2021-2022年高二上学期期末联考数学(理)试题含答案

2021年高二上学期期末联考数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

参考公式：球的表面积公式：柱体的体积公式：球的体积公式：锥体的体积公式：棱台的体积公式一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的准线方程是( )2．圆在点处的切线方程为（）A．B．C．D．3．若直线与直线平行，则实数的值为（）A．B．1 C．1或D．4．长方体有共同顶点的三条棱长分别为1，2，3，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球体的表面积为（）（）A．B．C．D．5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（）第6题图D 1C 1B 1A 1DC BA6．如图，平行六面体中，则等于（）A ．B ．C ．D ．7．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是（）A ．a ⊥α，b//β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α//βC ．a ⊂α，b//β，α⊥βD ．a ⊂α，b ⊥β，α//β8．在下列结论中，正确的是（） ①为真是为真的充分不必要条件； ②为假是为真的充分不必要条件； ③为真是为假的必要不充分条件； ④为真是为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④9．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成的角的余弦值为（） A . B . C . D .10．已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为（） A. B. C. D.第Ⅰ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上相应位置上． 11．已知直线与关于轴对称，直线的斜率是_____. 12．曲线表示双曲线，则的取值范围为 . 13．已知且与互相垂直，则的值是 .14．是椭圆的上一点，点分别是圆和上的动点，则的最大值为 .15．如图，在长方形中,,,为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到时，则所形成轨迹的长度为 .D EABC F M第17题图C 1B 1A 1CBA三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应位置上. 16．（本小题满分为13分）已知直线经过点．求解下列问题（最后结果表示为一般式方程）（Ⅰ）若直线的倾斜角的正弦为；求直线的方程；（Ⅱ）若直线与直线垂直，求直线的方程.17.（本小题满分为13分）直三棱柱中，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．18．（本小题满分为13分）设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且直线被圆截得的弦长为. （Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）求圆的标准方程．19．（本大题满分13分）已知命题命题若命题“且”为假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.20．（本小题满分为12分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，,,点是线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的大小；（Ⅲ）试在线段上一点，使得与所成的角是．21．（本小题满分为12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，曲线是以坐标原点为顶点，以为焦点的抛物线，自点引直线交曲线于为两个不同的交点，点关于轴的对称点记为．设．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若，求得取值范围.xx 学年（上）高xx 级过程性调研抽测数学（理科）参考答案一、选择题1～5：BDACC 6～10：BDBCA 二、填空题11. 12. 13. 14.13 15. 三、解答题 16.解：（Ⅰ）由题意：设直线的倾斜角为，则…………………………2分即的斜率…………………………4分直线的方程为：…………6分（Ⅱ）设所求直线方程为：············9分又过， ······················12分直线的方程为：················13分17．解：（Ⅰ）直三棱柱中，，又可知，………………………2分由于，则由可知，，…………………… 4分则……………………………………………6分所以有平面 ………………………………7分（Ⅱ）直三棱柱中，，则，又…………………….9分由于.....................................................11分 ......................................13分18. 解：（Ⅰ）由题意：设的坐标为，则的中点坐标为..........2分点关于对称解得....................................4分即...........................................................6分（利用其他方法求解酌情给分）（Ⅱ）由题意易知过圆的圆心设圆标准方程为：......................8分则由题中条件可得()()2222320a b r a b ⎧⎪-+-=⎪⎪+=⎨=.....................................10分解得：A BC DE FMN A B C DE F M H AB C DEF M P G即圆的标准方程为或.......13分 19. 解：由命题可知： ···········3分由命题可知：····5分 ···································7分是假命题，或”是真命题，所以有为真，为假，或者为假，为真。

···9分即或·····························11分··································13分 20. 法一：（几何法）（Ⅰ）证明：如图：连接交于点，连接易得，则四边形为平行四边形..................................2分平面.......................................4分（Ⅱ）解：易得，如图过点做交于点，连接为在平面内的射影且由三垂线定理正定理可得：.......................................6分则为二面角的平面角可得, 二面角为.................................................8分（Ⅲ）如图在上任取一点，过作交于点连接，则易知为与所成的角..............................................10分且易证设，则解得应为的中点................... ..12分法二：（向量法）解：（Ⅰ）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则,，，, , , ,所以,又与不共线，所以,...................................................2分又平面，平面，所以平面；...............4分（Ⅱ）平面的法向量,设平面的法向量，由得，取，................6分则所以二面角大小为；………….8分（Ⅲ）设，，，则，.................................10分解得或（舍去）所以当点为线段的中点时，直线与所成的角为．………12分 21.解：（Ⅰ）椭圆的右焦点的坐标为，可设曲线的方程为，，曲线的方程为.....................................................3分（Ⅱ）设 ①② ③......................5分将③代入①得由②知，故.............................................7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知得...........................8分则()()()22222221212121212122PQ x x y y x x y y x x y y =-+-=+++-+22111412216λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭...................10分得...................12分。

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2021-2022学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．直线12l l ⊥，若1l 的倾斜角为60°，则2l 的斜率为（）AB ．CD ．【答案】D【分析】直线12l l ⊥,斜率乘积为1-，斜线斜率等于倾斜角的正切值.【详解】1tan60k =︒=121k k ，所以2k =.故选：D.2．等差数列{}n a 中，466a a +=，84a =，则2a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，因466a a +=，84a =，而2846a a a a +=+，于是得246a +=，解得22a =，所以22a =. 故选：B3．已知{},,a b c 是空间的一个基底，AB a b =+，AC a c =+，AD b c λ=+，若,,,A B C D 四点共面．则实数λ的值为（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【分析】由共面定理列式得AB x AC y AD =+，再根据对应系数相等计算.【详解】因为,,,A B C D 四点共面，设存在有序数对(),x y 使得AB x AC y AD =+，则()()a b x a c y b c λ+=+++，即()a b xa yb x y c λ+=+++，所以得1,1x y λ===-.故选：A4．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线28y x =，从点()14,A y 发出一条平行于x 轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点()24,B y ，则光线从A 出发到达B 所走过的路程为（） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】如图所示：焦点为()2,0F ，设光线第一次交抛物线于点A '，第二次交抛物线于点B '，A B ''过焦点F ，准线方程为：2x =-，作AA ''垂直于准线于点A ''，作BB ''垂直于准线于点B ''，则AA A B B B ''''++，AA A F B F B B ''''=+++，AA A A B B B B ''''''''=+++， 6612AA BB ''''=+=+=，故选：C5．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A ．1.2mB ．1.3 mC ．1.4 mD ．1.5 m【答案】B【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.6．直线l 的方向向量为()1,0,1m =-，且l 过点()1,1,1A ，则点()1,1,1P --到l 的距离为( )AB CD ．【答案】C【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算. 【详解】∵()1,1,1A ，()1,1,1P -- ∴()0,2,2AP =-- 又()1,0,1m =-，∴AP 在m 方向上的投影2cos 2AP m AP AP m m ⋅⋅⋅===∴P 到l 距离2||(2)d AP =-故选：C.7．在四面体OABC 中，OA OB OC ==，60AOB AOC ∠==︒，90BOC ∠=°，则OB 与AC 所成角的大小为（） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B【分析】以{,,}OA OB OC 为空间的一个基底，求出空间向量求,OB AC 的夹角即可判断作答.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC 不共面，则AC OC OA =-，令1OA OB OC ===，依题意，1()cos90cos602AC OB OC OA OB OC OB OA OB ⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设OB 与AC 所成角的大小为θ，则||1cos |cos ,|2||||AC OB AC OB AC OB θ⋅=〈〉==，而090θ<≤，解得60θ=，所以OB 与AC 所成角的大小为60. 故选：B8．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 上存在两点A 、B 满足122F A F B =，243AF a =，则E 的离心率为（）A ．53B ．23C ．32D ．12【答案】A【分析】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，推导出A 、1F 、C 三点共线，利用椭圆的定义可求得1AF 、2AF 、AC 、2CF ，推导出290CAF ∠=，利用勾股定理可得出关于a 、c 的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率. 【详解】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，则O 为BC 、12F F 的中点，故四边形12BF CF 为平行四边形，故12//CF BF 且12CF BF =，则12CF F B =，所以，112F A CF =，故A 、1F 、C 三点共线，由椭圆定义，122AF AF a +=，有123AF a =，所以13aCF =，则AC a =，再由椭圆定义122CF CF a +=，有253aCF =，因为22222CF AC AF =+，所以290CAF ∠=，在12AF F △中，2221212F F AF AF =+即222049c a =，所以，离心率5e =．故选：A. 二、多选题9．圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，则r 的值可以是（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】BD【分析】根据圆与圆的位置关系，列出r 的等量关系式，求解即可.【详解】对圆1C ，其圆心为()0,0，半径为r ；对圆2C ，其圆心为()2,0，半径为1，则122C C =，因为圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，故圆12,C C 外切或内切，则21r =+或21r =-，故可得1r =或3r =. 故选：BD .10．曲线2:14x C y y +=，则（）A ．C 上的点(),x y 满足x ∈R ，1y ≤B ．C 关于x 轴、y 轴对称 C ．C 与x 轴、y 轴共有3个公共点D ．C 与直线2xy =只有1个公共点【答案】ACD【分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断. 【详解】220,:14x y C y +=表示椭圆在x 轴上方的部分，220,:14x y C y <-=表示双曲线在x 轴下方的部分，作出图象：双曲线的一条渐近线为2x y =，故选项ACD 正确，选项B 错误. 故选：ACD.11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB ⊥，1CA CB CC ==，D ，E ，M 分别为11B C ，1CC ，1AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则( )A ．1MN BC ⊥B ．存在点N ，MN ⊥平面1BC N C ．MN ∥平面1A DED ．存在点N ，MN DE ∥【答案】AD【分析】A ：连接11,BC B C ，证明1BC ⊥平面1AB C 即可； B ：建立空间直角坐标系，判断MN 与BN 是否可能垂直即可； CD ：当N 是AC 中点时，MN ∥DE . 【详解】A 选项：连接11,BC B C ，由题可知四边形11BCC B 是正方形，则11BC B C ⊥，由题知平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面11BCC B ，又111BC BCC B ⊂，∴1AC BC ⊥，又1B C AC C ⋂=，1,B C AC ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ， ∵MN ⊂平面1AB C ，∴1BC MN ⊥. 故A 正确；如图建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝1CC ＝2，则()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,2,0A ，()12,0,2B ，()1,1,1M ，设()0,,0N t ，02t <<，则()2,,0BN t =-，()1,1,1NM t =-，若BN ⊥MN ，则()0210BN NM t t ⋅=⇒-+-=，即220t t -+=，方程无实数根，即BN 与MN 不垂直，则不存在点N ，使得MN ⊥平面1BC N ，B 错误； C 选项：当N 是AC 中点时，MN ∥1B C ，1B C ∥DE ，∴MN ∥平面1A DE ；当N 不是AC 中点时，MN 和B 1C 相交，若MN ∥平面1A DE ，结合1B C ∥平面1A DE 可知平面1AB C ∥平面1A DE ，这显然与图形不符(1A E 与AC 相交)，故此时MN 与平面1A DE 不平行；故C 错误；由C 项可知，N 为AC 中点满足题意，故D 正确.故选：AD.12．设函数()21,0,1,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩数列{}n a 满足()1n n a f a +=，则（）A ．当112a =时，1n a < B ．若{}n a 为递增数列，则11a > C ．若{}n a 为等差数列，则10a ≤ D ．当12a =时，12311111na a a a ++++< 【答案】AD【分析】分(],0n a ∈-∞，()0,1n a ∈，()1,n a ∈+∞，1n a =四种情况讨论，在逐一分析判断各个选项即可得出答案.【详解】解：①(],0n a ∈-∞时，()110n n n a f a a +==-≤，②()0,1n a ∈时，()()()211110,1n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+∈，③()1,n a ∈+∞时，()()211111n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+>，④1n a =时，()2111n n n n a f a a a +==-+=，因此，11211,0,1,0n n nn a a a a a a +-≤⎧=⎨-+>⎩，有10a ≤时，11n n a a +-=-，10a >时，()211n n n a a a +-=-，对于选项A ，()110,12a =∈，1n a <，故A 正确；对于选项B ，{}n a 为递增数列时，则10n n a a +->，当0n a ≤时，110n n a a +=-≤，则110n n a a +-=-<，不符题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()2212110n n nn n a a a a a +-=-+=->，所以10a >且11a ≠，综上10a >且11a ≠，故B 错误；对于选项C ，{}n a 为等差数列时，则1n n a a d +-=，（d 为常数），当0n a ≤时，11n n a a +=-，则11n n a a +-=-，符合题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()221211n n nn n a a a a a +-=-+=-，要使()21n a -为常数，则10n a -=，所以11a =，综上10a ≤或11a =（其中，11a =时，{}n a 为常数列），故C 错误；对于选项D ，12a =，211n n n a a a +-=-，有()11111111n n n n na a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---，则1212231111111111111111+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n a a a a a a a a a 111111n a a +=---，因为121a =>，所以11n a +>，即1101n a +>-，所以121111111n a a a a ++⋅⋅⋅+<=-，故D 正确. 故选：AD ．三、填空题13．写出直线210x y ++=的一个方向向量m =______．【答案】()1,2-【分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.【详解】由题意可知，直线210x y ++=可以化为21y x =--，所以直线的斜率为2-，直线的一个方向向量可以写为()1,2-. 故答案为：()1,2-.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到C 的渐近线的距离为32c ，则C 渐近线方程为______．【答案】3y x =±【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为：b y x a =±，即0bx ay ±=，依题意，2232bc c a b =+，即2232b a b=+，解得3b a =，所以C 渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±15．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n 个图案中所有着色的正方形的面积之和为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】()819n-【分析】根据题意，归纳总结，结合等比数列的前n 项和公式，即可求得{}n a 的通项公式.【详解】结合已知条件，归纳总结如下：第一个图案中，着色正方形的面积即119a =；第二个图案中，新着色的正方形面积是189a ，故着色正方形的面积即2118999a =+⨯；第三个图案中，新着色的正方形面积是289a ，故着色正方形的面积即231181899999a ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；第n 个图案中，新着色的正方形面积是189n a -，故着色正方形的面积即2111818189999999n n a -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故18199819nna ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-()819n -.故答案为：()819n-.四、双空题16．圆()()22:224C x y -+-=与x 轴相切于点A ．点B 在圆C 上运动，则AB 的中点M 的轨迹方程为______（当点B 运动到与A 重合时，规定点M 与点A 重合）；点N 是直线0x y +=上一点，则MN AN +的最小值为______．【答案】 ()()22211x y -+-= 131-【分析】将点M 的轨迹转化为以AC 为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将MN AN +的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解.【详解】依题意得()2,0A ，()2,2C ，因为M 为AB 中点，所以CM AM ⊥，所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，又AC 中点为()2,1，2AC =，所以点M 的轨迹方程为()()22211x y -+-=，圆心()2,1D ，设()2,0A 关于直线0x y +=的对称点为(),A m n '，则有0122022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得02m n =⎧⎨=-⎩，所以()0,2A '-，所以由对称性可知MN AN +的最小值为()()22102211131A D '-=-+--=-．故答案为：()()22211x y -+-=，131- 五、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-； (2)21n nT n =+. 【分析】(1)根据给定条件结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”计算作答. (2)由(1)求出n b ，利用裂项相消法计算得解.【详解】(1)数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，满足上式，则21n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-． (2)由(1)知，()()111111()212122121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以1211111111[(1)()()()]2335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++，所以数列{}n b 的前n 项和21n nT n =+． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，120OAB ABC ∠=∠=︒，2AB =．(1)求直线BC 的方程；(2)记OAB 的外接圆为圆M ，若直线OC 被圆M 截得的弦长为4，求点C 的坐标．【答案】(1)3430x y +-=； (2)(2,23).【分析】(1)延长CB 交x 轴于点N ，根据给定条件求出ANB ∠即可计算作答. (2)利用待定系数法求出圆M 的方程，再由给定弦长确定C 点位置，推理计算得解. 【详解】(1)延长CB 交x 轴于点N ，如图，因120OAB ∠=︒，则60NAB ∠=︒，又2AB OA ==，则有(3B ，又120ABC ∠=︒，于是得60ANB ∠=︒，则直线BC 的倾斜角为120°，直线BC 的斜率3BC k =-，因此，)333y x --，即330x y +-=所以直线BC 330x y +-=.(2)依题意，设圆M 的方程为22220D E 4F 0x y Dx Ey F ++++=+->，，由(1)得：042093330F D F D E F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得2230D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，于是得圆M 的方程为222230x y x y +--=，即()(22134x y -+=，圆心(3M ，半径2r =，因直线OC 被圆M 所截的弦长为4，则直线OC 过圆心(3M ，其方程为3y x =，由34303x y y x ⎧+-⎪⎨=⎪⎩解得223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,23)C ，所以点C 的坐标是(2,23).19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点，点P 在棱1BB 上．(1)若112BP PB =，证明：1D O 与平面PAC 不垂直； (2)若1D O ⊥平面PAC ，求平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)66【分析】（1）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出10DO AP ⋅≠，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值.【详解】(1)证明：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()1,1,0O 、()2,2,0C 、()10,2,2D ，由112BP PB =得P 点的坐标为22,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,1,2DO =--，22,0,3AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1203D O AP ⋅=≠，所以1D O 与AP 不垂直，所以1D O 与平面PAC 不垂直．(2)解：设()()2,0,02P a a ≤≤，则()2,0,AP a =，()2,2,0AC =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以1D O AP ⊥，所以1220DO AP a ⋅=-=，得1a =，且1220DO AC ⋅=-=，即1D O AC ⊥，所以()0,2,1CP =-，()12,0,2CD =-，设平面1PCD 的法向量为(),,m x y z =，由122020m CD x z m CP y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，可得()2,1,2m =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()11,1,2DO =--，所以111cos ,6m D O m D O m DO⋅<>==-⋅ 所以平面1PCD 与平面PAC 20．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0M ，直线l x ⊥轴，垂足为H ，HN NM =，圆N 过点O ，与l 的公共点的轨迹为Γ． (1)求Γ的方程；(2)过M 的直线与Γ交于A ，B两点，若2MA MB =，求AB ．【答案】(1)24y x =； (2)【分析】(1)设出圆N 与l 的公共点坐标，再探求出点N 的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得.(2)设出直线AB 的方程，与Γ的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答. 【详解】(1)设(),P x y 为圆N 与l 的公共点，而直线l x ⊥轴，垂足为H ，则(),0H x ，又()4,0M ，HN NM =，于是得4,02x N +⎛⎫⎪⎝⎭，因O ，P 在圆N 上，即NO NP =，则有42x +=，化简整理得：24y x =，所以Γ的方程为24y x =.(2)显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y由244x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-．因为2MA MB =，则点A 到x 轴距离是点B 到x 轴距离的2倍，即122y y =-，由1212216y y y y =-⎧⎨=-⎩解得12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩124y y m +==因此有12AB y =-=所以AB =21．2017年复门金砖会晤期间产生碳排放3095吨．2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神．据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m （0m >）吨．2018年起，红树林的年碳吸收量依次记1a ，2a ，3a ，… (1)①写出一个递推公式，表示1n a +与n a 之间的关系； ②证明：{}50n a m +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)为了提前5年实现厦门会蹈“零碳排放”的目标，m 的最小值为多少？参考数据：141.02 1.32≈，151.02 1.35≈，161.02 1.37≈【答案】(1)①1 1.02n n a a m +=+；②证明见解析，()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-(2)最少为6.56吨【分析】（1）①根据题意直接写出一个递推公式即可； ②要证明{}50n a m +是等比数列，只要证明15050n n a ma m+++为一个常数即可，求出等比数列{}50n a m +的通项公式，即可求出{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，根据题意求出15S ，利用分组求和法求出数列{}n a 的前n 项和，再令153095S >，解之即可得出答案.【详解】(1)解：①依题意得()()12132130,12%,12%a a a m a a m ==++=++, 则1 1.02n n a a m +=+，②因为1 1.02n n a a m +=+，所以150 1.0251n n a m a m ++=+，所以()150 1.0250n n a m a m ++=+，因为150130500a m m +=+≠所以数列{}50n a m +是等比数列，首项是13050m +，公比是1.02，所以()15013050 1.02n n a m m -+=+⨯，所以()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-；(2)解：记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 151215S a a a =+++()()()14130505013050 1.025013050 1.0250m m m m m m ⎡⎤=+-++⨯-+++⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()141305013050 1.0213050 1.021550m m m m =+++⨯+++⨯-⨯()()15130501 1.027501 1.02m m +-=--()()130501 1.357501 1.02m m +-≈--2275125m =+，依题22751253095m +≥，所以 6.56m ≥，所以m 最少为6.56吨．22．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，焦点()1,0F ，A ，B 是Γ上关于原点对称的两点，ABF 的周长的最小值为4+(1)求Γ的方程；(2)直线F A 与Γ交于点M （异于点A ），直线FB 与Γ交于点N （异于点B ），证明：直线MN 过定点．【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析【分析】（1）设椭圆Γ的左焦点为F '，根据椭圆的对称性可得BF AF '=，则三角形ABF 的周长为22a AO +，再设(),A x y 根据二次函数的性质得到AO b ≥，即可求出ABF 的周长的最小值为22a b +，从而得到224a b +=+221a b -=，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线FA 的方程11x m y =+、()33,A x y ，直线FB 的方程21x m y =+、()33,B x y --，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示3y ，即可得到()221122123340m y m y y y +++=，整理得()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，再代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，即可得到()580m n -=，从而求出n ，即可得解；【详解】(1)设椭圆Γ的左焦点为F '，则由对称性，BF AF '=，所以ABF 的周长为22AF BF AB AF AF AB a AO '++=++=+ 设(),A x y，则AO b ==，当A ，B 是椭圆Γ的上下顶点时，ABF 的周长取得最小22a b +，所以224a b +=+2+=a b ()1,0F ，所以221a b -=，所以()()1a b a b -+=，所以2a b -=解得2a =，b =Γ的方程为22143x y +=. (2)解：当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合；当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =；设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22143x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223463120m y mny n +++-=，0∆>，122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，设直线FA 的方程11x m y =+，其中1111x m y -=，()11,M x y ，()33,A x y ，由1221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221134690m y m y ++-=，0∆>，1321934y y m -=+，()3211934y m y -=+，设直线FB 的方程21x m y =+，其中2221x m y -=，()22,N x y ，()33,B x y --由2221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222234690m y m y ++-=，0∆>，2322934y y m --=+，()3222934y m y -=-+所以()()221122993434m y m y --=+-+，所以()()22112234340m y m y +++=，所以()221122123340m y m y y y +++=，2222121122121211x x m y m y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2221221212121211411my n my n y y m y y m n n y y y y +-+-+=+=++-+- 则()()()()221212121231213140y y my y m n n y y y y +++-+-++=，即 ()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，得()()()2222663412131034312mn mn m m n n m n --++-+-=+-，整理得()580m n -=，又0m ≠所以85n =，直线MN 的方程为85x my =+，综上直线MN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭。

山东省菏泽市成武县第一中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

山东省菏泽市成武县第一中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 的计算结果精确到个位的近似值为（）A. 106B. 107C. 108D. 109参考答案：B【分析】由题得，再利用二项式定理求解即可.【详解】∵，∴.故选：B【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，用向量来表示向量A.B.C.D. 参考答案：B略3. 如右图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．84；4.84 B．84；1.6 C．85；4 D．85；1.6参考答案：D略4. 将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种参考答案：C【分析】根据题意首先把4名学生分为3组，则有种分法，再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有种分法，进而再利用分步计数原理计算出答案.【详解】因为4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生，所以首先把4名学生分为3组，则有一个组有2人，共有种分法，再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有种分法，所以共有种分法.故选C.【点睛】本题考查分步计数原理以及排列、组合的综合应用，在处理分组，分配问题时，常常采用先分组再分配的方法，属于基础题.5. 某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算得：x i=52，y i=228，x i2=478，x i y i=1849，则y与x之间的回归直线方程是（）A．=11.47+2.62x B．=﹣11.47+2.62x C．=2.62+11.47x D．=11.47﹣2.62x参考答案：A6. 已知数列，则是这个数列的（）A. 第6项B. 第7项C. 第19项D. 第11项参考答案：B解：数列即：，据此可得数列的通项公式为：，由解得：，即是这个数列的第项.本题选择B选项.7. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且b2+c2-a2+bc=0，则等于( )A. B. C.D.参考答案：A8. 若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B9. 四面体ABCD中，设M是CD的中点，则化简的结果是A． B． C． D．参考答案：A略10. 中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点, 若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A.3B.2C.D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在棱长为a的正方体ABC D－A1B1C1D1中，D1到B1C 的距离为．参考答案：略12. 过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：F（，0），设A （x 1，y1），B（x2，y2）．因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．因为，所以x1+x2=设直线l的方程为y=k（x﹣），联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，所以x1+x2=．∴∴k2=24∴24x2﹣26x+6=0，∴，∴|AF|=+x1=故答案为：13. 已知函数，点P()在函数图象上，那么的最小值是．参考答案：4因，且都是正数，所以，故，当且仅当时，“=”成立.14. 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物只．参考答案：12000略15. 给定两个命题p，q，若是q的必要不充分条件，则p是的________条件.参考答案：充分不必要∵?p是q的必要而不充分条件，∴q是?p的充分不必要条件，即q??p，但?p不能?q，其逆否命题为p??q，但?q不能?p，则p是?q的充分不必要条件．16. 在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1．类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=．参考答案：2【考点】类比推理；棱柱的结构特征．【分析】由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．17. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于cm3.参考答案：20详解：由题中所给的三视图可知，几何体是一个直三棱柱截取一个三棱锥，棱柱和棱锥的底面面积，棱柱和棱锥的高h=5cm，故该几何体的体积为，故答案是20.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年辽宁省营口市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年辽宁省营口市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量()2,1,5a =-，()346,1,7a b -=-，则向量b 等于（） A ．（3，1，－2） B ．（3，－1，2） C ．（3，－1，－2） D ．（－3，－1，－2）【答案】B【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可得出答案. 【详解】解：因为()2,1,5a =-，()346,1,7a b -=-，所以()()()36,1,712,4,83,1,244a b ---===-.故选：B.2．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 A ．2 B ．4C ．14D ．18【答案】D【详解】试题分析：因为抛物线方程24y x =可化为2111=2488x y y p =⨯⨯=，，所以抛物线24y x =的焦点到准线的距离是18，故选D.【解析】1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质. 3．“直线l 的斜率不大于0”是“直线l 的倾斜角为钝角”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直线倾斜角的范围是[0°,180°)，直线斜率为倾斜角(不为90°)的正切值，据此即可判断求解.【详解】直线l 的斜率不大于0，则直线l 斜率可能等于零，此时直线倾斜角为0°，不为钝角，故“直线l 的斜率不大于0”不是“直线l 的倾斜角为钝角”充分条件；直线l 的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负，满足直线l 的斜率不大于0，即“直线l 的倾斜角为钝角”是“直线l 的斜率不大于0”的充分条件，“直线l 的斜率不大于0”是“直线l 的倾斜角为钝角”的必要条件；综上，“直线l 的斜率不大于0”是“直线l 的倾斜角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B.4．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A 、B 是MON ∠的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，ACB ∠最大？问题的答案是：当且仅当ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P 、Q 的坐标分别是（2，0），（4，0），R 是y 轴正半轴上的一动点，当PRQ ∠最大时，点R 的纵坐标为（）A ．1BC ．D ．2【答案】C【分析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出PQR 的外接圆方程，然后在求解点R 的纵坐标.【详解】因为点P 、Q 的坐标分别是（2，0），（4，0）是x 轴正半轴上的两个定点，点R 是y 轴正半轴上的一动点，根据米勒定理，当PQR 的外接圆与y 轴相切时，PRQ ∠最大，由垂径定理可知，弦PQ 的垂直平分线必经过PQR 的外接圆圆心，所以弦PQ 的中点为（3，0），故弦PQ 中点的横坐标即为PQR 的外接圆半径，即3r =，由垂径定理可得，圆心坐标为(3，故PQR 的外接圆的方程为()(2239x y -+-=，所以点R 的纵坐标为(0,. 故选：C.5．将()5x y +的展开式按x 的降幂排列，第二项不大于第三项，若1x y +=，且0xy <，则实数x 的取值范围是（） A ．23x ≥B ．23x ≤C ．12x ≥D ．12x ≤【答案】A【分析】按照二项展开式展开表示出第二项第三项，解不等式即可.【详解】由二项展开式，第二项为：145C x y ，第三项为：2325C x y ，依题意1423255C x y C x y ≤，两边约去5xy 得到32222(1)x x y x x ≥=-，即3232x x ≥，由0xy <知0x ≠，则20x >，同时约去2x 得到23x ≥. 故选：A.6．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14AC AA ==，3BC =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（）A B C D 【答案】D【分析】以C 为坐标原点，向量CA →，CB →，1CC →方向分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以C 为坐标原点，向量CA →，CB →，1CC →方向分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()4,0,0A ，()10,0,4C ，()0,0,0C ，()10,3,4B ，所以()14,0,4AC →=-，()10,3,4CB →=，1116AC CB →→⋅=，1||42AC →=1||5CB →=，因此异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于11111122cos ,542AC CB AC CB AC CB →→→→→→⋅<>===⨯⋅故选：D.7．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（） A ．10种 B ．12种 C ．16种 D ．24种【答案】A【分析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.【详解】解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有22(211)8A ++=种方法；如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有222A =种方法.综合得不同的安排方案共有10种. 故选:A8．已知椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()2222222210x y a b a b -=>>有相同的焦点1F 、2F ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的交点，且123F PF π∠=，则1223e e +的最大值为（）A ．7B ．27C ．43D ．443【答案】B【分析】不妨设点P 为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到112212,PF a a PF a a =+=-，进而结合余弦定理得到2221234a a c +=，即2221314e e +=，令1211232cos ,sin ,e e ==θθ然后结合三角函数即可求出结果. 【详解】不妨设点P 为第一象限的交点，则由椭圆的定义可得1212PF PF a +=，由双曲线的定义可得1222PF PF a -=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，因此222121212cos 32PF PF F F PF PF +-=⋅π，即()()()()()222121212122122a a a a c a a a a ++--=+⋅-，所以2221234a a c +=，即2221314e e +=，令1211232cos ,,e e ==θθ因此()12234cos e e +=+=+θθθϕ，其中tan ϕ=所以当()sin 1θϕ+=时，1223e e +有最大值，最大值为故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、多选题9．以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD △和ACD △折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（） A ．AB DC ⊥B ．AD 与平面BCD 的法向量平行C ．AB AC ⊥D ．平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直【答案】AB【分析】作图，梳理出图中包含的垂直关系，即AD BC ⊥、AD BD ⊥、AD CD ⊥、平面ABD ⊥平面ACD ，从而推出CD ⊥平面ABD 来判断选项A ；可通过AD ⊥平面BCD 来判断选项B ；可假设结论成立进行推导条件，通过对比条件，来判定假设成不成立，从而判断选项C ；可判断两平面是否垂直，来判定其法向量是否垂直可判断选项D.【详解】如图所示，由已知可得，ABC 为等腰三角形，且AD BC ⊥，翻折后可得AD BD ⊥、AD CD ⊥，平面ABD ⊥平面ACD ，对于选项A ，平面ABD ⊥平面ACD ，平面ABD ⋂平面ACD AD =，且AD CD ⊥，所以CD ⊥平面ABD ，而AB 平面ABD ，故AB DC ⊥，该选项正确；对于选项B ，AD BD ⊥、AD CD ⊥且BD CD D ⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以AD 与平面BCD 的法向量平行，该选项正确；对于选项C ，由选项A 可知，AB DC ⊥，假设AB AC ⊥成立，则AB ⊥平面ACD ，此时AB AD ⊥，该结论与AD BD ⊥矛盾，故该选项错误；对于选项D ，因为平面ABD ⊥平面ACD ，平面ABD ⋂平面ABC AB =，平面ACD 平面ABC AC =，故平面ACD 与平面ABC 不垂直，则平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量不互相垂直，故该选项错误. 故选：AB.10．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（） A ．从中任选1个球，有15种不同的选法 B ．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C ．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D ．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法【答案】ABD【分析】利用排列知识计算得到选项ABD 正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种不同的选法，所以选项C 错误.【详解】解：A. 从中任选1个球，有456++=15种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有456=⨯⨯120种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有45+56+46=74⨯⨯⨯种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有1514=⨯210种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD11．在平面直角坐标系xOy 中，已知()12,0F -，()22,0F ，()1,1A -，若动点P 满足126PF PF +=，则（）A ．存在点P ，使得21PF =B ．12PF F △面积的最大值为C ．对任意的点P ，都有25PA PF +>D ．椭圆上存在2个点P ，使得1PAF 的面积为32【答案】AD【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆22195x y +=，从而判断椭圆上是否存在点P ，使得21PF =，判断A ；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，进而判断B ；由椭圆定义知，21122PA PF PA a PF a AF +=+-≥-验证C 选项；求得使得1PAF 的面积为32的P 点坐标满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数，判断D.【详解】由题知，点P 的轨迹是3a =，2c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =22195x y +=，A ：当点P 为椭圆右顶点时，21PF a c =-=，故A 正确；B ：当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，且最大值为1221F F b ⋅=B 错误； C：2112266PA PF PA a PF a AF +=+-≥-=因65，故C 错误；D ：设使得1PAF 的面积为32的P 点坐标为00(,)x y ，由1A F 、坐标知，1AF 1AF 的方程为20x y -+=，则1322=，解得0010x y --=或0050x y -+=，联立00220010195x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得20075200y y +-=，则2528200∆=+⨯>，因此存在两个交点；同理可得直线0050x y -+=与椭圆没有交点；综上，有且仅有2个点P ，使得1PAF 的面积为32，故D 正确；故选：AD12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是棱11A D 的中点，点P 在底面ABCD 内（包含边界），且PM = ） A ．点P 的轨迹的长度为2πB ．直线MP 与平面11B D DBC ．不存在P ，使得1MP AC ⊥D ．沿线段MP 的轨迹将正方体1111ABCD A B C D -切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的体积为83π-【答案】BCD【分析】由题意，作图，判断点P 的轨迹是以N 为圆心，半径为1的圆位于正方形ABCD 内的部分，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，利用空间向量法计算并判断每个选项.【详解】如图，取AD 中点N ，则MN ⊥平面ABCD ，即MN NP ⊥，因为MP =1NP =，所以点P 的轨迹是以N 为圆心，半径为1的圆位于正方形ABCD 内的部分，如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()10,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,2,0,1,0,2,2,2A B C D M N C ，设()cos ,1sin ,022P ππθθθ⎛⎫+-≤≤ ⎪⎝⎭.对A ，点P 的轨迹的长度为1212ππ⨯⨯⨯=，故A 错误；对B ，平面11B D DB 的法向量为()2,2,0AC =，()cos ,sin ,2MP θθ=-，则cos4MP BD πθ⎛⎫⋅==+≤ ⎪⎝⎭4πθ=时，等号成立，故B 正确；对C ，()12,2,2AC =，12cos 2sin 4404AC MP πθθθ⎛⎫⋅=+-=+-< ⎪⎝⎭，所以不存在P ，使得1MP AC ⊥，故C 正确；对D ，挖去部分为半圆锥，已知正方体体积为328V ==，挖去部分的体积为211112323V ππ=⨯⨯⨯⨯=，剩余部分几何体的体积为83π-，故D 正确；故选：BCD【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 三、填空题13．已知双曲线22145y x -=，则圆22680x y x +-+=的圆心C 到双曲线渐近线的距离为______．【答案】2【分析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解. 【详解】解：由题得圆22680x y x +-+=的圆心为(3,0)，双曲线22145y x -=的渐近线方程为5y x =，即250x =. 所以圆心C 624+5=. 故答案为：214．已知长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，14AA =，则点1C 到平面11BD A 的距离为______．【答案】1252.4 【分析】过1B 作11B E A B ⊥于E ，可证1B E 即为点1C 到平面11BD A 的距离.【详解】过1B 作11B E A B ⊥于E ，∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴平面11A B B ⊥平面11A D B ，又∵平面11A B B ⋂平面111A D B A B =，∴1B E ⊥平面11A D B ，设点1C 到平面11BD A 的距离为h ，∵11B C ∥平面11A D B ，∴根据等面积法得111122112534A B B B h B E A B⋅====+，故答案为：125. 15．若()5250125a x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若280a =，则01234a a a a a ++++=______．【答案】2【分析】首先利用二项展开式的通项公式，求a ，再利用赋值法求系数的和以及5a ．【详解】展开式的通项为()5151C rr r r r T a x -+=-⋅⋅，令2r =，则()223251C 80a a =-⋅=，即2a =，故()52501252x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，令1x =，得0151a a a ++⋅⋅⋅+=.又()55055651C 2T x x =-⋅⋅=-，所以51a =- 故012342a a a a a ++++= 故答案为：216．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过M （4，0）的直线l 交C 于A 、B 两点，设OAF △，OBF 的面积分别为1S 、2S ，则122S S +的最小值为______．【答案】42【分析】设直线l 的方程为+4x my =，()()1122,,A x y B x y ，，与抛物线的方程联立整理得24160y my --=，由三角形的面积公式求得121212+2S S y y +=，再根据基本不等式可得答案.【详解】解：由抛物线C ：24y x =得焦点()10F ，，又直线l 交C 于A 、B 两点，所以直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为+4x my =，()()1122,,A x y B x y ，，联立2+44x my y x =⎧⎨=⎩，整理得24160y my --=，则1212+4,16y y m y y ==-，又1111122OAFSS OF y y ==⋅⋅=，2221122OBFSS OF y y ==⋅⋅=，所以1212121112+2+222S S y y y y +=⨯=，又121+2y y ≥=当且仅当1212y y =，即12y y ==，时取等号，所以122S S +的最小值为故答案为：四、解答题17．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①过（－1，2）；②与直线3420x y+=-平行；③与直线4310x y +-=垂直．问题：已知直线l 过点M （3，5），且______． (1)求l 的方程；(2)若l 与圆224690x y x y +--+=相交于点A 、B ，求弦AB 的长．【答案】(1)34110x y -+=(2)【分析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l 的方程； (2)利用垂径定理即可求圆的弦长. (1) 选条件①：∵直线l 过点(3，5)及(－1，2)， ∴直线l 的斜率为34k =，依题意，直线l 的方程为()3543x y -=-，即34110x y -+=；选条件②：∵直线3420x y+=-的斜率为34，直线l 与直线3420x y+=-平行，∴直线l 的斜率为34，依题意，直线l 的方程为()3543x y -=-；即34110x y -+=；选条件③：∵直线4310x y +-=的斜率为34，直线l 与直线4310x y +-=垂直， ∴直线l 的斜率为34k =，依题意，直线l 的方程为()3543x y -=-，即34110x y -+=； (2)()()22224690234x y x y x y +--+=⇒-+-=圆心为(2，3)，半径为2，圆心到直线34110x y -+=的距离为1d ==∴AB ==18．（1）某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100m 、400m 、800m 三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同学选报100m 、400m 、800m 三个项目，每项均有一人报名，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同学争夺100m 、400m 、800m 三项冠军，共有多少种可能的结果？【答案】（1）81种；（2）24种；（3）64种【分析】（1）利用分步计数原理可求报名方法总数. （2）利用分步计数原理可求报名方法总数. （3）利用分步计数原理可求报名方法总数.【详解】（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有333381⨯⨯⨯=（种）报名方法．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此100m 项目有4种选法，400m 项目有3种选法，800m 项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有43224⨯⨯=（种）．（3）要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有44464⨯⨯=（种）可能的结果．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，122AB BC BB ===，90ABC ∠=︒，D 为BC 的中点．(1)求证：1A B ∥平面1ADC ；(2)若F 为1AC 中点，求1A F 与平面1ADC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)49【分析】（1）连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ，通过三角形中位线证明1A B OD ∥即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. (1) 解法1：如图，连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ，因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 是平行四边形，所以O 是1A C 的中点，因为D 为BC 的中点，所以在1A BC 中，1A B OD ∥，因为1A B ⊄平面1ADC ，OD ⊂平面1ADC ，所以平面1A B ∥平面1ADC ．解法2：因为在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，90ABC ∠=︒，所以BA ，BC ，1BB 两两垂直，故以B 点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，因为122AB BC BB ===，所以B （0,0,0），A （2,0,0），D （0,1,0），()10,2,1C ，()12,0,1A ，所以()2,1,0DA =-，()10,1,1DC =，()12,0,1BA =，设平面1ADC 的一个法向量为()111,,n x y z =，则100DC n DA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11112y z y x =-⎧⎨=⎩，令11x =，则()1,2,2n =-，()12102120BA n ⋅=⨯+⨯+⨯-=∴1BA n ⊥，1A B ⊄平面1ADC ，所以1A B ∥平面1ADC ； (2)设1A F 与平面1ADC 所成角为θ，由(1)知平面1ADC 的法向量为()1,2,2n =-， F 为1AC 中点，∴11,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,2A F ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴14sin =cos ,=9A F n θ<>=即1A F 与平面1ADC 所成角正弦值为49.20．已知椭圆C 对称中心在原点，对称轴为坐标轴，且12A ⎛ ⎝，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 、N 分别为椭圆与x 轴负半轴、y 轴负半轴的交点，P 为椭圆上在第一象限内一点，直线PM 与y 轴交于点S ，直线PN 与x 轴交于点T ，求证：四边形MSTN 的面积为定值．【答案】(1)2214y x += (2)证明见解析【分析】（1）设椭圆方程为()2210,0mx ny m n +=>>，利用待定系数法求得,m n 的值，即可得出答案；（2）设()00,P x y ，()00,1x ∈，()00,2y ∈，易得220044x y +=，分别求出直线PM 和直线PN 的方程，从而可求出,S T 的坐标，再根据12SMNT S MT SN =即可得出答案. (1)解：依题意设椭圆方程为()2210,0mx ny m n +=>>，将1,32A⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,1B⎛⎫-⎪⎪⎝⎭代入得1314314m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得得1m=，14n=，∴所求椭圆方程为2214yx+=；(2)证明：设()00,P x y，()0,1x∈，()0,2y∈，()()1,0,0,2M N--，P点坐标满足2214yx+=，即220044x y+=，直线PM：()11yy xx=++，可得00,1ySx⎛⎫⎪+⎝⎭，直线PN：022yy xx++=，可得02,02xTy⎛⎫⎪+⎝⎭，00002112221SMNTx ySy x=++++()()()20000221221x yy x++=++220000000000448441222x x y x y yx y x y+++++=+++()0000000042212222x y x yx y x y+++==+++.21．如图，在三棱锥A BCD-中，BCD△是边长为2的等边三角形，AB AC=，O是BC的中点，OA BD⊥．(1)证明：平面ABC⊥平面BCD；(2)若三棱锥A BCD-3E是棱AC上的一点，当AC t AE=时，二面角E－BD －C 大小为60°，求t 的值．【答案】(1)证明见解析 (2)3【分析】（1）证得OA ⊥平面BCD ，结合面面垂直的判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的公式可得()()()()23112313131t t t +=⎛⎫+++⎪ ⎪+⎝⎭，进而解方程即可求出结果. (1)因为AB AC =，O 是BC 的中点，所以OA BC ⊥，又因为OA BD ⊥，且BCBD B =，BC ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以OA ⊥平面BCD ，因为OA ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCD ． (2)连接OD ，又因为BCD △是边长为2的等边三角形，所以DO BC ⊥，由（1）知OA ⊥平面BCD ，所以AO ，BC ，D O 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OA ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系．设OA m =，则O （0，0，0），A （0，0，m ），B （1，0，0），C （－1，0，0），()3,0D ，因为A －BCD 31123332OA ⨯⨯=解得3OA =，即A （0，0，3），()1,0,3AC =--，∵AC t AE =，∴13,0,3E tt ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =，()()2,0,0,3,0BC BD =-=-,则200n BC x n BD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，131,0,3BE t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()1,3,0BD =-，设()111,,m x y z =是平面BDE的法向量，则1111131300m BE x z t t m BD x ⎧⎛⎫⎛⎫⋅=--+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪⋅=-+=⎩， ∴取平面BDE 的法向量)()13,1,31t m t ⎛⎫+= ⎪ ⎪+⎭)()1311cos 2t t θ++==，解得3t =或13t =（舍） 22．已知抛物线C ：24y x =上有一动点()00,P x y ，00x >，过点P 作抛物线C 的切线l 交y 轴于点Q ．(1)判断线段PQ 的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由； (2)过点P 作l 的垂线交抛物线C 于另一点M ，若切线l 的斜率为k ，设PQM 的面积为S ，求Sk的最小值．【答案】(1)线段PQ 的垂直平分线过定点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭(2)116【分析】（1）设切线PQ 的方程为y kx b =+，并与抛物线方程联立，利用判别式求得P 点坐标，进而求得Q 点坐标，从而求得线段PQ 的垂直平分线的方程，进而求得定点坐标. （2）结合弦长公式求得PQM 的面积S ，利用基本不等式求得Sk的最小值. (1)依题意可知切线PQ 的斜率存在，且斜率大于0. 设直线PQ 的方程为y kx b =+，0k >.由24y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去y 并化简得240x kx b --=，由0∆=得2160k b +=，216k b =-，则22224420164k k x kx b x kx x ⎛⎫--=-+=-= ⎪⎝⎭，解得8kx =，所以2,816k k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在y kx b =+中，令0x =得y b =，所以20,16k Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，PQ 中点为,016k ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段PQ 的中垂线方程为116k y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即1116y x k =-+，所以线段PQ 的垂直平分线过定点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由（1）可知，直线PM 的方程为21168k k y x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即211816k y x k =-++. 由22118164k y x k y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得：221140816k x x k +--=，所以218164P M k x x --=，而8P k x =，所以得148M k x k =--， 2,816k k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,16k Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，PQ =144P M k PM x x k ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭. 所以PQM的面积1112244k S PQ PM k ⎛⎫=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭()22164k k+=，所以()22422221211111642264646416k Sk k k k kkk k +⎛⎫++⎛⎫===++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当221,1k k k ==时等号成立. 所以S k的最小值为116.。

2021-2022学年河北省保定市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2021-2022学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线l 经过，两点，则直线l 的倾斜角为( )A. B.C.D. 2.等差数列的前n 项和为，若，则( )A. 37B. 38C. 39D. 403.已知抛物线的焦点为F ，若抛物线上一点P 到y 轴的距离为2，则的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，，，点P 满足，则点P 的轨迹的圆心坐标为( )A.B.C.D.5.已知双曲线C ：的一条渐近线与直线l ：垂直，若右焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为( )A. B. C.D.6.已知直线与圆相交于P 、Q 两点，则弦PQ 最短时所在的直线方程是( )A.B.C.D.7.抛物线C ：的焦点为F ，直线m 过点F ，斜率，且交抛物线C 于A ，点A 在x 轴的下方两点，抛物线的准线为l ，O 为坐标原点，作于，于，小明计算得出以下三个结论：①；②平分；③其中正确的结论个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 38.正方体的棱长为3，M 为空间一点，N 为底面内一点，且满足，异面直线与BN 所成角为，则线段MN 长度最小值为( )A. B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是( )A. 若，则B. 若，则两条平行直线之间的距离为C. 若，则D. 若，则直线，一定相交10.已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点P是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是( )A.B. 双曲线的渐近线方程为C. 椭圆的左顶点是双曲线的左焦点D.若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值11.已知数列为等差数列，为的前n项和，若，，则下列结论中正确的是( )A.B.C. 若数列的前n项和为，则D. 若，则的最小值为12.已知三棱锥的各顶点都在球O上，点M，N分别是AC，CD的中点，平面BCD，，，则下列说法中正确的是( )A. 三棱锥的四个面均为直角三角形B. 球O的表面积为C. 直线BD与平面ABC所成角的正切值是D. 平面BMN被球O所截的截面面积是三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知，，若，则实数__________.14.阿基米德公元前287年-公元前212年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为__________.15.已知数列中，，，则__________.16.已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，，P为右支上一点，且满足，直线交y轴于点Q，若的内切圆的半径为2，则双曲线C的离心率为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2021-2022学年上海交大附中高二(上)期末数学试题及答案

交大附中高二期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 复数()1i i +的实部为_________．2. 已知等差数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =−∈N ，那么它的前n 项和n S =___________.3. 已知集合{}02Ax x =<≤，集合{}12B x x =−<<，则A B ∪=__________. 4. 过点()23A ，，且垂直于O A 的直线方程为_______________. 5. 设()2sin 23f x x π=−，x ∈R ，若将函数()y f x =的图像向左平移a 个单位能使其图像与原图像重合，则正实数a 的最小值为___________.6. 函数y=的定义域为___________.7. 曲线)0y x ≤的长度为____________.8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，4AB BC ==，12AA =，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为__________.9. 圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12，则实数m 的值是__________. 10. 若函数()y f x =的解析式()2xxf x x e e−=++，则使得()()21f x f x >−成立的x 的取值范围是___________.11. 若实数x 、y 满足221x xy y ++=，则22x xy y −+的取值范围为___________.12. 如图，AD 与BC 是三棱锥A BCD −中互相垂直的棱，2BC =，2AD c =（c 为常数）.若2AB BD AC CD a +=+=，则实数a 的取值范围为__________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知1l 、2l 是平面直角坐标系上的直线，“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 平行”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件14. 己知直线l 过点()2,1−−，当直线l 与圆2220x y y =++有两个不同的交点时，其斜率k 的取值范围是（）A. B. ( C. ()1,1− D. ()3,3−15. 已知(2,3),(4,7)a b − ，则a 在b方向上的投影为（）A.B.C.D.16. 已知椭圆221169x y +=及以下3个函数：①()f x x =；②()sin f x x =；③()sin f x x x =，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中，2AB = ，14AC AA == ，90ABC ∠= ．（1）求三棱柱111ABC A B C −的表面积S ；（2）求异面直线1A B 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．18. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2,m b c a =−，()cos ,cos n A C =−, 且m n ⊥u v v.（1）求角A 的大小；（2）若a =，ABC ∆，试判断ABC ∆的形状，并说明理由.19. 已知函数()10y x x=≠的图像为曲线C ，点1F 、(2F .（1）设点()00,P x y 为曲线C 上在第一象限内的任意一点，求线段1PF 的长（用0x 表示）；（2）设点Q 为曲线C 上任意一点，求证：12QF QF −为常数；（3）由（2）可知，曲线C 为双曲线，请研究双曲线C 的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.20. 己知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点坐标为()1,0，离心率e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为M .若直线OM 的斜率为-1，求线段AB 的长；（3）如图，设椭圆上一点R 的横坐标为1（R 在第一象限），过R 作两条不重合直线分别与椭圆C 交于P 、Q 两点、若直线PR 与QR 的倾斜角互补，求直线PQ 的斜率的所有可能值组成的集合.21. 某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面Γ，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为A ′、A .己知该冷却通风塔的最窄处是圆O ，其半径为1；上口为圆1Ω，其半径为54；下口为圆2Ω，其半径为135；高（即圆1Ω与2Ω所在平面间的距离）为6320.（1）求此双曲线的方程；（2）以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x 轴、y 轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆1Ω上任取一点()111,,P x y z ，在下口圆2Ω上任取一点()222,,Q x y z .请给出1y 、2y 的值，并求出2211x z +与2222x z +的值；（3）在（2）的条件下，是否存在点P 、Q ，使得P 、A 、Q 三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P 、Q 的坐标，并证明此时线段PQ 上任意一点都在曲面Γ上.交大附中高二期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 复数()1i i +的实部为_________．【答案】1− 【解析】【详解】复数(1)11i i i i +=−=−+，其实部为1−. 考点：复数的乘法运算、实部.2. 已知等差数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =−∈N ，那么它的前n 项和n S =___________.【答案】2n 【解析】【分析】由题意知等差数列{}n a 的通项公式，即可求出首项1a ，再利用等差数列求和公式即可得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =−∈N ，11a ∴=.21((121)22)n n n a a n n S n ++−===.故答案为：2n .3. 已知集合{}02Ax x =<≤，集合{}12B x x =−<<，则A B ∪=__________. 【答案】{|12}x x −<≤##（-1,2] 【解析】【分析】根据两集合的并集的含义，即可得答案.【详解】因为集合{}02Ax x =<≤，集合{}12B x x =−<<，所以1|}2{A Bx x =−<≤ , 故答案为：{|12}x x −<≤4. 过点()23A ，，且垂直于O A 的直线方程为_______________. 【答案】23130x y +−=．【解析】【分析】求出32OA k =，可得垂直于O A 的直线的斜率为23−，再利用点斜式可得结果. 【详解】因为()23A ，，所以32OA k =，所以垂直于O A 的直线的斜率为23−，垂直于O A 的直线方程为()2323y x −=−−，化为23130x y +−=，故答案为23130x y +−=. 【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔=；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=−，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.5. 设()2sin 23f x x π=−，x ∈R ，若将函数()y f x =的图像向左平移a 个单位能使其图像与原图像重合，则正实数a 的最小值为___________. 【答案】π 【解析】【分析】根据正弦型函数图像平移法则和正弦函数性质进行解题. 【详解】解：由题意得：函数()y f x =的图像向左平移a 个单位后得：()22sin 2()sin(22)33f x x a x a ππ=+−=+−该函数与原函数图像重合故22sin(22)sin(2)33x a x ππ+−=− 可知2222()33a k k Z πππ−=−∈，即()a k k Z π=∈ 故当1k =时，a π=为最小正实数.故答案为：π6. 函数y=的定义域为___________.【答案】[)3,+∞ 【解析】【分析】根据函数定义域的求法，即可求解.【详解】解：220log (2)0x x −>−≥ ,解得3x ≥,故函数的定义域为:[)3,+∞. 故答案为：[)3,+∞.7.曲线)0y x ≤的长度为____________. 【答案】2π 【解析】【分析】曲线)0y x ≤的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，进而可求出结果.【详解】解：由y ()2240x x y +≤，所以曲线y 0x ≤）的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，∴曲线y 0x ≤）的长度是1422ππ×=，故答案为：2π.8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，4AB BC ==，12AA =，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为__________.【解析】【分析】过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，则1C H ⊥平面11BB D D ，则1C BH ∠即为所求角，从而可得结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过1C 作111C H B D ⊥，垂足为H ，4,AB BC ==可知点H 为中点，由1BB ⊥平面11A C ，可得11C H BB ⊥，又1111D B BB B ∩=所以1C H ⊥平面11BB D D ，则1C BH ∠即为所求角，因为4AB BC ==，12AA =，所以111sin C H C BH BC ∠=，9. 圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12，则实数m 的值是__________. 【答案】43【解析】【分析】根据圆锥曲线焦点在x 轴上且离心率小于1，确定a ,b 求解即可. 【详解】因为圆锥曲线221x my +=的焦点在x 轴上，离心率为12，所以曲线为椭圆，且2211,a b m==，所以2222221114c a b e a a m −===−=，解得43m =，故答案为：4310. 若函数()y f x =的解析式()2xxf x x e e −=++，则使得()()21f x f x >−成立的x 的取值范围是___________. 【答案】1{|1}3x x << 【解析】【分析】由题意先判断函数为偶函数，再利用()f x 的导函数判断()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据偶函数的对称性得(,0)−∞上单调递减. 要使()()21f x f x >−成立，即|||21|x x >−，解不等式即可得到答案. 【详解】()2xxf x x e e−=++ ，()()f x f x ∴=−，()y f x =为偶函数，当0x >时，2'()1()220x xxxe f x x e ex e−−=+−=+>，故函数在(0,)+∞上单调递增. ()y f x = 为偶函数，()f x ∴在(,0)−∞上单调递减. 要使()()21f x f x >−成立，即|||21|x x >−221(21)13x x x ⇒>−⇒<<. 故答案为：113x <<.11. 若实数x 、y 满足221x xy y ++=，则22x xy y −+的取值范围为___________. 【答案】1,33【解析】【分析】直接利用换元法以及基本不等式，求出结果．【详解】解：设22x xy y m −+=，由于221x xy y ++=，所以12m xy −=，由于222||x y xy +…，(当且仅当||||x y =时取等号) 所以12xy xy −+…(当且仅当x y =−时取等号)，12xy xy +…(当且仅当x y =时取等号)，故113xy −剟， 2223xy−剟，所以2213m −−剟，整理得：133m 剟．故22x xy y −+的取值范围为22x xy y −+的取值范围1,33．故答案为：1,33．12. 如图，AD 与BC 是三棱锥A BCD −中互相垂直的棱，2BC =，2AD c =（c 为常数）.若2AB BD AC CD a +=+=，则实数a 的取值范围为__________.【答案】)+∞ 【解析】【分析】分析得,B C 都在以,A D 为焦点的椭球上，再利用椭球的性质得到22b >，化简即得解. 【详解】解：因为2AB BD AC CD a +=+=，所以,B C 都在以,A D 为焦点的椭球上，由椭球的性质得，BC 是垂直椭球焦点所在直线的弦，BC 的最大值为2b ,此时ABCD 共面且BC 过AD 中点，即22222,1,1,1,b b b a c a >∴>∴>∴−>∴>故实数a 的取值范围为)+∞.故答案为：)+∞二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知1l 、2l 是平面直角坐标系上的直线，“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 平行”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【详解】解：1l 与2l 的斜率相等”，“1l 与2l 可能重合，故前者不可以推出后者，若1l 与2l 平行，1l 与2l 的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D .14. 己知直线l 过点()2,1−−，当直线l 与圆2220x y y =++有两个不同的交点时，其斜率k 的取值范围是（）A.B. (C. ()1,1−D. ()3,3−【答案】A 【解析】【分析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围. 【详解】如下图：设直线l 的方程为(1)((2))−−=−−y k x 即21−+−kx y k 2220++= x y y ()2211∴++=x y∴ 圆心为()01-，，半径是1又直线与圆有两个不同的交点1<<k 故选：A15. 已知(2,3),(4,7)a b − ，则a 在b方向上的投影为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用向量数量积的几何意义即得．【详解】(2,3),(4,7)a b −,故a 在b方向上的投影为：a b b ⋅=故选：C ．16. 已知椭圆221169x y +=及以下3个函数：①()f x x =；②()sin f x x =；③()sin f x x x =，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的几何性质可得椭圆221169x y +=的图像关于原点对称，因为函数()f x x =,函数()sin f x x =为奇函数,其图像关于原点对称，则①②满足题意, 对于函数()sin f x x x =在y 轴右侧()0,x π∈时，()0f x >，只有(),4x π∈时，()0f x <，即函数()sin f x x x =在y 轴右侧的图像显然不能等分椭圆在y 轴右侧的图像的面积,又函数()sin f x x x =为偶函数, 其图像关于y 轴对称，则函数()sin f x x x =在y 轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在y 轴左侧的图像的面积,即函数()sin f x x x =的图像不能等分该椭圆面积，得解.【详解】解：因为椭圆221169x y +=的图像关于原点对称，对于①，函数()f x x =为奇函数，其图像关于原点对称，即可知()f x x =的图象能等分该椭圆面积；对于②，函数()sin f x x =为奇函数，其图像关于原点对称，即可知()f x x =的图象能等分该椭圆面积；对于③，对于函数()sin f x x x =在y 轴右侧()0,x π∈时，()0f x >，只有(),4x π∈时，()0f x <，即函数()sin f x x x =在y 轴右侧的图像（如图）显然不能等分椭圆在y 轴右侧的图像的面积,又函数()sin f x x x =为偶函数, 其图像关于y 轴对称，则函数()sin f x x x =在y 轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在y 轴左侧的图像的面积,即函数()sin f x x x =的图像不能等分该椭圆面积，即函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个，故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、函数的奇偶性及函数的对称性，重点考查了函数的性质，属基础题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中，2AB = ，14AC AA == ，90ABC ∠= ．（1）求三棱柱111ABC A B C −的表面积S ；（2）求异面直线1A B 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用S ＝2S △ABC +S 侧，可得三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积S ；（2）连接BC 1，确定∠BA 1C 1就是异面直线A 1B 与AC 所成的角（或其补角），在△A 1BC 1中，利用余弦定理可求结论．【详解】（1）在△ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝4，∠ABC＝90°，所以BC ＝．S △ABC ＝AB×BC ＝．所以S ＝2S △ABC +S 侧＝+（+4）×4＝（2）连接BC 1，因为AC∥A 1C 1，所以∠BA 1C 1就是异面直线A 1B 与AC 所成的角（或其补角）．在△A 1BC 1中，A 1B ＝2，BC 1＝2，A 1C 1＝4，由余弦定理可得cos∠BA 1C 1，所以∠BA 1C 1＝A 1B 与AC 所成角的大小为．【点睛】本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．18. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2,m b c a =−，()cos ,cos n A C =−, 且m n ⊥u v v.（1）求角A 的大小；（2）若a =，ABC ∆，试判断ABC ∆的形状，并说明理由. 【答案】（1）3π；（2）ABC ∆为等边三角形．【解析】【分析】（1）由（2b ﹣c ）cosA ﹣acosC ＝0及正弦定理，得sinB （2cosA ﹣1）＝0，从而得角A ；（2）由S △ABC ＝12bcsinA，可得bc ＝3，①；再由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA 可得b 2+c 2＝6，②；联立①②可求得b ＝c的形状．【详解】（1）由（2b ﹣c ）cosA ﹣acosC ＝0及正弦定理，得（2sinB ﹣sinC ）cosA ﹣sinAcosC ＝0， ∴2sinBcosA﹣sin （A+C ）＝0，sinB （2cosA ﹣1）＝0． ∵0＜B ＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝12．∵0＜A ＜π， ∴A＝3π．（2）△ABC 为等边三角形，∵S △ABC ＝12bcsinA，即12bcsin 3π，∴bc＝3，① ∵a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，A ＝3π，a2+c 2＝6，② 由①②得b ＝c，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．19. 已知函数()10y x x=≠的图像为曲线C，点1F、(2F .（1）设点()00,P x y 为曲线C 上在第一象限内的任意一点，求线段1PF 的长（用0x 表示）；（2）设点Q 为曲线C 上任意一点，求证：12QF QF −为常数；（3）由（2）可知，曲线C 为双曲线，请研究双曲线C 的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.【答案】（1）1001||||PF x x =+；（2）具体见解析；（3）具体见解析. 【解析】【分析】（1）由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可；（2）求出12||,||QF QF ，进而讨论0,0x x ><两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题；（3）根据12,F F为双曲线C的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质. 【小问1详解】由题意，1||PF=1||xx===+.【小问2详解】设(),Q x y，由（1）11||||QF xx=+−，2||QF=1|xx==+.若x>0，则12xx+≥=，当且仅当1x=时取“=”，则11||QF xx=+21||QF xx=++ 12QF QF−=.若x<0，则112x xx x+=−−+≤−=−−，当且仅当1x=−时取“=”，则11||QF xx=−+，21||QF xx=−+，所以12QF QF−=.综上：12QF QF−=，为常数.【小问3详解】易知曲线C：()10y xx=≠为奇函数，则其图象关于原点对称.由（2）可知，曲线C为双曲线，12,F F为双曲线C的焦点，则它关于直线12F Fl对称，还关于与12F Fl垂直且过原点的直线l对称.121F Fk==−，则(12:F Fl y x y x=−⇒=，易得:l y x=−.综上：双曲线C关于原点（0,0）对称，且关于直线,y x y x==−对称.容易知道，直线0,0y x==是双曲线C的渐近线.易知线段12F F 是双曲线的实轴，将y x =代入双曲线C 解得顶点：()()121,1,1,1A A −−.于是实轴长为12||A A =焦距为12||4F F =，则离心率e =20. 己知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点坐标为()1,0，离心率e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为M .若直线OM 的斜率为-1，求线段AB 的长；（3）如图，设椭圆上一点R 的横坐标为1（R 在第一象限），过R 作两条不重合直线分别与椭圆C 交于P 、Q 两点、若直线PR 与QR 的倾斜角互补，求直线PQ 的斜率的所有可能值组成的集合.【答案】（1）2212x y +=；（2；（3）. 【解析】【分析】(1)根据给定条件求出椭圆长半轴长a 即可计算得解.(2)将1y kx =+代入椭圆C 的方程，再结合给定条件求出k 值即可计算出AB 的长. (3)设出直线PR 的方程，再与椭圆C 的方程联立求出点P 坐标，同理可得点Q 坐标，计算PQ 的斜率即可作答.【小问1详解】依题意，椭圆C 的半焦距c =1，而ce a ==，解得a =2221b a c =−=，所以椭圆C 的方程是：2212x y +=.【小问2详解】由22122y kx x y =++=消去y 并整理得：22(21)40k x kx ++=，解得10x =，22421k x k =−+，于是得线段AB 的中点2221(,)2121k M k k −++，直线OM 斜率为112k −=−，解得12k =，因此，212142||||12()12AB x x ×=−==×+，所以线段AB【小问3详解】由(1)知，点R ，依题意，设直线PR 的斜率为(0)t t ≠，直线PR方程为：(1)y t x =−，由22(22y tx t x y =− +=消去y并整理得，222(21)4(210t x t t x t +−+−−=，设点(,)P P P x y，则有P x =QR 的斜率为-t ，设点(,)Q Q Q x y，同理有Q x =，于是得直线PQ的斜率(1)(1)P Q P Q PQ P Q P Q y y t x t x k x x x x −−+−===−−，所以直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合. 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定2a ，2b 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论.21. 某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面Γ，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为A ′、A .己知该冷却通风塔的最窄处是圆O ，其半径为1；上口为圆1Ω，其半径为54；下口为圆2Ω，其半径为135；高（即圆1Ω与2Ω所在平面间的距离）为6320.（1）求此双曲线的方程；（2）以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x 轴、y 轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆1Ω上任取一点()111,,P x y z ，在下口圆2Ω上任取一点()222,,Q x y z .请给出1y 、2y 的值，并求出2211x z +与2222x z +的值；（3）在（2）的条件下，是否存在点P 、Q ，使得P 、A 、Q 三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P 、Q 的坐标，并证明此时线段PQ 上任意一点都在曲面Γ上. 【答案】（1）221x y −=；（2）134y =，2125y =−，22112516x z +=，222216925x z +=；（3）存在，3312121,,,1,,4455P Q−−或3312121,,,1,,4455P Q−−，证明见解析. 【解析】【分析】（1）设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>，易知1a =，设113,5B y ，25,4C y ，代入求解即可；（2）分析圆1Ω，圆2Ω的方程即可求解；（3）利用圆的参数方程，设55cos sin 443,,4P θθ，,,131213cos sin 555Q ϕϕ−，利用//AP AQ u u u r u u u r ，即可求解，再利用线段PQ 上任意一点的特征证明点在曲面上；【小问1详解】设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b−=>>，由题意知1a =，点B ，C 的横坐标分别为135，54，则设点B ，C 的坐标为113,5y ，25,4y ，1(0y <，20)y >， ∴21222216912525116y b y b−= −= ，解得1125y b =−，234y b =，又塔高6320米，216320y y ∴−=，解得1b =，故所求的双曲线的方程为221x y −=．【小问2详解】点()111,,P x y z 在圆1Ω上，134y =；点()222,,Q x y z 在圆2Ω上，2125y =−；圆1Ω，其半径为54，22112516x z =∴+；圆2Ω，其半径为135，222216925x z =∴+ 【小问3详解】存在点P 、Q ，使得P 、A 、Q 三点共线. 由点P 在半径为54的圆1Ω上，55cos sin 443,,4P θθ ∴ （θ为参数）；点Q 在半径为135的圆2Ω上，,,131213cos sin 555Q ϕϕ − ∴（ϕ为参数）；由已知得//AP AQ u u u r u u u r ，55cos 1sin 44131312cos 1si 354n 55165θθϕϕ−=−−∴==− 整理得20cos 13cos 2120cos 2113cos 20sin 13sin 020sin 13sin θϕθϕθϕθϕ+==− ⇒ +==− 两式平方求和得5cos 13ϕ=，4cos 5θ= 则312sin ,sin 513θϕ==−或312sin ,sin 513θϕ=−= 当312sin ,sin 513θϕ==−时，3312121,,,1,,4455P Q −−，当312sin ,sin 513θϕ=−=时，3312121,,,1,,4455P Q −−证明：3312121,,,1,,4455P Q −−，则63630,,2020PQ =−− u u u r ，利用PM PQ λ=u u u r u u u r ，()001,,M y y ∴，其中0633204y λ=−+ 又曲面Γ上的每一点可以是圆与旋转任意坐标系上的双曲线的交点，旋转直角坐标系，保持原点和y 轴不变，点()001,,M y y 所在的轴为x ′轴，此时0M y，满足2201y −=，即221x y −=即点M 是曲面Γ上的点.。

2021-2022学年山西省运城市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山西省运城市高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，12341,5a a a a +=+=，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据等差数列性质可得方程组，求得公差.【详解】等差数列{}n a 中,121a a +=,345a a +=，由通项公式可得11111235a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩ 解得1d = 故选：A2．已知()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x '=（）A ．cos xB ．cos x -C ．sin xD ．sin x -【答案】D【分析】化简函数()f x 的解析式，利用基本初等函数的导数公式可求得结果. 【详解】因为()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此，()sin f x x '=-.故选：D.3．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用n a 表示解开n （9n ≤，n *∈N ）个圆环所需的最少移动次数，若数列{}n a 满足11a =，且当2n ≥时，1121,31,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数，为奇数，则解开5个圆环所需的最少移动次数为（）A ．10B ．16C ．21D ．22【答案】D【分析】根据题意，结合数列递推公式，代入计算即可.【详解】根据题意，由1121,31,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，得()()()5432131321163121821422a a a a a =+=-+=+-=-+=. 故选：D.4．已知直线1:70l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=互相平行，则实数m =（） A ．3- B ．1- C ．1-或3 D ．1或3-【答案】C【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到13(2)0m m ⨯--=且2730m -⨯≠，即可求解.【详解】由题意，直线1:70l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=互相平行，可得13(2)0m m ⨯--=且2730m -⨯≠，即2230m m --=且212m ≠，解得1m =-或3m =. 故选：C.5．若数列1，a ，b ，c ，9是等比数列，则实数b 的值为（） A ．5 B ．3- C ．3 D ．3或3-【答案】C【分析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解．【详解】解：设该等比数列公比为q ， ∵数列1，a ，b ，c ，9是等比数列， ∴11a =，59a =，∴451a a q =⨯，故491q =⨯，解得3q =±，∴2313b a a q ==⨯=．故选：C6．在二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若1AB =，2AC =，3BD =，22CD =，则这个二面角的大小为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【分析】设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，从而得到cos α，由此能求出结果.【详解】设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，22222cos()CD CA AB BD CA BD πα∴=+++⋅-，2419223cos α∴=++-⨯⨯⨯，解得1cos 2α=， ∴60α=︒，∴这个二面角的度数为60︒，故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角.7．若数列{}n a 对任意()2n n +∈N 满足()()11220n n n n a a a a -----=，下面选项中关于数列{}n a 的说法正确的是（） A ．{}n a 一定是等差数列 B ．{}n a 一定是等比数列C ．{}n a 可以既是等差数列又是等比数列D ．{}n a 可以既不是等差数列又不是等比数列【答案】D【分析】由已知可得12n n a a --=或12n n a a -=，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．【详解】由11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，得120n n a a ---=或120n n a a --=，即12n n a a --=或12n n a a -=，若12n n a a --=，则数列{}n a 是等差数列，则B 错误；若12n n a a -=，当0n a =时，数列{}n a 是等差数列，当0n a ≠时，数列{}n a 是等比数列，则A 错误．∴数列{}n a 是等差数列，也可以是等比数列；由11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，不能得到数列为非0常数列，则不可以既是等差又是等比数列，则C 错误；可以既不是等差又不是等比数列，如1，3，5，10，20，40⋯，故D 正确；故选：D ．8．已知点12F F ､是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF =，则（） A ．1PF 与双曲线的实轴长相等 B ．12PF F △的面积为232aC ．双曲线的离心率为52D ．直线320x y +=是双曲线的一条渐近线【答案】B【分析】由题意及双曲线的定义可得1||PF ，2||PF 的值，进而可得A 不正确，计算12PF F S可判断B 正确，再求出a ，c 的关系可得C 不正确，求出a ，b 的关系，进而求出渐近线的方程，可得D 不正确．【详解】因为12||3||PF PF =，又由题意及双曲线的定义可得：12||||2PF PF a -=，则2||PF a =，1||32PF a a =≠，所以A 不正确；因为P 在以12F F 为直径的圆上，所以12PF PF ⊥，所以12212113||||3222PF F SPF PF a a a =⋅=⋅⋅=，所以B 正确；在Rt △12PF F 中，由勾股定理可得22221212||||||10F F PF PF a =+=，即22410c a =，所以离心率ce a =，所以C 不正确；由C 的分析可知：22410c a =，故222232b c a a =-=，所以渐近线的方程为b y x a=±=，0=，所以D 不正确；故选：B ．9．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（） A ．4039 B ．4040C ．4041D ．4042【答案】B【解析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><，由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040．故选：B ．【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.10．已知4ln 4aa -=，3ln 3b b -=，2ln 2c c -=，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】C【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<. 【详解】由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-，令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1f x x >'>，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C11．公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足1202120221,1a a a >⋅>，20212022101a a -<-.则下列结论正确的是（）A ．n T 的最大值为2021TB ．202120231a a ⋅>C ．n S 的最大值为2023SD ．1q > 【答案】A【分析】根据已知条件，判断出01q <<，即可判断选项D ，再根据等比数列的性质，判断20211a >，20221a <，由此判断出选项A ,B ,C .．【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足条件11a >，202120221a a ⋅>，20212022(1)(1)0a a -⋅-<，若1q >，则2020202120211202211,1a a q a a q =⋅>=⋅>，则202110a ->，202211a ->，则20212022(1)(1)0a a -->，这与已知条件矛盾，所以1q >不符合题意，故选项D 错误；因为11a >，202120221a a ⋅>，20212022(1)(1)0a a -⋅-<，所以0q > ，20211a >，20221a <，则01q <<，0n a >，数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，因此2021T 是数列{}n T 中的最大值，故选项A 正确．由等比数列的性质，22021202320221a a a ⋅=<，故选项B 不正确；而12n n S a a a =+++，由以上分析可知其无最大值，故C 错误；故选：A12．对于函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（） A ．()f x 的单调减区间为()0,eB ．设()2g x x a =+，若对()12,1,x R x ∞∀∈∃∈+，使得()()12g x f x =成立，则e aC ．当1201x x 时，1221ln ln x x x x <D ．若方程()f x k =有4个不等的实根，则e k【答案】B 【分析】函数()ln x f x x =，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+,2ln 1()ln x f x x-'=，利用导数研究函数的单调性以及极值，画出图象． A.结合图象可判断出正误；．B.设函数()()g x x R ∈的值域为G ，函数()((1f x x ∈，))+∞的值域为E ．若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，可得G E ⊆．分别求出G ，E ，即可判断出正误．C .由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，由此即可判断出正误；D .方程(||)f x k =有4个不等的实根，则0x >，且1x ≠时，()f x k =有2个不等的实根，由图象即可判断出正误；．【详解】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+． 2ln 1()ln x f x x-'=，可得函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增, 当e x =时，min ()(e)e f x f ==，由此作出函数的大致图象，如图示：A.由上述分析结合图象，可得A 不正确．B. 设函数()()g x x R ∈的值域为G ，函数()((1f x x ∈，))+∞的值域为E ．2()g x x a =+，对x R ∀∈，[G a =，)∞+．(1,)x ∀∈+∞，[e E =，)∞+．由2()g x x a =+，若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，则G E ⊆，所以e a ，因此B 正确． C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，因此当1201x x 时，1212ln ln xxx x <，即1221ln ln x x x x >，因此C 不正确；D.方程(||)f x k =有4个不等的实根，则0x >，且1x ≠时，()f x k =有2个不等的实根，结合图象可知e k >，因此D 不正确．故选：B ．二、填空题13．若函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行，则实数k =___________. 【答案】2【分析】由题可求函数的导数，再利用导数的几何意义即求. 【详解】∵()ln f x x x =+， ∴1()1f x x '=+，1(1)121f '=+=，又函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行， ∴2k =. 故答案为：2.14．已知函数()243f x x x =-+的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，则ABC 的外接圆E 的方程是________．【答案】22(2)(2)5x y -+-=【分析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求. 【详解】令2()430f x x x =-+=，得1x =或3x =，则(1,0)A ，(3,0)B∴外接圆的圆心E 的横坐标为2，设()2,E m ，半径为r ，由(0)3f =，得(0,3)C ，则||||EA EC =r ，得2m =，r =∴ABC 的外接圆E 的方程为22(2)(2)5x y -+-=. 故答案为：22(2)(2)5x y -+-=. 15．若数列{}n a 满足1130n n a a +-=，则称{}n a 为“追梦数列”.已知数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为“追梦数列”，且12b =，则数列{}n b 的通项公式n b =__________. 【答案】31n -13n -+【分析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为13的等比数列，进而可得若数列1{}1n b +为“追梦数列”，则{1}n b +为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案．【详解】根据题意，“追梦数列”{}n a 满足1130()n nn N a a ++-=∈，即13n n a a +=，则数列{}n a 是公比为13的等比数列.若数列1{}1n b +为“追梦数列”，则11111113311133n n n n n n n b b b b -+⎛⎫=⨯=⇒+=⇒=- ⎪+⎝⎭. 故答案为：31n -.16．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是___________.【答案】()()1,00,1-⋃ 【分析】根据当0x ＞时，有()()0f x xf x '＋＞，令()()()()()0g x xf x g x xf x f x ''＝，＝＋＞，得到()g x 在()0x ，＋上递增，再根据()f x 在R 上的偶函数，得到()g x 在R 上是奇函数，则()g x 在()0∞-，上递增，然后由()10f ＝，得到()()110g g -＝＝求解．【详解】∵当0x ＞时，有()()0f x xf x '＋＞，令()()g x xf x ＝， ∴()()()0g x xf x f x ''＝＋＞， ∴()g x 在()0∞，＋上递增，又∵()f x 在R 上的偶函数∴()()()()g x xf x xf x g x -----＝＝＝， ∴()g x 在R 上是奇函数∴()g x 在()0∞-，上递增，又∵()10f ＝， ∴()()110g g -＝＝，当()00x f x ＞，＜时，()0g x ＜，此时，0＜x ＜1，当()00x f x ＜，＜时，()0g x ＞，此时，10x -＜＜，∴()0f x ＜成立的x 的取值范围是()()1001-⋃，，．故答案为：()()1001-⋃，，﹒ 三、解答题17．在等差数列{}n a 中，148,2a a == (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n n T a a a =+++，求40T .【答案】(1)210n a n =-+ (2)1280【分析】（1）直接利用等差数列的通项公式即可求解；（2）先判断出数列单调性，由50a =，则5n <时，0n a >，5n >时，0n a <；然后去掉绝对值，利用等差数列的前n 项和公式求解即可. (1)设数列{}n a 的公差为d ，由148,2a a ==，可知41241a a d -==--， ∴()()812210n a n n =+-⨯-=-+; (2)由（1）知，数列{}n a 为单调递减数列，由50a =，则5n <时，0n a >，5n >时，0n a <；401240123412402T a a a a a a a a a a()()482408702128022⨯+⨯-=⨯-=.18．如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=，(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若PAD △是等边三角形，底面ABCD 是边长为3的正方形，E 是PA 中点，求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)1510 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可. (1) ∵90BAP CDP ∠=∠=︒，∴BA AP ⊥，CD PD ⊥，又//CD AB ，∴BA PD ⊥，∵PD PA P =，,PD PA ⊂面PAD ，∴BA ⊥面PAD ，BA ⊂平面ABCD,平面PAD ⊥平面ABCD(2)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PF AD ⊥交AD 于点F ，PF ⊂平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴PF ⊥平面ABCD ，以D 为原点，DA ，DC 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,3,0C ，333,0,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0,0A ，()3,3,0B ，933,0,44E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0DC =，333,0,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，333,3,44BE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，求得法向量为()3,0,1n =-，由15sin cos ,10BE nBE n BE n θ⋅===⋅，所以直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为1510.19．已知函数3()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y m ++=. （Ⅰ）求实数a ，m 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[1,2]上的最值.【答案】（Ⅰ）最大值为2-，最小值为242-（Ⅱ）最大值为2-，最小值为242-【分析】（Ⅰ）切点(1,)y 在函数3()32f x x ax =-+上，也在切线方程为30x y m ++=上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线()y f x =在1x =的导数，得到另外一个式子，联立可求实数a ，m 的值；（Ⅱ）函数()f x 在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.【详解】解：（Ⅰ）2()33f x x a '=-，∵曲线3()32f x x ax =-+在1x =处的切线方程为30x y m ++=，∴(1)333(1)333f a f a m =-=-⎧⎨=-=--'⎩解得2a =，0m =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()62f x x x =-+，则2()36f x x '=-，令()0f x '=，解得x =∴()f x 在上单调递减，在上单调递增，又(1)1623f =-+=-，3(2)26222f =-⨯+=-，3622f =-=-∴()f x 在区间[1,2]上的最大值为2-，最小值为2-【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题. 20．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+．（1）设n n a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+. 【解析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a a n n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n n a a n n +=+，因为n n a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，（2）由（1）13n n b -=，由13n n a n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得： 0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-，则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.21．设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率； (2)如图所示，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的标准方程．【答案】3(2)221123x y += 【分析】（1）根据题意得12bc c a =，进而求解离心率即可；（2）根据题意得圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且10AB，易知AB 斜率存在，设其直线方程为()21y k x =++，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.(1)解：过点()(),0,0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=，∴原点O 到直线的距离bc d a ==，由12d c =，得2a b ==c e a ==(2)解：由（1）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=.依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且10AB . 易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为()21y k x =++，联立()2224421x y b y k x ⎧+=⎪⎨=++⎪⎩，得()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则()12282114k k x x k ++=-+，()22122421414k b x x k+-=+. 由124x x +=-，得()2821=414k k k +--+，解得12k =. 所以21282x x b =-.于是12AB x =-=由10AB ，得23b =. 故椭圆E 的方程为221123x y +=. 22．已知函数()()()e e 0x f x a x a =-≠．(1)讨论()f x 的单调性：(2)若()1f x x >+对[)2,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)23,e 2e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭【分析】（1）求导得()()e e x f x a '=-，在分0a >，0a <两种情况讨论求解即可；（2）根据题意将问题转化为1e e xx a x +>-对[)2,x ∞∈+恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.(1)解：函数的定义域为R ，()()e e x f x a '=-．当0a >时，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得1x <；当0a <时，令()0f x '>，得1x <，令()0f x '<，得1x >．综上，当0a >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减．(2)解：由（1）知，函数()e e x g x x =-在[)2,+∞上单调递增，则()()()2e e 20g x g ≥=->，所以()1f x x >+对[)2,x ∞∈+恒成立等价于1e e xx a x +>-对[)2,x ∞∈+恒成立．设函数()()12e e x x h x x x +=≥-，则()()2e e e e x x x h x x -=-'，设()()e e 2x p x x x =-≥，则()()1e 0x p x x =-+<'，则()p x 在[)2,+∞上单调递减，所以()()22e 2e 0p x p ≤=-<，则()0h x '<，所以()h x 在[)2,+∞上单调递减，所以()()2max 32e 2e h x h ==-；故23e 2e a >-，即a 的取值范围是23,e 2e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭．。

2021-2022学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题一、单选题110y --=的倾斜角为（） A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】B【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】10y --=变形为1y =-所以k = 设倾斜角为α则tan k α= 因为0180α<< 所以60α=︒ 故选:B【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系,属于基础题.2．已知椭圆2214924x y +=的焦点分别为1F ，2F ，椭圆上一点P 与焦点1F 的距离等于6，则12PF F △的面积为（） A ．24 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【分析】由题意可得出a 与c 、16PF =、12F F 的值，在根据椭圆定义得2PF 的值，即可得到12PF F △是直角三角形，即可求出12PF F △的面积.【详解】由题意知16PF =，2127,4924255,10a c c F F ==-=⇒==.根据椭圆定义可知2128PF a PF =-=，∴12PF F △是直角三角形，121211==68=2422PF F PF PF ⋅⨯⨯△S .故选：A.3．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若179a a =，则)(2264a a a -=（）A ．6B ．12C ．56D ．78【答案】D【分析】由等比数列的性质直接求得.【详解】在等比数列}{n a 中，由等比数列的性质可得：由24179a a a ==，解得：43a =；由2617+=+可得：26179a a a a ==，所以)(222649378a a a -=-=. 故选：D4．已知直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行，则a 的值为（） A ．1 B ．﹣2C ．23-D ．1或﹣2【答案】A【分析】根据题意可得()()210820a a a a ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解之即可得解.【详解】解：因为直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行，所以()()210820a a a a ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1a =.故选：A.5．如图，在三棱锥S -ABC 中，E ，F 分别为SA ，BC 的中点，点G 在EF 上，且满足2EGGF=，若SA a =，SB b =，SC c =，则SG =（）A ．111326a b c -+B ．111633a b c ++C ．111633a b c -+D ．111326a b c ++【答案】B【分析】利用空间向量基本定理结合已知条件求解【详解】因为2EG GF =，所以23EG EF =，因为E ，F 分别为SA ，BC 的中点，所以1223SG SE EG SA EF =+=+ 12()23SA SF SE =+- 122233SA SF SE =+- 12121()23232SA SB SC SA =+⨯+-⨯ 111633SA SB SC =++, 故选：B6．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦距为(1,2)-，则此双曲线的方程为（） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221416x y -=D ．221164x y -=【答案】B【解析】根据题意得到2c =2ba-=-，解得答案.【详解】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c =c =且渐近线经过点(1,2)-，故2b a -=-，故1,2a b ==，双曲线方程为：2214y x -=.故选：B .【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况. 7．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（） A ．戊分得34文，己分得31文 B ．戊分得31文，己分得34文 C ．戊分得28文，己分得25文 D ．戊分得25文，己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，则32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩，解得313a d =⎧⎨=-⎩，所以戊分得28a d +=（文），己分得225a d +=（文），故选：C.8．已知曲线:C y =)(:420l mx y m m R +--=∈总有公共点，则m的取值范围是（）A ．212,55⎡⎤⎢⎥⎦⎣B ．2,25⎡⎤⎢⎥⎦⎣C ．22,5⎡⎤--⎢⎥⎦⎣D ．122,55⎡⎤--⎢⎥⎦⎣【答案】D【分析】对曲线C 化简可知曲线C 表示以点(1,0)C 为圆心，2为半径的圆的下半部分，对直线l 方程化简可得直线l 过定点(4,2)P ，画出图形，由图可知，PA l PD k k k ≤≤，然后求出直线,PA PD 的斜率即可【详解】由y =22(1)4x y -+=，因为0y =，所以曲线C 表示以点(1,0)C 为圆心，2为半径的圆的下半部分，由420mx y m +--=，得(4)(2)0m x y -+-=，所以4020x y -=⎧⎨-=⎩，得42x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(4,2)P ，如图所示设曲线C 与x 轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)A B -，直线l 过定点(4,2)P ，M 为曲线C 上一动点，根据图可知，若曲线C 与直线l 总有公共点，则 PA l PD k k k ≤≤，得204(1)PD m k -≤-≤--，设直线PD 为2(4)y k x -=-，则2=，解得0k =，或125k =，所以125PD k =，所以21255m ≤-≤，所以12255m -≤≤-，故选：D二、多选题9．已知向量(1,1,),(2,1,2)a m b m =-=--，则下列结论中正确的是（） A ．若||2a =，则2m =B ．若a b ⊥，则1m =- C ．不存在实数λ，使得λa b D ．若1a b ⋅=-，则(1,2,2)a b +=--- 【答案】AC【分析】根据向量的模的计算公式，可判定A 选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B 选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C 选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D 选项错误.【详解】对于A 中，由||2a =2221(1)2m +-+，解得2m =A 选项正确；对于B 中，由a b ⊥，可得2120m m --++=，解得1m =，故B 选项错误；对于C 中，若存在实数λ，使得λa b ，则121(1)2m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，显然λ无解，即不存在实数λ，使得λa b ，故C 选项正确；对于D 中，若1a b ⋅=-，则2121m m --++=-，解得0m =，于是(1,2,2)a b +=--，故D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．已知抛物线2:4C x y =，其焦点为F ，准线为l ，PQ 是过焦点F 的一条弦，点)(2,2A ，则下列说法正确的是（） A ．焦点F 到准线l 的距离为2 B ．焦点)(1,0F ，准线方程:1l x =- C ．PA PF +的最小值是3D ．以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切【答案】ACD【分析】对A ：由抛物线方程及焦点F 到准线l 的距离为p 即可求解；对B ：由抛物线方程即可求解；对C ：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；对D ：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【详解】解：对B ：由抛物线2:4C x y =，可得()0,1F ，准线 :1l y =-，故选项B 错误；对A ：由抛物线2:4C x y =，可得24p =，即2p =，所以焦点F 到准线l 的距离为2p =，故选项A 正确；对C ：过点P 作PP l '⊥，垂足为P '，由抛物线的定义可得PF PP ='，所以PA PF PA PP +=+'≥3d =（d 为点)(2,2A 到准线l 的距离），当且仅当A 、P 、P '三点共线时等号成立，所以PA PF +的最小值是3，故选项C 正确；对D ：过点P 、Q 分别作PP l '⊥，QQ l '⊥，垂足分别为P '、Q '，设弦PQ 的中点为M ，则弦PQ 为直径的圆的圆心为M ，过点M 作MM l '⊥，垂足为M '，则MM '为直角梯形PP Q Q ''的中位线，()12MM PP QQ '''=+，又根据抛物线的定义有PP PF '=，QQ QF '=，所以()1122MM PF QF PQ '=+=，所以以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切，故选项D 正确；故选：ACD.11．已知}{n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是公比为q 的等比数列，其前n 项和为n T ．若数列}{n n a b +的前n 项和)(21821n n G n n n N *=-+-∈，则下列结论正确的是（） A ．4d q +=B ．}{n a 的前n 项和的最小值为9SC ．}{n a 的各项中绝对值最小的项是9aD ．)(22223n n n n n T T T T T +=+【答案】ABD【分析】A.根据等差数列等比数列的求和公式求解； B.求出}{n a 的通项公式，分析项的正负情况求解； C.由通项公式可得绝对值最小的项是9a 和10a ； D.由=21n n T -代入计算可求证. 【详解】()()12111111=212211nnn n n b q n n b b d d G S T na d na n q qq q --⎛⎫=+=+++-+-⋅ ⎪---⎝⎭)(21821n n n n N *=-+-∈故=1,22dd =，2q ，4d q +=，故A 对；1182da -=-，可得117a =-，()1721219n a n n =-+-=-，9100,0a a <>，故9S 最小，B 项对；910=1a a =，}{n a 的各项中绝对值最小的项是9a 和10a ，故C 错；由前面分析知，1=11b q--，1=1b ，故12=n n b -，=21n n T - ()()()()()2222222242221+2121+212+122222n n n n n n n n n n T T +=--=--=--⋅+)(()()234223=212+2222222n n n n n n n n n T T T +--=--⋅+，故D 对故选：ABD12．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥，则下列结论正确的是（）A ．平面PEF ⊥平面ABFDB ．直线DP 与平面ABFD 13C ．点B 到平面PDF 3D ．异面直线PE 与AB 所成角为6π 【答案】ACD【分析】利用面面垂直的判定定理可判断A 选项；以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴，过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出点P 的坐标，利用空间向量法可判断BCD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为四边形ABCD 为正方形，则//AD BC 且AD BC =，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，则//AE BF 且AE BF =，且有AE AB ⊥，故四边形ABFE 为矩形，则BF EF ⊥，因为BF PF ⊥，EFPF F =，则BF ⊥平面PEF ，因为BF ⊂平面ABFD ，故平面PEF ⊥平面ABFD ，A 对；对于BCD 选项，因为BF ⊥平面PEF ，以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴，过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,1,0A 、()0,1,0B 、()2,1,0D -、()2,0,0E 、()0,0,0F ，设点(),0,P a c ，其中0c >，()2,1,DP a c =-，(),0,FP a c =，由题意可知PF PD ⊥，则()220DP FP a a c ⋅=-+=，①因为221FP a c =+=，②所以，2222201a a c a c ⎧-+=⎨+=⎩，解得123a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩132P ⎛ ⎝⎭，则332DP ⎛=- ⎝⎭，易知平面ABFD 的一个法向量为()0,0,1n =，所以，332cos ,21DP n DP n DP n ⋅<>===⨯⋅故直线DP 与平面ABFD 3B 错；设平面PDF 的法向量为(),,m x y z =，132FP ⎛= ⎝⎭，()2,1,0FD =-，由130220m FP x m FD x y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取3x =()3,23,1m =-，()0,1,0FB =，所以，点B 到平面PDF 的距离是2334FB m d m⋅===C 对； 33,0,2PE ⎛= ⎝⎭，()2,0,0AB =-，3cos ,32PE AB PE AB PE AB ⋅-<>===⨯⋅，因此，异面直线PE 与AB 所成角为6π，D 对. 故选：ACD. 三、填空题13．圆221:20C x y x +-=与圆222:40C x y y +-=的公共弦长为______．45【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即该直线截其中一圆求弦长即可【详解】圆221:20C x y x +-=与圆222:40C x y y +-=两式相减得，公共弦所在直线方程为：20x y -=圆221:20C x y x +-=，圆心为()1:1,0,1C r =1C到公共弦的距离为：d =公共弦长为14．过点)(2,5P 且与直线1x y +=垂直的直线方程为______．【答案】30x y -+=【分析】先设出与直线1x y +=垂直的直线方程，再把)(2,5P 代入进行求解.【详解】设与直线1x y +=垂直的直线为0x y c -+=，将)(2,5P 代入得：250c -+=，解得：3c =，故所求直线方程为30x y -+=. 故答案为：30x y -+=15．已知数列}{n a 满足11a =，)(122,n n a a n n N *-=+≥∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T =______．【答案】21nn + 【分析】先求出21n a n =-，利用裂项相消法求和.【详解】因为数列}{n a 满足11a =，)(122,n n a a n n N *-=+≥∈，所以数列}{n a 为公差d =2的等差数列，所以)(1121n a a n d n =+-=-，所以()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+所以111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+.故答案为：21nn +. 四、双空题16．已知双曲线)(2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F 到一，则其离心率的值是______；若点P 是双曲线C 上一点，满足1212PF PF =，128PF PF +=，则双曲线C 的方程为______．【答案】 321.5 22145x y -=【分析】求得焦点到渐近线的距离可得d b ==，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得()()22112222144PF PF PFPF PF PF a -=+=-，计算即可得出结果.【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0ay bx ±=，焦点到渐近线的距离d 为bcd b c =====，又222+=a b c ，2222225944a a a a c ⎫+=+==⎪⎪⎝⎭， 22294c e a ∴==，1()e ∈+∞,，∴32e =.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为2a ，即122PF PF a -=，∴()()2111222224841216PF PF PFPF PF PF -=-⨯-=+=，即22(2)416a a ==，解得：24a =，由22294c e a ==，解得：29c ∴=,25b =.∴双曲线C 的方程为22145x y -=. 故答案为：32；22145x y -=. 五、解答题17．已知空间内不重合的四点A ，B ，C ，D 的坐标分别为)(1,,1A k k t t -+-，)(1,0,2B ，)(1,1,2C -，)(1,1,2D -，且//AB CD ．(1)求k ，t 的值；(2)求点B 到直线CD 的距离．【答案】(1)7k =，7t =-【分析】（1）由AB CD ∥，可得存在唯一实数λ，使得AB CD λ=，列出方程组，解之即可得解；（2）设直线BC 与CD 所成的角为θ，求出sin θ，再根据点B 到直线CD 的距离为sin BC θ即可得解．(1)解： )(2,,3AB k k t t =----，)(2,0,4CD =-，因为AB CD ∥，所以存在唯一实数λ，使得AB CD λ=，所以)()(2,,32,0,4k k t t λλ----=-，所以22034k k t t λλ-=⎧⎪--=⎨⎪-=-⎩，解得5277k t λ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以7k =，7t =-； (2)解：)(2,1,0BC =-，则2cos ,55BC CD BC CD BC CD⋅===-，设直线BC 与CD 所成的角为θ，则sin θ== 所以点B 到直线CD 的距离为sin BC θ==18．已知圆C 经过点)(0,3A ，)(2,5B ，且圆心C 在直线270x y +-=上． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点)(4,6P 向圆C 引两条切线PD ，PE ，切点分别为D ，E ，求切线PD ，PE 的方程，并求弦DE 的长．【答案】(1))()(22234x y -+-= (2)4x =或512520x y -+=，DE =【分析】（1）设圆心)(,C a b ，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可；（2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可. (1)设圆心)(,C a b ，因为圆心C 在直线270x y +-=上，所以270a b +-= ①因为A ，B 是圆上的两点，所以CA CB =，所以=50a b +-= ②联立①②，解得2a =，3b =．所以圆C 的半径2r AC ==，所以圆C 的标准方程为)()(22234x y -+-=． (2)若过点P 的切线斜率不存在，则切线方程为4x =．若过点P 的切线斜率存在，设为k ，则切线方程为)(64y k x -=-，即460kx y k --+=．2=，解得512k =，所以切线方程为512520x y -+=．综上，过点P 的圆C 的切线方程为4x =或512520x y -+=．设PC 与DE 交于点F ，因为PC ，CD PD ⊥，PC 垂直平分DE ，所以2PC CF CD =，所以2CD CF PC==所以DE == 19．已知数列}{n a ，}{n b ，其中，}{n a 是各项均为正数的等比数列，满足12318a a +=，24159a a a =，且32log 1n n b a =-．(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求数列}{n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)3nn a =，21n b n =-(2))(1133n n S n +=-+【分析】（1）利用公式法，基本量代换求出数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）利用错位相减法求和. (1)设等比数列}{n a 的公比为q ，因为22415399a a a a ==，所以433a a =，所以433a q a ==．所以1213618a a a +==，所以13a =，所以113n n n a a q -==．所以332log 12log 3121nn n b a n =-=-=-，所以3nn a =，21n b n =-．(2))(213n n n n c a b n ==-，所以)()(231133353233213n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，)()(23413133353233213n n Sn n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以)()(23412323333213n n n S n +-=++++⋅⋅⋅+--)()()()(21121123133213133313213n n n n n n -+-+⨯-=+---=----)(16223n n +=---.所以)(1133n n S n +=-+．20．已知抛物线)(2:20C y px p =>上的点M 到焦点F 的距离为5，点M 到x 轴的距离为6p ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线l 与x 轴交于点Q ，过点Q 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FB 的斜率分别为1k ，2k ．求12k k +的值．【答案】(1)28y x = (2)0【分析】（1）由焦半径公式求C 的方程；（2）设直线AB 方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出12x x +，12x x ，代入12k k +中化简求值即可. (1)设点)(00,M x y ，则06y p =，所以)(2062ppx =，解得03x =．因为03522p pMF x =+=+=，所以4p =．所以抛物线C 的方程为28y x =． (2)由题知，)(2,0F ，)(2,0Q -，直线AB 的斜率必存在，且不为零．设)(11,A x y ，)(22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为2y kx k =+，由228y kx k y x=+⎧⎨=⎩，得)(22224840k x k x k +-+=．所以212284k x x k -+=，124x x =，且)()(2242Δ48166410k k k =--=->，即21k <．所以)()()()()()()()(1212211212121212222222222222k x k x x x x x y yk k k x x x x x x +++-++-+=+=+=------ )(12121228024x x kx x x x -==-++所以12k k +的值为0．21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是平行四边形，1AB =，2AD =，45ABC ∠=︒，四边形ACEF 是矩形，且平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 是线段EF 上的动点．(1)证明：DE BM ⊥；(2)设平面MBC 与平面ECD 的夹角为θ，求θ的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)4π. 【分析】（1）要证DE BM ⊥，只需证DE ⊥平面BEF ，只需证DE BE ⊥（由勾股定理可证），DE EF ⊥，只需证AC ⊥平面CDE ，只需证EC AC ⊥（由平面ACEF ⊥平面ABCD 可证），AC CD ⊥（由AB AC ⊥可证），即可证明结论.（2）以A 为原点，,,AB AC AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．写出点B 与点C 的坐标．由于EF y ∥轴，可设)(]0,,10,1M λλ⎡∈⎣，可得出BM 与BC 的坐标．设)(,,m x y z =为平面BMC 的法向量，求出法向量m .cos cos ,m AC θ=是关于λ的一个式子，求出cos θ的取值范围，即可求出θ的最小值． (1)在ABC 中，1AB =，BC =45ABC ∠=︒，所以2222cos 12211AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯=，所以1AC =．所以ABC 是等腰直角三角形，即AB AC ⊥．因为AB CD ∥，所以AC CD ⊥又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ABCD 平面ACEF AC =，EC AC ⊥，所以EC ⊥平面ABCD 又AC ⊂平面ABCD ，所以AC EC ⊥又因为EC CD C =，EC ，CD ⊂平面CDE 所以AC ⊥平面CDE 又DE ⊂平面CDE ，所以DE AC ⊥，所以DE EF ⊥在ABD △中，1AB =，AD 135BAD ∠=︒所以22222cos 125BD AD AB AD AB AD AB BAD =+-⋅-⋅∠=++=所以5BD =．又因为2DE =，3EB =，所以222BD DE EB =+，所以DE BE ⊥ 又EF EB E ⋂=，EF ，EB ⊂平面BEF 所以DE ⊥平面BEF 又BM ⊂平面BEF ，所以DE BM ⊥． (2)以A 为原点，,,AB AC AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则)(1,0,0B ，)(0,1,0C ．因为EF y ∥轴，可设)(]0,,10,1M λλ⎡∈⎣，，可求得)(1,,1BM λ=-，)(1,1,0BC =-．设)(,,m x y z =为平面BMC 的法向量则00m BM x y z m BC x y λ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩令1x =，解得11y z λ=⎧⎨=-⎩，所以)(1,1,1m λ=-．又因为)(0,1,0AC =是平面CDE 的法向量．所以)(2cos cos ,21m AC m AC m ACθλ⋅===⋅+-因为]0,1λ⎡∈⎣32cos θ≤≤．所以当2cos 2θ=时，θ取到最小值4π．22．已知椭圆)(2222:10y x C a b a b +=>>经过点5,23⎛⎫ ⎪⎪ ⎭⎝，且离心率为223．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 是椭圆C 的上，下顶点，点P 是直线6y =上的动点，直线P A 与椭圆C 的另一交点为E ，直线PB 与椭圆C 的另一交点为F ．证明：直线EF 过定点．【答案】(1)2219y x +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，列出,a b 的方程组，通过解方程组，即可求出答案.（2）法一：设)(,6P t ，)(11,E x y ，)(22,F x y ；当0t ≠时，根据点,A P 的坐标写出直线P A 的方程，与椭圆方程联立，可求出点E 的坐标；同理可求出点F 的坐标，然后即可求出直线EF 的方程，从而证明直线EF 过定点.法二：首先根据0=t 时直线EF 的方程为0x =，可判断出直线EF 过的定点M 必在y 轴上，设为)(0,M m ；然后同方法一，求出点E ，F 的坐标，根据ME MF ∥，即可求出m 的值. (1)由题意，知22222451922a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得3a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2219y x +=．(2)法一：设)(,6P t ，)(11,E x y ，)(22,F x y ，当0t ≠时，直线P A 的方程为33y x t =+，由223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得)(22120t x tx ++=．解得1221t x t =-+，所以212331t y t -=+．所以222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝．同理可得2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝．所以直线EF 的斜率为)()()()()()(22222222222222733327313399391624612991EFt t t t t t t t t k t t t t t t t t t ----+--+-++===++++++，所以直线EF 的方程为222233932141t t t y x t t t ⎛--⎫-=+⎪ ++⎭⎝，整理得293342t y x t -=+，所以直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．当0=t 时，点E ，F 在y 轴上，EF 的方程为0x =，显然过点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．综上，直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．法二：当点P 在y 轴上时，E ，F 分别与B ，A 重合，直线EF 的方程为0x =，若直线EF 过定点M ，则M 必在y 轴上，可设)(0,M m ．当点P 不在y 轴上时，设)()(,60P t t ≠，)(11,E x y ，)(22,F x y ，则直线P A 的方程为33y x t =+，由223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得)(22120t x tx ++=，解得1221t x t =-+，所以212331t y t -=+，所以222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝，同理可得2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝，所以)(222332,11m t m t ME t t ⎛⎫--- ⎪=-⎪ ++⎭⎝，)(22232796,99m t m t MF t t ⎛⎫-++- =⎪⎪ ++⎭⎝．因为E ，F ，M 三点共线，所以ME MF ∥，所以)()(222222327933261919m t m m t m t tt t t t +-+---⨯=⨯++++，整理得)()(22330m t -+=，因为230t +>，所以230m -=，解得32m =，即30,2M ⎛⎫⎪ ⎭⎝．所以直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．。

2021-2022学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知{}n a 是等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则公差d 为（） A ．6 B ．6-C ．2-D ．2【答案】C【分析】设{}n a 的首项为1a ，把已知的两式相减即得解.【详解】解：设{}n a 的首项为1a ，根据题意得111111241053599a a d a d a d a d a d ++++=⎧⎨+++++=⎩，两式相减得2d =-. 故选：C2．甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人各射击一次恰有一人中靶的概率为（） A ．0.26 B ．0.28 C ．0.72 D ．0.98【答案】A【分析】依据独立事件同时发生的概率即可求得甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率.【详解】记甲中靶为事件A ，乙中靶为事件B ，则()0.8()0.2,()0.9()0.1P A P A P B P B ====，，甲乙两人各射击一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中两种情况，则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率为 ()()()()0.80.10.90.20.26P A P B P B P A ⋅+⋅=⨯+⨯=故选：A3．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =，则向量MN 可表示为（）A ．12a b c ++B ．1144a b c ++C ．131484a b c --D ．313444a b c +-【答案】D【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解. 【详解】解：因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =，所以()111113132424MN MA A N AD AC AD AC AA =+=-+=-+-()111331331324444444AD AB AD AA AB AD AA a b c =-++-=+-=+-，故选：D.4．已知F 是椭圆22:11615x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(4,4)，则||||PQ PF +的最大值为（） A ．41 B ．13C ．3D ．5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示：()42||||||2||2||841413PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+=+-+=，故选：B5．已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A ．3±B ．3C．D．【答案】A【分析】依据点差法即可求得a b 、的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率. 【详解】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-，由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=则22620a b -=，即22=3a b ，则3a b 则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为a b ±=故选：A6．若数列{}n b 满足()1233721n n b b b b n ++++-=，则数列{}n b 的通项公式为（）A ．2n b n =B ．2n n b =C ．42n nb =D ．121n n b =- 【答案】D【分析】由()1233721n n b b b b n ++++-=，分两步，当1n =求出1b ，当2n ≥时得到()1123137211n n b b b b n --++++-=-，两式作差即可求出数列{}n b 的通项公式；【详解】解：因为()1233721n n b b b b n ++++-=①，当1n =时，11b =，当2n ≥时()1123137211n n b b b b n --++++-=-②，①-②得()211nn b -=，所以121n n b =-，当1n =时121n n b =-也成立，所以121nn b =-；故选：D7ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，O 是正方形ABCD 的中心，则EOF ∠的大小为（） A ．60︒ B ．120︒C ．45︒D ．135︒【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求EOF ∠的大小即可解决. 【详解】由题意可得OC ⊥平面ABD ，OA OB ⊥，则OA OB OC 、、两两垂直以O 为原点，分别以OB 、OA 、OC 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0)O ，11(,,0)22E -，11(,0,)22F ，11(,,0)22OE =-，11(,0,)22OF =222211110012222cos cos ,211112222OE OF EOF OE OF OE OF -⨯+⨯+⨯⋅∠====-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又0180EOF ≤∠≤，则120EOF ∠= 故选：B8．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221231e e +=（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率1e 和双曲线的离心率2e 的关系式，即可求得221231e e +的值. 【详解】设椭圆的长轴长为2m ，双曲线的实轴长为2n ，令122F F c =，不妨设12PF PF >则121222n PF PF m PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，解之得12PF m n PF m n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩代入()22212122π22cos3c PF PF PF PF =+-⋅，可得()()()()()2222c m n m n m n m n =++-++-整理得22243c m n =+，即2243m n c c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是2212314e e +=故选：C 二、多选题9．给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B ．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则A 与B 互为对立事件C ．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是950D ．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率【答案】CD【分析】根据频率和概率的定义，以及对立事件的定义，即可判断选项.【详解】A.甲胜的概率为35表示甲每次获胜的可能性都是35，但不一定比赛5场，甲胜3场，故A 错误；B. 事件A 与B 都包含“向上的点数为1”这个事件，故不是对立事件，故B 错误；C.由频率的概念可知抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是950，故C 正确； D.频率在一定程度上反映了事件发生的可能性，随着实验次数的改变而改变，当实验次数相当大时，频率非常接近概率，而概率是事件本身的属性，不随实验次数的多少而改变，是定值，故D 正确. 故选：CD10．已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于AB 、两点，点P 为双曲线C 上异于A B 、的一动点，则下列结论正确的有（） A ．22F A F B ⋅的最大值为9B ．若以AB 为直径的圆经过双曲线的右焦点2F ，则1216F AF S ∆=C ．若17PF =，则有21PF =或13D ．设PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，则221214k k +的最小值为94【答案】BD【分析】求得22F A F B ⋅的最大值判断选项A ；求得12F AF S ∆判断选项B ；求得2PF 的值判断选项C ；求得221214k k +的最小值判断选项D. 【详解】双曲线22:1916x y C -=中1(5,0)F -、2(5,0)F ，焦距210c =，实轴长26a =不妨设111111()()(0,0)A x y B x y x y -->>,、,，22(,)P x y选项A ：211211(5,),(5,)F F A x y B x y =-=---则2222111111(5,)(5,)250F A B F x y x y x y ⋅=-⋅---=--=，又()22111699y x =-，则222125419F F A B x ⋅=- 由13x ≥，可知219x ≥，即212541169x -≤，则22F A F B ⋅的最大值为16.判断错误；选项B ：以AB 为直径的圆经过双曲线的右焦点2F ，则有22F A F B ⊥则22222111111125(5,)(5,)254109F A B x y x y x y F x ⋅=-⋅---=--=-=，解之得2194125x =⨯，则2116925641992525y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则1165y =则1212111161016225F F A F y S F ∆⨯⨯⨯==⨯=.判断正确；选项C ：若17PF =，由12276PF PF PF -=-=，可得213PF =或21PF =（因为212PF c a =<=-，舍去）.判断错误；选项D ：由2211222219161916x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()212121210916x x x x y y y y -+-+-=即()()()()212121210916x x x x y y y y -⎡--⎤-⎡--⎤⎣⎦⎣⎦-=，则12169k k = 故22121212141299241644k k k k k k +≥⋅==⨯=，（当且仅当122k k == 即221214k k +的最小值为94.判断正确. 故选：BD11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-，数列{}n b 满足1n n n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（） A ．数列{}n a 的通项公式为13-=n n a B ．{}lg n a 为等差数列C ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．数列{}n b 的通项公式()()11233131n n nn b -+⨯=-- 【答案】BCD【分析】根据题目求出{}n a 的通项公式，即可判断A 、B 选项的正误；求出数列{}n b 的通项公式，利用裂项相消法结合数列的单调性可判断C 、D 选项的正误. 【详解】当=1n 时，11312S a =-，则12a =，当2n ≥时，11312n n S a --=-，两式相减得：()132n n n a a a -=-，则13n na a -=，所以{}n a 是以首项为2，公比为3的等比数列. 11123n n n a a q --∴==⋅，所以A 错；又因为()()11lg lg 23lg 2lg31lg3lg 2n n n a n --=⋅=+=-+，()+1lg lg lg3lg21lg3lg2lg3n n a a n n ∴-=+---=，所以{}lg n a 是以1lg =lg 2a 为首相，lg 3为公差的等差数列，所以B 对. 11123n n n a a q--==⋅，()2133113n n n S -∴==--,()()()()()()11111313123111133313131313131n nn n n n n n n n b +-+++---⨯⎛⎫==⨯=-⎪------⎝⎭，D 对； 22334111111111133131313131313131n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()111166331n +=-<-，0n b >，所以，数列{}n T 为单调递增数列，则118n T T ≥=，故1186n T≤<，C 对.故选：BCD.12．设m R ∈，直线310mx y m --+=与直线310x my m +--=相交于点(,)P x y ，线段AB 是圆22:(2)(1)9C x y +++=的一条动弦，Q 为弦AB 的中点，||AB =确的是（）A ．点P 在定圆22(2)(2)8x y -+-=上B ．点P 在圆C 外C ．线段PQ 长的最大值为6D ．PA PB ⋅的最小值为15-【答案】BC【分析】两直线互相垂直，分别过定点(3,1)M ，定点(1,3)N ，可得P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=即可判断选项A ；判断两圆的位置关系可判断选项B ；由垂径定理可得||1CQ =，则有Q 的轨迹是以(2,1)C --为圆心，半径为1的圆，从而可得线段PQ 长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径即可判断选项C ；由数量积的运算结合选项C 即可判断选项D ．【详解】解：因为直线310mx y m --+=与310x my m +--=，满足1(1)0m m ⋅+⋅-=，所以两直线互相垂直，又两直线分别过定点(3,1)M ，定点(1,3)N ，所以P 是以MN 为直径的圆，圆的方程为22(2)(2)2x y -+-=，故选项A 错误；圆22(2)(2)2x y -+-=与圆22:(2)(1)9C x y +++=的圆心距为53，所以两圆相离，则点P 在圆C 外，故选项B 正确；因为||AB =Q 为弦AB 的中点，所以||QA =(2,1)C --到弦AB 的距离为||1CQ =，所以弦AB 中点Q 的轨迹是以(2,1)C --为圆心，半径为1的圆，所以线段PQ 长的最大值为两圆心的距离加上两圆的半径，即16选项C 正确； 2()()()PA PB PQ QA PQ QB PQ PQ QA QB QA QB⋅=+⋅+=+⋅++⋅22222||8PQ QA PQ QA PQ =-=-=-，因为||14min PQ所以2()(4810min PA PB ⋅=-=-选项D 错误．故选：BC. 三、填空题13．抛物线22y x =的焦点坐标是______. 【答案】10,8⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程212x y =，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：10,8⎛⎫⎪⎝⎭.14．如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为120︒，测得从D ，C 到库底与水坝斜面的交线的距离分别为80m DA =，60m BC =，若40m AB =，则甲，乙两人相距________________．【答案】2041【分析】首先构造二面角的平面角，如图，再分别在CEB △和CDE △中求解. 【详解】作//BE AD ，且BE AD =，连结DE ，EC ，BE AB ⊥，BC AB ⊥，AB ∴⊥平面EBC 且120CBE ∠=，四边形ADEB 时平行四边形，∴//DE AB ，∴DE ⊥平面EBC ，EC ⊂平面CEB ，∴DE EC ⊥CEB △中，22160802608020372EC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,CDE △中，22240148002041DC DE EC =+=+=.故答案为：204115．若椭圆22221y x a b+=的焦点在y 轴上，过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是________________．【答案】2215y x +=【分析】设过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭的圆221x y +=的切线为l ，分类讨论求得直线l 分别与圆的切线,A B ，求得直线AB 的方程，从而得到直线AB 与x 轴、y 轴的交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，进而求得椭圆的方程.【详解】设过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭的圆221x y +=的切线分别为1(1)2-=-y k x ，即102kx y k --+=，当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为1x =，恰好与圆221x y +=相切于点(1,0)A ；当直线l 与x 轴不垂直时，原点到直线l的距离为1||1k d -+==，解得34k =-，此时直线l 的方程为3544y x =-+，此时直线l 与圆221x y +=相切于点34(,)55B ，因此，直线AB 的斜率为14052315k -==--，直线AB 的方程为2(1)y x =--，所以直线AB 交x 轴交于点(1,0)A ，交于y 轴于点(0,2)C ，椭圆22221y x a b+=的右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2)，所以2,1c b ==，可得2225a b c ，所以椭圆的标准方程为2215y x +=.故答案为：2215y x +=.四、双空题16．已知递增数列{}n a 共有2021项，且各项均不为零，20211a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则n a 的范围是________________，数列{}n a 的所有项和2021S =________．【答案】 (0,1] 1011 【分析】根据题意得到122020202101a a a a <<<<<=，得到202120201a a a -=，202120192a a a -=，，202112020a a a -=，进而得到2020120192120201a a a a a a +=+==+=，从而即可求得2021S 的值.【详解】由题意，递增数列{}n a 共有2021项，各项均不为零，且20211a =，所以122020202101a a a a <<<<<=，所以n a 的范围是(0,1]，因为i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，即20212020202120192021101a a a a a a <-<-<<-<，且上述的每一项均在数列{}n a 中，所以202120201a a a -=，202120192a a a -=，，202112020a a a -=，即2020120192120201a a a a a a +=+==+=，所以2021220211S =+，所以20211011S =. 故答案为：(0,1]；1011. 五、解答题17．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，520S =，且3510,,a a a 成等比数列 (1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2n n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)35n a n =- (2)12372222+=+--n n n n S【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得到方程组，解得1a 、d ，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得(35)2nn b n =-+，再利用分组求和法求和即可；【详解】(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得()()()123451211151020294a a a a a a d a d a d a d ++++=+=⎧⎪⎨++=+⎪⎩，解得140a d =⎧⎨=⎩或123a d =-⎧⎨=⎩，因为0d ≠，所以23(1)35n a n n =-+-=-． (2)解：当35n a n =-时，(35)2n n b n =-+，所以()1212212235372221222n n nn n S b b b n n n +--+-=+++=⋅+=+---．18．已知三个条件①圆心C 在直线1y =+上；②圆的半径为2；③圆过点2)M 在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)已知圆C 过点(2,1)A 且圆心在y 轴上，且满足条件________，求圆C 的方程； (2)在（1）的条件下，直线:20l ax y a +--=与圆C 交于P 、Q 两点，求弦长PQ 的最小值及相应的a 值．【答案】(1)条件选择见解析，圆C 的方程为22(1)4x y +-=(2)PQ 的最小值为22，相应1a =【分析】（1）选择条件①或②或③，求得圆心和半径，由此求得圆C 的方程. （2）首先求得直线l 过定点()1,2D ，根据CD PQ ⊥求得最短弦长以及此时a 的值.【详解】(1)若选条件①，由题意知，圆心是方程310y x x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的解，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以(0,1)C ，设半径为r ，则||2r AC ==．则圆的方程为：22(1)4x y +-=．若选条件②，设圆心(0,)C b ，由题意知22||(20)(1)2AC b =-+-=，所以1b =．圆心()0,1C ，半径为2，所以圆的方程为：22(1)4x y +-=．若选条件③，设圆心(0,)C b ，由题意知||||=AC MC ，即有2222(20)(1)(30)(2)b b -+-=-+-，解得1b =，圆心为()0,1C ，且半径为22(30)(21)2-+-=，所以圆的方程为： 22(1)4x y +-=．(2)由（1）圆的方程为：22(1)4x y +-=，圆心为()0,1C ，半径2r =. 直线l 过定点(1,2)D ，要使弦长PQ 最短，CD PQ ⊥， 1CD PQ k k ∴⋅=-，21110CD k -==-，1PQ k ∴=-，直线l 的斜率，也即直线PQ 的斜率为a -，所以1,1a a -=-=.||2CD =，2||24(2)22PQ ∴=-=，所以弦长最小值为22PQ =．19．已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取了n 名学生，成绩分为A （优秀），B （良好），C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14401064++=（人），数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人，已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07．(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求a ，b 的值；(2)已知12a ≥，10b ≥，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率．【答案】(1)18a =，12b = (2)49【分析】（1）根据x 与y 均为A 等级的概率是0.07，求得n 值，再根据数学成绩的优秀率是30％求得a 值，最后利用抽取的总人数求出b 值即可；（2）根据30a b +=，12a ≥，10b ≥，写出满足条件得基本事件(),a b ，找出其中2a b >+的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可. 【详解】(1)由题意知140.07n=，解得200n =， 1428100%30%200a ++⨯=，解得18a =，由已知得1440103628834200a b ++++++++=，解得12b =. (2)由30a b +=，12a ≥，10b ≥，可知1220a ≤≤，则试验的样本空间{(12,18),(13,17),(14,16),(15,15),(16,14),(17,13),(18,12)(19,11),(20,10)}Ω=，共9个样本点．其中2a b >+包含的样本点有(17,13),(18,12),(19,11),(20,10)共4个，故所求概率49P =． 20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且2PA =，E 为PD 的中点．(1)求平面PAB 与平面ACE 夹角的余弦值；(2)在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(2)存在，点F 为线段BC 的靠近B 点的三等分点【分析】（1）根据题意证得BC ⊥平面PAB ，进而证得CD ⊥平面PAD ，得到PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得平面ACE 和平面ABC 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）设点(2,,0)(02)F t t ≤≤，求得平面PAF 的法向量为1(,2,0)n t =-，结合向量的距离公式列出方程，求得t 的值，即可得到答案.【详解】(1)解：因为四边形ABCD 为正方形，则BC AB ⊥，CD AD ⊥，由PB BC ⊥，BC AB ⊥，PB AB B ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，因为PA ⊂平面PAB ，所以PA BC ⊥，又由PD CD ⊥，CD AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥，因为BC CD C ⋂=且,BC CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ，由PA ⊥平面ABCD ，且AB AD ⊥，不妨以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，可得(2,2,0)AC =，(0,1,1)AE =，(2,2,2)PC =-，设平面ACE 的法向量为111(,,)z m x y =，则11112200m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11y =，可得111,1x z =-=-，所以(1,1,1)m =--，易得平面PAB 的法向量为(0,1,0)n =，则cos ,||||3m n m n m n⋅===⋅⨯由平面PAB 与平面ACE 夹角为锐角，所以平面PAB 与平面ACE (2)解：设点(2,,0)(02)F t t ≤≤，可得(2,,0)AF t =，(0,0,2)AP =，设平面PAF 的法向量为1(,,)n a b c =，则112020n AF a tb n AP c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取a t =，可得2,0b c =-=，所以1(,2,0)n t =-，所以点E 到平面PAF 的距离为121||310||4AE n d n t ⋅===+，解得249t =，即23t =或23t =- 因为0t >，所以23t =故当点F 为线段BC 的靠近B 点的三等分点时，点E 到平面PAF 的距离为310.21．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)1F x y -+=外的点P 在y 轴的右侧运动，且P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离，记P 的轨迹为E ． (1)求E 的方程；(2)过点F 的直线交E 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ，线段DM 交E 于点N ，证明：N 是DM 的中点．【答案】(1)24(0)y x x => (2)证明见解析【分析】（1）设点(,)P x y ，求得P 到圆F 上的最小距离为||1PF -，根据题意得到||1PF x -=，整理即可求得曲线E 的方程；（2）当直线AB 的斜率不存在时，显然成立；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程(1)y k x =-，联立方程组求得212224k x x k ++=和124y y k +=，得到2222,k D kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合抛物线的定义和方程求得21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212,N k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合2M D N x x x +=，即可求解.【详解】(1)解：设点(,)P x y ，（其中0x >），由圆22:(1)1F x y -+=，可得圆心坐标为(1,0)F ，因为P 在圆F 外，所以P 到圆F 上的点的最小距离为||1PF -，又由P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离，可得||1PF x -=，即22(1)1x y x -+-=，整理得24(0)y x x =>，即曲线E 的方程为24(0)y x x =>．(2)解：当直线AB 的斜率不存在时，可得点D 为抛物线的交点，点N 为坐标原点，点M 为抛物线的准线与x 轴的交点，显然满足N 是DM 的中点；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程(1)(0)y k x k =-≠，设()00,N x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222240k x k x k -++=，因为()224224416160k k k ∆=+-=+>，且212224k x x k ++=，则121224()k x y x k y k =+=++，故2222,k D kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义知212244||2k AB x x k +=++=，设(,)M M M x y ，可得2M y k =，所以222||M k MD x k +=-，又因为||||2AB MD =，所以222222M k x k k+-=+，解得1M x =-，所以21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为02,N x k ⎛⎫⎪⎝⎭在地物线上，所以021x k =，即212,N k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2M D N x x x +=，即N 是MD 的中点．22．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(1)M m ，在抛物线上，且2MF =，椭圆22221x y a b +=右焦点也为F ，离心率为12． (1)求抛物线方程和椭圆方程；(2)若不经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且3OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），直线与椭圆交于C 、D 两点，求CDF 面积的最大值．【答案】(1)抛物线方程为24y x =，椭圆方程为22143x y +=【分析】（1）由212pMF ==+，可得2p =，继而可得(1,0)F ，故1c =，再利用离心率，以及222b a c =-，即得解；（2）设直线l 方程为my x n =+，与抛物线联立，()21212121216y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+，结合韦达定理可得3n =-，再与椭圆联立，11||222CDFC D C D C D SEF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-=入，结合均值不等式即得解【详解】(1)由题意，212pMF ==+ 解得：2p =，故(1,0)F ， 1c ∴=，12c e a ==，2a ∴=，2223b a c =-=，所以抛物线方程为24y x =，椭圆方程为22143x y +=． (2)设直线l 方程为my x n =+，由24,,y x my x n ⎧=⎨=+⎩消去x 得，2440y my n -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=⎩ 因为()22122121212164431616y y n OA OB x x y y y y n n n ⋅=+=+=+=+=-，所以3n =-或1n =-（舍去），所以直线l 方程为3my x =-．由221,433,x y my x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得，()223418150m y my +++=．设(),C C C x y ，(),y D D D x ，则22183415,34C D C D m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设直线l与x轴交点为E，则(3,0)E．所以11||222CDF C D C D C D S EF y y y y y y =⋅-=⨯⨯-=-==(0)t t=>，则2253tm+=，所以243()9tS tt tt===++当且仅当3t=时，即m=。

2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线x -y +1=0的倾斜角是（） A ．30︒ B ．45︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【详解】直线10x y -+=的斜率1k =，设其倾斜角为0180θθ︒≤︒（＜），tan 1θ∴=，得45θ=︒．故选B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．在二项式()412x +的展开式中，含3x 的项为（） A ．332x B ．316x C ．38x D ．34x【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得含3x 的项．【详解】解：二项式()412x +的展开式的通项公式为142r r rr T C x +=⋅⋅，令3r =，故开式中含3x 项为33334232x C x =⋅⋅，故选：A3．已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列一定能得到l α⊥的是（） A ．l m ∥，m α⊥ B ．l m ⊥，m α∥C ．αβ⊥，l β∥D ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α【答案】A【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A 正确，举反例可判定BCD 错误.【详解】A. 若m α⊥，则直线m 与平面α内的所有直线都垂直，又l m ∥，∴l 与平面α内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l α⊥，故A 正确；B.若m α∥，设过m 的平面β与α交于n ，则根据线面平行的性质定理可得//m n ，在平面α内，作直线l n ⊥,则l m ⊥，而此时l 在平面α内，故B 错误；C. 若αβ⊥，设=a αβ，在平面α内作直线l a //，则l β⊄，由线面平行的判定定理可得l β∥，而此时l 在平面α内，故C 错误；D.若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，当,m n 平行时，l 与平面α可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D 错误. 故选：A.4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．35种【答案】C【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.【详解】从7人中选3人,有3735C =种选法，其中甲、乙都不入选的有3510C =种选法，所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有351025-=种, 故选：C5．已知直线()()1:2220l m x m y +--+=，直线()2:3250l x m y ++-=，若12l l ⊥，则m =（） A ．2或－5 B ．－2或－5C ．2或5D ．－2或5【答案】D【分析】直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=，根据题意即可得到：()()()32220m m m +--+=，然后解得结果即可【详解】根据题意，由12l l ⊥，则有： ()()()32220m m m +--+= 解得：2m =-或5m = 故选：D6．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为264cm π和236cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接AB ，则线段AB 长度的最小值是（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD 41cm【答案】A【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求. 【详解】设外球和内球的半径分别为R 和r ,则22464,436R r ππππ==,解得4,3R r ==, 当B 在大球的过A 的半径上时AB 的长最小， ∴AB 长度的最小值是()1R r cm -=, 故选：A7．过等轴双曲线()2220x y a a -=>的右焦点F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若FMN 的面积为2，则a 的值为（） A 2B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】求出过右焦点F 与y x =垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M 的坐标，根据对称性得点N 的坐标，则可得表示出FMN 的面积，然后解方程即可. 【详解】双曲线为22221x y a a-=，右焦点()2,0Fa ，由已知双曲线的一条渐近线方程为y x =，则过右焦点F 与y x =垂直的直线为2y x a =-+，联立2y x y x a =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2222x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨取22,22M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则根据对称性得22,22N a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2222221222FMNa a Sa a ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 解得2a = 故选：B.8．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X 能正常工作的概率为()P X ，该系统正常工作的概率为:(){}()()P AB C D P AB C P D ⎡⎤⎡⎤⋃⋂=⋃⎣⎦⎣⎦()()()()()()()11P AB P C P D P A B P C P D ⎡⎤=-=-⋃⎣⎦()()()()()()()2111111P AB P C P D p p p ⎡⎤⎡⎤=---=---⎣⎦⎣⎦,故选：C. 二、多选题9．已知圆221:1O x y +=的半径为1r ，圆222:3440O x y x y +--+=的半径为2r ，则（）A ．12r r >B ．12r r <C ．圆1O 与圆2O 外切D ．圆1O 与圆2O 外离【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.【详解】解：圆221:1O x y +=的半径为11r =，圆()22239:224O x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的半径为232r =，故12r r <,故B 对，A 错；圆心距1252d r r ===+，故圆1O 与圆2O 外切，故C 对，D 错；故选：BC. 10．若()20222202201220221x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（）A ．展开式中所有的二项式系数之和为20222B ．展开式中二项式系数最大的项为第1012项C ．01a =D ．12320220a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】ABC【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.【详解】展开式中所有项的二项式系数和为01202220222022202220222C C C ++⋯+=,故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；在二项式展开式中，令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a ++⋯+=,∴1202201a a a +⋯+=-=-,故D 错误. 故选：ABC11．如图，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 线交于两点A ，B ，与抛物线的准线交于点D ，1BF =，则（）A ．2BD =B ．32p =C ．点A 到准线的距离为2D ．点F 为线段AD 的中点【答案】ABD【分析】作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，计算得到32p =，逐项分析，得到答案. 【详解】如图所示：作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，直线的斜率为3，所以tan 3,HFB ∠=∴,3HFB π∠=所以6BDE π∠=，故||2||2||2DB BE BF ===，故A正确；又∵1BF =，∴1313,,222p HF HB B ⎛==- ⎝⎭代入抛物线，得32p =（12p =-舍去），故B 正确；对于C ，由B 选项得，直线AB 方程为：333y x = 2590216x x -+=，即91044x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故94A x =,故点A 到准线的距离为32A px +=，故C 错误；对于D, 由C 选项得,3AF FD ==, 点F 为线段AD 的中点, 故D 正确. 故选：ABD ．12．如图，点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上运动，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于E ，F 两点．设BP x =，()EF f x =，则（）A ．动点E 5B ．线段EF 6C ．324f =⎝⎭ D 33x <<())263f x x =【答案】ABD【分析】作出线段EF 运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可．【详解】线段EF 运动形成的图形如图所示：动点E 运动形成的轨迹长度为112154BE ED +=+=A 正确；线段EF 运动形成的图形为平行四边行1BED F 其面积为1136222222BEFS SEF BP ==⨯⋅=⨯=B 正确；当3BP =31222f =⎝⎭，故C 错误； 33x <<332x -=())263f x EF x ==，故D 正确；故选：ABD三、填空题13．计算：2344A C +=______．【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】234443416A C +=⨯+=故答案为：16.14．已知向量()1,2,3a =-，()1,3,6b λλ=---，若a b ∥，则实数λ=______．【答案】1- 【分析】由题意可知136123λλ--==--，解方程，即可求出结果. 【详解】因为a b ∥，所以136123λλ--==--，所以1λ=-. 故答案为：1-.15．甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有______种情况．（用数字填写作答）【答案】14【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得．【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有336A =种，若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最差的，其它任意排，故有1122228A A A =种，故共有6814+=种，故答案为：14．16．如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为______．【答案】8 17【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点F为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面α也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面α分别交两个球于点1F 和点2F ，则可得：点1F 和点2F 是椭圆的两个焦点当且仅当2G 在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，2G C 为圆柱的高，11O F 为球的半径，则12F F 为2c ，12G G 为2a ，然后建立以1A 为坐标原点，以11A E 为x 轴，以12AG 为y 轴的平面直角坐标系，易知：21835G A ，113O F圆1O 的方程为：()2239x y -+=设直线12G G 的斜率为k ，则该直线的方程为：5y kx =+ 根据相切可知：点1O 到直线12G G 的距离为32531k k解得：815k =-故直线12G G 的方程为：8515y x则有：196,5G 则123425G G a因1112O F G G ，则直线11O F 的方程为：1538yx联立直线12G G 和直线11O F 的方程：()85151538y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得：17545,1717F 则1195G F a c解得：85c =故椭圆的最大离心率为：817c e a故答案为：817【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题. 四、解答题17．已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．(1)求C 的离心率和渐近线方程； (2)若15MF =，求2MF ．【答案】(1)2e =，y = (2)29MF =【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -. (1)由题知：b =4c =所以222a c b =-=所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为3y x =±. (2)由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF =29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18．如图所示，在Rt AOB △中，6OAB π∠=，斜边4AB =．现将Rt AOB △以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=，点D 是线段AB 的中点．(1)求直线CD 与OA 所成角的余弦值； (2)求点B 到平面OCD 的距离．【答案】63【分析】（1）取OB 中点M ，连接DM ，则可得CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角，在CDM 中计算其余弦值即可；（2）过B 作BN OD ⊥交OD 于N ，通过证明BN ⊥面OCD 可得线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，在ODM △中计算BN 的长度即可. (1)取OB 中点M ，连接DM ，CM ,因为D ,M 分别为BA ，BO 的中点，则//DM AO 则CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角，因为AO ⊥面O ,则DM ⊥面O ，又CM ⊂面O ，则DM CM ⊥,2BOC π∠=，222215CM OC OM ∴=+=+=，又11343222DM AO ==⨯⨯=, 228CD CM DM ∴=+=36cos 48DM CDM CD ∴∠===, 即直线CD 与OA 所成角的余弦值为64； (2)过B 作BN OD ⊥交OD 于N ， ,,CO OB CO OA OB OA O ⊥⊥=，CO ∴⊥面OAB ，又BN ⊂面OAB ， CO BN ∴⊥，又,BN OD CO OD O ⊥=，BN ∴⊥面OCD ，则线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，232OBDSBN =⨯=，3BN ∴=.即点B 到平面OCD 的距离为3.【点睛】19．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件()1,2,3i A i =表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．(1)分别求()1P BA ，()2P BA ，()3P BA 和()P B 的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】(1)()1112P BA =，()216P BA =，()313P BA =，()P B 712=.(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【分析】（1）利用条件概率公式()()(|)i i i P BA P A P B A =,计算即可求得()1P BA ，()2P BA ，()3P BA ；三式求和即得()P B ；（2）利用条件概率公式分别计算()1|P A B ，()2|P A B ，()3|P A B ，最大者即为所求箱号. (1)由已知可得()()()12313P A P A P A ===,()()()123123|,|,|443P B A P B A P B A ===,∴()111111()(|)3412P BA P A P B A ==⨯=，()222121()(|)346P BA P A P B A ==⨯=，()333131()(|)333P BA P A P B A ==⨯=，∴()P B ()()()1231117126312P BA P BA P BA =++=++=. (2)()()()111112|7712P A B P A B P B ===，()()()22126|7712P A B P A B P B ===，()()()33143|7712P A B P A B P B ===，()3|P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,M p p -在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，且MFN △的面积为3，求直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；1x =- (2)2340x y -+=或240x y +-= 【分析】（1）将点M 代入计算即可；（2）设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，与抛物线方程联立，消去x ，可求出0y ，再求出直线与x 轴交点坐标，再利用0122MFN S y FQ =-△列方程求解即可. (1)由已知得()221p p p =-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-; (2)由（1）得()1,2M ，()1,0F ，设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，联立()2421y x x k y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得24840y ky k -+-=，024y k ∴+=，则042y k =-又直线l 与x 轴交点坐标为()21,0Q k -+，()0112242211322MFN S y FQ k k ∴=-=--⋅-+-=△ 解得32k或12k =- 所以直线l 的方程为()3212x y =-+或()1212x y =--+，即2340x y -+=或240x y +-=.21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值； (3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析 21 (3)存在，1AP =【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC ⊥CD ,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD ⊥平面ACEF ,从而证得结论；（2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得；（3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. (1)∵AD BC ∥，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为直角梯形，又∵1AB BC ==，∴∠BAC =45°，AC 2∴∠CAD =45°，又∵AD =2,∴CD 2222?·cos 4222222AD AC AD AC CAD +-∠=+-⨯⨯⨯= ∴222AC CD AD +=,∴AC CD ⊥,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,CD ⊂平面ABCD , ∴CD ⊥平面ACEF , 又∵AF ⊂平面ACEF , ∴CD ⊥AF(2)∵四边形ACEF 为矩形，∴AF ⊥AC ,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,AF ⊂平面ACEF , ∴AF ⊥平面ABCD ,CE ⊥平面ABCD ∴AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF ⊥平面ABCD ,AF //CE ,∴CE ⊥平面ABCD ，又∵30EDC ∠=︒，∴CE =CDtan 30°, ∴A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE), DF ⎛=- ⎝⎭,由AC ⊥CE ,AC ⊥CD ,CE ∩CD =C ,∴AC ⊥平面CDE , ∴平面CDE 的法向量为()1,1,0AC =,∴直线DF 与平面CDE所成的角的正弦值为··4AC DFAC DF==(3)若ACEF 为正方形，则与（2）同理可得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.∴A(0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE 设()0,0,(0P t t <,平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()2,0,,2,1,0PD t BD =-=-,则2020x tz x y -=⎧⎨-=⎩,令x t =,则2,2y t z ==,(),2,2n t t =,平面ABD 的法向量为()0,0,1m =, ∴22cos ,3m n t ==+,解得1t =，在线段AF 上存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23，线段AP 的长为1.22．如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQMD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)2212516x y +=(2)是定值，为15.【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y - ，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQMD DQ-即可得答案. (1)设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，则由已知2PF r =，110PF r =-，消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；(2)设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=， 21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+- 令0y =，得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+，即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQDQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQMD DQ -∴是定值，且为15.。

2021-2022学年浙江省衢温“5+1”联盟高二上学期期末考试联考数学试卷带讲解

【详解】因为，所以，，
两边平方整理得，，两边平方整理得，
即，
可得，，
设，
所以向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线，
如图，即，
因为，，平行四边形即为的菱形，
所以，
由余弦定理可得，
可得，，
向量在向量上投影向量为，
即 .
故答案为： .
16.已知数列an满足，则 __________．
B.若棱柱是直棱柱，则直线AP与的夹角大于．
C.无论取何值，总存在点P，使得直线PC//平面．
D.若直线与平面ABCD所成角分别，则．
ACD
【分析】若棱柱是直棱柱，根据外接球的直径是长方体的对角线，求出，可判断A；
若棱柱是直棱柱，则直线AP与的夹角为，可判断B；连接对角线相较于点，连接，当为的中点时，由线面平行的判断定理可得平面，可判断C；
（2）利用面积公式求得，再利用余弦定理可得，计算即可.
【小问1详解】
选①∵
∴ sin cos = sinCcos + sin cosC= sin( +C) = sin
∴cos
∵ ∈ ,∴ =
选②∵sin( ) = − 1 + 2sin2 ,∴sin = −cos
∴sin( +A) = 1
∵A∈ ∴A=
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，则A B=（）
A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}

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