，y1），（-2，y2），都在函数y=x2图象上，则y1， y2，的大小关系为________（用“＜”连接）．24、抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是________．25、抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、一个二次函数y=（k﹣1）．求k值．27、若抛物线y=x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A，B两点的直线的函数解析式．28、已知抛物线与x轴交于点（﹣1，0），（2，0），且过点（1，3），求这条抛物线的解析式．29、如图，利用一墙面（墙的长度不超过45m）,用80m长的篱笆围成一个矩形场地，当宽AD为多长时，矩形场地的面积最大，最大值为多少？30、已知二次函数.（1）在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;（2）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围;（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的函数关系式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、B4、D5、A6、C7、A8、B9、D10、C11、B12、C13、B14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步训练试题(含答案解析)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将二次函数221y x x =++的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）A ．()212y x =--B ．22y x =+C ．()212y x =-+D ．()212y x =++ 2、已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋1（a 为常数，且a ＞0）的图象上有三点A （－2，y 1），B （1，y 2），C （3，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 13、抛物线2(1)2y x =+-的顶点坐标是（ ）A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2）4、抛物线248y x x =+-的对称轴为直线（ ）A ．2x =-B ．2x =C ．4x =D ．4x =-5、抛物线y ＝（x ﹣2）2＋3的顶点坐标是（ ）A ．（﹣2，3）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）6、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、已知二次函数y ＝a （x +1）2+b （a ＜0）有最大值1，则b 的大小为（ ）A ．﹣1B ．1C ．0D ．不能确定8、如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在点(0，2)与点(0，3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝2．有以下结论：①abc ＜0；②5a +3b +c ＞0；③－35＜a ＜－25；④若点M (－9a ，y 1)，N (53a ，y 2)在抛物线上，则y 1＜y 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49、对于任何实数h ，抛物线2y x =-与抛物线2y x h =--（）的相同点是（ ）A ．形状与开口方向相同B ．对称轴相同C ．顶点相同D ．都有最低点10、关于二次函数y =-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）A ．当x ＞-2时，y 随x 增大而减小B ．当x ＞-2时，y 随x 增大而增大C ．当x ＞2时，y 随x 增大而减小D ．当x ＞2时，y 随x 增大而增大第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、二次函数22y x x k =-+的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________．2、如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根1x ，2x ，且满足123x x -=，则称这样的方程为“根差方程”，以下关于根差方程的说法，正确的是________（写序号）①方程2430x x -+=是根差方程；②若()()20x x m -+=是根差方程，则2450m m +-=；③若根差方程20ax bx c ++=满足520a c -=，则点()12,A x x 到坐标原点的距离是2；④若方程20ax bx c ++=是根差方程且相异两点()3,M t s +，()6,N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的两根分别为3和6．3、已知二次函数y ＝3（x ﹣5）2，当x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x ＝122x x +时，函数值为 _____．4、抛物线与x 轴交于点（2，0），（﹣1，0），利用两点式抛物线解析式可设为：_____．5、当0≤θ≤α时，将二次函数y ＝﹣x 2（0≤x ≤G ，绕原点逆时针旋转θ得到图形G 均是某个函数的图象，则α的最大值为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形小花园ABCD ，小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？2、如图，抛物线24y x x n =-++经过点()1,0A ，与y 轴交于点.B 过点B 且平行于x 轴的直线交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求ABC 的面积；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得ABP 的周长最小？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，二次函数的图像经过点（1，0），顶点坐标为（－1，－4）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当－5＜x ＜0时，y 的取值范围为 ；（3）直接写出该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x 轴只有一个公共点．4、某网店销售一批优质风干牦牛肉，平均每天可售出36袋，每袋盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减小库存，店家决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每袋每降价1元，商场平均每天可多售出2袋．问：（1）若店家要平均每天要盈利1520元，每袋风干牦牛肉应降价多少元？（2）每袋风干牦牛肉降价多少元时，店家平均每天盈利最多？最多是多少元？5、某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨1元，平均每天就少售出2件．（1）若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？（2）该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？（3）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，那么销售价定位多少元时，该公司每天获得的利润最大？最大利润是多少？-参考答案-一、单选题1、B【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移可得新抛物线的解析式．解：221y x x =++变为：21y x =+（），向右平移1个单位得到的函数的解析式为：211y x =+-（），即2y x ，再向上平移2个单位后，所得图象的函数的解析式为22y x =+，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．讨论二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．2、D【分析】首先计算出抛物线的对称轴，然后结合开口方向，以及各点和对称轴的远近判断对应函数值大小即可．【详解】 解：由题意，抛物线对称轴为：直线12b x a=-=， ∵a ＞0，则该抛物线开口向上，∴离对称轴越近的点，对应的函数值越小，越远的点，对应函数值越大， ∵()113112-<-<--， ∴231y y y <<，故选：D ．【点睛】本题考查比较二次函数值的大小，当抛物线开口向上时，离对称轴越近的点，对应的函数值越小，越远的点，对应的函数值越大；相反，当抛物线开口向下时，离对称轴越近的点，对应的函数值越大，越远的点，对应的函数值越小；掌握此方法是解题关键．3、B根据二次函数顶点式的特征计算即可；【详解】∵抛物线2=+-，y x(1)2∴顶点坐标为（－1，－2）；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象顶点式的图象性质，准确分析计算是解题的关键．4、A【分析】先把抛物线化为顶点式的形式，再进行解答即可．【详解】解：∵抛物线y=x2+4x-8可化为y=（x+2）2-12，∴抛物线的对称轴是直线x=-2．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．二次函数的顶点式为2=-+，则抛物线的对称轴为直线x k()y a x k h=，顶点坐标为(k，h) ．5、B【分析】由抛物线的顶点式y＝（x﹣h）2＋k直接看出顶点坐标是（h，k）．【详解】解：∵抛物线为y ＝（x ﹣2）2＋3，∴顶点坐标是（2，3）．故选：B ．【点睛】此题主要考查二次函数顶点式，解题的关键是熟知抛物线的顶点式y ＝（x ﹣h ）2＋k 的顶点坐标是（h ，k ）．6、C【分析】由抛物线开口向上得a >0，由抛物线的对称轴为直线x =-2b a>0得b <0，判断①；由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得c <0，则abc >0判断②，利用图象将x =1，-1，2代入函数解析式判断y 的值，进而对③④⑤所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a >0，∵抛物线的对称轴x =-2b a>0， ∴b ＜0，∵-2b a ＞1， ∴2a >-b ，∴2a -b ＞-2b ，∵b ＜0，∴-2b >0，即2a -b >0，故①错误；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c <0，∴abc ＞0，所以②错误；如图所示：当x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确；当x=-1时，y=a-b+c>0，故④正确；当x=2时，y=4a+2b+c>0，故⑤正确，故错误的有3个．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．7、B【分析】根据二次函数的性质，由最大值求出b即可．【详解】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+b（a＜0），∴抛物线开口向下，又∵最大值为1，即b＝1，∴b＝1．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．8、C【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答．【详解】解：①由开口可知：a ﹤0， ∵对称轴02b a -> ∴b ﹥0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ﹥0， ∴abc ﹤0，故①正确；②对称轴x =22b a -=， ∴ b =-4a ，∴5a +3b +c =5a - 12a +c =-7a +c ， ∵a ﹤0，c ﹥0，∴-7a +c ﹥0，∴5a +3b +c ﹥ 0，故②正确； ③∵x =-1，y =0，∴a -b +c =0，∴ b =-4a ，∴c =-5a ，∵2﹤c ﹤3，∴2﹤-5a ﹤3， ∴35﹤a ﹤25-，故③正确； ④点M (-9a ，y 1)，N (53a ，y 2) 在抛物线上， 则5911323a a a -+=-当1123a ->时，y 1＜y 2 当1123a -<-时，y 1＞y 2 故④错误．故选： C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．9、A【分析】根据抛物线的图象与性质即可解答；【详解】解：对于任何实数h ，抛物线2y x =-与抛物线2y x h =--（）的相同点是形状与开口方向相同，抛物线2y x =-的对称轴是y 轴，顶点是原点，有最高点（0，0）；抛物线2y x h =--（）的对称轴是直线x=h ，顶点是（h ，0），有最高点（h ，0）；故选：A【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，属于基础题目，熟练掌握抛物线的图象与性质是关键．10、C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2--23y x =（）＋， ∴抛物线开口向下，对称轴为x =2，顶点坐标为（2，3），∵二次函数的图象为一条抛物线，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，x ＜2时，y 随x 增大而增大 ∴C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a （x -h ）2+k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．二、填空题1、1k <【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->，列出不等式求解即可．【详解】解：二次函数22y x x k =-+的图象与x 轴有两个交点，所以，24440b ac k -=->，解得，1k <，故答案为：1k <．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->．2、②④【分析】①利用因式分解法解方程，验证即可；②利用因式分解法解方程，得12x =，2x m =-，求出m 的值，代入验证即可；③由题意，可得22124x x +=，123x x -=，从而推出1252x x =-，520a c +=，与题给条件进行比较即可；④由题意，不妨设123x x -=，求出抛物线对称轴为92x =，于是129x x +=，解得16x =，23x =，即可得到结论． 【详解】解：①解方程2430x x -+=得：13x =，21x =，123x x -≠，∴方程2430x x -+=不是根差方程，故①错误；②若()()20x x m -+=是根差方程，解得根为：12x =，2x m =-，∴()23m --=或23m --=，解得1m =或5-，∴2450m m +-=，故②正确；③点()12,A x x 到坐标原点的距离是2，可得：22124x x +=， 由根差方程，可得123x x -=，∴()22212121224x x x x x x +=-+=， 可得：1252x x =-， ∵12c x x a =∴520a c +=，因为520a c -=，故③错误；④方程20ax bx c ++=是根差方程，不妨设1x 为较大根，则有123x x -=，∵相异两点()3,M t s +，()6,N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上， ∴抛物线的对称轴12369222x x t t x +++-===， ∴129x x +=，∵123x x -=，解得16x =，23x =，故④正确．故答案为②④．【点睛】本题考查了新定义问题，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法—因式分解法，二次函数图象上点的坐标特征，坐标到原点的距离，正确的理解“根差方程”的定义是解题的关键． 3、0【分析】根据解析式求得顶点坐标，进而根据题意即可求得答案【详解】 解：二次函数y ＝3（x ﹣5）2的顶点坐标为()5,0，对称轴为5x =x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，∴对称轴122x x x +=∴当x ＝122x x +5=时，函数值为0 故答案为：0【点睛】本题考查了二次函数2()y a x h =-的性质，二次函数的对称性，求得定点坐标是解题的关键． 4、(2)(1)y a x x =-+【分析】根据两点式解析式的特点设(2)(1)y a x x =-+．【详解】解：∵抛物线与x 轴交于点（2，0），（﹣1，0），∴抛物线解析式可设为(2)(1)y a x x =-+，故答案为：(2)(1)y a x x =-+．【点睛】此题考查了两点式解析式的公式12()()y a x x x x =--，正确掌握公式及字母表示的意义是解题的关键． 5、30【分析】根据题意，找到图象G 的切线，进而根据旋转的性质即可求得α的最大值【详解】解：∵将二次函数y ＝﹣x 2（0≤x ≤G ，逆时针旋转θ得到图形G 均是某个函数的图象，设过原点的直线y kx =∴当y ＝﹣x 2，y kx =存在唯一交点时即2x kx -=)20k =解得k =设()P m 为y =上一点，过点P 作PQ y ⊥轴，则,OQ PQ m ==tan POQ ∠=30POQ ∴∠=︒当图象G 旋转30时，与y 轴相切，符合函数图象，故30θ≤︒即max =30α︒故答案为：30°【点睛】本题考查了旋转的的性质，抛物线与直线交点问题，解直角三角形，理解题意求得直线与y 轴的夹角是解题的关键．三、解答题1、（1）（1）2240y x x =-+.（7.520x ≤<）；（2）当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是2200m【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB 边长为x m ，可得BC =(40-2x )m ，然后根据矩形面积即可求得y 与x 之间的函数关系式，又由墙长25m ，即可求得自变量的x 的范围；（2）用配方法求最大值解答问题．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵AB =x m ，∴BC =(40-2x )m ，∴花园的面积为：y =AB •BC =x •(40-2x )=-2x 2+40x ，∵40-2x ≤25，x +x <40，∴x ≥7.5，x <20，∴7.5≤x <20，∴y 与x 之间的函数关系式为：y =-2x 2+40x （7.5≤x <20）；（2）∵ 22(10)200y x =--+，(7.520x ≤<)∴ 当10x =时，max 200y =．答：当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是200m 2．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．2、（1）243y x x =-+-；（2）6；（3）存在，()2,1P -，理由见解析．【分析】（1）将点(1,0)A 代入函数解析式求解即可确定函数解析式；（2）当0x =时，3y =-，可确定点B 的坐标，然后由对称轴及BC x ∥轴，可得点C 的坐标，据此得出4BC =，3OB =，然后根据三角形面积公式求解即可；（3）根据B 、C 关于抛物线的对称轴对称，可得点P 为直线AC 与抛物线对称轴2x =的交点，此时，ABP ∆的周长最小，设直线AC 的解析式为y kx b =+，利用待定系数法确定函数解析式，然后联合对称轴2x =求解即可确定点P 的坐标．【详解】解：（1）将(1,0)A 代入24y x x n =-++中，得：140n -++=，解得：3n =-∴抛物线的解析式：243y x x =-+-；()2当0x =时，3y =-，∴(0,3)B -，由（1）知，抛物线的对称轴：22b x a =-=， ∵BC x ∥轴，∴点B 、C 关于对称轴2x =对称，则()4,3C -，4BC =，3OB =，1143622ABCS BC OB ∴=⋅⋅=⨯⨯=；（3）如图所示：点B 、C 关于抛物线的对称轴对称，∴点P 为直线AC 与抛物线对称轴2x =的交点，此时，ABP ∆的周长最小，设直线AC 的解析式为y kx b =+，代入(1,0)A 、(4,3)C -，得：043k b k b +=⎧⎨+=-⎩， 解得11k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴直线AC ：1y x =-+；∴点P 为直线AC 与抛物线对称轴2x =的交点，∴12y x x =-+⎧⎨=⎩， 解得21x y =⎧⎨=-⎩， (2,1)P -∴．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数与一次函数交点及二次函数的基本性质等，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．3、（1）y ＝(x ＋1) 2－4；（2）－4≤y ＜12；（3）向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度；或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度【分析】（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可；（2）抛物线开口向上，有最小值，在－5＜x ＜0范围内，有最小值是-4，求出当x =-5时，y =12，结合函数图象可得y 的取值范围；（3）根据题意设出平移后的函数解析式，再把（3，4）代入设出的解析式并求出待定系数即可得解．【详解】解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋1) 2－4．将(1，0)代入y ＝a (x ＋1) 2－4，得，2(11)40a ⨯+-=解得，a ＝1，∴y ＝(x ＋1) 2－4．（2）当x =-5时，y =(-5+1)2-4=12∵抛物线的顶点坐标为（-1，-4）∴当0x <时，y 的最小值为-4，∴当－5＜x ＜0时，y 的取值范围为－4≤y ＜12故答案为4≤y ＜12；（3）∵抛物线与x 轴只有一个公共点∴该二次函数的图象向上平移了4个单位，设平移后的二次函数解析式为()21y x h =++∵平移后的二次函数图象经过点（3，4）∴()2314h ++= ∴122,6h h =-=-因此，该二次函数图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点．【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确的求得解析式．4、（1）每袋风干牦牛肉应降价20元，平均每天盈利为1520元；（2）降价11元时，店家盈利最多，最多1682元【分析】（1）设每袋风干牦牛肉应降价x元，根据等量关系风干牦牛肉销售件数×每袋利润=1520元列方程()()362401520+-=x x解方程即可；（2）列出商场平均每天赢利y与风干牦牛肉降价x之间的函数关系式，并化为顶点式，即可解答．【详解】解：(1)设每袋风干牦牛肉应降价x元，根据题意，得()()362401520+-=x x，解得12x=，220x=，根据为了尽快减少库存，x应取20，所以每袋风干牦牛肉应降价20元，平均每天盈利为1520；(2)设每天盈利为y元，根据题意，得()()()2362402111682=+-=--+y x x x，当11x=时，店家盈利最多，最多1682元．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键．5、（1）802x -；（2）25元或35元；（3）销售价定位28元时，该公司每天获得的利润最大，最大利润是192元【分析】（1）销售数量=32-2（售价-24）；（2）利润=（售价-成本价）×销售数量，列方程求解；（3）构造二次函数，用函数思想求解．【详解】解：（1）根据题意，得：322(24)802x x --=-．（2）由题意可得，(20)(802)150x x --=，解得125x =，235x =．答：该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价为25元或35元．（3）设公司每天获得的利润为y 元，根据题意得()()22080221201600y x x x x =--=-+-．∵20,a y =-<有最大值，x =302b a -=， ∴当30x <时，y 随x 的增大而增大，∴当28x =时每天获得的利润最大，(2820)(80228)192y =-⨯-⨯=最大元．答：物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，那么销售价定位28元时，该公司每天获得的利润最大，最大利润是192元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，准确求解一元二次方程是解题的关键．。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试训练卷(word 含答案)
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。
北师大版九年级下册数学第2章 二次函数 2.1 二次函数的概念
第一节 二次函数的概念◆ 问题：（1）矩形周长为16cm, 它的一边长为xcm ，面积为ycm 2，则y 与x 之间函数关系为 。
（2）某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头。
后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。
如果养殖场减少x 个，求该地区奶牛总数y （头）与x （个）之间的函数关系式.◆ 归纳：在上述问题中，用来表示函数的式子都是关于自变量的二次整式。
小结：（1）二次函数的概念一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.a为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项.（2）二次函数的定义域二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的定义域为一切实数◆ 例题讲解：例1：判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值.(1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝x 21－23x ＋1(4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x(7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c例2：当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？例3：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系；（2） 圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．课堂练习：1、判断下列函数是否是二次函数,若是,请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。
第2章 二次函数 北师大版九年级下学期单元测试数学试卷(含答案)
北师版九下数学第二章二次函数单元测试1. 如图，关于抛物线，下列说法错误的是A．顶点坐标为B．对称轴是直线C．开口方向向上D．当时，随的增大而减小2. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是A．，B．，C．，D．，3. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与轴的交点旋转，所得抛物线的解析式是A．B．C．D．4. 如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）；（3）；（4）．你认为其中错误的有A．个B．个C．个D．个5. 已知抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③．其中，正确结论的个数为A．B．C．D．6. 抛物线开口向下，且经过原点，则．7. 如图，已知二次函数的图象经过点，，当随的增大而增大时，的取值范围是．8. 已知二次函数的图象与轴的负半轴和正半轴分别交于，两点，与轴交于点，它的顶点为，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，且．(1) 求，两点的坐标；(2) 若，求这个二次函数的关系式．9. 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为元时，每天可销售件；当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件．(1) 当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售数量为件；(2) 当每件的销售价为多少时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润．10. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与直线交轴于点，点是抛物线的顶点，且横坐标为．(1) 求出抛物线的解析式；(2) 判断的形状，并说明理由．11. 已知函数（为常数）．(1) 该函数的图象与轴的公共点的个数是．A．B．C．D．或(2) 求证：不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上．12. 如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标．答案1. 【答案】D2. 【答案】B3. 【答案】B4. 【答案】D5. 【答案】C6. 【答案】7. 【答案】8. 【答案】(1) 过点作轴于点，因为，所以该二次函数的对称轴为：，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以．因为与关于直线对称，所以．(2) 过点作于点，交于点，令代入，所以，令代入，所以，所以，因为，所以．所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，把代入，所以解得：，所以该二次函数解析式为：．9. 【答案】(1)(2) 由题意得：每件销售价为元时，获得最大利润；最大利润为元．10. 【答案】(1) 由直线，可得，，抛物线与轴交于点，，抛物线的顶点的横坐标为，．设．在抛物线上．，．抛物线的解析式为．(2) 是直角三角形，理由如下：，顶点的坐标是．，，，，，，是直角三角形，．11. 【答案】(1) D(2) 因为，所以该函数的图象的顶点坐标为．把代入，得．因此，不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上．12. 【答案】(1) 由题意，得解得抛物线的函数表达式为．(2) 抛物线与轴的交点为，，，抛物线的对称轴为直线．如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，由翻折得，在中，由勾股定理，得，点的坐标为，．．由翻折得，在中，，点的坐标为．。
九年级数学下(北师大版)第二章《二次函数》综合习题练习(含解析)
二次函数综合题类型一有关图象变换问题1．已知抛物线y＝a(x－1)2＋3(a≠0)与y轴交于点A(0，2)，顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M.(1)填空：a的值为______，点B的坐标为______；(2)有一个动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t秒，求t为何值时P A＋PB最小；(3)将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C作DE∥x轴，分别交l1、l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．第1题图解：(1)－1，(1，3)；【解法提示】把A(0，2)代入抛物线的解析式可得，2＝a＋3，∴a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3，∴抛物线的顶点B的坐标为(1，3)．(2)如解图①，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，点P 即为所求．第1题解图①∵A ′(0，－2)，B (1，3)，易得直线A ′B 的解析式为y ＝5x －2， 令y ＝0得，x ＝25，∴P (25，0)， ∴2t ＝25，∴t ＝15时，P A ＋PB 最小；(3)设抛物线向右平移后的解析式为y ＝－(x －m )2＋3.由⎩⎨⎧y ＝－（x －1）2＋3y ＝－（x －m ）2＋3，解得x ＝m ＋12， ∴点C 的横坐标为m ＋12，∵MN ＝m －1，四边形MDEN 是正方形，如解图②，当点C 在x 轴的上方时，C (m ＋12，m －1)，第1题解图②把点C 的坐标代入y ＝－(x －1)2＋3， 得到m －1＝－（m －1）24＋3，解得m ＝3或m ＝－5(舍去)，∴平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －3)2＋3；当点C 在x 轴下方时，C (m ＋12，1－m )， 把点C 的坐标代入y ＝－(x －1)2＋3， 得到1－m ＝－（m －1）24＋3，解得m ＝7或m ＝－1(舍去)，∴平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －7)2＋3. 综上所述，平移后的解析式为y ＝－(x －3)2＋3或 y ＝－ (x －7)2＋3.2．已知抛物线y ＝x 2－2ax ＋a 2(a 为常数，a >0)，G 为该抛物线的顶点． (1)如图①，当a ＝2时，若抛物线与y 轴交于点M ，则△GOM 的面积为________；(2)如图②，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90°后，所得新图象与y 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方)，D 为x 轴的正半轴上一点，以OD 为一对角线作平行四边形OQDE ，其中Q 点在第一象限，QE 交OD 于点C ，若QO 平分∠AQC ，AQ ＝2QC .求证：△AQO ≌△EQO ；(3)在(2)的条件下，若QD ＝OG ，试求a 的值．图① 图②第2题图解：(1)4；【解法提示】当a ＝2时，令x ＝0，则y ＝a 2＝4，∴点M (0，4)，∵y ＝x 2－2ax ＋a 2＝(x －a )2，∴当a ＝2时，顶点G (2，0)，∴OM ＝4，OG ＝2，S △GOM ＝12OM ·OG ＝12×4×2＝4.(2)证明：∵四边形OQDE 为平行四边形， ∴QC ＝CE ＝12QE ，又∵AQ ＝2QC ，∴AQ ＝EQ ，∵QO 平分∠AQC ，∴∠AQO ＝∠EQO ，∵在△AQO 和△EQO 中，⎩⎨⎧AQ ＝EQ∠AQO ＝∠EQO QO ＝QO，∴△AQO ≌△EQO (SAS)； (3)∵由题意知G (a ，0)， ∴OG ＝a ，∴OA ＝a ， ∵QD ＝OG ，∴QD ＝a ，∵四边形OQDE 为平行四边形，∴OE ＝QD ＝a ， 即A (0，a )，由旋转知，旋转前抛物线点A 的坐标为(2a ，a )， 把(2a ，a )代入y ＝x 2－2ax ＋a 2得，4a 2－2a ·2a ＋a 2＝a ， 即a 2＝a ，解得a ＝1或0. ∵a 为常数，a >0，∴a＝0不合题意，舍去，∴a＝1.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－33x2＋233x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D.(1)求直线BC的解析式；(2)如图②，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC.当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使PE＋12BE的值最小，求点P的坐标和PE＋12BE的最小值；(3)如图③，点G是线段CB的中点，将抛物线y＝－33x2＋233x＋3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为F.在抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②图③第3题图解：(1)当x＝0时，y＝－33x2＋233x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)，当y＝0时，有﹣33x2＋233x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点B的坐标为(3，0)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 将B (3，0)、C (0，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝3，解得：⎩⎨⎧k ＝－33b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣33x ＋3；(2)如解图①中，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，交直线BC 于点F .作EN ⊥x 轴，设P (a ，－33a 2＋233a ＋3)，则F (a ，－33a ＋3)，第3题解图①∴PF ＝－33a 2＋3a ，∴S △PBC ＝12×PF ×3＝－32a 2＋332a ， ∴当a ＝32时，S △PBC 最大 ， ∴P (32，534)， ∵C (0，3)，B (3，0)， ∴tan ∠CBO ＝33，∴∠CBO ＝30°，∵EN ⊥x 轴，∴EN＝12BE，∴PE＋12BE＝PE＋EN，∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE＋12BE的值最小．此时PE＋12BE＝PE＋EN＝PM＝534；(3)存在，点Q坐标为(3，32)或(3，－235)，∵D是对称轴x＝1与x轴的交点，G是BC的中点，∴D(1，0)，G(32，32)，∴直线DG解析式y＝3x﹣3，∵抛物线y＝－33x2＋233x＋3＝－33(x－1)2＋433沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，∴原抛物线向右平移了2个单位，∴y′＝－33(x－3)2＋433，∴F(3，43 3)，∴对称轴为x＝3，∵△FGQ为直角三角形，∴∠FGQ＝90°或∠FQG＝90°，∠GFQ＝90°(不合题意，舍去)，当∠FQG＝90°，则QG∥x轴，∴Q(3，3 2)；当∠FGQ＝90°，设点Q坐标(3，y)，∵FQ 2＝FG 2＋GQ 2，∴(433－y )2＝(3－32)2＋(433－32)2＋(3－32)2＋(32－y )2. ∴y ＝－235， ∴Q (3，－235)，综上所述，Q 的坐标可能为(3，32)或(3，－235)．4．如图，已知二次函数y 1＝ax 2＋bx 的图象经过(－2，4)，(－4，4)两点． (1)求二次函数y 1的解析式；(2)将y 1沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y 2，直线y ＝m (m >0)交y 2于M 、N 两点，求线段MN 的长度(用含m 的代数式表示)； (3)在(2)的条件下，y 1、y 2交于A 、B 两点，如果直线y ＝m 与y 1、y 2的图象形成的封闭曲线交于C 、D 两点(C 在左侧)，直线y ＝－m 与y 1、y 2的图象形成的封闭曲线交于E 、F 两点(E 在左侧)，求证：四边形CEFD 是平行四边形．第4题图解：(1)将点(－2，4)，(－4，4)代入y 1＝ax 2＋bx ，得 ⎩⎨⎧4a －2b ＝416a －4b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－3，∴y1＝－12x2－3x；(2)将y1配方，得y1＝－12(x＋3)2＋92，∴顶点坐标是(－3，9 2)．此顶点沿x轴翻折后为(－3，－92)，再向右平移2个单位后的点是(－1，－92)．翻折后抛物线的方向改变，但开口大小不变，∴翻折后抛物线解析式的二次项系数是1 2.∴y2＝12(x＋1)2－92，即y2＝12x2＋x－4.令y2＝m，得12x2＋x－4＝m，即x2＋2x－2(4＋m)＝0.设此方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2(4＋m)．∵x1，x2是点M，N的横坐标，∴MN＝|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4＋8（4＋m）＝29＋2m；(3)设点A的纵坐标为y0.①当y0≤m＜92时，如题图．对于直线y＝m和函数y1＝－12x2－3x，由第(2)问的方法求得CD＝29－2m.对于直线y＝－m和函数y2＝12x2＋x－4，由第(2)问的方法可知EF＝29－2m.∴CD＝EF.又CD∥EF，∴四边形CEFD是平行四边形．②当0＜m ＜y 0时，如解图，此时直线y ＝m 与y 1的右交点为D ，与y 1的左交点为C ，直线y ＝－m 与y 2的右交点为F ，与y 2的左交点为E .第4题解图由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝－12x 2－3x ， 消去y ，得－12x 2－3x ＝m ，即x 2＋6x ＋2m ＝0. 解此方程，得x ＝－3±9－2m . 点D 的横坐标为x D ＝－3＋9－2m . 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝－12x 2＋x －4，消去y ，得 12x 2＋x －4＝m ，即x 2＋2x －2(4＋m )＝0. 解此方程，得x ＝－1±9＋2m . 点C 的横坐标为x C ＝－1－9＋2m . ∴CD ＝x D －x C ＝9－2m ＋9＋2m －2.同理，x F＝－3＋9＋2m，x E＝－1－9－2m.∴EF＝x F－x E＝9－2m＋9＋2m－2.∴CD＝EF.∴四边形CEFD是平行四边形．综上所述，当m＞0时，所构成的四边形CEFD是平行四边形．类型二有关图形规律问题5．如图，在平面直角坐标系中，B(－2，0)，C(0，4)，将△BOC绕原点O顺时针旋转90°得到△DOA，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A，B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)将△ADO以每秒一个单位的速度沿x轴的负半轴向左平移，平移后的三角形记为△D′O′A′，平移时间为t秒．①当D′落在抛物线上时，求t的值；②t为何值时，△D′A′C的周长最小？直接写出t的值和△D′A′C周长的最小值；③设△D′O′A′与△BOC重叠部分的面积为S，当0≤t≤4时，请直接写出S与t的函数关系式．第5题图解：(1)根据题意得OA＝OC＝4，BO＝DO＝2，∴D(0，2)，A(4，0)．∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，∵抛物线过点C(0，4)，∴4＝－8a，∴a＝－1 2，∴抛物线的解析式是y＝－12x2＋x＋4；(2)①设D′的坐标是(－t，2)，当D′落在抛物线上时，－12t2－t＋4＝2，解得：t1＝－1＋5，t2＝－1－5(不合题意，舍去)，∴t＝－1＋5；②如解图①，过点A作AE⊥AB，在AE上截取AF＝CD＝2，连接DD′、A′F、CD′、CA′，第5题解图①∵AF＝CD＝2，DD′＝AA′＝t，∠CDD′＝∠A′AF＝90°，∴△AA′F≌△DD′C，∴CD′＝A′F，∵OD＝2，AO＝4，∴AD＝OD2＋AO2＝25，∴A′D′＝25，∵△CD′A′的周长＝A′D′＋CD′＋CA′＝25＋A′F＋CA′，由两点之间线段最短可知，当CA′，A′F共线时，A′F＋CA′值最小，最小值为CF的长度，此时C(0，4)，F(4，－2)，∵CF＝62＋42＝213，∴△CD′A′的周长的最小值为213＋2 5.∵C(0，4)，F(4，－2)，∴直线CF的解析式y＝－32x＋4，当y＝0，则x＝83，∴t＝4－83＝43.③当0≤t≤1时，S＝（2＋4－t2）t2＝－t24＋2t；当1＜t＜2时，S＝－2120t2＋185t－45；当2≤t≤4时，S＝－120t2－25t＋165.【解法提示】当0≤t≤1，如解图②，第5题解图②∵tan∠A′＝24＝12＝OEOA′，∴OE＝4－t 2，∴S重叠部分＝（2＋4－t2）t2＝－t24＋2t；当1＜t＜2，如解图③，可求S重叠部分＝－2120t2＋185t－45；当2≤t≤4时，如解图④，可求S重叠部分＝－120t2－25t＋165.图③图④第5题解图6．已知直线y＝2x＋m与抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M(1，0)，且a ＜b.(1)抛物线顶点Q的坐标为________(用含a的代数式表示)；(2)猜想直线y＝2x＋m与抛物线的交点情况，并证明你的猜想；(3)设直线y＝2x＋m与抛物线的另一个交点为N，若－1≤a≤－12，求线段MN长度的取值范围．解：(1)(－12，－9a4)；【解法提示】∵抛物线过点M (1，0)，∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∵y ＝ax 2＋ax ＋b ＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋12)2－9a 4，∴抛物线顶点Q 的坐标为(－12，－9a4)． (2)直线y ＝2x ＋m 与抛物线有两个交点．证明如下： ∵直线y ＝2x ＋m 经过点M (1，0)， ∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2，联立⎩⎨⎧y ＝2x －2y ＝ax 2＋ax －2a ，得ax 2＋(a －2)x －2a ＋2＝0①， ∴Δ＝(a －2)2－4a (－2a ＋2)＝9a 2－12a ＋4， 又∵a ＜b ，b ＝－2a ， ∴a ＜0，b ＞0，∴Δ＝9a 2－12a ＋4＝(3a －2)2＞0， ∴方程①有两个不相等的实数根， ∴直线y ＝2x ＋m 与抛物线有两个交点；(3)由(2)得M 、N 的横坐标为方程ax 2＋(a －2)x －2a ＋2＝0的解，即x 2＋(1－2a )x －2＋2a ＝0，∴[x ＋(12－1a )]2＝(1a －32)2，解得x 1＝1，x 2＝2a －2，将x ＝2a －2代入y ＝2x －2得y ＝4a －6，∴点N (2a －2，4a －6)， 根据两点间的距离公式得，MN 2＝[(2a －2)－1]2＋(4a －6)2＝20a 2－60a ＋45＝20(1a －32)2，∵－1≤a ≤－12，则－2≤1a ≤－1，∴1a －32＜0， ∴MN ＝25(32－1a )＝35－25a ， 又∵－1≤a ≤－12，∴55≤MN ≤7 5.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c ，经过A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于C 点．已知M (0，1)，E (a ，0)，F (a ＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标； (3)若△PCM 是以CM 为底边的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．第7题图 备用图解：(1)将点A (－1，0)，B (5，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得：⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0－25＋5b ＋c ＝0，解得：⎩⎨⎧b ＝4c ＝5，∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)当a ＝1时，E (1，0)，F (2，0)，OE ＝1，OF ＝2. 设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，如解图①，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4.第7题解图①S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12(PN ＋OF )·ON －12PN ·MN －12OM ·OE＝12(x ＋2)(－x 2＋4x ＋5)－12x (－x 2＋4x ＋4)－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92＝－(x －94)2＋15316，∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316， 当x ＝94时，y ＝－(94－2)2＋9＝14316. 此时点P 坐标为(94，14316)；(3) ∵M (0，1，)，C (0，5), △PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6. ∵点P 在第一象限，∴P (2＋6，3)．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如解图②，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)； 作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)；连接PM 2，与x 轴交于点F ，此时ME ＋PF ＝ PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P (2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得：⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，第7题解图②解得：m ＝46－45，n ＝－46＋15，∴y ＝46－45x －46＋15，当y ＝0时，解得x ＝6＋54.∴F (6＋54，0)．∵a＋1＝6＋5 4，∴a＝6＋1 4.∴当a＝6＋14时，四边形PMEF周长最小．8．如图，已知直线l：y＝13x＋b经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，B n(n，y n)(n为正整数)依次在直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，A n＋1(x n＋1，0)，设x1＝d(0<d<1)．(1)求b的值；(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示)；(3)当d(0<d<1)的大小变化时，是否存在顶点与x轴的两个交点所构成的三角形是直角三角形的抛物线？若存在，请你求出相应的d的值，若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)∵M(0，14)在直线y＝13x＋b上，∴14＝13×0＋b，∴b＝1 4；(2)由(1)得：y＝13x＋14，∵B1(1，y1)在l上，∴当x＝1时，y1＝13×1＋14＝712，∴B1(1，7 12)．∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋712(a≠0)，又∵x1＝d，∴A1(d，0)，∴0＝a(d－1)2＋7 12，∴a＝－712（d－1）2，∴经过点A1，B1，A2的抛物线的解析式为：y＝－712（d－1）2(x－1)2＋712；(3)存在．由抛物线的对称性可知，所构成的三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0<d<1，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1.∵当x＝1时，y1＝13×1＋14＝712<1，当x＝2时，y2＝13×2＋14＝1112<1，当x＝3时，y3＝13×3＋14＝114>1，∴该抛物线的顶点只有B1，B2，①若B1为顶点，由B1(1，7 12)，则d＝1－712＝512；②若B2为顶点，由B2(2，11 12)，则d＝1－[(2－1112)－1]＝1112，综上所述，d的值为512或1112时，存在满足条件的抛物线．类型三有关新定义问题9．如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两条抛物线L1、L2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)在图①中，抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与L2：y＝a(x－4)2－3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为________，a的值为________；(2)在图②中，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4，它的“伴随抛物线”为L4，若L3与y轴交于点C，点C关于L3的对称轴对称点为D，请求出以点D为顶点的L4的解析式；(3)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a2(x －h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．图① 图②第9题图解：(2，1)，1； 【解法提示】(1)∵抛物线L 1：y ＝－x 2＋4x －3，∴此抛物线的顶点坐标A (2，1)，∵抛物线L 2过点A (2，1)，∴1＝a (2－4)2－3，∴a ＝1.(2)由L 3：y ＝2x 2－8x ＋4化成顶点式，得y ＝2(x －2)2－4，∴C (0，4)，对称轴为x ＝2，顶点坐标(2，－4)，∴点C 关于对称轴x ＝2的对称点D (4，4)，设L 4：y ＝a (x －h )2＋k则L 4：y ＝a (x －4)2＋4，再将点(2，－4)代入得，－4＝4a ＋4，解得：a ＝－2，L 3的伴随抛物线L 4的解析式为：y ＝－2(x －4)2＋4；(3)a 1＝－a 2.理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上，设A (m ，n )，B (h ，k )，∴可以列出两个方程⎩⎨⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k ①k ＝a 1（h －m ）2＋n ②， ①＋②得：(a 1＋a 2)(m －h )2＝0，∵伴随抛物线的顶点不重合，∴a 1＝－a 2.10．在平面直角坐标系中，将抛物线L 1：y ＝12x 2，沿x 轴向右平移m (m ＞0)个单位长度，得抛物线L 2，顶点为P ，交L 1于点Q .(1)抛物线L 2的表达式为________(用字母m 表示)；(2)连接OQ 、PQ ，当∠OQP ＝60°时，点Q 的坐标为________；(3)若将抛物线L 1与L 2其中任意一条沿着x 轴方向水平向左(或向右)平移得到另一条，记抛物线L 1的顶点为O ，抛物线L 2的顶点为P ，抛物线L 1与L 2的交点为点Q ，连接OQ 、PQ ，当∠OQP ＝90°时，我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线”．①当L 1和L 2是“共轭抛物线”时，求m 的值；②请你根据上述“共轭抛物线”的概念，求出抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”．第10题图解：(1)y ＝12(x －m )2；【解法提示】将抛物线L 1沿x 轴向右平移m (m ＞0)个单位长度，得到抛物线L 2：y ＝12(x －m )2. (2)(23，6)；【解法提示】如解图①，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，由点Q 到L 1与L 2的对称轴的距离相等，可得：OG ＝PG ＝12OP ＝12m ，当x ＝m 2时，y ＝18m 2，即点Q 的坐标为(12m ，18m 2)，∵∠OQP ＝60°，∴根据抛物线的性质可知：△OPQ 为等边三角形，∴tan ∠QOP ＝QG OG ＝tan60°＝18m 212m ＝3，第10题解图①解得：m ＝43，∴点Q 坐标为(23，6)；(3)①∵∠OQP ＝90°，OQ ＝PQ ，∴∠QOG ＝45°，OG ＝PG ＝12OP ＝12m ，当x ＝12m 时，y ＝12×(12m )2＝18m 2，故点Q 的坐标为(12m ，18m 2)，由∠QOG ＝45°，∠OGQ ＝90°，得：OG ＝GQ ，∴|12m |＝|18m 2|，解得：m ＝0(不符合题意，舍去)，m ＝±4，当m ＝4时，抛物线向右平移；当m ＝－4时，抛物线向左平移，综上所述，当L 1和L 2是“共轭抛物线”时，m 的值为±4；②如解图②，∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，第10题解图②∴设抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”为：y ＝－(x ＋1－m )2＋4， ∵△PEQ 是等腰直角三角形，∴PF ＝FQ ，则PF ＝|m 2|，当x ＝－1＋12m 时，y ＝－14m 2＋4，即Q (－1＋12m ，－14m 2＋4)，FQ ＝4－(－14m 2＋4)＝14m 2，由PF ＝FQ 可知：|12m |＝14m 2，解得：m ＝±2或m ＝0(不符合题意，舍去)，则抛物线y ＝－x 2－2x ＋3向右平移所得的“共轭抛物线”为：y ＝－(x －1)2＋4； 抛物线y ＝－x 2－2x ＋3向左平移所得的“共轭抛物线”为：y ＝－(x ＋3)2＋4， 综上所述，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”为y ＝－(x －1)2＋4或y ＝－(x ＋3)2＋4.。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题(含答案)
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北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》练习题（含答案）（满分:100分时间：100分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列函数中，不是二次函数的是()A．y＝1－错误!x2 B．y＝2（x－1）2＋4 C．错误!（x－1）（x＋4) D．y＝(x－2）2－x2答案：D2．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（）A．（3，0） B．（0,3） C．(0） D，0）答案：B3．把二次函数y＝－错误!x2－x＋3用配方法化成y＝a(x－h）2＋k的形式（）A．y＝－错误!（x－2）2＋2 B．y＝错误!(x－2）2＋4C．y＝－错误!（x＋2)2＋4 D．y＝＋3答案：C4．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位,再向下平移1个单位，所得抛物线为(）A．y＝3(x－2）2－1 B．y＝3（x－2)2＋1 C．y＝3(x＋2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋1答案：C5．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言,下列结论正确的是（)A．与x轴有两个交点 B．开口向上C．与y轴的交点坐标是（0,3） D．顶点坐标是(1，－2）答案：D6．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是（）A．－8 B．8 C．±8 D．6答案：B6题图 8题图 9题图7．点P1（﹣1，y1）,P2（3,y2）,P3（5，y3)均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＝y2答案：A8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时,下列说法正确的是(）A．有最小值－5、最大值0 B．有最小值－3、最大值6C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6答案：B21122x⎛⎫-⎪⎝⎭9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是（ )A ．a 〈0B ．b 2－4ac 〈0 C ．当－1〈x 〈3时，y 〉0 D ．－错误!＝1 答案:D10．在同一平面直角坐标系内，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是（ )A B C D答案:C二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分）11．若函数y ＝(m －3)是二次函数，则m ＝______。