剪切变形切应力和挤压变形应力计算公式的推导-力学论文-物理论文
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材料力学论文第八篇：剪切变形切应力和挤压变形应力计算公式的推导
摘要：在目前材料力学课程的教材和教学中, 对剪切与挤压变形的应力分析一般只做简单的陈述, 便引出了剪切与挤压变形的剪切面和挤压面上的切应力和挤压应力的近似计算公式, 即实用计算法。
按照构件变形应力的一般研究方法从几何关系、物理关系、静力学关系三个方面对剪切、挤压变形进行应力分析, 得出剪切、挤压应力的计算公式, 对于一般教材和教学中采用的剪切、挤压应力的实用计算法的讲解是一个理论上的补充, 有利于学生掌握和理解该内容。
关键词：切应力; 挤压应力; 变形; 几何关系; 物理关系; 静力学关系;
A Study on Stress Analysis of Shear and Extrusion Deformation
ZHANG Chaoping DAI Hongtao
Zhengzhou Railway Vocational and Technical College
Abstract：At present in the course of materials mechanics and teaching materials, Stress analysis of shear and extrusion deformation is generally only a simple analysis of statements, The approximate calculation formulas of shear stress and extrusion stress on the shear and extrusion deformation shear plane and the extrusion surface are
derived, namely the practical calculation method. In this paper, stress analysis of shear and extrusion deformation is carried out from geometrical, physical and static relations according to the general research method of deformation stress, and the formulas for calculating the shear and extrusion stresses are obtained. The general teaching materials and teaching used in the shear, extrusion stress practical calculation method is a theoretical supplement to help students master and understand the content.
材料力学主要研究构件在不同变形下的承载能力, 而在绝大部分教材中, 都把构件的变形分为拉(压) 变形、剪切(挤压) 变形、扭转变形、弯曲变形、组合变形等进行研究。
其中拉(压) 、扭转、弯曲等变形应力的研究方法非常相似, 都是通过试验观察, 经过几何关系、物理关系、静力学关系三方面的分析得出最终结论, 而把剪切(挤压) 变形说得非常复杂, 以致不能采用和其他变形一样的研究方法来分析应力, 人为地假设出与众不同的实用计算方法, 使教师讲解起来感觉说服力不强, 底气不足, 学生学起来既没有理论或实际上的受力分析, 也没有正确的数学公式推导。
因此, 教师和学生普遍感到这部分内容理论性太强、逻辑性太差。
经过分析发现, 剪切和挤压变形中切应力和挤压应力的计算公式完全可以和其他变形一样, 通过
试验观察, 经过几何关系、物理关系、静力学关系三方面的分析, 得出同样的应力计算公式。
1 剪切变形切应力计算公式的推导
1.1 几何关系方面
图1 铆钉受力情况图
现在我们来研究图1 (a) 所示的铆钉受剪情况。
由于两个外力
F不在同一直线上, 形成一对力偶, 尚需有两个力FN形成另一对力偶来与其平衡, 如图1 (d) 所示。
铆钉除剪切变形外, 还有弯曲变形、拉伸变形等, 铆钉与被连接件因互相接触传力而产生挤压变形, 因而, 铆钉的实际受力情况非常复杂。
但是剪切变形与破坏是发生在相对错动的平面之间的微段上, 因此, 我们可以认为在这一微段上主要因剪切力造成构件的变形和破坏, 其他力所产生的变形可以忽略不计。
如图2所示, 取出这一微段进行试验, 观察其变形。
在变形前沿构件轴线划出两条纵向线和垂直于轴线的两条圆周线, 在载荷F作用下(剪切力FQ=F) , 注意观察变形, 我们可以看到:原来为直线的纵向线(ab、cd) 变形后仍为直线, 只是相对于原来轴线倾斜了一个角度;原来是圆的圆周线(ac、bd) 变形后仍为圆, 且仍处在同一平面内, 只是相对错动了一个位置。
因此, 可以得出如下平面假设:变形前为平面的横截面, 在变形后仍为平面, 仅相对错动了一个位置, 横截面的形状、大小和间距均不发生变化。
由此可以得出, 横截面上各点均移动了相同的距离。
根据剪(角) 应变的定义可知, 各矩形的直角改变量称为角应变, 从而得出在剪切变形中横截面上各点的切应变相等, 即=常数。
图2 铆钉受力微段图
1.2 物理关系方面
由剪切胡克定律, 当切应力小于材料的比例极限时, 切应力与切应变成正比, 即=G。
因为材料是均匀的, 所以G=常数, 从而得到=G=常数, 即剪切变形中横截面上各点的切应力相等。
1.3 静力学关系方面
由静力平衡条件可知, 横截面上切应力的合力等于剪切变形的内力剪力FQ。
设横截面(剪切面) 面积为A, 它上的切应力为, 则
所以。
2 挤压变形应力的计算公式推导
我们来分析图3所示键的受力情况。
挤压变形发生在键与轮或轴与键的接触面附近。
图3 受力情况图
图4 挤压变形分析图
2.1 几何关系方面
如果把键的宽度b作为纵向, 高度h和长度L作为横向, 加载前在接触部位附近处划出一系列纵向线和横向线, 如图 4 (a) , 加载后可以看出:各横向线和纵向线仍为直线, 横向线发生了平移, 如图4 (b) 。
由此得到平面假设:接触面附近处的横截面(挤压面) 变形前是平面, 变形后仍是平面, 只是相对于原位置发生了平移。
由平面假设可得:横截面(挤压面) 上各点的纵向变形相等, 即正应变相等, =常数。
2.2 物理关系方面
由拉压胡克定律=E可得c=常数, 即横截面(挤压面) 上各点的正应力相等。
2.3 静力学关系方面
设挤压面面积为Ac, 挤压力为Fc, 挤压应力为c, 则
对于铆钉、销钉、螺栓等连接件, 其挤压接触面是半圆柱面,
实际挤压应力的分布是不均匀的, 因此, 不能按照以上公式计算挤压应力。
图5 半圆柱面挤压力图
如图5所示, 铆钉连接, 半圆柱挤压面上的挤压力为Fc, 圆柱直径为D, 挤压面长度为t, 假设挤压面上挤压应力大小均匀, 即c=常数, 根据静力学平衡条件得
由上式求得的应力与实际挤压应力(不均匀) 的最大值相等, 故可以用此式进行挤压面是圆柱面的挤压强度计算。
3 结语
以上是按照材料力学研究构件变形应力的一般方法, 即从几何关系、物理关系、静力学关系三个方面通过对剪切、挤压变形的应力分析, 得出发生剪切变形的构件剪切、挤压应力的计算公式。
这样, 对一般教材和讲授中采用的剪切、挤压应力的实用计算法是一个理论上的补充, 有利于学生对这部分内容的理解和掌握。
参考文献
[1]张晖辉, 陈鐾, 刘峰.对材料力学中挤压实用计算公式的讨论[J].力学与实践, 2012 (4) :83-86.
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应力的实用计算为例[J].四川建材, 2016, 42 (4) :287-288.
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[4]张勤, 张超平.工程力学[M]. :高等教育出版社, 2015.。
应力方程推导
应力方程推导应力方程是描述物体内部受力和变形关系的数学表达式。
它是弹性力学的基础，也是工程力学和材料力学的重要理论基础之一。
本文将以应力方程推导为主题，系统介绍应力方程的概念、推导过程以及应用。
一、应力方程的概念应力是物体内部受力的一种表现形式，是单位面积上的力。
应力方程是通过应力的定义和分析物体的受力情况得到的。
在弹性力学中，应力分为正应力、剪应力和体积应力三种形式，分别对应物体的拉伸、剪切和压缩。
二、应力方程的推导过程应力方程的推导过程主要基于牛顿力学和材料力学的基本原理。
我们以一维拉伸为例进行推导。
1. 假设一个弹性材料的长度为L，面积为A，受力为F。
根据胡克定律，材料的应力与应变成正比，比例系数为弹性模量E。
则该材料受力F产生的应力可以表示为σ=F/A。
2. 假设材料受力后发生了线性变形，即变形量与受力成正比。
根据胡克定律，材料的应变与应力成正比，比例系数为杨氏模量G。
则该材料受力F产生的应变可以表示为ε=F/(AL)。
3. 根据牛顿第三定律，物体受力产生的反作用力与受力大小相等，方向相反。
因此，材料内部的应力也会产生反作用力。
根据平衡条件，反作用力之和为零。
4. 将应力方程代入平衡条件中，可以得到F=∫σdA，即受力F等于应力在截面上的积分。
5. 通过对截面上应力的积分，可以得到物体内部的受力分布情况。
这是应力方程的关键。
三、应力方程的应用应力方程是工程力学和材料力学中非常重要的工具，具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 结构分析：通过应力方程可以计算材料在受力时的变形情况，从而判断结构的稳定性和可靠性。
例如，在建筑工程中，可以通过应力方程来设计和优化建筑物的结构。
2. 材料选择：不同材料的强度和刚度不同，通过应力方程可以计算不同材料在受力时的应力分布情况，从而选择最合适的材料。
3. 工程设计：在工程设计中，需要考虑材料的承载能力和变形情况。
通过应力方程可以计算出材料在受力时的最大应力和变形量，从而确定设计的合理性和可行性。
第6章 剪切与挤压变形
，铆钉将受到两组大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的力
F作用（图6-1b），迫使铆钉在这两组力的作用线之间的截面上产生
相对错动的变形，构件的这种变形称为剪切。
图6-1
第6章 剪切与挤压变形
构件在二力作用线之间的截面上，沿外力的方向发生相对错动
使变用形规，范使两说力明作用线间的小矩形变成了平行四边形。产生相对错动的
。与此同时，连接件与被连接的构件因相互接触而产生挤压。当这种
挤压力过大时，在接触面的局部范围内将产生塑性变形，甚至被压溃
，从而导致连接件与被连接的构件同时失效。
第6章 剪切与挤压变形
使6用.1规范剪说切明 的概念与实用计算
6.1.1 剪切的概念
当两块钢板被一铆钉连接，并各受一拉力F的作用（图6-1a）时
工程力学
第6章 剪切与挤压变形
工程上常用于连接构件的铆钉、销钉、螺栓和键等统称为连接
使件用。规在范工作说时明，连接件两侧面受到一对大小相等、方向相反且作用线
相距很近的力的作用。在这样的力的作用下，连接件的主要失效形式
之一就是沿平行于这两个外力的作用线且位于这两个外力作用线之间
的截面发生相对错动而产生剪切变形，当外力较大时将产生剪切破坏
连接件和被连接构件的接触面上相互压紧，这种局部受压的现象称为
挤压。
如图6-5a所示的铆钉连接，在钢板和铆钉相互接触的表面上将承
受一定的压力，当压力足够大时，钢板上的圆孔可能被压成如图6-5b
所示的椭圆孔，或者铆钉的侧表面被压陷。这种作用在接触面上的压
力称为挤压力，用符号 Fjy表示。在接触处产生的变形称为挤压变形 。挤压力的作用面称为挤压面。由挤压力引起的应力称为挤压应力，
剪切和挤压—剪切和挤压的实用计算(建筑力学)
剪切与挤压
（2）校核铆钉的挤压强度
挤压力
FC = F1= 40kN
由挤压强度条件
FQ
F4
160 103
M Pa 127.4M Pa 140M Pa
As d 2 4 3.14 202
铆钉满足挤压强度要求。
剪切与挤压
（3）校核钢板的抗拉强度
剪切与挤压
例8- 现有两块钢板，拟用材料和直径都相同的四个铆钉 搭接。已知作用在钢板上的拉力F=60kN，两块钢板的厚度均 为t=0mm，宽度b=50mm，铆钉的直径d=0mm。铆钉所用材 料的许用应力为[σc]= 30 MPa，[τ] = 40MPa 。钢板的许用应 力为[σc]= 60MPa，试校核该铆钉的强度。
截面1-1和截面3-3处净面积相同，而截面3-3处轴力较小，
故不是危险截面，需要对截面1-1和截面2-2进行强度校核。 截面1-1
1
FN1 A1
F (bd
)t
160103 MPa 123.1MPa
(150 20 )10
截面2-2
2
FN 2 A2
3F 4 (b 2d)t
3160103 MPa 109.1MPa
• 当挤压面为平面时，挤 压计算面积与挤压面积相 等；
• 当挤压面为半圆柱面 时，挤压计算面积为挤压 面在圆柱体的直径平面上 的投影面积。
剪切与挤压
为了保证构件不发生挤压破坏，要求பைடு நூலகம்压应力不超过 材料的许用挤压应力。所以挤压强度条件为
c
Fc Ac
[ c ]
式中：[σc]为材料的许用挤压应力，可查有关设计手册。
(150 2 20) 10 4
材料力学第3章剪切与挤压的实用计算[精]
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材料力学
出版社 理工分社
图3.9
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解(1)校核键的剪切强度 将键沿n—n截面假想地分成两部分，并把n—n截面以下部分和轴作为一个整 体考虑(见图3.9(b))。假设在n—n截面上的切应力均匀分布，所以由式 (3.1)得n—n截面上的剪力FQ为
将剪力FQ对轴心取矩，由平衡方程
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挤压面的计算面积视接触面的具体情况而定，与实际挤压面积不是同一概念 。对于螺栓、铆钉、销钉等一类圆柱形构件，实际挤压面是半圆柱面，为了 简化计算，一般取圆柱的直径平面作为挤压面的计算面积，如图3.8所示， Abs=dt。若接触面为平面，如图3.2所示的平键，则取实际挤压面积为计算 面积。
定量的数值关系为 塑性材料：
脆性材料：
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例3.2如图3.9(a)所示，轴通过平键与齿轮连接(图中没 有画出齿轮)。已知轴的直径d=70 mm，键的尺寸为 b×h×l=20×12×100 mm，传递的扭转力偶矩Me=2 kN·m，键的许用应力 =60 MPa，［σ bs］=100 MPa。 试校核键的强度。
，得
所以有
可见平键满足剪切强度条件。
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(2)校核键的挤压强度 以键在n—n截面以上部分为研究对象，受力如图3.9(c)所示。由平衡方程
，得 式中Fbs——右侧面上的挤压力。 据式(3.5)，得 由于挤压面为平面，所以
联立式(a)、(d)、(e)、(f)，可得
由此解得
故平键也满足挤压强度要求。
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2.13剪切和挤压
例题1
b
a
解：1.板的拉伸强度
2.板的剪切强度
FN F A (b 2d ) 50 103 (0.15 2 0.017) 0.01 43.1 106 43.1MP a [ ]
Fs F 50103 A 4a 4 0.08 0.01 15.7 106 15.7MPa [ ]
1.剪切的工程实例
剪切和挤压
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
平键连接
焊接连接
榫连接
2.剪切的实用计算
剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力 合力大小相等、方向相反且作用线很近。
F F
变形特点：位于两力之间的截面发生相对错 动。
F
m m
F
假设切应力在剪切面（m-m截面来自上是 均匀分布的Fm
FS m
m FS m
Fbs bs 挤压强度条件： bs Abs
塑性材料： 0.5 0.7
脆性材料： 0.8 1.0
bs 1.5 2.5 bs 0.9 1.5
Fs F A lb
3
键的受力情况如图2-10c所示， 此时剪切面上的剪力（图2-10d） 为 Q=P=12.1kN=12100N 对于圆头平键，其圆头部 分略去不计（图2-10e），故剪 切面面积为 A bl p b(l 2 2 R) 2.8(7 2 1.4)
11.76cm2 11.76 104 m2
F
得切应力计算公式：
Fs A
Fs A
切应力强度条件：
常由实验方法确定
剪应力计算公式：
Fs A
• 式中：Fs——剪切面上的剪力。 • A-------剪切面面积。
剪应力互等定理推导
剪应力互等定理推导剪应力互等定理是固体力学中的基本定理之一，也称为剪应力力学定理。
它表明，在弹性条件下，一个平面内通过一直线的切应力（剪应力）在该直线两侧相等。
我们可以通过以下推导来理解剪应力互等定理。
假设有一个矩形横截面为A的杆件，其长度为L。
我们考虑在该杆件上沿横截面施加一个垂直于其长度方向的力F，使之发生剪变形。
该剪变形引起杆件内部的剪应力。
我们将杆件在剪应力作用下切割成两个相等的部分。
在切割面之间考虑一个无穷小的区域，该区域的高度为h，宽度为dx。
这个区域所受到的剪应力为τ，在这个区域中受到的剪力为dF。
根据黏性流体的模型，剪应力可以表示为剪切速率和黏度的乘积，即τ = η(dθ/dx)，其中，dθ为相对于杆件轴线的剪变形角度，η为材料的剪切黏度。
根据几何关系，我们可以得到剪变形角度与截面高度之间的关系，即dθ = (dφ/dx)h，其中，dφ为区域宽度的变化。
根据杆件平衡条件，我们可以得到剪应力在该区域所受到的剪力为dF = τA = η(dθ/dx)Ah = η(dφ/dx)Ah。
我们注意到，区域宽度的变化可以表示为dφ/dx = dA/dx，其中，dA为区域面积的变化。
因此，剪应力在该区域所受到的剪力可以简化为dF = η(dA/dx)Ah。
我们将该区域与整个杆件上的所有区域进行积分，得到总的剪力 F = η∫(dA/dx)Ah dx。
由于剪变形是弹性的，杆件上各截面的剪应力分布应该是均匀的。
因此，剪应力在截面上的分布不依赖于具体的位置，只与剪变形角度的变化有关。
根据积分计算的性质，我们可以将积分中的dA改写为截面面积A，并将积分范围改写为整个杆件的长度L，即F = ηAh∫(1/L) dx。
将积分化简之后，我们可以得到F = ηAh/L。
注意到Ah 是截面的面积，可以表示为 A = bh，其中，b为截面的宽度。
因此，上式可以进一步简化为 F = ηbh/L。
由于我们考虑的是一个矩形横截面的杆件，因此，b/h = 1。
剪切应力计算【精选文档】
拉伸、压缩与剪切1 基本概念及知识要点1.1 基本概念轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、静不定问题、剪切、挤压.以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念.1.2 轴向拉压 的内力、应力及变形1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力F N ,符号规定：拉力为正，压力为负.工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化.2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为F Aσ=N正应力的符号规定：拉应力为正,压应力为负.常用的单位为MPa 、Pa 。
3．强度条件强度计算是材料力学研究的主要问题之一。
轴向拉压时,构件的强度条件是[]F Aσσ=≤N可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。
4．胡克定律线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力F N 、杆的长度l 成正比，与截面尺寸A成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即F l l E EAσε∆==N式中的E 称为材料的弹性模量,EA 称为抗拉压刚度.胡克定律揭示在比例极限内，应力和应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握.1.3 材料在拉压时的力学性能材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。
材料力学性能的研究一般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验,由它所测定的材料性能指标有：E -材料抵抗弹性变形能力的指标；b s σσ,-材料的强度指标；ψδ, —材料的塑性指标.低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。
详见教材，应理解本部分知识。
1.4 简单拉压静不定问题1． 未知力的个数超过静力平衡方程个数的问题为静不定问题，其中未知力可以是结构的约束反力或构件的内力。
2． 解决静不定问题,除列出静力平衡方程外，还需列出一定数量的补充方程,这些补充方程可由结构各部分变形之间的几何关系以及变形和力之间的物理关系求得，将补充方程和静力平衡方程联立求解，即可得出全部未知力。
剪切、挤压实用计算解析
bs
P (D2 d2)
40 103 (402 202 )
42.4MPa [ ]
4
4
F=40KN
例3、 拉杆及头部均为圆截面，材料 的许用剪应力[τ]＝100 MPa，许用挤 压应力[σjy]＝240MPa。试由拉杆头的 强度确定容许拉力[F]。
解：由剪应力强度条件：
的面积
(a)
(b)
(c)
①强度校核 (判断构件是否破坏)
jy
Fjy Ajy
[ jy ]
即当F、Ajy和
[
jy ]均已知时，根据
jy
Fjy Ajy
[ jy ] 或 [ jy ]
可对构件进行强度校核。
②设计截面 (构件安全工作时的合理截面形状和大小)
Ajy
Fjy
[ jy ]
即当F、[ jy ]已知时，由
解
F [ ] dh
— (1)
F
d2
[ ]
4
F
— (2)
(1) 得： d 4 [ ] 2.4 (2) h [ ]
例2、 拉杆头部尺寸如图所示，已知[τ]
=100MPa，许用挤压应力[jy]=200MPa。
校核拉杆头部的强度。
解: P 40 103 63.7MPa [ ]
F
F
dh
F 20 15 10 6
100 106
得F 94.2kN
由挤压强度条件：
jy
F (D2 d2)
F (402 202 )
240
4
4
求得 F 226kN
故： [F] 94.2kN 例4、已知F、a、b、l。计算榫接头的剪应力和挤压应力。
F