(完整版)2018年上海市中考数学二模试卷
2018年上海市中考数学二模试卷一、选择题（每小题4分，共24分）1．（4分）（2018•上海）计算的结果是（）A．B．C．D．32．（4分）（2018•上海）据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（）A．608×108B．60.8×109C．6.08×1010D．6.08×10113．（4分）（2018•上海）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）24．（4分）（2018•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠55．（4分）（2018•上海）某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（）A．50和50 B．50和40 C．40和50 D．40和406．（4分）（2018•上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍二、填空题（每小题4分，共48分）7．（4分）（2018•上海）计算：a（a+1）=_________．8．（4分）（2018•上海）函数y=的定义域是_________．9．（4分）（2018•上海）不等式组的解集是_________．10．（4分）（2018•上海）某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔_________支．11．（4分）（2018•上海）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_________．12．（4分）（2018•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米．13．（4分）（2018•上海）如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是_________．14．（4分）（2018•上海）已知反比例函数y=（k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是_________（只需写一个）．15．（4分）（2018•上海）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设=，=，那么=_________（结果用、表示）．16．（4分）（2018•上海）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是_________．17．（4分）（2018•上海）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为_________．18．（4分）（2018•上海）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为_________（用含t的代数式表示）．三、解答题（本题共7题，满分78分）19．（10分）（2018•上海）计算：﹣﹣+||．20．（10分）（2018•上海）解方程：﹣=．21．（10分）（2018•上海）已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的长度x（cm）4.2 …8.2 9.8体温计的读数y（℃）35.0 …40.0 42.0（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．22．（10分）（2018•上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．23．（12分）（2018•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E 是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．24．（12分）（2018•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．25．（14分）（2018•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．2018年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共24分）1．（4分）（2018•上海）计算的结果是（）A．B．C．D．3考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．解答：解：•=，故选：B．点评：本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单．2．（4分）（2018•上海）据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（）A．608×108B．60.8×109C．6.08×1010D．6.08×1011考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：60 800 000 000=6.08×1010，故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2018•上海）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．（4分）（2018•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5考点：同位角、内错角、同旁内角．分析：根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案．解答：解：∠1的同位角是∠5，故选：D．点评：此题主要考查了同位角的概念，关键是掌握同位角的边构成“F“形．5．（4分）（2018•上海）某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是（）A．50和50 B．50和40 C．40和50 D．40和40考点：众数；中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：从小到大排列此数据为：37、40、40、50、50、50、75，数据50出现了三次最多，所以50为众数；50处在第4位是中位数．故选：A．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．（4分）（2018•上海）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍考点：菱形的性质．专题：几何图形问题．分析：分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可．解答：解：A、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD，∵AC＜BD，∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD，S△ABC=S平行四边形ABCD，∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键．二、填空题（每小题4分，共48分）7．（4分）（2018•上海）计算：a（a+1）=a2+a．考点：单项式乘多项式．专题：计算题．分析：原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．解答：解：原式=a2+a．故答案为：a2+a点评：此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（4分）（2018•上海）函数y=的定义域是x≠1．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（4分）（2018•上海）不等式组的解集是3＜x＜4．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：，解①得：x＞3，解②得：x＜4．则不等式组的解集是：3＜x＜4．故答案是：3＜x＜4点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．10．（4分）（2018•上海）某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔352支．考点：有理数的混合运算．专题：应用题．分析：三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，是把二月份销售的数量看作单位“1”，增加的量是二月份的10%，即三月份生产的是二月份的（1+10%），由此得出答案．解答：解：320×（1+10%）=320×1.1=352（支）．答：该文具店三月份销售各种水笔352支．故答案为：352．点评：此题考查有理数的混合运算，理解题意，列出算式解决问题．11．（4分）（2018•上海）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1．考点：根的判别式．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．解答：解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．（4分）（2018•上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．13．（4分）（2018•上海）如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是．考点：概率公式．分析：由从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，∴恰好抽到初三（1）班的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2018•上海）已知反比例函数y=（k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是y=﹣（只需写一个）．考点：反比例函数的性质．专题：开放型．分析：首先根据反比例函数的性质可得k＜0，再写一个符合条件的数即可．解答：解：∵反比例函数y=（k是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，∴k＜0，∴y=﹣，故答案为：y=﹣．点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．15．（4分）（2018•上海）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设=，=，那么=﹣（结果用、表示）．考点：*平面向量．分析：由点E在边AB上，且AB=3EB．设=，可求得，又由在平行四边形ABCD中，=，求得，再利用三角形法则求解即可求得答案．解答：解：∵AB=3EB．=，∴==，∵平行四边形ABCD中，=，∴==，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．16．（4分）（2018•上海）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是乙．考点：方差；折线统计图．专题：图表型．分析：根据方差的意义数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．解答：解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，则三人中成绩最稳定的是乙；故答案为：乙．点评：本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．17．（4分）（2018•上海）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为﹣9．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．解答：解：解法一：常规解法∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b∴2×3﹣x=7∴x=﹣1则2×（﹣1）﹣7=y解得y=﹣9．解法二：技巧型∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b∴7×2﹣y=23∴y=﹣9故答案为：﹣9．点评：此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题．18．（4分）（2018•上海）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为2t（用含t的代数式表示）．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：几何图形问题．分析：根据翻折的性质可得CE=C′E，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠EBC′=30°，然后求出∠BGD′=60°，根据对顶角相等可得∠FGE=∠∠BGD′=60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG=∠FGE，再求出∠EFG=60°，然后判断出△EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解．解答：解：由翻折的性质得，CE=C′E，∵BE=2CE，∴BE=2C′E，又∵∠C′=∠C=90°，∴∠EBC′=30°，∵∠FD′C′=∠D=90°，∴∠BGD′=60°，∴∠FGE=∠BGD′=60°，∵AD∥BC，∴∠AFG=∠FGE=60°，∴∠EFG=（180°﹣∠AFG）=（180°﹣60°）=60°，∴△EFG是等边三角形，∵AB=t，∴EF=t÷=t，∴△EFG的周长=3×t=2t．故答案为：2t．点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△EFG是等边三角形是解题的关键．三、解答题（本题共7题，满分78分）19．（10分）（2018•上海）计算：﹣﹣+||．考点：实数的运算；分数指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及绝对值、二次根式化简两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（10分）（2018•上海）解方程：﹣=．考点：解分式方程．专题：计算题；转化思想．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：（x+1）2﹣2=x﹣1，整理得：x2+x=0，即x（x+1）=0，解得：x=0或x=﹣1，经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=0．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．（10分）（2018•上海）已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的长度x（cm）4.2 …8.2 9.8体温计的读数y（℃）35.0 …40.0 42.0（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．考点：一次函数的应用．专题：应用题；待定系数法．分析：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可；（2）当x=6.2时，代入（1）的解析式就可以求出y的值．解答：解：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y=x+29.75．∴y关于x的函数关系式为：y=+29.75；（2）当x=6.2时，y=×6.2+29.75=37.5．答：此时体温计的读数为37.5℃．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．（10分）（2018•上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．专题：几何图形问题．分析：（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACH=90°∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB=；（2）∵sinB=，∴AC：AB=1：，∴AC=2．∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB==，设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．23．（12分）（2018•上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E 是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）连接AE，交BD于点G，求证：=．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：（1）证△△BAD≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案．解答：证明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，在△BAD和△CDA中∴△BAD≌△CDA（SAS），∴∠ABD=∠ACD，∵∠CDE=∠ABD，∴∠ACD=∠CDE，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵AD∥BC，∴=，=，∴=，∵平行四边形ACED，AD=CE，∴=，∴=，∴=，∴=．点评：本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．24．（12分）（2018•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴；（2）因为AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，所以CE∥AF．分别求出直线CE、AF的解析式，进而求出点F的坐标；（3）△BDP和△CDP的面积相等，可得DP∥BC，根据待定系数法得到直线BC的解析式，根据两条平行的直线k值相同可得直线DP的解析式，进一步即可得到t的值．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣2），∴，解得．故抛物线的表达式为：y=x2﹣x﹣2=（x﹣1）2﹣，对称轴为直线x=1；（2）设直线CE的解析式为：y=kx+b，将E（1，0），C（0，﹣2）坐标代入得：，解得，∴直线CE的解析式为：y=2x﹣2．∵AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，∴CE∥AF．∴设直线AF的解析式为：y=2x+n．∵点A（﹣1，0）在直线AF上，∴﹣2+n=0，∴n=2．∴设直线AF的解析式为：y=2x+2．当x=1时，y=4，∴点F的坐标为（1，4）．（3）点B（3，0），点D（1，﹣），若△BDP和△CDP的面积相等，则DP∥BC，则直线BC的解析式为y=x﹣2，∴直线DP的解析式为y=x﹣，当y=0时，x=5，∴t=5．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的解析式，两条平行的直线之间的关系，三角形面积，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．25．（14分）（2018•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．考点：圆的综合题．专题：压轴题．分析：（1）当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC进而得出答案；（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长；（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，进而求出即可．解答：解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，∵cosB=，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在．即∠AEG≠∠GAE∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出△AGE是等腰三角形时只能∠AGE=∠AEG进而求出是解题关键．。
2018年闵行区中考数学二模试卷及答案
2018年闵行区中考数学二模试卷及答案闵行区2017学年第二学期九年级数学质量调研考试试卷注意事项：1.本试卷共25题，分为三个大题。
2.答题时，请按照要求在答题纸上作答，草稿纸和试卷上的答案无效。
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸上写出证明或计算的主要步骤。
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1.下列各式中，二次单项式是A。
x² + 1B。
xy² / 3C。
2xyD。
(-2)²2.下列运算结果正确的是A。
(a + b)² = a² + b²B。
(a - b)² = a² - b²C。
a³ * a² = a⁵D。
2a - 1 = 1 / (2a) (a ≠ 0)3.在平面直角坐标系中，反比例函数y = k / x (k ≠ 0)的图像在每个象限内，y随着x的增大而减小，那么它的图像的两个分支分别在A。
第一、三象限B。
第二、四象限C。
第一、二象限D。
第三、四象限4.有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的A。
平均数B。
中位数C。
众数D。
方差5.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是A。
当AB = BC时，四边形ABCD是菱形B。
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C。
当∠ABC = 90o时，四边形ABCD是矩形D。
当AC = BD时，四边形ABCD是正方形6.点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是A。
相交B。
相离C。
相切或相交D。
相切或相离二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.计算：-1 + 22 = 218.在实数范围内分解因式：4x² - 3 = (2x + 1)(2x - 3)9.方程2x - 1 = 1的解是 x = 110.已知关于x的方程x² - 3x - m = 0没有实数根，那么m的取值范围是 m < 9 / 411.已知直线y = kx + b(k ≠ 0)与直线y = -x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为 y = kx + 5已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求其在区间[0,2]上的最大值和最小值，并确定最大值和最小值所对应的x值。
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编几何证明专题
几何证明专题宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E . （1）求证；AN AM =；（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM ⋅=2.23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD AB =，︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ……1分 ∴︒=∠+∠90MAD MAB ∵︒=∠90MAN∴︒=∠+∠90MAD NAD ∴NAD MAB ∠=∠………1分 ∵︒=∠+∠180ADC ADN ∴︒=∠90ADN ……1分 ∴ADN B ∠=∠……………………1分 ∴△ABM ≌△ADN ………………………1分 ∴AN AM = ……………………………1分（2）∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC 平分BCD ∠和BAD ∠ ∴︒=∠=∠4521BCD BCA ，︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ……1分 ∵NAD CAD ∠=∠2 ∴︒=∠5.22NAD∵NAD MAB ∠=∠ ∴︒=∠5.22MAB ………1分 ∴︒=∠5.22MAC ∴︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵AN AM =,︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE∴ANE ACM ∠=∠…………………1分 ∴△ACM ∽△ANE …………1分图6图6∴ANACAE AM =……1分 ∵AN AM =∴AE AC AM ⋅=2…………1分长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分）AC DEFGB第23题图崇明区23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交BC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ．（1）求证：AB CMEK CK=； （2）求证：BD AE =．23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ ABC EKC =∠∠ ……………………………………………………1分∵CE AM ∥∴ AMB ECK =∠∠ ……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△ ……………………………………………………1分 ∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵ AM 是△ABC 的中线∴BM CM = ………………………………………………………1分∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥∴DE CMEK CK =………………………………………………………2分 又∵AB CMEK CK=∴DE AB = ………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥（第23题图）ABK MCDE∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE = ………………………………………………………1分奉贤区23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ， 点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ． （1）求证：B 是EC 的中点；（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若EC DC AC ⋅=2，求证：FC AC AF AD ::=．黄浦区23．（本题满分12分）如图，点E 、F 分别为菱形ABCD 边AD 、CD 的中点. （1）求证：BE =BF ；（2）当△BEF 为等边三角形时，求证：∠D =2∠A .23. 证：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =BC =AD =CD ，∠A =∠C ，——————————————————（2分）ACD E图7B又E、F是边的中点，∴AE=CF，——————————————————————————（1分）∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分）∵△BEF是等边三角形,∴EB=EF，又∵E、F是两边中点，∴AO=12AC=EF=BE.——————————————————————（1分）又△ABD中，BE、AO均为中线，则G为△ABD的重心，∴1133OG AO BE GE===,∴AG=BG，——————————————————————————（1分）又∠AGE=∠BGO，∴△AGE≌△BGO，——————————————————————（1分）∴AE=BO，则AD=BD，∴△ABD是等边三角形，———————————————————（1分）所以∠BAD=60°，则∠ADC=120°，即∠ADC=2∠BAD. —————————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD是△ABC的中线， M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．E AFMB图7C23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，……………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分） ∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………（1分） ∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分）（2）∵AE //BC ，∴AF AEFB BC=．…………………………………………………（1分） ∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分）∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分） 又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ， 点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．（1）求证：DBABBF EF =； （2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分）第23题图AB DEFCA BDEF又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分） ∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分） ∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB …………………………（1分）∴△ADB ∽△EBF ∴DB ABBF EF =………………………（2分） (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分） 在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD 21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分） 又∵DF AD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分） ∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD 是矩形 …………………………（1分） 闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BFBC BD=．………………………………………………………（1分） ABEGCFD（第23题图）∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =.（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.23．证明：（1）∵ AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ······ （2分）∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ···················· （1分） 同理EF CFAB CA= ． ························ （1分） ABC DE F G图9得FG AD ＝EFAB∵FG EF =，∴AD AB =． ···················· （1分） ∴四边形ABED 是菱形． ····················· （1分） （2）联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形，∴12EH AE =，BD ⊥AE ． ········ （2分） 得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=．∴DHE AFE ∠∠＝． ······················· （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ············ （1分）∴EH DEEF AE =． ························· （1分） ∴212AE EF ED =． ······················· （1分） 青浦区23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ，··············· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ， ·········· （1分） ∴AE //DC ， ························ （1分）∴=FM AMMD MC． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ················ （1分） ∴=FM DM MD MB， ····················· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ············· （1分）MFE DCBA图7由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ······················· （1分） ∴3==DF BF a ． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ················ （1分） ∴=AF EF ， ······················· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ················· （1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE ∴∠AEB =90° ∵F 是AB 的中点 ∴12EF BF AB ==………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分 ∴EF ∥BC …………………………………………………1分 ∵AB ∥CD∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分(第23题图)FACD EBA CDE∵EF BF =∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分(2) ∵四边形BCEF 是菱形,∴BC =BF ∵12BF AB = ∴AB =2BC ………………………………………………1分∵ AB ∥CD∴ ∠DEA =∠EAB∵ ∠D =∠AEB∴ △EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴AD AE BE AB = …………………………………………1分 ∴ BE ·AE =AD ·AB∴ 2BE AE AD BC ⋅=⋅…………………………………1分徐汇区23. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且DCE DBC ∠=∠.（1）求证：AD BE =；（2）延长CE 交AB 于点F ，如果CF AB ⊥，求证：4EF FC DE BD ⋅=⋅.杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD 于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN。
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编计算题专题(有答案)
计算题专题宝山区、嘉定区19．（本题满分10分） 先化简，再求值：x x x x x --+++-2321422，其中32+=x .19.解：原式2321)2)(2(2-+++++-=x x x x x x…………2分 )2)(2()2(3)2)(1(2+-++-++=x x x x x x ………………………1分 )2)(2(442+-++=x x x x …………………………………………2分 )2)(2()2(2+-+=x x x ………………………2分 22-+=x x …………………………………………1分 把32+=x 代入22-+x x 得： 原式232232-+++=………………1分 1334+=………………………………1分长宁区19．（本题满分10分） 先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分)=2)1(11++-+x x x (1分) =2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分)崇明区 19．（本题满分10分）12022)9( 3.14)π+-+--19．（本题满分10分）解：原式731=-+-……………………………………………………8分9=- …………………………………………………………………2分 奉贤区19．（本题满分10分） 计算：1212)33(8231)12(--+++-．19、3-黄浦区19．（本题满分10分）计算：())102322220183++--.19．解：原式()13-—————————————————————（6分）=13-————————————————————————（2分）=4—————————————————————————————（2分）金山区 计算：21o o 21tan 452sin 60122-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．19．解：原式=124-+……………………………………………（8分）14+……………………………………………（1分）=5．………………………………………………………（1分）静安区19．（本题满分10分）计算：102018)30(sin )3(32)45cot (18---+-+-+οοπ． 19．（本题满分10分） 计算：102018)30(sin )3(32)45cot (18---+-+-+οοπ． 解：原式=12018)21(1)23()1(23--+-+-+ …………………（5分） =2123123-+-++ …………………………（3分） =322+ …………………………………（2分）闵行区19．（本题满分10分） 120183(1)2cos45+8-+--o ．19．解：原式112+……………………………………（2分+2分+2分+2分）2=．……………………………………………………………………（2分）普陀区19．（本题满分10分）先化简，再求值：42442222---++÷+x x x x x x x ，其中2x =-. 19．解：原式()()22+22(2)22x x x x x x x -=-+-+g ················ （3分）122x x x =-++ ······················ （2分） 12x x -=+. ························· （1分）当2x =时，原式=·················· （1分）=··················· （1分）=青浦区19．(本题满分10分)计算：1012152(3)2---+（）．20．(本题满分10分)先化简，再求值：25+3222x x x x ⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭（），其中x =19．解：原式212-+． ····················· （8分）=1．20．解：原式=()2245223--+⨯++x x x x ， ···················· （5分） =()()()233223+-+⨯++x x x x x ， ·················· （1分） =33-+x x . ··························· （1分）当=x 2. 松江区 19．（本题满分10分）计算：0313832--+++． 19．（本题满分10分） 计算：0313832--+++． 解：原式=1(31)3222--+-+……………………………（每个2分） =22+……………………………………………………………2分徐汇区19. 计算：10112()( 3.14)|234|231π--+--+--.杨浦区19、（本题满分10分）先化简，再求值：。
Y_上海市各区2018届最新中考二模数学分类汇编：几何证明专题(含答案)
上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编几何证明专题宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边的延长线上，ABCD M BC B C N CD 且满足，联结、，与边交于点.︒=∠90MAN MN AC MN AD E （1）求证；；AN AM =（2）如果，求证：.NAD CAD ∠=∠2AE AC AM ⋅=223.证明：（1）∵四边形是正方形ABCD ∴，……1分AD AB =︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ∴ ∵︒=∠+∠90MAD MAB ︒=∠90MAN ∴ ∴………1分︒=∠+∠90MAD NAD NAD MAB ∠=∠∵ ∴……1分︒=∠+∠180ADC ADN ︒=∠90ADN ∴……………………1分ADN B ∠=∠∴△≌△ ………………………1分ABM ADN ∴ ……………………………1分AN AM =（2）∵四边形是正方形 ∴平分和ABCD AC BCD ∠BAD ∠ ∴ ，……1分︒=∠=∠4521BCD BCA ︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ∵ ∴NAD CAD ∠=∠2︒=∠5.22NAD ∵ ∴………1分NAD MAB ∠=∠︒=∠5.22MAB ∴ ∴ ︒=∠5.22MAC ︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵,AN AM =︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE ∴…………………1分ANE ACM ∠=∠∴△∽△…………1分ACMANE 图6图6∴……1分ANACAE AM =∵AN AM =∴…………1分AE AC AM⋅=2长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且．AG GF BE AD =（1）求证：AB //CD ；（2）若，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．BD GD BC ⋅=223．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD =（2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分）∴ CD AB // （2分）（2）∵BC AD //，CDAB // ∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠∴ADG ∆∽BDA ∆（1分）∴ABD DAG ∠=∠ ∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD //∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分）∴BC=CD（1分）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形.（1分）崇明区ACDEF GB第23题图23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，是的中线，点D 是线段上一点（不与点重合）．交于点，AM ABC △AM A DE AB ∥BC K ，联结．CE AM ∥AE （1）求证：；AB CMEK CK=（2）求证：．BD AE =23．（本题满分12分，每小题6分）（1）证明：∵DE AB ∥∴ ……………………………………………………1分ABC EKC =∠∠∵CE AM ∥∴ ……………………………………………………1分AMB ECK =∠∠∴ ……………………………………………………1分ABM EKC △∽△∴………………………………………………………1分AB BMEK CK=∵ 是△的中线AM ABC ∴………………………………………………………1分BM CM = ∴………………………………………………………1分AB CMEK CK=（2）证明：∵CE AM ∥ ∴………………………………………………………2分DE CMEK CK =又∵AB CM EK CK=∴ ………………………………………………………2分DE AB =又∵DE AB∥∴四边形是平行四边形 …………………………………………1分ABDE ∴………………………………………………………1分BD AE =奉贤区（第23题图）BKME CD23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ，点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ．（1）求证：B 是EC 的中点；（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若，EC DC AC ⋅=2求证：．FC AC AF AD ::=黄浦区23．（本题满分12分） 如图，点E 、F 分别为菱形ABCD 边AD 、CD 的中点. （1）求证：BE =BF ；（2）当△BEF 为等边三角形时，求证：∠D =2∠A .23. 证：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =BC =AD =CD ，∠A =∠C ，——————————————————（2分）又E 、F 是边的中点，∴AE =CF ，——————————————————————————（1分）∴△ABE ≌△CBF ———————————————————————（2分） ∴BE =BF . ——————————————————————————（1分）（2）联结AC 、BD ，AC 交BE 、BD 于点G 、O . ——————————（1分）∵△BEF 是等边三角形, ∴EB =EF ，又∵E 、F 是两边中点，∴AO =AC =EF =BE .——————————————————————（1分）12又△ABD 中，BE 、AO 均为中线，则G 为△ABD 的重心，∴,1133OG AO BE GE ===∴AG =BG ，——————————————————————————（1分）又∠AGE =∠BGO ，∴△AGE ≌△BGO ，———— ——————————————————（1分）∴AE =BO ，则AD =BD ，∴△ABD 是等边三角形，—— —————————————————（1分） 所以∠BAD =60°，则∠ADC=120°，即∠ADC =2∠BAD . ——— ——————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD 是△ABC 的中线， M 是AD 的中点， 过A 点作AE ∥BC ，CM 的延长线与AE 相交于点E ，与AB 相交于点F ．（1）求证：四边形AEBD 是平行四边形；（2）如果AC =3AF ，求证四边形AEBD 是矩形．23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，……………………（1分）EAFMB图7C又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分）∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………（1分）∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分）（2）∵AE //BC ，∴．…………………………………………………（1分）AF AEFB BC= ∵AE=BD=CD ，∴，∴AB=3AF ．……………………………（1分）12AF AE FB BC ==∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分）又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分）∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．（1）求证：；DBABBF EF =（2）如果，求证：平行四边形ABCD 是矩形．DF AD BD ⋅=2223．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分）又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分）∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分）∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB…………………………（1分）∴△ADB ∽△EBF ∴DB ABBF EF = ………………………（2分）(2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分）在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD21C第23题图ABDE FCAB第23题图DE F∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅ ∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分）又∵DFAD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分）∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分）∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分）∴平行四边形ABCD 是矩形…………………………（1分）闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：；BF BC AB BD ⋅=⋅（2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分）又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分）∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分）∴AB BFBC BD=．………………………………………………………（1分）∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分）（2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分）∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分）∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分）又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分）∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分）ABEGCF D（第23题图）∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形中，∥，∥，与对角线交于点，∥，且ABCD AD BC DE AB DE AC F FG AD .FG EF =（1）求证：四边形是菱形；ABED （2）联结，又知⊥，求证：.AE AC ED 212AE EF ED =A 23．证明：（1）∵ ∥，∥，∴四边形是平行四边形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）AD BC DE AB ABED ∵∥，∴．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）FG AD FG CFAD CA=同理．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）EF CFAB CA =得＝FG AD EF AB∵，∴．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）FG EF =AD AB =∴四边形是菱形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分） ABED （2）联结，与交于点．BD AE H ∵四边形是菱形，∴12EH AE =，⊥．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）ABED BD AE 得 ．同理．90DHE ∠= 90AFE ∠= ∴．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）DHE AFE ∠∠＝又∵是公共角，∴△∽△．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）AED ∠DHE AFE ∴．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）EH DEEF AE =∴．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）212AE EF ED =A ABCDEFG图9青浦区23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．DAE DCB ∠=∠（1）求证：；2DM MF MB =⋅（2）联结DE ，如果，3BF FM =求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）∠=∠DAE AEB ∵，∴，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）∠=∠DCB DAE ∠=∠DCB AEB ∴AE //DC ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）∴．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）=FM AMMD MC∵AD //BC ，∴，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）=AM DMMC MB∴，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）=FM DM MD MB即．2=⋅MD MF MB （2）设，则，．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）=FM a =3BF a =4BM a 由，得，2=⋅MD MF MB 24=⋅MD a a ∴，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）2=MD a ∴．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）3==DF BF a ∵AD //BC ，∴，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）1==AF DFEF BF∴，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）=AF EF ∴四边形ABED 是平行四边形. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.MFE DCBA图7(第23题图)ACD EB23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）证明：(1) ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE…………………………………………………1分∵AE⊥BE∴∠AEB=90°∵F是AB的中点∴12EF BF AB==………………………………………………1分∴∠FEB =∠FBE…………………………………………………1分∴∠FEB =∠CBE…………………………………………………1分∴EF∥BC…………………………………………………1分∵AB∥CD∴四边形BCEF是平行四边形…………………………1分∵EF BF=∴四边形BCEF是菱形……………………………………1分(2)∵四边形BCEF是菱形,∴BC=BF∵12 BF AB=∴AB=2BC………………………………………………1分∵AB∥CD∴∠DEA=∠EAB∵∠D=∠AEB∴△EDA∽△AEB………………………………………2分∴AD AEBE AB=…………………………………………1分∴BE·AE=AD·AB∴2BE AE AD BC⋅=⋅…………………………………1分(第23题图)FACD EB徐汇区23. 在梯形中，∥，，，点在对角线上，且.ABCD AD BC AB CD =BD BC =E BD DCE DBC ∠=∠（1）求证：；AD BE =（2）延长交于点，如果，CE AB F CF AB ⊥求证：.4EF FC DE BD ⋅=⋅杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF 分别交边AB 、CD 于点E 、F ，过点G 的直线MN 分别交边AD 、BC 于点M 、N ，且∠AGE=∠CGN 。
2018届中考数学上海市各区二模试卷专题汇编六【几何证明题】含答案解析
2018届中考数学上海市各区二模试卷专题汇编六【几何证明题】宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E .（1）求证；AN AM =；（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM⋅=2.23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD AB =，︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ……1分∴︒=∠+∠90MAD MAB ∵︒=∠90MAN ∴︒=∠+∠90MAD NAD ∴NAD MAB ∠=∠………1分∵︒=∠+∠180ADC ADN ∴︒=∠90ADN ……1分∴ADN B ∠=∠……………………1分∴△ABM ≌△ADN ………………………1分∴AN AM =……………………………1分CBANDM E图6（2）∵四边形ABCD 是正方形∴AC 平分BCD ∠和BAD∠∴︒=∠=∠4521BCD BCA ，︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ……1分∵NAD CAD ∠=∠2∴︒=∠5.22NAD ∵NAD MAB ∠=∠∴︒=∠5.22MAB ………1分∴︒=∠5.22MAC ∴︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵AN AM =,︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE ∴ANE ACM ∠=∠…………………1分∴△ACM ∽△ANE …………1分∴AN ACAEAM =……1分∵AN AM =∴AE AC AM⋅=2…………1分长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AG GFBE AD =．CBANDM E图6ADFG（1）求证：AB//CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG=GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD //∴BG DGBE AD =（2分）∵AG GFBE AD =∴AG GFBG DG =（1分）∴CDAB //（2分）（2）∵BC AD //，CDAB //∴四边形ABCD 是平行四边形∴BC=AD（1分）∵BD GD BC ⋅=2∴BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又∵BDA ADG ∠=∠∴ADG ∆∽BDA∆（1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB //∴BDC ABD ∠=∠∵BCAD //∴EDAG ∠=∠∵BG=GE ∴E DBC ∠=∠∴DBCBDC ∠=∠（3分）∴BC=CD（1分）∵四边形ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 是菱形.（1分）崇明区23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，是的中线，点D是线段上一点（不与点重合）．交于点，，联结．（1）求证：；（2）求证：．23．（本题满分12分，每小题6分）（1）证明：∵∴……………………………………………………1分∵∴……………………………………………………1分∴……………………………………………………1分∴………………………………………………………1分∵是△的中线（第23题图）ABKM CDE∴………………………………………………………1分∴………………………………………………………1分（2）证明：∵∴………………………………………………………2分又∵∴………………………………………………………2分又∵∴四边形是平行四边形…………………………………………1分∴………………………………………………………1分奉贤区23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD，DC∥AB，对角线AC平分∠BCD，点E在边CB的延长线上，EA⊥AC，垂足为点A．（1）求证：B是EC的中点；（2）分别延长CD、EA相交于点F ，若，求证：．ACDE图7B黄浦区23．（本题满分12分）如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.（1）求证：BE=BF；（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.23.证：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分）又E、F是边的中点，∴AE=CF，——————————————————————————（1分）∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）∴BE=BF.——————————————————————————（1分）（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O.——————————（1分）∵△BEF是等边三角形,∴EB=EF，又∵E、F是两边中点，∴AO=12AC=EF=BE.——————————————————————（1分）又△ABD中，BE、AO均为中线，则G为△ABD的重心，∴1133OG AO BE GE ===,∴AG=BG，——————————————————————————（1分）又∠AGE=∠BGO，∴△AGE≌△BGO，——————————————————————（1分）∴AE=BO，则AD=BD，∴△ABD是等边三角形，———————————————————（1分）所以∠BAD=60°，则∠ADC=120°，即∠ADC=2∠BAD.—————————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．E AFMB D图7C23．证明：（1）∵AE//BC ，∴∠AEM=∠DCM ，∠EAM=∠CDM ，……………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分）∵BD=CD ，∴AE=BD ．……………………………………………………（1分）∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分）（2）∵AE//BC ，∴AF AEFB BC =．…………………………………………………（1分）∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分）∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分）又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB=90°．……………………（1分）∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF=∠ADC ．（1）求证：DB AB BF EF =；（2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．C第23题图ABDEF23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD//BC ，AB//DC∴∠BAD+∠ADC=180°，……………………………………（1分）又∵∠BEF+∠DEF =180°,∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF ……（1分）∵∠DEF=∠ADC ∴∠BAD=∠BEF ，…………………………（1分）∵AB//DC ，∴∠EBF=∠ADB…………………………（1分）∴△ADB ∽△EBF∴DBABBF EF =………………………（2分）(2)∵△ADB ∽△EBF,∴BF BEBD AD =,………………………（1分）在平行四边形ABCD 中，BE=ED=BD21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅∴BF AD BD ⋅=22,………………………………………（1分）又∵DFAD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形…………………………（1分）∵DE BE =∴FE ⊥BD,即∠DEF =90°…………………………（1分）∴∠ADC =∠DEF =90°…………………………（1分）∴平行四边形ABCD 是矩形…………………………（1分）闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC=2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FGCA B第23题图DEFA∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅；（2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC ．∵∠BAC=2∠C ，∴∠BAF=∠C=∠EAC ．…………………………（1分）又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC ．……………………………（1分）∵∠ABF=∠C ，∠ABD=∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分）∴AB BFBC BD =．………………………………………………………（1分）∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分）（2）∵FG ∥AC ，∴∠C=∠FGB ，∴∠FGB=∠FAB ．………………（1分）∵∠BAF=∠BGF ，∠ABD=∠GBD ，BF=BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF=FG ，BA=BG ．…………………………（1分）∵BA=BG ，∠ABD=∠GBD ，BD=BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD=∠BGD ．……………………………（1分）∵∠BAD=2∠C ，∴∠BGD=2∠C ，∴∠GDC=∠C ，∴∠GDC=∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分）又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分）∴AF=FG ．……………………………………………………………（1分）∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形中，∥，∥，与对角线交于点，∥，且.（1）求证：四边形是菱形；（2）联结，又知⊥，求证：.证明：（1）∵∥，∥，∴四边形是平行四边形．（2分）∵∥，∴．（1分）同理．（1分）得＝∵，∴．（1分）∴四边形是菱形．（1分）（2）联结，与交于点．∵四边形是菱形，∴，⊥．（2分）A B CDE F G图9得．同理．∴．（1分）又∵是公共角，∴△∽△．（1分）∴．（1分）∴．（1分）青浦区23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边BC 上，且DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅；（2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD//BC ，∴∠=∠DAE AEB ，（1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ，（1分）∴AE//DC ，（1分）∴=FM AMMD MC ．（1分）∵AD//BC ，∴=AM DMMC MB ，（1分）图7∴=FMDMMD MB ，（1分）即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ．（1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ，（1分）∴3==DF BF a ．（1分）∵AD//BC ，∴1==AFDFEF BF ，（1分）∴=AF EF ，（1分）∴四边形ABED 是平行四边形.（1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）证明：(第23题图)F A CD E B(1)∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE …………………………………………………1分∵AE ⊥BE∴∠AEB=90°∵F 是AB 的中点∴12EF BF AB ==………………………………………………1分∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分∴EF ∥BC …………………………………………………1分∵AB ∥CD∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分∵EF BF=∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分(2)∵四边形BCEF 是菱形,∴BC=BF ∵12BF AB=∴AB=2BC ………………………………………………1分∵AB ∥CD∴∠DEA=∠EAB∵∠D=∠AEB∴△EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴AD AEBE AB =…………………………………………1分∴BE ·AE=AD ·AB∴2BE AE AD BC ⋅=⋅…………………………………1分(第23题图)F A C D E B徐汇区23.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且DCE DBC ∠=∠.（1）求证：AD BE =；（2）延长CE 交AB 于点F ，如果CF AB ⊥，求证：4EF FC DE BD ⋅=⋅.杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF 分别交边AB 、CD 于点E 、F ，过点G 的直线MN 分别交边AD 、BC 于点M 、N ，且∠AGE=∠CGN。
2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类(二)——《圆》(含解析)
2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类（二）——《圆》一．选择题1．（2019•芦淞区一模）如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是（）A．8°B．15°C．18°D．28°2．（2019•虹口区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2019•虹口区二模）正六边形的半径与边心距之比为（）A．B．C．D．4．（2019•金山区二模）已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1O2＝3，那么O2A的长等于（）A．2 B．3 C．8 D．2或8 5．（2019•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定（）A．与x轴和y轴都相交B．与x轴和y轴都相切C．与x轴相交、与y轴相切D．与x轴相切、与y轴相交6．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部7．（2019•崇明区一模）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交8．（2019•金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（）A．点B、点C都在⊙A内B．点C在⊙A内，点B在⊙A外C．点B在⊙A内，点C在⊙A外D．点B、点C都在⊙A外9．（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B 中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5 B．4 C．3 D．2 10．（2019•崇明区二模）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜﹣1时，点B在圆A外D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内11．（2019•嘉定区二模）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（）A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补12．（2018•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切13．（2018•松江区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7 14．（2018•长宁区一模）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相离、相切、相交都有可能15．（2018•奉贤区二模）直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定二．填空题16．（2020•嘉定区一模）如果正多边形的边数是n（n≥3），它的中心角是α°，那么α关于n的函数解析式为．17．（2020•崇明区一模）两圆的半径之比为3：1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为．18．（2020•闵行区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB 相切，那么⊙C的半径为．19．（2020•嘉定区一模）如图，⊙O的半径长为5cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC的内部．如果AB ＝AC ，BC ＝8cm ，那么△ABC 的面积为 cm 2．20．（2020•闵行区一模）半径分别为3cm 与cm 的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB ＝4cm ，那么圆心距O 1O 2的长为 cm ．21．（2020•奉贤区一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O 的面积，那么⊙O 的面积约是 ．22．（2020•闵行区一模）正五边形的边长与边心距的比值为 ．（用含三角比的代数式表示）23．（2020•崇明区一模）正五边形的中心角的度数是 ．24．（2019•青浦区二模）如图，在⊙O 中，OA 、OB 为半径，连接AB ，已知AB ＝6，∠AOB ＝120°，那么圆心O 到AB 的距离为 ．25．（2019•杨浦区二模）如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD ＝5，AE ＝2，AF ＝4．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ．三．解答题26．（2020•静安区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，sin∠BAC＝．点D在边AB上（不与点A、B重合），以AD为半径的⊙A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与⊙A交于点G．（1）如图，设AD＝x，用x的代数式表示DE的长；（2）如果点E是的中点，求∠DFA的余切值；（3）如果△AFD为直角三角形，求DE的长．27．（2020•长宁区二模）已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：＝；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．28．（2020•青浦区二模）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．29．（2020•浦东新区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．30．（2020•闵行区二模）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE＝8，点G、H 分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH＝60°，设CG＝x，EH＝y．（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．参考答案一．选择题1．解：∵正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，又∵正方形的内角是90°，∴∠1＝108°﹣90°＝18°；故选：C．2．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF＝CF＝2，∵tan B＝2，∴，即AF＝4，∴AB＝，∵D为AB的中点，∴BD＝，G是△ABC的重心，∴GF＝AF＝，∴CG＝，∴CD＝CG＝，∵点B在⊙D内，点C在⊙D外，∴＜r＜，故选：B．3．解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝R，∴R：r＝1：＝2：，故选：D．4．解：设⊙O2的半径为r，∵⊙O1与⊙O2内切于点A，∴O2A＝r，O1A＝5，∴r﹣5＝3或5﹣r＝3，∴r＝8或r＝2，即O2A的长等于2或8．故选：D．5．解：∵点（3，4），∴点到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，∴在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定与x轴相切，与y 轴相交，故选：D．6．解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．7．解：∵r＞1，∴2＜3+r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，∵⊙A的半径为3，4＞3，2＞3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．9．解：∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA＝＝，OB＝＝5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．10．解：如图：∵A（1，0），⊙A的半径是2，∴AC＝AE＝2，∴OE＝1，OC＝3，A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在⊙A上，正确，故本选项不合题意；B、当a＝﹣3时，B在⊙A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；C、当a＜﹣1时，AB＞2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；D、当﹣1＜a＜3时，B在⊙A内正确，故本选项不合题意；故选：B．11．解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．12．解：如图所示：连接MN，可得M是AD的中点，N是BE的中点，则MN是梯形ABED的中位线，则MN＝（AB+DE）＝4.5，∵EC＝3，BC＝AD＝4，∴BE＝5，则⊙N的半径为2.5，⊙M的半径为2，则2+2.5＝4.5．故⊙M与⊙N的位置关系是：外切．故选：B．13．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵⊙A、⊙B没有公共点，∴⊙A与⊙B外离或内含，∵⊙B的半径为1，∴若外离，则⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜5﹣1＝4，若内含，则⊙A半径r的取值范围为r＞1+5＝6，∴⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜4或r＞6．故选：D．14．解：∵点P的坐标为（﹣2，3），∴点P到x轴的距离是3，∵2＜3，∴以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离，15．解：如图所示；∵OM平分∠AOD，以点P为圆心的圆与直线AB相离，∴以点P为圆心的圆与直线CD相离，故选：A．二．填空题（共10小题）16．解：由题意可得：边数为360°÷α＝n，则α＝．故答案为α＝．17．解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有r：R＝1：3；又R+r＝4，解，得R＝3，r＝1，∴当它们内切时，圆心距＝3﹣1＝2．故答案为：2．18．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．19．解：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝4，∴AD垂直平分BC，∴圆心O在AD上，连接OB，在Rt△OBC中，∵BD＝4，OB＝5，∴OD＝＝＝3，如图，AD＝OA+OD＝5+3＝8，此时S△ABC＝×8×8＝32；故答案为：32．20．解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；21．解：设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，如图所示：∴∠AOB＝＝30°，∵AD⊥OB，∴AD＝OA＝，∴△AOB的面积＝OB×AD＝×1×＝∴正十二边形的面积＝12×＝3，∴⊙O的面积≈正十二边形的面积＝3，故答案为：3．22．解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，设这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，∴＝2tan36°，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°，故答案为：2tan36°．23．解：正五边形的中心角为：＝72°．故答案为：72°．24．解：过O作OC⊥AB交AB于C点，如右图所示：由垂径定理可知，OC垂直平分AB，则AC＝AB＝3，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∴tan∠OAB＝tan30°＝，∴OC＝AC•tan30°＝3×＝，即圆心O到AB的距离为；故答案为：．25．解：如图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC＝90°，则EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，则点G是AF的中点，∴GF＝AF＝2，∴OG是△AEF的中位线，∴OG＝AE＝1，∴OF＝＝，OD＝＝，∵圆D与圆O有两个公共点，∴﹣＜r＜+，故答案为：﹣＜r＜+．三．解答题（共5小题）26．解：（1）如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H．在Rt△AEH中，，．在⊙A中，AE＝AD＝x，∴，∴；（2）∵，∴可设BC＝4k（k＞0），AB＝5k，则AC＝＝3k．∵AC＝15，∴3k＝15，∴k＝5．∴BC＝20，AB＝25．∵点E是的中点，由题意可知此时点E在边AC上，点F在BC的延长线上，∴∠FAC＝∠BAC．∵∠FCA＝∠BCA＝90°，AC＝AC，∴△FCA≌△BCA（ASA），∴FC＝BC＝20．∵，又∵∠AED＝∠FEC，且∠AED、∠FEC都为锐角，∴tan∠FEC＝2．∴．∴AE＝AC﹣EC＝20﹣10＝5．过点A作AM⊥DE，垂足为M，则．∵，∴．在Rt△EFC中，．∴在Rt△AFM中，．答：∠DFA的余切值为；（3）当点E在AC上时，只有可能∠FAD＝90°．∵FC＝CE•tan∠FEC＝2（15﹣x），∴．∴．∵，又∵∠AED＝∠ADE，且∠AED、∠ADE都为锐角，∴．∴．∴AD＝x＝．∴．当点E在AC的延长线上时，只有可能∠AFD＝90°，此时∠AFC＝∠AEF．∵∠AFC、∠AEF都为锐角，∴tan∠AEF＝tan∠AFC＝2．∵CE＝AE﹣AC＝x﹣15，∴CF＝CE•tan∠AEF＝2（x﹣15）．∴．∴AD＝x＝．∴．综上所述，△AFD为直角三角形时，DE的长为或．27．（1）证明：如图1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵OB＝OA＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，∴∠A＝∠C，∵OB＝OB，∴△OBA≌△OBC（AAS），∴AB＝BC，∴＝．（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．∵OA⊥OB，∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴DN＝OM＝a，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠ABO＝45°，∵OC＝OB，CD＝CB，∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，∴3∠C+90°＝180°，∴∠C＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∵∠DMB＝90°，∴∠MDB＝∠DBM＝45°，∴DM＝BM，∠ODM＝30°，∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，∴＝＝．（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，∵∠A＝∠ABO，∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，∵AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE＝∠CBO，∵∠C＝∠C，∴△OCE∽△BCO，∴＝，∴＝，∴EC2+2EC﹣4＝0，解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BC＝+1．如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，∴EO＝EB＝EC＝OB＝，∴BC＝2，∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为+1或2．28．解：（1）如图1，联结OF，交BC于点H．∵F是中点，∴OF⊥BC，BC＝2BH．∴∠BOF＝∠COF．∵OA＝OF，OC⊥AF，∴∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝＝，∵AB＝6，∴OB＝3，∴BH＝，∴BC＝2BH＝3；（2）如图2，联结BF．∵AF⊥OC，垂足为点＝D，∴AD＝DF．又∵OA＝OB，∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．∴，∴，即，∴，∴y＝．（3）△AOD∽△CDE，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．②当∠DCE＝∠DAO时，联结OF．∵OA＝OF，OB＝OC，∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．∵∠DCE＝∠DAO，∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，∴∠OAF＝30°，∴OD＝．即线段OD的长为．29．解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝AC＝×8＝4，在Rt△OEM中，EM＝＝3，∴EF＝2EM＝6；（2）CM＝BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5，∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE，在Rt△OCM中，OC＝＝4，∴sin∠OCM＝＝＝，∴∠COE的正弦值为．30．解：（1）连接OQ，如图①所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC＝DE，∠ABC＝120°，BE∥CD，∴＝，∠EBC＝∠ABC＝60°，∵点Q是的中点，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠BOQ＝∠EOQ，∵∠BOQ+∠EOQ＝180°，∴∠BOQ＝∠EOQ＝90°．∵BO＝OQ，∴∠OBQ＝∠BQO＝45°，∴∠CBG＝∠EBC﹣∠OBQ＝60°﹣45°＝15°；（2）在BE上截取EM＝HE，连接HM，如图②所示：∵正六边形ABCDEF，直径BE＝8，∴BO＝OE＝BC＝4，∠BCD＝∠FED＝120°，∴∠FEB＝∠FED＝60°，∵EM＝HE，∴△HEM是等边三角形，∴EM＝HE＝HM＝y，∠HME＝60°，∴∠BCD＝∠HMB＝120°，∵∠EBC＝∠GBH＝60°，∴∠EBC﹣∠GBE＝∠GBH﹣∠GBE，即∠GBC＝∠HBE，∴△BCG∽△BMH，∴．又∵CG＝x，BE＝8，CD＝BC＝4，∴，∴y与x的函数关系式为（0＜x＜4）．（3）如图③，当点G在边CD上时．由于△AFH∽△EDG，且∠CDE＝∠AFE＝120°，①当．∵AF＝ED，∴FH＝DG，∴CG＝EH，即：，解分式方程得：x＝4．经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．②当．即：，解分式方程得：x＝12．经检验x＝12是原方程的解，但不符合题意舍去．如图④，当点G在CD的延长线上时．由于△AFH∽△EDG，且∠EDG＝∠AFH＝60°，①当．∵AF＝ED，∴FH＝DG，∴CG＝EH，即：，解分式方程得：x＝4．经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．②当．即：，解分式方程得：x＝12．经检验x＝12是原方程的解，且符合题意．综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．。
2018年上海市金山区中考二模数学
2018 年上海市金山区中考二模数学一、选择题： ( 本大题共 6 题，每题 4 分，满分24 分 ) 【以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应地点上. 】1.以下各数中，相反数等于自己的数是 ( ) A.-1B.0C.1D.2分析：依据相反数的意义，只有符号不一样的数为相反数.相反数等于自己的数是0.答案： B2. 单项式 2a3b 的次数是 ( )A.2B.3C.4D.5分析：依据单项式的性质即可求出答案.该单项式的次数为： 4.答案： C3. 假如将抛物线y=-2x 2向上平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是( )A.y=-2(x+1)22B.y=-2(x-1)2C.y=-2x-1D.y=-2x 2+1分析：直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减从而得出平移后的分析式.2∴平移后的抛物线的分析式为：y=-2x 2+1.答案： D4.假如一组数据 1，2， x， 5，6 的众数为 6，则这组数据的中位数为 ( ) A.1B.2C.5D.6分析：依据众数的定义先求出 x 的值，再把数据按从小到大的次序摆列，找出最中间的数，即可得出答案 .∵数据 1，2， x， 5， 6 的众数为6，∴x=6，把这些数从小到大摆列为：1， 2， 5， 6，6，最中间的数是5，则这组数据的中位数为 5.答案： Cuuur r uuurr uuur r r5. 如图， Y ABCD 中， E 是 BC 的中点，设 AB a ， ADb ，那么向量 AE 用向量 a 、 b 表示为( )r 1 rA. a2 b r 1rB. a2 br 1rC. ab2D. r1rab2分析：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥ BC ，AD=BC ，uuur uuur r ∴ BC AD b ，∵ B E=CE ，uur1r∴ BEb ，2uuur uuuruur uuurr∵ AEAB BE ， ABa ，uuur r 1r∴AE ab .2答案： A6. 如图，∠ AOB=45°， OC 是∠ AOB 的角均分线， PM ⊥ OB ，垂足为点 M ， PN ∥ OB ，PN 与 OA 相交于点 N ，那么PM的值等于 ( )PNA. 12B.223C.23D.3分析：过点 P 作 PE⊥ OA于点 E，依据角均分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再依据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠ AOB，再依据直角三角形解答 .如图，过点P 作 PE⊥ OA于点 E，∵OP是∠ AOB的均分线，∴PE=PM，∵PN∥ OB，∴∠ POM=∠OPN，∴∠ PNE=∠PON+∠ OPN=∠ PON+∠ POM=∠AOB=45°，∴PM2.PN2答案： B二、填空题： ( 本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分 ) 【请直接将结果填入答题纸的相应地点】7.因式分解： a2-a= .分析：直接提取公因式a，从而分解因式得出即可 .a2-a=a(a-1).答案： a(a-1)8. 函数： y= x 2的定义域是.分析：依据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知： x-2 ≥ 0，解得： x≥ 2.答案： {x|x≥ 2}9. 方程x2的解是.x1分析：依据解分式方程的步骤挨次计算可得.分母，得： x=2(x-1)，解得： x=2，当 x=2 时， x-1=1 ≠ 0，因此 x=2 是原分式方程的解.答案： x=210. 函数 y=-x+2 的 象不 第 象限 .分析：∵一次函数 y=-x+2 中 k=-1 ＜ 0，b=2＞ 0，∴此函数的 象 一、二、四象限，不 第三象限 .答案：三11. 有一枚材 平均的正方体骰子，它的六个面上分 有 1 点、 2 点、⋯、 6 点的 ， 一次骰子，向上的一面出 的点数是素数的概率是.分析：∵一枚 地平均的正方体骰子的六个面上分 刻有 1 到 6 的点数， 一次 枚骰子，向上的一面的点数 素数的有 3 种状况， ∴ 一次 枚骰子， 向上的一面的点数 素数的概率是：31 . 62答案：1212. 若对于 x 的一元二次方程 x 2 -4x+m=0 有两个不相等的 数根，m 的取 范 .分析：∵对于 x 的一元二次方程 2有两个不相等的 数根，x -4x+m=0 ∴△ =(-4) 2-4m ＞ 0，解得： m ＜ 4.答案： m ＜ 413. 假如梯形的中位6，一条底8，那么另一条底 等于.分析：依据梯形的中位 定理，得 另一底 =中位 × 2- 一底 =2× 6-8=4.答案： 414. 空气 量指数， 称 AQI ，假如 AQI 在 0～50 空气 量 ，在 51～100 空气 量良，在 101～ 150 空气 量 度 染，依照某市近来一段 的 AQI 画出的数散布直方 如 所示. 已知每日的 AQI 都是整数，那么空气 量 和良的天数占天数的百分比 .分析：空气 量 和良的天数占 天数的百分比10 14× 100%=80%.10 14 6答案： 8015. 一 汽 在坡度 1：2.4 的斜坡上向上行 130 米，那么 汽 的高度上涨了米 .分析：依据坡度的定 能够求得 AC 、 BC 的比 ，依据 AC 、 BC 的比 和 AB 的 度即可求得AC 的 ，即可解.如图， AB=130米tanB=AC=1： 2.4 ，BC设 AC=x ，则 BC=2.4x ，则 x 2+(2.4x) 2=1302，解得 x=50. 答案： 5016. 假如一个正多边形的中心角等于 30°，那么这个正多边形的边数是.分析：依据正 n 边形的中心角的度数为360°÷ n 进行计算即可获得答案.360°÷ 30° =12.故这个正多边形的边数为 12.答案： 1217. 假如两圆的半径之比为 3： 2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆订交时，圆心 距 d 的取值范围是.分析：先依据比率式设两圆半径分别为 3x 、2x ，依据内切时圆心距列出等式求出半径，然后利用订交时圆心距与半径的关系求解 .设两圆半径分别为 3x ， 2x ，由题意，得 3x-2x=3 ，解得 x=3，则两圆半径分别为 9， 6，因此当这两圆订交时，圆心距d 的取值范围是 9-6 ＜ d ＜ 9+6，即 3＜ d ＜ 15. 答案： 3＜ d ＜ 1518. 如图， Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=6，BC=8，D 是 AB 的中点， P 是直线 BC 上一点，把△ BDP 沿 PD 所在的直线翻折后，点 B 落在点 Q 处，假如 QD ⊥ BC ，那么点 P 和点 B 间的距离等于 .分析：在 Rt △ACB 中，依据勾股定理可求 AB 的长，依据折叠的性质可得 QD=BD ， QP=BP ，依据三角形中位线定理可得 DE=1 AC ， BD=1 AB ， BE=1BC ，再在 Rt △ QEP 中，依据勾股定理22 2可求 QP ，既而可求得答案 .在 Rt △ ACB中，∠ C=90°， AC=6， BC=8，AB=2268 =10，由折叠的性质可得QD=BD， QP=BP，又∵ QD⊥ BC，∴DQ∥ AC，∵D 是 AB的中点，∴D E=1AC=3， BD=1AB=5， BE=1BC=4，222①当点 P 在 DE右边时，∴Q E=5-3=2，222在 Rt △ QEP中， QP=(4-BP)+QE，222即 QP=(4-QP)+2 ，解得 QP=2.5，则 BP=2.5.②当点 P 在 DE左边时，同①知，BP=10.综上所述，点P 和点 B 间的距离等于 2.5 或 10.答案： 2.5 或 10三、解答题： ( 本大题共7 题，满分 78 分 )11219. 计算：tan 45 2sin 60122.2分析：直接利用负指数幂的性质以及特别角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案.答案：原式1 3 2 3 4 3 1 23 4 5 33.x y4 20. 解方程组：xy .x28分析：把 x+y=4 变形为用含 x 的代数式表示 y，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出 x 的值，得方程组的解 .x y 4①答案：，x2xy8②由①得， y=4-x ③，把③代入②，得 x2-x(4-x)=8，整理，得 x2-2x-4=0，解得：x1 1 5， x2 15.把 x1 5 代入③，得 y14153 5 ；把 x1 5 代入③，得 y24153 5 ；x115x215因此原方程组的解为：，.y135y23521.如图，在矩形 ABCD中， E 是 BC边上的点， AE=BC， DF⊥ AE，垂足为 F.(1) 求证： AF=BE.分析： (1) 矩形的性质获得 AD=BC， AD∥ BC，获得 AD=AE，∠ DAF=∠ AEB，依据 AAS定理证明△ABE≌△ DFA.答案： (1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC， AD∥ BC，∴A D=AE，∠ DAF=∠ AEB，在△ ABE和△ DFA中DAF AEBAFD EBA ，AD AE∴△ ABE≌△ DFA，∴A F=BE.(2)假如 BE： EC=2：1，求∠ CDF的余切值 ..分析： (2) 依据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可答案： (2) ∵△ ABE≌△ DFA，∴A D=AE，∠ DAF=∠AEB，设 CE=k，∵BE： EC=2： 1，∴ B E=2k ，∴ A D=AE=3k ，∴ ABAE 2BE25k ，∵∠ ADF+∠CDF=90°，∠ ADF+∠ DAF=90°， ∴∠ CDF=∠DAE ， ∴∠ CDF=∠AEB ，∴ cot CDF cot AEBBE 2k 2 5 .AB 5k522. 九年级学生到距离学校 6 千米的百花公园去春游，一部分学生步行前去，20 分钟后另一部分学生骑自行车前去，设x( 分钟 ) 为步行前去的学生走开学校所走的时间，步行学生走的行程为 y 1 千米，骑自行车学生骑行的行程为y 2 千米， y 1、y 2 对于 x 的函数图象如下图.(1) 求 y 2 对于 x 的函数分析式 .分析： (1) 依据函数图象中的数据能够求得 答案： (1) 设 y 2 对于 x 的函数分析式是y 2 对于y 2=kx+b ，x 的函数分析式.20k b 0 k 0.2 40k b，得b，44即 y 2 对于 x 的函数分析式是y 2=0.2x-4.(2) 步行的学生和骑自行车的学生谁先抵达百花公园，先到了几分钟？分析： (2) 依据函数图象中的数据和题意能够分别求得步行学生和骑自行车学生抵达百花公 园的时间，从而能够解答此题 .答案： (2) 由图象可知， 步行的学生的速度为：4÷ 40=0.1 千米 / 分钟，∴步行同学抵达百花公园的时间为： 6÷ 0.1=60( 分钟 ) ，当 y 2=8 时， 6=0.2x-4 ，得 x=50， 60-50=10( 分钟 ) ，答：骑自行车的学生先抵达百花公园，先到了 10分钟.23. 如图，已知订交于点 E ，与AD 是△ ABC 的中线，AB 订交于点 F.M 是AD 的中点，过A 点作AE ∥ BC ，CM 的延伸线与AE(1)求证：四边形 AEBD是平行四边形 .分析：(1) 先判断△ AEM≌△ DCM，可得 AE=CD，再依据 AD是△ ABC的中线，即可获得AD=CD=BD，依照 AE∥ BD，即可得出四边形 AEBD是平行四边形 . 答案： (1) 证明：∵ M是 AD 的中点，∴AM=DM，∵AE∥ BC，∴∠ AEM=∠DCM，又∵∠ AME=∠ DMC，∴△ AEM≌△ DCM，∴AE=CD，又∵ AD是△ ABC的中线，∴AD=CD=BD，又∵ AE∥ BD，∴四边形AEBD是平行四边形 .(2)假如 AC=3AF，求证四边形 AEBD是矩形 .分析： (2)先判断△ AEF∽△ BCF，即可获得AB=3AF，依照 AC=3AF，可得 AB=AC，依据 AD 是△ABC的中线，可得 AD⊥ BC，从而得出四边形AEBD是矩形 .答案： (2)∵ AE∥ BC，∴△ AEF∽△ BCF，∴ AF AE 1，即 BF=2AF，BF BC2∴A B=3AF，又∵ AC=3AF，∴A B=AC，又∵ AD是△ ABC的中线，∴AD⊥ BC，又∵四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是矩形 .24.平面直角坐标系 xOy 中 ( 如图 ) ，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(1 ， 0) 和 B(3 ， 0) ，与 y 轴订交于点C，极点为P.(1)求这条抛物线的表达式和极点P 的坐标 .分析： (1) 利用交点式写出抛物线分析式，把一般式配成极点式获得极点P 的坐标 .答案： (1) 抛物线分析式为y=(x-1)(x-3)，即y=x2-4x+3 ，∵y=(x-2) 2-1 ，∴极点 P 的坐标为 (2 ， -1).(2) 点 E 在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点 E 的坐标 .分析： (2) 设 E(2 ，t) ，依据两点间的距离公式，利用EA=EC获得 (2-1) 2+t 2=22+(t-3)2，而后解方程求出t 即可获得 E 点坐标 .答案： (2) 抛物线的对称轴为直线x=2，设 E(2 ， t) ，∵EA=EC，∴(2-1) 2+t 2=22+(t-3) 2，解得 t=2 ，∴E点坐标为 (2 ， 2).(3)在 (2) 的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点 Q在直线 MN右边的抛物线上，∠ MEQ=∠NEB，求点 Q的坐标 .分析： (3) 直线 x=2 交 x 轴于 F，作 MH⊥直线 x=2 于 H，如图，利用tan ∠ NEB=1获得 tan 222∠MEQ=1，设 Q(m，m-4m+3) ，则 HE=m-4m+1， QH=m-2，再在 Rt △QHE中利用正切的定义得2QH1到 tan ∠ HEQ 2m即可获得 Q点坐标 .HE2，即 m-4m+1=2(m-2) ，而后解方程求出答案： (3) 直线 x=2 交 x 轴于 F，作 MH⊥直线 x=2 于 H，如图，∵∠ MEQ=∠NEB，而 tan ∠ NEB BF 1 ，1EF2，∴tan ∠ MEQ=2222设 Q(m， m-4m+3) ，则 HE=m-4m+3-2=m -4m+1， QH=m-2，在 Rt △ QHE中， tan ∠HEQ QH 1 ，HE2∴m2-4m+1=2(m-2) ，2整理得 m-6m+5=0，解得 m1=1( 舍去 ) ， m2=5，25. 如图，已知在梯形ABCD中， AD∥ BC， AB=DC=AD=5， sinB= 3， P 是线段 BC上一点，以P5为圆心， PA为半径的⊙ P 与射线 AD的另一个交点为 Q，射线 PQ与射线 CD订交于点 E，设BP=x.(1) 求证：△ ABP∽△ ECP.分析： (1) 想方法证明∠B=∠C，∠ APB=∠ EPC即可解决问题 .答案： (1) 证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ B=∠ C，∵PA=PQ，∴∠ PAQ=∠PQA，∵AD∥ BC，∴∠ PAQ=∠APB，∠ PQA=∠ EPC，∴∠ APB=∠EPC，∴△ ABP∽△ ECP.(2)假如点 Q在线段 AD上 ( 与点 A、D不重合 ) ，设△ APQ的面积为 y，求 y 对于 x 的函数关系式，并写出定义域 .分析： (2) 作 AM⊥ BC于 M，PN⊥ AD于 N.则四边形 AMPN是矩形 . 想方法求出 AQ、PN的长即可解决问题 .答案： (2) 作 AM⊥ BC于 M， PN⊥AD于 N.则四边形A MPN是矩形 .在 Rt △ ABM中，∵ sinB AM 3，AB=5，AB5∴A M=3， BM=4，∴PM=AN=x-4， AM=PN=3，∵PA=PQ， PN⊥ AQ，∴A Q=2AN=2(x-4) ，∴y= 1· AQ·PN=3x-12(4 ＜ x＜6.5). 2(3)假如△ QED与△ QAP相像，求 BP的长 .分析： (3) 由于 DQ∥ PC，因此△ EDQ∽△ ECP，又△ ABP∽△ ECP，推出△ EDQ∽△ ABP，推出△ ABP相像△ AQP时，△ QED与△ QAP相像，分两种情况议论即可解决问题；答案： (3) ∵ DQ∥ PC，∴△ EDQ∽△ ECP，∵△ ABP∽△ ECP，∴△ EDQ∽△ ABP，∴△ ABP相像△ AQP时，△ QED与△ QAP相像，∵PQ=PA，∠ APB=∠ PAQ，∴当 BA=BP时，△ BAP∽△ PAQ，此时 BP=AB=5，当 AB=AP时，△ APB∽△ PAQ，此时 PB=2BM=8，综上所述，当 PB=5或 8 时，△ QED与△ QAP相像 .。
2018届中考数学上海市各区二模试卷专题汇编七【二次函数题】含答案解析
2018届中考数学上海市各区二模试卷 专题汇编七【二次函数题】宝山区、嘉定区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知平面直角坐标系（如图7），直线的经过点和点.（1）求、的值；（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值； （3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.24.解：（1） ∵直线的经过点∴……………………1分∴………………………………1分∵直线的经过点∴……………………1分xOy mx y +=)0,4(-A )3,(n B m n c bx x y ++=2A B P ABP ∠sin Q mx y +=mx y +=y D DOB AQO ∠=∠Q mx y +=)0,4(-A 04=+-m 4=m mx y +=)3,(n B 34=+n 图7∴…………………………………………1分 （2）由可知点的坐标为∵抛物线经过点、 ∴∴，∴抛物线的表达式为…………………1分 ∴抛物线的顶点坐标为……………1分∴,,∴∴……………………………………1分∴∴…………………………………………1分（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴∵, ∴△∽△1-=n B )3,1(-c bx x y ++=2A B ⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b 6=b 8=c c bx x y ++=2862++=x x y 862++=x x y )1,3(--P 23=AB 2=AP 52=PB 222PB BP AB =+︒=∠90PAB PB AP ABP =∠sin 1010sin =∠ABP Q x QH ⊥H QH y DOB AQO ∠=∠QBO OBD ∠=∠OBD QBO∴……………1分 ∵直线与轴的交点为点∴点的坐标为, 又，∴，……………1分 ∵∴, ∵∥轴∴∴∴ ……………………………………1分 即点的纵坐标是 又点在直线上 点的坐标为……………1分 长宁区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）OB DBQB OB =4+=x y y D D )4,0(4=OD 10=OB 2=DB 25=QB 24=DQ 23=AB 28=AQ 24=DQ QH y AQ ADQH OD =28244=QH 8=QH Q 8Q 4+=x y Q )8,4(如图在直角坐标平面内，抛物线与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线上 ∴，解得 （ 2分）32-+=bx ax y ACD ∆32-+=bx ax y ⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ⎩⎨⎧-==21ba 备用图第24题图∴抛物线的表达式为，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴，，∴ ∴ （ 2分）∴（1分）（3）∵，， ∴△CAD ∽△AOB ，∴∵OA=OC ， ∴∴，即 （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是，设（） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则，①当时,由得，∴，解得， ∴（2分） ②当时,由得，322--=x x y 23=AC 52=CD 2=AD 222AD AC CD +=︒=∠90CAD .32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD ︒=∠=∠90AOB CAD 2==AO ACBO AD OAB ACD ∠=∠︒=∠90AOC ︒=∠=∠45OCA OAC ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠BCD BAC ∠=∠POC ∆62-=x y )62,(-t t P 30<<t t OH =t PH 26-=ABC POC ∠=∠ABC POC ∠=∠tan tan BO AOOH PH =326=-t t 56=t )518,56(1-P ACB POC ∠=∠145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 1=OH PH∴，解得，∴ （ 2分） 综上得或 崇明区24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分） 已知抛物线经过点、、．（1）求抛物线的解析式； （2）联结AC 、BC 、AB ，求的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P 的坐标．126=-t t2=t )2,2(2-P )518,56(1-P )2,2(2-P24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次函数的解析式为，………………………1分将（,）、（，）、（,）代入，得解得………2分所以，这个二次函数的解析式为……………………………1分（2）∵（,）、（，）、（,）∴，，∴∴………………………………………………………2分∴……………………………………………2分（3）过点P作，垂足为H设，则∵（,）∴，∵∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：1°则即∴解得………………………1分∴点的坐标为……………………………………………………1分2°则即∴解得…………………………1分∴点的坐标为……………………………………………………1分奉贤区24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系（如图8），抛物线为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．（1）当点C（0，3）时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；②求证：∠DCE=∠BCE；（2）当CB平分∠DCO时，求的值．黄浦区24．（本题满分12分）已知抛物线经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相 似，求点P 的坐标.24. 解：（1）由题意得：，———————————————————（2分） 解得：，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为. ——————————————（1分） （2）由（1）得D （2，﹣1），———————————————————（1分） 作DT ⊥y 轴于点T,则△ABD 的面积=.————————（3分）2y x bx c =++013b cc =++⎧⎨=⎩43b c =-⎧⎨=⎩243y x x =-+()11124131211222⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=（3）令P.————————————————（1分）由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，所以或，————————————（2分） 解得：或，所以点P 的坐标为（5,8），.————————————————（1分）金山区24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线经过点A （1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA=EC ， 求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为 直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线 上，∠MEQ=∠NEB ，求点Q 的坐标．()()2,432p pp p -+>243132p p p -++=-2431123p p p -++=-5p =73p =78,39⎛⎫- ⎪⎝⎭2y x bx c =++24．解：（1）∵二次函数的图像经过点A （1，0）和B （3，0），∴，解得：，．……………………………（2分）∴这条抛物线的表达式是…………………………………（1分） 顶点P 的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）（2）抛物线的对称轴是直线，设点E 的坐标是（2，m ）．…（1分）根据题意得：m=2，…（2分）∴点E 的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分）（3）解法一：设点Q 的坐标为，记MN 与x 轴相交于点F ． 作QD ⊥MN ，垂足为D ，则，………………………（1分） ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，…………………（1分）∴，∴，解得（不合题意，舍去），．……………………………（1分） ∴，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分） 解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，2y x bx c =++10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩4b =-3c =243y x x =-+243y x x =-+2x ==2(,43)t t t -+2DQ t =-2243241DE t t t t =-+-=-+DQ DEBF EF =224112t t t --+=11t =25t =5t =∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ，又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，………………………………（1分）点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为， 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH=，OH=t ，AH=t-1，∵EF ⊥x 轴，∴EF ∥QH ，∴，∴，………（1分）解得（不合题意，舍去），．……………………………………（1分） ∴，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分） 静安区24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点B （8,0）和点C （9，）．抛物线（a ，c 是常数，a ≠0）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ．对称轴上有一点M ，满足MA=MC ． （1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM 的面积；（3） 如果坐标系内有一点D ，满足四边形ABCD且AD//BC ，求点D 的坐标．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4解：（1）由题意得：抛物线对称轴，即． …………（1分）点B （8,0）关于对称轴的对称点为点A （0,0）∴， …………（1分）2(,43)t t t -+243t t -+EF AF QH AH =221431t t t =-+-11t =25t =5t =3-c ax ax y +-=82a ax 28-=4=x 0=c将C （9，-3）代入，得…………………………（1分）∴抛物线的表达式：…………………………（1分） （2）∵点M 在对称轴上，∴可设M （4，y ）又∵MA=MC ，即∴, 解得y=-3, ∴M （4，-3） …………………（2分）∵MC//AB 且MC ≠AB, ∴四边形ABCM 为梯形，, AB=8,MC=5,AB 边上的高h = yM = 3∴(3) 将点B （8,0）和点C （9，﹣3）代入可得，解得 由题意得，∵AD//BC,∴，…（1分）又∵AD 过（0,0），DC=AB=8， 设D(x,-3x), …………………………（1分）解得(不合题意，舍去)，…………………………（1分）∴∴点D 的坐标．……………………（1分）axax y 82-=31-=a xx y 38312+-=22MC MA =2222)3(54++=+y y 2393)58(21)(21=⨯+⨯=⨯+=MH MC AB S bkx y BC +=⎩⎨⎧-=+=+3908b k b k ⎩⎨⎧=-=243b k 3-=BC k 3-=AD k x y AD 3-=2228)33()9(=+-+-x x 11=x 5132=x 5393-=-=x y )539,513(-闵行区24．（本题满分12分，其中每小题各4分） 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为 底的等腰三角形，求Q 点的坐标．24．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入中，得，解得．……………………………………（2分）∴抛物线的解析式是：．……………………………（1分）∴顶点坐标D （－1，4）．……………………………………………（1分）（2）令，则，，，∴A （－3，0）∴，∴∠CAO=∠OCA ．…………………………………（1分）22y ax x c=-+22y ax x c=-+9603a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩223y x x =--+0y =2230x x --+=13x =-21x =3OA OC ==（第24题图）在中，．………………………………（1分）∵，，，∴，；∴，是直角三角形且，∴，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC=∠OCB ．…………………（1分） ∴，即．……………………………………………………（1分）（3）令，且满足，,0)，，4）∵是以AD 为底的等腰三角形，∴，即，化简得：．………………………………………………（1分）由，……………………………………………………（1分）解得，．Rt BOC ∆1tan 3OB OCB OC ∠==AC=DC=AD =2220AC DC +=220AD =222AC DC AD +=ACD ∆90ACD ∠=1tan 3DC DAC AC ∠==DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠DAB ACB ∠=∠(Q x )y 223y x x =--+(3A -(1D -ADQ ∆22QD QA =2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-220x y -+=222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点Q 的坐标是，．…（2分） 普陀区24．（本题满分12分） 如图10，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．（1）求和的值；（2）点是轴上一点，且以点、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上．如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由． 24．解：（1） 由直线经过点，可得. （1分）由抛物线的对称轴是直线，可得. （1分）⎝⎭⎝⎭图10 xy1 1O∵直线与轴、轴分别相交于点、，∴点的坐标是，点的坐标是. （2分）∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是. （1分）∵点是轴上一点，∴设点的坐标是.∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，，∴△BCG 与△相似有两种可能情况： （1分）①如果，那么，解得，∴点的坐标是. （1分）②如果，那么，解得，∴点的坐标是. （1分）综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和 ．（3）点的坐标是或. （2分+2分）青浦区24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处．23y ax bx =++2x =（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．24．解：（1）∵顶点C 在直线上，∴，∴． （1分）将A （3，0）代入，得， （1分）解得，． （1分）∴抛物线的解析式为． （1分）（2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵=，∴C （2，）． （1分）∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°， ∴．（1分）∵抛物线与y 轴交于点B ，∴B （0，），∴．（1分）2x =22=-=bx a 4=-b a 23y ax bx =++933=0++a b 1=a 4=-b 243=-+y x x 243=-+y x x ()221=--x 1-1==CM MA 3==OD OA 243=-+y x x 36=BD∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积，∴． （1分）（3）联结CE.∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点， 即 .（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作，交轴于点，设点，在中，，即，解得 ，∴点 （1分）同理，得点（1分）（ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点、，可得、（2分）综上所述：满足条件的点有，，），．松江区24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，已知抛物线y=ax2+bx 的顶点为C （1，），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A ． （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 坐标．12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN BCDE O CE BD OE OC ==1CF CE⊥x 1F 1F a （,0）1Rt OCF 22211=OF OC CF +22(2)5a a =-+52a =152F （,0）252F （-,0）O OC x 3F 4F 34=OF OF OC ==3F ）4F （）152F （,0）252F （-,0）3F ）4F （）1-24．（本题满分12分，每小题各4分） 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx 的顶点为C （1，） ∴ .......................................2分 解得： .......................................1分 ∴抛物线的表达式为：y=x2-2x ； (1)（2）∵点P 的横坐标为m ，∴P 的纵坐标为：m2-2m……………………………1分令BC 与x 轴交点为M ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点，∴PN= m2-2m ，ON=m ，O M=1由得………………………1分∴ BM=m-2…………………………………………………1分∵ 点C 的坐标为（1，），∴ BC= m-2+1=m-1………………………………………1分（3）令P(t ，t2-2t) ………………………………………………1分△ABP 的面积等于△ABC 的面积∴AC=AP1-112a b b a +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩12a b =⎧⎨=-⎩PN BM ON OM =221m m BMm -=1-(第24题图)过点P 作PQ ⊥BC 交BC 于点Q∴CM=MQ=1∴t2-2t=1 …………………………………………………1分∴（舍去）………………………………1分∴ P 的坐标为（）……………………………………1分徐汇区24. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线过点、，且与轴交于另一个点.（1）求该抛物线的表达式；（2）点是线段上一点，过点作直线∥轴交该抛物线于点，当四边形是平行四边形时，求它的面积；（3）联结，设点是该抛物线上的一点，且满足，求点的坐标.1t =1t =1122y x =-+x y B C 212y x bx c=-++B C x A M BC M l y N OMNC AC D DBA CAO ∠=∠D杨浦区24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系中，抛物线于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。
2018年上海市中考数学模拟试题及参考答案
2018年上海市中考数学模拟试题及参考答案1.22的相反数是-22，所以22的相反数是-2，选项A正确。
2.将5550用科学记数法表示为5.55×10^3，选项C正确。
3.当y=(k-2)x+k不经过第三象限时，即当k-2>0时，k>2.同时，为了避免函数经过第三象限，k不能等于2，所以k的取值范围是k>2或k<2，即选项B正确。
4.首先将成绩从小到大排列：10.06秒，10.06秒，10.10秒，10.19秒，9.99秒。
众数是出现次数最多的数，这里是10.06秒，中位数是所有数从小到大排列后中间的数，这里是10.06秒，所以选项A正确。
5.图形B和图形D是轴对称图形，但是图形D没有完整的轴对称线，所以选项B正确。
6.如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形，因为矩形的每个角都是直角，所以四个角的平分线相交于矩形的中心，能围成一个四边形。
选项B正确。
7.6m^6÷（-2m^2）^3=6m^6÷(-8m^6)=-3/4.8.不等式组的解为{x|x3}，因为x=1和x=3时，分母为0，所以无解。
所以m的取值范围是m3.9.(1+√3)/(1-√3)×(1-√3)/(1-√3)=(1+√3)/(1-3)=-1/(2-√3)。
10.反比例函数y=k/x满足y随着x的增大而减小，因为k是正数，所以k的取值范围是k>0.一个满足条件的反比例函数解析式可以是y=1/x。
11.根据扇形ABC的面积和∠BAC的大小，可以求出扇形的半径r=10cm。
根据BD=2AD，可以求出AD=r/3.所以BD=2AD=2r/3=20/3 cm。
12.投掷正四面体两次，总共有4×4=16种可能的结果。
其中，第一次底面上的数字为2时，第二次底面上的数字只能是2或4，共有2种情况；第一次底面上的数字为3时，第二次底面上的数字只能是3，共有1种情况；第一次底面上的数字为4时，第二次底面上的数字可以是2或4，共有2种情况；第一次底面上的数字为5时，第二次底面上的数字只能是5，共有1种情况。
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编二次函数专题
上海市各区 2018 届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题宝山区、嘉定区24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）x m A(4,0) 已知平面直角坐标系 xOy （如图 7），直线 y （1）求m 、 n 的值； 的经过点 和点 B(n ,3) . xbx c经过点 A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求s i n ABP 的（2）如果抛物线y 值；2 x m y x m y （3）设点Q 在直线 y 上，且在第一象限内，直线 与 轴的交点为点 D ，y如果AQ O DO B，求点Q 的坐标.Ox图 7x mA(4,0) 的经过点 24.解：（1） ∵直线 y ∴4 m 0……………………1 分 ∴ m ∵直线 y 4………………………………1 分 x m 的经过点 B(n ,3)∴ n4 3……………………1 分 ∴ n1…………………………………………1 分 （2）由可知点 B 的坐标为(1,3)xbx c ∵抛物线 y 经过点 A 、 B 2 16 4b c 0∴1 b c 3 6 c 8∴b ， xbx c y x 6x 8 ∴抛物线 y ∴抛物线 y 的表达式为 …………………1 分 2 2 x6x 8 P(3,1) 的顶点坐标为 ……………1 分 2 3 2 AP 2 PB 2 5 ∴ AB ∴ AB , , BP PB 22 2PAB 90 ∴ ……………………………………1 分APABP∴s in PB 10ABP ∴s in …………………………………………1 分10x H （3）过点Q 作Q H 轴，垂足为点 ，则Q H ∥ y 轴AQ O DOB OB D QBO ∵ , ∴△OB D ∽△Q B O O B D BQ B O B∴ ……………1 分 x 4 y ∵直线 y 与 轴的交点为点 D 4∴点 D 的坐标为(0,4) ,O D 10 DB 2，又O B ∴QB 5 2 D Q 4 2 ，……………1 分3 2∵ AB ∴ A Q 8 2 D Q 4 2 , ∵Q H ∥ y 轴O D A DQ H A Q∴∴4 4 28 2Q H 8 ∴Q H ……………………………………1 分 即点Q 的纵坐标是8x 4 又点Q 在直线 y 上点Q 的坐标为(4,8) ……………1 分长宁区24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 5 分）ax bx 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴分别交于点如图在直角坐标平面内，抛物线 y 2 B （-1，0）、点 C （3，0），点 D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）联结 AD 、DC ，求AC D 的面积；（3）点 P 在直线 DC 上，联结 OP ，若以 O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点 P 的坐标．备用图第24 题图24.（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 5 分）y axbx 3 上解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线 2 a b 3 09a 3b 3 0，解得 b 2a 1∴ （ 2分）（ 2分）y x 2x 3 ，顶点D 的坐标是（1，-4）∴抛物线的表达式为2 AC3 2 CD 2 5 AD 2（2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴ ， ，∴CD∴SAC AD2∴ CAD90 （ 2分） （1 分）22 1 2 12AC AD 3 2 2 3.ACDADBOOAB OACACAOCADAOB 90 ACD（3）∵ ， 2，∴△CAD ∽△AOB ，∴ ∵OA =OC ， AOC 90 OCA 45BAC ∴ OACOAB OCA ACD BCD∴ ，即 （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 POC 则 也为锐角三角形，点P 在第四象限（由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是y 2x 6，设P(t ,2t 6) 0 t 3 ）OH t PH 6 2t ， 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则PH OH AO BOPOC ABC 时,由tan POC tan ABC①当 得， 6 2t 6 5 6 183，解得 t ， ∴ P ( , ) （2 分）∴t 5 51②当PO C AC B时,由 t an PO C tan ACB tan 45 1P H 得 O H1，6 2t 1，解得t 2 ，∴ P (2,2) 2 （ 2分）∴t6 18) P (2,2)综上得 P ( , 或 1 5 52 崇明区24．（本题满分 12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各 4分）已知抛物线经过点 、 B(4,1) 、C (3, 0) ． A(0, 3) （1）求抛物线的解析式；（2）联结 AC 、BC 、AB ，求BAC 的正切值；（3）点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作 交 y 轴于点 ，当点GP GAPG 在点 A 的上方，且 △AP G 与△ABC 相似时，求点 P 的坐标．yABxOC（第 24 题图）24．（本题满分 12分，每小题 4分）axbx c (a 0) 解：（1）设所求二次函数的解析式为 y 2 ，………………………1分 16a 4b c 1,3b c 0,将 A （0 ,3）、 B （ 4 ，）、C （3,0 ）代入，得 9a c 3.12 a5 2 解得b………2分 c 31 5 x x 3 所以，这个二次函数的解析式为 y2 ……………………………1分2 20 3C 3 0（2）∵ A （ , ）、 B （ ，）、（ , ）43 2 BC 22 5 ， ， AB∴ AC ∴ AC BC AB 22 2 ∴∠ACB90………………………………………………………2 分B CA C 2 1 ∴tan∠BA C……………………………………………2 分 3 2 3（3）过点 P 作 PH⊥y 轴，垂足为 H1 5 1 5 P (x , x x 3) H (0, x x 3) 设2 ，则 2 2 2 2 20 3∵ A （ , ）1 5x x ， P H x∴ A H 2 2 2 ∵∠ACB∠APG 90∴当△APG 与△ABC 相似时，存在以下两种可能： 13∠PA G ∠CAB∠ ∠ 则tan PA G tan CAB 1° P H 1 1 xx11即 ∴解得………………………1 分1 2 5 A H 3 3 x x2 2 ∴点 P 的坐标为(11,36)……………………………………………………1 分∠PA G ∠ABC 则tan ∠PA Gt an ∠AB C 32° P Hx 173 3解得 x 即∴ …………………………1 分1 2 5 A H 3xx 2 2 17 44( , ) 3 9P ∴点 的坐标为 ……………………………………………………1 分 奉贤区24．（本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）已知平面直角坐标系 （如图 8），抛物线 y x 2mx 3m (m 0) 与 x 轴交于点xOy 2 2 yA、B（点A在点B左侧），与轴交于点C，顶点为D，对称轴y为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结D C、BC．（1）当点C（0，3）时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；②求证：∠DCE=∠BCE；（2）当CB平分∠DCO时，求的值．m黄浦区24．（本题满分12分）x bx c已知抛物线y经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.2（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相似，求点P的坐标.01b c24.解：（1）由题意得：，———————————————————（2分）3cb 4解得：，—————————————————————————（1分）3cx 4x 3所以抛物线的表达式为y.——————————————（1分）2（2）由（1）得D（2，﹣1），———————————————————（1分）作DT⊥y轴于点T,12112则△ABD的面积=24131211.————————（3分）p 2.————————————————（1分）由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，24p 3（3）令P p,p2p 4p 31p 4p 31122所以3或，————————————（2分）p 2p 2375p或解得：p，378所以点P 的坐标为（5,8），,.————————————————（1分）39金山区24．（本题满分12分，每小题4分）x bx c平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线y经过点A（1,0）和B（3,0），2与y轴相交于点C，顶点为P．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．图8的图像经过点A （1，0）和B（3，0），x bx c24．解：（1）∵二次函数y 2b c104c 3，∴，解得：b ．……………………………（2分）93b c0x4x3∴这条抛物线的表达式是y…………………………………（1分）2顶点P 的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）x4x3的对称轴是直线x2，设点E的坐标是（2，m）．…（1分）（2）抛物线y根据题意得：(2∴点E 的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分）21)(m 0)(20)(m3)，解得：m=2，…（2分）22224t3)（3）解法一：设点Q的坐标为(t,t，记MN与x轴相交于点F．2作QD⊥MN，垂足为D，t2DE t4t32t4t1………………………（1分）则D Q，22∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，…………………（1分）t2t 24t1D E∴，∴，12BF EF解得t 1（不合题意，舍去），t5．……………………………（1分）125∴t，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，∵AE=BE，EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，………………………………（1分）4t3)点Q是所求的点，设点Q的坐标为(t,t，24t3作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=t2，OH=t，AH=t-1，21EF AF∵EF⊥x轴，∴EF ∥QH，∴，∴，………（1分）t 24t3t1Q H A H解得t 1（不合题意，舍去），t5．……………………………………（1分）125∴t，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）静安区24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，3）．抛物线y ax8ax c2（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足yMA=MC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标．O xB·C24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）第24题图8a2ax 4 0 解：（1）由题意得：抛物线对称轴 ，即 x ． …………（1分）， …………（1分） 点 B （8,0）关于对称轴的对称点为点 A （0,0）∴c 1ax8ax a 将 C （9，-3）代入 y 2 ，得 …………………………（1分） …………………………（1分）3 1 8 x x ∴抛物线的表达式： y 2 3 3（2）∵点 M 在对称轴上，∴可设 M （4，y ） MC 又∵MA =MC ，即 M A 2 2 y 5 (y 3) ∴ 42, 解得 y =-3, ∴M （4，-3） …………………（2分）2 2 2 ∵MC //AB 且 MC ≠AB , ∴四边形 ABCM 为梯形，,yAB =8,MC =5,AB 边上的高 h = y = 3 M1 1 392(AB M C) M H(8 5)3 ∴ S …………（2分）2 2 kx b (3) 将点 B （8,0）和点 C （9，﹣3）代入 y可得B CO x8k b 0 k 3 BA9k b 3，解得b 24C M3 k3 y3x…（1分）A D由题意得，∵AD //BC , k∴ ， B CA D又∵AD 过（0,0），DC =AB =8，9)(3x 3) 8 设 D (x ,-3x ) (x , …………………………（1分） …………………………（1分） 2 2 2 135解得 x1(不合题意，舍去)， x1239 5 13 39( , )．……………………（1分）3x ∴ y ∴点 D 的坐标 5 5 闵行区24．（本题满分 12分，其中每小题各 4分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax 2x c 与 x 轴交于 2 点 A 和点 B （1，0），与 y 轴相交于点 C （0，3）．yD（1）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点 Q 在抛物线上，且△ADQ 是以 AD 为 底的等腰三角形，求 Q 点的坐标．24．解：（1）把 B （1，0）和 C （0，3）代入 y ax 2xc 中， 2 9 6 0 1 a c a得 ，解得 ．……………………………………（2 分）c 3 c 3∴抛物线的解析式是： y x 2x 3 ．……………………………（1 分） 2 ∴顶点坐标 D （－1，4）．……………………………………………（1 分） （2）令 y 0 ，则 x 2x 3 0 ， ， ，∴A （－3，0）x 1x 3 2 1 2 ∴O A OC 3 ，∴∠CAO =∠OCA ．…………………………………（1 分）1t an O CB 在 Rt B O C中， ．………………………………（1 分）O C 3 ∵ A C 3 2 ， D C 2 ， A D 2 5 ， ∴ AC DC 20 ， A D 20 ；2 2 2 ∴ AC DC AD ， AC D 是直角三角形且ACD 90 ，2 2 2 D C 1∴ t an DA C，A C 3 又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ．…………………（1 分） ∴ DA C CA O BC O OCA ，即 DAB ACB ．……………………………………………………（1 分） （3）令Q(x ， 且满足 y x 2x 3 ， ,0)， D(1，4）y) A( 32 ∵ AD Q 是以 AD 为底的等腰三角形，∴Q D QA ，即(x 3) y (x 1) (y 4) ，2 2 2 2 2 2 化简得： ．………………………………………………（1 分） ，……………………………………………………（1 分）x 2 2y 0 x 2 2y 0由 y x 2 2x 33 413 41 x 2 x4 11 41 8 4 11 41 8 1 解得 ， ． ，y y 213 41 11 41 3 41 11 41 ∴点 Q 的坐标是 ．…（2 分） , ,4 8 4 8普陀区24．（本题满分 12 分）如图 10，在平面直角坐标系 中，直线 与 x 轴、 轴分别相交于点 、 ，y kx 3 y A BxOy 1 7 C 2,2 并与抛物线 y x bx 的对称轴交于点 ，抛物线的顶点是点 ． D2 4 2 （1）求k 和b 的值； （2）点G 是 轴上一点，且以点 、C 、G 为顶点的三角形与△BC D 相似，求点G 的坐 y B 标；（3）在抛物线上是否存在点 ：它关于直线 的对称点 恰好在 轴上．如果存在，直FE AB y 接写出点 的坐标，如果不存在，试说明理由．Ex图 1024．解：C 2,2 1（1） 由直线 经过点y kx 3，可得 k. ··········· （1 分） 21 7 由抛物线 y x bx 的对称轴是直线 ，可得 . ····· （1 分） x2 b 1 2 4 2 1（2） ∵直线 y x 3与 x 轴、 轴分别相交于点 、 ，A By 2 6,0 0,3 ∴点 的坐标是 A ，点 的坐标是 B. ············ （2 分）9∵抛物线的顶点是点 ，∴点 的坐标是 2, . ·········· （1 分）D D 20,m∵点G 是 轴上一点，∴设点G 的坐标是.y ∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，GB C BCD ，∴△BCG 与△ 相似有两种可能情况： ·············· （1 分） B C D 3 m5 B G B C0,1 ＝ C B C D ＝ ＝ ，∴点 的坐标是 ①如果 ，那么 ，那么，解得 ，解得 . （1 分） m 1G 5 2 53 m5 B G B C m ＝1 1 ＝ C D C B ＝ 0, ②如果 ，∴点 的坐标是 G .（1 分） 5 22 2 51 和 0, 0,1综上所述，符合要求的点G 有两个，其坐标分别是．299 （3）点 的坐标是 1,或 2, .················· （2 分+2 分） E 42青浦区24.（本题满分 12 分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题 4 分）y ax 2 b x 3 已知：如图 8，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的图像与 x 轴交于 点2上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶A （3，0），与 y 轴交于点B ，顶点C 在直线 x点 C 恰好落在 y 轴上的点 D 处时，点 B 落在点 E 处． （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段 BC 所扫过的面积；（3）已知点 F 在 x 轴上，点 G 在坐标平面内，且以点 C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形， 求点 F 的坐标．yy ．BBOA xOA x图 8备用图b24．解：（1）∵顶点 C 在直线 x 2上，∴ x 2a2 ，∴b 4a ． ····· （1 分）y ax bx 3 9a3b 3=0，······ （1 分） 将 A （3，0）代入 ，得 2 1 b 4，解得a ． ···················· （1 分） y x 4x 3 ∴抛物线的解析式为 ． ············· （1 分） 2（2）过点 C 作 CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为 M 、N ．y x 4x 3 x 2 1 2 1 ∵ = ，∴C （2， ）． ········ （1 分）2∵C M∴O D MA 1，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°， OA 3 ． ······················ （1 分）y x 4x 3 y ∵抛物线 与 轴交于点 ，∴B （0， ）， B 23 ∴ B D6． ······················· （1 分） ∵抛物线在平移的过程中，线段 BC 所扫过的面积为平行四边形 BCDE 的面积，1S 2S2 BD CN 62 12 ∴ ． ······· （1 分）2B C D EB C D（3）联结 CE .∵四边形 BC D E 是平行四边形，∴点O 是对角线C E 与 的交点， B D OC 5 即 OE .（i ）当 CE 为矩形的一边时，过点 C 作CFCE ，交 轴于点 ，xF 11（a,0），在 Rt O C F 中，OF=O C CF 设点 F ， 2 2 2 1 1 1 1 5 25(a 2) 5 a F （ ,0） 1 即 a 2 ，解得 ，∴点 ·········· （1 分）2 2 5 （- ,0） 2 同理，得点 F ······················ （1 分） 2（ii ）当 CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，O C 长为半径画弧分别交 轴于点 x F 、 F ，可得 O F =O FO C 5 ，得点 F （ 5,0）、 F （- 5,0）· （2 分）343 4345 5（ ,0） （- ,0） （ 5,0） （- 5,0 ） ， F ．综上所述：满足条件的点有F ， F ）， F 2 2 1 2 3 4 松江区24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分）如图，已知抛物线 y=ax +bx 的顶点为 C （1， ），P 是抛物线上位于第一象限内的一 1 2 点，直线 OP 交该抛物线对称轴于点 B ，直线 CP 交 x 轴于点 A ． （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点 P 的横坐标为 m ，试用 m 的代数式表示线段 BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点 P 坐标．yPBOAxC24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分）解：（1）∵抛物线 y=ax +bx 的顶点为 C （1， ）1 y2 a b 1P∴ …………………………………2 分b1 2aBOAxa 1 解得：…………………………………1分2b ∴抛物线的表达式为：y=x-2x ；…………………………1分 2 （2）∵点P 的横坐标为m ，∴P 的纵坐标为：m -2m ……………………………1分 2 令BC 与x 轴交点为M ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴PN = m -2m ，ON =m ，O M =12 P NB Mm 2 2m B M得O N O M由 ………………………1分 m 1 ∴ BM =m -2…………………………………………………1分 ∵ 点C 的坐标为（1， ），1 ∴ BC= m -2+1=m -1………………………………………1分（3）令P (t ，t -2t ) ………………………………………………1分 2 △ABP 的面积等于△ABC 的面积 ∴AC =AP过点P 作PQ ⊥BC 交BC 于点Q ∴CM =MQ =1 ∴t -2t =1…………………………………………………1分2 t 1 2 t 1 2 ∴（ 舍去）………………………………1分 ∴ P 的坐标为（1 2,1）……………………………………1分徐汇区1 1x 2 x y x b x c 24. 如图，已知直线y 与轴、 轴分别交于点B 、C ，抛物线 y2 2 2 过点B 、C ，且与x 轴交于另一个点A .（1）求该抛物线的表达式；（2）点M 是线段B C 上一点，过点M 作直线 ∥ 轴yl 交该抛物线于点N ，当四边形O M N C 是平行四边形时， 求它的面积；（3）联结AC ，设点D 是该抛物线上的一点，且满足DBA CA O ，求点D 的坐标.杨浦区24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系中，抛物线于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。