角的概念与表示
课堂小结
A (1) 用三个大写英文字母表示。
如∠AOB.
要在图中标出
O
B (2) 以点O为顶点是的哪角只个有角一个 .
用顶点的字母表示。如∠O.
D
C (3) 用一个希腊字母表示。
3γ β2
α1
O
∠α、 ∠ β 、∠ γ.
B
A
(4) 用一个数字表示。
∠1、 ∠ 2 、∠ 3.
B
O
1α
A
角的表示方法：
A (1) 用三个大写英文字母表示。
如∠AOB.
要在图中标出
O
B (2) 以点O为顶点是的哪角只个有角一个 .
用顶点的字母表示。如∠O.
D
C (3) 用一个希腊字母表示。
3γ β2
α1
O
∠α、 ∠ β 、∠ γ.
B
A
(4) 用一个数字表示。
∠1、 ∠ 2 、∠ 3.
练一练
边 顶点 边
角的概念1：
角是具有公共端点的两条 射线组成的图形.
角外终边角内 始边
角的概念2：
角是由一条射线绕着它的端 点旋转到另一个位置所成的图形.
角的表示方法：
1、角一般用三个大写英文字母表示。如∠AOB
A
表示顶点的字母“O”写在三个 字母的中间。
O
B 顶点：点O. 边：射线OA、OB.
角
∠ABC
用一个大写英文字母或一个希腊字母表示图中的角.
βα
D
B
A
∠A、 ∠C.
∠ α、 ∠ β.
C
练一练
请把图中所有的角分别表示出来.
E
∠F、∠H
3
4
∠1、∠2
12 H
∠3、∠4
F
G
∠FEH.
新课 方向角 北
北偏西30° B
N
北偏东30° A
30°30°
西
东
W
O
E
45°25°
D 南偏西45°
C S南 南偏东25°
D
C 当以点O为顶点的角有多个，那么
O
B A
其中任何一个角都不能记作∠O，
而必须用三个大写英文字母表示。
角的表示方法：
（3）在角的内部标上一个数字， 如：1、2、3……。记作∠1、∠2、∠3。
（4）或者在角的内部标上一个小写的希腊字母， 如α、β 、γ 。 则记作∠α ，∠β β2
北 N
B
60°
西W
O
解：在∠NOW 的内部，以O为
顶点，ON为始边，画∠NOB=60°，
终边OB就是表示从人民广场到 真如镇方向的射线
E 东 （即北偏西方向60°的射线).
S 南
课堂小结
1、角的概念：
（1）角是具有公共端点的两条射线组成的图形;
（2）角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个
位置所成的图形.
用射线表示方位角的基本形式是：南（北）偏东（西）x°
练习 方向角
北（N）
A 30°
西（W） B
O
15° 东（E）
60°
C 射线OA方向为北偏东30°
南（S）
射线OB方向为南偏西60°
射线OC方向 不能说成“东偏南15°”， 而应该说成“南偏东75°”
例题 方向角
例1 已知上海市真如镇在人民广场的北偏西 60°的方向.如图，用点O表示人民广场，请 画出表示真如镇方向的射线OB.
∠POQ
∠XYZ
顶
点
点B
点O
点Y
边 射线BA、BC 射线OP、OQ 射线YX、YZ
角的表示方法：
1、角一般用三个大写英文字母表示。如∠AOB
A
表示顶点的字母“O”写在三个 字母的中间。
O
B 顶点：点O. 边：射线OA、OB.
2、当以O为顶点的角只有一个，那么这个角
可用表示顶点的大写字母表示。如∠O。
角的基本概念和分类
角的基本概念和分类角是几何学中最基本的概念之一，它是由两条射线共同起源于一个点所围成的图形。
在学习角的过程中，我们需要了解角的一些基本概念和分类，以便更好地理解和应用角的相关知识。
一、角的基本概念角是由两条射线共同起源于一个点的图形，这个起源点被称为角的顶点，两条射线分别被称为角的边。
角的顶点通常用大写字母表示，比如A、B等；角的边通常用小写字母加上一个小角符号表示，比如a∠、b∠等。
角根据两条边的位置关系可以分为三种情况：1. 对顶角：两个角共享一条边，并且位于这条边的两侧，对顶角之间没有交叉或重叠。
对顶角的两个角度是相等的，因此它们具有相同的度数表示。
2. 共边角：两个角共享一条边，并且其中一条边是另一条边的延长线。
共边角的两个角度之和是180度，因此它们是互补角。
3. 内角：两个角共享一个顶点，并且一个角的边位于另一个角的内部。
内角的两个角度之和是180度，因此它们是补角。
二、角的分类根据角的大小，角可分为以下几种类型：1. 锐角：角的度数小于90度，尖锐的形状使其看起来相当锋利。
2. 直角：角的度数等于90度，两条边呈垂直交叉的形态。
3. 钝角：角的度数大于90度，比锐角要“钝”一些。
4. 平角：角的度数等于180度，两条边处于同一直线上，形成一条直线角。
此外，角还可以根据其度数的范围进行细分：1. 锐钝角：角的度数在0度到180度之间，既包括锐角又包括钝角。
2. 周角：角的度数等于360度，即角所夹的弧度是一个完整的圆。
周角中的每一个角度是相等的。
综上所述，角是由两条射线共同起源于一个点所围成的图形。
根据两条边的位置关系，角又可分为对顶角、共边角和内角。
根据角的大小，我们可以将其分类为锐角、直角、钝角和平角。
另外，角还可以根据其度数的范围进行细分，包括锐钝角和周角。
通过了解角的基本概念和分类，我们可以更好地理解和运用角的相关知识。
在几何学和其他学科中，角是一个重要而常见的概念，对于解决问题和推导定理都起着关键的作用。
小学数学知识归纳角的概念
小学数学知识归纳角的概念角是数学中的一个重要概念，它经常在几何学和代数学中出现。
在小学数学课程中，角的概念也是一个非常基础但关键的部分。
本文将对小学阶段的数学知识进行归纳，详细介绍角的概念及其相关内容。
1. 角的定义：在数学中，角是由两条射线共同确定的一个平面图形，其中射线的交点成为角的顶点，而两条射线则被称为角的边。
角可以用字母来表示，通常用大写字母表示角的顶点，同时用小写字母或者标记称为角的边，比如∠ABC。
2. 角的种类：根据角的大小，角可以分为三种不同的类别：- 锐角：角的角度小于90°，即刚好为锐角。
- 直角：角的角度为90°，即为直角。
- 钝角：角的角度大于90°但小于180°，即为钝角。
3. 角的测量：在数学中，角的大小是以角度来衡量的，角度用度（°）作单位。
一周的360°被定义为一个完整角，而直角则是一个四分之一的完整角，即90°。
4. 角的分类：根据角的顶点与边的位置关系，角可以进一步进行分类：- 内角：内角是由角的两条边在角的内部延长而成的角，只存在于多边形内部。
- 外角：外角是由角的一条边在角的外部延长而成的角，只存在于多边形外部。
5. 角的特性：- 邻角：指两个共同边的角，它们共享一条边且位于该边的两侧。
- 对角：在平行四边形和任意四边形中，对角是相对的角，即位于对角线的相对位置的两个角。
- 互补角：两个角的度数之和为90°时，称它们为互补角。
- 补角：两个角的度数之和为180°时，称它们为补角。
6. 角的相关定理：在数学中，还有一些与角相关的重要定理和性质：- 外角定理：在三角形中，三个外角的度数之和始终为360°。
- 内角和定理：在凸多边形中，n个内角的度数之和为(n-2) × 180°。
- 同位角定理：当两条直线被一条截线切割时，同位角是位于两条直线同侧的内角或同侧的外角，它们的度数相等。
角的概念和表示方法
角的概念和表示方法一、角的概念和表示方法1、角的有关概念（1）角的概念①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
②角也可以看做由一条射线绕着它的端点转动而构成的图形，把初始边线的射线叫做始边，中止边线的射线叫做终边。
（2）平角、周角平角和周角射线$oa$绕点$o$旋转，当终止位置$ob$和起始位置$oa$成一条直线时，所成的角叫做平角。
当起始射线$oa$又回到起始位置时，所成的角叫做周角。
其中，1平角=180°，1周角=360°，所以1周角=2平角=4直角。
2、角的表示方法射线$oa$绕点$o$转动，中止边线为$ob$。
（1）用三个大写字母表示：$∠aob$或$∠boa$。
适用范围：任何情况都适用于，则表示顶点的字母必须写下在中间。
（2）用一个大写字母表示：$∠o$。
适用范围：以这一点为顶点的角只有一个。
（3）用数字或希腊字母表示：$∠1$或$∠α$。
适用范围：任何情况都适用于，在紧邻顶点处加之弧线，则表示出角的范围，并附以数字或小写希腊字母。
识别角的个数，可以先以某一射线为始边，按一定顺序（顺时针方向或逆时针方向）数出角的个数，然后依次以后面的射线为始边数出角的个数。
从某点出发引出$n$条射线能组成$(n-1)+$$(n-2)+$$(n-3)+$$\cdots+$$3+2$$+1=$$\frac{n(n-1)}{2}$个角。
3、角的分类锐角：$0°<α<90°$。
直角：$α=90°$。
钝角：$90°<α<180°$。
平角：$α=180°$。
周角：$α=360°$。
锐角<直角<钝角<平角<周角。
4、角的单位及角度制（1）度量仪器：量角器。
（2）度量单位：度、分、秒。
把一个周角360等分后，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分后，每一份叫作1分的角，记作$1'$；把1分的角60等分后，每一份叫作1秒的角，记作$1″$。
七年级数学 第12讲 角的认识(解析版)
第12讲角的认识1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2.认识钟面角、方位角，并掌握其运算；3.掌握运用尺规作已知角，相等角等。
知识点1：角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1图2注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．知识点2：角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．知识点3：钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．知识点4：方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．考点1：度分秒的换算例1.（2022秋•榆阳区校级期末）若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（）A．5°15'B．5°1′5″C．5°9′D．5°30′【答案】C【解答】解：∠α＝5.15°＝5°+0.15×60′＝5°+9′＝5°9′．故选：C．【变式1-1】（2022秋•绥德县期末）20°13'12″化为用度表示是（）A．20.12°B．20.2°C．20.20°D．20.22°【答案】D【解答】解：20°13'12″＝20.22°．故选：D．【变式1-2】（2022秋•汉寿县期末）将30.24°用度、分、秒表示为（）A．30°12′24″B．30°14′24″C．30°14′25″D．30°15′28″【答案】B【解答】解：30.24°＝30°+（0.24×60）'＝30°14'+（0.4×60）''＝30°14'24''，故选：B．【变式1-3】（2022秋•高碑店市期末）已知∠1＝38°36'，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°，则下列说法正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠2＝∠3D．∠1，∠2，∠3互不相等【答案】B【解答】解：∵1°＝60′，∴36′＝0.6°，∴∠1＝38°36'＝38.6°，∵∠3＝38.6°，∴∠1＝∠3，故选：B．考点2：角的概念和表示例2.（2022秋•河东区期末）下列图形中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、能用∠1，∠ACB表示，不能用∠C表示，故选项不符合题意；B、能用∠1，∠ACB表示，不能用∠C表示同一个角，故选项不符合题意；C、能用∠1，∠ACB，∠C表示同一个角，故选项符合题意；D、∠1和∠ACB表示不同的角，故选项不符合题意；故选：C．【变式2-1】（2022秋•河池期末）如图，下列说法正确的是（）A．∠1与∠BOC表示同一个角B．∠1＝∠2C．∠2与∠AOB表示同一个角D．图中只有两个角，即∠1和∠2【答案】A【解答】解：A．∠1与∠BOC表示同一个角，该选项正确，故符合题意；B．∠1＝∠2不一定成立，该选项错误，故不符合题意；C．∠2与∠AOC表示同一个角，该选项错误，故不符合题意；D．图中有三个角，分别为∠1、∠2和∠AOB，该选项错误，故不符合题意．故选：A．【变式2-2】（2022秋•曲靖期末）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据角的概念，选项A可以用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角，故选：A．【变式2-3】（2022秋•吉安期末）拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（）A．100°B．10°C．1°D．不能确定，视放大镜的距离而定【答案】C【解答】解：放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的，所以，拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角仍为1°．故选：C．考点3：作图-基本作图例3.（2023春•和平区月考）已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠DCB，使得∠DCB＝∠AOB．要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法（说明：作出一个即可）．【答案】见解答．【解答】解：如图：∠DCB即为所求．【变式3-1】（2023春•云岩区校级期中）尺规作图：如图，已知∠α，请你利用尺规作图作∠AOB，使∠AOB＝∠α．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【解答】解：如图所示：【变式3-2】（2023春•连平县期中）如图（1）利用尺规作∠CED，使得∠CED＝∠A．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线DE与AB的位置关系：平行或相交．【答案】（1）见解答；（2）平行或相交．【解答】解：（1）如图1，如图2；（2）如图1，∵∠CED＝∠A，∴DE∥AB，；如图2，DE与AB相交．故答案为平行或相交．【变式3-3】（2023春•惠来县期中）如图，已知∠AOB，点P是OB边上的一点．在∠AOB的内部，求作∠BPC使∠BPC＝∠AOB．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解答．【解答】解：如图，∠BPC为所作．考点4：钟面角例4.（2022秋•叙州区期末）如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为（）A．50°B．45°C．42.5°D．40°【答案】B【解答】解：由题意得：1.5×30°＝45°，故选：B．【变式4-1】（2022秋•通道县期末）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的角度是135°．【答案】135°．【解答】解：∵钟表圆盘为360°，一共有12个间隔，∴每个间隔为360°÷12＝30°，∵1时30分之间有4.5个间隔，∴钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的角度是4.5×30°＝135°．故答案为：135°．【变式4-2】（2022秋•绥宁县期末）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．【答案】60°．【解答】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针之间是2个大格，所成的角是2×30°＝60°．故答案为：60°考点5：方位角例5.（2022秋•澄迈县期末）如图，以点O为观测点，点A在点O北偏东20°30′的方向上，点B 在点O南偏西50°的方向上，则∠AOB的度数是（）A．70°30′B．150°C．150°30′D．160°30′【答案】C【解答】解：如图：由题意得：∠AOC＝20°30′，∠BOD＝40°，∠COD＝90°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD＝20°30′+90°+40°＝150°30′，故选：C．【变式5-1】（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东30°30'方向，轮船B在灯塔P的南偏东70°20'方向，则∠APB的度数是（）A．60°30'B．18°40'C．79°10'D．80°10'【答案】C【解答】解：如图：由题意得：∠APC＝30°30′，∠DPB＝70°20'，∴∠APB＝180°﹣∠APC﹣∠DPB＝179°60′﹣（30°30′+70°20′）＝179°60′﹣100°50′＝79°10′，故选：C．【变式5-2】（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向B．南偏东20°方向C．北偏西20°方向D．北偏东70°方向【答案】D【解答】解：如图：由题意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB＝70°，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向，故选：D．【变式5-3】（2022秋•高碑店市期末）如图，点A在点O的北偏东28°方向，点B在点O的东偏南45°方向，∠AOB＝107°．【答案】北偏东28°；107．【解答】解：如图：点A在点O的北偏东28°方向，点B在点O的东偏南45°方向，∠AOB＝90°﹣28°+45°＝107°，故答案为：北偏东28°；107．1．（2022•聊城）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A．∠BAQ＝40°B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°【答案】见试题解答内容【解答】解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝40°，故选项A正确，不符合题意；B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴DE＝BD，故选项B正确，不符合题意；C．∵∠B＝30°，∠BAP＝40°，∴∠AFC＝70°，∵∠C＝70°，∴AF＝AC，故选项C正确，不符合题意；D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，∴∠EQF＝20°；故选项D错误，符合题意．故选：D．2．（2022•百色）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B＝45°B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD 【答案】A【解答】解：由作图痕迹得CD垂直平分AB，AE＝BE，AC＝BC，AB⊥CD．所以A选项不一定成立，B、C、D选项成立．故选：A．3．（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，故选：D．4．（2022秋•定州市期末）如图，下列说法中不正确的是（）A．∠1与∠AOB是同一个角B．∠α与∠COB是同一个角C．∠AOC可以用∠O来表示D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC【答案】C【解答】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，正确，故A不符合题意；B、∠α与∠COB是同一个角，正确，故B不符合题意；C、在角的顶点处只有一个角时，才能用一个大写字母表示角，∠AOC不可以用∠O表示，故C符合题意；D、图中共有三个角，∠AOB，∠BOC，∠AOC，正确，故D不符合题意．故选：C．5．（2023•岳阳）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC ＝30°．【答案】30．【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠AOB＝＝30°．故答案为：30．6．（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB 的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝90°．【答案】90．【解答】解：如图：由题意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案为：90．7.（2022•陕西）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解答过程．【解答】解：如图，射线CP即为所求．1．（2023•临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（）A．50°B．80°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选：C．2．（2023春•莱西市期中）如图，B，D，C三点在直线l上，点A在直线l外，下列说法正确的是（）A．直线BD和直线CD表示的是同一条直线B．射线BD和射线CD表示的是同一条射线C．∠A和∠BAD表示的是同一个角D．∠1和∠B表示的是同一个角【答案】A【解答】解：A、直线BD和直线CD表示的是同一条直线正确，故A正确；B、射线BD和射线CD的端点不同，表示的是不同射线，故B不正确；C、点A处共三个角，不能将某个角表示成∠A，故C不正确；D、点B处有两个小于180°的角，不能将某个角表示成∠B，故D不正确；故选：A．3．（2023春•潍坊期中）图中能用一个大写字母表示的角有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：可以只用一个大写字母表示的角有∠A，∠B．故选：B．4．（2023•西和县一模）8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A．55°B．60°C．75°D．80°【答案】C【解答】解：由题意知，2.5×30°＝75°，∴8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为75°，故选：C．5．（2022秋•焦作期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、可以一个字母表示，故此选项正确B、必须三个字母表示，故此选项错误；C、必须三个字母表示，故此选项错误；D、必须三个字母表示，故此选项错误；．故选：A．6．（2022秋•嵩县期末）如图，下列说法中正确的是（）A．OA的方向是北偏东30°B．OB的方向是北偏西60°C．OC的方向是南偏西15°D．OC的方向是南偏西75°【答案】D【解答】解：由方向角的定义可知，OA的方向是北偏东90°﹣30°＝60°，因此选项A不符合题意；OB的方向是北偏西90°﹣60°＝30°，因此选项B不符合题意；OC的方向是南偏西90°﹣15°＝75°，因此选项C不符合题意；选项D符合题意；故选：D．7．（2022秋•迁安市期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是（）A．27°40′B．62°20′C．57°40′D．58°20【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，∴∠EAC＝32°20′，∵∠EAD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；故选：C．8．（2022秋•金台区校级期末）下列说法中正确的是（）A．射线AB与射线BA是同一条射线B．两条射线组成的图形叫做角C．各边都相等的多边形是正多边形D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离【答案】D【解答】解：A、射线AB与射线BA不是同一条射线，故此选项错误；B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；C、各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，故此选项错误；D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故此选项正确．故选：D．9．（2022秋•六盘水期末）12点15分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A．90°B．67.5°C．82.5°D．60°【答案】C【解答】解：12点15分，时针与分针相距2+＝份，12点15分，时针与分针夹角是30°×＝82.5°，故选：C．10．（2022秋•达川区校级期末）如图，AB是直线，O是直线上一点，OC、OD是两条射线，则图中小于平角的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解答】解：图中小于平角的角有：∠AOC，∠COD，∠BOD，∠AOD，∠COB，共5个．故选：C．11．（2022秋•娄星区期末）把8.32°用度、分、秒表示正确的是（）A．8°3′2″B．8°30′20″C．8°18′12″D．8°19′12″【答案】D【解答】解：0.32°＝（0.32×60）′＝19.2′，0.2′＝（0.2×60）″＝12″，∴8.32°＝8°19′12″，故选：D．12．（2023春•东平县期中）请计算13.17°＝13°10′12″．【答案】13；10；12．【解答】解：∵1°＝60′，∴0.17°＝10.2′，∵1′＝60″，∴0.2′＝12″∴13.17°＝13°10′12″故答案为：13；10；12．13．（2022秋•汉川市期末）如图，钟表的时针与分针所成角的度数为135°．【答案】135°．【解答】解：，即图中钟表的时针与分针所成角的度数为135°．故答案为：135°．14．（2023春•光明区校级期中）如图，一航班沿北偏东60°方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西45°方向，则其改变航向时∠α的度数为75°．【答案】75°．【解答】解：如图，由题意得∠EAC＝60°，∠CBF＝45°，AE∥BF，∴∠AFB＝∠EAC＝60°，∵∠α+∠CBF+∠CFB＝180°，∴∠α＝180°﹣（∠CBF+∠CFB）＝180°﹣（60°+45°）＝180°﹣105°＝75°，故答案为：75°．15．（2023春•禅城区校级月考）如图，已知∠DCE，∠AOB，利用尺规作图比较它们的大小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析．【解答】解：如图，由图知，点A′在∠AOB的内部，所以∠AOB＞∠DCE．16．（2023•未央区校级一模）如图，△ABC中，用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）【答案】作图见解析部分．【解答】解：如图，射线BD即为所求．17．（2023春•寿阳县期中）已知∠α、∠β，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α+∠β（保留作图痕迹）．【答案】见试题解答内容【解答】解：。
角的概念与分类
角的概念与分类角是空间中两条射线（也称为边）共同起始于同一个点的几何形状。
角的概念在几何学中占据着重要的地位，同时也是解决各种问题的基础。
本文将介绍角的概念与分类，并通过实例说明其应用。
一、角的概念角是由两条射线从一个共同起点（称为顶点）出发所形成的形状。
通常用大写字母表示角，例如∠ABC，顶点为B，射线BA和射线BC是角的两条边。
二、角的分类1. 钝角：角的度数大于90度但小于180度，如∠PQR为钝角。
2. 直角：角的度数为90度，如∠XOY为直角。
3. 锐角：角的度数小于90度，如∠ABC为锐角。
4. 零角：角的度数为0度，即两条射线重合，如∠NLM为零角。
5. 平角：角的度数为180度，如∠DEF为平角。
三、角的应用举例1. 利用角的分类可以在建筑、交通等领域进行测量和设计。
例如，在建筑设计中，可以利用角的大小和分类来确定楼房的结构和外观。
2. 角的概念可以用于解决几何问题。
例如，已知一条边和两个角的度数，可以利用角的分类来确定未知边和角的度数。
3. 角的分类也可以应用于三角函数的研究中。
三角函数是数学中的重要概念，与角的大小和分类密切相关。
总结：角的概念与分类在几何学和数学中起着重要的作用。
通过角的分类可以准确描述和测量空间中的形状，解决各种几何问题，并应用于其他学科领域中。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求选择合适的角度分类来解决问题，进一步推动学科的发展和应用。
注意: 上述内容仅为参考，可以根据角的概念和分类进行合适的拓展和例证，以满足字数要求。
角的概念与分类
角的概念与分类角是我们在几何学中经常会遇到的一个重要概念。
它由两条射线共享一个公共端点而形成，常常用来描述物体之间的相对位置关系。
在本文中，我们将深入探讨角的概念、角的分类以及角的应用。
一、角的概念角是由两条并排的射线所围成的图形。
其中，两条射线的初始点称为角的顶点，两条射线所在的直线称为角的边。
角可以用字母来表示，如∠ABC或∠B。
在角的表示中，大写字母通常表示顶点，而小写字母则表示边。
根据角的大小，可以将角分为以下几种不同的分类。
二、按角的大小分类1. 零角：零角是指两条射线完全重合，没有夹角的情况。
零角的度数为0°。
2. 钝角：钝角是指两条射线之间的夹角大于90°且小于180°。
3. 直角：直角是指两条射线之间的夹角等于90°。
直角可以用垂直的符号“⊥”来表示。
4. 锐角：锐角是指两条射线之间的夹角小于90°。
锐角是较小的角度，常常用“<90°”的形式表示。
三、按角的方向分类除了按角的大小进行分类外，我们还可以根据角的方向进行分类。
根据角的方向不同，角可以分为以下几种类型。
1. 内角：内角是指两条射线分别在同一直线的同侧，通过另一条射线所形成的角。
也可以说，内角的两条射线在同一直线两侧，呈现出内向的形式。
2. 外角：外角是指两条射线分别在同一直线的不同侧，通过另一条射线所形成的角。
也可以说，外角的两条射线在同一直线两侧，呈现出外向的形式。
四、角的应用角的概念在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的角的应用场景。
1. 三角形：角是构成三角形的基本要素之一。
根据三个内角的度数，可以判断三角形的形状，如锐角三角形、直角三角形和钝角三角形等。
2. 平行线与转角：角的概念也可以应用在平行线与转角的研究中。
当两条平行线被一条横截线切割时，内外角关系和对应角关系可以用来求解其中未知角度。
3. 几何证明：在几何证明中，角的概念经常被用来证明图形之间的等角关系、相似关系以及垂直关系等。
沪教版六年级数学下册角的概念与表示优课件
以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起 始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般为锐 角）。
如图：
62°
射线OA表示北偏东方向62°。
O
如图，你能说说图中射线ＯＡ、ＯＢ、OC、 OD分别表示什么方向吗？
北
A
B
30°
45°
西 O
东
20° D
C 25°
射线OA表示北偏东30°方向
射线OB表示西偏北45°方向或西北方向。 射线OC表示南偏西25°方向 射线OD表示东偏南20°方向
终边
始边
在下图中用阴影表示∠α的外部。
α β
α
角的表示方法：用角的符号“∠”表示，读作
“角”。
（1）．用三个大写英文字母表示. 如：∠ABC C
注：顶点的字母必须放在
A
三个字母的中间。
B
∠AOB
Байду номын сангаас
B C
O
∠AOC
A
∠COB
（2）用一个大写英文字母表示。
如图：∠B。
注:此顶点处只有一个角
（3）在角的内部标上一个小写的希腊字母， 即用一个希腊字母表示. 例如，∠α、∠β、 ∠r
北
B
60°
西
东
O
C
南
回顾：本节课你的收获？
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月13日星期日2022/2/132022/2/132022/2/13 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/132022/2/132022/2/132/13/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/132022/2/13February 13, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/132022/2/132022/2/132022/2/13
角的概念与性质
角的概念与性质角是几何学中的重要概念，它是由两条射线共同起始于一个点所构成的图形。
角的性质与特点在数学和物理中有着广泛的应用，对于深入理解空间关系、计算量和角度度量等问题具有重要意义。
本文将介绍角的定义、性质以及与之相关的应用。
一、角的定义角的定义是指由两条射线同时起始于一个点构成的图形。
该点被称为角的顶点，两条射线称为角的腿。
角的表示通常用大写字母表示顶点，两条射线分别用小写字母表示。
二、角的性质1. 角的度量：角的度量通常用角度来表示，单位为度（°）。
一个完整的角度为360°，一个直角角度为90°。
角的度量范围从0°到360°，超过360°的角度可以用圆的一周来度量，即一周为360°。
2. 角的分类：根据角的度量大小，角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
锐角的度量小于90°，直角的度量为90°，钝角的度量大于90°，平角的度量为180°。
3. 角的和与差：两个角的和可以通过将两个角的度量相加得到，而两个角的差可以通过将两个角的度量相减得到。
例如，如果角A的度量为60°，角B的度量为30°，则角A与角B的和为90°，差为30°。
4. 角的补角和余角：两个角的补角是指它们的度量之和等于90°的两个角。
余角是指两个角的度量之和等于180°的两个角。
例如，如果角C的度量为40°，则与角C的补角的度量为50°，与角C的余角的度量为140°。
5. 角的相等与相似：当两个角的度量相等时，它们被称为相等角。
相等角具有相同的度量大小和形状。
当两个角的度量成比例时，它们被称为相似角。
相似角具有相似的形状但不必具有相同的度量大小。
三、角的应用角的概念和性质在日常生活和实际问题中具有广泛的应用。
以下为角的一些应用场景：1. 几何学：角的概念是几何学的基础，它用于描述、计算和解决与形状、方向、位置和大小有关的问题。
角的概念与表示(教案)
角的概念与表示川沙中学南校徐莲教学目标1. 理解角的概念，掌握角的有关名称，并能用字母正确表示角.2. 能识读并画出方向角.3. 经历角的概念的形成与角的表示过程，体会数学的严谨性、规范性、简洁性.4. 经历方向角的表示过程来体会数学与生活的密切关系.教学重点1.角的概念及表示法.2.方向角的表示.教学难点1.角的概念及内部和外部的认识.2.方向角的识别与表示.一.引入课题：角背景图：时钟、剪刀、五角星、墙面.二. 新课1. 角的两种定义角是具有公共端点的两条射线组成的图形.这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.2. 角的内部和外部角的始边转到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内.本书中所说的角，除了周角外，未加说明的角是指小于平角的角3. 角的表示方法（1）用三个大写字母表示，如∠AOB或∠BOA（注意：顶点字母必须写在中间）.顶点：边：（2）用角的顶点字母表示，如：∠O（只有一个角时）.（3）用一个数字表示，如:∠1、∠2.（4）也可用一个希腊字母表示，如：∠α、∠β、∠γ.练一练(1)在下面图中用阴影表示∠1的外部.(2) ①给角标出字母，写出角的记号，并指明角的顶点和边.②D、E分别是CB、CA上的点，∠ACB与∠DCE是同一个角吗？③∠DCE和∠CDE指的是同一个角吗？④∠E这种记法有错误吗？若有，请加以改正.4. 方向角探索：如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示从点O出发北、东、南、西的四个方向.你能说出图中射线OA，OB，OC，OD分别表示什么方向吗？用射线表示方向的一种基本形式：例题：已知迪斯尼乐园在川沙中学南校约南偏西35°的方向，如果用点O表示川沙中学南校，用点A表示迪斯尼乐园，画出从川沙中学南校到迪斯尼乐园方向的射线.练习：已知川沙人民医院在川沙中学南校约北偏东55°的方向，如果用点O表示川沙中学南校，用点B表示川沙人民医院，请画出从川沙中学南校到川沙人民医院方向的射线.三. 课堂小结四. 作业拓展练习如图，点A表示A城，点D表示D城.（1）D在A的什么方向？（2）如果B城在A城的南偏西60°方向，请画出从A城到B城方向的射线.（3）如果C城在A城的东北方向，在D城的正东方向，请确定C城的位置.（用点C表示）。
角的概念和表示
B
2700″等于多少分? 等于多少度? 2700″等于多少分? 等于多少度? 等于多少分 解: ( (
1 60 1 60
) ″×2700=45′ × ) °× 45 =0.75° °
即2700″=45′=0.75°. °
C
( 1 ) °等于多少分? 等于多少秒? 等于多少分? 等于多少秒? 8 1 解: 60′× 8 =7.5′ × 60″×7.5 =450″ × 即( 1 ) °=7.5′=450″. 8
例1
计算: 计算: ⑴1.45°等于多少分? 等于多少秒? 1.45°等于多少分? 等于多少秒? ⑵1800″等于多少分? 等于多少度? 1800″等于多少分? 等于多少度? 等于多少分
练一练
A B
C
D
Next
A
0.25°等于多少分? 等于多少秒? 0.25°等于多少分? 等于多少秒? 解：60′× 0.25 = 15′ × 60″× 15 = 900″ × 即0.25°= 15′= 900″. °
角的概念与表示
你在小学学过“ 你在小学学过“角”吗？
你会画角吗？ 你会画角吗？
是由两条具有公共端点 射线组成的 公共端点的 组成的. 角是由两条具有公共端点的射线组成的.
角的顶点 角的边
边
顶点
·
边
钟表 back
A
.
. B
恐龙
.C
Next
学一学
角的表示方法: 角的表示方法:
A
1.用三个字母及符号“ 1.用三个字母及符号“∠”来表 用三个字母及符号 示. 中间的字母表示顶点, 中间的字母表示顶点,其它两个 字母分别表示角的两边上的点. 字母分别表示角的两边上的点. 2.用一个阿拉伯数字表示一个角. 2.用一个阿拉伯数字表示一个角. 用一个阿拉伯数字表示一个角 2.用一个希腊字母表示一个角. 2.用一个希腊字母表示一个角. 用一个希腊字母表示一个角