2019-2020学年重庆八中高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
第1页，共15页 2019-2020学年重庆八中高二（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数，其中i为虚数单位，则
A. 2 B. C. D. 2. 已知，则 A. B. 0 C. 1 D. 2
3. 若x，y满足约束条件，则的最大值为
A. B. C. D. 1
4. 某工艺品厂要制作一批鼠年迎春微章，每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润．统计发现，每个工人每天制作的合格品个数平均值为300，方差为25，那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为 A. 5 B. 20 C. 25 D. 100
5. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A. 若m与所成的角等于n与所成的角，则
B. 若m与所成的角等于m与所成的角，则
C. 若，，则m与所成的角等于n与所成的角
D. 若，则m与所成的角不可能等于n与所成的角
6. 在点处的切线方程为，则 A. B. 0 C. 1 D. 2
7. 某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是
A. B. C. D. 7
8. 某平台为一次活动设计了“a”、“b”、“c”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包如：“aaab”，或者集齐两组两个相同的红包如：“aabb”，即可获奖．已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为 A. 9 B. 10 C. 12 D. 16
9. 的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中的系数为 第2页，共15页
A. 40 B. 30 C. 20 D. 10
10. 重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一，比如洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地．现有4名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，则每个景点都有人去游玩的概率为
A. B. C. D. 11. 用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将半径为2cm的球放置在这个框架上如图若M是球上任意一点，则四面体MABC体积的最大值为
A. B. C. D. 12. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P在双
曲线右支上，且，若直线的倾斜角为且，则双曲线E的离心率为 A. B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若复数是纯虚数，其中m是实数，则______．
14. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项为______． 15. A，B，C，D，E，F六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次．A，B，C三人去询问比赛结果，裁判对A说：“你和B都不是第一名”；对B说：“你不是最差的”；对C说：“你比A，B的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有______种不同情况． 16. 设抛物线的焦点为F，准线为1，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若，则______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数． 当时，求的单调区间； 若是的极大值点，求a的取值范围．
18. 如图1，在六边形ABCDEF中，，，，如图2，将，分别沿着BF，CE折起，使点A，点D恰好重合于点M． 第3页，共15页
Ⅰ求证：平面平面BCEF； Ⅱ若，求直线BM与平面CEM所成角的正弦值．
19. 某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．现统计得到相关统计情况如下： 乙套设备的样本的频数分布表 质量指标值 频数 1 6 19 18 5 1 根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较； 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关． 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 附：
参考公式：，其中． 第4页，共15页
20. 已知函数． Ⅰ求的解析式； Ⅱ设，若对任意，，求a的取值范围．
21. 2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“”高考模式．所谓“”，即“3”是指考生必选语文、数学、外语这三科；“1”是指考生在物理、历史两科中任选一科；“2”是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科． 若某考生按照“”模式随机选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率． 新冠疫情期间，为积极应对“”新高考改革，某地高一年级积极开展线上教学活动．教育部门为了解线上教学效果，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分． 考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书，并说明理由；
考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由．
附：；；． 第5页，共15页
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与C交于A，B两点．的周长为，且椭圆的离心率为．
Ⅰ求椭圆C的标准方程： Ⅱ设点P为椭圆C的下顶点，直线PA，PB与分别交于点M，N，当最小时，求直线AB的方程． 第6页，共15页
-------- 答案与解析 -------- 1.答案：D
解析：解：， ． 故选：D． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2.答案：D
解析：解：， ， ， 故选：D． 先求出，再将代入即可求出答案． 本题主要考查基本初等函数的导数，属于基础题． 3.答案：D
解析：解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数为， ； 由图可知，当直线过点时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1． 故选：D． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 第7页，共15页
4.答案：B
解析：解：设每个工人每天制作的合格品为，，， 所以，
， 每个工人每天制作的合格品利润为，，， ，
， ， 故选：B． 设每个工人每天制作的合格品为，，，所以计算，，每个工人每天制作的合格品利
润为，，，，
，再计算即可． 本题考查数据的平均值、方差、标准差的求法，是基础题． 5.答案：C
解析：解：m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面， 对于A，若m与所成的角等于n与所成的角，则m与n平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若m与所成的角等于m与所成的角，则与相交或平行，故B错误； 对于C，若，，则由面面平行的性质定理得m与所成的角等于n与所成的角，故C正确； 对于D，若，则m与所成的角有可能等于n与所成的角，故D错误． 故选：C． 对于A，m与n平行、相交或异面；对于B，与相交或平行；对于C，由面面平行的性质定理得m与所成的角等于n与所成的角；对于D，m与所成的角有可能等于n与所成的角．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 6.答案：B
解析：解：由， 得，
由题意，，解得，． ． 故选：B． 第8页，共15页
求出原函数的导函数，由题意可得且，联立方程组求解a，b的值，则答案可求． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题． 7.答案：A
解析：解：因为在频率分布直方图中，中位数两侧的面积相等，所以， 可解出， 故选：A． 由中位数两侧的面积相等，可解出中位数． 本题主要考查频率分布直方图，中位数，属于基础题． 8.答案：C
解析：解：根据题意，分3种情况讨论： 若小赵收集为型，则有种情况， 若小赵收集为型，则有种情况， 若小赵收集的4个一样，则有种情况， 则有种不同的情况， 故选：C． 根据题意，由活动的规则分3种情况讨论：若小赵收集为型，若小赵收集为型，若小赵收集的4个一样，分别求出每种情况下的情况数目，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 9.答案：D
解析：【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 由题意利用二项式系数的性质求出n、m的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中的系数． 【解答】 解： 的展开式中，各二项式系数和为，．
再令，可得各项系数和为，，
则展开式中的通项公式为，令，可得， 故展开式中的系数为， 故选：D． 10.答案：B
解析：解：洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地． 现有4名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览， 则基本事件总数， 每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数，
则每个景点都有人去游玩的概率为． 故选：B．
2019-2020学年重庆八中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年重庆八中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等差数列中，，，则该数列公差为A. B. 1 C. D. 22.太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量单位：亿千瓦时的茎叶图如图，若其众数为x，中位数为y，则A. 144B. 141C.D.3.已知向量，，若，则A. 0B. 1C. 4D. 84.下列说法中，一定成立的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.已知等比数列的前n项和为且，，则A. 16B. 19C. 28D. 366.若向量，满足，，，则与的夹角为A. B. C. D.7.中，，则一定是A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.中，D在边AC上满足，E为BD的中点，则A. B. C. D.9.将两直角边长分别为1，2的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的体积为A. B. C. D.10.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. 5 D. 211.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为A. B. C. D.12.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos C的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量夹角为，则______．14.x0123y13当m变化时，回归直线直线必经过定点______．15.已知数列的前项和为，，，则______．16.如图，在中，D是BC的中点，点E在边AB上，，，AD与CE的交点为若，则______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列中，，．求的通项公式；设，记为数列前n项的和，若，求m．18.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量千辆小时与汽车的平均速度千米小时之间的函数关系为：．在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？保留分数形式若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？19.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生满分150分，且抽取的学生成绩都在内的成绩并制成频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；同一组中的数据以该组区间的中点值作代表用分层抽样的方法从成绩在和的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率．20.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且．求的外接圆直径；求的取值范围．21.若数列的前项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．22.三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利勃劳卡德命名的，他在1875年曾描述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q，如图所示．研究发现：等腰直角三角形中，若是斜边的等腰直角三角形，求线段QA的长度；若中，，，，求的值；若中，若线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，当时，求公比q的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：等差数列中，，，，，故选：B．由已知结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．2.答案：C解析：解：由茎叶图可知数据为：53，53，54，55，56，64，67，68，77，77，77，78，数据的中位数为，众数为，所以，故选：C．直接根据图中数据观察以及计算即可得到结论．本题考查茎叶图中位数和众数，通过定义计算即可，属于基础题．3.答案：D解析：解：向量，，则，又向量，且，所以，解得．故选：D．根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．4.答案：B解析：解：对于选项A：令，，，，所以结论错误．对于选项B：由于，所以b为正数，故结论正确．对于选项C：当，，所以结论错误．对于选项D：当a和b为正数时，结论成立，故错误．故选：B．直接利用赋值法和不等式的的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：C解析：解：根据题意，等比数列的前n项和为且，，则，则有，，，则有，解可得；又由，则；故选：C．根据题意，由等比数列的前n项公式变形分析可得，解可得，又由，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，注意等比数列的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为，，，，即，．，又因为，．故选：A．根据夹角公式，根据已知条件求出，然后代入夹角公式求其余弦值，即可求出角．本题考查平面向量的夹角公式，以及数量积的运算．属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意，则由正弦定理得，，，则，、，，则，即，同理可证，，则是等边三角形，故选：A．根据正弦定理化简，利用两角差的正弦公式化简，利用内角的范围好特殊角的正弦值判断出A、B、C的关系，即可判断出的形状．本题考查了正弦定理的灵活应用，注意三角形内角的范围，属于基础题．8.答案：A解析：解：如图，为BD的中点且，故选：A．根据条件可画出图形，然后根据条件及向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可用，表示出向量本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：如图为直角三角形旋转而成的旋转体．；；故选：D．画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．10.答案：A解析：解：由可得，则，，当且仅当且即，时取等号，故选：A．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：因为，所以，即，所以，因为，所以，，由余弦定理可得，，所以，则的面积．故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C，然后结合已知及余弦定理可求ab，代入已知公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．12.答案：D解析：解：当且仅当时，取等号，因为三角形时锐角三角形，所以，所以所以，因为设，，所以，因为函数在上是减函数，在上是增函数，，，所以cos C的取值范围为故选：D．结合基本不等式得，当且仅当时，取等号，根据题意得，又因为，所以，因为设，，利用函数得单调性求出最值，进而得出结论．本题考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：1解析：解：单位向量夹角为，则．故答案为：1．利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查．14.答案：解析：解：由题意可得；，由回归直线方程的性质可知，回归直线直线必经过定点是样本中心．故答案为：．利用已知条件求出回归直线方程经过的样本中心坐标即可．本题考查回归直线方程的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：2020解析：解：，当，时，有，即，．故答案为：2020．先由当，时，有，再利用数列的相邻项的关系式求解即可．本题主要考查数列的递推关系式及利用对递推关系式的合理变形求数列的和，属于基础题．16.答案：解析：解：中，D是BC的中点，，，，又E，O，C三点共线，设，且三点A，O，D共线，，解得，，，．故答案为：．根据题意设，利用A，O，D三点共线求出的值，求出、，再计算的值．本题考查了平面向量的加法、减法和数乘的几何意义，以及平面向量数量积计算问题，是中档题．17.答案：解：等差数列中，，．，即，，由题意可得，，，所以，故解析：由已知结合等差数列的通项公式即可求解d，，然后结合等差数列的通项公式即可求解；由结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．18.答案：解：，，当且仅当即时取等号．．当汽车的平均速度为30千米小时时车流量最大，最大车流量为千辆小时．令，整理得：，解得：．解析：分子分母同除以v，再利用基本不等式求最大值；解不等式得出结论．本题考查了基本不等式的应用，不等式的解法，属于中档题．19.答案：解：由，解得，故平均值为；由直方图知，两组的频率分别为，，按分层抽样的方法从成绩不低于125得同学中抽取6名，则，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，共有15种，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，，有7种，故两名同学数学成绩落在同一组得概率为．解析：由频率之和为1，解得a，平均值为由直方图知，两组的频率分别为，，，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，再利用古典概型计算，即可．本题考查频率分布直方图的应用，古典概型，属于基础题型．20.答案：解：因为，由正弦定理可得，，即，所以，因为，故且，故B，由正弦定理可得，，即外接圆直径1，由正弦定理可得，，，由题意可得，，解可得，所以，．解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；由已知结合正弦定理可求2R，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．21.答案：解：，，，所以是以1为首项，公比为3的等比数列，；，，成立，即，解得，所以最小自然数n为200．解析：由，故是以1为首项，公比为3的等比数列，求出；先求出，再利用裂项相消法求出，然后求解不等式，找到最小的自然数n．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及裂项相消法求数列的和、解不等式等基础知识，属于基础题．22.答案：解：由题意知，，，所以；在中，由正弦定理得，，解得；由题意可得，，，，且，，所以，；在中，由正弦定理得，在中，，所以，解得；设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，又线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，所以，；在和中，由正弦定理得，，，所以；所以，且，所以，所以，即；由，；在和中，由正弦定理得：，；得，即；又，展开得，解得；又等腰中，，解得；把代入得，令，代入后平方整理得，，解得或不合题意，舍去，所以公比q的值为．解析：由题意中利用正弦定理求得QA的值；在中由正弦定理求得QB，再利用求出QB，列出等式求出的值；由等比数列求得QB、QC，利用正弦定理列出方程，应用三角恒等变换和方程的知识，求出公比q的值．本题考查了解三角形以及三角恒等变换的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。
2019-2020学年南昌八中高二下学期期中数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年南昌八中高二下学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD，AB=2CD，M为AE的中点，设E—ABCD的体积为V，那么三棱锥M—EBC的体积为()A.B.C.D.2.正三棱锥P−ABC中，若PA=6，∠APB=40°，点E、F分别在侧棱PB、PC上运动，则△AEF的周长的最小值为()A. 36sin20°B. 6√2C. 12D. 6√33.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下(如图1)，检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中(如图2)，检查OM=ON=O′M′=O′N′；项目③：打开过程中(如图2)，检查OK=OL=O′K′=O′L′；项目④：打开后(如图3)，检查∠1=∠2=∠3=∠4=90°；项目⑤：打开后(如图3)，检查AB=A′B′=C′D′=CD．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”()A. ①②③B. ②③④C. ②④⑤D. ③④⑤4.、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四命题：①若，则;②若，则;③若，则;④若，则．其中真命题的序号是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5.点P为正四面体ABCD的棱BC上任意一点，则直线AP与直线DC所成角的范围是()A. [π6,π2] B. [π4,π3] C. [π3,π2] D. [π6,π4]6.若P为曲线y=lnx上一动点，Q为直线y=x+1上一动点，则|PQ|min=()A. 0B. √22C. √2D. 27.已知两个平面垂直，下列命题中：(1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；(2)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；(3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 48.已知a、b是异面直线，P是空间一定点，下列命题中正确的个数为()①过P点总可以作一条直线与a、b都垂直②过P点总可以作一条直线与a、b都垂直相交③过P点总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行④过P点总可以作一个平面与a、b同时垂直⑤过P点总可以作一个平面与a、b之一垂直与另一条平行．A. 0B. 1C. 2D. 39.如图，已知圆柱体底面圆的半径为2cm，高为2cm，AB，CD分别是两π底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是()cm.(结果保留根式)A. 2√33B. 2√3C. 2√2D. 410.A. 6πB. 8πC. 9πD. 16π11.正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心)S−ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG//平面AEF，动点P的轨迹的周长为()A. √5+√6B. 2√5+2√6C. √5+√62D. 2√5+√612.三棱锥P−ABC的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形，其中底边长为4，腰长为3，则该三棱锥左视图的面积为()A. 52B. 2√5C. √5D. 5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在60°角的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于AB，若AB=5，AC=3，BD=8，则CD=______．14.设m，n，l为空间不重合的直线，为空间不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是．(1)m//l，n//l，则m//n；(2)m l，n l，则m//n；(3)，则；(4)，则；15.如图在三棱锥中，，，，，，，则该棱锥外接球的体积为______________16.正方体ABCD−A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：①AC⊥BE；②EF//平面A1BD；③直线AE与BF所成角为定值；④直线AE与平面BD1所成角为定值；⑤三棱锥A−BEF的体积为定值．其中正确命题序号为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设两个向量、，满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，PD=BD=√3AD，且PD⊥底面ABCD．(1)证明：BC⊥平面PBD；(2)若Q为PC的中点，求三棱锥A−PBQ的体积．19.如图，已知三棱锥A−BCD中，点M在BD上，∠BAD=∠BDC=π，BM=MD=DC，且ΔACD2为正三角形．(1)证明：CM⊥AD；(2)求直线CM与平面ACD所成角的正弦值．20.求由抛物线y=x2−1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．(1)求证：平面PAB//平面EFG；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；(3)证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．22.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠BAC=30°，AB=4，E，F分别为AC，AB的中点．△PEF是由△AEF绕直线EF旋转得到，连结AP，BP，CP．(1)证明：AP⊥平面BPC；(2)若PC与平面ABC所成的角为60°，求二面角P−CF−B的余弦值．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了三棱锥的几何性质及其体积公式的应用。
重庆市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题
D. 有99.9%的把握认为“身高与性别有关”
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 列联表，计算 ，与临界值表比较即可得出结论.
【详解】K的观测值：K2 20.330；
由于20.330＞10.828，
∴有99.9%的把握认为“身高与性别有关”，
即在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“身高与性别有关”
重庆市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题
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重庆市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将 的分母实数化，化为 的形式， 即为所求．
【详解】
复数 的虚部是 1
【答案】A
【解析】
【分析】
由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．
【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A) ，P(B) ，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
①，若3个数都相邻，有（1、2、3），（2、3、4），（3、4、5），（4、5、6），（5、6、7），（6、7、8），（7、8、9），（8、9、10），共8种情况，
②，若3个数中有2个相邻，与另外1个不相邻，
当相邻的2个数为1、2时，另外的1个数可以为：4、5、6、7、8、9、10，有7种情况，
2019-2020学年重庆市第八中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市第八中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}23,A x x x Z =-<<∈，{}21B x x =≥，则集合A B =（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}1,1,2-D ．1,0,1,2【答案】C【解析】化简集合A ，B ，根据交集计算即可. 【详解】{}{}23,1,0,1,2A x x x Z =-<<∈=-,{}21(,1][1,)B x x =≥=-∞-⋃+∞,{1,1,2}A B ∴=-故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，考查了运算能力，属于容易题. 2．设命题:,1p x Q x Q ∀∉+∉，则p ⌝为（ ） A ．00,1x Q x Q ∃∉+∈ B ．,1x Q x Q ∀∈+∈ C ．,1x Q x Q ∀∉+∈ D ．00,1x Q x Q ∃∈+∈【答案】A【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即:p ⌝00,1x Q x Q ∃∉+∈． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题． 3．i 为虚数单位，复数112ii+-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】首先化简复数得到1355z i =-+，再判断其对应的象限即可.【详解】 设复数112iz i+=-， 则()()()()2112112213121212555i i i i i i z i i i i ++++++====-+--+， 所以z 在复平面内对应的点为13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的几何意义，属于简单题.4．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//m ααβ，则//m β B ．若,,m αβα⊥⊥则//m β C ．若,//,m ααβ⊥则m β⊥ D ．若//,,m ααβ⊥则m β⊥【答案】C【解析】利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可. 【详解】对于选项A: 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂,故选项A 错误; 对于选项B: 若,,m αβα⊥⊥则//m β或m β⊂，故选项B 错误;对于选项C: 若,//,m ααβ⊥由面面平行的性质和线面垂直的判定知m β⊥成立, 故选项C 正确;对于选项D: 若//,,m ααβ⊥则//m β或m β⊂或m 与β相交,故选项D 错误; 故选:C 【点睛】本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.5．如下表提供的x 和y 是两组具有线性相关关系的数据，已知其回归方程为0.650.6y x =+，m 等于（ ）x3 5 7 9y2.54m6.5A ．3.5B ．4C ．4.5D ．5【答案】D【解析】计算出样本中心点(),x y 的坐标，代入回归直线方程可求得m 的值. 【详解】由表格中的数据可得357964x +++==， 2.54 6.51344m m y ++++==， 由于回归直线过样本的中心点(),x y ，则130.6560.64m +⨯+=，解得5m =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用回归直线过样本的中心点求参数，考查计算能力，属于基础题. 6．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A ．()sin x x y e e -=+B ．()sin x xy e e -=- C ．()cos x x y e e-=-D ．()cos x xy e e -=+【答案】D【解析】根据0x =时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x xy e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D. 【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题. 7．已知3log 2a =，lg 4b =，9log 5c =，则有（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B【解析】由同底对数的单调性可比较,a c 的大小，由换底公式可比较,a b 的大小. 【详解】9331log 5log 5log 2c ===3log 2a =,而3log y x =在(0,)+∞上单调递增，a c ∴<3333log 42log 2lg 4log 10log 10b ===，33log 10log 92>=，32log 22b a ∴<=， b a c ∴<<故选：B 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，换底公式，属于中档题. 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()11f x f x +=，当()0,1x ∈时，有()2x f x =，则()2log 9f 等于（ ）A ．89B ．98C ．169D ．916【答案】A【解析】首先根据题意得到函数()f x 的周期2T =，利用函数的周期性得到()221log 99log 8f f =⎛⎫ ⎪⎝⎭，再计算29log 8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得到答案. 【详解】因为函数()f x 满足：()()()()()111,21f x f x f x f x f x +=+==+，所以函数()f x 的周期2T =.所以()()22222911log 9log 92log 994log 1log 48f f f f f ⎛⎫=-===⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为290log 8<<1，所以29log 8299log 288f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2218log 999log 8f f ==⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题主要考查对数函数的性质和对数的运算，同时考查了函数的周期性，属于中档题. 9．某学校需要把包含甲，乙，丙在内的6名教育专家安排到高一，高二，高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种【答案】B【解析】分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一，②甲和其他三人中的1人在高一，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①甲和乙丙中1人在高一，此时高一的安排方法有12C 种，高二的选法有24C 种，则此时有122412C C ⨯=种安排分法，②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有336A =种安排方法，则此时有2612⨯=种安排方法； 故有121224+=种安排方法； 安排方案的种数有12+24=36 故选：B ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=，260ONF ∠=，12F MF △的面积为23，则该双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．22184x y -=C ．22182y x -=D ．2214x y -=【答案】C【解析】作出图形，利用双曲线的定义可得2a b =，利用余弦定理和三角形的面积公式可求得12F MF △的面积为2323b =，可求得b 的值，进而可求得a 的值，由此可得出双曲线的方程. 【详解】 如下图所示：O 为12F F 的中点，N 为2MF 的中点，则()12224MF MF ON NF b -=-=，即24a b =，可得2a b =，且有1//ON MF ，则1260F MF ∠=， 在12F MF △中，由余弦定理得()222222121212121222cos60c F F MF MF MF MF MF MF MF MF ==+-⋅=+-⋅()221212124MF MF MF MF a MF MF =-+⋅=+⋅，22212444MF MF c a b ∴⋅=-=，则12F MF △的面积为122121sin 603232F MF S MF MF b =⋅==△，解得2b =，22a ∴=.因此，该双曲线的标准方程为22182y x -=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查了双曲线焦点三角形面积的计算，考查了余弦定理以及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11．函数1,(0)(){0,(0)x x f x x x +≠==，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ） A ．2b <-且0c > B ．2b >-且0c < C ．2b <-且0c D ．2b ≥-且0c【答案】C 【解析】【详解】：当0x =时()0f x =，当0x =为()()20f x bf x c ++=的一个根时可得0c．所以()()20fx bf x c ++=即()()20f x bf x +=有4个不同的根，()0f x ≠，()f x b ∴=-有4个根．0x ≠时()11122f x x x x x x x=+=+≥=，图象如图所示:由图可知22b b ->⇒<-． 综上可得2,0b c <-=．故C 正确．12．已知定义在R 上的函数1131122()(1)22x x x x f x x -----=--+，则不等式(23)(2)0f x f x ++-≥的解集为（ ）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(,3]-∞D ．(0]3，【答案】A【解析】利用复合函数关系判断()(1)g x f x =+是奇函数，同时也是减函数，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可. 【详解】解：令1t x =-，则322(1)22t t t tf t t ---+=-+， 则(1)f t +是奇函数， 则当0t ≥时，2333322221214(14)2212212141414t t t t t t t t t t ty t t t t t ------++=-=-=-=-=--+++++，为减函数，∴当1≥x 时，()f x 为减函数，即()(1)g x f x =+是奇函数，则(23)(2)0f x f x ++-≥等价为(221)(31)0f x f x +++-+≥， 即(22)(3)0g x g x ++-≥， 则(22)(3)(3)g x g x g x +≥--=-，则223x x +≤-，得131,3x x ≤≤，即原不等式的解集为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查复合函数的奇偶性和单调性、以及利用这些性质求解不等式等知识点，考查运算求解能力，属于中等题型.二、填空题13．已知函数()ln f x x x =．则曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______． 【答案】10x y --=【解析】求出(),(0),(0)f x f f ''，即可求出切线的点斜式方程，化简得出结论. 【详解】()ln ,()ln 1,(1)1,(1)0f x x x f x x f f ='=+'==,所以曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-， 即10x y --=. 故答案为：10x y --=. 【点睛】本题考查导数的几何意义，注意已知点是否为切点，属于基础题. 14．函数()22log 45y x x =-++的单调递增区间是__________. 【答案】(1,2]-【解析】先求出函数的定义域,然后求出函数245y x x =-++在定义域(1,5)-内的递增区间. 【详解】由2450x x -++>解得15x -<<,所以函数22log (45)y x x =-++的定义域为(1,5)-,又因为底数2>1,所以只需求函数245y x x =-++(15)x -<<的递增区间,因为-1<0,所以二次函数的图象的开口向下,又对称轴为2x =,所以245y x x =-++(15)x -<<的递增区间,为(1,2]-.故答案为: (1,2]-. 【点睛】本题考查了复合函数的单调区间的求法,属于中档题. 对数型复合函数的单调区间的求法” ①利用真数大于0求出函数的定义域;②根据底数与1的大小,利用同增异减的法则转化为求真数函数在定义域内的单调区间.15．已知函数3xy a =-（0a >且1a ≠）与2y a =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________.【答案】3(0,1)(1,)2【解析】根据题意，分1a >和01a <<两种情况讨论，作出函数|1|xy a =-的图象，利用数形结合得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：①1a >时，函数3xy a =-的草图如图：若|3(0xy a a =-且1)a ≠与2y a =的图象有两个交点， 必有023a <<，即302a <<，又由1a >，故312a <<； ②01a <<时，函数3xy a =-的草图如图：，若|3(0xy a a =-且1)a ≠与2y a =的图象有两个交点， 必有023a <<，分析可得01a <<， 综合可得：a 的取值范围为3(0,1)(1,)2． 故答案为：3(0,1)(1,)2【点睛】本题主要考查函数与方程的关系，涉及分段函数的图象，分类讨论思想、数形结合的思想，属于中档题．16．已知函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[)1,0-【解析】根据题意分析函数()y f x =的单调性，结合函数()y f x =的最小值为2-可得出关于实数a 的不等式组，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】由于函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减或为常值函数， 函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数.①若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减，则0a <，此时()()02f x f ≥=-， 且此时函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数， 则10a +≥，解得1a ≥-，当0x >时，()()22log 11log 10f x a x =++≥=⎡⎤⎣⎦， 即当10a -≤<时，函数()y f x =的值域为[)2,-+∞；②若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞为常值函数，则0a =，当0x ≤时，()2f x =-， 当0x >时，()()22log 1log 10f x x =+>=， 即当0a =时，函数()y f x =的值域为{}()20,-+∞，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，要结合题意分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题17．已知函数()af x x =和()24g x x ax a =++.（1）命题p ：()f x 是[)0,+∞上的增函数，命题q ：关于的方程()0g x =有实根，若p q ∧为真，求实数a 的取值范围；（2）若“[]1,2x ∈”是“()0g x ≤”的充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）14a ≥；（2）4,9⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）首先计算p 真，p 真时a 的范围，再根据p q ∧为真得到不等式组，即可得到答案.（2）首先根据题意得到()()11502490g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，再解不等式组即可.【详解】（1）因为()af x x =是[)0,+∞上的增函数，所以0a >，即p 真：0a >，方程()0g x =有实根，则21640a a -≥，14a ≥或0a ≤.即q 真：14a ≥或0a ≤. 因为p q ∧为真，所以0104a a a >⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得14a ≥. （2）因为“[]1,2x ∈”是“()0g x ≤”的充分条件，所以()()11502490g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得49a. 所以实数a 的取值范围：4,9⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了根据复合命题的真假求参数，同时考查了充分条件，属于中档题. 18．已知()421x x f x =-+.（1）若[0,)x ∈+∞，求()f x 的最小值； （2）若()()2xf xg x =，且存在[0,]x a ∈使得3()2g x ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）[1，)+∞【解析】（1）设2x t =，(1)t ，2()1f x t t ==-+，利用21y t t =-+在[1，)+∞单调性，即可求解． （2）()1()2122xx xf xg x ==+-，要使得3()2g x 成立，只需3()2maxg x 即可． 【详解】（1）设2x t =，(1)t ．2213()4211()24x x f x t t t =-+=-+=-+，1t ，21y t t ∴=-+在[1，)+∞单调递增，()1f x ∴．所以，()f x 的最小值为1； （2）()1()2122xx xf xg x ==+-， [0x ∈，]a ，令2x t =，[1t ∈，2]a要使得3()2g x 成立， 3()2maxg x 即可． 11y t t =+- 在[1，2]a 递增，132122a a ∴+-， 22a ∴，解得1a故实数a 的取值范围为[1，)+∞． 【点睛】本题考查了指数函数、二次函数与对勾函数的单调性与最值、存在性问题，属于中档题． 19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，O 为边AD 的中点，23AB =，7PA PD ==，13PB =.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）点M 在线段PC 上，12PM MC =，求二面角M OB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（227【解析】（1）根据等腰三角形性质得PO AD ⊥,再根据计算得PO OB ⊥,根据线面垂直判定定理得PO ⊥平面ABCD ,最后根据面面垂直判定定理得结果；（2）根据条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角M OB C --的余弦值. 【详解】（1）连接PO ，因为7PA PD ==，所以PO AD ⊥，因为底面ABCD 是菱形，23AB =，所以23AD =,因为O 为边AD 的中点，所以223732AO PO PA AO =∴=-=-= 因为60BAD ∠=︒，所以22212cos 312232392BO AO AB AO AB BAO =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯= 因此2224913PO BO PB +=+==,即PO OB ⊥， 因为,,ADOB O AD OB =⊂平面ABCD ,所以PO ⊥平面ABCD ,因为PO ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）因为2223912AO BO AB +=+==,所以AO OB ⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 为,,x y z 轴，则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(0,0,2),(23,3,0)O A B P C -, 111(,,2)(23,3,2)233M M M PM MC PM PC x y z =∴=∴-=-- 2341,3M M M x y z ∴===,即234()3M 平面OBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,设平面OBM 的一个法向量为(,,)n x y z =,因为n OBn OM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以302330yx y z=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩令3x=得2z=，(3,0,2)n=因为11127cos,7||||7n nn nn n⋅<>===，又二面角M OB C--为锐二面角，因此二面角M OB C--的余弦值为277【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理、利用空间向量求二面角，考查基本分析论证求解能力，属中档题.20．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布2(,)Nμσ，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈；②若2~(,)Z Nμσ，则()0.6826P Zμσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Zμσμσ-<≤+=．【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据Z 服从正态分布()2,N μσ，从而求出(14.5538.45)P Z <<；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，X 的可能取值为0,1,2,3,4，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得X 的数学期望. 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826． ②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ∴X 的分布列为∴()1422E X =⨯=． 21．已知圆C ：22(1)8x y -+=和点(1,0)A -，M 为圆上一动点，作线段MA 的垂直平分线交MC 于点N ，记N 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）若过定点(0,2)P 的直线l 交曲线E 于不同的两点G ，H （点G 在点P ，H 之间），且满足35PG PH =，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）2y =+【解析】（1）由题意可知||||NC r NM =-，可得||||||NC NA r AC +==，点N 的轨迹是以A 、C为焦点的椭圆，2a =，即a =1c =，椭圆的方程为：2212x y +=； （2）由（1）可知：设直线GH 的方程为：2y kx =+，代入椭圆方程，由韦达定理可知：122412k x x k +=-+，122312x x k =+，由35PG PH =，求得1235x x =，代入即可求得2322k =>，即可求得直线方程，当直线GH 斜率不存在时，不符合题意． 【详解】（1）设点N 的坐标为(,)x y ，'NN 是线段AM 的垂直平分线，又点N 在CM 上，圆C ：22(1)8x y-+=，半径是r = ||||||NC r NM r NA ∴=-=-， ||||||NC NA r AC ∴+==，∴点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，2a ∴=a =1c =，由2221b a c =-=，∴椭圆的方程为：2212x y +=，∴曲线E 方程：2212x y +=；（2）设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为：2y kx =+，∴22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：221()4302k x kx +++=， 由△0>，解得：232k >， 122412k x x k +=-+，122312x x k =+，又1(PG x =，12)y -，2(PH x =，22)y -，35PG PH =， 1235x x ∴=，整理得：222356()51212k k k -=++，即2322k =>，解得：k =∴直线l 的方程为：2y =+，当直线GH 斜率不存在时，直线的l 方程为0x =，13PG PH =与35PG PH =矛盾，故直线GH 斜率不存在时，直线方程不成立，∴直线l 的方程为：2y =+．【点睛】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查分类讨论思想，属于中档题． 22．已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（1）当0a =时，求函数()f x 在[1,)+∞上的值域；（2）若1a =-，设函数()f x 在（0，1）上的极值点为0x ，求证：()02f x <-. 【答案】（1）(-∞，1]2e（2）证明见解析 【解析】（1）求出()f x 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求得()f x 的导数，可得极值点满足的方程，运用分析法化简整理，即可得到证明． 【详解】（1）0a =时，2()lnx f x x =的定义域是(0,)+∞，312()lnxf x x -'=，令()0f x '>，解得0x <<()0f x '<，解得x >则()f x 在递增，在)+∞递减，故1()2f x fe==极大值， 0x →时，()f x →-∞，x →+∞时．()0f x →，故函数()f x 的值域是(-∞，1]2e． （2）证明：1a =-，则2()(1)lnx f x x =-，导数为3112()(1)lnx x f x x --'=-， 设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ， 可得001120lnx x --=， 即有00121lnx x =-， 要证0()2f x <-，即2020(1)lnx x +<-，由于2200002000000011144(12)1222(1)2(1)2(1)2(1)x x x x x x x x x x x --+-+=+==----， 由于0(0,1)x ∈，且012x =，0121lnx x =-不成立， 则02020(1)lnx x +<-， 故0()2f x <-成立． 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论思想方法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
2019-2020学年重庆八中高二(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年重庆八中高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3,x∈Z}，B={x|x2≥1}，则集合A∩B=()A. {2}B. {1,2}C. {−1,1，2}D. {−1,0，1，2}2.设命题p：∀x∉Q，x+1∉Q，则￢p为()A. ∃x0∉Q，x0+1∈QB. ∀x0∉Q，x+1∈QC. ∀x∉Q，x+1∈QD. ∃x0∈Q，x0+1∈Q3.i为虚数单位，复数1+i1−2i在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是()A. 若m//α，α//β，则m//βB. 若α⊥β，m⊥α，则m⊥βC. 若m//α，α⊥β，则m⊥βD. 若m⊥α，α//β，则m⊥β5.如表提供的x和y是两组具有线性相关关系的数据，已知其回归方程为ŷ=0.65x+0.6，则m等于()x3579y 2.54m 6.556.已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是()A. y=sin(e x+e−x)B. y=sin(e x−e−x)C. y=cos(e x−e−x)D. y=cos(e x+e−x)7.已知a=log32，b=lg4，c=log95，则有()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<a<b8.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)=1f(x)，x∈(0,1]时，f(x)=2x，则f(log29)等于()A. ..B. 98C. 89D. 25169.某学校需要把包含甲、乙、丙在内的6名教育专家安排到高一、高二、高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有()A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种10. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON|−|NF 2|=2b ，∠ONF 2=60°，△F 1MF 2的面积为2√3，则该双曲线的方程为( )A. x 24−y 22=1 B. x 24−y 24=1 C. x 28−y 22=1 D. x 28−y 24=1 11. 已知函数f(x)={|x +1x |, x ≠00, x =0则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c =0有5个不同实数解的充要条件是( )A. b <−2 且 c >0B. b >−2 且 c <0C. b <−2 且 c =0D. b ≥−2 且 c =012. 已知定义在R 上的函数f(x)=21−x −2x−121−x +2x−1−(x −1)3，则不等式f(2x +3)+f(x −2)≥0的解集为( )A. (−∞,13]B. (0,13]C. (−∞,3]D. (0,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=xlnx ，则f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______． 14. 函数y =log 2(−x 2+4x +5)的单调递增区间是______．15. 已知函数y =|a x −3|(a >0且a ≠1)与y =2a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是______．16. 已知函数f(x)={ax −2,x ≤0log 2((a +1)x +1),x >0的值域为[−2,+∞)，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=x a 和g(x)=x 2+4ax +a ．(1)命题p ：f(x)是R 上的增函数，命题q ：关于的方程g(x)=0有实根，若p ∧q 为真，求实数a 的取值范围；(2)若“x ∈[1,2]”是“g(x)≤0”的充分条件，求实数a 的取值范围．18. 已知f(x)=4x −2x +1．(1)若x ∈[0,+∞)，求f(x)的最小值；(2)若g(x)=f(x)2x ，且存在x∈[0,a]使得g(x)≥32成立，求实数a的取值范围．19.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为边AD的中点，AB=2√3，PA=PD=√7，PB=√13．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)点M在线段PC上，PM=12MC，求二面角M−OB−C的余弦值．20.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=√142.75≈11.95；②若Z ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z ≤μ+2σ)=0.9544．21. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8，定点A(1,0)，M 为圆上一动点，线段m 的垂直平分线交线段MC于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ． (Ⅰ)求曲线E 的方程：(Ⅱ)若经过F(0,2)的直线L 交曲线E 于不同的两点G ，H(点G 点F ，H 之间)，且满足FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =35FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线L 的方程．22. 已知函数f(x)=lnx(x+a)2，其中a 为常数．(1)当a =0时，求函数f(x)在[1,+∞)上的值域；(2)若a =−1，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x 0，求证：f(x 0)<−2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={−1,0，1，2}，B={x|x≤−1或x≥1}，∴A∩B={−1,1，2}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：因为全称命题的否定是特称命题．故命题p：∀x∉Q，x+1∉Q，则￢p为：∃x0∉Q，x0+1∈Q；故选：A．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：B解析：解：令z=1+i1−2i =(1+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−1+3i5=−15+35i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：(−15,35)，位于第二象限．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了直线，平面之间的位置关系的判断，需要学生具备空间想象力，逻辑推理能力，对四个选项，分别进行判断，即可得出结论，属于中档题．【解答】解：对于A，若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，不正确；对于B，∵α⊥β，∴设α∩β=a，在平面β内作直线b⊥a，则b⊥α，∵m⊥α，∴m//b，若m ⊄β，则m//β，若m ⊂β，也成立．∴m//β或m ⊂β，不正确； 对于C ，若m//α，α⊥β，则则m//β或m ，β相交，不正确；对于D ，若m ⊥α，α//β，利用平面与平面平行的性质，可得m ⊥β，正确． 故选：D ．5.答案：D解析：解：x −=3+5+7+94=6，y −=2.5+4+m+6.54=13+m 4，∴样本点的中心为(6,13+m4)，代入y ̂=0.65x +0.6，得13+m4=0.65×6+0.6，解得m =5． 故选：D ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求解m 值．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.答案：D解析：解：令s(x)=e x +e −x ，该函数的定义域为R ，且s(−x)=e −x +e x =s(x)， ∴s(x)为R 上的偶函数；令t(x)=e x −e −x ，该函数的定义域为R ，且t(−x)=e −x −e x =−(e x −e −x )=−t(x)， ∴t(x)为R 上的奇函数，又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数， 且图中所给出的函数为偶函数，排除A 与C ； 又由图可知，所求函数在[0,1]上为减函数，而B 中内层函数t(x)在[0,1]上为增函数，而外层函数正弦函数在[0,π2]上为增函数， 故当x 大于0且在0附近时，B 中函数为增函数，排除B ． 故选：D ．由函数的奇偶性排除A 与C ，在分析复合函数的单调性排除B ，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的奇偶性与单调性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．7.答案：B解析：解：∵log 95=log 35log 39=log 352=log 3√5>log 32，lg4=log 34log 310<log 34log 39=log 342=log 32，∴b <a <c ． 故选：B ．容易得出log 95=log 3√5>log 32，lg4<log 34log 39=log 32，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：函数f(x)满足：f(x +1)=1f(x)， 可得：f(x +2)=1f(x+1)=f(x)， ∴函数的周期T =2．∴f(log 29)=f(2+log 294)=f(log 294). ∵1<log 294<2∴f(1+log 298)=1f(log 298)，∵0<log 298<1， ∴f(log 298)=98 ∴f(log 29)=1f(log 298)=89．故选C ．根据函数f(x)满足：f(x +1)=1f(x)，求出函数的周期，利用x ∈(0,1]时，f(x)=2x ，即可求f(log 29)的值．本题考查了函数周期的求法，对数和指数的基本运用，属于中档题．9.答案：A解析：解：根据题意，分2种情况讨论： ①甲和乙丙中1人在高一，此时高一的安排方法有C 21种，高二的选法有C 42种，则此时有C 21×C 42=12种安排分法，②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有A 33=6种安排方法，则此时有2×6=12种安排方法； 故有12+12=24种安排方法； 故选：A ．分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一，②甲和其他三人中的1人在高一，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．10.答案：C解析：解：由N为MF2的中点，所以ON//MF1，且|ON|=12|MF1|，由题意可得∠F1MF2=60°，|ON|−|NF2|=12(|MF1|−|MF2|)=a，故a=2b，设双曲线的焦距为2c，在△MF1F2中，由余弦定理可得4c2=|MF1|2+|MF2|2−2|MF1||MF2|cos60°=(|MF1|−|MF2|)2+|MF1||MF2|= 4a2|+|MF1||MF2|，所以|MF1||MF2|=4c2−4a2=4b2，∴S△F1MF2=12|MF1||MF2|sin60°=√3b2=2√3，∴b2=2，a2=4b2=8，双曲线的方程为x28−y22=1．故选：C．由题意可得ON，NF2的值用MF1，MF2来表示，由椭圆的定义及|ON|−|NF2|=2b可得a，b的关系，三角形中由余弦定理可得两边之积，再由面积公式及题意可得a，b的值，进而求出双曲线的方程．本题考查双曲线的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．11.答案：C解析：解：∵方程f2(x)+af(x)+b=0有且只有5个不同实数解，∴对应于f(x)等于某个常数有4个不同实数解，由题意作出f(x)的简图：由图可知，只有当f(x)=0时，它有−个根．且f(x)=−b时有四个根，由图可知−b>2，∴b<−2．故所求充要条件为：b<−2且c=0，故选C．作出f(x)的简图，数形结合可得．本题考查方程根的个数问题，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12.答案：A解析：解：令t=x−1，则f(t+1)=2−t−2t2−t+2t−t3，则f(t+1)是奇函数，则当t≥0时，y=2−t−2t2−t+2t −t3=1−22t1+22t−t3=1−4t1+4t−t3=−(1+4t)+21+4t−t3=21+4t−1−t3，为减函数，∴当x≥1时，f(x)为减函数，即g(x)=f(x+1)是奇函数，则f(2x+3)+f(x−2)≥0等价为f(2x+2+1)+f(x−3+1)≥0，即g(2x+2)+g(x−3)≥0，则g(2x+2)≥−g(x−3)=g(3−x)，则2x+2≤3−x，得3x≤1，x≤13，即原不等式的解集为(−∞,13]，故选：A．利用复合函数关系判断g(x)=f(x+1)是奇函数，同时也是减函数，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件构造新函数，判断新函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．有一定的难度．13.答案：x−y−1=0解析：解：∵f(x)=xlnx，∴f′(x)=lnx+1，则f′(1)=1，又f(1)=0，∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=1×(x−1)，即x−y−1=0．故答案为：x−y−1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．14.答案：(−1,2)解析：解：由−x2+4x+5>0，得x2−4x−5<0，解得−1<x<5．令t=−x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，且在(−1,2)上单调递增，而外层函数y=log2t是定义域内的增函数，∴函数y=log2(−x2+4x+5)的单调递增区间是(−1,2)．故答案为：(−1,2)．由对数函数的真数大于0求解函数的定义域，再求出内层函数二次函数在定义域内的增区间，然后利用复合函数的单调性得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．)15.答案：(0,1)∪(1,32解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①a>1时，函数y=|a x−3|的草图如图：若y=|a x−3|(a>0且a≠1)与y=2a的图象有两个交点，必有0<2a<3，即1<a<3，2又由a>1，故此时无解；②0<a<1时，函数y=|a x−3|的草图如图：，若y=|a x−3|(a>0且a≠1)与y=2a的图象有两个交点，必有0<2a<3，分析可得0<a<1，).综合可得：a的取值范围为(0,1)∪(1,32).故答案为：(0,1)∪(1,32根据题意，分a>1和0<a<1两种情况讨论，作出函数y=|a x−1|的图象，利用数形结合得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及分段函数的图象，属于中档题．16.答案：[−1,0)解析：解：∵函数f(x)={ax −2,x ≤0log 2((a +1)x +1),x >0的值域为[−2,+∞)，∴当a =0时，f(x)={−2,x ≤0log 2(x +1),x >0，函数f(x)的值域为{−2}∪(0,+∞)，不合题意；当a >0时，x ≤0时，f(x)的取值范围是(−∞,−2]，不符合题意； 当−1<a <0时，x ≤0时，f(x)=ax −2≥−2， x >0时，f(x)=log 2((a +1)x +1)>0，此时函数f(x)={ax −2,x ≤0log 2((a +1)x +1),x >0的值域为[−2,+∞)，符合题意；当a =−1时，f(x)={−x −2,x ≤0log 21,x >0的值域为[−2,+∞)，符合题意；当a <−1时，x ≤0时，f(x)=ax −2≥−2，x >0时，f(x)=log 2((a +1)x +1)的值可能小于2，也可能无解，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围是−1≤a <0，即[−1,0)． 故答案为：[−1,0)．完全分类上应当分a =0，a >0，−1<a <0，a =−1，a <−1讨论，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：(1)若f(x)=x a 是R 上的增函数，则a >0，即p ：a >0；关于x 的方程g(x)=x 2+4ax +a =0有实根，则△=16a 2−4a ≥0， 解得a ≤0或a ≥14，即q ：a ≤0或a ≥14， 若p ∧q 为真，则{a >0a ≤0或a ≥14，即a ≥14．∴实数a 的取值范围是[14,+∞)；(2)若“x ∈[1,2]”是“g(x)≤0”的充分条件， 则{g(1)=1+5a ≤0g(2)=4+9a ≤0，解得a ≤−49． ∴实数a 的取值范围为(−∞,−49].解析：(1)利用幂函数的性质求解a 的范围化简p ，由判别式大于等于0求解a 的范围化简q ，取交集得答案；(2)把“x ∈[1,2]”是“g(x)≤0”的充分条件转化为关于a 的不等式组求解．本题考查充分必要条件的判断及其应用，考查复合命题的真假判断，考查数学转化思想方法，是中档题．18.答案：解：(1)设2x =t ，(t ≥1)．f(x)=4x −2x +1=t 2−t +1=(t −12)2+34，∵t ≥1，∴y =t 2−t +1在[1,+∞)单调递增，∴f(x)≥1． 所以，f(x)的最小值为1； (2)g(x)=f(x)2x=2x +12x −1，∵x ∈[0,a]，令2x =t ，t ∈[1,2a ] 要使得g(x)≥32成立， g(x)max ≥32即可．∵y =t +1t −1 在[1,2a ]递增， ∴2a +12a −1≥32， ∴2a ≥2，解得a ≥1故实数a 的取值范围为[1,+∞)．解析：(1)设2x =t ，(t ≥1)，f(x)═t 2−t +1，利用y =t 2−t +1在[1,+∞)单调性，即可求解． (2)g(x)=f(x)2x=2x +12x −1，要使得g(x)≥32成立，只需g(x)max ≥32即可．本题考查了函数的最值、存在性问题，属于中档题．19.答案：解：(1)证明：连结PO ，∵四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，O 为边AD 的中点， AB =2√3，PA =PD =√7，PB =√13． ∴PO ⊥AD ，PO =√7−3=2，BO =√(2√3)2−(√3)2=3，∴PO 2+BO 2=PB 2，∴PO ⊥BO ， ∵AD ∩BO =O ，∴PO ⊥平面ABCD ， ∵PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ． (2)解：∵四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，O 为边AD 的中点， ∴AD ⊥BO ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵点M 在线段PC 上，PM =12MC ， ∴P(0,0，2)，C(−2√3,3，0)，M(−2√33,1，43)，B(0,3，0)，O(0,0，0)， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√33,1，43)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,3，0)， 设平面OBM 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√33x +y +43z =0n ⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y =0，取x =2，得n⃗ =(2,0，√3)， 平面OBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设二面角M −OB −C 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7⋅1=√217． ∴二面角M −OB −C 的余弦值为√217．解析：(1)连结PO ，推导出PO ⊥AD ，PO ⊥BO ，从而PO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面PAD ⊥平面ABCD ．(2)推导出AD ⊥BO ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M −OB −C 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)根据频率分布直方图可得各组的频率为：(0,10]的频率为：0.010×10=0.1； (10,20]的频率为：0.020×10=0.2； (20,30]的频率为：0.030×10=0.3； (30,40]的频率为：0.025×10=0.25； (40,50]的频率为：0.015×10=0.15，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为 x =5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5． (2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2)，且μ=26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z <38.45)=P(26.5−11.95<Z <26.5+11.95)=0.6826， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30]内的概率为0.2+0.3=0.5， 所以X ～B(4,12)，X 的可能取值分别为：0，1，2，3，4，P(X =0)=C 40(12)4=116， P(X =1)=C 41(12)4=14， P(X =2)=C 42(12)4=38， P(X =3)=C 43(12)4=14，P(X =4)=C 44(12)4=116，∴X 的分布列为：∴E(X)=4×2=2．解析：本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题． (1)根据频率分布直方图分别计算各组的频率，再计算平均值即可； (2)①直接由正态分布的性质及题目所给可得；②根据题意得X ～B(4,12)，根据二项分布的性质即可求得X 的分布列、期望值．21.答案：解：(Ⅰ)设点N 的坐标为(x,y)，NP 为线段AM 的平分线，所以：|NA|=|MN|，又点N 在CM 上，圆C ：(x +1)2+y 2=8，半径r =2√2， 所以：|NC|+|NM|=2√2，|NC|+|MA|=|NC|+|NM|=2√2>|AC|所以：点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆． 设方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 2a =2√2，所以：a =√2，c =1， b 2=a 2−c 2=1， 所以曲线E 的方程为：x 22+y 2=1．(Ⅱ)设G(x 1,y 1)，H(x 2,y 2)，当直线GH 的斜率存在时，设直线的斜率为k ， 则：直线GH 的方程为：y =kx +2，所以：{y =kx +2x 22+y 2=1，整理得：(12+k 2)x 2+4kx +3=0， 由△>0解得：k 2>32，且：x 1+x 2=−4k 12+k 2，x 1x 2=312+k 2，①由于：FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−2)，FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−2)， 且：FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =35FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 解得：x 1=35x 2，结合①得：35(−5k1+2k 2)=61+2k 2， 解得：k 2=2>32，直线l 的方程为：y =±√2x +2，当直线HG 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =0，FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =35FH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 矛盾， 所以直线l 的方程为：y =±√2x +2．解析：(Ⅰ)首先利用点N 的坐标为(x,y)，NP 为线段AM 的平分线，所以：|NA|=|MN|，又点N 在CM 上，C ：(x +1)2+y 2=8，半径r =2√2，所以：|NC|+|NM|=2√2，|NC|+|MA|=|NC|+|NM|=2√2>|AC|所以：点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．设方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，进一步求出结果．(Ⅱ)利用分类讨论思想：设直线的方程①斜率存在②斜率不存在，利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用向量的坐标相等求出结果．本题考查的知识要点：曲线方程的求法，直线和曲线的位置关系，向量的坐标运算，直线方程的求法，属于中档题．22.答案：解：(1)a =0时，f(x)=lnx x 的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1−2lnx x ，令f′(x)>0，解得0<x <√e ，令f′(x)<0，解得：x >√e ， 则f(x)在(0,√e)递增，在(√e,+∞)递减， 故f(x)极大值=f(√e)=12e ，x →0时，f(x)→−∞，x →+∞时．f(x)→0， 故函数f(x)的值域是(−∞,12e ].(2)证明：a =−1，则f(x)=lnx (x−1)，导数为f′(x)=1−2lnx−1x(x−1)3，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x 0， 可得1−2lnx 0−1x 0=0，即有2lnx 0=1−1x 0，要证f(x 0)<−2，即lnx 0(x 0−1)2+2<0， 由于1−1x 02(x 0−1)2+2=12x0(x 0−1)+2=1−4x 0+4x 022x 0(x 0−1)=(1−2x 0)22x0(x 0−1)，由于x 0∈(0,1)，且x 0=12，2lnx 0=1−1x 0不成立，则lnx 0(x0−1)2+2<0，故f(x 0)<−2成立．解析：(1)求出f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(2)求得f(x)的导数，可得极值点满足的方程，运用分析法化简整理，即可得到证明．本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论思想方法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于综合题．。
重庆市第八中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题(解析版)
重庆市八中2019-2020学年度（下）期末考高二年级数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}23,A x x x Z =-<<∈，{}21B x x =≥，则集合A B =（ ）A. {}2B. {}1,2C. {}1,1,2-D.1,0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A ，B ，根据交集计算即可. 【详解】{}{}23,1,0,1,2A x x x Z =-<<∈=-,{}21(,1][1,)B x x =≥=-∞-⋃+∞,{1,1,2}A B ∴=-故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，考查了运算能力，属于容易题. 2. 设命题:,1p x Q x Q ∀∉+∉，则p ⌝为（ ） A. 00,1x Q x Q ∃∉+∈ B. ,1x Q x Q ∀∈+∈ C. ,1x Q x Q ∀∉+∈ D. 00,1x Q x Q ∃∈+∈【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即:p ⌝00,1x Q x Q ∃∉+∈． 故选：A ．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题．3. i 为虚数单位，复数112ii+-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】首先化简复数得到1355z i =-+，再判断其对应的象限即可. 【详解】设复数112iz i+=-，则()()()()2112112213121212555i i i i i i z i i i i ++++++====-+--+， 所以z 在复平面内对应的点为13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的几何意义，属于简单题. 4. 已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若//,//m ααβ，则//m β B. 若,,m αβα⊥⊥则//m β C. 若,//,m ααβ⊥则m β⊥ D. 若//,,m ααβ⊥则m β⊥【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可. 【详解】对于选项A: 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂,故选项A 错误; 对于选项B: 若,,m αβα⊥⊥则//m β或m β⊂，故选项B 错误;对于选项C: 若,//,m ααβ⊥由面面平行的性质和线面垂直的判定知m β⊥成立, 故选项C 正确;对于选项D: 若//,,m ααβ⊥则//m β或m β⊂或m 与β相交,故选项D 错误; 故选:C【点睛】本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.5. 如下表提供的x 和y 是两组具有线性相关关系的数据，已知其回归方程为0.650.6y x =+，m 等于（ ）y2.5 4m6.5A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5【答案】D 【解析】 【分析】计算出样本中心点(),x y 的坐标，代入回归直线方程可求得m 的值.【详解】由表格中的数据可得357964x +++==， 2.54 6.51344m m y ++++==， 由于回归直线过样本的中心点(),x y ，则130.6560.64m +⨯+=，解得5m =. 故选：D.【点睛】本题考查利用回归直线过样本的中心点求参数，考查计算能力，属于基础题. 6. 已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()cos x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x xy e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题. 7. 已知3log 2a =，lg 4b =，9log 5c =，则有（ ） A. a b c << B. b a c <<C. a c b <<D. c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】由同底对数的单调性可比较,a c 的大小，由换底公式可比较,a b 的大小.【详解】9331log 5log 5log 2c ===3log 2a =,而3log y x =在(0,)+∞上单调递增，a c ∴<3333log 42log 2lg 4log 10log 10b ===，33log 10log 92>=，32log 22b a ∴<=， b a c ∴<<故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，换底公式，属于中档题. 8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()11f x f x +=，当()0,1x ∈时，有()2xf x =，则()2log 9f 等于（ ） A.89B.98C.169D.916【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到函数()f x 的周期2T =，利用函数的周期性得到()221log 99log 8f f =⎛⎫ ⎪⎝⎭，再计算29log 8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得到答案.【详解】因为函数()f x 满足：()()()()()111,21f x f x f x f x f x +=+==+，所以函数()f x 的周期2T =.所以()()22222911log 9log 92log 994log 1log 48f f f f f ⎛⎫=-===⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为290log 8<<1，所以29log 8299log 288f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2218log 999log 8f f ==⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查对数函数的性质和对数的运算，同时考查了函数的周期性，属于中档题.9. 某学校需要把包含甲，乙，丙在内的6名教育专家安排到高一，高二，高三三个年级去听课，每个年级安排2名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种【答案】B 【解析】 【分析】分2种情况讨论：①甲和乙丙中1人在高一，②甲和其他三人中的1人在高一，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①甲和乙丙中1人在高一，此时高一的安排方法有12C 种，高二的选法有24C 种，则此时有122412C C ⨯=种安排分法， ②甲和其他三人中的1人在高一，则乙丙三人分别在高二、高三，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有336A =种安排方法，则此时有2612⨯=种安排方法； 故有121224+=种安排方法； 安排方案的种数有12+24=36故选：B ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=，260ONF ∠=，12F MF △的面积为23，则该双曲线的方程为（ ）A. 221164x y -=B. 22184x y -=C. 22182y x -=D. 2214x y -=【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用双曲线的定义可得2a b =，利用余弦定理和三角形的面积公式可求得12F MF △的面积为2323b =，可求得b 的值，进而可求得a 的值，由此可得出双曲线的方程.【详解】如下图所示：O 为12F F 的中点，N 为2MF 的中点，则()12224MF MF ON NF b -=-=，即24a b =，可得2a b =， 且有1//ON MF ，则1260F MF ∠=， 在12F MF △中，由余弦定理得()222222121212121222cos60c F F MF MF MF MF MF MF MF MF ==+-⋅=+-⋅()221212124MF MF MF MF a MF MF =-+⋅=+⋅，22212444MF MF c a b ∴⋅=-=，则12F MF △的面积为122121sin 603232F MF S MF MF b =⋅==△，解得2b =，22a ∴=. 因此，该双曲线的标准方程为22182y x -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查了双曲线焦点三角形面积的计算，考查了余弦定理以及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11. 函数1,(0)(){0,(0)x x f x x x +≠==，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ）A. 2b <-且0c >B. 2b >-且0c <C. 2b <-且0cD. 2b ≥-且0c【答案】C 【解析】【详解】：当0x =时()0f x =，当0x =为()()20f x bf x c ++=的一个根时可得0c．所以()()20fx bf x c ++=即()()20f x bf x +=有4个不同的根，()0f x ≠，()f x b ∴=-有4个根．0x ≠时()11122f x x x x x x x=+=+≥=，图象如图所示:由图可知22b b ->⇒<-． 综上可得2,0b c <-=．故C 正确．12. 已知定义在R 上的函数1131122()(1)22x x x x f x x -----=--+，则不等式(23)(2)0f x f x ++-≥的解集为（ ） A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (,3]-∞D. (0]3，【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数关系判断()(1)g x f x =+是奇函数，同时也是减函数，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可.【详解】解：令1t x =-，则322(1)22t t t tf t t ---+=-+，则(1)f t +是奇函数， 则当0t ≥时，2333322221214(14)2212212141414t t t t t t t t t t ty t t t t t ------++=-=-=-=-=--+++++，为减函数， ∴当1≥x 时，()f x 为减函数，即()(1)g x f x =+是奇函数，则(23)(2)0f x f x ++-≥等价为(221)(31)0f x f x +++-+≥， 即(22)(3)0g x g x ++-≥， 则(22)(3)(3)g x g x g x +≥--=-，则223x x +≤-，得131,3x x ≤≤，即原不等式的解集为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：A .【点睛】本题主要考查复合函数的奇偶性和单调性、以及利用这些性质求解不等式等知识点，考查运算求解能力，属于中等题型.二、填空题.13. 已知函数()ln f x x x =．则曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______． 【答案】10x y --= 【解析】 【分析】求出(),(0),(0)f x f f ''，即可求出切线的点斜式方程，化简得出结论.【详解】()ln ,()ln 1,(1)1,(1)0f x x x f x x f f ='=+'==, 所以曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-， 即10x y --=. 故答案为：10x y --=.【点睛】本题考查导数的几何意义，注意已知点是否为切点，属于基础题. 14. 函数()22log 45y x x =-++的单调递增区间是__________. 【答案】(1,2]- 【解析】 【分析】先求出函数的定义域,然后求出函数245y x x =-++在定义域(1,5)-内的递增区间.【详解】由2450x x -++>解得15x -<<,所以函数22log (45)y x x =-++的定义域为(1,5)-,又因为底数2>1,所以只需求函数245y x x =-++(15)x -<<的递增区间,因为-1<0,所以二次函数的图象的开口向下,又对称轴为2x =,所以245y x x =-++(15)x -<<的递增区间,为(1,2]-.故答案为: (1,2]-.【点睛】本题考查了复合函数的单调区间的求法,属于中档题. 对数型复合函数的单调区间的求法”①利用真数大于0求出函数的定义域;②根据底数与1的大小,利用同增异减的法则转化为求真数函数在定义域内的单调区间.15. 已知函数3xy a =-（0a >且1a ≠）与2y a =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________. 【答案】3(0,1)(1,)2【解析】 【分析】根据题意，分1a >和01a <<两种情况讨论，作出函数|1|xy a =-的图象，利用数形结合得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：①1a >时，函数3xy a =-的草图如图：若|3(0xy a a =-且1)a ≠与2y a =的图象有两个交点， 必有023a <<，即302a <<，又由1a >，故312a <<； ②01a <<时，函数3xy a =-的草图如图：，若|3(0xy a a =-且1)a ≠与2y a =的图象有两个交点， 必有023a <<，分析可得01a <<， 综合可得：a 的取值范围为3(0,1)(1,)2． 故答案为：3(0,1)(1,)2【点睛】本题主要考查函数与方程的关系，涉及分段函数的图象，分类讨论思想、数形结合的思想，属于中档题．16. 已知函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,0- 【解析】 【分析】根据题意分析函数()y f x =的单调性，结合函数()y f x =的最小值为2-可得出关于实数a 的不等式组，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】由于函数()()22,0log 11,0ax x f x a x x -≤⎧⎪=⎨⎡⎤++>⎪⎣⎦⎩的值域为[)2,-+∞，则函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减或为常值函数， 函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数.①若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞上单调递减，则0a <，此时()()02f x f ≥=-， 且此时函数()()2log 11f x a x =++⎡⎤⎣⎦在区间()0,∞+上单调递增或为常值函数， 则10a +≥，解得1a ≥-，当0x >时，()()22log 11log 10f x a x =++≥=⎡⎤⎣⎦， 即当10a -≤<时，函数()y f x =的值域为[)2,-+∞；②若函数()2f x ax =-在区间(],0-∞为常值函数，则0a =，当0x ≤时，()2f x =-， 当0x >时，()()22log 1log 10f x x =+>=， 即当0a =时，函数()y f x =的值域为{}()20,-+∞，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，要结合题意分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题.17. 已知函数()af x x =和()24g x x ax a =++.（1）命题p ：()f x 是[)0,+∞上的增函数，命题q ：关于的方程()0g x =有实根，若p q ∧为真，求实数a 的取值范围；（2）若“[]1,2x ∈”是“()0g x ≤”的充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）14a ≥；（2）4,9⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）首先计算p 真，p 真时a 的范围，再根据p q ∧为真得到不等式组，即可得到答案.（2）首先根据题意得到()()11502490g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，再解不等式组即可.【详解】（1）因为()af x x =是[)0,+∞上的增函数，所以0a >，即p 真：0a >，方程()0g x =有实根，则21640a a -≥，14a ≥或0a ≤.即q 真：14a ≥或0a ≤. 因为p q ∧为真，所以0104a a a >⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得14a ≥. （2）因为“[]1,2x ∈”是“()0g x ≤”的充分条件，所以()()11502490g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得49a. 所以实数a 的取值范围：4,9⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了根据复合命题的真假求参数，同时考查了充分条件，属于中档题. 18. 已知()421x x f x =-+.（1）若[0,)x ∈+∞，求()f x 的最小值； （2）若()()2xf xg x =，且存在[0,]x a ∈使得3()2g x ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）[1，)+∞ 【解析】 【分析】（1）设2x t =，(1)t ，2()1f x t t ==-+，利用21y t t =-+在[1，)+∞单调性，即可求解．（2）()1()2122xx x f x g x ==+-，要使得3()2g x 成立，只需3()2maxg x 即可． 【详解】（1）设2x t =，(1)t ． 2213()4211()24x x f x t t t =-+=-+=-+，1t ，21y t t ∴=-+在[1，)+∞单调递增，()1f x ∴．所以，()f x 的最小值为1； （2）()1()2122x x x f x g x ==+-，[0x ∈，]a ，令2x t =，[1t ∈，2]a要使得3()2g x 成立， 3()2maxg x 即可． 11y t t =+- 在[1，2]a 递增，132122a a ∴+-， 22a ∴，解得1a故实数a 的取值范围为[1，)+∞．【点睛】本题考查了指数函数、二次函数与对勾函数的单调性与最值、存在性问题，属于中档题． 19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，O 为边AD 的中点，23AB =，7PA PD ==，13PB =.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）点M 在线段PC 上，12PM MC =，求二面角M OB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（227【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO AD ⊥,再根据计算得PO OB ⊥,根据线面垂直判定定理得PO ⊥平面ABCD ,最后根据面面垂直判定定理得结果；（2）根据条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角M OB C --的余弦值.【详解】（1）连接PO ，因为7PA PD ==，所以PO AD ⊥，因为底面ABCD 是菱形，23AB =，所以23AD =,因为O 为边AD 的中点，所以223732AO PO PA AO =∴=-=-= 因为60BAD ∠=︒，所以22212cos 312232392BO AO AB AO AB BAO =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯= 因此2224913PO BO PB +=+==,即PO OB ⊥， 因为,,ADOB O AD OB =⊂平面ABCD ,所以PO ⊥平面ABCD ,因为PO ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）因为2223912AO BO AB +=+==,所以AO OB ⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 为,,x y z 轴，则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(0,0,2),(23,3,0)O A B P C -,111(,,2)(23,3,2)233M M M PM MC PM PC x y z =∴=∴-=-- 234,1,33M M M x y z ∴=-==,即234(,1,)33M - 平面OBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,设平面OBM 的一个法向量为(,,)n x y z =,因n OBn OM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以302330yx y z=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩令3x=得2z=，(3,0,2)n=因为11127cos,||||7n nn nn n⋅<>===，又二面角M OB C--为锐二面角，因此二面角M OB C--的余弦值为27【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理、利用空间向量求二面角，考查基本分析论证求解能力，属中档题.20. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布2(,)Nμσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈；②若2~(,)Z Nμσ，则()0.6826P Zμσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Zμσμσ-<≤+=．【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据Z服从正态分布()2,Nμσ，从而求出(14.5538.45)P Z <<；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，X 的可能取值为0,1,2,3,4，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得X 的数学期望. 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826． ②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ∴X 的分布列为∴()1422E X =⨯=． 21. 已知圆C ：22(1)8x y -+=和点(1,0)A -，M 为圆上一动点，作线段MA 的垂直平分线交MC 于点N ，记N 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）若过定点(0,2)P 的直线l 交曲线E 于不同的两点G ，H （点G 在点P ，H 之间），且满足35PG PH =，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）2y =+【解析】 【分析】（1）由题意可知||||NC r NM =-，可得||||||NC NA r AC +==>，点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，2a =，即a =1c =，椭圆的方程为：2212x y +=；（2）由（1）可知：设直线GH 的方程为：2y kx =+，代入椭圆方程，由韦达定理可知：122412k x x k +=-+，122312x x k =+，由35PG PH =，求得1235x x =，代入即可求得2322k =>，即可求得直线方程，当直线GH 斜率不存在时，不符合题意． 【详解】（1）设点N 的坐标为(,)x y ，'NN 是线段AM 的垂直平分线，又点N 在CM 上，圆C ：22(1)8xy -+=，半径是r = ||||||NC r NM r NA ∴=-=-， ||||||NC NA r AC ∴+==，∴点N 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，2a ∴=a =1c =，由2221b a c =-=，∴椭圆的方程为：2212x y +=，∴曲线E 方程：2212x y +=；（2）设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为：2y kx =+，∴22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：221()4302k x kx +++=， 由△0>，解得：232k >，122412k x x k +=-+，122312xx k =+， 又1(PG x =，12)y -，2(PH x =，22)y -，35PG PH =， 1235x x ∴=，整理得：222356()51212k k k -=++，即2322k =>，解得：k =∴直线l 的方程为：2y =+，当直线GH 斜率不存在时，直线的l 方程为0x =，13PG PH =与35PG PH =矛盾，故直线GH 斜率不存在时，直线方程不成立，∴直线l 的方程为：2y =+．【点睛】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查分类讨论思想，属于中档题． 22. 已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数. （1）当0a =时，求函数()f x 在[1,)+∞上的值域；（2）若1a =-，设函数()f x 在（0，1）上的极值点为0x ，求证：()02f x <-. 【答案】（1）(-∞，1]2e（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）求得()f x 的导数，可得极值点满足的方程，运用分析法化简整理，即可得到证明． 【详解】（1）0a =时，2()lnx f x x =的定义域是(0,)+∞，312()lnxf xx -'=，令()0f x '>，解得0x <<()0f x '<，解得x >则()f x 在递增，在)+∞递减，故1()2f x fe==极大值， 0x →时，()f x →-∞，x →+∞时．()0f x →，故函数()f x 的值域是(-∞，1]2e． （2）证明：1a =-，则2()(1)lnx f x x =-，导数为3112()(1)lnx x f x x --'=-， 设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ， 可得001120lnx x --=， 即有00121lnx x =-， 要证0()2f x <-，即02020(1)lnx x +<-， 由于2200002000000011144(12)1222(1)2(1)2(1)2(1)x x x x x x x x x x x --+-+=+==----， 由于0(0,1)x ∈，且012x =，00121lnx x =-不成立， 则2020(1)lnx x +<-， 故0()2f x <-成立．【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论思想方法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
重庆八中2019-2020学年高二下半期数学试题(无答案)
重庆八中2019-2020学年度（下）半期考试高二年级数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 复数i i z -=1（i 为虚数单位），则=||z A.1 B.22 C.2 D.22. 已知3sin 2)(x x x f +=，则=')0(fA.2-B.0C.1D.23. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥02031y x y x x ，则y x z +-=的最大值为 A.21-B.1-C.21 D.1 4. 某工艺品厂要制作一批鼠年迎春微章，每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润。
统计发现，每个工人每天制作的合格品个数平均值为300，方差为25，那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为A.5B.20C.25D.1005. 已知m ，n 为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，则下列说法正确的是A.若m 与α所成的角等于n 与α所成的角，则m //nB.若m 与α所成的角等于m 与B 所成的角，则α//βC.若m //n ，αβ//则m 与α所成的角等于n 与β所成的角D.若m ⊥n ，则m 与α所成的角不可能等于n 与α所成的角6. x bx ax x f ln )(2++=在点))1(,1(f 处的切线方程为22-=x y ，则=-a bA.1-B.0C.1D.27. 某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假明参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是A.16.7B.2.7C.2.8D.78. 某平台为一次活动设计了“a ”、“b ”、“c ”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“aaab ”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“aabb ”），即可获奖：已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为A.9B.10C.12D.169. n x mx )(+)(+∈N n 的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为A.40B.30C.20D.1010. 重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一，比如洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地，现有4名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一个进行游览，则每个景点都有人去游玩的概率为 A.98 B.94C.196D.43 11. 用一根长为cm 18的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A ，B ，C ，将半径为cm 2球放置在这个框架上（如图），若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为 A.3433cm B.33cm C.333cm D.339cm 12. 已知双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，且0)(22=+⋅OF PF ，若直线1PF 的倾斜角为θ且952sin =θ，则双曲线C 的离心率为 A.23 B.3 C.25 D.5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若复数i m m m z )1(2+++=是纯虚数，其中m 是实数，则=z _____________.14. 在4)1(x +的二项展开式中，二项式系数最大的项为_____________.（写出该项的最简结果） 15. A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况。