高中数学总复习空间点、直线、平面之间的位置关系习题课件
1 =2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点． ①证明：四边形 BCHG 是平行四边形； ②C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ BE||
①证明 由已知 FG＝GA，FH＝HD，
1 | | 可得 GH= AD. 2 1 | | 又 BC= AD， 2 | BC， ∴GH| =
证明线共面或点共面的常用方法 (1)直接法，证明直线平行或相交， 从而证明线共面． (2)纳入平面法，先确定一个平面， 再证明有关点、线在此平面内． (3)辅助平面法，先证明有关的点、 线确定平面α，再证明其余元素确定 平面β，最后证明平面α，β重合．
目录
考点一 平面的基本性质及应用
1.证明线共面或点共面的常用方法 (1)直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面． (2)纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (3)辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定平面 β，最后证明平面 α，β 重合． 2．证明点共线问题的常用方法 (1)基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基 本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上． (2)纳入直线法， 选择其中两点确定一条直线， 然后证明其余点也在该直线上．
6
目录
考点一 平面的基本性质及应用
【训练 1】如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点．
求证：(1)E，C，D1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点． 证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示． 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. P 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA. ∴CE，D1F，DA三线共点．
解析 由题意知a⊂α，b⊂β，
若a，b相交，则a，b有公共点，
从而α，β有公共点，可得出α，β相交； 反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面． 因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 答案 A
3 目录
考点一 平面的基本性质及应用
| AD， [例 1] (2)如图所示， 四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC| =
∴四边形 BCHG 为平行四边形．
4
目录
考点一 平面的基本性质及应用
| AD， [例 1] (2)如图所示， 四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC| =
1 =2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点． ①证明：四边形 BCHG 是平行四边形； ②C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ 1 | | 解 (2)∵BE= AF，G 为 FA 的中点， 2 | FG， ∴BE| = BE||
7 目录
考点二 判断空间两直线的位置关系
[例 2] (1)若 m，n 为两条不重合的直线，α，β 为两个不重合的平面，则下列命题 点、线、面位置关系的 中正确的是( ) 判定，要注常借助正方 ①若直线 m，n 都平行于平面 α，则 m，n 一定不是相交直线； 体为模型意几何模型的 选取， ②若直线 m，n 都垂直于平面 α，则 m，n 一定是平行直线； ③已知平面 α，β 互相垂直，且直线 m，n 也互相垂直，若 m⊥α，则 n⊥β； ④若直线 m，n 在平面 α 内的射影互相垂直，则 m⊥n. A．② B．②③ C．①③ D．②④
解析 (1)对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误； 对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确； 对于③，还有可能n∥β或n与β相交，③错误； 对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n， 平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC. 而m与n所成的角为60°，故④错误．答案 (1)A
2 目录
)
考点一 平面的基本性质及应用
[例 1] (1)(2016· 山东卷)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( ) 利用公理3：如果两个不重合的平 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 面有一个公共点，那么它们有且只 有一条过该点的公共直线 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
∴四边形 BEFG 为平行四边形， ∴EF∥BG. | CH， 由(1)知 BG| = ∴EF∥CH，∴EF 与 CH 共面． 又 D∈FH， ∴C，D，F，E 四点共面．
5
证明线共面或点共面的常用方法 (1)直接法，证明直线平行或相交， 从而证明线共面． (2)纳入平面法，先确定一个平面， 再证明有关点、线在此平面内． (3)辅助平面法，先证明有关的点、 线确定平面α，再证明其余元素确定 平面β，最后证明平面α，β重合．
解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过 该点的公共直线，故错误． (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误． (4)由于 a 不平行于平面 α，且 a⊄α，则 a 与平面 α 相交，故平面 α 内有与 a 相交的直线，故错误． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
第 3节
空间点、直线、平面之间的位置关系
01
诊断自测
02
考点一
目录
CONTENTS
平面的基本性质及应 用
例1 训练1
03
考点二
判断空间两直线的位 置关系
例2 训练2
04
考练3
1
目录
诊断自测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个平面 α，β 有一个公共点 A，就说 α，β 相交于过 A 点的任意一条直 线．( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( ) (4)若直线 a 不平行于平面 α，且 a⊄α，则 α 内的所有直线与 a 异面．(
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2025年高考数学一轮复习-7.2空间点、直线、平面之间的位置关系【课件】
第二节 空间点、直线、平面之间的
位置关系
1. 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础
上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2. 了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
知识 体系构建
考点 分类突破
课时 跟踪检测
PART
解析： 如图所示，因为 EF ⊂平面 ABC ， HG ⊂平面 ACD ， EF ∩
HG ＝ P ，所以 P ∈平面 ABC ， P ∈平面 ACD . 又因为平面 ABC ∩平
面 ACD ＝ AC ，所以 P ∈ AC .
目录
高中总复习·数学（提升版）
3. 如图所示，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F 分别是 AB 和 AA 1
1， F 四点共面.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，
∴ CE 与 D 1 F 必相交，
设交点为 P ，如图所示.
则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，
得 P ∈平面 ABCD .
同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
平面基本事实的应用
1. 如图所示，平面α∩平面β＝ l ， A ∈α， B ∈α， AB ∩ l ＝ D ， C
∈β， C ∉ l ，则平面 ABC 与平面β的交线是（
A. 直线 AC
B. 直线 AB
位置关系
1. 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础
上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2. 了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
知识 体系构建
考点 分类突破
课时 跟踪检测
PART
解析： 如图所示，因为 EF ⊂平面 ABC ， HG ⊂平面 ACD ， EF ∩
HG ＝ P ，所以 P ∈平面 ABC ， P ∈平面 ACD . 又因为平面 ABC ∩平
面 ACD ＝ AC ，所以 P ∈ AC .
目录
高中总复习·数学（提升版）
3. 如图所示，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F 分别是 AB 和 AA 1
1， F 四点共面.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，
∴ CE 与 D 1 F 必相交，
设交点为 P ，如图所示.
则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，
得 P ∈平面 ABCD .
同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
平面基本事实的应用
1. 如图所示，平面α∩平面β＝ l ， A ∈α， B ∈α， AB ∩ l ＝ D ， C
∈β， C ∉ l ，则平面 ABC 与平面β的交线是（
A. 直线 AC
B. 直线 AB
高中理数ppt课件：第八章-第二节-空间点、直线、平面之间的位置关系
• B. 白纸上有光斑，且先变小再变大
• C. 白纸上有光斑，且先变大再变小
• D. 白纸上有光斑，且一直变大
• 2.在探究“凸透镜成像规律”时，提出的探究问
题应 是(
)
• A. 凸透镜对光是否有会聚作用
• B. 凸透镜对光是否有发散作用
• C.像的虚实、大小、正倒跟物距有什么关 系
• D. 凸透镜是否能成像
公理法 平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在 交线上
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点 同一法 也在该直线上
突破点(二) 间 直线的位置关系
自学区 抓牢双基 · 完成情况
讲练区 研透高考· 完成情况
一作 即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证 即证明作出的角是异面直线所成的角 解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角
远视眼镜，烛焰的像变得模糊，为了能在光
屏上重新得到清晰的像C ，下列操作可行的是(
)
• A.将蜡烛靠近凸透镜 • B.将光屏靠近凸透镜 • C.将光屏远离凸透镜 • D.将光屏和蜡烛同时靠近凸透镜
• 6.小明戴100度的近视镜，小芳戴300度的近 视镜，则二人相比，下列说D法正确的是(
)
• A.小明的镜片的凸凹程度大，焦距长，折光 本领大
第二节 空间点、直线、平面 之间的位置关系
01
突破点(一) 平面的基本性质
02
突破点(二) 空间两直线的位置关系
03
全国卷5年真题集中演练——明规律
04
课时达标检测
突破点(
的基本性质
自学区 抓牢双基 · 完成情况
讲练区 研透高考· 完成情况
先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个
• C. 白纸上有光斑，且先变大再变小
• D. 白纸上有光斑，且一直变大
• 2.在探究“凸透镜成像规律”时，提出的探究问
题应 是(
)
• A. 凸透镜对光是否有会聚作用
• B. 凸透镜对光是否有发散作用
• C.像的虚实、大小、正倒跟物距有什么关 系
• D. 凸透镜是否能成像
公理法 平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在 交线上
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点 同一法 也在该直线上
突破点(二) 间 直线的位置关系
自学区 抓牢双基 · 完成情况
讲练区 研透高考· 完成情况
一作 即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证 即证明作出的角是异面直线所成的角 解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角
远视眼镜，烛焰的像变得模糊，为了能在光
屏上重新得到清晰的像C ，下列操作可行的是(
)
• A.将蜡烛靠近凸透镜 • B.将光屏靠近凸透镜 • C.将光屏远离凸透镜 • D.将光屏和蜡烛同时靠近凸透镜
• 6.小明戴100度的近视镜，小芳戴300度的近 视镜，则二人相比，下列说D法正确的是(
)
• A.小明的镜片的凸凹程度大，焦距长，折光 本领大
第二节 空间点、直线、平面 之间的位置关系
01
突破点(一) 平面的基本性质
02
突破点(二) 空间两直线的位置关系
03
全国卷5年真题集中演练——明规律
04
课时达标检测
突破点(
的基本性质
自学区 抓牢双基 · 完成情况
讲练区 研透高考· 完成情况
先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个
高三高考数学复习课件8-3空间点直线平面之间的位置关系
【答案】 (1)B (2)C
题型三 求两条异面直线所成的角 【例3】 如图所示，在三棱锥PABC中， PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB ＝AC＝2，E是PC的中点． (1)求证：AE与PB是异面直线； (2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．
【解析】 (1)证明 假设AE与PB共面，设此平面为α. 因为A∈α，B∈α，E∈α， 所以平面α即为平面ABE， 所以P∈平面ABE， 显然这与P∉平面ABE矛盾， 所以AE与PB是异面直线．
【解析】 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也 是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C 中 ， 点 M 在 此 平 面 外 ， 所 以 BN ， MB1 是 异 面 直 线 ． 同 理 AM，DD1也是异面直线．
【答案】 ③④
【思维升华】
跟踪训练2 (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下
1．下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等，则这两条直
线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若 三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．
跟踪训练1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别 是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示． 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》821PPT课件
b
O
a’
a
α
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面
()
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面 (2)圆心和圆上两点可以确定一个平面
() ()
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面
()
(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这 条直线与另一个平面的位置关系是_______.
(5)已知两条相交直线a,b，a//平面α，则b与α的位置关系 是_________.
(6)设直线a,b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直 线，则a,与b的位置关系是________
例3、如图，正方体ABCD A'B'C'D' 中，AB的中点为M,
(1)已知a,b,c是三条直线，且a//b,a与c的夹角为θ，那么 b与c的夹角为________
(2)AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱 共有____条。
(3)如果a,b是异面直线，直线c与a,b都相交，那么这三条 直线中的两条所确定的平面共有____个。
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这 条直线与另一个平面的位置关系是_______.
空间点、直线、平面之间 的位置关系
（习题2.1）
一、空间直线与直线之间的位置关系
按是否在 同一平面内分
相交直线 同在一个平面内
平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 面有三种位置关系：
O
a’
a
α
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面
()
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面 (2)圆心和圆上两点可以确定一个平面
() ()
六、例题讲解
例1、判断下列命题是否正确。 (1)梯形可以确定一个平面
()
(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这 条直线与另一个平面的位置关系是_______.
(5)已知两条相交直线a,b，a//平面α，则b与α的位置关系 是_________.
(6)设直线a,b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直 线，则a,与b的位置关系是________
例3、如图，正方体ABCD A'B'C'D' 中，AB的中点为M,
(1)已知a,b,c是三条直线，且a//b,a与c的夹角为θ，那么 b与c的夹角为________
(2)AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱 共有____条。
(3)如果a,b是异面直线，直线c与a,b都相交，那么这三条 直线中的两条所确定的平面共有____个。
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这 条直线与另一个平面的位置关系是_______.
空间点、直线、平面之间 的位置关系
（习题2.1）
一、空间直线与直线之间的位置关系
按是否在 同一平面内分
相交直线 同在一个平面内
平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 面有三种位置关系：
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
高考数学总复习 93 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 新人教A版
可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；
人
教
A
版
第九章 第三节
高考数学总复习
这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条
上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直
线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造 人
教
两个辅助面过渡．
A
版
第九章 第三节
高考数学总复习
[例 1] 如图所示，在正方体 AC1 中，M、N 分别是
版
线共面等
②应用公理4及等角定理解决有关问题
③异面直线的判定、异面直线所成的角
第九章 第三节
高考数学总复习
知识归纳
1．平面的基本性质
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么
人 教
这条直线在这个平面内．
A
版
公理 2：不共线的三点确定一个平面．
第九章 第三节
高考数学总复习
※推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且
A1B1、BB1 的中点，求异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦
值．
人
教
A
版
第九章 第三节
高考数学总复习
解析：在平面 ABB1A1 内作 EN∥AM 交 AB 于 E，则
EN 与 CN 所成的锐角(或直角)即为 AM 和 CN 所成的
角．设正方体棱长为 a.
人
教
在△CNE 中，可求得 CN＝ 25a，NE＝ 45a，CE＝
中则不然，平面几何中的一些结论在空间中未必成立．
第九章 第三节
高考数学总复习
人 教
A
版
第九章 第三节
高考数学总复习
一、共线与共面问题
8-2空间点直线平面之间的位置关系课件共104张PPT
过该点的公共直线
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
人教版高中数学必修2空间中直线与平面之间的位置关系课件
Rt△EFG中，求得∠EGF =45° (2)∵BFIIAE ∴∠FBG(或其补角)为所求， Rt△BFG中，求得∠FBG=600
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
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公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3) DE ， BF ， CC 1三线交于一点. [解析] 因为 EF ∥ BD 且 EF ＜ BD ，所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M ，则由 M ∈ DE ， DE ⊂平面 D 1 DCC 1，得 M ∈平面 D 1 DCC 1，同理， M ∈平面 B 1 BCC 1. 又平面 D 1 DCC 1∩平面 B 1 BCC 1＝ CC 1，所以 M ∈ CC 1. 所以 DE ， BF ， CC 1三线交于一点.
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件
①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD． 所以
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4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直 线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于 点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点， 所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线， 连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正 方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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③因为 EF∥BD 且 EF<BD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.