浙江省2017年中考数学真题分类汇编----圆
浙江省2017年中考数学真题分类汇编----圆 2017年浙江中考真题分类汇编（数学）：专题11 圆 一、单选题 1、（2017·金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ )
A、10cm B、16cm C、24cm D、26cm 2、（2017•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为 （ ） A、 B、 C、 D、 3、（2017·丽水）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、 4、（2017·衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、 二、填空题 5、（2017•杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=________．
6、（2017•湖州）如图，已知在 中， ．以 为直径作半圆 ，交 于点 ．若 ，则 的度数是________度．
7、（2017·台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，则 弧BC的长为________cm（结果保留 ）
8、（2017•绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交 于点D，E.则∠DOE的度数为________. 9、（2017·嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为 的 ， ，弓形 （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________．
10、（2017•湖州）如图，已知 ，在射线 上取点 ，以 为圆心的圆与 相切；在射线 上取点 ，以 为圆心， 为半径的圆与 相切；在射线 上取点 ，以 为圆心， 为半径的圆与 相切； ；在射线 上取点 ，以 为圆心， 为半径的圆与 相切．若 的半径为 ，则 的半径长是________． 11、（2017·衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线 上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________
三、解答题 12、（2017•湖州）如图， 为 的直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点 ，交 于点 ．已知 ， ．
(1)求 的长； (2)求图中阴影部分的面积． 13、（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外 接圆⊙O的直径 (1)求证：△APE是等腰直角三角形； (2)若⊙O的直径为2，求 的值 14、（2017·衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9
(1)求证：△COD∽△CBE； (2)求半圆O的半径 的长 15、（2017·丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E. (1)求证：∠A=∠ADE； (2)若AD=16，DE=10，求BC的长. 16、（2017•温州）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．
(1)当∠APB=28°时，求∠B和 的度数； (2)求证：AC=AB． (3)在点P的运动过程中 ①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值； ②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比． 17、（2017•温州）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于 点G，作ED∥AC交CG于点D (1)求证：四边形CDEF是平行四边形； (2)若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值． 18、（2017•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： ɑ 30° 40° 50° 60° β 120° 130° 140° 150° γ 150° 140° 130° 120° 猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明： (2)若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长． 19、（2017•宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形． (1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝ ∠D，∠C＝ ∠A，求∠B与∠C的度数之和；
(2)如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．
求证：四边形DBCF是半对角四边形； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之 比． 20、（2017·金华）(本题10分) 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO. (2)若∠DAO=105°，∠E=30°. ①求∠OCE的度数. ②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长. 答案解析部分 一、单选题 1、【答案】C 【考点】勾股定理的应用，垂径定理的应用 【解析】【解答】解：∵OB=13cm,CD=8cm; ∴OD=5cm; 在RT△BOD中， ∴BD===12（cm） ∴AB=2BD=24（cm） 【分析】首先先作OC⊥AB交点为D，交圆于点C，根据垂径定理和勾股定理求AB的长。 2、【答案】B 【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，正方形的判定，切线的性质，弧长的计算 【解析】【解答】解： ∵O为BC中点.BC=2. ∴OA=OB=OC=. 又∵AC、AB是⊙O的切线， ∴OD=OE=r.OE⊥AC,OD⊥AB, ∵∠A＝90°. ∴四边形ODAE为正方形. ∴∠DOE=90°. ∴（2r）2+（2r）2=. ∴r=1. ∴弧DE===. 故答案为B. 【分析】根据O为BC中点.BC=2.求出OA=OB=OC=；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度. 3、【答案】A 【考点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：连接OC，∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点， ∴∠ABC=30°，∠BOC=120°， 又∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 则AB=2AC=4，BC= ， 则S阴=S扇形BOC-S△BOC= - = - . 故选A. 【分析】连接OC，S阴=S扇形BOC-S△BOC ， 则需要求出半圆的半径，及圆心角∠BOC；由点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，可得∠ABC=30°，∠BOC=120°，从而可解答. 4、【答案】A 【考点】垂径定理的应用，扇形面积的计算 【解析】【解答】解：作GH⊥AB,交CD于G，交EF于H，连接OC、OD、OE、OF. ∵⊙O的直径AB=10，CD=6，EF=8，且AB‖CD‖EF， ∴OG⊥CD,OH⊥EF, ∴∠COG=∠DOG,∠EOH=∠FOH, ∴OE=OF=OC=OD=5，CG=3，EH=4， ∴OG=4，OH=3， ∵AB‖CD‖EF, ∴S△OCD=S△BCD ， S△OEF=S△BEF ， ∴S阴影=S扇形ODC+S扇形OEF=S半圆=π×52=π. 故答案是：π. 【分析】作GH⊥AB,交CD于G，交EF于H，连接OC、OD、OE、OF.由AB‖CD‖EF，可得OG⊥CD,OH⊥EF,∠COG=∠DOG,∠EOH=∠FOH, S△OCD=S△BCD ， S△OEF=S△BEF ， 所以S阴影=S扇形ODC+S扇形
OEF=S半圆=π×52=π.
二、填空题 5、【答案】50° 【考点】三角形内角和定理，切线的性质 【解析】【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的
2017年中考数学真题试题(含答案)
2017年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．﹣2017的绝对值是（）A．2017 B．﹣2017 C．12017D．﹣12017【答案】A．2．一组数据1，3，4，2，2的众数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B．3．单项式32xy的次数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D．4．如图，已知直线a∥b，c∥b，∠1=60°，则∠2的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．61°【答案】B．5．世界文化遗产长城总长约670000米，将数670000用科学记数法可表示为（）A．6.7×104B．6.7×105C．6.7×106D．67×104【答案】B．6．如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．S1=2S2【答案】C．7．一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．8．把不等式组231345xx x+>⎧⎨+≥⎩的解集表示在数轴上如下图，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B．9．如图，已知点A在反比例函数kyx=上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（）A．4yx=B．2yx=C．8yx=D．8yx=-【答案】C．10．观察下列关于自然数的式子：4×12﹣12①4×22﹣32②4×32﹣52③…根据上述规律，则第2017个式子的值是（）A．8064 B．8065 C．8066 D．8067 【答案】D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．5的相反数是 ． 【答案】﹣5． 12．一组数据2，3，2，5，4的中位数是 ．【答案】3．13．方程1201x x-=-的解为x = ． 【答案】2．14．已知一元二次方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k = ．【答案】94． 15．已知菱形的两条对角线的长分别是5cm ，6cm ，则菱形的面积是 cm 2．【答案】15．16．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB =2米，BC =18米，则旗杆CD 的高度是 米．【答案】3.42．17．从﹣1，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在第一象限的概率为 ．【答案】16． 18．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E ．设∠A =α，且tanα=13，则tan2α= ．【答案】34．三、解答题19．（1）计算：101()4sin 60(3 1.732)122----+； （2）先化简，再求值：2261213x x x x x +-⋅-++，其中x =2． 【答案】（1）1；（2）21x -，2． 20．如图，已知：∠BAC =∠EAD ，AB =20.4，AC =48，AE =17，AD =40．求证：△ABC ∽△AED ．【答案】证明见解析．21．某校为了了解九年级九年级学生体育测试情况，随机抽查了部分学生的体育测试成绩的样本，按A ，B ，C （A 等：成绩大于或等于80分；B 等：成绩大于或等于60分且小于80分；C 等：成绩小于60分）三个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中A 等所在的扇形的圆心角等于 度；（3）若九年级有1000名学生，请你用此样本估计体育测试众60分以上（包括60分）的学生人数．【答案】（1）作图见解析；（2）108；（3）800．22．如图，已知点E ，F 分别是平行四边形ABCD 对角线BD 所在直线上的两点，连接AE ，CF ，请你添加一个条件，使得△ABE ≌△CDF ，并证明．【答案】证明见解析．四、解答题23．某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？【答案】（1）60(020)80(2080)xyx x<<⎧=⎨-+≤≤⎩；（2）40元或60元．五、解答题24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．（1）若ADAB=13，求sin C；（2）求证：DE是⊙O的切线．【答案】（1）13；（2）证明见解析． 六、解答题 25．如图，抛物线2y x bx c =++经过点A （﹣1，0），B （0，﹣2），并与x 轴交于点C ，点M 是抛物线对称轴l 上任意一点（点M ，B ，C 三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P 1，P 2，使得△MP 1P 2与△MCB 全等，并求出点P 1，P 2的坐标；（3）在对称轴上是否存在点Q ，使得∠BQC 为直角，若存在，作出点Q （用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q 的坐标．【答案】（1）22y x x =--；（2）P 1（﹣1，0），P 2（1，﹣2）或P 1（2，0），P 2（52，74）；（3）点Q 的坐标是：（1227-+1227--．。
专题24 圆的有关计算与证明(29题)(原卷版)--2024年中考数学真题分类汇编
专题24圆的有关计算与证明（29题）一、单选题1．（2024·安徽·中考真题）若扇形AOB 的半径为6，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π2．（2024·贵州·中考真题）如图，在扇形纸扇中，若150AOB ∠=︒，24OA =，则 AB 的长为（）A ．30πB ．25πC ．20πD ．10π3．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）A ．700π平方厘米B ．900π平方厘米C ．1200π平方厘米D ．1600π平方厘米4．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，1OA =，则AB 的长为（）A ．2B 3C ．1D ．125．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72︒的扇形，若扇形的半径l 是5，则该圆锥的体积是（）A ．311π8B ．11π8C ．26πD ．26π36．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB 为1米，请计算出淤泥横截面的面积（）A ．1π6B ．1π6C ．2π3D ．11π64-7．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形ABC 中，10AB AC ==，70C ∠=︒，以AB 为直径作半圆，与AC ，BC 分别相交于点D ，E ，则 DE的长度为（）A ．π9B ．5π9C ．10π9D ．25π98．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AO 的中点．过点C 作CE AO ⊥交 AB 于点E ，过点E 作ED OB ⊥，垂足为点D ．在扇形内随机选取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题9．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形AOB 中，6OA =，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为．10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径是1cm ，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为cm ．11．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为2m （结果保留π）．12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、 AB 与 CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O ，所对的圆心角都是72︒，点A ，C ，O 在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC 的长是米．（π取3.14，计算结果精确到0.1）13．（2024·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是．14．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为10cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为cm ．15．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条AB AC ，夹角为120︒．AB 长30cm ，扇面的BD 边长为18cm ，则扇面面积为2cm （结果保留π）．16．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC 和扇形OAD 有相同的圆心O ，且圆心角100O ∠=︒，若120OA =cm ，60OB =cm ，则阴影部分的面积是2cm ．（结果用π表示）17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）用一个圆心角为126︒，半径为10cm 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为cm ．18．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2BC =，O 为BC 中点，4OE AB ==，则扇形EOF 的面积为．19．（2024·吉林长春·中考真题）一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放，边AB 与直线l 重合，12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，则点A 经过的路径长至少为cm ．（结果保留π）20．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ， AB 所在圆的圆心C 恰好是ABO 的内心，若23AB ==．（结果保留π）21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD ，OM 为折痕，以点O 为圆心，OM 为半径作弧，分别交AD ，BC 于E ，F 两点，则 EF的长度为（结果保留π）．22．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是︒．23．（2024·吉林长春·中考真题）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①ABD DAC ∠=∠；②AF FG =；③当2DG =，3GB =时，142FG =④当 2BD AD =，6AB =时，DFG 3上述结论中，正确结论的序号有．三、解答题24．（2024·广东·中考真题）综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm 的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm 的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）25．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,3B -，()5,2C -．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；(2)画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）26．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，60DAB ∠=︒，22AB BC AD ===．以点A 为圆心，以AD 为半径作 DE 交AB 于点E ，以点B 为圆心，以BE 为半径作 EF 所交BC 于点F ，连接FD 交 EF于另一点G ，连接CG ．(1)求证：CG 为 EF所在圆的切线；(2)求图中阴影部分面积．（结果保留π）27．（2024·福建·中考真题）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，AE OC ⊥，垂足为,E BE 的延长线交 AD 于点F ．(1)求OEAE的值；(2)求证：AEB BEC △∽△；(3)求证：AD 与EF 互相平分．28．（2024·陕西·中考真题）问题提出（1）如图1，在ABC 中，15AB =，30C ∠=︒，作ABC 的外接圆O ．则 ACB 的长为________；（结果保留π）问题解决（2）如图2所示，道路AB 的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D ，E ，C ，线段AD AC ，和BC 为观测步道，其中点A 和点B 为观测步道出入口，已知点E 在AC 上，且AE EC =，60DAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，1200m AB =，900m AD BC ==，现要在湿地上修建一个新观测点P ，使60DPC ∠=︒．再在线段AB 上选一个新的步道出入口点F ，并修通三条新步道PF PD PC ，，，使新步道PF 经过观测点E ，并将五边形ABCPD 的面积平分．请问：是否存在满足要求的点P 和点F ?若存在，求此时PF 的长；若不存在，请说明理由．（点A ，B ，C ，P ，D 在同一平面内，道路AB 与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）29．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a 、b 、c 、d 之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P 为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将PDC △绕点P 逆时针旋转，他发现旋转过程中DAP ∠存在最大值．若8PE =，5PF =，当DAP ∠最大时，求AD 的长；（4）如图6，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在边AC 和BC 上，连接DE 、AE 、BD ．若5AC CD +=，8BC CE +=，求AE BD +的最小值．。
2017年中考数学真题专题汇编----图形的展开与折叠
2017全国部分省市中考数学真题汇编----图形的展开与折叠一．选择题1．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（ ）A．B．C．D．2．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ）A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥3．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）A．B．C．D．4．如图所示的平面图形能折叠成的长方体是（ ）A．B．C．D．5．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）A．B．C．D．6．如图，该几何体的展开图是（ ）A．B．C．D．7．如图是正方体的一个平面展开图，如果原正方体上前面的字为“友”，则后面的字为（ ）A．善B．国C．诚D．爱8．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）A．B．C．D．二．填空题9．某个立体图形的侧面展开图形如图所示，它的底面是正三角形，这个立体图形一定是 ．10．如图，是一个物体的展开图（单位：cm），那么这个物体的体积为 ．11．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是 ．12．如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm3．13．把如图所示的图形折成一个正方体的盒子，折好后与“顺”相对的字是 ．14．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．三．解答题15．如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（在图1和图2中任选一个进行解答，只填出一种答案即可）16．某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．17．如图所示的是一个正方体，试在下列3×5方格中，画出它的平面展开图（要求：画出3种不同的情形）18．如图所示是长方体的平面展开图，设AB=x，若AD=4x，AN=3x．（1）求长方形DEFG的周长与长方形ABMN的周长（用字母x进行表示）；（2）若长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求x的值；（3）在第（2）问的条件下，求原长方体的容积．19．如图是一个正方体的展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，求字母A所标注的值．20．如图，把一边长为xcm的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为ycm的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒．（1）求该纸盒的体积；（2）求该纸盒的全面积（外表面积）；（3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），求此时x与y之间的倍数关系．（直接写出答案即可）21．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了 条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．参考答案与解析一．选择题1．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及无盖正方体的展开图就可以求出结论．【解答】解：由四棱柱的四个侧面及底面可知，A、B、D都可以拼成无盖的正方体，但C拼成的有一个面重合，有两面没有的图形．所以将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱展开后不能得到的平面图形是C．故选C．【点评】本题考查了正方体的平面展开图，解答时熟悉四棱柱的特征及无盖正方体展开图的各种情形是关键．2．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ）A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥【分析】根据正方体、圆锥、三棱柱、圆柱及其表面展开图的特点解题．【解答】解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是正方体、圆柱、三棱柱、圆锥．故选A．【点评】可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断．3．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：选项A、B、C折叠后都不符合题意，只有选项D折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选D．【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．4．如图所示的平面图形能折叠成的长方体是（ ）A．B．C．D．【分析】根据两面相隔一个面是对面，相邻的面是邻面，可得答案．【解答】解：A、平面图形能折叠成的长方体正面的右邻面是阴影，故A错误；B、平面图形能折叠成的长方体上面的右邻面是阴影，故B错误；C、平面图形能折叠成的长方体正面是阴影，上面应是空白面，故C错误；D、平面图形能折叠成的长方体上面的右邻面是阴影，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了展开图这个叠成几何体，确定折叠成长方体阴影面的邻面是解题关键．5．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据立体图形平面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：A．四棱锥的展开图有四个三角形，故A选项错误；B．根据长方体的展开图的特征，可得B选项正确；C．正方体的展开图中，不存在“田”字形，故C选项错误；D．圆锥的展开图中，有一个圆，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了展开图折叠成几何体，解题时注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．6．如图，该几何体的展开图是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意带图案的两个面相邻．【解答】解：观察题干图形可知，带图案的两个面相邻．只有选项C中几何体的展开图带图案的两个面相邻．故选：C．【点评】本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．7．如图是正方体的一个平面展开图，如果原正方体上前面的字为“友”，则后面的字为（ ）A．善B．国C．诚D．爱【分析】根据展开图即可判断．【解答】解：“友”与“诚”属于同层，由同层隔一面可知：“友”相对的是“诚”故选（C）【点评】本题考查几何体的展开图，先找同层隔一面，再找异层隔两面，剩下两面必相对．8．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．【解答】解：A可以围成四棱柱，C可以围成五棱柱，D可以围成三棱柱，B选项侧面上多出一个长方形，故不能围成一个三棱柱．故选：B．【点评】熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键．二．填空题（共11小题）9．某个立体图形的侧面展开图形如图所示，它的底面是正三角形，这个立体图形一定是 三棱柱 ．【分析】根据侧面是三个矩形，底面是三角形，可得答案．【解答】解：由题意，得这个立体图形一定是三棱柱，故答案为：三棱柱．【点评】本题考查了几何体的展开图，利用侧面是三个矩形，底面是三角形是解题关键．10．如图，是一个物体的展开图（单位：cm），那么这个物体的体积为 250πcm3 ．【分析】根据展开图可知此物体是圆柱，再利用圆柱的体积公式即可得出结。
2017年中考数学真题分类解析 新定义型问题
一、选择题1. （2017山东潍坊，11，3分）定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]=1，[－1.4]=－2，[－3]=－3．函数的图象如图所示，则方程[]221x x =的解为（ ） A ．0或2 B ．0或2C ．1或2-D ．2或2-答案：A ，解析：由函数图象可知，当－2≤x ＜－1时，y =－2，即有[x ]=－2，此时方程无解；当－1≤x ＜0时，y =－1，即有[x ]=－1，此时方程无解；当0≤x ＜1时，y =0，即有[x ]=0，此时方程为0=221x ，解得x =0；当1≤x ＜2时，y =1，即有[x ]=1，此时方程为1=221x ，解得x =2或x =－2（不在x 的取值范围内，舍去）．综上可知，方程的解为0或2．2. （2017山东莱芜，11，3分）对于实数a ，b ，定义符号min，其意义为：当a ≥b 时，min ＝b ：当a ＜b 时，min＝a ．例如min ＝－1．若关于x 的函数y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝，则该函数的最大值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．53 答案：D ，解析：当2x －1≥－x ＋3时，43x ≥，y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝=－x ＋3，最大值为53. 当2x －1<－x ＋3时，43x <，y ＝min ｛2x －1，－x ＋3｝=2x －1，最大值为53. 综上，该函数的最大值为53.3. （2017湖北荆州，10，3分）规定：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：①方程是倍根方程；②若关于的方程是倍根方程，则; ③若关于的方程是倍根方程，则抛物线与轴的公共点的坐标是(2,0)和（4,0）； ④若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程 上述结论中正确的有（ ）A.①②B.③④C.②③D.②④答案：C ，解析：解：①由x 2﹣2x ﹣8=0，得（x ﹣4）（x+2）=0，解得x 1=4，x 2=﹣2，∵x 1≠2x 2，或x 2≠2x 1，∴方程x 2﹣2x ﹣8=0不是倍根方程．故①错误；②关于x 的方程x 2+ax+2=0是倍根方程，∴设x 2=2x 1，∴x 1•x 2=2x 12=2，∴x 1=±1，当x 1=1时，x 2=2，当x 1=﹣1时，x 2=﹣2，∴x 1+x 2=﹣a=±3，∴a=±3，故②正确；③关于x 的方程ax 2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，∴x 2=2x 1，∵抛物线y=ax 2﹣6ax+c 的对称轴是直线x=3，∴抛物线y=ax 2﹣6ax+c 与x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m ，n ）在反比例函数y=4x 的图象上，∴mn=4，解mx 2+5x+n=0得x 1=﹣2m ，x 2=﹣8m， ∴x 2=4x 1，∴关于x 的方程mx 2+5x+n=0不是倍根方程；故选C ．二、填空题1. （2017四川成都，24． 4分）在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点(),P x y ，我们把点11,P x y ⎛⎫' ⎪⎝⎭称为点P 的 “倒影点”．直线1y x =-+上有两点,A B ，它们的倒影点,A B ''均在反比例函数k y x =的图像上．若22AB =，则k =____________．答案：43-，解析：∵A ，B 两点在直线1y x =-+上，设A （a ，－a ＋1），B （b ，－b ＋1）， ∴22222()(11)2()(22)AB a b a b a b =-+-++-=-=，∴2()4,2a b a b -=∴-=±.∴A ，B 两点的“倒影点”1111(,),(,)11A B a a b b''--. ∵点,A B ''均在反比例函数k y x =的图像上，∴111111k a a b b ⋅==⋅--，∴(1)(1)a a b b -=-，变形因式分解得()(1)0a b a b ---=，∵2a b -=±，∴10a b --=.由210a b a b -=⎧⎨--=⎩解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴1124(2)133k a a =⋅=⨯-=--； 由2a b -=-⎧⎨解得12a ⎧=-⎪⎪⎨，∴1124(2)k =⋅=-⨯=-.2.3. ． 答案：2，解析：根据新运算的定义，(2❉3) ❉2＝2232+⨯❉2＝4❉2＝4224+⨯＝2．4. (2017四川凉山，26，5分)古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是______．【答案】5050【解析】设第n 个三角形数为a n ，观察，发现规律：a 1＝1，a 2＝3＝1+2，a 3＝6＝1+2+3，a 4＝10＝1+2+3+4，…，∴a n ＝1+2+…+n ＝2)1(+n n ，将n ＝100代入a n ，得：a 100＝2)1100(100+＝5050．5. (2017黑龙江齐齐哈尔，17，3分)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A=46°，则∠ACB 的度数为 .答案：113°或92°解析：∵△CBD 和△ABC 相似，∴∠BCD=∠A=46°.设∠ACB=x ，则∠ACD=x-46°.∵△ACD 为等腰三角形，若AC=AD ，则∠ACD=∠ADC=x-46°，∵46°+x-46°+x-46°=180°，∴x=113°.若AD=CD ，则∠ACD=∠A ，即46°=x-46°，∴x=92°.综上所述，∠ACB 的度数为113°或92°.6. （2017广东乐山，16，3分）对于函数y =x n +x m ，我们定义y’=nx n-1+mx m-1（m 、n 为常数）．例如y =x 4+x 2，则y’=4x 3+2x ．已知：()x m x m x y 223131+-+=． （1）若方程y’=0有两个相等实数根，则m 的值为 ；（2）若方程41-='m y 有两个正数根，则m 的取值范围为 ． 答案：（1）21=m ；（2）43≤m 且21≠m ，解析：（1）y’=x 2+2(m －1)x+m 2，当y’=0时，有x 2+2(m -1)x+m 2=0.21（2）y’=x 2+2(m －1)x+m 2，当41-='m y 时，有x 2+2(m －1)x+m 2－m +41=0.若方程41-='m y 有两个正数根，则⎪⎩⎪⎨⎧>>≥∆⋅+0002121x x x x ，即()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+->--≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+---041012041414222m m m m m m ，解得43≤m 且21≠m .7. 16．（2017内蒙古赤峰，16，3分）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P ＇（－y ＋1，x ＋2），我们把点P ＇（－y ＋1，x ＋2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为 ．答案：（2，0），解析：本题考查了学习型阅读理解，正确理解已知点的终结点这一新定义是解题的关键． 根据新定义，得P 1（2，0）的终结点为P 2（1，4），P 2（1，4）的终结点为P 3（－3，3），P 3（－3，3）的终结点为P 4（－2，－1），P 4（－2，－1）的终结点为P 5（2，0），P 5（2，0）的终结点为P 4（1，4），……观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P 2017的坐标为（2，0）.说明：原题不清楚，我是根据猜想完成的，有错误请指正.8. （2017贵州六盘水，15，5分）定义：A ＝{b ，c ，a }，B ＝{c }，A ∪B ＝{a ，b ，c } ，若M ＝{－1}，N ＝{0，1，－1}，则M ∪N ＝{ }．答案：{0，1，－1}（数字无序），解析：由题意可知新定义：A ∪B 表示A 、B 两集合中所有数的集合，∴M∪N 表示M 、N 两个集合中所有数的集合，∴M ∪N ＝{0，1，－1}．9. 20. （2017四川巴中，3分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB 为半圆的直径，且抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，则半圆圆心M 点的坐标为： .答案：(1，0)，解析：解x 2-2x -3=0得x 1=-1,x 2=3,所以抛物线与x 轴交于点A (-1，0)、B (3，0)，所以AB =4,点M 的坐标为(1，0).10. 17．（2017四川雅安，17，3分）定义：若两个函数的图象关于直线y ＝x 对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y ＝2x+1的反函数的解析式_________．答案：y =21x -21，解析：可取函数y ＝2x+1上任意两点，如（0，1）和（1，3），则这两个点关于直线y ＝x 对称的点为（1，0）和（3，1），则经过（1，0）和（3，1）两点的直线解析式为y =21x -21．11. 19. （2017河北，10分）对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，因此{}min 2,3--= ；若{}22min (1),1x x -=，则x = ．【答案】3-；2或-1.考点：新定义，实数大小的比较，解一元二次方程.12. 18．（4分）（2017•上海）我们规定：一个正n 边形（n 为整数，n ≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6＝ ．【解答】解：如图，正六边形ABCDEF 中，对角线BE 、CF 交于点O ，连接E C ．易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠BOC＝∠OEC＋∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴＝cos30°＝，∴λ6＝，故答案为．三、解答题1.（2017山东枣庄19，8分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n p q=⨯（p，q是正整数，且p q≤），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：()pF nq=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝34．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x＋y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．思路分析：（1）对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即2.个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．图1(1)将□ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；S 矩形AEFG ：S □ABCD ＝______．(2) □ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB =8，CD =10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．图2 图3 图4思路分析：(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S 矩形AEFG ：S □ABCD 的值；（2）由矩形的性质和勾股定理可求得FH 的长，再由折叠的轴对称性质可知HD ＝HN ，FC ＝FN ，因此只要证得△AEH ≌△CGF ，可得FC ＝AH ，进而求得AD 的长；（3）根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD ，BC 的长．解：(1)AE ，GF ；1：2．由折叠的轴对称性质，得AD ＝2AG ．∵S 矩形AEFG ＝AE ·AG ，S □ABCD ＝AE ·AD ，∴S 矩形AEFG ：S □ABCD ＝ AE ·AG ：AE ·AD ＝ AE ·AG ：AE·2AG ＝1：2．(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∴∠FEH =90°．∴FH ＝22EH EF +＝22125+＝13．由折叠的轴对称性质可知，HD ＝HN ，FC ＝FN ，∠AHE ＝21∠AHF ，∠CFG ＝21∠CFH ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠A ＝∠C ．∴∠AHF ＝∠CFH ，∴∠AHE ＝∠CFG ．∵EH ＝FG ，∴△AEH ≌△CGF ．∴FC ＝AH ．∴AD ＝AH ＋HD ＝FC ＋HN ＝FN ＋HN ＝FH ＝13．(3)本题有一下两种基本折法，如图1，图2．图5 图6按图5的折法的解法．由折叠的轴对称性质可知，AD ＝BF ，BE ＝AE ＝4，CH ＝DH ＝5，FG ＝CG ．∵四边形EBGH 是叠合正方形，∴HG ＝BG ＝4．∴CG ＝3．∴FG ＝CG ＝3．∴BF ＝BG －FG ＝1，BC ＝BG ＋CG ＝4＋3＝7．∴AD ＝1，BC ＝7．按图6的折法的解法．设AD ＝x ．由折叠的轴对称性质可知，AE ＝EM ＝BE ＝4，MH ＝AD ＝x ，DN ＝HN ，HG ＝CG ，FC ＝FH ． 由DN ＝HN ，HG ＝CG ，则GN ＝21CD ＝5． ∵四边形EBGH 是叠合正方形，∴EF ＝FG ＝GN ＝5．∴MF ＝BF ＝3．∴FC ＝FH ＝x ＋3．∵∠B ＝∠EFG ＝∠CGF ＝90°，∴∠BEF ＋∠BFE ＝∠BFE ＋∠CFG ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFG ． ∴△GFC ∽△BEF ．∴EF FC BE FG =，即5345+=x ，解得x ＝413． ∴AD ＝13，BC ＝BF ＋FC ＝3＋13＋3＝37．3. ，（（k ＝（∵F （s ）+F （t ）＝18，∴x +5+ y +6＝ x + y +11＝18，∴x + y ＝7， ∵1≤x ≤9， 1≤y ≤9，x ，y 都是正整数， ∴⎩⎨⎧==61y x 或⎩⎨⎧==52y x 或⎩⎨⎧==43y x 或⎩⎨⎧==34y x 或⎩⎨⎧==25y x 或⎩⎨⎧==16y x ， ∵s 是“相异数”，∴ x ≠2，x ≠3，∵t 是“相异数”，∴ y ≠1，y ≠5，∴⎩⎨⎧==61y x 或⎩⎨⎧==34y x 或⎩⎨⎧==25y x ，∴()()⎩⎨⎧==126t F s F 或()()⎩⎨⎧==99t F s F 或()()⎩⎨⎧==810t F s F ，∴k ＝()()t F s F ＝21或k ＝()()t F s F ＝1或k ＝()()t F s F ＝45，∴k 的最大值为45． 4. （2017山东济宁，22，11分）定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△P AB ，△PBC ，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M 是曲线C ：33y x=()0x >上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点． （1）如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP ＝∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是，点N 的坐标是时，求点P 的坐标；（2）如图3，当点M 的坐标是，点N 的坐标是时，求△MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）根据两组对应角相等的三角形是全等三角形，很容易证明△ONP ∽△OMN ，利用相似对应性质得出∠MON ＝90°，在直角△OPN 中利用锐角三角函数即可求出点P 的坐标；（2）根据题目给出的自相似点定义，分情况讨论当△P 1ON ∽△NOM ，求出P 1坐标，当△P 2NM ∽△NOM 求出P 2坐标；（3）存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点，即△MON 内无点P 能使△ONP 或者△PNM 与△OMN 相似，△MON 应为等边三角形，从而得出答案．性质得出∠MON=90°，在直角△OPN 中利用锐角三角函数即可求出点P 的坐标；（2）根据题目给出的自相似点定义，分情况讨论当△P 1ON ∽△NOM ，求出P 1坐标，当△P 2NM ∽△NOM 求出P 2坐标；（3）存在点M 和点N ,使△MON 无自相似点，即△MON 内无点P 能使△ONP 或者△PNM 与△OMN 相似，△MON 应为等边三角形，从而得出答案． 解：(1)在△ONP 和△OMN 中， ∵∠ONP=∠OMN ，∠NOP=∠MON∴△ONP ∽△OMN∴点P 是△M0N 的自相似点.过点P 作PD ⊥x 轴于D 点．tan 3MNPOD ON∠== ∴60AON ∠=o . ∵△ONP ∽△OMN ，∴90MON ∠=o,∴90OPN ∠=o. 在Rt △OPN 中，3cos 602OP ON ==o .313cos 60224OD OP ==⨯=o .333sin 60224PD OP ==⨯=o .∴33(,)44P . ①如图2，过点M 作MH ⊥x 轴于H 点, ∵ (3,3)M ,(2,0)N∴23OM =，直线OM 的表达式为33y x =．2ON = ∵P 1是△M0N 的自相似点，∴△P 1ON ∽△NOM 过点1P 作1PQ ⊥x 轴于Q 点， ∴111, 1.2PO PN OQ ON === ∵P 1的横坐标为1，∴331.33y =⨯=∴131,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 如图3，△P 2NM ∽△NOM ， ∴2P N MNON MO=∴2233P N = ． ∵P 2的纵坐标为233， ∴23333x =∴2x =,图图3∴2232,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 综上所述，31,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或232,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． （3）存在，(3,3),(23,0)M N ．5. （2017重庆B ，25， 10分）对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）。
【中考12年】浙江省台州市2001-中考数学试题分类解析 专题11 圆
【中考12年】浙江省台州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题11 圆一、选择题1. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水4分）已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO=8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB=【】A．4 B．．．2. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水4分）如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P的直线AB分别交⊙O1，⊙O2于点A，B．已知⊙O1和⊙O2的面积比是3：1，则AP：BP=【】：A．3：1 B．6：1 C．9：1 D13. （2002年浙江台州4分）如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC=5，则CD＝【】（A ）103 （B ） 245（C ） 7 （D ）244. （2003年浙江台州4分）如图，四个半径均为R 的等圆彼此相切，则图中阴影部分（形似水壶）图形 的面积为【 】A 、24RB 、2R πC 、 22R πD 、 24R π5. （2004年浙江温州、台州4分）如图，PT 是外切两圆的公切线，T 为切点，PAB 、PCD分别为这两圆的割线，若PA=3，PB=6，PC=2，则PD 等于【 】(A) 12 (B) 9 (C) 8 (D) 46. （2005年浙江台州4分）如图所示的两圆位置关系是【 】（A ）相离 （B ）外切 （C ）相交 （D ） 内切7. （2005年浙江台州4分）如图，半径为1的圆中，圆心角为120°的扇形面积为【 】（A ）31 （B ）21 （C ）π31 （D ） π218. （2005年浙江台州4分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、 B 为切点，OP 交AB 于点D ，交⊙O于点C , 在线段AB 、PA 、PB 、PC 、CD 中，已知其中两条线段的长，但还无法．．计算出⊙O 直径的两条线 段是【 】（A ）AB 、CD （B ）PA 、PC （C ）PA 、AB （D ）PA 、PB9. （2006年浙江台州4分）直径所对的圆周角是【】（A）锐角（B）直角（C）钝角（D）无法确定10. （2006年浙江台州4分）如图，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是【】（A）6 （B）5 （C）4 （D）311. （2006年浙江台州4分）我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，若点P是⊙O外一点（如图），则点P与⊙O的距离应定义为【】（A）线段PO的长度（B）线段PA的长度（C）线段PB的长度（D）线段PC的长度12. （2008年浙江台州4分）下列命题中，正确的是【】①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤13. （2009年浙江台州4分）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为【】A．外离 B．外切Ｃ．相交 D．内含14. （2010年浙江台州4分）如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为【】A．25° B．30° C．40° D．50°15. （2011年浙江台州4分）如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A、B、C、D分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要(接缝面积不计) 【】A ．26h πB ．24rh rh π+C ．12rh 2rh π+D ．24rh 2rh π+16. （2011年浙江台州4分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为【 】A ．13B ．5C ．3D ．217. （2012年浙江台州4分）如图，点A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠AOC=130°，则∠ABC 等于【 】A ． 50°B ．60°C ．65°D ．70°二、填空题1. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水5分）如图，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，BC 是⊙O的切线，且∠AOB=84°，则∠ABC的度数为▲ 度．2. （2010年浙江台州5分）如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系是▲ ，阴影部分面积为(结果保留π) ▲ ．3. （2011年浙江台州5分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB＝20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为▲ (结果保留 )．4. （2012年浙江台州5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为▲ 厘米．三、解答题1. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水10分）如图，⊙O的两条割线PAB和PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA=2，PC=4，PD=7，AC=CD，求PB，BD的长．2. （2002年浙江台州14分）如图，已知半圆O的直径AB＝10，⊙O1与半圆O内切干点C，与AB相切干点D．(1）求证：CD平分∠ACB；(2）若AC：CB=1：3，求△CDB的面积S△CDB；（3）设AC：CB＝x（x＞0），⊙O1的半径为 y，请用含x的代数式表示y．3. （2003年浙江台州8分）如图PA是△ABC的外接圆O的切线，A是切点，PD∥AC，且PD与AB、AC分别相交于E、D。
2017年全国中考数学真题分类 三视图与展开图2017(选择题)
2017年全国中考数学真题分类三视图与展开图选择题一、选择题1.．(2017四川广安，6，3分)如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是( )答案：C，解析：从左边看，下方是一个大矩形，上方是一个小矩形．故选C．2.（2017浙江丽水·3·3分）如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是（）A．俯视图与主视图相同B．左视图与主视图相同C．左视图与俯视图相同D．三个视图都相同答案：B．解析：根据三视图的概念，这个几何体的主视图和左视图是相同的长方形，俯视图是正方形，故选B．3.(2017四川泸州，4，3分)左下图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是( )答案：D，解析：该几何体从左面看，是一列两层的两个小正方形．故选D．4.（2017安徽中考·3．4分）如图，一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的俯视图为（）A． B． C． D．答案：B．解析：根据俯视图的概念，该几何体的俯视图是两个同心圆，故选B．5.（2017浙江衢州,2，3分）下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（）主视方向A B C D答案：D，解析：主视图即是从正面看到的视图，易得左侧有2个正方形，右侧有一个正方形．故选D．6.（2017山东济宁，5，3分）下列几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的是A． B． C． D．答案：B，解析：根据几何体“三视图的定义”，如图，B选项球的主视图、俯视图、左视图都是圆，其他三个选项几何体的主视图、俯视图、左视图不一样．7.（2017山东德州，4，3分）如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道，则其俯视图正确的是（）答案：B，解析：俯视图是从上往下看得到的图形，图中竖直圆柱的俯视图是圆形，横放的圆柱的俯视图是长方形，又它们等直径，故该T型管道的俯视图是选项B中图形．8.（2017山东威海，8，3分）一个几何体有n个大小相同的小正方形搭成,其左视图、俯视图、如图所示，则n的值最小是（）A.5B.7C.9D.10答案：B，解析：由俯视图知该几何体1、2、3、4个位置上都有小正方体，结合左视图知1、2位置中，其中一个位置最多有三个另一个位置最少有一个小正方体，3、4位置中，其中一个位置最多有两个最少有一个小正方体，故该几何体至少有七个小正方体.1 23 49.（2017山东菏泽，3,3分）下列几何题是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）答案：C，解析：选项A的左视图和俯视图如图1所示，选项B的左视图和俯视图如图2所示，选项C的左视图和俯视图如图3所示，选项D的左视图和俯视图如图4所示.10.（2017年四川绵阳，4,3分）如图所示的几何体的主视图正确的是A. B. C. D.答案：D 解析：考查画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．11. （2017四川自贡,8,3分）下面是几何体中，主视图是矩形的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A ，解析：选项A 中圆柱的主视图是矩形；选项B 中球的主视图是圆；选项C 中圆锥的主视图是等腰三角形；选项D 中圆台的主视图是等腰图形．12. (2017年四川南充，2，3分)图1是由7个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是( )答案：A 解析：主视图是从前向后看立体图形所得到的平面图形．这里主视图共可看到四个正方形，其中左边从上到下共有3个正方形，右边只有1个正方形．故选A ．13. （2017浙江舟山，4，3分）一个立方体的表面图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（ ） A ． 中B ． 考C ．顺D ．利答案：C ，解析：解析：正方体的表面展开图共有如下11种：正面图1A ．B ．C ．D ．其中处在同一行上的间隔一个正方形的为对面，如图21中的1与2即为对面；不在同一行上的”之”字两端的正方形为对面，如图21与21中的1与2为对面，所以“你”字对面的字是“顺”，故选C．14. 2．（2017江苏盐城，2，3分）如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是A．圆柱B．球C．圆锥D．棱锥答案：C，解析：观察发现，主视图、左视图都是三角形，可猜想几何体可能是棱锥或圆锥，又因为俯视图是带圆心的圆，所以这个几何体是圆锥．15. (2017年四川内江，5，3分)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如下图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是A B C D答案：A，解析：由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为1，2，3，由此可画出图形，如下所示：第2题图16.（2017山东临沂，5，3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（）答案：D解析：几何体的左视图有2列，左边一列小正方形数目是2，右边一列小正方形的数目是1，故选 D．17.（2017山东泰安，6，3分）下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B，解析：根据几何体的形状以及摆放的方式可知，第一个正方体的俯视图为正方形，第二个圆柱体的俯视图为圆，第三个三棱柱的俯视图为矩形，第四个球体的俯视图为圆，所以俯视图是四边形的几何体的个数为2个.18. 5．（2017江苏连云港，5，3分）由6个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，比较它的正视图,左视图和俯视图的面积，则A．三个视图的面积一样大B．主视图的面积最小C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小答案：C ，解析：分别画出这个几何体的正视图,左视图和俯视图，假设每个正方体的一个侧面的面积为1，则正视图的面积为5,左视图的面积为3,俯视图的面积为4,得到左视图的面积最小，故选择C选项．19.（2017四川达州2，3分）如图，几何体是由3个完全一样的正方体组成，它的左视图是（）A． B． C． D．答案：B，解析：这个几何体从左边看，上下有两个正方体，故本题选B．20.（2017四川眉山，4，3分）右图所示几何体的主视图是答案：B，解析：主视图是指从立体图形的正面看到的平面图，从正面看，其主视图为2行2列，第一列有两个正方形，第二列也有两个正方形，故选择B．21. 2．（2017山东潍坊，2，3分）如图所示的几何体，其俯视图是（）答案：D，解析：该杯子上口大下底小，且皆为圆形，又带着不透明的盖，故俯视图中下底圆形为虚线．22. 3．（2017浙江温州，3，4分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是DCBA主视方向（第3题）A．B． C． D．答案：C，解析：主视图：从物体正面看到的平面图形，主视图能反映物体的正立面形状以及物体的高度和长度，及其上下、左右的位置关系．23. 3．（2017四川宜宾，3，3分）下面的几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．答案：C，解析：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，球体的主视图圆，圆锥的主视图是等腰三角形．24.（2017山东滨州，6，3分）图2是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）主视图左视图A． B． C． D.图2俯视图答案：B，解析：由主视图易知，只有B选项符合．25.（2017湖南岳阳，4，3分）下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是A．B．C．D．答案：B，解析：考察三视图，球体的主视图、俯视图、左视图是面积相等的圆，三视图相同．26. 5．(2017江苏扬州，，3分)经过圆锥顶点的截面的形状可能是【答案】B27. 4．（2017甘肃酒泉，4，3分）某种零件模型可以看成如图所示的几何体(空心圆柱)，该几何体的俯视图是( )答案：D，解析：几何体的俯视图是指从上面看所得到的图形. 此题由上向下看是空心圆柱，看到的是一个圆环，中间的圆要画成实线．故选D．28. 2.(2017甘肃兰州，2，4分）如图所示，该几何体的左视图是从正面看DCBA【答案】DA B C D第4题图A B C D【解析】在三视图中实际存在而被遮挡的线用虚线来表示，故选D29. 4．（2017湖北黄冈，4，3分）已知：如图，是一几何体的三视图，则该几何体的名称为A ．长方体B ．正三棱柱C ．圆锥D ．圆柱答案：D ，解析：A ．长方体的三个视图都是矩形； B ．正三棱柱的视图应该有三角形；C ．圆锥的视图也应该有三角形；D ．圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆．30. 10．(2017湖北荆门，10，3分)已知：如图2，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是( )B A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个答案：B ，解析：如答图1，以俯视图为基础，将另两个视图中小正方形的个数填写在俯视图的相应位置，即可得小正方体的个数是7．故选B ．31. （2017山东烟台，4，3分）如图所示的工件，其俯视图是（ ）答案：B ，解析：从上面看到的图形是B 项中的图形.主视图 俯视图左视图图21 23 1 答图132. 5．(2017天津，3分)右图是一个由4个相同的正文体组成的立体图形，它的主视图是A B第5题C D答案：D，解析：从正面看立体图形，有两行三列，从下往上数，个数分别是3，1，且第二层的正方形在第一层的正中间，故选D.33. 3．（2017浙江义乌，3，4分）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是A．B． C． D．答案：A，解析：根据主视图是从物体的正面看得到的视图，从正面看可知第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．34. 4.(2017湖北咸宁，4，3分) 如图是某个几何体的三视图，该几何体是( )A．三棱柱 B．三棱锥 C.圆柱 D．圆锥答案：A解析：∵三棱柱的三视图符合所给的三视图的形状，∴A正确；∵三棱锥的三视图是三角形，与所给三视图不一致，∴B错误；∵圆柱的俯视图是圆，与所给三视图不一致，∴C错误；∵圆锥主视图、左视图都是三角形、俯视图是圆形，与所给三视图不一致，∴D错误.故选A.35.3．（2017湖北宜昌，3分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“爱”字一面的相对面上的字是（）A．美B．丽C．宜D．昌答案：C，解析：根据正方体展开图的相对面求解，如果以“爱”为底，则“我”和“美”分别为前侧面和后侧面，“丽”为右面，“宜”在上面，“昌在左面，故选择C ．36.（2017湖南邵阳，4，3分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A B C D答案：A，解析：因为球的主视图是圆，圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是等腰三角形，正方体的主视图是正方形，故选A．37.4．（2017湖北鄂州，3分）如图是由几个大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）答案：D，解析：从左向右看，一共有3列，左侧一列有2层，中间一列有2层，右侧一列有1层，故选D．A．B．C．D．1122第4题图38. (2017湖北十堰，2，5分)如图的几何体，其左视图是( )A ．B ．C ．D ．答案：B ，解析：左视图为从左向右看，此图从左向看看到的图形为B ，故选B ．39.（2017湖北随州，3，3分）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）俯视图主视图A ．圆锥B ．长方体C ．圆柱D ．三棱柱答案：C ，解析：解析：A ．圆锥的视图应该有三角形； B ．长方体的三个视图都是矩形；C ．圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆；D ．三棱柱的视图应该有三角形．40. (湖南益阳，8，5分)如图，空心卷筒纸的高度为12cm ，外径（直径）为10cm ，内径为4cm ，在比例尺为1:4的三视图中，其主视图的面积是2·1·c ·n ·j ·y A ．214πcm 2 B ．2116πcm 2C ．30cm 2D ．7.5cm 2答案：D ，解析：圆柱的主视图是矩形，它的一边长是10cm ，另一边长是12cm.在比例尺为1：4的主视图中，它的对应边长分别为2.5cm ，3cm ，因而矩形的面积为7.5cm 2.因此选D ．第8题图41.（2017江苏镇江，14，3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是A．答案：C，解析：这个几何体共两层三排三列，主视图看到的是这个几何体的长和高，故选C．44. (2017甘肃天水．2．4分)如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（）2题图A B C D答案：C，解析：俯视图即是从上面看到的视图，由实物图知从上面看到的是四个小正方形组成的大正方形，故选C．43.（2017湖南郴州，7，3分）如图（1）所示的圆锥的主视图是答案：A，解析：主视图就是从几何体的正面得到的投影，本题中主视图反映的是圆锥的高和底面·圆的直径，∴A符合.44. 3．（2017安徽中考·4分）如图，一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的俯视图为（）A． B． C． D．答案：B．解析：根据俯视图的概念，该几何体的俯视图是两个同心圆，故选B．45.（2017新疆生产建设兵团，2，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A.球B.圆柱C.三棱锥D.圆锥答案：D 解析：由于主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，该几何体是圆锥，故选D.46. 8. （2017浙江湖州，3分）如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是A．2002cm D．200π2cmcm C.100π2cm B．6002答案：D，解析：能够正确反映物体长、宽、高尺寸的正投影工程图(主视图，俯视图，左视图三个基本视图)称为三视图. 从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图(正视图)--能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图--能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图(侧视图)--能反映物体的左面形状.由此可知，此几何体是圆柱体，由比例可知底面半径为5cm，高为20cm，所以该几何体的侧面积是一个长方形，即2=22520200r h cmSπππ⨯=⨯⨯=侧面积.47.4．（2017湖北天门，4，3分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是A．传B．统C．文D．化化文统传扬弘答案：C，解析：所给图形是正方体展开图中“132”型，∴把所给图形折成正方体后“弘”与“文”、“扬”与“统”、“传”与“化”相对，故选择C．48.6． (2017湖南张家界，3分)如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“美”字所在面相对的面上标的字是( )A．丽B．张C．家D．界答案：C，解析：同一行或列中，间一个小正方形就是一对相对面，所以“丽”与“张”是相对面；相对面不共顶点，所以“的”与“美”、“家”不是相对面，从而“的”与“界”是相对面；因此剩下的两个面“美”与“家”是相对面．49. 5．(2017浙江宁波，5，4分)如图所示的几何体的俯视图为( )【答案】D【解析】根据三视图的概念，俯视图是从物体的上面向下面看所得的视图，从上往下看，只有D 正确．故选D．50. 10．(2017四川凉山，10，4分)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( ) A．213πB．10πC．20πD．413π【答案】A【解析】由三视图可知此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可得圆锥的底面半径为2，高为3，∴圆锥的母线长为：132322=+，∴圆锥的底面周长＝圆锥的侧面展开扇形的弧长＝2πr＝2π×2＝4π，∴圆锥的侧面积＝21×4π×13＝213π．故选A．51. 3．(2017浙江绍兴，4分)如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主观图是A．B．C．D．【答案】A．【解析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选A．55.（2017北京，3，3分）右图是某个几何题的展开图，该几何体是（）4 4334A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱答案：A，解析：此图是三棱柱的展开图．53.（2017河南，3，3分）某几何体的左视图如下图所示，则该几何体不可能是( )A. B. C. D.答案：D，解析：从左视图可以看到几何体有几列，每列的最高层数是多少，选A、B、C从左面去看都只能看到2列，并且第一列的最高层数为2，第二列只有一层，和题中给出的左视图吻合，只有选项D的左视图应该可以看到有3列，第一列有2层，第2、3列均有1层，不符合题意，故应选D．55. (2017黑龙江齐齐哈尔，8，3分)一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有a个小正方体组成，最少有b个小正方体组成，则a+b等于( )A. 10B. 11C. 12D.13答案：C解析：根据主视图可知俯视图中第一列最高为3块，第二列最高有1块，∴a=3×2+1=7，b=3+1+1=5，∴a+b=7+5=12.55.（2017湖北襄阳，6，3分）如图所示的几何体是由6个大小完全一样的正方体组合而成的，它的俯视图是（）A． B． C． D．答案：A，解析：从几何体上面看几何体得到的平面图形是该几何体的俯视图.56.（2017山东聊城，6，3分）如图是由若跟个小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体的主视图是（）答案：C，解析：主视图是从前往后看，由俯视图可知从左到右最高层数依次为2，3，1，∴这个几何体的主视图是C．57.（2017新疆乌鲁木齐，8，4分）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（）A. πB.2πC. 4πD. 5π答案：B，解析：观察三视图发现几何体为圆锥，其母线长为()2231+4，侧面积为12lR=12×2π×1×2=2π，故选B.58.．(2017广西百色，7，3分)如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是( )A．①②③ B．②①③ C．③①② D．①③②答案：D，解析：主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形．59. 4．（2017贵州安顺，4，3分）如图是一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图为（）A．B．C．D．答案：C，解析：根据简单组合体的三视图,从上边看矩形内部是个圆．60. 4．（2017年贵州省黔东南州，4，4分）如图所示，所给的三视图表示的几何体是A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱答案：D，解析：∵左视图和俯视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵主视图是一个正三角形，∴此几何体为正三棱柱．61. 3．(2017江苏常州，3，3分)右图是某个几何体的三视图，则该几何体是( )A．圆锥B．三棱柱C．圆柱D．三棱锥【答案】B【解析】由俯视图知是三棱柱或三棱锥，再由主视图排除三棱锥．66. 2．（2017·辽宁大连，2，3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是第2题A．圆锥B．长方体C．圆柱D．球答案：B 解析：观察发现，主视图、左视图、俯视图都是矩形，可以确定几何体是直棱柱，所以这个几何体是长方体，故选B．63. 3．（2017山东淄博，3，4分）下列几何体中，其主视图为三角形的是（）A B C D答案：D，解析：圆锥体的主视图是三角形．64.（2017陕西，2，3分）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱组成的，则它的主视图为A ．B ．C ．D ．答案：B ，解析：主视图是从前面看，看到的应该是上下两个长方形．故选B ．65. (2017年湖南长沙，7，3分)某几何体的三视图如图所示，因此几何体是A.长方体B.圆柱C.球D 正三棱柱答案：B ，解析：长方体的俯视图不是圆，错；C 球的三视图都是圆，对；D 正三棱柱的主视图是三角形，错。
【经典推荐含解析及考点卡片】2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之函数基础知识
2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之函数基础知识一．选择题（共13小题）1．（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（）A．15km B．16km C．44km D．45km 2．（2018•绍兴）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（）A．当x＜1时，y随x的增大而增大B．当x＜1时，y随x的增大而减小C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而减小3．（2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱4．（2017•绍兴）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（）A．B．C．D．5．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小6．（2018•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）7．（2017•温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）8．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．9．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2B．y＝x+2C．y＝4x+2D．y＝x+2 10．（2019•衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．11．（2021•嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（）A．≤B．≥C．≥D．≤12．（2020•台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．13．（2017•丽水）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．乙先出发的时间为0.5小时B．甲的速度是80千米/小时C．甲出发0.5小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地早小时二．填空题（共4小题）14．（2020•金华）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）．15．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．16．（2018•临安区）P（3，﹣4）到x轴的距离是．17．（2019•衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n﹣1，…，则顶点F2019的坐标为．三．解答题（共3小题）18．（2021•嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．19．（2020•嘉兴）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．x.....123456......y......632 1.5 1.21......（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．20．（2018•舟山）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之函数基础知识参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（）A．15km B．16km C．44km D．45km【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】根据图象信息先求出甲、乙速度，然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间，再求距离B地的距离即可．【解答】解：由图象可知：甲的速度为：60÷3＝20（km/h），乙追上甲时，甲走了30km，此时甲所用时间为：30÷20＝1.5（h），乙所用时间为：1.5﹣1＝0.5（h），∴乙的速度为：30÷0.5＝60（km/h），设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为t，则：20t＝60（t﹣1﹣0.5），解得：t＝2.25，此时甲距离B地为：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），故选：A．【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是读取图象中信息求出甲、乙的速度．2．（2018•绍兴）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（）A．当x＜1时，y随x的增大而增大B．当x＜1时，y随x的增大而减小C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而减小【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象．【分析】根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而可以解答本题．【解答】解：由函数图象可得，当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项A正确，选项B错误，当1＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项C、D错误，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象；一次函数及其应用．【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；C、利用待定系数法求出：当x≥25时，y A与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝35时y A的值，将其与50比较后即可得出结论C正确；D、利用待定系数法求出：当x≥50时，y B与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝70时y B的值，将其与120比较后即可得出结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；C、设当x≥25时，y A＝kx+b，将（25，30）、（55，120）代入y A＝kx+b，得：，解得：，∴y A＝3x﹣45（x≥25），当x＝35时，y A＝3x﹣45＝60＞50，∴每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确；D、设当x≥50时，y B＝mx+n，将（50，50）、（55，65）代入y B＝mx+n，得：，解得：，∴y B＝3x﹣100（x≥50），当x＝70时，y B＝3x﹣100＝110＜120，∴结论D错误．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．（2017•绍兴）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．故选：D．【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．5．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【考点】动点问题的函数图象．【分析】设PD＝x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝＝2，设PD＝x，AB边上的高为h，h＝＝，∵PD∥BC，∴＝，∴AD＝2x，AP＝x，∴S1+S2＝•2x•x+（2﹣1﹣x）•＝x2﹣2x+4﹣＝（x﹣1）2+3﹣，∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2﹣时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．6．（2018•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）【考点】坐标确定位置．【专题】计算题．【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，∴BD＝5，CD＝50÷2﹣16＝9，OA＝OD﹣AD＝40﹣30＝10，∴P（9，10）；故选：C．【点评】此题考查了坐标确定位置，根据题意确定出CD＝9，AD＝10是解本题的关键．7．（2017•温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）【考点】规律型：点的坐标．【专题】推理填空题．【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离＝21+5＝26，所以P9的坐标为（﹣6，25），故选：B．【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．8．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．【分析】求得解析式即可判断．【解答】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），∴2＝a+a，解得a＝1，∴y＝x+1，∴直线交y轴的正半轴于点（0，1），且过点（1，2），故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．9．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2B．y＝x+2C．y＝4x+2D．y＝x+2【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【分析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．【解答】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；B、y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；C、y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；D、y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．10．（2019•衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】函数及其图象．【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△CPE的面积的变化趋势．【解答】解：通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE的面积为0；当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，当x＝2时有最大面积为4，当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x 增大而增大，当x＝6时，有最大面积为8，当点P在DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小，最小面积为0；故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x的变化而变化的趋势．11．（2021•嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（）A．≤B．≥C．≥D．≤【考点】一次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x ﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a≤﹣＜0，当a＝﹣时，得b＝﹣，∴b≥﹣，∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴≤．故选：D．【点评】本题主要考查一次函数上点的坐标特征，不等式的基本性质等，判断出a与b 的正负是解题关键．12．（2020•台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．【解答】解：由题意小球在左侧时，V＝kt，∴y＝•t＝kt2，∴小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，在右侧上升时，情形与左侧相反，故选：C．【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（2017•丽水）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．乙先出发的时间为0.5小时B．甲的速度是80千米/小时C．甲出发0.5小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地早小时【考点】函数的图象．【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得出答案．【解答】解：A、由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意；B、∵乙先出发0.5小时，两车相距（100﹣70）km，∴乙车的速度为：60km/h，故乙行驶全程所用时间为：＝1（小时），由最后时间为1.75小时，可得乙先到达A地，故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5＝1.25（小时），故甲车的速度为：＝80（km/h），故B选项正确，不合题意；C、由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+60＝100，故两车相遇，故C选项正确，不合题意；D、由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣1＝（小时），故此选项错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，解决本题的关键正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．二．填空题（共4小题）14．（2020•金华）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）﹣1（答案不唯一）．．【考点】点的坐标．【专题】平面直角坐标系；几何直观．【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出m的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m，2）在第二象限内，∴m＜0，则m的值可以是﹣1（答案不唯一）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的取值范围是解题关键．15．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC＝∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．【考点】坐标与图形性质；直角三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】几何直观．【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．【解答】解：连接DE，由上图可知AB＝2，BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，又∵AE＝＝＝，同理可得DE＝＝，AD＝＝，则在△ADE中，有AE2+DE2＝AD2，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°，∴∠BAC＝∠DAE，故答案为：＝．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理及其逆定理，对于直角三角形的判定可以根据各个点的坐标，求出各线段的长度来实现，然后再根据边来判断角的大小．其解题关键在于构造相关的直角三角形．16．（2018•临安区）P（3，﹣4）到x轴的距离是4．【考点】点的坐标．【分析】根据点在坐标系中坐标的几何意义即可解答．【解答】解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P（3，﹣4）到x轴的距离是|﹣4|＝4．故答案为：4．【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．17．（2019•衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n﹣1，…，则顶点F2019的坐标为（）．【考点】规律型：点的坐标．【专题】规律型；图形的相似．【分析】（1）先证明△AOB∽△BCD，所以＝，因为DC＝1，BC＝2，所有＝；（2）利用三角形相似与三角形全等依次求出F1，F2，F3，F4的坐标，观察求出F2019的坐标．【解答】解：（1）∵∠ABO+∠DBC＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠DBC＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BCD＝90°，∴△AOB∽△BCD，∴＝，∵DC＝1，BC＝2，∴＝，故答案为；（2）解：过C作CM⊥y轴于M，过M1作M1N⊥x轴，过F作FN1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD＝＝，CM＝OA＝，DM＝OB＝AN＝，∴C（，），∵AF＝3，M1F＝BC＝2，∴AM1＝AF﹣M1F＝3﹣2＝1，∴△BOA≌ANM1（AAS），∴NM1＝OA＝，∵NM1∥FN1，∴，，∴FN1＝，∴AN1＝，∴ON1＝OA+AN1＝+＝∴F（，），同理，F1（，），即（）F2（，），即（，）F3（，），即（，）F4（，），即（，）…F2019（，），即（，405），故答案为即（，405）．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．三．解答题（共3小题）18．（2021•嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．【考点】函数的概念；数学常识．【专题】函数及其图象；模型思想．【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．建议合理即可．【解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．【点评】本题主要考查函数图象的应用，结合题干中“百米赛跑数学模型”读出图中的数据是解题关键．19．（2020•嘉兴）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．x.....123456......y......632 1.5 1.21......（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．【考点】函数的图象；函数关系式．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式．（2）根据反比例函数的性质解答即可．【解答】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，把x＝1，y＝6代入，得k＝6，∴函数表达式为；（2）∵k＝6＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．【点评】本题考查描点法画函数图象、反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型．20．（2018•舟山）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？【考点】函数的图象；函数的概念．【专题】函数及其图象．【分析】（1）根据图象和函数的定义可以解答本题；（2）①根据函数图象可以解答本题；②根据函数图象中的数据可以解答本题．【解答】解：（1）由图象可知，对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数；（2）①由函数图象可知，当t＝0.7s时，h＝0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；②由图象可知，秋千摆动第一个来回需2.8s．【点评】本题考查函数图象和函数概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．考点卡片1．数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．2．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．3．点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．4．规律型：点的坐标规律型：点的坐标．5．坐标确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．6．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．7．函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．8．函数关系式。
人教中考数学圆的综合-经典压轴题附详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB ∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.2．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为A （6，0）、B （0，2），点C （x ，y ）在线段AB 上，计算（x+y ）的最大值。
圆的有关计算(优选真题60道)：三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）圆的有关计算（优选真题60道）一．选择题（共20小题）1．（2023•大连）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（ ） A ．2πB ．3πC ．32πD ．12π【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：l =nπr 180=90⋅π×3180=32π，∴该扇形的弧长为32π． 故选：C ．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．2．（2023•湘潭）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′̂的长为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π【分析】根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案． 【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中AA′̂的长为2π×4＝8π． 故选：C ．【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1．圆锥的母线长为扇形的半径，2．圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．3．（2023•鄂州）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．5√3−√33πB ．5√3−4πC ．5√3−2πD ．10√3−2π【分析】连接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝4√3，再根据S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可．【解答】解：连接OD．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，∴BC=√3AB＝4√3，∴OC＝OD＝OB＝2√3，∴∠DOB＝2∠C＝60°，∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB=12×4×4√3−12×2√3×2√3×√32−60π⋅(2√3)2360＝8√3−3√3−2π＝5√3−2π．故选：C．【点评】本题考查扇形的面积，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．4．（2023•通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB̂于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（）A．√2+π6B．√2+π3C．2√2+π6D．2√2+π3【分析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．【解答】解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB̂于点D，∴∠AOD＝∠BOD＝30°，由轴对称的性质，∠EOB ＝∠BOD ＝30°，OE ＝OD ， ∴∠AOE ＝90°，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∵OA ＝1，∴AE =√2，AD̂的长=30π×1180=π6， ∴阴影部分周长的最小值为√2+π6， 故选：A ．【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，证得△AOE 为等腰直角三角形是解题的关键．5．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A ．πB ．3πC ．2πD ．2π−√3【分析】由等边三角形的性质得到AB ̂=BC ̂=AC ̂，由弧长公式求出AB ̂的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， ∴AB ̂=BC ̂=AC ̂， ∵AB̂的长=60π×3180=π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π． 故选：B ．【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出AB̂的长． 6．（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）A ．14πcm 2B ．13πcm 2C ．12πcm 2D ．πcm 2【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接O1A ，O2A ，O1B ，O3B ，O2C ，O3C ，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形， 所以，S 阴影部分＝3S 扇形O 1O 2A ＝3×60π×12360=π2（cm2），故选：C ．【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．7．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 是AB ̂上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，若CD ＝CE ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．25π16B ．25π8C ．25π6D ．25π4【分析】先连接OC ，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC 的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠COE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形DCE＝S△OCE+S半弓形DCE＝S扇形COB=45π×52360=25π8，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB̂是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出AB̂的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+MN2OA．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（）A．11﹣2√3B．11﹣4√3C．8﹣2√3D．8﹣4√3【分析】连接ON，根据AB̂是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA•sin60°＝2√3，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2√3，故l＝AB+MN2OA =4+(4−2√3)24=11﹣4√3．【解答】解：连接ON，如图：∵AB ̂是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ， ∴ON ⊥AB ， ∴M ，N ，O 共线， ∵OA ＝4，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝AB ＝4，∠OAN ＝60°， ∴ON ＝OA •sin60°＝2√3， ∴MN ＝OM ﹣ON ＝4﹣2√3， ∴l ＝AB +MN 2OA=4+(4−2√3)24=11﹣4√3；故选：B ．【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON 的长度．9．（2023•连云港）如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB ＝4，BC ＝5，则阴影部分的面积是（ ）A ．414π﹣20B ．412π﹣20C ．20πD ．20【分析】根据矩形的性质可求出BD ，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S 阴影部分＝S 以AD 为直径的圆+S 以AB 为直径的圆+S 矩形ABCD ﹣S 以BD 为直径的圆进行计算即可． 【解答】解：如图，连接BD ，则BD 过点O ， 在Rt △ABD 中，AB ＝4，BC ＝5，S 阴影部分＝S 以AD 为直径的圆+S 以AB 为直径的圆+S 矩形ABCD ﹣S 以BD 为直径的圆 ＝π×（42）2+π×（52）2+4×5﹣π×（BD 2）2=41π4+20−41π4＝20，故选：D ．【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．10．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P ，Q ，M 均为正六边形的顶点．若点P ，Q 的坐标分别为(−2√3，3)，（0，﹣3），则点M 的坐标为（ ）A ．（3√3，﹣2）B ．（3√3，2）C ．（2，﹣3√3）D ．（﹣2，﹣3√3）【分析】设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．判断出OC ，CM 的长，可得结论． 【解答】解：设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．∵点P ，Q 的坐标分别为(−2√3，3)，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，∴OA＝OB=√3，∴OC＝3√3，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（3√3，﹣2），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（）A．a＜b B．a＝bC．a＞b D．a，b大小无法比较【分析】利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可．【解答】解：连接P4P5，P5P6．∵点P1～P8是⊙O的八等分点，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，∵P5P4+P5P6＞P4P6，∴P3P4+P7P6＞P1P3，∴b ﹣a ＞0， ∴a ＜b ， 故选：A ．【点评】本题考查正多边形于圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在AB ̂上，点Q 是DE ̂的中点，则∠CPQ 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．36°D ．60°【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OC ，OD ，OQ ，OE ， ∵正六边形ABCDEF ，Q 是DE ̂的中点， ∴∠COD ＝∠DOE =360°6=60°，∠DOQ ＝∠EOQ =12∠DOE ＝30°，∴∠COQ ＝∠COD+∠DOQ ＝90°， ∴∠CPQ =12∠COQ ＝45°， 故选：B ．【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．13．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF ）放在平面直角坐标系中，若AB 与x 轴垂直，顶点A 的坐标为（2，﹣3），则顶点C 的坐标为（ ）A ．（2﹣2√3，3）B ．（0，1+2√3）C ．（2−√3，3）D ．（2﹣2√3，2+√3）【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可． 【解答】解：如图，连接BD 交CF 于点M ，则点B （2，1）， 在Rt △BCM 中，BC ＝4，∠BCM =12×120°＝60°， ∴CM =12BC ＝2，BM =√32BC ＝2√3， ∴点C 的横坐标为﹣（2√3−2）＝2﹣2√3，纵坐标为1+2＝3， ∴点C 的坐标为（2﹣2√3，3）， 故选：A ．【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．14．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ∥CD ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，以点E 为圆心，DE 为半径，且DE ＝6的圆交CD 于点F ，则阴影部分的面积为（ ）A ．6π﹣9√3B ．12π﹣9√3C ．6π−9√32D ．12π−9√32【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．【解答】解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝3√3，∴DF＝6√3，阴影部分的面积=120π×36360−12×6√3×3＝12π﹣9√3，故选：B．【点评】本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．15．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB̂上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣3√3B．3π−9√32C．2π﹣3√3D．6π−9√32【分析】根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB̂上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO ＝BO ，∴四边形AOBC 是菱形， 连接OC 交AB 于D ， ∵OC ＝OA ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠CAO ＝∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°， ∵AC ＝3， ∴OC ＝3，AD =√32AC =3√32， ∴AB ＝2AD ＝3√3，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOB ﹣S 菱形AOBC =120π×32360−12×3×3√3=3π−9√32，故选：B ．【点评】本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．（2022•广西）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到△AB ′C ′，连接B ′C 并延长交AB 于点D ，当B ′D ⊥AB 时，BB′̂的长是（ ）A ．2√33π B ．4√33π C ．8√39π D ．10√39π【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD 的长度，根据弧长公式即可得出答案． 【解答】解：∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ， ∴AD ＝DB =12AB ′．∴∠AB ′D ＝30°， ∴α＝30°， ∵AC ＝4，∴AD ＝AC •cos30°＝4×√32=2√3，∴AB =2AD =4√3，∴BB′̂的长度l =nπr 180=60×π×4√3180=4√33π． 故选：B ．【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．17．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm ）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）A ．282.6B ．282600000C ．357.96D ．357960000【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S 圆锥侧面积+S 圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.1kg ，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m ， 圆锥的高为0.4m ，则圆锥的母线长为：√0.32+0.42=0.5m ． ∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2）， ∵圆柱的高为1m ．圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2）， ∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2）， ∵每平方米用锌0.1kg ，∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg ，∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg ）． 故选：A ．【点评】本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，难度中等．18．（2022•遵义）如图，在正方形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AB 于点E （E 不与A ，B 重合），交CD 于点F ．以点O 为圆心，OC 为半径的圆交直线EF 于点M ，N ．若AB ＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π8−18B ．π8−14C ．π2−18D ．π2−14【分析】图中阴影部分的面积等于扇形DOC 的面积减去△DOC 的面积． 【解答】解：以OD 为半径作弧DN ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB ＝OD ＝OC ，∠DOC ＝90°， ∵∠EOB ＝∠FOD ，∴S 扇形BOM ＝S 扇形DON ， ∴S 阴影＝S 扇形DOC ﹣S △DOC =90π×(√22)2360−14×1×1=π8−14，故选：B ．【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC 的面积．19．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A．23π−√32B．23π−√3C．43π﹣2√3D．43π−√3【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=√3，进而求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×22360=23π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=√3，∴S△AOB=12×2×√3=√3，∴阴影部分的面积为：23π−√3；故选：B．【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．20．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=√5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．8﹣πB．4﹣πC．2−π4D．1−π4【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），将相关量代入求解即可．【解答】解：根据题意可知AC=√AB2−BC2=√√52−22=1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，设∠B＝n°，∠A＝m°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）=12×2×1−（nπ×12360+mπ×12360）＝1−(n+m)π360=1−π4，故选：D．【点评】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．二．填空题（共20小题）21．（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则AB的长为m．（结果保留π）【分析】由弧长公式：l =nπr 180（l 是弧长，n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径长），由此即可计算．【解答】解：∵∠AOB ＝120°，⊙O 半径r 为15m ， ∴AB̂的长=120π×15180=10π（m ）．故答案为：10π．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．22．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l 为6cm ，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r 为 cm ．【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r ．【解答】解：由题意得：母线l ＝6，θ＝120°， 2πr =120π×6180，∴r ＝2（cm ）． 故答案为：2．【点评】本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．23．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为．【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD＝2√2，再由扇形面积公式求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，∴△AOD≌△COB（SSS），∵正方形ABCD的边长为2，∴BD=√22+22=2√2，=π，∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45π⋅(2√2)2360故答案为：π．【点评】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED 的面积是解题的关键．24．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）【分析】解析圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π （cm²）故答案为：6π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．25．（2023•邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为cm2．（结果保留π）【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这张扇形纸板的面积=1•2π•8•30＝240π（cm2）．2故答案为：240π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．26．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm．【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，×2πr×24＝120π，则12解得：r＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．27．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OÊ的长．＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出DE【解答】解：连接OE，OD，∵OD ＝OB ， ∴∠B ＝∠ODB ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∴∠C ＝∠ODB ， ∴OD ∥AC ， ∴∠EOD ＝∠AEO ， ∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠BAC ＝50°， ∴∠EOD ＝∠BAC ＝50°， ∵OD =12AB =12×6＝3（cm ）， ∴DÊ的长=50π×3180=56π（cm ）．故答案为：56π．【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD ∥AC ，从而求出∠EOD 的度数．28．（2023•苏州）如图，在▱ABCD 中，AB =√3+1，BC ＝2，AH ⊥CD ，垂足为H ，AH =√3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ，AC ，AD 分别交于点E ，F ，G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1﹣r 2＝ ．（结果保留根号）【分析】根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D ＝60°，∠BAC ＝45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可．【解答】解：在▱ABCD中，AB=√3+1，BC＝2，∴AD＝BC＝2，CD＝AB=√3+1，AB∥CD．∵AH⊥CD，垂足为H，AH=√3，∴sinD=AHAD =√32，∴∠D＝60°，∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，∴DH=12AD＝1，∴CH＝CD﹣DH=√3+1﹣1=√3，∴CH＝AH，∵AH⊥CD，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠ACH＝∠CAH＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACH＝45°，∴45π×√3180=2πr1，解得r1=√38，30π×√3 180=2πr2，解得r2=√312，∴r1﹣r2=√38−√312=√324．故答案为：√324．【点评】本题考查了圆锥的计算，平行四边形的性质，解直角三角形，弧长公式，求出∠D＝60°，∠BAC ＝45°是解决本题的关键．29．（2023•云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为分米．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得：圆锥的高为：√42−12=√15（分米），故答案为：√15．【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记勾股定理是解题的关键．30．（2023•浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是6√6−6√2．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是．【分析】如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，由等腰直角三角形性质可得CK＝GK=√22CG，进而得出BK＝BC﹣CK＝12−√22CG，利用解直角三角形可得BK=√3GK，建立方程求解即可得出答案；如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM ⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为DD′̂，点H的运动轨迹为线段BH′，因此在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，再利用等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式即可求得答案．【解答】解：如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，∵∠BCD＝45°，∴△CGK是等腰直角三角形，∴CK＝GK=√22CG，∵BC＝12，∴BK＝BC﹣CK＝12−√22CG，在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，∴GKBK =tan∠GBK＝tan30°=√33，即12−√22CG =√3×√22CG ， ∴CG ＝6√6−6√2；如图2，以C 为圆心，CD 为半径作圆，当△CDE 绕点C 旋转60°时，CE ′交AB 于H ′，连接DD ′，过点D 作DM ⊥AB 于M ，过点C 作CN ⊥DD ′于N ，则∠BCE ′＝∠DCD ′＝60°，点D 的运动轨迹为DD′̂，点H 的运动轨迹为线段BH ′，∴在旋转0°到60°的过程中，线段DH 扫过的面积为S △BDD ′+S 扇形CDD ′﹣S △CDD ′，∵CD ＝BC •cosCBD ＝12cos45°＝6√2，∴DG ＝CD ﹣CG ＝6√2−（6√6−6√2）＝12√2−6√6，∵∠BCD+∠ABC ＝60°+30°＝90°，∴∠BH ′C ＝90°，在Rt △BCH ′中，CH ′＝BC •sin30°＝12×12=6，BH ′＝BC •cos30°＝12×√32=6√3，∵△CD ′E ′是等腰直角三角形，∠CD ′E ′＝90°，D ′H ′⊥CE ′，∴D ′H ′=12CE ′＝6， ∴BD ′＝6√3+6，∵DM ⊥AB ，∴∠DMG ＝90°，∴∠DMG ＝∠CH ′G ，∵∠DGM ＝∠CGH ′，∴△DGM ∽△CGH ′，∴DM CH′=DG CG ，即DM 6=√2−6√66√6−6√2，∵CD′＝CD＝6√2，∠DCD′＝60°，∴△CDD′是等边三角形，∴∠CDD′＝60°，∵CN⊥DD′，∴CN＝CD•sin∠CDD′＝6√2sin60°＝3√6，∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′=12×（6√3+6）×（3√3−3）+60π⋅(6√2)2360−12×6√2×3√6=18+12π﹣18√3；故答案为：6√6−6√2；18+12π﹣18√3．【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，得出DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′是解题关键．31．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，∴阴影部分的面积为12×4×2−2×45π×22360=4﹣π．故答案为：4﹣π．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．32．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AB＝4，AD＝3，∴BD=√AD2+AB2=√32+42=5，∴S阴影＝S⊙O﹣S矩形ABCD=π×(52)2−3×4=254π﹣12．故答案为：254π﹣12．【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．33．（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE 的面积，由S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE 可得答案．【解答】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACD ＝30°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝2，∠BAO ＝30°，∴BO =12AB ＝1，AO =√32AB =√3，∴AC ＝2OA ＝2√3，BD ＝2BO ＝2，∴S 菱形ABCD =12AC •BD ＝2√3，∴S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE＝2√3−60π×22360 =6√3−2π3， 故答案为：6√3−2π3．【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．34．（2022•广州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在边AC 上，以O 为圆心，4为半径的圆恰好过点C ，且与边AB 相切于点D ，交BC 于点E ，则劣弧DE ̂的长是 ．（结果保留π）【分析】连接OD ，OE ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A ＝∠COE ，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE ＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．【解答】解：如图，连接OD ，OE ，∵OC ＝OE ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABC ＝∠OEC ，∴AB ∥OE ，∴∠BDO+∠DOE ＝180°，∵AB 是切线，∴∠BDO ＝90°，∴∠DOE ＝180°﹣∠DOE ＝90°，∴劣弧DÊ的长是90×π×4180=2π．故答案为：2π．【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．35．（2022•重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【分析】先根据锐角三角函数求出∠AEB ＝30°，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．【解答】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，∴BE＝BC＝2，在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴sin∠AEB=ABBE =12，∴∠AEB＝30°，∴∠EBA＝60°，∴∠EBC＝30°，∴阴影部分的面积：S=30π×22360=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．36．（2023•陕西）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为．【分析】根据正八边形的性质得出四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AE，GE，BG即可．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G，由题意可知，四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，∴AE＝CE=√22AC=√2，同理BG=√2，∴AB＝EG+BG＝2+√2，故答案为：2+√2．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．37．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE=√3，由图1知AG＝BF＝2PE＝2√3，OM＝PE=√3，∵BC=12(BF−CH)=√3−1，∴AB=BCtan∠BAC =√3−1√33=3−√3，∴BD=2−AB=√3−1，∵DE=12×2=1，∴BE=BD+DE=√3，∴ON=OM+BE=2√3．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2√3，故答案为：2√3．【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．38．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是．【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：15×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．39．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2=．【分析】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OE．∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是⊙O的内接正三角形，∵∠B＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠B）＝30°，∵∠CAE＝60°，∴∠OAC＝∠OAE＝30°，∴∠BAC＝∠OAC＝30°，同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，又∵AC＝AC，∴△BAC≌△OAC（ASA），∴S△BAC＝S△AOC，圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，=2，∴S1S2故答案为：2【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．40．（2023•连云港）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转°．【分析】以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即∠DCD'是旋转角，∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少要旋转60°．【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°．故答案为：60°．【点评】本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉性质是解题关键．。
备战中考数学圆的综合-经典压轴题含答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E 在⊙O 外，做直线AE ，且∠EAC=∠D ．（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线．（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2)25-504π. 【解析】 分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE 是⊙O 的切线； （2）连接OD ，用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解：证明：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC ，∠ADC=∠ABC ，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°，即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝ =90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= （2cm ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.2．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BC BD∴，=AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG ∥DB 证到BG =DE 是解决第（3）小题的关键．3．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧． （1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：①t 的值；②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】 分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°．∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；第二种情况：如图6．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan︒=3，∴3t=2t+6+3，t=6+3；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+33．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．4．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22（）=4，∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．5．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF＝，∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）•CF＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．6．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为262)．【解析】试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出BH=BA=22，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=2633BH =∴点E 的坐标为（263，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.7．如图, Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r ＝12(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD; (3)若r=310, PD ＝18, PC=272. 求△ABC 各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和r=310,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（a+b-c）（2）取FH中点O，连接OD ∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM ＝3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴10∴10−10＝10设CE=CD=x ，则10+x ，10+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴10)2．10+x)2＝10+x)2解得：10∴10，10∴△ABC 各边长10，10，10【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．8．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC 的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD，根据三角形外角的性质，∠COD=∠OAD+∠AOD，根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案．（1）⊙O与BC相切，理由如下连接OD、OB，如图所示：∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，∠ODC=90°．∵四边形ABCD为菱形，∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC=90°，又∵OB为半径，∴⊙O与BC相切；（2）∵AD=CD，∴∠ACD=∠CAD．∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠COD=∠OAD+∠AOD，∠COD=2∠CAD．∴∠COD=2∠ACD又∵∠COD+∠ACD=90°，∴∠ACD=30°．∴OD=12OC，即r=12（r+2）．∴r=2．【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．9．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析172132【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC 、OE ．利用等角的余角相等，证明∠PCD =∠PDC 即可；（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ，推出AF =BH ，设AF =BH =x ，再证明四边形CFEH 是正方形，推出CF =CH ，可得5+x =12﹣x ，推出x =72，延长即可解决问题； 试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC 、OE ．∵AB 直径，∴∠ACB =90°，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECA =∠ECB =45°，∴AE =BE ，∴OE ⊥AB ，∴∠DOE =90°．∵PC 是切线，∴OC ⊥PC ，∴∠PCO =90°．∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ．∵∠PCD +∠OCE =90°，∠ODE +∠OEC =90°，∠PDC =∠ODE ，∴∠PCD =∠PDC ，∴PC =PD ．（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵AE =BE ，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC 2CF 172，AE 22EF AF +2217722（）（）+132 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．如图，AB 为⊙O 的直径，DA 、DC 分别切⊙O 于点A ，C ，且AB =AD ．（1）求tan ∠AOD 的值．（2）AC，OD交于点E，连结BE．①求∠AEB的度数；②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②2 CH=【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2=，根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．【详解】（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AODADAO==2；（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2=．∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴BC CHEB AE=，即12CH=，∴CH22=．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。