2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(十二)
2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(二)
2020届全国高考模拟试卷二（Ⅲ卷）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-->，则C R A =（ ）A ．{|1}{|3}<-⋃>x x x xB ．{|1}{|3}≤-⋃≥x x x xC ．{|13}x x -≤≤D ．{|13}x x -<<2．若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ） A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -3．抛物线24y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为3，则点M 到坐标原点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．23D ．54．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A ．98B ．158C ．198D ．2785．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===-r r r ，若()//a c b -r r r ，则向量a b +r r 与向量c r 的夹角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（ ） A ．-2B ．-4C ．2D ．47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．5454+πB ．1854+πC ．1827+πD ．5427+π8．定义[x ]表示不超过x 的最大整数，()[]=-x x x ，例如：[3.1]3,(3.1)0.1==.执行如图所示的程序框图若输入的 6.8=x ，则输出结果为（ ）A ．-4.6B ．-2.8C ．-1.4D ．-2.69．已知12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 为渐近线上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．2B 3C 5D 1010．为得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将cos y x =图象上所有点（ ） A ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 C ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变11．已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（ ） A ．()y f x =的图像关于直线2x =对称 B ．()y f x =的图像关于点(2,1)对称 C ．()f x 在(0,4)单调递减D ．()f x 在(0,4)上不单调12．数列{}n a 满足111,(1)(1)+==+++n n a na n a n n ，若2cos3=πn n n b a ，且数列{}n b 前n 项和为n S ，则12S =（ ） A ．54 B ．80C ．90D ．174二、填空题13．若x ,y 满足约束条件13020x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =-+的最大值为___________.14．已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，3()ln =- f x x x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))-- f 处的切线方程为________.15．已知sin 4cos +=ααtan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 16．在ABC V 中，D 是BC 边上一点，60︒∠=∠=BAD DAC ，14BC =，且ABD △与ADC V 面积之比为53，则AD =________.三、解答题17．随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西，而且两三天就会送到自己的家门口，某网店统计了2015年至2019年（2015年时t =1）在该网店的购买人数t y （单位：百人）的数据如下表：（1）依据表中给出的数据，求出y 关于t 的回归直线方程；（2）根据（1）中的回归直线方程，预测2020年在该网店购物的人数是否有可能破万？附：参考公式：回归方程ˆˆ=+$y a bt中：()$121,ni ii ni i t y ntyb a y bt t t ==-==--∑∑$$，参考数据：51852i ii t y ==∑. 18．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知1127,1,2,49==>==b a q d b S .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//90∠=︒，AB DC ABC ，12==BC AB CD ，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：PA AC ⊥；（2）若120=∠=︒，AD AP PAD ，且∆=PCD S ，求四棱锥P -ABCD 的体积.20．已知圆22:(16++=M x y ，N 是圆M 内一定点，动点P 为圆M 上任意一点，线段PN 的垂直平分线l 和半径MP 相交于点C . （1）求点C 的轨迹方程；（2）设直线:(0)=+≠l y kx m k 与C 交于不同两点A ，B ，点O 为坐标原点，当AOB V 的面积S 取最大值时，求221-m k 的值.21．已知函数()1x f x e ax =--，且()0f x ≥. （1）求a ；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，在函数()f x 的图像上取定两点(,()),(,())()>A m f m B n f n m n ，记直线AB 的斜率为k ，求证：()()''<<f m k f n . 四、选做题22．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224([0,])43cos =∈-ρθπθ.点P . （1）写出曲线2C 的普通方程和参数方程；（2）曲线1C 交曲线2C 于A ，B 两点，若2||||5⋅=PA PB ，求曲线1C 的普通方程. 23．已知1()=+f x x x. （1）求不等式1()3||+<f x x 的解集； （2）()f x 的最小值为M ，12+=a b M ，(),a b R +∈，求22()()+f a f b 的最小值.。
2020高考数学(文科)全国三卷高考模拟试卷(1)
）
A ．5
B ．10
C．﹣ 5
【解答】 解：根据题意，等差数列 { an} 中，有 a4+a8＝ 2a6，
若 a4+a8＝ 10，
则 a6＝ 5； 故选： A．
D． √10
10．（ 5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成
绩均为整数满分 100 分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于
5
C． 4
16 D．
5
4．（ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表
面积为（
）
A ．23π
23?? B．
4
C． 64π
5．（ 5 分）若 α为第二象限角，下列结论错误的是（
）
A ．sinα＞cosα
B． sinα＞ tanα
C． cosα+tanα＜0
D． sinα+cosα＞ 0
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）△ ABC 中， AC＝ 3，三个内角 A， B，C 成等差数列．
（ 1）若 ?????=??√?6，求 AB； 3
→→
（ 2）求 ???????的? 最大值．
18．（ 12 分）如图： AB⊥面 BCD， BC＝ CD，∠ BCD ＝ 90°．∠ ADB＝ 30°， E， F 分别是 AC， AD 的中点． （ 1）求证：平面 BEF ⊥平面 ABC
D． sinα+cosα＞ 0
所以 sinα＞ 0，cosα＜ 0， tanα＜ 0，A， B，C 都对， D 错误．
故选： D ．
2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(八)解析版
2020届全国高考模拟试卷八（Ⅲ卷）数学（文）试题解析版一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.已知集合{}30A x x =-<<，201x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B ＝（A）()1,0-（B）[)2,0-（C）()3,1--（D）(]3,1--答案：C 【解析】201x x -≥+ 2x ∴≥或1x <-∴A∩B =(-3,-1)故选C2.已知向量(2,3)AB = ,(1,-3)BC t = ,AB ∥AC,则t ＝（A）32（B）92（C）73（D）113答案：B【解析】由AB ∥AC 得，290t -=故92t =故选B3.设a ＝log 36，b ＝log 310，c ＝e -2，则（A）b ＞a ＞c （B）b ＞c ＞a（C）a ＞c ＞b（D）a ＞b ＞c 答案：A【解析】3log y x = 在定义域上单调递增∴1＜a ＜b 又∵c ＜1∴b ＞a ＞c故选A4.函数f (x )=x 3-x 2-4x 的一个零点所在的区间为（A）（1,2）（B）（0,1）（C）（-1,0）（D）（-2,-1）答案：D【解析】2()324f x x x '=--Q ∴f (x )在（-2,-1）上单调递减，在（-1,0）先增再减，在（0,2）单调递减又∵f (-2)=-4<0,f (-1)=2>0,f (0)=0∴f (x )函数在（-2,-1）存在零点，在（-1,0），（0,2）中不存在零点故选D5.2019年11月2日，某市开展了5种不同类型的“垃圾分类，大家给力”社会服务活动，其中有3种活动在上午开展，2种活动在下午开展.若小王参加了两种活动，则分别安排在上、下午的概率为（A）14（B）310（C）12（D）35答案：D【解析】由题意知：小王一共满足的情况为25=10C 种情况，分别在上下午的有6种情况，故概率为35故选D6.已知F 是双曲线C ：22143x y -=的左焦点，则以F 为圆心且与渐近线相切的圆的方程为（A）22(3x y +=（B）22(3x y +=（C）22(1)4x y -+=（D）22(1)4x y ++=答案：B【解析】因为焦点到渐近线的距离为bF为圆心且与渐近线相切的圆的方程为22(3x y +=故选B7.设11()412x f x =-+，x ∈R ,则（A）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减（B）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增（C）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减（D）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增答案：C【解析】∵41()241x x f x -=+（），4114()()241241x xx x f x f x -----===-++（）（），∴f(x )为奇函数又∵y=4x+1单调递增，∴f(x)在（0，+∞）上单调递减故选C8.设椭圆2222:1x y C a b+=，a ＞b ＞0，点A,B 为C 的左，右顶点，点P 为C 上一点，若∠APB ＝120°，则C的离心率的最小值为（C）23（D）12答案：A【解析】设椭圆的上顶点为M ,则∠AMP≥120°，故b a ≤，∴22222222213c a b b e a a a -===-≥，∴e ≥故选A9.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成300的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A）15256（B）45256（C）1564（D）4564答案：C【解析】设球的半径为r ,∵球心到平面的距离为球的半径的14r ，∴截面的半径为4r ，∴截面的面积为215π16r ∵球的表面积为24πr ∴所得截面的面积与球的表面积的比为1564故选C10.若函数f(x)=e x -ax 与x 轴相切，则实数a ＝（A）1-（B）0（C）1（D）e答案：D【解析】设切点为（x 0,0），则00()0()0f x f x '=⎧⎨=⎩，所以00000x x e a e ax ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，故x 0=1,a=e故选D11.设(0,)2απ∈，(0,2βπ∈，且1cos 21cos sin 2sin αβαβ-+=，则（A）2αβ-=π（B）22αβπ-=（C）2αβ+=π（D）22αβπ+=答案：C【解析】21cos22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，22cos 1cos 12=sin 2sin cos tan 222ββββββ+=且(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，∴22βαπ+=故选C12.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将△AMP 的面积表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在(0,)π上的图象大致为答案：A【解析】1sin (1cos )2y x x =-∵当y＝0时，sinx=0或cosx=1∴x=0或π，故不选D又因为221cos cos sin 2y x x x '=-+（），所以当x=2π时10y '=>故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.设i 为虚数单位，则i 6＝答案：-1【解析】i 4=1,i 6=i 2=-114.函数2tan 2tan 3y x x =-+，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为.答案：2【解析】令tan t x =则[3,3]t ∈-，y =t 2-2t +3,t 0=1,故当t =1时y min =215.在四边形ABCD 中,120ABC BCD ∠=∠= ,3333CD AB BC ===，则AD 的长度为.答案：6【解析】在△ABC 中，AB=BC,∠ABC=120°，故AC=3,∠ACB=30°所以∠ACD=90°在△ADC 中，AC=3,33CD =，故AD=616.在四面体ABCD 中，DA ⊥底面ABC ，侧面ABD ⊥侧面BCD ，2BD BC ==，三个侧面DAB 、DBC 、DCA 的面积的平方和为8，则ADB ∠=.A BCD答案：π4【解析】由DA ⊥底面ABC 知侧面DAB ⊥底面ABC ，结合侧面ABD ⊥侧面BCD 有BC ⊥平面DAB .故四面体三个侧面均为直角三角形.设ADB α∠=（02πα<<），则2cos AD α=，2sin AB α=，DC =，AC =.于是三个侧面的面积的平方和是22224cos (1sin )44sin cos 8αααα+++=，解得21cos 2α=，所以π4α=.三、解答题：17．(12分)设数列{}n a 的前n 项和为2n 1()2S n n =+*(N )n ∈．（1）求{}n a 通项公式；（2）设2n a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．答案：（1）a n =n ,(2)T n =(n -1)2n+1+2【解析】（1）∵2n 1()2S n n =+∴当n =1时，a 1=S 1=1··················································································2分当n ≥2时,a n =S n -S n -1＝n ··············································································4分综上a n =n ·································································································5分（2）由（1）知：a n =n ，故n 2n b n =⋅·····························································6分∴12n 12...1222...2nn T b b b n =+++=⋅+⋅++⋅∴23121222...2n n T n +=⋅+⋅++⋅····································································8分∴231111-212+22...2-2=2-2-2n n n n n T n n +++=⋅+++⋅⋅（）······································10分∴T n =(n -1)2n+1+2·······················································································12分18.第32届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad ）又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个。
2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(十一)
2020届全国高考模拟试卷十一（Ⅲ卷）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,1A =，{}0,1,2B =，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数7iz 1i-=+，则|z|＝（）A ．72B ．4C ．5D ．253．已知平面向量a b ，的夹角为π3，且a 1b 2== ，，则()2a b b +⋅= （）A ．64B ．36C ．8D ．64．△ABC 中，（a ﹣b ）（sinA+sinB ）＝（c ﹣b ）sinC ．其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则A ＝（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～5051～100101～150151～200201～300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（）A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值6．设函数()()22x 1g 1020lo x x f x x -⎧-=⎨≥⎩，＜，，则()()233f f log -+＝（）A ．112B ．132C ．152D ．107．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R ，则“x 1+x 2＝0”是“f （x 1）+f （x 2）＝0”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数的部分图象如图所示，点在图象上，若，，且，则()A ．3B ．C ．0D．9．若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）10．在四面体ABCD 中，已知2AB AC CD ===，BC =CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的表面积是（）A ．16πB ．12πC．D ．6π11．设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与OQ （O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是（）A ．01（，）B ．01]（，C ．[]01，D ．02]（，12．若函数y ＝e x ﹣e ﹣x （x ＞0）的图象始终在射线y ＝ax （x ＞0）的上方，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，e]B ．（﹣∞，2]C ．（0，2]D ．（0，e]二、填空题13．若3tanα4=，则cos2α＝_____．14．根据下列算法语句，当输入,x y ∈R 时，输出s 的最大值为____________.输入x ，yIF 0AND 23AND 0y x y x y >=->=+<=THEN s x y =+ELSE 0s =END IF输出s15．()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，3()2f x x x =+，则不等式(2)3f x -<的解集为___．16．设m ，n 为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线1m 和1n .给出下列3个命题：①1//m n m ⇒与1n 平行或重合，②11m n m n ⊥⇒⊥，③11m n m n ⊥⇒⊥.其中所有假命题的序号__.三、解答题17．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且()()()212n n 2n 1a 1a 2S 1S 1S 1++==++=+，，．（1）求S n ；（2）记数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：1≤T n ＜2．18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分（评分的高低反映花苗品质的高低），将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.优质花苗非优质花苗合计甲培育法20乙培育法10合计附：下面的临界值表仅供参考.()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）19．如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =.将AED ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折叠，使A ，C 点重合于点P ，如图2所示.图1图2（1）求证：//PB 平面MEF ；（2）求三棱锥P EFM -的体积.20．已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F0，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．已知函数21()e ()42xf x x a =--+.（1）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若0x ≥，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求M 的普通方程；（2）将圆M 平移，使其圆心为1,02N ⎛⎫-⎪⎝⎭，设P 是圆N 上的动点，点A 与N 关于原点O 对称，线段PA 的垂直平分线与PN 相交于点Q ，求Q 的轨迹的参数方程.23．设a ＞0，b ＞0，且a+b ＝ab ．（1）若不等式|x|+|x ﹣2|≤a+b 恒成立，求实数x 的取值范围．（2）是否存在实数a ，b ，使得4a+b ＝8？并说明理由．。
2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(十一)(解析版)
如图是某城市 2018 年 12 月全月的指 AQI 数变化统计图．
严重污染
根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A．整体上看，这个月的空气质量越来越差 B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量
C．从 AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D．从 AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值
.所以选
B.
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值.
5．空气质量指数 AQI 是一种反映和评价空气质量的方法， AQI 指数与空气质量对应如下表所示：
AQI
0～50
51～100 101～150 151～200 201～300 300 以上
空气质量 优
良
轻度污染 中度污染 重度污染
9 2
，则
f
3
f
log2 3
2
9 2
13 2
；故选：B．
【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分别代入求值即可，属于基础题型.
7．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若 x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
8 6i 2
4 3i ，故
z
32 42 5 .故选 C.
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题
的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与
复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a bi 的形式，再根据题意求解.
2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(八)
2020届全国高考模拟试卷八（Ⅲ卷）数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.已知集合{}30A x x =-<<，201x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B I ＝ （A ）()1,0- （B ）[)2,0- （C ）()3,1-- （D ）(]3,1--2. 已知向量(2,3)AB =u u u r ,(1,-3)BC t =u u u r ,AB u u u r ∥AC u u u r,则t ＝（A ）32 （B ）92 （C ）73 （D ）1133.设a ＝log 36，b ＝log 310，c ＝e -2，则（A ）b ＞a ＞c （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b （D ）a ＞b ＞c4.函数f (x )=x 3-x 2-4x 的一个零点所在的区间为（A ）（1,2） （B ）（0,1） （C ）（-1,0） （D ）（-2,-1）5.2019年11月2日，某市开展了5种不同类型的 “垃圾分类，大家给力”社会服务活动，其中有3种活动在上午开展，2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动，则分别安排在上、下午的概率为 （A ）14 （B ）310 （C ）12 （D ）356.已知F 是双曲线C ：22143x y -=的左焦点，则以F 为圆心且与渐近线相切的圆的方程为（A ）22(3x y += （B ）22(3x y +=（C ）22(1)4x y -+= （D ）22(1)4x y ++=7.设11()412x f x =-+，x ∈R ,则（A ）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减 （B ）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增 （C ）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减 （D ）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增答案：C8.设椭圆2222:1x y C a b+=，a ＞b ＞0，点A,B 为C 的左，右顶点，点P 为C 上一点，若∠APB ＝120°，则C的离心率的最小值为（A （B （C ）23 （D ）129.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成300的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 （A ）15256 （B ）45256 （C ）1564 （D ）456410.若函数f(x)=e x -ax 与x 轴相切，则实数a ＝（A ）1- （B ） 0 （C ） 1 （D ） e11.设(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，且1cos21cos sin 2sin αβαβ-+=，则 （A ）2αβ-=π （B ）22αβπ-= （C ）2αβ+=π （D ）22αβπ+=12. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将△AMP 的面积表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在(0,)π上的图象大致为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13. 设i 为虚数单位，则i 6＝14.函数2tan 2tan 3y x x =-+，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为 .15.在四边形ABCD 中,120ABC BCD ∠=∠=o ,3333CD AB BC ===，则AD 的长度为 .16.在四面体ABCD 中，DA ⊥底面ABC ，侧面ABD ⊥侧面BCD ，2BD BC ==，三个侧面DAB 、DBC 、DCA 的面积的平方和为8，则ADB ∠= .三、解答题：17．(12分)设数列{}n a 的前n 项和为2n 1()2S n n =+*(N )n ∈．（1）求{}n a 通项公式；（2）设2n a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 第32届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad ）又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英MAO P πO yxA πO yxB πO y xCπO y xD国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个。
2020高考数学(文科)全国一卷高考模拟试卷(12)
2020高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（12）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |4x 2﹣3x ≤0}，B ＝{x |y =√2x −1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，34]B ．∅C ．[0，12]D ．[12，34]2．（5分）若z =i 2020+3i 1+i ，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．﹣1D ．13．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ） A ．2人B ．4人C ．5人D ．3人4．（5分）已知双曲线C 与双曲线x 22−y 26=1有公共的渐近线，且经过点P(−2，√3)，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√33C ．4D ．25．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[14，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣2，1]C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）6．（5分）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V ＝（ ）A ．1+√26B ．1C ．√26D ．1+√227．（5分）已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝3（a 1+a 2），则公比q 的值为（ ） A ．2B ．√3C ．√5D ．√28．（5分）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．则该几何体的体积为（ ）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π39．（5分）已知定义在R 上的偶函数f （x ）＝e |x |sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，设x 0为f （x ）的极大值点，则cos ωx 0＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．35D ．4510．（5分）若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4B ．14C ．−14D ．±1411．（5分）数列{a n }是公差为2的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1，a 4，a 13成等比数列，则S 4＝（ ） A ．8B ．12C ．16D ．2412．（5分）不等式tanx −√3≥0的解集为（ ）A ．[π3+kπ，π2+kπ)，k ∈Z B ．[π3+2kπ，π2+2kπ)，k ∈ZC ．[π3+kπ，+∞)，k ∈ZD ．[π3+2kπ，+∞)，k ∈Z二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →，b →满足（a →+2b →）•（a →−b →）＝﹣6，且|a →|＝1，|b →|＝2，则cos ＜a →，b →＞= ．14．（5分）在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2n ﹣a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ． 15．（5分）若sin （α﹣β）cos α﹣cos （α﹣β）sin α=45，则cos2β＝ ． 16．（5分）关于函数f(x)=2x+lnx ． （1）x ＝2是f （x ）的极小值点；（2）函数y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点； （3）f(x)＞12x 恒成立；（4）设函数g （x ）＝﹣xf （x ）+x 2+4，若存在区间[a ，b]⊂[12，+∞)，使g （x ）在[a ，b ]上的值域是[k （a +2），k （b +2）]，则k ∈(1，9+2ln210]． 上述说法正确的序号为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知三角形ABC 的面积为√3，A =5π6，D 在边BC 上，∠CAD =π6，BD ＝2DC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．求a ，b ，c ．18．（12分）如图．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AA 1=√2，底面是边长为1的等边三角形，D 为BB 1的中点，AC 1与CA 1交于点E ． （Ⅰ）证明：DE ∥平面A 1B 1C 1； （Ⅱ）求点B 到平面DCA 1的距离．19．（12分）近年来郑州空气污染教委严重，县随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如表：PM2.5[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染重度污染中重度污染重度污染天数415183071115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x，当x在区间[0，100]内时，对该企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时，对该企业造成的经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时，造成的经济损失为2000元（1）试写出S（x）的表达式（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天的经济损失大于500元且不超过900元的概率（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关附：P（k2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 1.32 2.07 2.70 3.841 5.02 6.637.8710.828k2=n(ac−bd)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10020．（12分）已知动圆过定点F（0，1），且与直线l：y＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C，过F作斜率为k（k≠0）的直线m与C交于两点A，B，过A，B分别作C的切线，两切线的交点为P，直线PF与C交于两点M，N．（1）证明：点P始终在直线l上且PF⊥AB；（2）求四边形AMBN的面积的最小值．21．（12分）设函数f （x ）＝alnx +bx，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣3＝0． （1）求a ，b ；（2）证明：f （x ）＞e ﹣x ．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|+|OQ|的值．五．解答题（共1小题）23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |的最小值为12．（1）求证：a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．2020高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（12）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |4x 2﹣3x ≤0}，B ＝{x |y =√2x −1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，34]B ．∅C ．[0，12]D ．[12，34]【解答】解：依题意，A ={x|4x 2−3x ≤0}={x|0≤x ≤34}，B ={x|y =√2x −1}={x|x ≥12}， 故A ∩B =[12，34]． 故选：D ．2．（5分）若z =i 2020+3i1+i ，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．﹣1D ．1【解答】解：z =i 2020+3i 1+i =1+3i 1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i ，∴z 的虚部是1． 故选：D ．3．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ） A ．2人B ．4人C ．5人D ．3人【解答】解：据题设知，从中年人中应抽取12×5628+56+84=4人． 故选：B ．4．（5分）已知双曲线C 与双曲线x 22−y 26=1有公共的渐近线，且经过点P(−2，√3)，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√33C ．4D ．2【解答】解：根据题意，双曲线C 与双曲线x 22−y 26=1有公共的渐近线，设双曲线C的方程为x 22−y 26=t ，（t ≠0），又由双曲线C 经过点P （﹣2，√3），则有2−12=t ，则t =32，则双曲线的C 的方程为x 22−y 26=32，即：x 23−y 29=1，其焦距c ＝2√3，a =√3，所以双曲线的离心率为：e =ca=2． 故选：D ．5．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[14，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣2，1]C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【解答】解：由题意函数f （x ）可看成是分段函数， f （x ）={2x ，x ∈[−2，2]2，x ∈(−∞，2)∪(2，+∞)，当输出的函数值f(x)∈[14，2]时， ①f （x ）＝2x ∈[14，2]，x ∈[﹣2，2]，即解14≤2x ≤2，解得﹣2≤x ≤1，即x ∈[﹣2，1]，②f （x ）＝2时，x ∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）， 由①②两种情况都有可能，所以想的范围为①②并集， 即x ∈（﹣∞，1]∪（2，+∞）． 故选：D ．6．（5分）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V ＝（ ）A ．1+√26B ．1C ．√26D ．1+√22【解答】解：几何体如图：下部是正方体，棱长为1，上部是正四棱锥，高为：√22， 所以该凸多面体的体积V ＝1×1×1+13×1×1×√22=1+√26．故选：A ．7．（5分）已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝3（a 1+a 2），则公比q 的值为（ ） A ．2B ．√3C ．√5D ．√2【解答】解：∵S 4＝3（a 1+a 2），q ≠1． ∴a 1(q 4−1)q−1=3a 1（1+q ），化为：q 2＝2，解得q =√2． 故选：D ．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．则该几何体的体积为（ ）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【解答】解：由三视图还原原几何体， 可知该几何体为圆柱内部去掉一个圆锥， 圆柱的体积为2π，圆锥的体积为2π3，则该几何体的体积为V ＝2π−2π3=4π3． 故选：D ．9．（5分）已知定义在R 上的偶函数f （x ）＝e |x |sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，设x 0为f （x ）的极大值点，则cos ωx 0＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．35D ．45【解答】解：依题意，函数y ＝sin （ωx +φ）为偶函数，又0＜φ＜π，故φ=π2，由图象可知，f(π4)=f(3π4)=0，可得ω＝2，∴f （x ）＝e |x |cos2x ，由函数f （x ）为偶函数，故只需考虑x ≥0的情况，当x ≥0时，f （x ）＝e x cos2x ，f ′（x ）＝e x （cos2x ﹣2sin2x ）=√5e x cos(2x +β)，sinβ=2√55，cosβ=√55， 当2x +β=π2+2kπ，k ∈Z 时，f （x ）有极大值， 故cos2x 0=cos(π2−β)=sinβ=2√55． 故选：B ．10．（5分）若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4B ．14C ．−14D ．±14【解答】解：抛物线x ＝﹣my 2，y 2=−1m x 的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得|12m|＝2， 解得m ＝±14，故选：D ．11．（5分）数列{a n }是公差为2的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1，a 4，a 13成等比数列，则S 4＝（ ） A ．8B ．12C ．16D ．24【解答】解：数列{a n }是公差d 为2的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1，a 4，a 13成等比数列，可得a 42＝a 1a 13，即（a 1+6）2＝a 1（a 1+24）， 解得a 1＝3，则S 4＝4a 1+6d ＝4×3+6×2＝24． 故选：D ．12．（5分）不等式tanx −√3≥0的解集为（ ） A ．[π3+kπ，π2+kπ)，k ∈Z B ．[π3+2kπ，π2+2kπ)，k ∈ZC ．[π3+kπ，+∞)，k ∈ZD ．[π3+2kπ，+∞)，k ∈Z【解答】解：不等式tanx −√3≥0转换为：tanx ≥√3， 解得：π+kπ≤x ＜π+kπ（k ∈Z ），故：不等式的解集为：x ∈[π3+kπ，π2+kπ)（k ∈Z ）． 故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →，b →满足（a →+2b →）•（a →−b →）＝﹣6，且|a →|＝1，|b →|＝2，则cos ＜a →，b →＞=12．【解答】解：根据题意，向量a →，b →满足（a →+2b →）•（a →−b →）＝﹣6，且|a →|＝1，|b →|＝2， 则有（a →+2b →）•（a →−b →）=a →2+a →•b →−2b →2＝﹣7+2cos ＜a →，b →＞=−6， 解可得：cos ＜a →，b →＞=12； 故答案为：1214．（5分）在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2n ﹣a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝ {n ，n 为奇数n −1，n 为偶数． 【解答】解：∵a n +1＝2n ﹣a n ，∴a n +1+a n ＝2n ①，a n +a n ﹣1＝2（n ﹣1）（n ≥2）②， ①﹣②得：a n +1﹣a n ﹣1＝2 （n ≥2），又∵a 1＝1， ∴数列{a n }的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当n 为奇数时，a n ＝n ，当n 为偶数时，则n ﹣1为奇数，∴a n ＝2（n ﹣1）﹣a n ﹣1＝2（n ﹣1）﹣（n ﹣1）＝n ﹣1， ∴数列{a n }的通项公式a n ={n ，n 为奇数n −1，n 为偶数，故答案为：a n ={n ，n 为奇数n −1，n 为偶数．15．（5分）若sin （α﹣β）cos α﹣cos （α﹣β）sin α=45，则cos2β＝ −725 ． 【解答】解：若sin （α﹣β）cos α﹣cos （α﹣β）sin α=45， 即sin[（α﹣β）﹣α]=45， sin （﹣β）=45，sinβ=−4 5，cos（2β）＝1﹣2sin2β＝1﹣2×（−4 5）2＝1−32 25=−725故答案为：−7 2516．（5分）关于函数f(x)=2x+lnx．（1）x＝2是f（x）的极小值点；（2）函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点；（3）f(x)＞12x恒成立；（4）设函数g（x）＝﹣xf（x）+x2+4，若存在区间[a，b]⊂[12，+∞)，使g（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，则k∈(1，9+2ln2 10]．上述说法正确的序号为（1）（2）（4）．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1x−2x2=x−2x2，令f′（x）＞0，解得x＞2，令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，故函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴x＝2是f（x）的极小值点，故（1）正确；设m(x)=f(x)−x，m′(x)=f′(x)−1=x−2x2−1=−x2+x−2x2=−x2−x+2x2=−(x−12)2+74x2≤0，∴函数m（x）在（0，+∞）上为减函数，又m（1）＝1＞0，m（2）＝1+ln2﹣2＝ln2﹣1＜0，∴由零点存在性定理可知，函数m（x）有且仅有一个零点，故（2）正确；设ℎ(x)=f(x)−12x，则ℎ(4)=12+ln4−2＜0，即存在x∈（0，+∞），使得f(x)＜12x，故（3）错误；函数g（x）＝﹣xf（x）+x2+4＝﹣xlnx+x2+2，则g′（x）＝﹣lnx+2x﹣1，令n(x)=−lnx +2x −1，n ′(x)=−1x +2=2x−1x， 易知函数n （x ）在[12，+∞)上单调递增，∴n(x)≥n(12)=−ln 12+1−1=ln2＞0，即g ′（x ）＞0，∴g （x ）在[12，+∞)上单调递增，故g （x ）在区间[a ，b]⊂[12，+∞)上单调递增， ∴{g(a)=k(a +2)g(b)=k(b +2)(12≤a ＜b)，则g （x ）＝k （x +2）在[12，+∞)上至少有两个不同的正根， 即k =g(x)x+2在[12，+∞)上至少有两个不同的正根， 设G(x)=g(x)x+2=−xlnx+x 2−2x+2(x ≥12)，则G ′(x)=x 2+3x−2lnx−4(x+2)2， 令F(x)=x 2+3x −2lnx −4(x ≥12)，则F ′(x)=2x +3−2x =(2x−1)(x+2)x≥0， 故函数F （x ）在[12，+∞)上单调递增，且F(12)=14+32+2ln2−4＜0，F(1)=0， ∴当x ∈[12，1]时，F （x ）≤0，当x ∈（1，+∞）时，F （x ）＞0， ∴函数G （x ）在[12，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴G(1)＜k ≤G(12)，而G(1)=1，G(12)=−12ln 12+14−212+2=9+2ln210， ∴1＜k ≤9+2ln210，故（4）正确． 故答案为：（1）（2）（4）．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分） 17．（12分）已知三角形ABC 的面积为√3，A =5π6，D 在边BC 上，∠CAD =π6，BD ＝2DC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．求a ，b ，c ． 【解答】解：依题意，∠CAD =π6，∠BAD =2π3， ∵三角形ABC 的面积为√3， ∴12bcsin5π6=√3，即bc =4√3，在△ABD 中，由正弦定理有，BD sin∠BAD =c sin∠ADB，在△ACD 中，由正弦定理有，CD sin∠CAD=b sin∠ADC，又BD=2CD，sin∠BAD=√32，sin∠CAD=12，sin∠ADB=sin∠ADC，∴b=√32c，∴b=√6，c=2√2，∴a2=b2+c2−2bccos 5π6=6+8−2×√6×2√2×(−√32)=26，∴a=√26．18．（12分）如图．直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1=√2，底面是边长为1的等边三角形，D 为BB1的中点，AC1与CA1交于点E．（Ⅰ）证明：DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求点B到平面DCA1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取A1C1的中点F，连接EF，B1F，∵EF∥AA1，BB1∥AA1，∴DB1∥EF，又∵EF=DB1=12AA1，∴四边形DEFB1为平行四边形，则DE∥B1F．又∵B1F⊂平面A1B1C1，DE⊄平面A1B1C1．∴DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）解：取AB的中点H，连接CH，由直三棱柱的性质可得CH⊥平面AA1B1B，CH=√32，S△BDA1=√24．设点B到平面DCA1的距离为h，又S△DCA1=34，由V B−DCA1=V C−BDA1，得13S△DCA1⋅ℎ=13S△BDA1⋅CH，即13×34ℎ=13×√24×√32，解得h =√66．19．（12分）近年来郑州空气污染教委严重，县随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM 2.5指数的监测数据，统计结果如表： PM 2.5 [0，50] （50，100]（100，150]（150，200] （200，250] （250，300] ＞300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 重度污染 中重度污染 重度污染天数415183071115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S （单位：元），PM 2.5指数为x ，当x 在区间[0，100]内时，对该企业没有造成经济损失；当x 在区间（100，300]内时，对该企业造成的经济损失成直线模型（当PM 2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM 2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM 2.5指数大于300时，造成的经济损失为2000元（1）试写出S （x ）的表达式（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天的经济损失大于500元且不超过900元的概率 （3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关 附： P （k 2≥k 0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 01.322.07 2.703.841 5.02 6.63 7.87 10.828k 2=n(ac−bd)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d非重度污染重度污染合计 供暖季 非供暖季合计 100【解答】解：（1）当x ∈[0，100]时，S （x ）＝0； 当x ∈（100，300]时，设S （x ）＝kx +b ， 由{150k +b =500200k +b =700，解得k ＝4，b ＝﹣100， 所以S （x ）＝4x ﹣100； 当x ＞300时，S （x ）＝2000；综上，S （x ）={0，x ∈[0，100]4x −100，x ∈(100，300]2000，x ∈(300，+∞)；（2）根据题意，当x ∈（100，300]时， S （x ）＝4x ﹣100； 令500＜4x ﹣100≤900， 解得150＜x ≤250；在抽取的样本中，PM 2.5的指数x ∈（150，250]时有30+7＝37（天）， 故所求的概率为P =37100=0.37； （3）填写列联表如下：非重度污染重度污染合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63770合计8515 100根据表中数据，计算K 2=100×(22×7−63×8)230×70×85×15≈4.575＞3.481，对照临界值表知，有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关．20．（12分）已知动圆过定点F （0，1），且与直线l ：y ＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为k （k ≠0）的直线m 与C 交于两点A ，B ，过A ，B 分别作C 的切线，两切线的交点为P ，直线PF 与C 交于两点M ，N ． （1）证明：点P 始终在直线l 上且PF ⊥AB ； （2）求四边形AMBN 的面积的最小值．【解答】解：（1）∵动圆过定点F （0，1），且与直线l ：y ＝﹣1相切， ∴动圆圆心到定点F （0，1）和定直线y ＝﹣1的距离相等， ∴动圆圆心的轨迹C 是以F （0，1）为焦点的抛物线， ∴轨迹C 的方程为：x 2＝4y ，设A(x 1，x 124)，B(x 2，x 224)，∵x 2＝4y ，∴y ′=x2，∴直线P A 的方程为：y −x 124=x 12(x −x 1)，即：4y =2x 1x −x 12①，同理，直线PB 的方程为：4y =2x 2x −x 22②，由①②可得：P(x 1+x 22，x 1x 24)， 因为过F 作斜率为k （k ≠0）的直线m ，所以直线m 方程为：y ＝kx +1， 联立{y =kx +1x 2=4y 可得：x 2﹣4kx ﹣4＝0，所以{x 1+x 2=4k x 1x 2=−4，∴P （2k ，﹣1），∴k PF ×k =−1k×k =−1， ∴点P 始终在直线l 上且PF ⊥AB ．（2）设直线AB 的倾斜角为α，由（1）可得： |AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=4(1+k 2)=4(1+tan 2α)=4cos 2α， ∴|MN|=4cos 2(α+90°)=4sin 2α，∴四边形AMBN 的面积为：12|AB|×|MN|=8sin αcos α=32sin 2α≥32，当且仅当α＝45°或135°，即k ＝±1时取等号， ∴四边形AMBN 的面积的最小值为32．21．（12分）设函数f （x ）＝alnx +bx ，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣3＝0． （1）求a ，b ；（2）证明：f （x ）＞e ﹣x ．【解答】解：（1）函数f （x ）＝alnx +b x ，函数的定义域为x ＞0，f ′（x ）=ax −bx 2， 曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣3＝0，可得f （1）＝2，f ′（1）＝﹣1，即a {a −b =−1b =2解得a ＝1，b ＝2．（2）f （x ）＝lnx +2x ，要证f （x ）＞e ﹣x ．即证：e x f （x ）＞1，即e xlnx +2e x x＞1，又f （1）＝eln 1+2e ＝2e ＞1，于是函数f （x ）的图象与直线y ＝1满足：e x f （x ）＞1． 等价于xlnx ＞xe ﹣x ﹣2．设函数h （x ）＝xlnx ，则h '（x ）＝lnx +1．所以当x ∈（0，1e）时，h ′（x ）＜0；当x ∈（1e，+∞）时，h ′（x ）＞0．故h （x ）在（0，1e）单调递减，在（1e，+∞）单调递增，从而h （x ）在（0，+∞）的最小值为h （1e）=−1e．g （x ）＝xe ﹣x ﹣2，则g ′（x ）＝e ﹣x （1﹣x ）．所以当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0；当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＜0．故g （x ）在（0，1）单调递增， 在（1，+∞）单调递减，从而g （x ）在（0，∞）的最大值为g （1）=−1e−2． 综上，当x ＞0时，h （x ）＞g （x ），即e x f （x ）＞1． 可知f （x ）＞e ﹣x ．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 24+y 2=1，转换为极坐标方程为4ρ2sin 2θ+ρ2cos 2θ＝4．即ρ2=43sin 2θ+1． （2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，设P （ρ1，θ），则Q （ρ2，θ±π2）， 所以|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2=11|OP|2+1|OQ|2=11ρ12+1ρ22=134sin 2θ+14+34cos 2θ+14=45．五．解答题（共1小题）23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |的最小值为12．（1）求证：a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．【解答】解：（1）证明：a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |＝|x +a 2|+|x +a 2|+|x ﹣b | ≥|−a2+a2|+|x +a2−x +b |＝0+|b +a2|＝b +a2，当且仅当x ＝b 时，上式取得等号，可得f （x ）的最小值为b +a 2， 则b +a2=12，即a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，由a ，b ＞0，可得t ≤1a +2b 恒成立， 由1a +2b =（a +2b ）（1a +2b）＝5+2ab +2ba ≥5+2√2ab ⋅2ba =9， 当且仅当a ＝b =13，上式取得等号， 则t ≤9，可得t 的最大值为9．。
2020年5月25日湖北省武汉市普通高中2020届高三毕业班高考模拟质量检测数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前湖北省武汉市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟质量检测数学(文)试题(解析版)2020年5月25日本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足，12z i i i +=++，则复数z =（ ）. A. 2i +B. 12i +C. 3i +D. 32i -【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到(1)(2)z i i i =++-，再化简即可得到答案.【详解】2(1)(2)2312z i i i i i i i =++-=++-=+.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属于简单题.2.已知集合103x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =（ ）. A . {}21x x -<< B. {}32x x -<< C. {}21x x -<≤ D. {}21x x -≤≤ 【答案】C【解析】【分析】 首先分别解不等式103x x -≤+和2x <，再求交集即可. 【详解】因为(1)(3)01031303x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩， 所以{}31A x x =-<≤. 因为222x x <⇒-<<，所以{}22B x x =-<<.{}21A B x x ⋂=-<≤. 故选：C【点睛】本题主要考查集合交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题.3.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为（ ）.A. 3B. 5C. 10D. 15【答案】B。
2020届普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷(一)(全国3卷)数学(文)试题(解析版)
2020普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测试卷（一）数学（文科）一、选择题：1.已知集合2{|160}A x Z x =∈-<，2{|430}B x x x -=+>，则A B =IA. {|41x x -<<或34}x <<B.{}4,3,2,1,0,3,4----C. {|1x x <或34}x <<D. {3,2,1,0}---【答案】D{}2{|160}{|44}3,2,1,0,1,2,3A x Z x x Z x =∈-<=∈-<<=---Q{}{}2430|13B x x x x x x =-+=或 {}3,2,1,0A B ∴⋂=--- ，选D2.已知i 是虚数单位，则11z i=-在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【分析】 分子分母同时乘以()1i +，化简整理，得出z ，再判断象限．【详解】11i 12z i +==-，在复平面内对应的点为（1122，），所以位于第一象限．故选A ．【点睛】本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，属于基础题. 3.已知()1f x x =，()2sin f x x =，()3cos f x x =，()41f x x=，从以上四个函数中任意取两个函数相乘得到新函数，那么所得新函数为偶函数的概率为（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】C 【分析】任意两个相乘得到的函数个数有6个，得到偶函数的个数为3个，即可算出答案【详解】()1f x x =，()2sin f x x =，()41f x x=为奇函数，()3cos f x x =为偶函数， 任意两个相乘得到的函数个数有6个，为：()()12f x f x ，()()13f x f x ，()()14f x f x()()23f x f x ，()()24f x f x ，()()34f x f x得到偶函数的个数为3个，为：()()12f x f x ，()()14f x f x ，()()24f x f x故概率为3162=． 故选：C【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是( )注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之间出生，80前指1979年及以前出生. A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【分析】根据饼图中的数据结合岗位分布图中的数据，对选项进行一一分析，即可得答案； 【详解】对A ，可知90后占了56%，故A 正确； 对B ，技术所占比例为39.65%，故B 正确； 对C ，可知90后明显比80前多，故C 正确；对D ，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故D 错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计图的信息提取，考查数据处理能力，属于基础题. 5.函数ππsin cos 33y x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）A.134 B.132+ C.264D.262【答案】D 【分析】()13131326πsin cos cos sin sin cos sin 2222224y x x x x x x x ++⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭，即可得出答案 【详解】()13131326πsin cos cos sin sin cos sin 224y x x x x x x x ++⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭最大值为26+． 故选：D【点睛】在解决本类题目时，应将函数化为基本型.6.已知曲线421y x ax =++在点()()1,1f --处切线的斜率为6，则()1f -=( )A. 3B.4-C.3-D. 4【答案】C 【分析】对函数求导，再根据'(1)6y -=可得a 的值，再将1x =-代入函数中，即可得答案；【详解】342y x ax '=+Q ，426a ∴--=，5a ∴=-，()1113f a ∴-=++=-.故选：C.【点睛】本题考查导数几何意义的运用，考查运算求解能力，属于基础题. 7.执行如图所示的程序框图，输出的T 的值是( )A. 20B. 26C. 57D. 16【答案】B 【分析】阅读程序框图根据T 与S 的大小关系，一步一步模拟运行程序，即可得答案；【详解】第一次循环，00≤是，44S S ∴=+=，20T T n =+=，11n n =+=； 第二次循环，04≤是，48S S ∴=+=，21T T n =+=，12n n =+=； 第三次循环，18≤是，412S S ∴=+=，24T T n =+=，13n n =+=； 第四次循环，412≤是，416S S ∴=+=，211T T n =+=，14n n =+=； 第五次循环，1116≤是，420S S ∴=+=，226T T n =+=，15n n =+=；2620≤否，故输出T的值是26.故选：B.【点睛】本题考查程序框图中的直到型循环，考查运算求解能力，求解时注意程序运行终止的条件.8.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A. 1CC 与1B E 是异面直线B. AC ⊥平面11ABB AC. AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D. 11//A C 平面1AB E【答案】C 【分析】根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确. 故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题 9.函数()sin 2xf x x =-（[2,2]x ππ∈-）的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A分析：由函数的解析式，求解函数函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项；再由x π=时，()0f π>，排除C ，即可得到答案．详解：由函数()sin 2x f x x =-，则满足()sin()(sin )()22x x f x x x f x --=--=--=-， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项； 由当x π=时，()sin 022f ππππ=-=>，排除C ，故选A ．点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 10.在ABC V 中，若2π3C =，3AB =，则ABC V 的周长的最大值为( ) A. 9 B. 6C. 33+D. 33【答案】C 【分析】利用正弦定理将三角形的周长表示成关于A 的三角函数，再利用三角函数的有界性，即可得答案；【详解】根据正弦定理，3232πsin sin sin sin3AB BC AC C A B ====， 那么23BC A =，23AC B =， 所以周长等于π3sin sin 33A B A A ⎤⎛⎫++=+-+ ⎪⎥⎝⎭⎦1sin 322A A ⎫=++⎪⎪⎭ π33A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，所以当6A π=时，ABC V 的周长的最大值为3+故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的应用、三角函数的有界性求周长的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意A 的范围.11.若椭圆()222210x y a b a b+=>>过点)，且以该椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为个椭圆的离心率为（ ）A.12B.2C.D.23【答案】B 【分析】由题意知2ab =22211a b +=，然后解出即可【详解】由题意知2ab =22211a b+=，222228b a a b ∴+==，24a ∴=，22b =．2222c a b ∴=-=．2a ∴=，c =2e =． 故选：B【点睛】对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线的长度相乘的一半.12.定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，则满足12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是( ) A. ()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B. ()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭UC. ()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U D. ()1,12,2⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭【答案】A 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性化简不等式12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到12log 1x >，解绝对值不等式和对数不等式，求得x 的取值范围. 【详解】偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，所以()y f x =在(),0-∞上递增，且()10f -=，且距离对称轴越远，函数值越小，由12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可得12log 1x >，所以12log 1x >或12log 1x <-，解可得，102x <<或2x >. 故选：A.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性的单调性解抽象函数不等式，考查绝对值不等式、对数不等式的解法，属于中档题. 二、填空题：13.已知两个单位向量1e u r ，2e u u r的夹角为60°，且满足()121e e e λ⊥-u r u u r u r ，则实数λ的值为______.【答案】2 【分析】根据向量垂直，数量积为0，可得()1210e e e λ⋅-=u r u u r，再利用数量积的定义进行运算，即可得答案；【详解】由单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为60°，则12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒=u r u u r ，由()121e e e λ⊥-u r u u r u r，可得()1210e e e λ⋅-=u r u u r ，∴()21210e e e λ⋅-=u r u u r u r ，则102λ-=，解得2λ=故答案为：2.【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，考运算求解能力，属于基础题.14.函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ的值是______．【答案】π3- 【分析】利用()f x 的周期求ω，过点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭求ϕ 【详解】由图象可知，35ππ9π412312T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，πT ∴=，2π2Tω==． 5π,212⎛⎫⎪⎝⎭Q 在图象上，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，()π2π3k k ϕ=-∈Z ，π2ϕ<Q ，ππ22ϕ-<<，0k ∴=，π3ϕ=-．故答案为：π3-【点睛】本题考查的是利用函数的图象求其解析式，较简单.15.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为__________．【答案】2213y x -=由题意知，2c a =，即2c a =，则3b a =，由圆的方程可知，其圆心坐标为(),0a ，半径32r =，不妨取双曲线渐近线0bx ay -=，则223baa b=+233a =1a =，则3b =为2213yx-=.点睛：此题主要考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，以及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题.在解决此类问题的过程中，常结合数形结合法进行研究，通过已知条件作出图形，尽可能地去挖掘图中隐含的信息量，寻找与问题的衔接处，从而解决问题.16.如图，正三棱柱111ABC A B C-的各棱长都等于2，D在1AC上，F为1BB中点，且1FD AC⊥，则1ADDC=______.【答案】1【分析】由F为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，可证得D为1AC中点，即可得答案；【详解】FQ为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，2215AF FC AB BF∴==+=1AFC∴△为等腰三角形，又1FD AC⊥Q，D∴为1AC中点，11AD DC∴=. 故答案为：1 【点睛】本题考查空间几何中线段长度的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17.为了了解某高校全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和中位数a （a 的值精确到0.01）； （2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)6.5,7.5，[)7.5,8.5的学生中抽取9名参加座谈会．你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由． 【答案】（1）9x =，8.99a ≈；（2）每周阅读时间为[)6.5 ,7.5的学生中抽取3名，每周阅读时间为[)7.5 ,8.5的学生中抽取6名，理由详见解析． 【分析】（1）利用频率分布直方图中的数据直接计算即可 （2）利用分层抽样原理抽取 【详解】（1）该组数据的平均数60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[)8.5,9.5a ∈．由()0.030.10.28.50.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈．（2）每周阅读时间为[)6.5 ,7.5的学生中抽取3名，每周阅读时间为[)7.5 ,8.5的学生中抽取6名． 理由：每周阅读时间为[)6.5 ,7.5与每周阅读时间为[)7.5 ,8.5是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本;因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配． 【点睛】本题考查的是由频率分布直方图计算平均数和中位数，考查了分层抽样，属于基础题.18.如图所示，在多面体111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，1CC 的中点，4AC BC ==，42AB =12CC =，四边形11BB C C 为矩形，平面ABC ⊥平面11BB C C ，11//AA CC ．（1）求证：平面DEF ⊥平面11AAC C ；． （2）若11AA =，求多面体111ABC A B C -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）403． 【分析】（1）首先证明1BC CC ⊥，BCAC ⊥，即得BC ⊥平面11AAC C ，然后由//DE BC 得出DE ⊥平面11AAC C即可（2）取1BB 中点G ，连1A F ，FG ，1A G ，多面体111ABC A B C -由四棱锥111A FGB C -与棱柱1ABC AGF -组成，然后分别求出体积即可.【详解】（1）D Q ，E 分别为AC ，AB 的中点 //DE BC ∴．Q 四边形11BB C C 为矩形，1BC CC ∴⊥．4AC BC ==Q ，42AB =222AC BC AB ∴+=，BC AC ⊥，又BC AC C ⋂=，BC ∴⊥平面11AAC C ，DE ∴⊥平面11AAC C ．DE ⊂Q 平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面11AAC C（2）Q 平面ABC ⊥平面11BB C C ，且1BC CC ⊥，BC AC ⊥，1CC ∴⊥平面ABC ，AC ⊥平面11BB C C ，如图，取1BB 中点G ，连1A F ，FG ，1A G ，11//AA CC Q ，11AA =，12CC =，∴多面体111ABC A B C -由四棱锥111A FGB C -与棱柱1ABC AGF -组成． 1144182ABC A FG ABC V S CF -=⋅=⨯⨯⨯=Q △． 1111111116414333C A FGB C FGB V S A F -=⋅=⨯⨯⨯=． ∴多面体111ABC A B C -的体积为1640833+=． 【点睛】求一个复杂的几何体的体积时应将其分成几个特殊的几何体的体积来求.19.已知数列{}n a 中，11a =，()*112n n n a a n N +⋅=∈. （1）设2n n b a =，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，求2n T .【答案】(1)答案详见解析；（2）213[1()]2n nT =- 【分析】（1）由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得221212n n n a a +⋅=，21222112n n n a a +++⋅=，两式相除即可证明结论. （2）将数列n a 的奇数列构造成新的数列n c ，由（1）的证法可得数列n c 也为等比数列，用分组求和法即可得到答案.【详解】因为在数列{}n a 中，()*112n n n a a n N +⋅=∈， 所以221212n n n a a +⋅=①，21222112n n n a a +++⋅=②，②式除以①式得22212n n a a +=，即2(1)212n n a a +=， 由2n n b a =得，2(1)121()2n n n n a b n N b a +*+==∈， 又11a =，所以1212a a =，则212a =，所以1212b a ==， 所以数列{}n b 是12为首项以12为公比的等比数列. （2）令21()n n c a n N *-=∈,由()*112n n n a a n N +⋅=∈， 可得2122112n n n a a --⋅=，221212n n na a +⋅=， 所以212112n n a a +-=，所以2(1)1121212112n n n n n n a c a c a a +-++--===， 又111c a ==，所以数列{}n c 是1为首项以12为公比的等比数列. 所以2123212n n n T a a a a a -=+++++L1321242()()n n a a a a a a -=+++++++L L1212()()n n c c c b b b =+++++L L111[1()][1()]12223[1()]1121122n n n --=+=--- 【点睛】本题主要考查等比数列的证明，构造等比数列，分组求和法，属中档题.20.已知函数()322f x x mx nx =++-的图象过点()1,6--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称．（1）求m 、n 的值；（2）若0a >，求函数()y f x =在区间()1,1a a -+内的极值．【答案】（1）3m =-，0n =；（2）分类讨论，详见解析．【分析】（1）由函数()f x 图象过点()1,6--，得3m n -=-，由()g x 的图象关于y 轴对称可得260m +=， （2）利用导数得出()y f x =的单调性，然后分01a <<，1a =，13a <<，3a ≥四种情况讨论即可.【详解】（1）由函数()f x 图象过点()1,6--，得3m n -=-，① 由()322f x x mx nx =++-，得()232f x x mx n '=++，则()()()26326g x f x x x m x n '=+=+++；因为()g x 的图象关于y 轴对称，所以260m +=，所以3m =-，代人①得0n =． （2）()()23632f x x x x x '=-=-． 令()0f x ¢=得0x =或2x =．当x 变化时，()f x ¢、()f x 的变化情况如下表：由此可得：当01a <<时，()f x 在()1,1a a -+内有极大值()02f =-，无极小值； 当1a =时，()f x 在()1,1a a -+内无极值；当13a <<时，()f x 在()1,1a a -+内有极小值()26f =-，无极大值； 当3a ≥时，()f x 在()1,1a a -+内无极值．综上得：当01a <<时，()fx 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或3a ≥时，()f x 无极值．【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的性质，属于中档题.21.已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2.直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 交于点M .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）4.【分析】（1）根据焦点到准线的距离为p ，即可得到抛物线的方程； （2）利用导数求出抛物线的两条切线方程，再利用直线垂直，得到斜率相乘为1-，从而求得直线l 方程为1y kx =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得答案；【详解】（1）由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p y =-， 焦点到准线的距离为2，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x x y x x -=-. 由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-. 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，所以2440x kx m --=. 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+. 联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即()2,1M k -. M 点到直线l的距离d ==.()241AB k ==+， 所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥. 当0k =时，MAB △面积取得最小值4.【点睛】本题考查抛物线方程的求解、直线与抛物线的位置关系和三角形面积最值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分． 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的方程为ρ=.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的任意点，求AB 的最小值.【答案】（Ⅰ）4y x =-+，2214x y +=（Ⅱ）2分析：（1）利用消参法和极坐标公式得到曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程.(2) 设点B为()2cos ,sin θθ,再求出AB=|AB|的最小值.详解：（Ⅰ）由22x =-，得22x =-，代入22y =+，得1C 的普通方程4y x =-+.由ρ=2223sin 4ρρθ+=.因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2214x y +=.（Ⅱ）因为椭圆2C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.可设点B 为()2cos ,sin θθ，由点到直线的距离公式，得AB ===其中cosϕ=sin ϕ=由三角函数性质可知，当()sin 1θϕ+=时，AB. 点睛：(1)本题主要考查参数方程和极坐标方程和直角坐标的互化，考查利用参数方程求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.23.已知函数()22f x x x a =+++，a R ∈.（1）当1a =，解不等式()2f x ≥；（2）求证：1()22f x a a ≥--. 【答案】（1）1{|1}3x x x ≤-≥-或.（2）见解析. 试题分析：（1）当1a =，不等式即()2212f x x x =+++≥，零点分段可得不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-. （2）由题意结合绝对值不等式的性质可得：()222a a f x x x x =+++++ 222a a x ≥-++ 22a ≥- ()122a a =-- 122a a ≥--. 试题解析： （1）当1a =，()2212f x x x =+++≥2332x x ≤-⎧⇔⎨--≥⎩或12212x x ⎧-<<-⎪⎨⎪-+≥⎩或12332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩ 2x ⇔≤-或21x -<≤-或13x ≥-1x ⇔≤-或13x ≥-， 所以不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-. （2）()22f x x x a =+++ 222a a x x x =+++++ 222a a x ≥-++ 2222a a ≥-=- ()122a a =-- 122a a ≥-- 122a a =--.。
2020年全国3卷高考文科数学模拟试卷(三)
此题暂无答案
【考点】
轨表方擦
抛物使之性质
等级
频数
频率
Ⅰ 补充完成上述表格中的数据；
Ⅱ 现按上述四个等级，用分层抽样的方法从这 名考生中抽取 名，在这 名考生中，从成绩 等和 等的所有考生中随机抽取 名，求至少有一名成绩为 等的概率．
如图，三棱柱 的侧面 为正方形，侧面侧面 为菱形， ， ．
求证：平面 平面 ；
若三棱柱 的体积为 ，求点 到平面 的距离．
此题暂无解答
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
由三都问求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
等比数表的弹项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
简单因性规斯
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
【答案】
此题暂无答案
【考点】
余于视理
正因归理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
此题暂无答案
【考点】
分布和验我分布表
列举法体算土本母件数及骨件发生的概率
Hale Waihona Puke 【解析】此题暂无解析【解答】
此题暂无解答
【答案】
此题暂无答案
【考点】
点于虫、练板的距离计算
平面因平面京直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答