高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理北师大版
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高考数学一轮复习 第三章 三角函数与解三角形 第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
＝
3sin sin
1100°°c－osco1s0°10°＝2sin110°－30°＝－12sin
20°＝－4.
2sin 20°
2sin 20°
答案：D
12/11/2021
(3)4sin 80°－csoins 1100°°等于( )
A. 3
B.－ 3
C. 2
D.2 2－3
解析：4sin
80°－csoins
第3讲 两角和与差及二倍角的 三角函数公式
12/11/2021
课标要求
考情风向标
1.经历用向量的数量积推导出两角差 本节复习时，应准确把握
的余弦公式的过程，进一步体会向量 公式的特征，活用公式
方法的作用. (正用、逆用、变形用、
2.能从两角差的余弦公式导出两角和 创造条件用)；重点解决
与差的正弦、余弦、正切公式，二倍 三角函数式的化简、求
∴2α∈π2，π，α∈π4，π2.∴cos 2α＝－2 5 5.又 β∈π，32π，
∴β－α∈π22α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝
－2
5
5×－3
1010－
55×
1100＝
22.又
α＋β∈54π，2π，故
α＋β
＝74π.故选 A. 答案：A
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难点突破 ⊙利用转化化归的思想探讨三角函数问题
例题：若 sinα－π4＝13，α∈0，π2，则 cos α 的值为(
)
4－ 2 A. 6
4＋ 2 B. 6
7
12
C.18
D. 3
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解析：方法一(推荐解法)，∵α∈0，π2，
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件理
答案：A
π 3 1 2．已知sin α＝ ，α∈ 2，π ，tan(π－β)＝ ，则tan(α－β)的 5 2
值为 2 A．－ 11 2 B. 11 11 C. 2 11 D．－ 2
(
)
π 3 解析：因为sin α＝ ，α∈2 ，π， 5
4 sin α 3 所以cos α＝－ 1－sin α＝－ ，所以tan α＝ ＝－ . 5 cos α 4
第
五
节
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课 前 双 基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过
基
础
知
识
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
cos αsin β ； sin(α± β)＝ sin αcos β± sin αsin β ； cos(α∓β)＝ cos αcos β±
答案：(1)√
(2)√
(3)×
(4)√
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ 3 A．－ 2 1 C．－ 2 3 B. 2 1 D. 2
(
)
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝ 1 sin(20°＋10°)＝sin 30°＝ ，故选D. 2
答案：D
π 3．设角θ的终边过点(2,3)，则tanθ－4＝
(
)
1 A. 5 C：由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝ ，故tanθ－4 2
3 tan θ－1 2－1 1 ＝ ＝ ＝ ，选A. 3 5 1＋tan θ 1＋ 2 答案：A
高考数学(理)一轮复习文档 第三章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 Word版
第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β； cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos__α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 3．三角公式关系1．两角差余弦公式的推导过程如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则 OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ； 由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ. 于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z . 所以cos(α－β)＝cos θ.即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2．辨明两个易误点(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． (2)在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．有关公式的逆用及变形用(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．角的变换技巧 α＝(α＋β)－β； α＝β－(β－α)； α＝12；β＝12；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.1.教材习题改编已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α为( ) A.210 B ．－210C.7210D ．－7210A 因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210. 2.教材习题改编化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B.12 C ．－12D ．－32B 法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12. 法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941 B.129C.141D ．1Dtan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝________．因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以22cos x －22sin x ＝35，所以cos x －sin x ＝325，则1－sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝725.7255．sin 15°＋sin 75°的值是________．sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.62三角函数公式的直接应用(1)(2017·贵阳市监测考试)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－717B.177C.717D ．－177(2)(2017·广州市综合测试(一))已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝( )A ．－7210B ．－210C.210D.7210【解析】 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－512＋11＋512＝717.(2)因为sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－210.【答案】 (1)C(2)B两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．1．(2017·湖南省东部六校联考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为( )A.1225B.2425 C ．－2425D ．－1225B 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0，所以α＋π6为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，故选B.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4C 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝1－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－4.故选C. 三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，解答题中研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度： (1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．(1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)求值：3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）＝________． 【解析】 (1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5，所以原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5.又因为 tan α＝2tan π5，所以原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.(2)原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°（4cos 212°－2） ＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°（2cos 212°－1）＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝23sin （12°－60°）12sin 48°＝－4 3.【答案】 (1)C (2)－43三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________． 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. －452．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 2角度二 二倍角公式的活用3．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α·12sin 2α－2cos 2α＝( ) A ．cos 2α B ．sin 2α C ．cos 2α D ．－cos 2αD 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin αcos α＋cos αsin α·sin αcos α－2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)－2cos 2α＝1－2cos 2α＝－cos 2α.角的变换(1)(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( )A.22B.210C.22或－210D.22或210(2)(2017·六盘水质检)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12 C ．－13D.2327【解析】 (1)因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223，所以cos(α－β)＝cos＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 【答案】 (1)A (2)D若本例(2)条件不变，求cos 2β的值．因为cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin α＝223，sin(α＋β)＝223，cos β＝cos＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－13×13＋223×223＝79.所以cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫792－1＝1781.角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3的值为( ) A.23 B.12 C.34D.45Btan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan （α＋β）－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π31＋tan （α＋β）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365 C ．－3365D ．－6365A 因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin β＝－513， 所以cos β＝1213.又因为α－β∈(0，π)，cos(α－β)＝35，所以sin(α－β)＝45，所以sin α＝sin＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.1．(2017·陕西西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1B.12C.32D ．－12Bsin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B ．－13C.23D ．－23Ccos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23，故选C.3．(2017·武汉市武昌区调研)已知cos(π－α)＝45，且α为第三象限角，则tan 2α的值等于( )A.34 B ．－34C.247D ．－247C 因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝321－916＝247，故选C. 4．(2017·兰州市实战考试)sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75D 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cosα)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0<α<π2，所以sin α＋cos α＝75，故选D.5．(2017·东北四市联考(二))已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，所以tan α＝sin αcos α＝－1，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－2 sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，所以cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α＝________．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3， 所以cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3，所以tan α＝1. 18．已知sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°，则cos α＝________． 因为0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°，所以cos(α－45°)＝1－sin 2（α－45°）＝7210， 所以cos α＝cos＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45° ＝45. 459．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________．依题意可将已知条件变形为 sin ＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin(β＋π4)＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210. 721010．(2017·河北衡水中学二调)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．因为tan α＋1tan α＝103， 所以(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α>1，所以tan α＝3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝22sin 2α＋22cos 2α＋2（1＋cos 2α）2＝22(sin 2α＋2cos 2α＋1)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α1＋tan 2α＋21－tan 2α1＋tan 2α＋1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫610－1610＋1＝0. 011．(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝ 2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 12．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos θ的值．(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝ ⎛－sin θcosπ3 ⎦⎥⎤⎭⎪⎫＋cos θsin π3 ＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3，所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63.13．(2017·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12 B.13C.14D ．与a 0有关的一个值A 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”ω＝13⎣⎢⎡sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－a 0⎦⎥⎤＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－a 0＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 0 ＝13⎣⎢⎡cos 2a 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0－32sin a 02＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 0＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤32（sin 2a 0＋cos 2a 0）＝12. 14．(2017·郑州第一次质量预测)△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则tan A ＝___________________________. 3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝3π12＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.115．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2α＝1－sin 22α＝35，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，所以cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos α＝255，sin α＝55.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.16．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值．(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． (1)因为y ＝a ＋2cos 2x 是偶函数，所以g (x )＝cos(2x ＋θ)为奇函数，而θ∈(0，π)，故θ＝π2，所以f (x )＝－(a ＋2cos 2x )sin 2x ，代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得a ＝－1.所以a ＝－1，θ＝π2.(2)f (x )＝－(－1＋2cos 2x )sin 2x ＝－cos 2x sin 2x ＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，故sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.。
非常考案通用版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦正切公式课件
.
【解析】 (1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ2 4cos22θ
＝cosθ2·sin2θ2－θcos2θ2＝－cos2θ·θcos
θ .
cos2
cos2
因为 0＜θ＜π，所以 0＜θ2＜π2，所以 cosθ2＞0，
所以原式＝－cos θ.
(2)原式＝2cso－isn2π4π4－s－inx2xxc·cooss22x＋4π－12x ＝2sin124π1－－xsicno2s2xπ4－x＝si12ncπ2o－s222xx＝12cos 2x.
2．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－
3 2
3 B. 2
C．－12
1 D.2
【解析】 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°
＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选 D. 【答案】 D
备
研
高
考
考
点
第三节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
分
层
理
限
教
时
材
跟
踪
练
备高考| 3 个任务 1．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式对三角函数式化简与求值． 2．会化形如 asin x＋bcos x 的式子成 Asin(ωx＋φ)的形式． 3．能运用三角恒等变换对三角函数式化简．
理教材| 回扣自测 要点梳理
考向 2 三角函数式的求角
能力考点
题型：选择、解答题 难度：中 命题指数：★★★
命题热点：结合三角函数公式及三角函数的单调性求角.
高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件文
突破考点 02
给角求值
（重点得分型——师生共研）
【调研 2】 (1)化简ssiinn1155°°csoins99°°－＋csions6666°°的结果是(
)
A．tan9°
B．－tan9°
C．tan15°
D．－tan15°
【解析】
sin15°cos9°－cos66° sin15°sin9°＋sin66°
第三章
三角函数、解三角形
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考纲下载 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正 切公式． 3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余 弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系． 4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化 和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
17 D.50
【解析】 因为 0<α<π2，cosα＋π6＝45，所以 sinα＋π6＝35，
sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2245，cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－
1 ＝ 275 ， 所 以
sin2α
请注意 本节主要题型有：①三角函数式的化简与求值；②三角 函数式的简单证明.这部分知识难度已较以前有所降低，应适 当控制其难度.
突破考点01 突破考点02 突破考点03
突破考点04 高考真题演练
课时作业
突破考点 01
三角函数公式的基本应用
（基础送分型——自主练透）
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ； tan(α±β)＝1t∓antaαn±αttaannββ.