2019年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷(5月份)(解析版)
第1页，共9页 2019年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 设集合A={x|x2-5x+4＜0}，B={x||x-a|＜1}，则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、𝑎+𝑏2、√𝑎𝑏按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列 3. 已知双曲线𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为√3，则p=（ ） A. 1 B. 32 C. 2 D. 3 4. 若函数f（x）满足：f（|x|）=|f（x）|，则称f（x）为“对等函数”，给出以下三个命题： ①定义域为R的“对等函数”，其图象一定过原点； ②两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”； ③若定义域是D的函数y=f（x）是“对等函数”，则{y|y=f（x），x∈D}⊆{y|y≥0}； 在上述命题中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 若复数z满足∣∣∣𝑧1−𝑖𝑖∣∣∣=-1+2i，则z等于______． 6. 计算：𝑛→∞𝑙𝑖𝑚𝐶𝑛38𝑛3+1=______ 7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=______． 8. 关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为(32111𝑚)．若Dx=5，则实数m=______． 9. 已知实数x、y满足不等式组{2𝑥−𝑦−2≥0𝑥−𝑦≥0𝑦≥0，则𝑤=𝑦−1𝑥+1的取值范围是______ 10. 在(√𝑥−12𝑥)10展开式中，含x的负整数指数幂的项共有______项． 11. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为______． 12. 连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量𝑎⃗ =（m，n），则𝑎⃗ 与𝑏⃗ =（1，-1）的夹角成为直角三角形内角的概率是______． 13. 已知集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为______． 14. 在△ABC中，BC=√2，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，线段CD长的最大值为______． 15. 如图，B是AC的中点，𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥，𝑦∈𝑅)．有以下结论： ①当x=0时，y∈[2，3]； ②当P是线段CE的中点时，𝑥=−12，𝑦=52； ③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段； ④x-y的最大值为-1； 其中你认为正确的所有结论的序号为______．
16. 对任意实数x和任意𝜃∈[0，𝜋2]，恒有(𝑥+3+2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃)2+(𝑥+𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃)2≥18，则实数a的
取值范围为______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=4，𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ •𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =8． （1）求a2+c2的值； （2）求函数f（B）=√3sinBcosB+cos2B的值域．
18. 如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB． （1）求证：AB⊥平面PCB； （2）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
19. 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）． （1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度； （2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？ 第2页，共9页
20. 已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5． （I）求抛物线G的方程； （II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+（y-1）2=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值； （III）过A、B分别作抛物G的切线l1，l2且l1，l2交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．
21. 已知数列{an}是以d为公差的等差数列，{bn}数列是以q为公比的等比数列．
（Ⅰ）若数列的前n项和为Sn，且a1=b1=d=2，S3＜a1003+5b2-2010，求整数q的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（Ⅲ）若b1=ar，b2=as≠ar，b3=at（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项． 第3页，共9页
答案和解析 1.【答案】A
【解析】
解：根据题意，集合A={x|x2-5x+4＜0}={x|1＜x＜4}=（1，4）， B={x||x-a|＜1}=（a-1，a+1）， 若“a∈（2，3）”，可得1＜a-1＜2，3＜a+1＜4，必有“B⊆A”，
若“B⊆A”，则有，解可得2≤a≤3，“a∈（2，3）”不一定成立； 则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的充分不必要条件； 故选：A． 根据题意，先表示出集合A、B，进而分析可得：若“a∈（2，3）”，必有“B⊆A”，而若“B⊆A”，则“a∈（2，3）”不一定成立；由充分必要条件的定义，分析可得答案． 本题考查充分必要条件的判定及应用，关键求出集合B， 2.【答案】B 【解析】 解：（1）若a＞b＞0 则有a＞＞＞b 若能构成等差数列，则a+b=+，得=2， 解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列 若能构成等比数列，则a•b=•，得=2， 解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列 （2）若b＜a＜0， 则有＞a＞＞b 若能构成等差数列，则+b=a+，得2=3a-b 于是b＜3a 4ab=9a2-6ab+b2 得b=9a，或b=a（舍） 当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列． 于是b=9a＜0，满足题意 但此时•b＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等数列 故选：B． 由实数a，b满足a•b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、、按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b的值，最后综合讨论结果，可得答案． 本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定
义和性质是解答的关键．
3.【答案】C
【解析】
解：∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是y=±x 又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=-， 故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以， ∴则，
A，B两点的纵坐标分别是y=±=， 又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线 ∴，得p=2． 故选：C． 求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值． 本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，
防运算出错． 4.【答案】B
【解析】
解：①定义域为R的“对等函数”，可令x=0，即f（0）=|f（0）|，
解得f（0）=0，或f（0）=1，故①错误； 第4页，共9页
②两个定义域相同的“对等函数”，设y=f（x）和y=g（x）均为“对等函数”， 可得f（|x|）=|f（x）|，g（|x|）=|g（x）|， 设F（x）=f（x）g（x），即有F（|x|）=f（|x|）g（|x|）=|f（x）g（x）|=|F（x）|，
则乘积一定是“对等函数，故②正确”；
③若定义域是D的函数y=f（x）是“对等函数”，可得f（|x|）=|f（x）|， 可取f（x）=x|x|，x∈R，可得x≥0时，f（x）≥0；x＜0时，f（x）＜0，故③错误． 故选：B． 可令x=0，即f（0）=|f（0）|，解得f（0）可判断①； 设y=f（x）和y=g（x）均为“对等函数”，运用新定义，计算可判断②；
可取f（x）=x|x|，x∈R，求得f（x）的值域，即可判断③． 本题考查函数的新定义的理解和运用，考查反例法、特值法和逻辑推理，属于中档题． 5.【答案】1+i 【解析】 解：∵=iz+i ∴iz+i=-1+2i ∴z=1+i 故答案为：1+i． 利用行列式展开法则和复数的性质进行求解． 本题考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用． 6.【答案】148 【解析】 解：； ∴=． 故答案为：． 根据组合数公式即可求出，从而得出=． 考查组合数公式，以及数列极限的求法，型极限的求法． 7.【答案】208 【解析】 解：由题意可得： x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8， 解得则x2+y2=208， 故答案为：208． 利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，求解即可． 本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单． 8.【答案】-2 【解析】 解：由题意，Dx==5，∴m=-2， 故答案为-2． 由题意，Dx==5，即可求出m的值． 本题考查x，y的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础． 9.【答案】[−12，1)．
2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期期中数学试题(解析版)
本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
2．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为 米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（1）求 的值;
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）利用倍角公式、辅助角公式将 化为 ，由两条相邻对称轴之间的距离为 可得周期为 ，再利用周期的计算公式计算即可；
纵坐标不变，得到函数 ，因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上存在零点，所以 ，
故实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查三角函数的图象及其性质的应用，涉及到倍角公式、辅助角公式、函数图象的变换、函数零点等知识，是一道容易题.
18．已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到的函数为奇函数．
（1）求 的解析式；
16．函数 的图象与其对称轴在 轴右侧的交点从左到右依次记为 在点列 ，中存在三个不同的点 使得 是等腰直角三角形，将满足上述条件的 值从小到大组成的数列记为 ，则 ________.
【答案】
【解析】不妨设 是以 为顶点的等腰直角三角型，由 的最值可得斜边 ，结合 的周期性及对称性可知 ，进一步得到 的表达式即可得到答案.
【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．
【解析】【详解】试题分析：（1）这是解三角形问题，图形中 ，已知 ，要求 ，因此由正弦定理知应该知道它们所对的两角，由题中已知的三个方位角，可求出 ， ， ，故易求得结论；（2）只要求出两船到达 点的时间即可， 国舰艇路程为 ，我渔政船路程为 ，这里要在 中求出 ，已知 ，因此应用余弦定理可求出 ，从而得出结论．
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二第二学期期末数学试卷一、填空题（共10小题）.1．不等式的解集为．2．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是．3．（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a0+a1+a2+…+a2020＝．4．如图，四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且|PA|＝|PB|＝|PC|＝2，则点P到平面ABC的距离为．5．若x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）＝1，则x+y的取值范围为．6．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积．7．（2x﹣）6展开式中的常数项为（用数字作答）8．不等式|2x﹣y|＜|5﹣2x|对任意x∈[1，2]都成立，则实数y的取值范围为．9．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人，参加的不同的分组共有种．10．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为1，B是直线l上的动点，C是平面α上的动点，求O到点D的距离的最大值为．二、选择题11．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于（）A．12B．18C．24D．3612．今年3月9日湖北武汉某方舱医院“休仓”，某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低的概率为（）A．B．C．D．13．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合{（x，y）|＜r}⊆A，则称A为一个“K集”给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2＝1}；②{（x，y）|x+y＜6}；③{（x，y）|x+y+2≥0}；④{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}．其中是“K集”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．πB．C．D．三、解答题：15．已知集合A＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．（1）当a＝2时，求A∩B；（2）命题P：x∈A，命题Q：x∈B，若P是Q的充分条件，求实数a的取值范围．16．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；（2）点N在线段BB1上运动，求A1N与B1C所成角的范围．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，其中a i∈R，1≤i≤n，n＞2，l（A）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{1，3，9，27}，分别求l（P），l（Q）；（2）若集合A＝{1，3，9，…，3n）（n＞1，n∈N），证：l（A）＝；（3）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题1．不等式的解集为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【分析】化简不等式为分式不等式，然后转化为二次不等式解答即可．解：不等式，可化为，即：x（1﹣x）≤0且x≠0解得x＜0或x≥1故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）2．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是7．【分析】先结合正弦函数的周期性解出集合A，再通过真子集个数的计算公式即可得出答案．解：因为正弦函数y＝sin x的周期为2π，不妨让k取1，2，3，4，得到集合A＝{1，0，﹣1}，集合A中共有3个元素，故集合A得真子集得个数是23﹣1＝7个．故答案为：7．3．（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a0+a1+a2+…+a2020＝1．【分析】利用赋值法，令x＝1代入即可．解：令x＝1得，（1﹣2）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，则a0+a1+a2+…+a2020＝1，故答案为：14．如图，四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且|PA|＝|PB|＝|PC|＝2，则点P到平面ABC的距离为．【分析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面ABC的距离．解：∵四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且|PA|＝|PB|＝|PC|＝2，∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），＝（﹣2，0，0），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，0，2），设平面ABC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），∴点P到平面ABC的距离为d＝＝＝．故答案为：．5．若x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）＝1，则x+y的取值范围为[2+2，+∞）．【分析】由题意可得x+y+1＝xy≤（）2，即（x+y）2﹣4（x+y）﹣4≥0，解此不等式求得x+y的取值范围．解：由x，y∈（0，+∞），且xy﹣（x+y）＝1，可得x+y+1＝xy≤（）2，化简可得（x+y）2﹣4（x+y）﹣4≥0，解得x+y≤2﹣2（舍去），或x+y≥2+2．综上可得x+y的取值范围是[2+2，+∞），故答案为：[2+2，+∞）．6．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积．【分析】由圆锥的底面周长是π，求出圆锥的底面半径是r＝，再由圆锥的母线长为l ＝1，能求出圆锥的表面积．解：圆锥的底面周长是π，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝π．解得r＝，∵圆锥的母线长为l＝1，∴圆锥的表面积是S＝πrl+πr2＝＝．故答案为：．7．（2x﹣）6展开式中的常数项为240（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：（2x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•（﹣1）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项为•24＝240，故答案为：240．8．不等式|2x﹣y|＜|5﹣2x|对任意x∈[1，2]都成立，则实数y的取值范围为（3，5）．【分析】由指数函数的单调性，可得|2x﹣y|＜5﹣2x，再由绝对值不等式的解法，结合指数函数的单调性和恒成立思想，可得y的范围．解：由x∈[1，2]，可得2x∈[2，4]，5﹣2x＞0，不等式|2x﹣y|＜|5﹣2x|对任意x∈[1，2]都成立，即为|2x﹣y|＜5﹣2x，则有2x﹣5＜y﹣2x＜5﹣2x，可得2•2x﹣5＜y＜5，由f（x）＝2•2x﹣5在[1，2]递增，可得f（x）的值域为[﹣1，3]，则3＜y＜5，即y的取值范围是（3，5）．故答案为：（3，5）．9．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人，参加的不同的分组共有90种．【分析】根据题意，分析可得：4名学生中有2人参加了两个小组，其他2人参加了1个小组，先计算在4人中任选2人，参加2个兴趣小组的情况数目，再分类讨论参加2个兴趣小组的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分析可得：4名学生中有2人参加了两个小组，其他2人参加了1个小组，在4人中任选2人，参加2个兴趣小组，有C42＝6种选法；分2种情况讨论：①，选出2人参加的兴趣小组完全相同，则剩下的2人参加剩下的1个小组，有C32＝3种情况，②，选出2人参加的兴趣小组只有1个相同，有C32C21A22＝12种情况，则一共有6（12+3）＝90种分组方法；故答案为：9010．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为1，B是直线l上的动点，C是平面α上的动点，求O到点D的距离的最大值为．【分析】直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，O到AD 的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，点O到AD的最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+球半径，由此能求出O到点D的距离的最大值．解：由题意，直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，分别取AD、BC中点E、F，连结AF，DF，则AF＝DF＝＝，∴EF＝＝，点O到AD的最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+球半径，∴O到AD的距离的最大值为：OE max＝+＝，∴O到点D的距离的最大值为：OD max＝＝＝．故答案为：．二、选择题11．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于（）A．12B．18C．24D．36【分析】利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．解：由分层抽样的性质得：＝，解得n＝36．故选：D．12．今年3月9日湖北武汉某方舱医院“休仓”，某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝120，恰好从中间往两边看都依次变低包含的基本事件个数m＝＝6．由此能求出恰好从中间往两边看都依次变低的概率．解：某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，基本事件总数n＝＝120，恰好从中间往两边看都依次变低包含的基本事件个数m＝＝6．∴恰好从中间往两边看都依次变低的概率为p＝＝＝．故选：B．13．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合{（x，y）|＜r}⊆A，则称A为一个“K集”给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2＝1}；②{（x，y）|x+y＜6}；③{（x，y）|x+y+2≥0}；④{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}．其中是“K集”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【分析】根据K集的定义逐个验证选项，即可得到答案．①x2+y2＝1表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取一点（x0，y0），均不满足{（x，y））|＜r}⊆A，故①不是“K集”；②平面点集A中的任一点（x0，y0），满足{（x，y）|＜r}⊆A，故②该集合是“K集”；③在曲线x+y+2＝0任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y）|＜r}⊆A，故③该集合不是“K集”；④表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，该平面点集A中的任一点（x0，y0），满足{（x，y）|＜r}⊆A，故④该集合是“K集”．解：①：x2+y2＝1表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取一点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y））|＜r}⊆A，故①不是“K集”；②A＝{（x，y）|x+y＜6}时，在平面点集A中的任取一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r＝d，则满足{（x，y）|＜r}⊆A，故②该集合是“K集”；③A＝{（x，y）|x+y+2≥0}，在曲线x+y+2＝0任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y）|＜r}⊆A，故③该集合不是“K集”；④A＝{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r＝d，则满足{（x，y）||＜r}⊆A，故④该集合是“K集”．故选：C．14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．πB．C．D．【分析】先求出y的范围，再设出点AB的坐标，根据AB两点的纵坐标相等得到x2•x1＝1，再求出高h，根据圆柱体的体积公式得到关于y的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值．解：∵y＝＝≤当且仅当x＝1时取等号，∴x+＝∵矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆的半径为y，高位h＝x2﹣x1，∵f（x1）＝，f（x2）＝，∴＝，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，∴x2•x1＝1，∴h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1+）2﹣4＝﹣4，∴h＝，∴V圆柱＝πy2•h＝πy＝•≤π•（）＝π，当且仅当y＝时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为π，故选：C．三、解答题：15．已知集合A＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．（1）当a＝2时，求A∩B；（2）命题P：x∈A，命题Q：x∈B，若P是Q的充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝2代入化简A，求解一元二次不等式化简B，再由交集运算得答案；（2）由P是Q的充分条件，得A⊆B．然后对a分类求解A，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．解：（1）当a＝2时，A＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|1＜x＜3}．A∩B＝{x|2＜x＜3}∩{x|1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}；（2）P：x∈A，Q：x∈B，若P是Q的充分条件，则A⊆B．当a＜1时，A＝{x|2a﹣1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，∴，解得a∈∅；当a≥1时，A＝{x|a＜x＜2a﹣1}，B＝{x|1＜x＜3}，∴，解得1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[1，2]．16．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出f（x）的最小值，与已知最小值相等列式可求出；（Ⅱ）利用分析法结合基本不等式即可证明．解：（Ⅰ）f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|＝，∴f（x）∴f（x）在区间（﹣∞，]上单调递减，在区间[，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣3m＝﹣，∴m＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，要证，只要证b4+a4≥ab，即证（a2+b2）2﹣2a2b2≥ab，即证2a2b2+ab﹣1≤0，即证（2ab﹣1）（ab+1）≤0，即证2ab≤1，即证2ab≤a2+b2，显然1＝a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b＝时取等号．∴．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；（2）点N在线段BB1上运动，求A1N与B1C所成角的范围．【分析】（1）推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面BCC1B1，进而BC1⊥A1B1，由此能证明BC1⊥平面A1B1C．（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A1N与B1C所成角的范围．解：（1）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，∴A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，∵BB1∩B1C1＝B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥A1B1，∵A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C．（2）解：点N在线段BB1上运动，由（1）知，A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥B1C，∴当N与B1重合时，A1N与B1C所成角取最大值，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，2，2），N（0，0，t），（0≤t≤2），B1（0，0，2），C（2，0，0），＝（0，﹣2，t﹣2），＝（2，0，﹣2），设A1N与B1C所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴t＝2时，cosθ取最小值0，t＝0时，cosθ取最大值，∴N与B重合时，θ取最小值，N与B1重合时，θ取最大值，∴A1N与B1C所成角的范围是[，]．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，其中a i∈R，1≤i≤n，n＞2，l（A）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{1，3，9，27}，分别求l（P），l（Q）；（2）若集合A＝{1，3，9，…，3n）（n＞1，n∈N），证：l（A）＝；（3）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用定义把集合P，Q中的值代入，即可求出l（P）和l（Q）；（2）先由a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得，再利用定义推得所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论；（3）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜…＜a n，则＜a1+a n ＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n，由此可得到l（A）的最小值2n﹣3．解：（1）根据题中的定义可知：由1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，2+3＝5，2+4＝6，3+4＝7，得l（P）＝5；由1+3＝4，1+9＝10，1+27＝28，2+9＝12，3+27＝30，9+27＝36，得l（Q）＝6．（2）证明：因为a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以，又集合A＝{1，3，9，…，3n}，任取a i+a j，a k+a l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），当j≠l时，不妨设j＜l，则，即a i+a j≠a k+a l．当j＝l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l，因此，当且仅当i＝k，j＝l时，a i+a j＝a k+a l，即所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，所以．（3）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3，不妨设a1＜a2＜…＜a n，所以＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n，所以a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3 个不同的数，即l（A）≥2n﹣3，事实上，设a1，a2，a3，…，a n成等差数列，考虑a i+a j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a i+a j＝a1+a i+j﹣1，当i+j＞n时，a i+a j＝a i+j﹣n+a n，因此每个a i+a j（1≤i＜j≤n）等于a1+a k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a l+a n（2≤l≤n﹣1）中的一个，所以对这样的A，l（A）＝2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．。
2020年高考模拟试卷上海市浦东新区华东师大二附中(3月份)高考数学模拟试卷 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题1．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若D x＝5，则实数m＝．2．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n＝．3．已知球的半径为R，A、B为球面上的两点．若A、B之间的球面距离是，则这两点间的距离等于．4．设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．5．已知复数，|z2|＝2，z1z2是正实数，则复数z2＝．6．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α＝．7．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y＝a x+b的图象经过第三象限的概率是．8．设等比数列{a n}的通项公式为，前n项和为S n．若，则q＝9．设f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，则y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为．10．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．11．已知函数f（x）＝的最小值为a+1，则实数a的取值范围为．12．已知无穷数列{a n}，满足a n+2＝|a n+1﹣a n|（n∈N*），且a1＝1，a2＝x（x∈Z），若数列{a n}的前2020项中有100项是0，则x＝．二、选择题（共有4题）13．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1B．|x+y|≥1C．y≤﹣2D．且14．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）＝0B．C．D．15．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11B．12C．15D．1616．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．三、解答题（共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．某租车公司给出的财务报表如下：2014年（1﹣12月）2015年（1﹣12月）2016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）19．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1＝15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n＝f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d＝2，f（x）＝|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d＝﹣1，f（x）＝e x，T n＝b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？20．（16分）对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）＝2x+1和g（x）＝2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）＝sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）＝x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．21．（18分）已知椭圆Γ的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0）．经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜π）的直线l与椭圆Γ交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABF2的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴确定的半平面，与y负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直．①若θ＝，求异面直线AF1和BF2所成角的大小；②若折叠后△ABF2的周长为，求θ的大小．参考答案一、填空题（共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若D x＝5，则实数m＝﹣2．【分析】由题意，D x＝＝5，即可求出m的值．解：由题意，D x＝＝5，∴m＝﹣2，故答案为﹣2．2．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n＝8．【分析】由题意可得：2n＝256，解得n．解：由题意可得：2n＝256，解得n＝8．故答案为：8．3．已知球的半径为R，A、B为球面上的两点．若A、B之间的球面距离是，则这两点间的距离等于R．【分析】球面距离就是大圆的弧长，由弧长公式可得大圆的圆心角，进而在直角三角形中求出弦长即为两点间的距离．解：由题意可得弧长AB＝R•α＝，可得∠AOB＝，所以弦长AB＝2R•sin＝R故答案为：R．4．设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【分析】由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．解：由题意，f（x）＝lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为5．已知复数，|z2|＝2，z1z2是正实数，则复数z2＝﹣1+或1﹣．【分析】设z2＝a+bi（a，b∈R），由已知列关于a，b的方程组，求解a，b的值得答案．解：设z2＝a+bi（a，b∈R）．由，|z2|＝2，z1z2是正实数，得，解得或．∴z2＝﹣1+或1﹣．故答案为：﹣1+或1﹣．6．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α＝2k2﹣1．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．解：∵，∴（cosα+sinα）＝k，可得：cosα+sinα＝k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα＝2k2，可得：1+sin2α＝2k2，∴sin2α＝2k2﹣1．故答案为：sin2α＝2k2﹣1．7．从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，则函数y＝a x+b的图象经过第三象限的概率是．【分析】先求出基本事件（a，b）的个数n＝4×4＝16，再利用列举法求出函数y＝a x+b 的图象经过第三象限的情况，由此能求出函数y＝a x+b的图象经过第三象限的概率．解：从集合{，，2，3}中任取一个数记做a，从集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一个数记做b，基本事件（a，b）的个数n＝4×4＝16，∵函数y＝a x+b的图象经过第三象限有：①当a＝3、b＝﹣1时，②当a＝3、b＝﹣2时，③当a＝2、b＝﹣1时，④当a＝2、b＝﹣2时，⑤当a＝，b＝﹣2 时，⑥当a＝，b＝﹣2 时，共6种情况，∴函数y＝a x+b的图象经过第三象限的概率是p＝．故答案为：．8．设等比数列{a n}的通项公式为，前n项和为S n．若，则q＝【分析】求得等比数列的首项和公比，讨论q＝1，q≠1．结合a n＝0（0＜|a|＜1），化简计算可得所求值．解：，可得a1＝1，公比为q，若q＝1，即a n＝1，S n＝n，＝n，可得极限不存在，不符题意，则q≠1，由a n＝q n﹣1，S n＝，＝•＝•[（）n﹣1]，由＝•[（）n﹣1]＝[•（）n﹣1]＝2，可得＝2，且0＜||＜1，解得q＝，故答案为：．9．设f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，则y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为．【分析】根据f（x）是[0，π]上的增函数，且f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，得出y ＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，进而可得y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值．解：∵f（x）＝，是[0，π]上的单调增函数，且f﹣1（x）为f（x）＝，x∈[0，π]的反函数，∴f（x）和f﹣1（x）的单调性相同，∴当x＝π时，f（x）的最大值为，且当x＝时f（）＝＝，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0，]，且当x＝时＝π，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为＝＝．故答案为：．10．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积＝△ADE的面积＝＝90．故答案为90．11．已知函数f（x）＝的最小值为a+1，则实数a的取值范围为{﹣2﹣2}∪[﹣1，1]．【分析】讨论﹣a与0，1的大小关系，判断f（x）在两区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上的单调性与最小值，列不等式解出a的范围．解：（1）若﹣a≤0，即a≥0时，f（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，最小值为f（0）＝2，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；（2）若0＜﹣a≤1，即﹣1≤a＜0时，则f（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）＝2﹣，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2﹣≥a+1即可，解得﹣2﹣2≤a≤﹣2+2，又﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0，（3）若﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）＝2﹣，f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣a﹣1＞0，而f（x）的最小值为a+1＜0，故只需令2﹣＝a+1即可，解得a＝﹣2﹣2或a＝﹣2+2（舍），综上，a的取值范围是{﹣2﹣2}∪[﹣1，1]．故答案为：{﹣2﹣2}∪[﹣1，1]．12．已知无穷数列{a n}，满足a n+2＝|a n+1﹣a n|（n∈N*），且a1＝1，a2＝x（x∈Z），若数列{a n}的前2020项中有100项是0，则x＝1144或1145．【分析】当x＝1时，数列数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…．所以在前2020项中恰好含有673项为0；当x＝2时，数列数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…，以此类推可得：可以得到当x＝1144或x＝1145时，在前2020项中恰好含有100项为0．解：当x＝1时，数列数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2020项中恰好含有673项为0；当x＝2时，数列数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2020项中恰好含有673项为0；当x＝3时，数列数列{a n}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2020项中恰好含有672项为0；当x＝4时，数列数列{a n}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2020项中恰好含有671项；当x＝5时，数列数列{a n}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…所以在前2020项中恰好含有671项为0；…由上面可以得到当x＝1144或x＝1145时，在前2020项中恰好含有100项为0；当x＝1144或x＝1145时，在前2020项中恰好含有100项为0．故答案为：1144或x＝1145．二、选择题（共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1B．|x+y|≥1C．y≤﹣2D．且【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：A．当x＝1，y＝0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|＝1＞1不成立，不满足条件．B．当x＝1，y＝0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|＝1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．14．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）＝0B．C．D．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2＝1或x+y﹣1＝0（x2+y2≥1），即可得出结论．解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2＝1或x+y﹣1＝0（x2+y2≥1），故选：C．15．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11B．12C．15D．16【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p＝2c，b2＝c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e，即可得出结论．解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p＝2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|＝p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴＝1，∵p＝2c，b2＝c2﹣a2，∴＝1，化简得：c4﹣6c2a2+a4＝0，∴e4﹣6e2+1＝0，∵e2＞1，∴e2＝3+2，∴1+（）2＝3+2∴（）2＝2+2＞3∴l的倾斜角所在的区间可能是（，），故选：D．三、解答题（共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【分析】（1）设BD的中点为O，连结OA，OC，则OA⊥平面BCD．由经能求出S圆．锥侧（2）该几何体的体积V＝（S△BCD+S半圆）•AO，由此能求出结果．解：（1）设BD的中点为O，连结OA，OC，∵A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，∴OA⊥平面BCD．∵BD＝2，BC＝1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，∴在Rt△AOC中，OC＝1，，AC＝2，AO＝，∴S圆锥侧＝πrl＝＝2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，∵AO＝，∠BCD＝90°，∴CD＝，该几何体的体积V＝（S△BCD+S半圆）•AO＝＝．18．某租车公司给出的财务报表如下：2014年（1﹣12月）2015年（1﹣12月）2016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016＝38%﹣20%＝18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．19．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1＝15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n＝f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d＝2，f（x）＝|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d＝﹣1，f（x）＝e x，T n＝b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得＝a4•a8，可得（15+6d）2＝（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n＝15+2（n﹣1）＝2n+13，b n＝|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n＝15﹣（n﹣1）＝16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴＝a4•a8，∴（15+6d）2＝（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d＝0，∵d≠0，∴d＝﹣2．（2）依题意，a n＝15+2（n﹣1）＝2n+13，b n＝|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n＝15﹣（n﹣1）＝16﹣n，，，∴当n＝15或16时，T n最大．20．（16分）对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）＝2x+1和g（x）＝2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）＝sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）＝x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm ＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．解：（1）对于f（x）＝2x+1，f（x+m）﹣f（m）＝2（x+m）+1﹣（2m+1）＝2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）＝2x，记h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）＝2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）＝0，当且仅当x＝0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm ＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．21．（18分）已知椭圆Γ的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0）．经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜π）的直线l与椭圆Γ交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABF2的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴确定的半平面，与y负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直．①若θ＝，求异面直线AF1和BF2所成角的大小；②若折叠后△ABF2的周长为，求θ的大小．【分析】（1）由椭圆的定义可知：4a＝8，则a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）①当θ＝，求得直线方程，代入椭圆方程，求得A和B坐标，分别求得＝（0，1，），＝（﹣，，0），cosθ＝＝；②当方法一：θ＝，丨AB丨＝，丨AF2丨＝丨BF2丨＝，不满足题意，当θ≠时，设直线l方程，由韦达定理及丨AB丨﹣丨A′B′丨＝，即可求得k的值，由k＝tanθ，即可求得θ的大小；方法二：设直线my＝x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及两点之间的距离公式求得m的值，即可求得θ的大小．解：（1）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），c＝1由椭圆的性质可知：丨AF1丨+丨AF2丨＝2a，丨BF1丨+丨BF2丨＝2a，则△ABF2的周长L＝4a＝8，即a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程：；（2）①设直线l：y﹣0＝（x+1），代入椭圆方程，解得：，，则A（0，），B（﹣，﹣），在空间直角坐标系中，F1（0，﹣1，0），A（0，0，），B（，，0），F2（0，1，0），＝（0，1，），＝（﹣，，0），异面直线AF2和BF2所成角为θ，则cosθ＝＝，∴异面直线AF1和BF2所成角的大小arccos；②由丨A′F2丨+丨B′F丨+丨A′B′丨＝，丨AF2丨+丨BF丨+丨AB丨＝8，则丨AB丨﹣丨A′B′丨＝，当θ＝，丨AB丨＝，丨AF2丨＝丨BF2丨＝，不满足题意，当θ≠时，设l：y﹣0＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+（4k2﹣12）＝0，则A，B在新图形中对应的点A′，B′，则A′（x1，y1，0），B′（x2，0，y2），则﹣＝，解得：k＝±，故θ＝arctan，或θ＝π﹣arctan，方法二：由丨A′F2丨+丨B′F丨+丨A′B′丨＝，丨AF2丨+丨BF丨+丨AB丨＝8，则丨AB丨﹣丨A′B′丨＝，设折叠前A（x1，y1），B（x2，y2），直线my＝x+1，则，整理得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，则y1+y2＝，y1•y2＝﹣，则丨A′B′丨＝，丨AB丨＝，∴丨AB丨﹣丨A′B′丨＝﹣＝，（1）∴＝，∴+＝﹣4y1y2，（2）∴由（1），（2）可知：＝﹣2y1y2，∴（x1﹣x2）+（y1﹣y2）＝（1+m2）（y1﹣y2）＝（﹣2y1y2）2，∴（1+m2）[（）2+]＝（﹣2×）2，即144（）2＝（+）2，＝+，则12m2+12＝m2+1+18，解得：m2＝，故θ＝arctan或θ＝π﹣arctan．。
2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三(上)8月月考数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷一.填空题1. i是虚数单位，i3(i+1)i−1=________．【答案】−1【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：i 3(i+1)i−1=−i(i+1)(i−1)=(1−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−22=−1．故答案为：−1.2. (x√x)5的展开式中，x2的系数是________【答案】40【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】根据题意，求出(x−√x)5的展开式的通项，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，(x−√x)5的展开式的通项为：T r+1=C5r×x5−r×√x)r=(−2)r C5r x10−3r2，令10−3r2=2，解可得r=2，则有T r+1=(−2)2C52x2=40x2，即x2的系数是40.故答案为：40.3. “a>b”是“a2>b2”的________条件.【答案】既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a =0，b =−1时，满足a >b ，但a 2<b 2；当a =−2，b =−1时，满足a 2>b 2，但a <b ，所以a >b 是a 2>b 2的既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要.4. 某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________（米）．【答案】1.76【考点】众数、中位数、平均数【解析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．【解答】解：∵ 6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴ 这组数据的中位数是：1.75+1.772=1.76（米）． 故答案为：1.76.5. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4√3π，则该正方体的表面积为________．【答案】24【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积球的体积和表面积【解析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．【解答】解：设正方体棱长为a ，球的半径为R ，由4π3R 3=4√3π，得R =√3，所以a =2，所以正方体的表面积为6a 2=24．故答案为：24.6. 已知函数f(x)={−x +1，x <0,x −1，x ≥0,则不等式x +(x +1)f(x +1)≤1的解集是【答案】 (−∞, √2−1]【考点】其他不等式的解法分段函数的应用【解析】由于要求解的不等式是一个二次不等式，故应先将函数f(x)的解析式代入，得到一个分段函数，然后分段解不等式，再把所得的两部分并起来即为原不等式的解集．【解答】解：由题意x +(x +1)f(x +1)={−x 2，x <−1，x 2+2x ，x ≥−1，当x <−1时，有−x 2≤1恒成立，故得x <−1；当x ≥−1时，x 2+2x ≤1，解得 −√2−1≤x ≤√2−1，故得 −1≤x ≤√2−1.综上：不等式x +(x +1)f(x +1)≤1的解集是 (−∞,√2−1].故答案为：(−∞，√2−1].7. 已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1−a n =13n+1(n ∈N ∗)，则lim n→∞a n =________. 【答案】76【考点】极限及其运算数列的求和【解析】首先由a n+1−a n =13n+1(n ∈N ∗)求a n 可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到a n 的表达式，再求极限即可．【解答】解：因为a n =(a n −a n−1)+(a n−1+a n−2)++(a 2−a 1)+a 1=13n +13n−1+⋯+132+1，所以a n 是一个等比数列的前n 项和，所以a n =1−q n 1−q，且q =13， 所以lim n→∞a n =1+1321−13=76． 故答案为：76.8. 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．7√33【考点】解三角形余弦定理【解析】可设△ABC的三边分别为a＝3，b＝5，c＝7，运用余弦定理可得cos C，由同角的平方关系可得sin C，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为c2sin C，代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cos C=a 2+b2−c22ab=9+25−492×3×5=−12，可得sin C=√1−cos2C=√1−14=√32，可得该三角形的外接圆半径为c2sin C =2×√32=7√33．故答案为：7√33.9. 设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a, 2a]，都有y∈[a, a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为________．【答案】{2}【考点】函数与方程的综合运用对数的运算性质【解析】由loga x+logay＝c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．【解答】解：因为loga x+logay=c，所以logaxy=c，所以xy=a c，得y=a cx，单调递减，所以当x∈[a, 2a]时，y∈[a c−12,a c−1]，所以{a c−12≥a，a c−1≤a2，⇒{c≥2+log a2，c≤3.因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．故答案为：{2}.10. 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有________.【答案】1248【考点】计数原理的应用【解析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字，然后确定其余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有C 21A 22=4种排法，②然后确定其余4个数字，其排法总数为A 64=360，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有A 42=12种排法，所以此时余下的这4个数字共有360−4×12=312种方法，则有4×312=1248种不同的排法.故答案为：1248.11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2...A 8的中心，A 1(1, 0)，任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足OP →+OA i →+OA j →=0→，则点P 落在第一象限的概率是________．【答案】528【考点】平面向量的综合题古典概型及其概率计算公式【解析】利用组合数公式求出从正八边形A 1A 2...A 8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足OP →+OA i →+OA j →=0→，且点P 落在第一象限，则需向量OA i →+OA j →的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A 1A 2...A 8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为C 82=28．满足OP →+OA i →+OA j →=0→，且点P 落在第一象限，对应的A i ，A j ，为：(A 4, A 7)，(A 5, A 8)，(A 5, A 6)，(A 6, A 7)，(A 5, A 7)共5种取法．∴ 点P 落在第一象限的概率是P =528，故答案为：528.12. 设f(x)，g(x)，ℎ(x)是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f(x)+g(x)，f(x)+ℎ(x)，g(x)+ℎ(x)均为增函数，则f(x)，g(x)，ℎ(x)中至少有一个增函数；②若f(x)+g(x)，f(x)+ℎ(x)，g(x)+ℎ(x)均是以T 为周期的函数，则f(x)，g(x)，ℎ(x)均是以T 为周期的函数；③若f(x)+g(x)，f(x)+ℎ(x)，g(x)+ℎ(x)均为奇函数，则f(x)，g(x)，ℎ(x)均是奇函数；④若f(x)+g(x)，f(x)+ℎ(x)，g(x)+ℎ(x)的值域均是R ，则f(x)，g(x)，ℎ(x)均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是________.【答案】②③【考点】命题的真假判断与应用函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的值域及其求法【解析】举出反例f(x)={2x,x ≤13−x,x1 ．g(x)={2x +3,x ≤03−x,0x12x,x ≥1，ℎ(x)={−x,x ≤02x,x0 ．可判断①，④；根据函数的周期性的定义，可判断②；根据函数奇偶性的性质，可判断③．【解答】解：①，可举反例：f(x)={2x,x ≤1，3−x,x >1，g(x)={2x +3,x ≤0,3−x,0<x <1,2x,x ≥1,ℎ(x)={−x,x ≤0,2x,x >0均不是增函数， 但f(x)+g(x)={4x +3,x ≤0,x +3,x >0,f(x)+ℎ(x)={x,x ≤0,4x,0<x <1,x +3,x ≥1,g(x)+ℎ(x)={x +3,x <1,4x,x ≥1,均为增函数，故①错误； ②∵ f(x)+g(x)=f(x +T)+g(x +T)，f(x)+ℎ(x)=f(x +T)+ℎ(x +T)， ℎ(x)+g(x)=ℎ(x +T)+g(x +T)，前两式作差可得：g(x)−ℎ(x)=g(x +T)−ℎ(x +T)，结合第三式可得：g(x)=g(x +T)，ℎ(x)=ℎ(x +T)，同理可得：f(x)=f(x +T)，因此②正确．③若f(x)+g(x)，f(x)+ℎ(x)，g(x)+ℎ(x)均是奇函数，f(x)+g(x)+f(x)+ℎ(x)−[g(x)，ℎ(x)]=2f(x)是奇函数，即f(x)是奇函数，同理g(x)，ℎ(x)均是奇函数，故③正确；④，由①可得f(x)+g(x)，f(x)+ℎ(x)，g(x)+ℎ(x)的值域均是R，但f(x)，g(x)，ℎ(x)值域均不为R的函数，故④错误．故答案为：②③.二.选择题设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是() A.a⊥α，b // β，α⊥β B.a⊥α，b⊥β，α // βC.a⊂α，b⊥β，α // βD.a⊂α，b // β，α⊥β【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A，B，D的反例如图：故选C.设函数f(x)=cos2(x+π4)−sin2(x+π4),x∈R，则函数f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数【答案】A【考点】二倍角的余弦公式三角函数的周期性及其求法【解析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y＝A sinωx的形式，然后由y＝A sinωx的性质得出相应的结论．【解答】解：f(x)=cos2(x+π4)−sin2(x+π4)=1+cos(2x+π2)2−1−cos(2x+π2)2=−sin2x所以T=π，且为奇函数．故选A.≤x<1)的反函数为f−1(x)，则()设函数f(x)=1−xA.f−1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1B.f−1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0C.f−1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1D.f−1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0【答案】D【考点】反函数【解析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．【解答】解：∵y=−√x+1为减函数，由复合函数单调性知f(x)为增函数，∴f−1(x)单调递增，排除B，C；又f−1(x)的值域为f(x)的定义域，∴f−1(x)最小值为0.故选D.下列命题中正确的命题有几个()(1)a1+a4=a2+a3是a1，a2，a3，a4依次构成等差数列的必要非充分条件；(2)若{a n}是等比数列，b k=a2k−1+a2k，k∈N∗，则{b k}也是等比数列；(3)若a，b，c依次成等差数列，则a+b，a+c，b+c也依次成等差数列；(4)数列{a n}所有项均为正数，则数列{b n}(b n=a n a n+1, n∈N∗)构成等比数列的充要条件是{a n}构成等比数列．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】举出例子a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝5，结合等差数列的性质及充要条件的定义可判断A，举出例子{a n}是公比为−1的等比数列，结合等比数列的概念，可判断B，根据等差数列的等差中项判断法，可判断C举出例子{a n}是所有奇数项均相等，所有偶数项也均相等的摆动数列，结合充要条件的定义，可判断D．【解答】解：若a1，a2，a3，a4依次构成等差数列，则a1+a4=a2+a3，但a1=1，a2=2，a3=4，a4=5时，满足a1+a4=a2+a3，但a1，a2，a3，a4依次不构成等差数列，故a1+a4=a2+a3是a1，a2，a3，a4依次构成等差数列的必要非充分条件，(1)正确；若{a n}是等比数列，公比为−1，则若{a2k−1}和{a2k}也是等比数列，公比均为1，但对应项相反，则b k=a2k−1+a2k=0，可得{b k}不是等比数列，(2)不正确；若a，b，c依次成等差数列，2b=a+c，则2b+a+c=2(a+c)=(a+b)+(b+c)，即a+b，a+c，b+c也依次成等差数列，(3)正确；若{a n}为等比数列，则{b n}显然也是等比数列，但若{a n}是所有奇数项均相等，所有偶数项也均相等的摆动数列，则{b n}显然也是等比数列，故数列{b n}(b n=a n a n+1，n∈N∗)构成等比数列的充分必要条件是{a n}构成等比数列，(4)正确.故选C.三.解答题如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，且FA=FC，AC与BD交于O点．(1)求证：FO⊥平面ABCD；(2)求二面角A−FC−B的余弦值．【答案】(1)证明：连结DF，OF，∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，∴FD=FB.∵FA=FC，AC与BD交于O点，∴O是AC中点，且O是BD中点，∴FO⊥AC，FO⊥BD.∵AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD．(2)解：以O为原点，OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB =2，则平面AFC 的法向量n →=(0, 1, 0)，F(0, 0, √3)，B(0, 1, 0)，C(−√3, 0, 0)， FB →=(0, 1, −√3)，FC →=(−√3, 0, −√3)，设平面FBC 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅FB →=y −√3z =0，m →⋅FC →=−√3x −√3z =0，取x =1，得m →=(1, −√3, −1)，设二面角A −FC −B 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3√5=√155． ∴ 二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】（1）连结DF ，OF ，推导出FO ⊥AC ，FO ⊥BD ，由此能证明FO ⊥平面ABCD ．（2）以O 为的点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −FC −B 的余弦值．【解答】(1)证明：连结DF ，OF ，∵ 四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60∘，∴ FD =FB .∵ FA =FC ，AC 与BD 交于O 点，∴ O 是AC 中点，且O 是BD 中点，∴ FO ⊥AC ，FO ⊥BD .∵ AC ∩BD =O ， ∴ FO ⊥平面ABCD ．(2)解：以O 为原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =2，则平面AFC 的法向量n →=(0, 1, 0)， F(0, 0, √3)，B(0, 1, 0)，C(−√3, 0, 0)， FB →=(0, 1, −√3)，FC →=(−√3, 0, −√3)， 设平面FBC 的法向量m →=(x, y, z)， 则{m →⋅FB →=y −√3z =0，m →⋅FC →=−√3x −√3z =0，取x =1，得m →=(1, −√3, −1)， 设二面角A −FC −B 的平面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3√5=√155． ∴ 二面角A −FC −B 的余弦值为√155．如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB ）为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3．点C 为OB 上一点（不包含端点O ，B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为ym ．(1)设∠CA 1O =θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长． 【答案】解：(1)在Rt △COA 1中，CA 1=2cos θ，CO =2tan θ，y =3CA 1+CB =3⋅2cos θ+2−2tan θ=2(3−sin θ)cos θ+2(0<θ<π4);(2)y ′=2−cos 2θ−(3−sin θ)(−sin θ)cos 2θ=23sin θ−1cos 2θ.令y ′=0，则sin θ=13.当sin θ>13时，y ′>0；sin θ<13时，y ′<0.∵ y =sin θ在[0,π4]上是增函数，∴ 当角θ满足sin θ=13时，y 最小，最小为4√2+2，此时BC =2−√22(m) . 【考点】利用导数研究函数的最值 三角函数模型的应用同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）由于细绳的总长包括CB 长及CA 1，CA 2，CA 3的长，CA 1=2cos θ，CO ＝2tan θ，故可表示细绳的总长；（2）利用导数法求函数的最小值，由于是单峰函数，故极值点就为最值点，所以利用求极值的方法可求最值． 【解答】解：(1)在Rt △COA 1中，CA 1=2cos θ，CO =2tan θ， y =3CA 1+CB =3⋅2cos θ+2−2tan θ=2(3−sin θ)cos θ+2(0<θ<π4);(2)y ′=2−cos 2θ−(3−sin θ)(−sin θ)cos 2θ=23sin θ−1cos 2θ.令y ′=0，则sin θ=13.当sin θ>13时，y ′>0；sin θ<13时，y ′<0. ∵ y =sin θ在[0,π4]上是增函数，∴ 当角θ满足sin θ=13时，y 最小，最小为4√2+2，此时BC =2−√22(m) .已知抛物线C:x 2=−2py 经过点(2, −1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(1)解：抛物线C:x 2=−2py 经过点(2, −1)．可得4=2p ，即p =2， 可得抛物线C 的方程为x 2=−4y ，准线方程为y =1；(2)证明：抛物线x2=−4y的焦点为F(0, −1)，设直线方程为y=kx−1，联立抛物线方程，可得x2+4kx−4=0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，可得x1+x2=−4k，x1x2=−4，直线OM的方程为y=y1x1x，即y=−x14x，直线ON的方程为y=y2x2x，即y=−x24x，可得A(4x1, −1)，B(4x2, −1)，可得AB的中点的横坐标为2(1x1+1x2)=2⋅−4k−4=2k，即有AB为直径的圆心为(2k, −1)，半径为|AB|2=12|4x1−4x2|=2⋅√16k2+164=2√1+k2，可得圆的方程为(x−2k)2+(y+1)2=4(1+k2)，化为x2−4kx+(y+1)2=4，由x=0，可得y=1或−3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0, 1)，(0, −3)．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题抛物线的标准方程【解析】(Ⅰ)代入点(2, −1)，解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；(Ⅱ)抛物线x2＝−4y的焦点为F(0, −1)，设直线方程为y＝kx−1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得AB为直径的圆方程，可令x＝0，解方程，即可得到所求定点．【解答】(1)解：抛物线C:x2=−2py经过点(2, −1)．可得4=2p，即p=2，可得抛物线C的方程为x2=−4y，准线方程为y=1；(2)证明：抛物线x2=−4y的焦点为F(0, −1)，设直线方程为y=kx−1，联立抛物线方程，可得x2+4kx−4=0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，可得x1+x2=−4k，x1x2=−4，直线OM的方程为y=y1x1x，即y=−x14x，直线ON的方程为y=y2x2x，即y=−x24x，可得A(4x1, −1)，B(4x2, −1)，可得AB的中点的横坐标为2(1x1+1x2)=2⋅−4k−4=2k，即有AB为直径的圆心为(2k, −1)，半径为|AB|2=12|4x1−4x2|=2⋅√16k2+164=2√1+k2，可得圆的方程为(x−2k)2+(y+1)2=4(1+k2)，化为x2−4kx+(y+1)2=4，由x=0，可得y=1或−3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0, 1)，(0, −3)．由函数y=f(x)确定数列{a n}，a n=f(n)，若函数y=f(x)的反函数y=f−1(x)能确定数列{b n}，b n=f−1(n)，则称数列{b n}是数列{a n}的“反数列”．(1)若函数f(x)=2√x确定数列{a n}的反数列为{b n}，求{b n}的通项公式；(2)对(1)中{b n}，不等式√1b n+1+√1b n+2+⋯+√1b2n>12log a(1−2a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；(3)设c n=1+(−1)λ2⋅3n+1−(−1)λ2⋅(2n−1)(λ为整数)，若数列{c n}的反数列为{d n}，{c n}与{d n}的公共项组成的数列为{t n}，求数列{t n}前n项和S n．【答案】解：(1)f(x)=2√x(x≥0)⇒a n=2√n（n为正整数），f−1(x)=x24(x≥0)，所以数列{a n}的反数列为{b n}的通项b n=n24（n为正整数）；(2)对于(1)中{b n}，不等式化为2n+1+2n+2+⋯+22n>12log a(1−2a)T n=2n+1+2n+2+⋯+22n，T n+1−T n=22n+1+22(n+1)−2n+1=22n+1−22n+2>0，∴数列{T n}单调递增，所以(T n)min=T1=1.要使不等式恒成立，只要1>12log a(1−2a)．∵1−2a>0，∴0<a<12，又1−2a>a2,0<a<√2−1，∴使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0,√2−1).(3)设公共项t k=c p=d n，k，p，q为正整数，当λ为奇数时，c n=2n−1,d n=12(n+1),2p−1=12(p+1),q=4p−3，则{c n}⊂{b n}（表示{c n}是{b n}的子数列），t n=2n−1,所以{t n}的前n项和S n=n2.当λ为偶数时，c n=3n，d n=log3n3q=log3q，则q=33p，同样有{c n}⊂{b n}，t n=3n,所以{t n}的前n项和S n=32(3n−1).【考点】数列的求和数列递推式反函数【解析】（1）f(x)=2√x(x≥0)⇒a n=2√n，f−1(x)=x24(x≥0)，由此能求出数列{a n}的反数列为{b n}的通项公式．（2）把不等式化为2n+1+2n+2+⋯+22n>12log a(1−2a)，T n=2n+1+2n+2+⋯+22n，T n+1−T n=22n+1+22(n+1)−2n+1=22n+1−22n+2>0，数列{T n}单调递增，所以(T n)min＝T1＝1，要使不等式恒成立，只要1>12log a(1−2a)，由此能求出使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围．（3）设公共项t k＝c p＝d n，k、p、q为正整数，当λ为奇数时，t n＝2n−1，{t n}的前n项和S n＝n2．当λ为偶数时，t n＝3n，{t n}的前n项和S n=32(3n−1)．【解答】解：(1)f(x)=2√x(x≥0)⇒a n=2√n（n为正整数），f−1(x)=x24(x≥0)，所以数列{a n}的反数列为{b n}的通项b n=n24（n为正整数）；(2)对于(1)中{b n}，不等式化为2n+1+2n+2+⋯+22n>12log a(1−2a)T n=2n+1+2n+2+⋯+22n，T n+1−T n=22n+1+22(n+1)−2n+1=22n+1−22n+2>0，∴数列{T n}单调递增，所以(T n)min=T1=1.要使不等式恒成立，只要1>12log a(1−2a)．∵1−2a>0，∴0<a<12，又1−2a>a2,0<a<√2−1，∴使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0,√2−1).(3)设公共项t k=c p=d n，k，p，q为正整数，当λ为奇数时，c n=2n−1,d n=12(n+1),2p−1=12(p+1),q=4p−3，则{c n}⊂{b n}（表示{c n}是{b n}的子数列），t n=2n−1,所以{t n}的前n项和S n=n2.当λ为偶数时，c n=3n，d n=log3n3q=log3q，则q=33p，同样有{c n}⊂{b n}，t n=3n,所以{t n}的前n项和S n=32(3n−1).若函数f(x)定义在区间A上时存在反函数，那么就称区间A为函数f(x)的“单射区间”，如果不存在单射区间B，使得A⊂B，那么就称A为函数f(x)的“极大单射区间”，例如[1, 2]是函数f(x)=x2的“单射区间”，[0, +∞)是函数f(x)=x2的“极大单射区间”．(1)求g(x)=sin x的所有极大单射区间A k(A k表示包含kπ的区间，k∈Z)；(2)求g(x)=sin x的所有极大单射区间A k上的反函数g k−1(x)，用arcsin x表示；(3)判断g k−1(g(2019))，g(g k−1(2019))是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．【答案】解：(1)A k=[kπ−π2,kπ+π2]，k∈Z；(2)g k−1(x)=(−1)k arcsin x+kπ，k∈Z；(3)g k−1(g(2019))=(−1)k(643π−2019)+kπ，g(g k−1(2019))没意义，因为2019∉[−1, 1]．【考点】反函数【解析】（1）利用已知条件，结合sin x特征可求；（2）由（1）所求结果，根据已知求出此时的反函数；（3）根据定义域范围可得没有意义．【解答】解：(1)A k=[kπ−π2,kπ+π2]，k∈Z；(2)g k−1(x)=(−1)k arcsin x+kπ，k∈Z；(3)g k−1(g(2019))=(−1)k(643π−2019)+kπ，g(g k−1(2019))没意义，因为2019∉[−1, 1]．。
2019年上海华师大二附中高三数学文期末试题含解析
2019年上海华师大二附中高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数为奇函数，且当时，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D略2. 已知是的一个内角，且，则的值为（）A、B、C、D、或参考答案：A3. 已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx 与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A．B．C．D．参考答案：【考点】几何概型．【分析】首先明确几何概型测度为区域面积，利用定积分求出A的面积，然后由概型公式求概率．【解答】解：由已知得到事件对应区域面积为=4，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，面积为2=2sinx|=，由急火攻心的公式得到所求概率为：；故选C【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确几何测度是关键．4. 设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．【分析】利用不等式性质和集合定义求解．【解答】解：（1）∵集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．5. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，，则数列{a n}的公比q=（）A. -1B. 1C. ±1D. 2参考答案：【分析】分别在和列出和，构造方程求得结果.【详解】当时，，满足题意当时，由得：，即，解得：综上所述：本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略的情况造成求解错误.6. 在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为A. B.C. D.参考答案：D略7. 设函数其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数不同零点的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：略8. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A． B．C． D．参考答案：A9. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A. B. C. D.参考答案：B10. 在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：B,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 向量，，若，则m= ．参考答案：±1因为，所以，故12. 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.参考答案：3略13. 已知实数，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为参考答案：14. 若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．解答：解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．点评：本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15. 设函数f（x）＝，则f（f（3））＝______参考答案：16. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________. ks5u参考答案：217.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知边长为4，a边长为6，则b边长为，△ABC的面积为 .参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市浦东新区华东师范大学第二附属中学2021届高三高考数学模拟试卷(2021.03) 含解析
2021年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（共12小题）.1．（1+2x）6展开式中x3项的系数为（用数字作答）2．若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝．3．已知数列{a n}的前n项和为S n＝2n﹣1，则此数列的通项公式为．4．已知，则的取值范围是．5．椭圆x2+3y2＝1的短轴长为．6．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值是．7．集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝log2（x+1）}，则A∩B＝．8．方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4＝0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果化为普通方程）9．若{a n}是等比数列，且，则a1＝．10．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有个．11．在三棱锥D﹣ABC中，已知AB＝AD＝2，BC＝1，，则CD＝．12．在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，…，D2020依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2019D2020＝D2020C，设∠BAD1＝α1，∠D1AD2＝α2，…，∠D2019AD2020＝α2020，∠D2020AC ＝α2021，则的值为．二、选择题（共4小题）.13．已知平面直角坐标系中不垂直于x轴的直线l，则“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctan k”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又不必要条件14．函数g（x）＝4×3x的图象可看成将函数f（x）＝3x的图象（）A．向左平移log34个单位得到B．各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到C．向右平移log34个单位得到D．各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的倍得到15．设抛物线C：x＝ay2+by+2（a≠0），若对于任意实数y，总有|x|≥2（等号可以取到），则该抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．（0，0）D．16．若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y＝|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|＝0；③y＝f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；④y＝f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题17．已知向量＝（1+cosωx，1），＝（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）＝在R上的最大值为2．（1）求实数a的值；（2）把函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y＝g（x）的图象，若y＝g （x）在[0，]上为增函数，求ω的最大值．18．国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．（1）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，证明：当M＝N时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率＝（原有价值﹣现有价值）/原有价值×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．20．在双曲线C：中，F1、F2分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，△PF1F2的重心为G，内心为I．（1）求内心I的横坐标；（2）已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2与双曲线C交于M、N两点，若AM、AN的斜率k1、k2满足，求直线l的方程；（3）若IG∥F1F2，求点P的坐标．21．设数列{a n}（n≥3，n∈N*）是公差为d的等差数列．（1）若d＝2，a∈R，讨论方程|x﹣a1|+|x﹣a3|＝a的根的个数；（2）若a1＝1，d＝1，求函数f（x）＝|a1x﹣1|+|a2x﹣1|+…+|a100x﹣1|的最小值；（3）若数列{a n}满足：|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|＝507，试求该数列项数n的最大值．参考答案一、填空题（共12小题）.1．（1+2x）6展开式中x3项的系数为160（用数字作答）解：通项公式T r+1＝＝2r，令r＝3，可得：（1+2x）6展开式中x3项的系数＝＝160．故答案为：160．2．若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝1﹣2i．解：设z＝a+bi，（a、b是实数），则＝a﹣bi，∵2z+＝3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i，∴3a＝3，b＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣2，则z＝1﹣2i故答案为：1﹣2i．3．已知数列{a n}的前n项和为S n＝2n﹣1，则此数列的通项公式为a n＝2n﹣1．解：当n＝1时，a1＝S1＝2﹣1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）＝2n﹣1，又21﹣1＝1，所以a n＝2n﹣1，故答案为：a n＝2n﹣1．4．已知，则的取值范围是[3，13]．解：∵＝﹣∴＝|﹣|∴≤≤即3≤≤13故答案为：[3，13]5．椭圆x2+3y2＝1的短轴长为．解：椭圆x2+3y2＝1的标准方程为：＝1，所以椭圆x2+3y2＝1的短轴长为2b＝．故答案为：．6．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值是2．解：如图即为满足不等式组的可行域，由得A（2，0）．由图易得：当x＝2，y＝0时x+y有最大值2．故答案为2．7．集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝log2（x+1）}，则A∩B＝[﹣1，+∞）．解：∵A＝{x|x≥﹣1}，B＝R，∴A∩B＝[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．8．方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4＝0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是x﹣2y＝0（结果化为普通方程）解：把圆的方程化为标准方程得（x﹣2t）2+（y﹣t）2＝2t2+4，圆心（2t，t）则圆心坐标为，所以消去t可得x＝2y，即x﹣2y＝0．故答案为：x﹣2y＝09．若{a n}是等比数列，且，则a1＝．解：设等比数列{a n}的公比为q，0＜|q|＜1，由，可得＝＝2，则有＝＝2，由q＝1﹣a1代入a12＝2﹣2q2，解得a1＝，故答案为：．10．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有14个．解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为1411．在三棱锥D﹣ABC中，已知AB＝AD＝2，BC＝1，，则CD＝．解：设∠BAC＝α，∠DAC＝β，∵||＝BC＝1，∴AC2+AB2﹣2AC•AB cosα＝1，即AC2﹣4AC cosα＝﹣3．∵＝﹣3，∴•（）＝＝﹣3，∴2AC cosβ﹣2AC cosα＝﹣3，∴2AC cosβ＝2AC cosα﹣3，∴CD2＝（）2＝﹣2＝4+AC2﹣2AC cosβ＝4+AC2﹣4AC cosα+6＝7，∴CD＝．故答案为：．12．在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，…，D2020依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2019D2020＝D2020C，设∠BAD1＝α1，∠D1AD2＝α2，…，∠D2019AD2020＝α2020，∠D2020AC ＝α2021，则的值为．解：注意到a1+α2+……+α2020＝150°，在△BAD1中，＝＝，在△D1AD2中，＝＝，∴＝，同理可得＝，＝，…＝，又＝，∴sinα2021＝，∴＝＝×＝＝．故答案为：．二、选择题（共4小题）.13．已知平面直角坐标系中不垂直于x轴的直线l，则“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctan k”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又不必要条件解：当k≥0时，由l的斜率等于k，可得l的倾斜角等于arctan k，当k＜0时，由l的斜率等于k，可得l的倾斜角等于π﹣arctan k，反之，l的倾斜角等于arctan k，则直线l的斜率为tan（arctan k）＝k．∴“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctan k”的必要非充分条件．故选：C．14．函数g（x）＝4×3x的图象可看成将函数f（x）＝3x的图象（）A．向左平移log34个单位得到B．各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到C．向右平移log34个单位得到D．各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的倍得到解：设直线y＝t与函数f（x）＝3x及函数g（x）＝4•3x的图象分别相交于A、B两点，令3x＝t，可得x＝log3t，4×3x＝t可得x＝，故A、B两点之间的距离为log3t﹣＝log3t﹣（log3t﹣log34）＝log34，故函数g（x）＝4×3x的图象可看成将函数f（x）＝3x的图象，向左平移log34个单位得到的，故选：A．15．设抛物线C：x＝ay2+by+2（a≠0），若对于任意实数y，总有|x|≥2（等号可以取到），则该抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．（0，0）D．解：x＝ay2+by+2＝a（y+）2﹣+2，因为对于任意实数y，总有|x|≥2，所以b＝0，所以x＝ay2+2，由于抛物线x＝ay2+2是抛物线x＝ay2的图象向右平移两个单位得到的，而x＝ay2的焦点为（，0），所以抛物线x＝ay2+2的焦点坐标为（+2，0）．故选：A．16．若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y＝|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|＝0；③y＝f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；④y＝f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴y＝|f（x）|是偶函数，故①正确；对任意的x∈R，不一定有f（﹣x）+|f（x）|＝0，故②不正确；y＝f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③不正确；y＝f（x）f（﹣x）＝﹣[f（x）]2在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．故选：B．三、解答题17．已知向量＝（1+cosωx，1），＝（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）＝在R上的最大值为2．（1）求实数a的值；（2）把函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y＝g（x）的图象，若y＝g （x）在[0，]上为增函数，求ω的最大值．解：（1）f（x）＝1+cosωx+a+sinωx＝2sin（ωx+）+a+1．因为函数f（x）在R上的最大值为2，所以3+a＝2，故a＝﹣1．（2）由（1）知：f（x）＝2sin（ωx+），把函数f（x）＝2sin（ωx+）的图象向右平移个单位，可得函数y＝g（x）＝2sinωx．又∵y＝g（x）在[0，]上为增函数，∴g（x）的周期T＝≥π，即ω≤2，∴ω的最大值为2．18．国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．（1）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，证明：当M＝N时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率＝（原有价值﹣现有价值）/原有价值×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）解：（1）有题意可得54000＝k×32，∴k＝6000，∴把一颗3克拉的钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石后价值损失的百分率为：×100%＝37.5%；（2）由（1）知，把一颗3克拉的钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，则价值损失百分率为：（1﹣）×100%＝1﹣且M+N＝3，∵＝＝＝，∴M＝N＝时，取最小，此时1﹣最大，即，当M＝N时损失百分率最大．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD＝AC＝，∴CO⊥AD，又∵PA＝PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则＝；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．20．在双曲线C：中，F1、F2分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，△PF1F2的重心为G，内心为I．（1）求内心I的横坐标；（2）已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2与双曲线C交于M、N两点，若AM、AN的斜率k1、k2满足，求直线l的方程；（3）若IG∥F1F2，求点P的坐标．解：（1）双曲线C：的a＝2，b＝，c＝3，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，△PF1F2的内切圆与边PF1切于S，与边PF2切于K，与边F2F1切于T，可得|PS|＝|PK|，|F1S|＝|F1T|，|F2T|＝|F2K|，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，即有|F1S|﹣|F2K|＝F1T|﹣|F2T|＝2a，又|F1T|+|F2T|＝2c，解得|F2T|＝c﹣a，则T的横坐标为a，由I与T的横坐标相同，可得I的横坐标为a＝2；（2）由A（﹣2，0），F2（3，0），设直线MN的方程为y＝k（x﹣3），与双曲线的方程5x2﹣4y2＝20联立，可得（5﹣4k2）x2+24k2x﹣36k2﹣20＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，k1+k2＝+＝+＝2k﹣5k（+）＝2k﹣5k•＝2k﹣5k•＝﹣，解得k＝﹣2，所以直线l的方程为y＝﹣2x+6；（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则G（，），设△PF1F2的内切圆的半径为r，则S＝|F1F2|y0＝（m+n+2c）r，于是cy0＝（m+n+2c）r，可得r＝，由IG∥F1F2，知得＝，即m+n＝4c＝12，又m﹣n＝2a＝4，解得n＝4．因此，解得x0＝4，y0＝．即有点P的坐标为（4，）．21．设数列{a n}（n≥3，n∈N*）是公差为d的等差数列．（1）若d＝2，a∈R，讨论方程|x﹣a1|+|x﹣a3|＝a的根的个数；（2）若a1＝1，d＝1，求函数f（x）＝|a1x﹣1|+|a2x﹣1|+…+|a100x﹣1|的最小值；（3）若数列{a n}满足：|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|＝507，试求该数列项数n的最大值．解：（1）根据题意，数列{a n}的公差d＝2时，该数列为递增数列，即a1＜a3，且有a3﹣a1＝2d＝4，因此令f（x）＝|x﹣a1|+|x﹣a3|，则有f（x）＝，则方程|x﹣a1|+|x﹣a3|＝a的根的个数，即函数f（x）与直线y＝a的交点个数，作出函数f（x）的图象如下：由图可得，当a＞4时，方程有两个根；当a＝4时，方程有无穷个根；当a＜4时，方程无解．（2）∵数列{a n}（n≥3，n∈N*）是公差为d的等差数列，a1＝1，d＝1，所以a n＝1+（n+1）×1＝n，∴f（x）＝|a1x﹣1|+|a2x﹣1|+…+|a100x﹣1|＝|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|100x﹣1|＝|x﹣1|+||+……+100•||，共有项，又∵|x﹣a|+|x﹣b|≥|a﹣b|，∴把f（x）前后两项对应相加可得，f（x）≥，∵70×（1+70）×＝2485，71×（71+1）×＝2556，∴f（x））≥（），当且仅当x＝71时，等号成立；∴+……+﹣1＝，故可得f（x）的最小值为．（3）设数列各项为a﹣kd（1≤k≤n，d＞0），令f（x）＝，则本题等价于f（x）＝507至少有3个不同的根a，a+1，a+2，故y＝f（x）的图象与水平直线l：y＝507至少有3个不同的公共点，由于y＝f（x）的图象关于直线y＝对称，为（n+1）段的下凹折线，它与水平直线l有三个公共点当且仅当折线有一水平段在l上，当且仅当n＝2m且a，a+1，a+2∈[md，（m+1）d]，f（md）＝507，即d≥3，且m2d＝507，由此可得，⇒m＜13，所以m＝13时，取d＝3，a＝4满足题意，则n＝2m＝26．所以n的最大值为26．。
2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三(上)8月月考数学试卷-解析版
2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- 1- ．【解答】解：3(1)(1)(1)(1)211(1)(1)(1)2i i i i i i i i i i +-+----====----+--．故答案为：1-．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是 40【解答】解：根据题意，5(x的展开式的通项为515((2)rrr rr T C x-+=⨯⨯=-10325rr C x-，令10322r-=，解可得2r =， 则有21(2)r T +=-222540C x x =，即2x 的系数是40， 故答案为：40．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的 既不充分也不必要 条件【解答】解：当0a =，1b =-时，满足a b >，但22a b <；当2a =-，1b =-时，满足22a b >，但a b <，所以a b >是22a b >的充分也不必要条件． 故答案为：既不充分也不必要．4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76 （米)．【解答】解：6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80， 位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：1.75 1.771.762+=（米)． 故答案为：1.76．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 24 ．【解答】解：设球的半径为R ，由343R π=得R = 所以2a =，表面积为2624a =． 故答案为：246．（3分）（2010秋•承德期末）已知函数1()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩…，则不等式(1)(1)1x x f x +++…的解集是 (1] ．【解答】解：由题意22,1(1)(1)2,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩…当0x <时，有21x -…恒成立，故得0x <当0x …时，221x x +…，解得11x 剟，故得01x 剟综上得不等式(1)(1)1x x f x +++…的解集是(1]-∞-故答案为(-∞1]．7．（3分）（2008•天津）已知数列{}n a 中，11111,(*)3n n n a a a n N ++=-=∈，则l i m nn a →∞= 76． 【解答】解：因为11221112111()()()1333n n n n n n n a a a a a a a a ----=-++++-+=++⋯++ 所以n a 是一个等比数列的前n 项和，所以11n n q a q -=-，且13q =．代入，所以2173lim 11613n n a →∞=+=-．所以答案为768．（3分）（2016•上海）已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于． 【解答】解：可设ABC ∆的三边分别为3a =，5b =，7c =，由余弦定理可得，222925491cos 22352a b c C ab +-+-===-⨯⨯，可得sin C ==可得该三角形的外接圆半径为2sincC==．9．（3分）（2008•天津）设1a>，若仅有一个常数c使得对于任意的[x a∈，2]a，都有[y a∈，2]a满足方程log loga ax y c+=，这时a的取值的集合为{2}．【解答】解：log loga ax y c+=，logaxy c∴=cxy a∴=得cayx=，单调递减，所以当[x a∈，2]a时，11[,]2ccay a--∈所以1122ccaaa a--⎧⎪⎨⎪⎩……⇒223ac logc+⎧⎨⎩……，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2log23a+=，解得2a=，所以a的取值的集合为{2}．故答案为：{2}10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有1248【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A=种排法，②，然后确定其余4个数字，其排法总数为46360A=，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有2412A=种排法，所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法；则有43121248⨯=种不同的排法，故答案为：1248．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形128A A A⋯的中心，1(1,0)A 任取不同的两点i A ，j A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是528．【解答】解：从正八边形128A A A ⋯的八个顶点中任取两个，基本事件总数为2828C =． 满足0i j OP OA OA ++=，且点P 落在第一象限，对应的i A ，j A ，为： 4(A ，7)A ，5(A ，8)A ，5(A ，6)A ，6(A ，7)A ，5(A ，7)A 共5种取法．∴点P 落在第一象限的概率是528P =， 故答案为：528． 12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数；③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数；④若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，则()f x 、()g x 、()h x 均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是 ②③ 【解答】解：①，可举反例：2,1()3,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩…．23,0()3,012,1x x g x x x x x +⎧⎪=-<<⎨⎪⎩……，,0()2,0x x h x x x -⎧=⎨>⎩…．均不是增函数，但43,0()()3,0x x f x g x x x +⎧+=⎨+>⎩…、,0()()4,013,1x x f x h x x x x x ⎧⎪+=<<⎨⎪+⎩……、3,1()()4,1x x g x h x x x +<⎧+=⎨⎩…均为增函数，故①错误； ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++，()()()()f x h x f x T h x T +=+++，()()()()h x g x h x T g x T +=+++，前两式作差可得：()()()()g x h x g x T h x T -=+-+， 结合第三式可得：()()g x g x T =+，()()h x h x T =+， 同理可得：()()f x f x T =+，因此②正确．③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是奇函数， ()()()()[()f x g x f x h x g x +++-、()]2()h x f x =是奇函数，即()f x 是奇函数，同理()g x 、()h x 均是奇函数，故③正确；④，由①可得()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ， 但()f x 、()g x 、()h x 值域均不为R 的函数，故④错误． 故答案为：②③． 二.选择题13．（3分）（2008•天津）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( )A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥【解答】解：A 、B 、D 的反例如图．故选：C ．14．（3分）（2008•天津）设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【解答】解：22()cos ()sin ()44f x x x ππ=+-+1cos(2)1cos(2)2222x x ππ++-+=-sin 2x =-所以T π=，且为奇函数． 故选：A ．15．（3分）（2008•天津）设函数()1)f x x =<…的反函数为1()f x -，则( )A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为0【解答】解：1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，1()f x -∴单调递增，排除B 、C ； 又1()f x -的值域为()f x 的定义域，1()f x -∴最小值为0 故选：D ．16．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个( ) （1）1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件． （2）若{}n a 是等比数列，212k k k b a a -=+，*k N ∈，则{}k b 也是等比数列． （3）若a ，b ，c 依次成等差数列，则a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．（4）数列{}n a 所有项均为正数，则数列1{}(n n n n b b a a +=，*)n N ∈构成等比数列的充要条件是{}n a 构成等比数列． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列，则1423a a a a +=+，但11a =，22a =，34a =，45a =时，1423a a a a +=+，但1a ，2a ，3a ，4a 依次不构成等差数列，故1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件，即（1）正确； 若{}n a 是等比数列，公比为1-，则若21{}k a -和2{}k a 是也是等比数列，公比均为1，但对应项相反.则2120k k k b a a -=+=，可得{}k b 不是等比数列，即（2）不正确.若a ，b ，c 依次成等差数列，2b a c =+，则22()()()b a c a c a b b c ++=+=+++，即a b +，a c +，bc +也依次成等差数列．故（3）正确.（4）若{}n a 为等比数列，则数列{}n b 显然也是等比数列，但若{}n a 是所有奇数项均相等，所有偶数项也均相等的摆动数列，则{}n b 显然也是等比数列，故数列1{}(n n n n b b a a +=，*)n N ∈构成等比数列的充分为必要条件是{}n a 构成等比数列．故（4）正确. 三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：FO ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结DF ，OF ，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，FD FB ∴=，FA FC =，AC 与BD 交于O 点，O ∴是AC 中点，且O 是BD 中点， FO AC ∴⊥，FO BD ⊥， ACBD O =，FO ∴⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为的点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，则平面AFC 的法向量(0n =，1，0)，(0F ，0，(0B ，1，0)，(C ，0，0)，(0FB =，1，，(FC =0，，设平面FBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则030m FB y m FC ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1m =，1)-， 设二面角A FC B --的平面角为θ，则||3cos ||||5m n m n θ===∴二面角A FC B --．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即)OB 为2m ，在圆环上设置三个等分点1A ，2A ，3A ．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、)B ，同时点C 与点1A ，2A ，3A ，B 均用细绳相连接，且细绳1CA ，2CA ，3CA 的长度相等．设细绳的总长为ym ． （1）设1()CAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； （2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．【解答】解：（1）在1R t C O A∆中，12c o sCA θ=，2tan CO θ=，⋯（2分）122(3s i n )3322t a n2(0)c o sc o s 4y C A C B θπθθθθ-=+=+-=+<<⋯（7分） （2）222cos (3sin )(sin )3sin 1/22cos cos y θθθθθθ-----==， 令0y '=，则1sin 3θ=⋯（12分）当1sin 3θ>时，0y '>；1sin 3θ<时，0y '<，sin y θ=在[0,]4π上是增函数∴当角θ满足1sin 3θ=时，y 最小，最小为2；此时2BC = ⋯（16分）19．（2019•北京）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解答】解：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =； （Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 可得124x x k +=-，124x x =-， 直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-， 直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-， 可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-， 可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+， 化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．20．（2008•浦东新区一模）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”． （1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式； （2）对（1）中{}n b 1log (12)2a a ⋯+>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设()()()()111132122nn c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列}{n c 的反数列为{}n d ，{}n ð与{}nd 的公共项组成的数列为{}n t ，求数列{}n t 前n 项和n S ．【解答】解：（1）()0)n f x x a n =⇒=…为正整数），21()(0)4x f x x -=…所以数列{}n a 的反数列为{}n b 的通项2(4n n b n =为正整数）（2分）（2）对于（1）中{}n b ，不等式化为2221log (12)..1222a a n n n ++⋯+>-++（3分） 222122n T n n n=++⋯+++，1222220212(1)12122n n T T n n n n n +-=+-=->+++++， ∴数列{}n T 单调递增，（5分）所以1()1n min T T ==，要是不等式恒成立，只要11log (12)2a a >-．（6分）120a ->，∴102a <<，又212,01a a a -><所以，使不等式对于任意正整数n 恒成立的a 的取值范围是1)..（8分）（3）设公共项k p n t c d ==，k 、p 、q 为正整数，当λ为奇数时，121,(1)2n n c n d n =-=+（9分） 121(1),432p p q p -=+=-，则{}{}n n b ⊂ð（表示{}n ð是{}n b 的子数列），21n t n =- 所以{}n t 的前n 项和2..n S n =（11分）当λ为偶数时，3n n =ð，3log n d n =（12分）33log q q =，则33pq =，同样有{}{}n n b ⊂ð，3n n t = 所以{}n t 的前n 项和3(31)2n n S =-（14分） 21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数()f x 定义在区间A 上时存在反函数，那么就称区间A 为函数()f x 的“单射区间”，如果不存在单射区间B ，使得A B ⊂，那么就称A 为函数()f x 的“极大单射区间”，例如[1，2]是函数2()f x x =的“单射区间”， [0，)+∞是函数2()f x x =的“极大单射区间”．（1）求()sin g x x =的所有极大单射区间(k k A A 表示包含k π的区间，)k Z ∈；（2）求()sin g x x =的所有极大单射区间k A 上的反函数1()k g x -，用arcsin x 表示；（3）判断1((2019))kg g -，1((2019))k g g -是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．【解答】解：（1）[,]22k A k k ππππ=-+，k Z ∈； （2）1()(1)arcsin k kg x x k π-=-+，k Z ∈；（3）1((2019))(1)(6432019)k kg g k ππ-=--+，1((2019))k g g -没意义，因为2019[1∉-，1]．。
第1讲正弦、余弦、正切、余切 (专题测试)解析版
第1讲 正弦、余弦、正切、余切 （专题测试）【基础题】 一、单选题1．（2019·上海市第二中学高一期中）“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案. 【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.二、填空题2．（2020·上海市金山中学高一期中）已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+____________________________．【答案】45【分析】分子、分母同除以cos θ，将tan 2θ=代入化简即可. 【详解】因为tan 2θ=，所以3sin 2cos 3tan 23224sin 3cos tan 3235θθθθθθ--⨯-===+++,故答案为45.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.3．（2019·上海华师大二附中高一期中）函数y =______． 【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【分析】根据函数y =cos 0x ≥，再结合余弦函数的图象，求得x 的范围．【详解】根据函数y =cos 0x ≥，可得2222k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，故函数的定义域为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 故答案为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．4．（2020·上海市金山中学高一期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，1()22P -为其终边上一点，则sin()2πα+=________【答案】 【分析】由三角函数的定义可求出cos α的值，然后由诱导公式可得sin()cos 2παα+=得到答案.【详解】点1()2P 在角α的终边上，则1r OP ==.由三角函数的定义可得：cos x r α==又sin()cos 22παα+==-故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题. 5．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 【答案】2π【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π， 则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =，此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.6．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.【答案】二【分析】根据α是第三象限角，求得3α的范围，分别令3k m =，31k m =+，32,()k m m Z 可判断3α终边所在象限，即可得答案.【详解】由题意得：360180360270,()k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈， 所以1206012090,()3k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,()k m mZ 时，3606036090,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第一象限；当31,()k m m Z 时，360180360210,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第三象限； 当32,()k mmZ 时，360300360330,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第四象限，所以3α的终边一定不在第二象限，故答案为：二7．（2020·上海浦东新区·高一期中）计算：15︒=________rad 【答案】12π【分析】根据1180π︒=rad 求解. 【详解】因为1180π︒=rad ， 所以151518012ππ︒=⨯=rad ，故答案为：12π【点睛】本题主要考查弧度制与角度制的互化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题8．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知一个扇形的周长为定值a ,求其面积的最大值,并求此时圆心角α的大小.【答案】2α=时,扇形面积最大为2a 16.【分析】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,,1(2)2S a r r =-,结合二次函数的图像与性质求解最值即可.【详解】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,所以221(2)2416a a S a r r r ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭. 故当4a r =且2α=时,扇形面积最大为2a 16. 【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题. 9．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.【答案】335cot ,cos ,csc 454ααα=-==-. 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为4tan 3α=-，且α是第四象限角， 所以41cot tan 3αα==-，因为22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3cos 54sin 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 因为α是第四象限角，所以3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以15csc sin 4αα==- 【提升题】 一、单选题1．（2020·浙江高一期末）设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 2．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin 25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin 2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值.【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin 025α=>，2α是第一象限的角， 所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.3．（2020·常熟市中学高一月考）已知sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，则2sin cos cos θθθ-=（ ）A ．12B ．12-C D 【答案】C【分析】先根据诱导公式化简已知得: tan θ=进而再根据齐次式求值即可.【详解】解:根据诱导公式化简整理sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭得:sin θθ=,所以tan θ=所以22222sin cos cos tan 11sin cos cos sin cos tan 14θθθθθθθθθθ---===++ 故选:C【点睛】本题考查诱导公式化简，同角三角函数齐次式求值，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于2222sin cos cos sin cos cos sin cos θθθθθθθθ--=+，进而求解.二、填空题4．（2020·河北巨鹿中学高一月考）已知1cos 5α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得．【详解】∵1cos 5α=，且02πα-<<，∴sin α==，∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：-【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．5．（2020·常熟市中学高一月考）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是______．【答案】725-【分析】由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，可得1cos sin 5θθ-=，由此可求出7cos sin 5θθ+=，即可求出22sin cos θθ-. 【详解】大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，则由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ， 所以小正方形的边长为cos sin θθ-，小正方形的面积是125，()21cos sin 25θθ∴-=，1cos sin 5θθ∴-=， ()21cos sin 12sin cos 25θθθθ-=-=，则12sin cos 25θθ=，()249cos sin 12sin cos 25θθθθ∴+=+=，则7cos sin 5θθ+=，()()22177sin cos sin cos sin cos 5525θθθθθθ∴-=-+=-⨯=-.故答案为：725-. 【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是根据图形得出1cos sin 5θθ-=，从而根据三角函数关系求出7cos sin 5θθ+=. 6．（2020·湖北武汉市·武汉二中高一期末）已知tan 2α=，则442cos 2cos sin sin 2cos 1ααααα+-=+________． 【答案】17【分析】先进行弦化切，然后把tan 2α=代入求值.【详解】()()42422242422222222cos 2cos sin sin 2cos 1cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin 2cos sin 3cos sin 1tan 2tan =3tan αααααααααααααααααααααααααα+-+-+=+-++=+-+=+-++ ∵tan 2α=，∴原式221tan 2tan 1441===3tan 347ααα-+-+++ 故答案为：17【点睛】对于正余弦的齐次式，可以先进行弦化切，然后代入求值.三、解答题7．（2020·江西省宜春中学高一月考）如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转3π得11,OP OP 逆时针旋转得21,,n OP OP -⋅⋅⋅，逆时针旋转3π得n OP .（1）若点2020P 的横坐标为45，求点1P 的横坐标； （2）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求()()()c sin ta os n 2sin 3ααπαπαππ+⎛⎫-- ⎪⎝-⎭的值.【答案】（1）45-；（2）53【分析】（1）根据得2020P 的横坐标为45，即：4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即为点1P 的横坐标； （2）根据题意得344cos ,sin ,tan 553ααα===，再根据诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）根据题意得：2020OP 终边对应的角为20203πα+⨯，因为点2020P 的横坐标为45， 所以4cos 202035πα⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，即4cos 673cos 335ππαπα⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 另一方面，1OP 的终边对应的角为π3α+， 所以点1P 的横坐标为π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （2）因为0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，所以344cos ,sin ,tan 553ααα===，所以()()()()()sin sin tan cos cos tan 152cos sin cos 3sin cos sin cos cos 3παααπαααααππαααααα⎛⎫--⋅ ⎪⋅⎝⎭====+--⋅-⋅ 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，是基础题．本题解题的关键在于根据规律得n OP 的终边对应的角*,3n n N πα+∈，进而根据三角函数定义求解.8．（2020·沭阳县修远中学高一月考）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）16433π-；（2）2α=. 【分析】（1）令圆弧的半径为R ，由定义知cos 22AOBR R ∠-=求R ，进而由弧田面积OACB AOB S S S =-，即可求其面积；（2）由题意得2r r c α+=，扇形面积22r S α=，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时α的值即可.【详解】（1）由题意，如下图示2CD =，令圆弧的半径为R ，23AOB π∠=，∴cos32R OD R π==，即22RCD OC OD R =-=-=，得4R =， ∴弧田面积21132OACB AOBS S SR OD AB π=-=-⋅⋅，而3AB R =， ∴16433S π=-（2）由题意知：弧长AOB 为r α，即该扇形周长2r r c α+=，而扇形面积22r S α=，∴2222242(2)162()8c c c S αααα==≤=+++当且仅当2α=时等号成立. ∴当2α=时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积S 关于圆心角α的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.9．（2020·沭阳县修远中学高一月考）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第一象限且3sin 5α=，若角β是将角α的终边逆时针旋转2π得到. （1）求sin β的值；（2）求tan β和221sin sin cos 2cos ββββ--的值. 【答案】（1）4sin 5β=；（2）22415tan ,3sin sin cos 2cos 2βββββ=-=--. 【分析】（1）由诱导公式求得sin β；（2）由同角关系求得cos β后可得tan β，直接代入sin ,cos ββ的值计算．【详解】（1）因为α是第一象限角，所以4cos 5α==，又2πβα=+， 所以4sin sin()cos 25πβαα=+==； （2）α是第一象限角，则2πβα=+是第二象限角，所以3cos 5β===-， 所以4sin 45tan 3cos 35βββ===--， 2222115sin sin cos 2cos 2443325555ββββ==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角间的三角函数关系．解题关键是掌握三角函数的定义确定三角函数值的正负，从而正确求解．由三角函数的定义得出cosα为正，cosβ为负．然后由商数关系求得tanβ，代入已求值可得分式的值．10．（2020·安徽省定远中学高一月考）若α为第二象限角，4 sin25πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求sinα的值.（2）若7sin(5)cos tan()2()tan(19)sin()fπαπαπααπαα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----，求()fα的值.【答案】（1）35；（2）35.【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cosα的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinα的值；（2）利用诱导公式即可化简求值得解．【详解】（1）α为第二象限角，4 sin()cos25παα+==-，3sin5α∴；（2）7sin(5)cos()tan()sin(sin)tan2()sintan(19)sin()tan(sin)fπαπαπααααααπαααα---+-===-----，3()5fα∴=．【点睛】方法点睛：诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成,2kk Zπα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2kπα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“-”，就加在前面）。
2018年上海市浦东新区华师大二附中高考数学三模试卷(解析版)
2018年上海市浦东新区华师大二附中高考数学三模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知平面直角坐标系中不垂直于x轴的直线l，则“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctan k”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又不必要条件2.设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)3.方程x ln3+x ln4=x ln5正实数解的个数为（）A. 0个B. 1个C. 3个D. 多于3个4.某作图软件的工作原理如下：给定δ∈（0，0.01），对于函数y=f（x），用直线段连接各点（nδ，f（nδ））（−5δ≤n≤5δ，n∈Z），所得图形作为y=f（x）的图象．因而，该软件所绘y=sin（2001x）与y=sin x的图象完全重合，若其所绘y=cos（ωx）与y=cos x的图象也重合，则ω不可能等于（）A. 1999B. 1001C. 999D. 101二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.设x∈R，则不等式x+1x−3＜0的解集为______．6.f（x）=3x+1x的反函数为f-1（x）=______．7.已知向量a⃗=(7，−1，5)，b⃗ =(−3，4，7)，则|a⃗+b⃗ |=______．8.已知无穷等比数列{a n}的各项的和是3，首项a1=2，则其公比q=______．9.如果双曲线x23m −y2m=1的焦点在y轴上，焦距为8，则实数m=______．10.方程1og5（x+1）-log15（x-3）=1的解为x=______．11.在（x2+√x）6的二项展开式中，常数项等于______．12.已知圆锥的高与底面直径均与球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为______．13.已知a，b∈C，集合{a，b}={a2，b+1}，则a•b______．14. 沙沙从写有数字0～5的6枚卡片中不放回地抽取3张并进行如下操作：若3张卡片中不含写0的那张，则记录这3张卡片上数字的平均值；若3张卡片中含有写0的那张，则记录3张卡片上数字之和，那么他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率为______（结果用最简分数表示）．15. 已知△ABC 中，BC =5，CA =6，AB =4，P 是△ABC 内一点，使得5PA⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设PD 垂直BC 于D ，PE 垂直CA 于E ，则PD ⃗⃗⃗⃗⃗ •PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 若函数y =a -|x +4x −a|在区间[1，4]上的最小值是4，实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，AA 1=4，M 是C 1A 1的中点．（1）求四面体MA 1AB 的体积；（2）求异面直线MB 与AA 1所成角的大小．18. 设a ，b ＞0，函数f （x ）=a x +b x ．（1）若f （x ）是偶函数，求ab 的值；（2）若b =2，求f （x +1）＞f （x ）时x 的取值范围（用a 表示）．19. 如图，某校机器人社团需要制作一种四边形零件ABCD ，要求∠A =90°，∠BDC =30°，AD 长10厘米，DC 长20厘米． （1）若∠ADB =65°，求BC 的长（结果精确到0.01厘米）； （2）若要求∠C =∠ADC ，求∠CBD 的大小（结果精确到1°）．20.已知P（t，t2）（t＞0）是抛物线y=x2上一点，过原点O作直线OP的垂线l，设点A的坐标为（0，a），其中a∈（0，1]．直线PA交l于点Q．（1）当t=1时，求原点O到直线PA的距离（用a表示）；，1），求a的值．（2）若当P在抛物线上运动时，Q点的轨迹经过点（−1√321.设m∈N*，若无穷数列{x n}满足：对所有整数1≤d≤2m-1，都成立x2m-d=x d，则称{x n}“m-折叠数列”（1）求所有的实数q，使得通项公式为x n=q n（n∈N*）的数列{x n}是3折叠数列；（2）给定常数P∈N*，是否存在数列{x n}，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm-折叠数列，且{x n}的各项中恰有P+1个不同的值？证明你的结论；（3）设递增数列{a i}满足a i∈N*（i∈N*）．已知如果对所有m∈N*，{x n}都是a m-折叠数列，则{x n}的各项中至多只有k个不同的值，证明：a m≤2m−1(k−1)+1．答案和解析1.【答案】C【解析】解：当k≥0时，由l的斜率等于k，可得l的倾斜角等于arctank，当k＜0时，由l的斜率等于k，可得l的倾斜角等于π-arctank，反之，l的倾斜角等于arctank，则直线l的斜率为tan（arctank）=k．∴“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctank”的必要非充分条件．故选：C．由反正切函数的值域及充分必要条件的判定得答案．本题考查反三角函数的值域，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】B【解析】解：当a＞1时，A=（-∞，1]∪[a，+∞），B=[a-1，+∞），若A∪B=R，则a-1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（-∞，a]∪[1，+∞），B=[a-1，+∞），若A∪B=R，则a-1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（-∞，2]．故选：B．当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R 时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．3.【答案】B【解析】解：先证a log b c=c log b a，可令a log b c=m，c log b a=n，两边取b为底的对数，可得log b m=log b c•log b a，log b n=log b a•log b c，则log b m=log b n，可得m=n，即a log b c=c log b a，则x ln3+x ln4=x ln5即为3lnx+4lnx=5lnx，x＞0，可得（）lnx+（）lnx=1，由于y=（）lnx，y=（）lnx在R上递减，可得y=（）lnx+（）lnx在R上递减，又lnx=2时，即x=e2时，有（）2+（）2=1，则原方程的解有且只有一个．故选：B．运用对数的运算性质先证a log b c=c log b a，可得原方程为3lnx+4lnx=5lnx，x＞0，可得（）lnx+（）lnx=1，再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到解的个数．本题考查方程的解的个数，注意运用对数的运算性质和换元法、复合函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：给定δ∈（0，0.01），若其所绘y=cos（ωx）与y=cosx的图象也重合，则δ=k∈（0，0.01），故ω＞＞628，故选：D．依题意，该软件所绘y=sin（2001x）与y=sinx的图象完全重合，说明给定的δ恰好为y=sin（2001x）周期的k（k∈N*）倍．故要想满足y=cos（ωx）与y=cosx的图象也重合，只须验证，δ是否为的k（k∈N*）倍即可．本题难点在于将软件所绘y=sin（2001x）与y=sinx的图象完全重合转化为δ为函数y=sin（2001x）周期的整数倍．属于中档题．5.【答案】（-1，3）【解析】解：若，则，或，解得：（-1，3）；故答案为：（-1，3）不等式可化为：，或，解得答案．本题考查的知识点是分式不等式的解法，将其转化为整式不等式组，是解答的关键．6.【答案】1x−3【解析】解：设y=，则x=，∴f（x）的反函数f-1（x）=，故答案为：先把y当已知，反解x=，然后x与y对调，即得．本题考查了反函数的求法．属基础题．7.【答案】13【解析】解：∵向量，，∴=（4，3，12），∴||==13．故答案为：13．先求出向量=（4，3，12），由此能求出||．本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】13【解析】解：无穷等比数列{a n}的各项的和是3，必有|q|＜1，又由首项a1=2，则有=3，解可得：q=，故答案为：．根据题意，由等比数列的前n项和公式可得=3，解可得q的值，即可得答案．本题考查无穷等比数列的前n项和的计算，关键掌握等比数列的前n项和公式，属于基础题．9.【答案】-4【解析】解：由题意，双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则-m-3m=16，∴m=-4．故答案为：-4．将双曲线的标准方程，焦点在y轴上，焦距为8，列出方程，即可得到结论．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．10.【答案】x=4【解析】解：=log5（x+1）（x-3）=1=log55∴解得x=4故答案为：x=4先由对数的运算法则将等式左侧转化为log5[（x+1）（x-3）]，只要真数相等即可．还要注意到对数函数的定义域．本题考查对数方程的求解、对数函数的定义域和对数的运算法则，属基本运算的考查．11.【答案】154【解析】解：（+）6的二项展开式中，通项公式为T r+1=••=••，令6-=0，解得r=4，∴展开式的常数项为T5=•=．故答案为：．利用二项展开式的通项公式，即可求出展开式的常数项．本题考查了二项式展开式应用问题，是基础题．12.【答案】1：2【解析】解：设球的半径为r，所以圆锥的体积为：×π×r2×2r=πr3．球的体积：πr3．∴圆锥与球的体积之比是：1：2故答案为：1：2．设出球的半径，根据条件求出圆锥的体积，球的体积，求出体积之比．本题考查圆锥的体积，球的体积，考查计算能力，是基本知识的考查．13.【答案】=-1【解析】解：∵{a，b}={a2，b+1}；∴；解得或∴a•b=-1．故答案为：-1．根据{a，b}={a2，b+1}，得到两个集合元素之间的关系，解方程即可求得a值．本题考查了集合相等的条件，考查了复数的运算，是基础题．14.【答案】15【解析】解：从写有数字0～5的6枚卡片中不放回地抽取3张，基本事件总数n==20，若3张卡片中不含写0的那张，则记录这3张卡片上数字的平均值；若3张卡片中含有写0的那张，则记录3张卡片上数字之和，他在抽取一次之后，记录的数等于3包含的基本事件有：（1，2，6），（1，3，5），（2，3，4），（0，1，2），共4个，∴他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率p===．故答案为：．基本事件总数n==20，利用列举法求出他在抽取一次之后，记录的数等于3包含的基本事件有4个，由此能求出他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】−17596【解析】解：以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，在△ABC中，由BC=5，CA=6，AB=4，得cos，∴sin，∴C（0，0），B（5，0），A（，），设P（m，n），则，，，由5+3+=，得，即P（）．设，则=，由=0，得．∴=（-，），而，∴•=（-，）•（0，）==．故答案为：-．以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求得A，B的坐标，设P（m，n），结合5+3+=求得P的坐标，再由数量积为0求解，则•可求．本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查计算能力，利用坐标法求解是关键，属难题．16.【答案】[4.5，+∞）【解析】解：由y=x+在[1，2）递减，[2，4]递增，可得y=x+的最小值为4，最大值为5，函数y=a-的最值在顶点或区间的端点处取得，若f（1）取得最小值4，即a-|5-a|=4，可得a=4.5，即有f（x）=4.5-|x+-4.5|，且此时f（1）=f（2）=f（4）取得最小值，成立；若f（2）取得最小值4，即a-|4-a|=4，即有a≥4；此时f（1）=a-|a-5|，f（4）=a-|a-5|，f（2）=4，由f（2）≤f（1），解得a≥4.5；当f（4）取得最小值4，即a-|5-a|=4，解得a=4.5，成立．综上可得a的范围是[4.5，+∞）．故答案为：[4.5，+∞）．运用对勾函数的单调性，求得y=x+的最小值为4，最大值为5，再由最值的取得在顶点或区间的端点处取得，分别计算可得a的取值范围．本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，以及最值求得的位置，考查运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）取AC的中点G，连接BG，在正三角形ABC中，BG⊥AC，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，面ACC1A1⊥平面ABC，∴BG⊥平面ACC1A1．四面体MA1AB的体积V=13S△A1AM×BG=13×12×AA1×MA1×BG=13×12×1×4×√3=2√33．（2）接MG，则有AA1∥MG，则∠BMG就是异面直线MB与AA1所成的角．在直角三角形BMG中，GB=√3，∴MG=4，即tan∠BMG=BGMG =√34．∴异面直线MB与AA1所成角的大小为arctan√34．【解析】（1）取AC的中点G，可得BG⊥平面ACC1A1，则四面体MA1AB的体积V=即可计算．（2）接MG，则有AA1∥MG，则∠BMG就是异面直线MB与AA1所成的角．在直角三角形BMG中，求得tan．即可本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积、异面直线所成角的计算，属于中档题．．18.【答案】解（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x）恒成立，所以a-x+b-x=a x+b x恒成立，即（a x +b x ）[1-1(ab)2]=0恒成立， ∴1-1(ab)x =0，∴（ab ）x =1恒成立，∴ab =1；（2）b =2时，f （x ）=a x +2x ，f （x +1）=a x +1+2x +1，∴a x +1+2x +1＞a x +2x ，（2a ）x ＞1-a ，当1-a ≤0即a ≥1时，不等式恒成立，解集为R ；当1-a ＞0，即0＜a ＜1时，x ＞log 2a (1−a)综上：a ≥1时，x 的取值范围是R ；0＜a ＜1时，x 的取值范围是（log2a （1-a ），+∞）【解析】（1）根据f （-x ）=f （x ）恒成立可求得ab=1；（2）代表达式后，对1-a 分两种情况讨论即可．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．19.【答案】解：（1）在Rt △DAB 中，∵AD =10，∠ADB 65°，∴BD =AD cos65∘=10cos65∘≈2.366，在△BDC 中，由余弦定理得：BC 2=BD 2+DC 2-2×BD ×DC cos30°=2.3662+202-2×2.366×20×√32 ≈323.64，BC ≈17.99（2）由题意∠CBD =x ；则x -30°＜90°．∴x ＜120°．在△ABD 中，正弦定理：可得：10sin(x−30∘)=BD在△DBC 中，正弦定理：BD sin(150∘−x)=20sinx ，∴20sin(150°−x)sinx =10sin(x−30∘) 化简可得4sin 2x -2sin x -1=0，可得sin x =√5+14≈0.809可得x ≈53°即∠CBD 的大小约为53°．【解析】（1）利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理建立关系即可求解；本题考虑了正弦定理、余弦定理在四边形中的灵活应用．属于中档题． 20.【答案】解：（1）P （1，1），A （0，a ），直线PA 的方程为y =（1-a ）x +a ，原点O 到直线PA 的距离为|a|√1+(a−1)2=a √1+(a−1)2． （2）k OP =t ，直线l 的方程为y =-x t ，直线AP 的方程为y =t 2−at x +a ，联立两直线方程可得x =-ta t 2−a+1，y =a t 2−a+1，Q 点的轨迹经过点（−1√3，1）， 可得-√33=-ta t 2−a+1，1=a t 2−a+1， 消去t ，解得t =-√33，a =23． 【解析】（1）P （1，1），A （0，a ），直线PA 的方程为y=（1-a ）x+a ，利用点到直线的距离公式即可得出原点O 到直线PA 的距离．（2）k OP =t ，直线l 的方程为y=-，直线AP 的方程为y=x+a ，联立两直线方程可得交点坐标，根据Q 点的轨迹经过点（），代入即可解出． 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）要使通项公式为x n =q n （n ∈N *）的数列{x n }是3折叠数列 只须q 6-d =q d①q =0时，x n =0，显然成立．②q ≠0时，上式可化为q 6-2d =1⇔（q 3-d ）2=1，（d ∈{1，2，3，4，5}），∴q =1或q =-1，综上q =0或q =1或q =-1（2）对给定的p ，{x n }都是pm -折叠数列，故x n 有多条对称轴，其中x =pm 都是数列{x n }的对称轴设x n =cos πp x ，由πp x =m π （m ∈N *）得对称轴为x =pm ，且x n 的周期为2p 满足给定常数P ∈N *，使得对所有m ∈N *，{x n }都是pm -折叠数列x n 是周期函数，周期为2p ，在（1，2p ]这个周期内，x =p 为对称轴，故x n ∈（1，2p ]对应函数值的个数与x n ∈[p ，2p ]对应的函数值个数相等x n∈[p，2p]，πpx n∈[π，2π]，∴x n∈在[p，2p]上单调递增，p∈N*故x n各项中共有p+1个不同的值．综上，给定常数P∈N*，存在数列{x n}，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm-折叠数列，且{x n}的各项中恰有P+1个不同的值（3）由（2）知，a m=pm（p∈N*，m∈N*）且k=p+1即k-1=p故要证原不等式成立，只须证：pm≤2m-1p+1，只须证：m≤2m-1+1p①显然当m=1时，1≤21-1+1p成立；②假设当m=k时，有k≤2k-1+1p成立则当m=k+1时k+1≤2k-1+1p +1＜2k-1+1+21-1+1p=2（k+1）-1+1p故当m=k+1时不等式成立综上：a m≤2m−1(k−1)+1．【解析】（1）根据给出的定义，列方程讨论q的取值即可得到结果（2）存在性问题，只须举出例子即可证明，结合定义，{x n}有无数对称轴，想到三角函数（3）结合（2）的结论用数学归纳法即可证出本题主要考查了数列，三角函数，不等式的证明等知识，用到了分类讨论思想，函数思想，属于难题，做题时还要注意对新定义的理解和迁移．。
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。
{x|-2≤x<2}B。
{x|x<2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。
(-∞,1)B。
(-∞,-1)C。
(1,+∞)D。
(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。
6斤B。
9斤C。
9.5斤D。
12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。
60B。
30C。
20D。
105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。
若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。
0,0B。
1,1C。
0,1D。
1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。
10B。
11C。
12D。
138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。
[0,6]B。
[0,4]C。
[6,+∞)D。
[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。