人教版八年级数学一次函数常考题类型专题解析
一次函数常考题类型专题解析
类型一：正比例函数与一次函数定义
1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？
思路点拨：
某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠０．
解：
∵函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数，
∴m=-2.
∴当m=-2时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数．
举一反三：
【变式1】如果函数是正比例函数，那么（）.
A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0D．m=1
【答案】：考虑到x的指数为1，正比例系数k≠０，即|m-1|=1；m-2≠０，求得m=0，选C
【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．
解析：
（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．
把x=2，y=7代入y-3=kx中，得
7-3＝2k，
∴ k＝2．
∴ y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．
（2）当x=4时，y=2×4+3=11．
（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=.
类型二：待定系数法求函数解析式
2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．
思路点拨：
图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为
y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．
解析：
由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，
∵图象经过点（2，-1），
∴ -l=2×2+b．
∴ b=-5，
∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
总结升华：
求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，
要根据具体的题设条件求出。
举一反三：
【变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的
一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，
求这个一次函数的表达式．
分析:
题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已
知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．
解：
设这个一次函数的表达式为y=kx+b．
由题意可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2.
把它们代入y=kx+b中得
∴
∴这个一次函数的表达式为y=0.3x+6．
【变式2】已知直线y=2x+1．
（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．
解析：
∵直线y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称，
∴两直线上的点关于y轴对称．
又∵直线y＝2x+1与x轴、y轴的交点分别为A（-，0），B（0，1）,
∴A（-，0），B（0，1）关于y轴的对称点为A′（，0），B′（0，1）．
∴直线y=kx+b必经过点A′（，0），B′（0，1）．
把A′（，0），B′（0，1）代入y=kx+b中得
∴
∴k＝-2，b＝1．
所以（1）点M（0，1）（2）k=-2,b=1
【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．
分析：
由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第
三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线
上．
解：
设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．
由题意可知，
∴
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．
∴当x=4时，y=4-2=2．
∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
∴三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．
类型三：函数图象的应用
3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离
出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)汽车共行驶了___________ km；
(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；
(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；
(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.
思路点拨：
读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程
中时间和汽车位置的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点
就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次，共行驶了120×2=240(千米)，整个过程用时
4.5小时，平均速度为240÷4.5=(千米/时)，行驶途中1.5时—2时之间汽车没有行驶.
解析：
(1)240；(2)0.5；(3) ；(4)从目的地返回出发点.
总结升华：
这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注
意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的
距离，横坐标表示汽车的行驶时间.
举一反三：
【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时
间t的函数关系，求它们行进的速度关系。
解析：
比较相同时间内，路程s的大小.在横轴的正方向上任取一点,过该点作纵轴的平行
线,比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以.甲比乙快
【变式2】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，
最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且
走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是
( )
A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟
【答案】:D 分析：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速
度为100米/分。原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，
一共20分钟。
【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，
其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：
根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？
（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.
①求排水时y与x之间的关系式；
②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.
分析：
依题意解读图象可知：从0—4分钟在进水，4—15分钟在清洗，此时，洗衣机内
有水40升，15分钟后开始放水.
解：
（1）洗衣机的进水时间是4分钟；清洗时洗衣机中的水量是40升；
（2）①排水时y与x之间的关系式为：y=40-19(x-15)
即y=-19x+325
②如果排水时间为2分钟，则x-15=2即x=17，此时，y=40-19×2=2.
所以，排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升.
类型四：一次函数的性质
4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0），交y轴于点B，且△AOB
的面积为12，y随x的增大而增大，求k，b的值．
思路点拨：
设函数的图象与y轴交于点B（0，b），则OB=,由△AOB 的面积，可求出b，
又由点A在直线上，可求出k并由函数的性质确定k的取值．
解析：
直线y=kx十b与y轴交于点B（0，b），点A在直线上，则①，
由，即，解得代入①，可得，
由于y随x的增大而增大，则k＞0,取则．
总结升华：
该题考查的是待定系数法和函数值，仔细观察所画图象，找出隐含条件。
举一反三：
【变式1】已知关于x的一次函数．
（1）m为何值时，函数的图象经过原点?
（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，－2）?
（3）m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行?
（4）m为何值时，y随x的增大而减小？
解析：
（1）由题意，m需满足，
故m=－3时，函数的图象经过原点；
（2）由题意得：m需满足，
故时，函数的图象经过点（0，－2）；
（3）由题意，m需满足，
故m=4时，函数的图象平行于直线y=－x；
（4）当3－m＜0时，即m＞3时，y随x的增大而减小．
【变式2】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．
【答案】：B；分析：不论k为正还是为负，都大于0，图象应该交于x轴上方。故选B
类型五：一次函数综合
5、已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），过点C
的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，①求直线CE的解析式；②若y轴上的一点P满
足∠APE=45°，请直接
写出点P的坐标。
2022-2023学年八年级数学下册《一次函数题型分类》专题基础知识专项讲练含答案解析
专题 19.43 一次函数题型分类专题（动点问题）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点O 在坐标原点，点E 是对角线AC 上一动点（不包含端点），过点E 作EF//BC ，交AB 于F ，点P 在线段EF 上．若OA =4，OC =2，∠AOC =45°，EP =3PF ，P 点的横坐标为m ，则m 的取值范围是（ ）A ．43m <<B ．34m <<C ．23m <<D ．44m <<2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点Q 是直线y =上的一个动点，以AQ 为边，在AQ 的右侧作等边△APQ ，使得点P 落在第一象限，连接OP ，则OP +AP 的最小值为（ ）A ．6B ．C ．8D ．3．如图1，点E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发以1cm/s 的速度运动，其中，点P 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止．设点P 出发s t 时，BPQ V 的面积为2cm y ，y 与t 的函数关系如图2所示（曲线OM 为抛物线的一部分），则当8t =时，y 的值为（ ）A ．9B ．172C ．152D ．84．如图1，点Q 为菱形ABCD 的边BC 上一点，将菱形 ABCD 沿直线AQ 翻折，点B 的对应点P 落在BC 的延长线上.已知动点M 从点B 出发，在射线 BC 上以每秒1个单位长度运动.设点M 运动的时间为x ，△APM 的面积为y ．图2为y 关于x 的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）A ．12B ．24C ．10D ．205．如图①，在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC ＝x ，PE +PB ＝y ，图②是y 关于x 的函数图象，且图象上最低点Q 的坐标可能是（ ）A B ．（C ．（4，3）D ．（，6．如图1，在Rt ABC V 中，90ACB D ∠=︒,是斜边AB 的中点，动点E 从点A 出发，沿A C B →→运动，设BED S y =V ，点E 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2所示，则CD 的长为（ ）A ．1BC ．2D ．47．如图，矩形ABOC 的边BO 、CO 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标是()6,4-，点D 、E 分别为AC 、OC 的中点，点P 为OB 上一动点，当PD PE +最小时，点P 的坐标为（ ）A ．()1,0-B ．()2,0-C ．()3,0-D ．()4,0-8．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为2的一个定点，AN x ⊥轴于点M ，交直线y x =于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，30APB ∠=，BA PA ⊥，点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动，当点P 从点O 运动到点N 时，则点B 运动的路径长是（ ）A B C ．2D ．439．如图-①，在矩形ABCD 中，AB AD >，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿AB →BC →CD 向点D 运动，设点P 的运动路径为x ，AOP V 的面积为y ，图-②是y 关于x 的函数关系图像，则AB 边的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点B 的坐标是（3，4），点P 是y 轴正半轴上的动点，连接AP 交线段OB 于点Q ，若△OPQ 是等腰三角形，则点P 的坐标是（ ）A ．（0，53）B ．（0，43）C ．（0，43）或（0，163）D ．（0，53）或（0，163）二、填空题11．如图，一次函数8y kx =+与x 轴交于点()8,0A ，点C 在直线AB 上且横坐标为6．点D 为x 轴上一点，BD CD =，若点M 是x 轴上的动点，在直线AB 上找在一点N （点N 与点C 不重合），使AMN V 与ACD V 全等，点N 的坐标为______．12．在平面直角坐标系中，已知()1,3Q -，()0,4A ，点P 为x 轴上一动点，以QP 为腰作等腰Rt QPH △，当OH AH +最小时，点H 的坐标为___________．13．已知直线y =与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 是射线AB 上的动点 ，点D 在坐标平面内 ，以O ，A ，C ，D 为顶点的四边形是菱形．则点C 的坐标为______．14．如图，在直角坐标系中，直线24y x =+分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，C 为OB的中点，点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形，P 是CD 上一个动点，过点P 作PH ⊥OA于H ，Q 是点B 关于点A 的对称点，则BP ＋PH ＋HQ 的最小值为________．15．如图，一次函数y =-x +4的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 为AO 中点，OD =3，点P 为AB 上的动点，当∠APC =∠BPD 时，点P 的坐标为____．16．如图，ABCD Y 中，AB //x 轴，12AB =．点A 的坐标为()2,8-，点D 的坐标为()6,8-，点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，点P 是CD 边上不与点C ，D 重合的一个动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，点P 的坐标为______．17．在平面直角坐标系中，Q 是直线122y x =-+上的一个动点，将Q 绕点(1,0)P 顺时针旋转90︒，得到点Q '连接OQ '，则OQ '的最小值为__________．18．直线473y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y x =-交于点C ．（1）C 点的坐标为________；（2）若点D 是y 轴上的动点，点E 是直线473y x =+上的动点，若以B ，D ，E 为顶点的三角形与OBC △全等，则点E 的坐标是________．三、解答题19．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：1y k x b =+过()0,3A -，()5,2B ，直线2l ：22y k x =+．(1) 求直线1l 的表达式；(2) 过动点()0,P t 且垂直于y 轴的直线与1l ，2l 的交点分别是C ，D ．当1t ≤时，点C 位于点D 右方，直接写出2k 的取值范围．20．如图，直线y kx b =+经过点75,04A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点()0,25B ，与直线34y x =交于点C ，点D 为直线AB 上一动点，过D 点作x 轴的垂线交直线OC 于点E ．(1) 求直线AB 的表达式和点C 的坐标；(2) 当23DE OA =时，求CDE V 的面积；(3) 连接OD ，当OAD △沿着OD 折叠，使得点A 的对应点1A 落在直线OC 上，直接写出此时点D 的坐标．21．阅读并解决下面问题：定义：把函数y kx b =+中自变量x 作为横坐标，函数值y 作为纵坐标，我们把坐标(),x kx b +叫做函数y kx b =+的函数坐标；反过来，把坐标(),x kx b +中的横坐标x 看做自变量，纵坐标+kx b 看作因变量y ，得到函数y kx b =+，我们把函数y kx b =+叫做坐标(),x kx b +的坐标函数．(1) 坐标()24m m ，＋是函数 的函数坐标；（填函数表达式）(2) 已知(),3P m m +，()1,4Q n n --两点在同一直角坐标系中，则线段PQ 的最短距离是 ；(3) 如图，已知直线28y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，与直线2y x =交于点C ，M 是直线2y x =上的动点，点M 横坐标为m ，过点M 作y 轴的平行线，交直线28y x =-+于点N ，且4MN =，求点M 的坐标；(4) 在（3）的条件下，点()14D t t --，在OBC △的内部（不包括边界），则t 的取值范围是 ．22．如图，直线18l y x =-+：与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，直线2l y x =：与直线1l 交于点C ，平行于y 轴的直线m 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止．直线m 交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为斜边向左侧作等腰Rt DEF △，设DEF V 与BCO V 重叠部分的面积为S （平方单位），直线m 的运动时间为t （秒）．(1) 填空：OA =_______，OAB ∠=______；(2) 填空：动点E 的坐标为（t ，_____），DE =______（用含t 的代数式表示）；(3) 当点F 落在y 轴上时，求t 的值．(4) 求S 与t 的函数关系式并写出自变量的取值范围；23．如图，在平面直角坐标系中，点()1,0A ，()0,2B ，()1,2C --，直线AB 和直线AC 的图象相交于点A ，连接BC ．(1) 求直线AB 和直线AC 的函数表达式；(2) 请直接写出ABC V 的面积为___________，在第一象限，直线AC 上找一点D ，连接BD ，当ABD △的面积等于ABC V 的面积时，请直接写出点D 的坐标为___________．(3) 点E 是直线AB 上的一个动点，在坐标轴上找一点F ，连接CE ，EF ，FC ，当CEF △是以CE 为底边的等腰直角三角形时，请直接写出CEF △的面积为___________．24．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线1l ：13344y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点()3C a ，为直线1l 上一点，另一直线2l ：243y x b =+经过点C ，且与y 轴交于点D ．(1)求点C 的坐标和b 的值；(2)如图2，点P 为y 轴上一动点，将CPD △沿直线CP 翻折得到CPE △．①当点P 为线段OD 上一动点时，设线段CE 交线段BD 于点F ，求PEF !与BFC △的面积相等时，点P 的坐标；②当点E 落在x 轴上时，求点E 的坐标及PCE V 的面积．参考答案1．A【分析】先求确定A 、C 、B 三个点坐标，然后求出AB 和AC 的解析式，再表示出EF 的长，进而表示出点P 的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．解：由题意可得()(,4,0,4C A B ，设直线AB 的解析式为y =kx +b则(044k bk b =+⎧=+ 解得：14k b =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为：y =x -4，∴x =y +4，设直线AC 的解析式为y =mx +n则04m n n =+⎧+解得：m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AC的解析式为：y =，∴4x y =+-，∴点F 的横坐标为：y +4，点E的坐标为：4y +-，∴()()44EF y y =+-+-=，∵EP =3PF ，∴14PF EF y ==，∴点P的横坐标为：4+，y y∵0<<y∴443<+<+y y∴43m<<故答案为：A．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．2．C【分析】根据点Q的运动先证明点P在直线PM是运动，再根据轴对称最值问题，作点P关于直线PM的对称点B，连接AB，求出AB的长即可．解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，由直线y=可知，∠MOA＝60°，∴∠MOA＝∠OAM＝60°，∴△OAM是等边三角形，∴OA＝OM，∵△APQ是等边三角形，∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∴∠OAQ＝∠MAP，∴△OAQ≌△MAP（SAS），∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，∴∠OBA＝30°，∴AB ＝2OA ＝8．故选：C ．【点拨】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点P 在直线PM 是运动．3．C【分析】由图2可知：当点P 、Q 运动5s 时，此时点P 运动到点E 点Q 运动到点C ，Q 点停止运动．可得4PH DC ==cm ；当t =7时，P 点运动了7cm ，此时面积仍为210cm ；当t =8时，1DP =cm ，进而可求当8t =时，y 的值为1522cm ． 解：如图所示：过点P 作PH BC ⊥，垂足为H ．由题意可知：由图2可知当0t 5≤≤时，点P 在BE 上，当点P 、Q 运动5s 时，BPQ V 的面积ｙ达到最大，最大值为210cm ．此时点P 运动到点E 点Q 运动到点C ，Q 点停止运动．可得PC =3cm ．∵点P 、Q 的运动速度都为1cm/s ，∴当t =5时，5BE BC ==cm ．∵•2BC PH y =＝102cm ， ∴4PH DC ==cm ．当5t 7≤＜时，点P 在线段ED 上，此时4PH =cm ，而当t =7时，P 点运动了7cm ． ∴此时•541022BC PH y ⨯===2cm ．面积不变 对应线段MN 的图像．当7t ＞时，点P 在线段DC 上．当t =8时，1DP =cm ，∴PC DC DP=-∴413PC =-=cm∴•5315222BC PCy⨯===2cm故选：C．【点拨】本题考查了动点函数图像的分析，解题的关键是分清横、纵坐标的含义；分清每一段图像的含义．4．D【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形ABCD的面积为BC×AQ即可求出.解：由图2，得BP=6，S△ABP=12∴AQ=4由翻折可知，AQ⊥BP由勾股定理，得BC=AB=5∴菱形ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20故选：D【点拨】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.5．D【分析】如图，连接PD．由B、D关于AC对称，推出PB＝PD，推出PB+PE＝PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，推出AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题．解：如图，连接PD．∵B、D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE，∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，∵点E是AB的中点，∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，在Rt △AED 中，DE ，∴PB +PE 的最小值为 ，∴点Q 的纵坐标为∵AE ∥CD ，∴2PC CD PA AE== ，∵AC =，∴23PC =⨯= ，∴点Q 的横坐标为 ，∴(Q ．故选：D【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．6．B【分析】由图2可得，AC +BC =4，由图1可得，当点E 从点A 运动至点C 时，BED V 的面积随着点E 的运动增大，当点E 从点C 运动至点B 时，BED V 的面积随着点E 的运动减小，由此可得，当点E 运动路程为2即运动至点C 时，BCD △的面积为1，即AC =BC =2，所以ABC V 是等腰直角三角形，所以CD AB ⊥，BD =CD ，根据BCD △的面积为1列式，求出CD 的长度即可．解： 90ACB ∠=︒，D 是斜边AB 的中点，∴BD =CD ，由题意可得：AC =2，AC +BC =4，∴ BC =2，∴ BC =AC ，∴ABC V 是等腰直角三角形，∴CD AB ⊥，由题意可得：BCD △的面积为1，∴2112CD =，解得：CD 故选：B ．【点拨】本题主要考查函数图像的识别、直角三角形斜边上的中线的性质以及平方根的求解，把函数图像信息转化为几何图形的信息是解题关键．7．A【分析】先作点E 关于x 轴的对称点E '，连接DE '与x 轴的交点就是点P ，找到PD PE +取最小值的状态，然后通过点坐标求出直线DE '的解析式，点P 就是它和x 轴的交点．解：作点E 关于x 轴的对称点E '，连接DE '与x 轴的交点就是点P ，此时PD PE PD PE DE ''+=+=是最小的，根据矩形的性质，()3,4D -，()0,2E ，根据轴对称，()0,2E '-，设直线DE '的解析式为y kx b =+，将点()3,4D -和点()0,2E '-代入，3402k b b -+=⎧⎨+=-⎩，解得22k b =-⎧⎨=-⎩，则直线解析式为22y x =--，令0y =，求出=1x -，则点P 坐标是()1,0-．故选：A ．【点拨】本题考查直角坐标系中线段和最小问题，解题的关键是利用数形结合的思想，将几何中的线段和最小问题利用函数的方法求解．8．D【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段o n B B 就是点B 运动的路径（或轨迹），又利用o n AB B ∆∽AON ∆求出线段o n B B 的长度，即点B 运动的路径长．解：由题意可知，2OM =，点N 在直线y x =上，AN x ⊥轴于点M ，则OMN ∆为顶角30度直角三角形，2ON =如下图所示，设动点P 在O 点（起点）时，点B 的位置为o B ，动点P 在N 点（终点）时，点B 的位置为n B ，连接o n B B ，∵o AO AB ⊥，nAN AB ⊥∴o nOAN B AB ∠=∠又∵tan 30o AB AO =∙ ，tan 30n AB AN =∙ ∴::tan 30o n AB AO AB AN == （此处也可用30°角的Rt ）∴o n AB B ∆∽AON ∆，且相似比为tan 30 ，∴4tan 303o n B B ON =∙== 现在来证明线段o n B B 就是点B 运动的路径（或轨迹）.如图所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为i B ，连接AP ，i AB ，o iB B ∵o AO AB ⊥，iAP AB ⊥∴o iOAP B AB ∠=∠又∵tan 30o AB AO =∙ ，tan 30i AB AP =∙ ∴::o i AB AO AB AP=∴o i AB B ∆∽AOP∆∴o i AB B AOP∠=∠又∵o n AB B ∆∽AON∆∴o n AB B AOP∠=∠∴o i o nAB B AB B ∠=∠∴点i B 在线段o n B B 上，即线段o n B B 就是点B 运动的路径（或轨迹）.综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段o n B B ，其长度为43.故选：D【点拨】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.9．B【分析】根据函数图象可知AB +BC ＝7，△AOB 的面积为3，再根据矩形的性质可知点O到AB 的距离为12BC 的长，利用面积建立方程即可求解.解：观察图象可知：AB +BC ＝7，S △AOB ＝3，∵四边形ABCD 是矩形，∴点O 到AB 的距离是12BC 的长，设AB ＝x ，则BC ＝7-x ，∵S △AOB ＝1122AB BC ⋅＝3，∴1(7)34x x -=，解得123,4x x ==，∵AB AD >，即AB BC >，∴AB ＝4.故选B.【点拨】本题考查了函数的图象.结合图象得出矩形邻边和为7，△AOB 的面积为3并利用面积建立关于AB 的方程是解题的关键.10．C【分析】利用待定系数法分别求出OB 、PA 的函数关系式，设(0,)P m ，4(,)3Q n n ，并由P 、Q 点坐标，可表示出OP 、OQ 和PQ ，根据△OPQ 是等腰三角形，可得OP OQ =或OP PQ =或OQ PQ =，则可得到关于m 的方程，求得m 的值，即可求得P 点坐标．解：设OB 的关系式为y kx =，将B （3，4）代入得：43k =，∴43OB y x =，设(0,)P m ，4(,)3Q n n ，∴OP m =，53OQ n ==，PQ =，设PA 的关系式为y kx b =+，将(0,)P m ，(4,0)A 代入得：40b m k b =⎧⎨+=⎩，解得4b m m k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4PA m y x m =-+，将4PA m y x m =-+，43OB y x =联立方程组得：443PA OB m y x m y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12163Q m x n m==+，若△OPQ 是等腰三角形，则有OP OQ =或OP PQ =或OQ PQ =，当OP OQ =时，53m n =，12163m n m =+，即5123163m m m=⨯+，解得43m =，则P 点坐标为（0，43），当OP PQ =时，m =，12163m n m =+，解得176m =-，不合题意，舍去，当OQ PQ =时，根据等腰三角形性质可得：点Q 在OP 的垂直平分线上，12Q y OP =，∴4132n m =，且12163m n m =+，即412131632m m m ⨯=+， 解得163m =，则P 点坐标为（0，163）综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为（0，43）或（0，163）．故选：C ．【点拨】本题是一次函数的综合问题，考查了待定系数法、等腰三角形的性质等知识，掌握待定系数法与两点间的距离公式并注意分类讨论思想及方程思想的应用是解题的关键，综合性较强．11．(8N +-或(8-或()10,2-．【分析】把点()8,0A 代入一次函数8y kx =+中，即可求出k ；然后令6x =，代入一次函数解析式，即可求得即可求得y ，从而得出点C 坐标；设(,0)D m ，根据利用BD CD =，利用勾股定理求得点D 的坐标，然后分两种情况：①当AMN ACD V V ≌时，②当AMN ADC V V ≌时，分别求解即可．解：点()8,0A 代入8y kx =+，得880k +=，解得：1k =-，8y x \=-+，当6x =时，则685y =-+=，()6,2C ∴；令0x =，则88y x =-+=，∴()0,8B ，设(,0)D m ，则2228BD m =+，∵()6,2C ，∴()22262CD m =-+，∵BD CD =，∴()2222862m m +=-+，解得：2m =-，()2,0∴-D ；∵(80)A ，，()6,2C ，()2,0D -，∴()()22286208AC =-+-=，()2282100AD =--=⎡⎤⎣⎦，∵点M 是x 轴上的动点，点N 在直线AB 上，设(),8N n n -+且与点C 不重合，分两种情况：①当AMN ACD V V ≌时，则 AN AD=22AN AD =∴，即()()2288100n n -+-+=，解得：18n =+28n =-∴8n -+=-或8n -+=∴(8N +-或(8-；②当AMN ADC V V ≌时，则AN AC =，22AN AC =∴，即()()22888n n -+-+=，解得：16n =，210n =，82n -+=∴或82n -+=-，∵点N 与点C 不重合，()10,2N -∴，综上，存在点N (点N 与点C 不重合)，使AMN V 与ACD V 全等，点N的坐标为(8N +-或(8-或()10,2-．故答案为：(8N +-或(8-或()10,2-．【点拨】本题考查了一次函数上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离，勾股定理，全等三角形的判定和性质、分类讨论思想，是一次函数与全等三角形的综合题，解答本题的关键在分类讨论．12．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】作QN 、HM 垂直于x 轴于N 、M ，证明QNP △≌PM H V ，推出PN HM =，QN PM =，设OP x =，得(3,1)H x x ++，求出点H 的运动轨迹2y x =-，找到最小值的情况，求出OF 的解析式，再和2y x =-联立，即可求出点H 坐标．解：作QN 、HM 垂直于x 轴于N 、M ，则90PNQ PMH ∠=∠=︒，则90QPN PQN ∠+∠=︒，QPH △为等腰直角三角形，90QPH ∴∠=︒，即90QPN HPM ∠+∠=︒，PQN HPM ∴∠=∠，在QNP △和PM H V 中，PQN HPM PNQ PMH PQ PH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，QNP ∴V ≌()AAS PMH V ，PN HM ∴=，QN PM =，设OP x =，得(3,1)H x x ++，H ∴点在直线2y x =-上运动，作A 点关于直线2y x =-的对称点F ，连OF 交于点E，当H 点与E 点重合时OH AH +最小，此时F ()6,2-，设直线OF 的解析式为y kx =，将F 代入，得：62k =-，解得：13k =-，1:3OF y x ∴=-，联立：213y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即31,22H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．32⎛ ⎝或32⎛- ⎝【分析】先根据题意求得130,60,,2BAO ABO OB AB ∠=︒∠=︒=分C 点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点D 关于直线OC 的对称点D ¢恰好落在y 轴，根据含30°角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明BCO V 是等边三角形，在第二象限时候证明ODD V ＇是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得C 点的坐标．解：∵y =与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，令0,3,y x ==-∴()-3,0A ，令0,x y ==∴(B ，∴3,OA OB ==，∵90AOB ∠=︒，∴AB ==∴30,60BAO ABO ∠=︒∠=︒，∴1,2OB AB =如图，当C 点在第二象限时，设DD '交x 轴于点E ，交AO 于点F ，CD 交y 轴于点G∵四边形OACD 是平行四边形，∴,,AC OD CD AO ∥∥AC OD OD '==，∵30CAO ∠=︒，∴30DOE CAO ∠=∠=︒，∴30ODG DOE ∠=∠=︒，∵CD AO ∥，AO OB ⊥,∴90DGD '∠=︒，∴9060DOG DOE ∠=︒-∠=︒，∵OD OD '=，∴30ODD OD D ''∠=∠=︒，∵点D 关于直线OC 的对称点为D ¢，∴CO DD '⊥，∴60COB FOD '∠=∠=︒，∵60ABO ∠=︒，∴BCO V 是等边三角形，∴BO CO BC ==，∵1,2OB AB =∴1,2BC AB =∴点C 为AB 的中点，∵()-3,0A ，(B ，∴32C ⎛- ⎝．如图，当C 点在第二象限时，延长DC 交y 轴于点H ，则CH OD '⊥．∵点D 关于直线OC 的对称点为D ¢，∴,DOC CD C D OC OD OD D ''∠=∠='=,，∵60ABO BOD ∠=∠=︒，∴ODD 'V 是等边三角形，∴60DOD '∠︒=，∴30DOC D OC '∠=∠=︒，∴1,2CH OC =∵30,90BAO AOB ∠=︒∠=︒，∴3CO AO ==，∴32CH =，∴OH ====∴32C ⎛ ⎝．综合①②可知OC 的坐标为32⎛ ⎝或32⎛- ⎝．故答案为：32⎛ ⎝或32⎛- ⎝．【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．14．【分析】根据解析式求出点A ，B ，C 的坐标，结合矩形性质得出2PH CO ==，两点对称公式得出点Q （-4,-4）；利用所给函数图象、平行四边形的性质构造等量关系BP CH =，则2BP PH HQ CH HQ ++=++，由三点之间直线最短可知CH HQ +的值最小时，即CH =可得出结论．解：24y x =+ ，C 为OB 的中点，∴点(2,0)A -，点(0,4)B ，点()0,2C ．PH ⊥OA 于H ，Q 是点B 关于点A 的对称点，2PH CO ∴==，点Q （-4,-4）．连接CH ，四边形PBCH 是平行四边形，PB CH ∴=，2BP PH HQ CH HQ ++=++．当点C ，H ，Q 三点共线，CH HQ +的值最小，()min CH HQ CQ ∴+===min min ()()22BP PH HQ CH HQ ∴++=++=+．故答案为：．【点拨】本题考查动点问题中的函数图象的理解与运用能力．数形结合，恰当利用四边形（平行四边形）的性质定性构造等量关系，理解并掌握三角形三边关系定理（三点共线时取得最值）是解本题的关键．15．（43，83）【分析】过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ， 过点P 作PE AB ⊥，交y 轴于点F ，过点E 作EG x ⊥轴，交PD 的延长线与点G ，如图，PEA V ，EMP V 是等腰直角三角形，证明GPE CPE V V ≌，设(),4P m m -+，则,4BN PN m MP EM m ====-，求得()24,62G m m --，进而根据,,G D P 三点共线，求得直线DP 的解析式，将点G 的坐标代入求得m 的值，即可求解．解：过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，∵一次函数y ＝﹣x +4的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （4，0），B （0，4），∴OA ＝OB ＝4，AB ＝，∵点C 为AO 中点，OD ＝3，∴OC ＝AC ＝2，BD ＝1，∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，过点P 作PE AB ⊥，交y 轴于点F ，过点E 作EG x ⊥轴，交PD 的延长线与点G ，如图，则PEA V ，EMP V 是等腰直角三角形，45NFP EFO FEO ∴∠=∠=∠=︒，NP y ⊥ 轴，NP OM ∴∥，45NPF FEO ∴∠=∠=︒，设(),4P m m -+，则,4BN PN m MP EM m ====-，442OE EM OM MP OM m m m ∴=-=-=--=-，42262EC OE OC m m =+=-+=-， ∠APC =∠BPD ,PE AB ⊥，GPE CPE ∴∠=∠，又45GEP CEP ∠=∠=︒ ，EP EP =，GPE CPE ∴V V ≌，()24,62G m m ∴--，,,G D P 三点共线，设直线DP 的解析式为y kx b =+，则43mk b m b +=-+⎧⎨=⎩，解得13m k m b -+⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线DP 的解析式为13m y x m-+=+，将点()24,62G m m --代入得，()162243m m m m-+-=⨯-+，解得43m =，∴P （43，83）．故答案为：（43，83）．【点拨】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，设参数法求得点G 的坐标是解题的关键．16．8)或(8)【分析】先求出直线AD 的解析式为y x =--24，则可求(0,4)G -，设(,8)P m ，则(,4)M m -，可求12PM =，8PN =，分两种情况讨论：当M '在x 轴负半轴时，由折叠可知12PM '=，在Rt △M NP '中，由勾股定理可求M N '=，在Rt △M OG '中，M G x '=，4OG =，可求M O 'x =xP ，8)；当M '在x轴正半轴时，同理可得，x -，解得x =，求得(P ，8)．解：设AD 的直线解析式为y kx b =+，将(2,8)A -，(6,8)D -代入可得，2868k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得24k b =-⎧⎨=-⎩，24y x ∴=--，点P 是CD 边上，CD x ∥轴，设(,8)P m ，GM y ∥ 轴，(,4)M m ∴-，12PM ∴=，8PN =，当M '在x 轴负半轴时，如图，由折叠可知GM GM '=，PM PM '=，12PM '∴=，在Rt △M NP '中，M N '=在Rt △M OG '中，M G x '=，4OG =，M O '∴x =，解得xP ∴8)；当M '在x 轴正半轴时，如图，同理可得，x -解得x =(P ∴，8)；综上所述：P点坐标为8)或(8)，故答案为8)或(8)．【点拨】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．17【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q '的坐标，进而可得点Q '所在直线的函数关系式，然后根据勾股定理求解即可解决问题．解：作QM x ⊥轴于点M ，Q N x '⊥轴于N ，90PMQ PNQ QPQ ∠=∠'=∠'=︒ ，90QPM NPQ PQ N NPQ ∴∠+∠'=∠'+∠'=︒，QPM PQ N ∴∠=∠'，在PQM V 和△Q PN '中，90PMQ PNQ QPM PQ NPQ PQ ∠=∠'=︒⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩，PQM ∴△≌△()Q PN AAS '，PN QM ∴=，Q N PM '=，设1(,2)2Q m m -+，|1|Q N PM m ∴'==-，1|2|2QM m =-+，1|3|2ON m ∴=-，1(32Q m ∴'-，1)m -，设点(Q x '，)y '，则1321x m y m⎧=-⎪⎨⎪=-⎩'，整理，得：25y x '=-，则点(Q x '，)y '在直线25y x '=-上，设直线25y x '=-与x 轴，y 轴的交点分别为E 、F ，如图，当OQ EF '⊥时，OQ '取得最小值，令0y '=，则250x -=，解得52x =，∴25OE =，令0x =，则5y '=-，∴5OF =，在Rt OEF V中，EF =，当OQ EF '⊥时，则1122OEF S EF OQ OE OF =⋅'=⋅△，∴OE OF OQ EF ⋅'==OQ ∴'【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换－旋转，勾股定理，表示出点Q '的坐标以及点Q '所在直线的函数关系式是解题的关键．18． （3-，3）； （3，11）或（215，635）或（215-，75）；【分析】（1）直接把两条直线方程组成方程组，求出方程组的解，即可得到答案；（2）根据题意，可分为两种情况进行分析：①△DBE ≌△OBC ；②△EBD ≌△OBC ；分别求出点E 的坐标，即可得到答案．解：（1）∵直线473y x =+与直线y x =-交于点C ，∴473y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：33x y =-⎧⎨=⎩，∴点C 的坐标为（3-，3）；故答案为：（3-，3）；（2）∵直线473y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点A 的坐标为（214-，0），点B 的坐标为（0，7），∴OB=7；若以B ，D ，E 为顶点的三角形与OBC △全等，则可以分为两种情况进行分析：①当△DBE ≌△OBC 时，如图：∴BD=BO=7，∠BED=∠BCO ，∴CO ∥DE ，点D 的坐标为（0，14），∴直线DE 为14y x =-+，∵点E 是直线14y x =-+与直线473y x =+的交点，∴14473y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得311x y =⎧⎨=⎩；∴点E 的坐标为（3，11）；②当△EBD ≌△OBC 时，如图∴BE=OB=7，BC=BD ，∵点E 在直线473y x =+的图像上，则设点E 为（x ，473x +），∵点B 为（0，7），∴7BE ==，解得：215x =±，∴215x =或215x =-，∴421637355y =⨯+=，或4217()7355y =⨯-+=，∴点E 的坐标为（215，635）或（215-，75）；综合上述，点E 的坐标为（3，11）或（215，635）或（215-，75）；故答案为：（3，11）或（215，635）或（215-，75）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，一次函数的图形和性质，勾股定理求两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确运用全等三角形的思想和一次函数的性质进行解题．19．(1)3y x =-；(2)201k <≤【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分20k <和20k >，两种情况分类讨论，利用数形结合的思想进行求解即可．（1）解：∵直线1l ：1y k x b =+过()0,3A -，()5,2B ，∴1352b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=-⎩，∴直线1l ：3y x =-；（2）解：∵22y k x =+，∴直线2l 必过点()0,2，∵过动点()0,P t 且垂直于y 轴的直线与1l ，2l 的交点分别是C ，D ，当1t ≤时，点C 位于点D 右方，①当20k <时，当1t ≤时，必然存在点D 位于点C 右方，不符合题意；②当20k >时，12,l l 平行时，满足题意，此时：21k =；12,l l 相交时，则交点的横坐标恒大于5，此时：201k <<；综上：2k 的取值范围为201k <≤．【点拨】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想的进行求解，是解题的关键．20．(1)直线AB 的解析式为5432y x =-+，点C 的坐标为()12,9；(2)752；(3)()155，或()1545-，【分析】（1）利用待定系数法法求得k 和b ，联立方程组求解即可求得直线AB 的表达式和点C 的坐标；（2）设D 点横坐标为m ，结合23DE OA =求出DE ，即可得关于m 的方程，求出m 即可求解；（3）分点A 落在射线CO 上的A 1和点A 落在射线OC 上的A 2时两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可．解：（1）∵直线y kx b =+经过点75,04A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点()0,25B ，∴750425k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得4325k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为5432y x =-+，解方程组425334y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得：129x y =⎧⎨=⎩，∴点C 的坐标为()12,9；（2）∵75,04A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴754OA =，设D 点横坐标为m ，则点D 坐标为4,253m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵DE 平行于y 轴，∴点E 坐标为 3,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴432525253412DE m m m =-+-=-+，∵22532DE OA ==， ∴252525122m -+=，解得6m =或18m =，当6m =时，CDE V 的面积为()12575126222⨯⨯-=；当18m =，CDE V 的面积为()125751812222⨯⨯-=；综上所述：CDE V 的面积为752；（3）过点C 作CG OA ⊥于点G ，∵点C 的坐标为(12，9)，∴12OG =，9CG =，754OA =，∴75271244AG =-=，∴222225OC OG CG =+=，222202516AC AG CG =+=，22562516OC AC +=，2562516OA =，∴222OC AC OA +=，∴90OCA ∠=︒，即OC AB ⊥，当OAD △沿着OD 折叠，且点A 落在射线CO 上的A 1时，设1DA 交x 轴于点H ，如图：根据折叠的性质，1OA OA =，1DAO DA O ∠=∠，又1COA HOA ∠=∠，∴1COA HOA V V ≌，∴190A HO ACO ∠=∠=︒， 15HO CO ===，∴1DA y ∥轴，当15x =-时，∴()41525453y =-⨯-+=，∴点D 的坐标为()15,45-；当OAD △沿着OD 折叠，且点A 落在射线OC 上的A 2时，延长2A D 交x 轴于点I ，如图：根据折叠的性质，2OA OA =，2DAO DA O ∠=∠，又2COA IOA ∠=∠，∴2COA IOA V V ≌，∴290A IO ACO ∠=∠=︒，15IO CO ==，∴2DA y ∥轴，当15x =时，∴4152553y =-⨯+=，∴点D 的坐标为()15,5；综上所述：点D 的坐标为()15,5或()15,45-．【点拨】本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理及其逆定理等，注意分类求解，避免遗漏．。
初二年级一次函数所有知识点总结及常考题提高难题压轴题练习[含答案及解析]
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()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b 初二一次函数所有知识点总结和常考题知识点：1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不变的是常量。
2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 自变量，y 是x 的函数。
3.函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。
4.描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。
5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线：依次用平滑曲线连接各点。
6．正比列函数：形如y=kx （k ≠0）的函数，k 是比例系数。
7．正比列函数的图像性质：⑴ y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，8．一次函数：形如y=kx+b (k ≠0)的函数,则称y 是x 的一次函数。
当b=0时,称y 是x 的正比例函数。
9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当k>0时， y 随x 的增大而增大；②当k<0时， y 随x 的增大而减小。
10点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；（3）把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11．一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x 轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）常考题：一．选择题（共14小题）1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ ）A ．y=B ．y=C ．y=x ﹣3D ．y=2．下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．一次函数y=﹣3x ﹣2的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x 的值是（ ） A ．± B ．4 C ．±或4 D ．4或﹣5．下列图形中，表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m ，n 为常数，且mn ≠0）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （2，m ），B （n ，3），那么一定有（ ）A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜07．已知点（﹣4，y 1），（2，y 2）都在直线y=﹣x+2上，则y 1，y 2大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1=y 2C ．y 1＜y 2D ．不能比较8．一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞29．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．2010．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处11．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．12．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二．填空题（共13小题）15．函数y=中自变量x的取值范围是．16．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为．17．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第象限．18．一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是．19．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟．20．已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．21．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）22．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．23．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．24．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．25．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为．26．把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为．27．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为．三．解答题（共13小题）28．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．29．如图：在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三点坐标．（1）若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；（2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．30．如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．31．如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（0，3）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由．32．某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价﹣成本）33．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数图象关系式；（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．34．某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．35．为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；（1）当用电量是180千瓦时时，电费是元；（2）第二档的用电量范围是；（3）“基本电价”是元/千瓦时；（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？36．某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气种型号沼气池共需费用y万元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．37．一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P=预售总额﹣购机款﹣各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．38．兰新铁路的通车，圆了全国人民的一个梦，坐上火车去观赏青海门源百里油菜花海，感受大美青海独特的高原风光，暑假某校准备组织学生、老师到门源进行社会实践，为了便于管理，师生必须乘坐在同一列高铁上，根据报名人数，若都买一等座单程火车票需2340元，若都买二等座单程火车票花钱最少，则需1650元：（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（参加社会实践的学生人数＜x＜参加社会实践的总人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐并且总费用最低的前提下，请你写出购买火车票的总费用（单程）y 与x之间的函数关系式．39．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y1（km），小轿车的路程y2（km）与时间x（h）的对应关系如图所示．（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？（2）①写出y1与x的函数关系式；②当x≥5时，求y2与x的函数解析式；（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？40．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．初二一次函数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2012•湘潭）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y=C．y=x﹣3 D．y=【分析】分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围．【解答】解：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3，故A选项错误；B、二次根式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3，故B选项错误；C、函数式为整式，x是任意实数，故C选项错误；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（2015春•营山县期末）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．【解答】解：A、是一次函数，正确；B、是二次函数，正确；C、很明显，给自变量一个值，不是有唯一的值对应，所以不是函数，错误；D、是二次函数，正确．故选：C．【点评】本题主要考查函数的自变量与函数值是一一对应的，即给自变量一个值，有唯一的一个值与它对应．3．（2010•綦江县）一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．【解答】解：∵解析式y=﹣3x﹣2中，﹣3＜0，﹣2＜0，∴图象过二、三、四象限．故选A．【点评】在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y 随x的增大而减小．4．（2015•甘南州）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣【分析】把y=8直接代入函数即可求出自变量的值．【解答】解：把y=8代入函数，先代入上边的方程得x=，∵x≤2，x=不合题意舍去，故x=﹣；再代入下边的方程x=4，∵x＞2，故x=4，综上，x的值为4或﹣．故选：D．【点评】本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．5．（2001•常州）下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当mn ＞0，m ，n 同号，同正时y=mx+n 过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；②当mn ＜0时，m ，n 异号，则y=mx+n 过1，3，4象限或2，4，1象限． 故选A ．【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y=kx+b 的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当k ＞0，b ＜0，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．6．（2013•陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （2，m ），B （n ，3），那么一定有（ ）A ．m ＞0，n ＞0B ．m ＞0，n ＜0C ．m ＜0，n ＞0D ．m ＜0，n ＜0【分析】根据正比例函数图象所在象限，可判断出m 、n 的正负．【解答】解：A 、m ＞0，n ＞0，A 、B 两点在同一象限，故A 错误；B 、m ＞0，n ＜0，A 、B 两点不在同一个正比例函数，故B 错误；C 、m ＜0，n ＞0，A 、B 两点不在同一个正比例函数，故C 错误；D 、m ＜0，n ＜0，A 、B 两点在同一个正比例函数的不同象限，故D 正确． 故选：D ．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．7．（2014•永嘉县校级模拟）已知点（﹣4，y 1），（2，y 2）都在直线y=﹣x+2上，则y 1，y 2大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1=y 2C ．y 1＜y 2D ．不能比较【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．【解答】解：∵k=﹣＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵﹣4＜2，∴y 1＞y 2．故选：A ．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．8．（2013•娄底）一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【解答】解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．故选：C．【点评】此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．9．（2008•菏泽）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA 运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．20【分析】本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9﹣4=5．∴△ABC的面积为=×4×5=10．故选A．【点评】解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．10．（2009•莆田）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M 方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．【点评】本题考查动点问题的函数图象问题，有一定难度，注意要仔细分析．11．（2011•张家界）关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据图象与y轴的交点直接解答即可．【解答】解：令x=0，则函数y=kx+k2+1的图象与y轴交于点（0，k2+1），∵k2+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．故选C．【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．12．（2015•鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把（5，300）代入可求得k=60，∴y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙=100t﹣100，令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，当100﹣40t=50时，可解得t=，当100﹣40t=﹣50时，可解得t=，又当t=时，y甲=50，此时乙还没出发，当t=时，乙到达B城，y甲=250；综上可知当t的值为或或或t=时，两车相距50千米，∴④不正确；综上可知正确的有①②共两个，故选B．【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．13．（2014•德州）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时【分析】结合图象得出张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y 轴的最高点即为体育场离张强家的距离；进而得出锻炼时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，体育场离张强家2.5千米；平均速度=总路程÷总时间．【解答】解：A、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故A选项正确；B、由图象可得出张强在体育场锻炼30﹣15=15（分钟），故B选项正确；C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店距离无法确定，因为题目没说体育馆，早餐店和家三者在同一直线上，故C选项错误；D、∵张强从早餐店回家所用时间为95﹣65=30（分钟），距离为1.5km，∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷0.5=3（千米/时），故D选项正确．故选：C．【点评】此题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象得出正确信息是解题关键．14．（2014•黔西南州）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③【分析】易得乙出发时，两人相距8m，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙100s跑完总路程500可得乙的速度，进而求得100s时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100即为c的值．【解答】解：甲的速度为：8÷2=4（米/秒）；乙的速度为：500÷100=5（米/秒）；b=5×100﹣4×（100+2）=92（米）；5a﹣4×（a+2）=0，解得a=8，c=100+92÷4=123（秒），∴正确的有①②③．故选：A．【点评】考查一次函数的应用；得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键．二．填空题（共13小题）15．（2013•内江）函数y=中自变量x的取值范围是x≥﹣且x≠1 ．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故答案为：x≥﹣且x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．16．（2013•成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为﹣．【分析】将点（3，5）代入直线解析式，可得出b﹣5的值，继而代入可得出答案．【解答】解：∵点（3，5）在直线y=ax+b上，∴5=3a+b，∴b﹣5=﹣3a，则==．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意直线上点的坐标满足直线解析式．17．（2014•梅州）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第一象限．【分析】首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．【解答】解：∵k+b=﹣5，kb=6，∴k＜0，b＜0，∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．故答案为：一．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．18．（2013•潍坊）一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是﹣2＜b＜3 ．【分析】将x=1时，y＜1及x=﹣1时，y＞0分别代入y=﹣2x+b，得到关于b的一元一次不等式组，解此不等式组，即可求出b的取值范围．【解答】解：由题意，得，解此不等式组，得﹣2＜b＜3．故答案为﹣2＜b＜3．【点评】本题考查了一次函数的性质，将已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键．19．（2014•益阳）小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t （分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是80 米/分钟．【分析】他步行回家的平均速度=总路程÷总时间，据此解答即可．【解答】解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，则他步行回家的平均速度是：1600÷20=80（米/分钟），故答案为：80．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．20．（2015•株洲）已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是7≤a≤9 ．【分析】根据题意得到x的取值范围是2≤x≤3，则通过解关于x的方程2x+（3﹣a）=0求得x的值，由x的取值范围来求a的取值范围．【解答】解：∵直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），∴2≤x≤3，令y=0，则2x+（3﹣a）=0，解得x=，则2≤≤3，解得7≤a≤9．故答案是：7≤a≤9．。
人教版八年级数学下册第十九章一次函数解析式与图像变换专题
一次函数的解析式与图象变换题型一：复杂条件下求解析式例题精讲【引例】 如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y x =-的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ）．A ．2y x =-+B ．2y x =+C ．2y x =-D ．2y x =--【解析】 由题意可知()02A ，，()11B -， 设该一次函数解析式为y kx b =+，将A B 、点坐标代入，解得12k b ==，，所以选B典题精练【例1】 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，C 为线段BD 上一点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ，已知AB =6，DE =1，BD =8，高CB =x ，试求使AC +CE 的值最小的x 值． 小伟是这样思考的：当点C 在AE 、BD 交点处时，AC +CE 的值最小，他先后尝试了各种方法，发现建立平面直角坐标系，通过函数的方法可以解决这个问题。
他的方法是：建立如图2所示的平面直角坐标系，依据已知条件求出直线AE 的解析式，进而求出C 点坐标，找到x 的值．请你回答：小伟求出的x 的值等于___________，并说明原因图 1图 2ABCDE【解析】 当以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系后，A （0，6）、D （8，0）、E （8，1-）利用待定系数法解得：AE ：768y x =-+∴C （487，0），∴487x =【例2】 一次函数y mx n =+(0m ≠)，当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式.【解析】 若0m >，所以当2x =-时，0y =；当5x =时，7y =；解得1m =，2n =，2y x =+；若0m <，所以当2x =-时，7y =；当5x =时，0y =；解得1m =-，5n =，5y x =-+题型二：一次函数图象的变换思路导航一．一次函数y kx b =+()0k ≠图象的平移、对称和旋转变换平移对称旋转 关于x 轴关于y 轴 关于垂直于坐标轴的直线 旋转图象上的两个点，由旋转后的两点坐标确定解析式方法⑴k 值不变，平移图象上的一个点； ⑵k 值不变，“上加下减，左加右减”⑴对称图象上的两个点；⑵k b 、均变为相反数⑴对称图象上的两个点；⑵k 变为相反数，b 不变对称图象上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式()0y kx b k =+≠1k =过()10，点 过()10-，点 大致图象等等等举例1y x =-+，2y x =-等2233y x y x =-+=-，等 11122y x y x =+=--，等重要性质⑴与y x =或y x =-平行 ⑵与x y ，轴的夹角为45︒，并与坐标轴围成等腰直角三角形k b ，互为相反数 即0k b +=k b =例题精讲【引例】 将直线310y x =--先向上平移4个单位，再向右平移5个单位后得到的直线的解析式为________．【解析】 方法1：k 值不变，平移一个点直线310y x =--与y 轴的交点为()010-，，将此点向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到点()56-，，设平移后的直线解析式为y kx b =+， ∵两直线平行，∴3k =-将点()56-，代入3y x b =-+中，解得9b =， ∴平移后解析式为39y x =-+ 方法2：“左加右减，上加下减”平移后的直线为()35104y x =---+，整理后为39y x =-+.典题精练【例3】 已知直线21y x =-．⑴ 求它关于x 轴对称的直线的解析式；⑵ 将直线21y x =-向左平移3个单位，求平移后的直线解析式； ⑶ 将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，求旋转后的直线解析式．【解析】 图象与x 、y 轴的交点分别为()10012A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，、， ⑴ ∵关于x 轴对称，∴点A 不变，将点B 关于x 轴对称得到点()101B ，， ∴对称后的解析式为21y x =-+⑵ ∵平移∴k 值不变，将点B 向左平移3个单位得到点()231B --，， ∴平移后解析式为25y x =+⑶ 将A 、B 两点分别绕原点顺时针旋转90°得到1'02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()'10B -， 直线''A B 即为旋转后的直线，解析式为1122y x =--【例4】 已知一次函数y kx b =+，y 随x 增大而增大，它的图象经过点()10，并且与x 轴的夹角为45°，⑴ 确定这个一次函数的解析式；⑵ 假设已知中的一次函数的图象沿x 轴平移两个单位，求平移以后的直线及直线与y 轴的交点坐标． （海淀期末）【解析】 由一次函数的图象经过()10，且它与x 轴的夹角为45°可知，它与y 轴的交点为()01，或()01-，，因为y 随x 增大而增大，所以只取()01-，．⑴一次函数的解析式为1=-．y x⑵因为图象沿x轴平移两个单位，但是没有说明方向，故分情况讨论有两类：即向正方向或向负方向平移．可求得平移后的函数为1=+，3y x=-．与y轴交点坐y x标分别为()-，．0301，，()题型三：一次函数与“将军饮马”问题思路导航【引例】 已知直线12y x b =+经过点A （4，3），与y 轴交于点B .⑴ 求B 点坐标；⑵ 若点C 是x 轴上一动点，当AC BC +的值最小时，求C 点坐标. （海淀期末）【解析】 ⑴ 将点()43A ，代入解析式中，解得1b = ∴()01B ，⑵ 点B 关于x 轴的对称点'B 的坐标为()01-，， 设直线'AB 的解析式为y kx b =+，依题意得341k b b =+⎧⎨-=⎩ 解得11k b =⎧⎨=-⎩∴直线'AB 的解析式为1y x =-，与x 轴的交点即为C 点，坐标为()10，.【例5】 ⑴ 在直角坐标系中，有点()63A -，，()25B -，，()0C m ，，()0D n ，，当四边形ABCD的周长最短时，求直线CD 的解析式及m n ，的值；⑵ 在直角坐标系中，有点()15A --，，()11B ，，点P 在x 轴上且使得PA PB -最大，求P 点坐标．【解析】 ⑴ 如图1，将点A B 、分别关于x 轴，y 轴对称到()()'63'25A B --，、，，直线''A B 与y x 、轴的交点即为C D 、点，求得直线''A B 的解析式为3y x =+，所以33m n ==-，DCA' (-6,-3)B' (2,5)B (-2,5)A (-6,3)Oyx图１⑵ 如图2，将A 点关于x 轴对称得到点()'15A -，，作直线'A B 与x 轴的交点即为点P ，由直线'A B 的解析式23y x =-+可求得点()1.50P ，例题精讲典题精练图2PA'(-1,5)B (1,1)A (-1,-5)Oyx图2【教师备选】在直角坐标系中，有点()01A ，，()53B ，，点M 、N 在x 轴上且1MN =，当四边形AMNB 周长最短时，求点M N 、的坐标；【解析】 如图3，将点A 向右平移1个单位至()'11A ，，再将'A 关于x 轴对称到点()''11A -，，连接''A B 与x 轴的交点即为N 点，将N 点向左平移一个单位得到点M ，由直线''A B 的解析式2y x =-可求得()20N ，，()10M ， yxO NM B (5,3)A'' (1,-1)A' (1,1)(0,1)A图3【例6】 如图，直线1l ：y kx b =+平行于直线1y x =-，且与直线2l ：12y mx =+相交于点(1,0)P -．⑴ 求直线1l 、2l 的解析式；⑵ 直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点1B 处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点1A 处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点2B 处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点2A 处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，……照此规律运动，动点C 依次经过点1B ，1A ，2B ，2A ，3B ，3A ，…，n B ，n A ，… ①求点1B ，2B ，1A ，2A 的坐标；②请你通过归纳得出点n A 、n B 的坐标；并求当动点C 到达n A 处时，运动的总路径的长．（2013年东城期末）真题赏析【解析】 ⑴ 1:1l y x =+，211:22l y x =+ ⑵ ①()111B ，，()232B ，，()112A ，，()234A ， ②()212n n n A -，，()1212n n n B --，运动的总路径长为1212122n n n +-+-=-【分析】本题既考查到求函数解析式，又涉及平移，并且与找规律进行结合，综合性比较强，并且训练了由已知点的坐标求线段长问题，这部分的训练是函数问题的重要组成部分，后期学习函数与几何题目的综合练习时会进一步深入探索．思维拓展训练训练1. 点()P x y ，在第一象限，且8x y +=，点A 的坐标为()60，，设OPA △的面积为S ． ⑴ 用含x 的解析式表示S ，写出x 的取值范围，画出函数S 的图象．⑵ 当点P 的横坐标为5时，OPA △的面积为多少？ ⑶ OPA △的面积能大于24吗？为什么？【解析】 ⑴ ∵8x y += ∴8y x =-()16382432S y x x ==-=-××∴()24308S x x =-<< ⑵ 9⑶ 不能，若24S >，则24324x ->，解得0x <，不符合题意.训练2. 如果一条直线l 经过不同三点()()()A a b B b a C a b b a --，，，，，，那么直线l 经过（ ）A. 第二、四象限B. 第一、二、三象限C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A ，B 在直线l 上，∴b ka t a kb t =+⎧⎨=+⎩，∵a b ≠，解得1k =-，故直线l 的解析式为：y x t =-+，又∵点C 在直线l 上，∴()b a a b t -=--+，得0t =，即直线l 的解析式为y x =-∴直线l 经过二、四象限．选A ．训练3. 已知直线12y x b =+与x 轴、y 轴交于A 和B ，4AOB S △≤，则b 的取值范围是_________.【解析】 直线12y x b =+与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A (2b -，0)、B (0，b )，由4AOB S △≤可知，1242b b -≤，24b ≤，22b -≤≤.但当0b =时，A 、B 重合不能构成三角形，故0b ≠. 综上所述，22b -≤≤且0b ≠.训练4. 已知：如图，直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将△DAB 沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式． （石景山一模）【解析】 根据题意，得：(2,0)A，B在Rt AOB △中，4AB =， 由题意可知，,AB AC BD CD ==∴6OC OA AB =+=设OD t =，则CD BD t ==+在Rt △DOC 中，222OC OD CD +=即(2226t t +=+解得t =∴(6,0)C，(0,D -设直线CD的解析式为：y kx =-∴06k =-k =所以直线CD 的解析式为y =-题型一 复杂条件下求解析式 巩固练习【练习1】 已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值. 【解析】 若0k >，当3x =-时，1y =；当1x =时，9y =；解得2k =，7b =，14kb =；若0k <，当3x =-时，9y =；当1x =时，1y =；解得2k =-，3b =，6kb =-.【练习2】 正比例函数的图象与一次函数的图象交于点()34，，两图象与y 轴围成的三角形的面积为152，求这两个函数的解析式. 【解析】 正比例函数解析式为43y x =，一次函数解析式为153y x =-+或35y x =-题型二 一次函数图象的变换 巩固练习【练习3】 如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象1l ，⑴ 直线1l 的解析式是 ．⑵ 将直线1l 沿x 轴平移2个单位得到直线2l ，则2l 的解析式为 ．⑶ 将直线1l 关于y 轴对称得到直线3l ，则3l 的解析式为 . （上海市中考题改编）【解析】 ⑴ 直线OA 解析式为：2y x =，∴平移后为21y x =+⑵ 分两种情况讨论：①向左平移2个单位得到25y x =+；②向右平移2个单位得到23y x =-∴2l 解析式为：25y x =+或23y x =-⑶ 3l 解析式为：21y x =-+.【练习4】 某一次函数的图象与直线6y x =-交于点()5A m ，，且与直线23y x =-无交点，求此函数的关系式．【解析】 将()5A m ，代入6y x =-中求得1m = 设所求解析式为y kx b =+，与直线23y x =-无交点即与其平行，2k = 过()51A ，，代入求得解析式为29y x =-题型三 一次函数与“将军饮马”问题 巩固练习【练习5】 ⑴ 如图⑴，点C 的坐标为(3，y )，使ABC △的周长最短，求y 的值. 复习巩固yxO3214321A⑵ 如图⑵，在x 轴上有一点C ，在y 轴上有一点D ，使AD CD BC ++值最小，求直线CD 的解析式及点C D 、坐标.(2)B (3,1)A (1,3)(1)B (2,0)A (0,3)xyOOy x【解析】 ⑴ 如图⑶，作B 关于直线3x =的对称点()'40B ，，连接'AB 与直线3x =的交点即为点C ，可求直线'AB 解析式为334y x =-+，当3x =时，34y =⑵ 如图⑷， 将点A B 、分别关于y 轴、x 轴对称到点''A B 、，连接''A B 与x 轴、y 轴的交点即为点C D 、，直线CD 解析式为2y x =-+，()()2002C D ，，， DCA'(-1,3)B'(3,-1)CB'(4,0)xy OOyx A (0,3)B (2,0)(3)A (1,3)B (3,1)(4)。
(常考题)人教版初中数学八年级数学下册第四单元《一次函数》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．若关于x 的不等式组20210x x a ->⎧⎨-+<⎩有解，则一次函数()32y a x =-+的图象一定不经过的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B E D --运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1/cm s ．现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为()x s ，BPQ 的面积为2()y cm ，若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．296cmB ．284cmC ．272cmD ．256cm3．如图，直线y ＝-2x +2与x 轴和y 轴分别交与A 、B 两点，射线AP ⊥AB 于点A ．若点C 是射线AP 上的一个动点，点D 是x 轴上的一个动点，且以C 、D 、A 为顶点的三角形与△AOB 全等，则OD 的长为（ ）A ．25B ．35C ．25D ．354．如图①，在长方形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿着N P Q M →→→方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为,x MNR ∆的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）A ．5MN =B ．长方形MNPQ 的周长是18C ．当6x =时，10y =D ．当8y =时，10x =5．下列图形中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m ，n 为常数，且mn≠0）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，AB 的中点为D ．以C 为原点，射线CB 为x 轴的正方向，射线CA 为y 轴的正方向建立平面直角坐标系．P 是BC 上的一个动点，连接AP 、DP ，则AP DP +最小时，点P 的坐标为（ ）．A ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．10⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,010⎛⎫⎪⎝⎭7．如图，直线443y x =+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 在OB 上，若将ABC 沿AC 折叠，使点B 恰好落在x 轴上的点D 处，则点C 的坐标是（ ）A ．(0,1)B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,2)8．函数2y x x=+-的图象上的点()P x,y 一定在第（ ）象限 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若点P 在一次函数31y x =-+的图象上，则点P 一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．港口,,A B C 依次在同一条直线上，甲、乙两艘船同时分别从,A B 两港出发，匀速驶向C 港，甲、乙两船与B 港的距离y （海里）与行驶时间x （小时）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的有（ ） ①,B C 两港之间的距离为60海里 ②甲、乙两船在途中只相遇了一次③甲船平均速度比乙船平均速度快30海里/时 ④甲船到达C 港时，乙船还需要一个小时才到达C 港 ⑤点P 的坐标为()1,30A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若一次函数()231y m x =-+-的图象经过点()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x <时，12y y >时，则m 的取值范围是（ ）A ．32m >B ．32m >-C ．32m <D ．32m <-12．下列命题中，①()1,2A -关于y 轴的对称点为()1,2--；②162±；③2y x =-+与x 轴交于点()2,0；④22x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程23x y +=-的一个解．其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题13．已知一次函数41y x =-和23y x =+的图像交于点(2,7)P ，则二元一次方程组4123y x y x =-⎧⎨=+⎩的解是_． 14．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x （时），两车之间的距离为y （千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，快车到达乙地时，慢车还有______千米到达甲地．15．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y （位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线CD 平行x 轴）请你算一下，该植物的最大高度是________厘米．16．如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象，若点()4,A m 在直线l 上，则m 的值是____．17．已知直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （2，1），则关于x 的方程x+b ＝ax ﹣3的解为________．18．如图，正方形ABCD ，CEFG 边在x 轴的正半轴上，顶点A ，E 在直线12y x =上，如果正方形ABCD 边长是1，那么点F 的坐标是______．19．王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间t （分）和离家距离S （米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分．20．若()11,A x y ，()22,B x y 是一次函数(1)2y a x =-+图像上的不同的两个点，当12x x >时，12y y <，则a 的取值范围是_________．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中a ，b 满足|1|30a b ++-=．（1）填空：a =______，b =______．（2）如果在第三象限内有一点(2,)M m -，请用含m 的式子表示ABM 的面积．（3）在（2）条件下，当52m =-时，在y 轴上有一点P ，使得BMP 的面积与ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标．22．已知y 与1x -成正比例，当3x =时，4y =，求y 与x 之间的函数关系式．23．上个周末，姚家中学的李老师开车带着家人从学校出发，沿着图①中的线路去绿博园、中牟黄河滩区游玩、然后去官渡中学探望朋友．李老师一家早上7:30开着电动汽车从学校出发行走一段时间到绿博园，在绿博园游玩了一段时间；又开车去雁鸣湖镇辖区的黄河滩，他们在滩区游玩了1.5h ；然后在中午12:30赶到官渡中学（电动汽车的行驶速度是40km/h ）．图②中的图象表示李老师一家所行驶的路程()km y 与时间()h x 的函数关系．请结合图中信息解答下列问题：（1）点A 的坐标是______，他们在绿博园游玩了_____h ，线段OA 的函数表达式是______；（2）线段OA ，BC ，DE 平行吗？请简单说明理由． （3）请求出线段BC 的函数表达式；（4）如果李辉在11:30骑电动车从官渡中学出发，以20km/h 的速度沿图①中的线路前往黄河滩区游玩，那么李辉在几点钟会和李老师相遇？24．科学研究发现．地表以下岩层的温度y （℃）与所处深度x （千米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在深度2千米的地方，岩层温度为90℃；在深度5千米的地方，岩层温度为195℃．（1）求出y 与x 的函数表达式；（2）求当岩层温达到1805℃时，岩层所处的深度．25．如图，在平面直角坐标系中，点(1,3)A ，点(3,1)B ，点(4,5)C ．（1）画出ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △，并写出点1A ，1B ，1C 的坐标； （2）若点P 在x 轴上，连接PA 、PB ，是否存在一点P ，使PA PB +的值最小，若存在，请在图中标出点P 的位置；（3）若直线//MN y 轴，与线段AB 、AC 分别交于点M 、N （点M 不与点A 重合），若将AMN 沿直线MN 翻折，点A 的对称点为点A '，当点A '落在ABC 的内部（包含边界）时，点M 的横坐标m 的取值范围是________．26．小东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地出发以另一速度向A 地走去，1y ，2y 分别表示小东、小明离B 地的距离()y km 与所用时间()x h 的关系，如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：（1）试用文字说明交点P 所表示的实际意义； （2）求1y 与x 的函数关系式； （3）求小明到达A 地所需的时间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先解不等式组，根据不等式组有解，求得a 的取值范围，即可判断一次函数()32y a x =-+的图象一定不经过的象限．【详解】 ∵20210x x a ->⎧⎨-+<⎩，∴212x a x >⎧⎪⎨-<⎪⎩，∵不等式组有解，∴122->a ， ∴5a >，∴30a ->，∴()32y a x =-+经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．2．C解析：C 【分析】过点E 作EH BC ⊥，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当14x =时，点P 与点D 重合，则12AD =，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P 运动到点E 时，10x =，30y =， 过点E 作EH BC ⊥，由三角形面积公式得：11103022y BQ EH EH =⋅=⨯⨯=，解得：EH=AB=6， ∴BE=10×1=10，228BH AE BE AB ==-=，由图2可知：当14x =时，点P 与点D 重合，4ED ∴=，8412BC AD ∴==+=，矩形的面积=12672⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，从图像中得出当10x =，14x =时，点P 的位置，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．3．D解析：D 【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD＝∠OBA，分别从∠ACD＝90°或∠ADC＝90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD ＝AB，或△ACD≌△BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，∴A（1，0），B（0，2）．∴OA＝1，OB＝2．∴AB＝2222+=+=．OA OB125∵AP⊥AB，点C是射线AP上，∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，∵∠OAB＋∠OBA＝90°，∴∠CAD＝∠OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，∴OD＝AD＋OA51；如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，∴OD ＝OA ＋AD ＝1＋2＝3． 综上所述，OD 的长为351． 故选：D ． 【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．D解析：D 【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A 、B 、C 都可证正确，选项D ，面积为8时，对应x 值不为10，所以错误． 【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ 的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A 正确； 选项B ，长方形周长为2×（4+5）=18，正确； 选项C ，x=6时，点R 在QP 上，△MNR 的面积y=12×5×4=10，正确； 选项D ，y=8时，即1852x =⨯，解得 3.2x =， 或()185132x =⨯-，解得9.8x =， 所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D 错误； 故选：D ． 【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R 的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题，读懂函数图象是解题关键．5．A解析：A根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：①当mn ＞0，m ，n 同号，同正时y ＝mx ＋n 过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；②当mn ＜0时，m ，n 异号，则y ＝mx ＋n 过1，3，4象限或2，4，1象限．故选：A ．【点睛】此题主要考查一次函数与正比例函数的图象判断，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．6．A解析：A【分析】作点A 关于x 轴的对称点A'，连接A'P ，则AP=A'P ，当A'，P ，D 在同一直线上时，AP+DP 的最小值等于A'D 的长，依据待定系数法即可得到直线A'D 的解析式，进而得出点P 的坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【详解】解：如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A'，连接A'P ，则AP=A'P ，∴AP+DP=A'P+DP ，当A'，P ，D 在同一直线上时，AP+DP 的最小值等于A'D 的长，∵AC=BC=2，AB 的中点为D ，∴A （0，2），B （2，0），D （1，1），A'（0，-2），设直线A'D 的解析式为y=kx+b （k≠0），则12k b b=+⎧⎨-=⎩， 解得：32k b =⎧⎨=-⎩，当y=0时，x=23， ∴点P 的坐标为（23，0）， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及等腰直角三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．C解析：C【分析】先求得点A 、B 的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4），由此可求得AB ＝5，再根据折叠可得AD ＝AB ＝5，故OD ＝AD ﹣AO ＝2，设点C （0，m ），则OC ＝m ，CD ＝BC ＝4﹣m ，根据222CO OD CD +=列出方程求解即可．【详解】解：∵直线y ＝43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点， ∴当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝﹣3，则点A 、B 的坐标分别为：A （﹣3，0）、B （0，4），∴AO ＝3，BO ＝4，∴在Rt ABC 中，AB ＝5， ∵折叠，∴AD ＝AB ＝5，CD ＝BC ，∴OD ＝AD ﹣AO ＝2，设点C （0，m ），则OC ＝m ，BC ＝4﹣m ，∴CD ＝BC ＝4﹣m ，在Rt COD 中，222CO OD CD +=，即2222(4)m m +=-，解得：m ＝32， 故点C （0，32）， 故选：C ．【点睛】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，题目将图象的折叠和勾股定理综合考查，难度适中．8．B解析：B【分析】由二次根式和分式有意义的条件，得到0x <，然后判断得到0y >，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则∵00x -≥⎧⎪≠，解得：0x <， ∴20x >0>，∴20y x =+>， ∴点(,)P x y 一定在第二象限；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．9．C解析：C【分析】根据一次函数图象与系数的关系解答．【详解】∵一次函数31y x =-+中，k=-3<0，b=1>0，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，∵点P 在一次函数31y x =-+的图象上，∴点P 一定不在第三象限，故选：C ．【点睛】此题考查一次函数图象与系数的关系： k>0，b>0时，直线经过第一、二、三象限； k>0，b<0时，直线经过第一、三、四象限； k<0；b>0时，直线经过第一、二、四象限； k<0，b<0时，直线经过第二、三、四象限．10．D解析：D【分析】根据甲、乙的图象去分析出甲、乙的行驶过程，从而求出速度，相遇时间等信息，去判断选项的正确性．【详解】解：通过乙的图象可以看出B 、C 两港之间距离是90海里，故①错误，甲从A 港出发，经过B 港，到达C 港，乙从B 港出发，到达C 港，甲比乙快，所以甲、乙只会相遇一次，故②正确，甲的速度：300.560÷=（海里/小时），乙的速度：90330÷=（海里/小时），甲比乙快30海里/小时，故③正确，A 港距离C 港3090120+=（海里），120602÷=（小时），即甲到C 港需要2小时，乙需要3小时，故④正确， ()3060301÷-=（小时），即甲追上乙需要1个小时，1个小时乙行驶了30海里，∴()1,30P ，故⑤正确，正确的有：②③④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能够根据所给函数图象结合实际意义去进行分析得到想要的信息．11．B解析：B【分析】由当x 1＜x 2时y 1＞y 2，利用一次函数的性质可得出-（2m+3）＜0，解之即可得出m 的取值范围．【详解】解：∵当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，∴-（2m+3）＜0，解得：m ＞-32． 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小”是解题的关键． 12．A解析：A【分析】根据关于y 轴对称的坐标特征判断①；根据平方根定义判断②；根据直线与x 轴交点坐标判断③；根据方程的解的定义判断④．【详解】解：①()1,2A -关于y 轴的对称点为（1，2）；②±；③2y x =-+与x 轴交于点（2，0）；④21x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程23x y +=-的一个解． ∴正确的是：③，1个故选：A【点睛】本题考查关于y 轴对称的坐标特征、平方根定义、直线与x 轴交点坐标、方程的解，考查学生的辨析能力，熟知以上知识点是解答此题的关键．二、填空题13．【分析】根据一次函数数和的图象交点可知点P 的坐标就是的解【详解】解：根据题意可知二元一次方程组的解就是一次函数和的图象的交点P 的坐标∴二元一次方程组的解是故答案为：【点睛】此题考查了一次函数与二元一解析：27x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数数41y x =-和23y x =+的图象交点，可知点P 的坐标就是4123y x y x =-⎧⎨=+⎩的解．【详解】解：根据题意可知， 二元一次方程组4123y x y x =-⎧⎨=+⎩的解就是一次函数41y x =-和23y x =+的图象的交点P 的坐标，∴二元一次方程组4123y x y x =-⎧⎨=+⎩的解是27x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：27x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】此题考查了一次函数与二元一次方程（组），解答此题的关键是熟知方程组的解与一次函数的图象交点P 之间的联系，考查了学生对题意的理解能力．14．70【分析】利用待定系数法求出相遇前y 与x 的关系式确定出甲乙两地的距离进而求出两车的速度即可确定出所求【详解】解：设线段AB 的解析式为把与代入得：解得即令则即甲乙两地相距280千米设两车相遇时慢车行 解析：70【分析】利用待定系数法求出相遇前y 与x 的关系式，确定出甲乙两地的距离，进而求出两车的速度，即可确定出所求．【详解】解：设线段AB 的解析式为y kx b =+，把()1.5,70与()2,0代入得： 1.57020k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得140280k b =-⎧⎨=⎩， 即140280y x =-+，令0x =，则280y =，即甲乙两地相距280千米，设两车相遇时，慢车行驶了x 千米，则快车行驶了()40x +千米，根据题意得：40280x x ++=，解得：120x =，即两车相遇时，慢车行驶了120千米，则快车行驶了160千米，∴快车的速度为80千米/时，慢车速度为60千米/时，根据题意得：()28016080 1.5-÷=（小时），1.56090⨯=（千米），2801209070--=（千米），则快车到达乙地时，慢车还有70千米到达甲地．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能看懂函数图象，利用数形结合的思想将图象与已知条件联系在一起，灵活变化，找出所求问题需要的条件．15．16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变也就是停止长高设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0）然后利用待定系数法求出直线AC 的解析式再把x=50代入进行计算即可得解【详解】设直解析：16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．【详解】设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），∵经过点A （0，6），B （30，12），∴63012b k b =⎧⎨+=⎩，解得156k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．所以，直线AC 的解析式为165y x =+（0≤x≤50）， 当x=50时，15065y =⨯+=16cm ． 答：该植物最高长16cm ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．16．3【分析】观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法可求出直线的函数关系式再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出的值【详解】解：将代入得：解得：直线的函数关系式为当时故答案为：3【点睛】本题考查了一次 解析：3【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出直线l 的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m 的值．【详解】解：将(2,0)-，(0,1)代入y kx b =+，得：201k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l 的函数关系式为112y x =+． 当4x =时，14132m =⨯+=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、函数图象以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 17．x ＝2【分析】交点坐标同时满足两个函数的解析式而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成因此两函数的交点坐标即为方程组的解【详解】∵直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （21）∴当x ＝2时x+b ＝解析：x ＝2【分析】交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】∵直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （2，1），∴当x ＝2时，x+b ＝ax ﹣3＝1，∴关于x 的方程x+b ＝ax ﹣3的解为x ＝2．故答案为：x ＝2．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：熟练掌握交点坐标同时满足两个函数的解析式是解题关键．18．【分析】令y ＝1可得x ＝2即点A （21）根据正方形的性质可得点E 的横坐标待入解析式即可求得点E 的纵坐标继而根据正方形的性质可得点F 的坐标【详解】∵正方形边在轴的正半轴上∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝1C 解析：93,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】令y ＝1可得x ＝2，即点A （2,1）根据正方形的性质可得点E 的横坐标，待入解析式即可求得点E 的纵坐标，继而根据正方形的性质可得点F 的坐标．【详解】∵正方形ABCD ，CEFG 边在x 轴的正半轴上，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝1，CE ＝CG ＝EF ＝GF ，AB 、CD 、CE 、FG ⊥x 轴，∵顶点A ，E 在直线12y x =令y ＝1，则x ＝2∴点A （2,1）∴点E 的横坐标为3将x ＝3代入直线12y x =，得32y = ∴点E 、F 的纵坐标是32 即32CE FG EF === ∴点F 的横坐标为39322+= 即点F （92，32） 故答案为：（92，32） 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及到正方形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握正方形的性质求得点A 、E 的坐标．19．100【分析】根据题意分别求出每一段路程的速度然后进行判断即可得到答案【详解】解：根据题意0~15分的速度：；25分~35分的速度：；45分~50分的速度：；∵∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是1解析：100【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，0~15分的速度：160800153÷=； 25分~35分的速度：(800500)1030-÷=； 45分~50分的速度：5005100÷=； ∵160301003<<， ∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分；故答案为：100．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题．20．【分析】根据一次函数的图象当时y 随着x 的增大而减小分析即可【详解】解：因为A （x1y1）B （x2y2）是一次函数图象上的不同的两个点当x1＞x2时y1＜y2可得：解得：a ＜1故答案为：【点睛】本题考解析：1a <【分析】根据一次函数的图象(1)2y a x =-+，当10a -<时，y 随着x 的增大而减小分析即可．【详解】解：因为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数(1)2y a x =-+图象上的不同的两个点， 当x 1＞x 2时，y 1＜y 2，可得：10a -<，解得：a ＜1．故答案为：1a <．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．函数经过的某点一定在函数图象上．解答该题时，利用了一次函数的图象y=kx+b 的性质：当k ＜0时，y 随着x 的增大而减小；k ＞0时，y 随着x 的增大而增大；k=0时，y 的值=b ，与x 没关系．三、解答题21．（1）1-；3；（2）△ABM 的面积为2m -；（3）点P 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛⎫-⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据非负数性质可得a 、b 的值；（2）根据三角形面积公式列式整理即可； （3）先根据（2）计算S △ABM ，再分两种情况：当点P 在y 轴正半轴上时、当点P 在y 轴负半轴上时，利用割补法表示出S △BMP ，根据S △BMP =S △ABM 列方程求解可得．【详解】解：（1）∵|1|30a b ++-=，∴10a +=，30b -=，∴1a =-，3b =；（2）如图1所示，过M 作ME x ⊥轴于E ，∵(1,0)A -，(3,0)B ，∴1OA =，3OB =，∴4AB =，∵在第三象限内有一点(2,)M m -，∴||ME m m ==-，∴114()222ABM S AB ME m m =⨯=⨯⨯-=-． （3）设(0,)P n ，BM 交y 轴于点C ，连接MP ，BP 如下图：设直线BM 的解析式为y kx b =+，把(3,0)B ，52,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入得 30522k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩， 解之得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即1322y x =-， ∴30,2C ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当52m =-时，11545222ABM m S AB y =⋅=⨯⨯=． ∵BMP ABM SS =， ∴()1||52x x B M PC -=， 即13(32)522n ⨯++=， 解之得：12n =或72n =-， 综上，点P 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】 本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，利用割补法表示出△BMP 的面积等知识，根据题意建立方程是解题的关键．22．22y x =-【分析】首先根据题意设出关系式：y=k （x-1），再利用待定系数法把x=3，y=4代入，可得到k 的值，再把k 的值代入所设的关系式中，可得到答案；【详解】解：因为y 与1x -成正比例，所以设()1y k x =-（0k ≠）∵当3x =时，4y =，∴()431k =-解得2k =所以， y 与x 之间的函数关系式为：22y x =-【点睛】此题主要考查了对正比例的理解，关键是设出关系式，代入x ，y 的值求k ．23．（1）点1,202A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1.5h ，40y x =；（2）线段,,OA BC DE 平行；理由见解析；（3）线段BC 的函数表达式4060y x =-，（4）李辉在12点10分会和李老师相遇．【分析】（1）用路程除以速度求出A 点的时间，用B 点的时间减去A 点的时间在绿博园游玩时间，OA 的表达式y 用时间x 乘以电动汽车的速度40即可，（2）利用电动汽车速度确定三段函数的k 值，k 相同则线段,,OA BC DE 位置关系即可判断，（3）先求出B 点坐标，设出BC 的解析式，由k 为电动汽车的速度，代入求b 即可，（4）先求李老师从黄河区出发的时间，再列出两者相遇的方程，求出相遇时间，加上李辉出发时的时间即可【详解】（1）20÷40=12，点1,202A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2-12=1.5h ，线段OA 表达式：40y x =； （2）线段,,OA BC DE 平行，因为电动汽车的行驶速度都是40/km h ，三条线段的函数表达式系数k 都是电动汽车的行驶速度，由一次函数的性质，k 相同，直线是平行的；（3）设BC 的函数表达式y kx b =+，由（1）（2）得40k =，又由图象可知，点B 的坐标是()2,20，所以，20402b =⨯+，解得60b =-，所以，线段BC 的函数表达式4060y x =-；（4）设李辉出发a 小时后，两车相遇，李老师所用时间7时30分出发到在黄河区游玩结束11时45分，比李辉晚出发14小时， 根据题意，得12040304a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解得23a =， 11时30分出发到相遇用260=403⨯分，即11时70分=12时10分， 所以，他们在12点10分相遇．【点睛】本题考查点的坐标，线段的表达式，线段的位置关系，相遇行程问题，掌握点的坐标求法，线段表达式的求法，会列行程问题应用题，会用数形结合的思想解一次函数中行程问题是解题关键．24．（1）3520y x =+；（2）岩层所处的深度是51km【分析】（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，把()2,90，()5,195带入求解即可； （2）当1805y =时，求出x 的值即可；【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+， 2905195k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得，3520k b =⎧⎨=⎩， 即y 与x 的函数关系式为3520y x =+；（2）当1805y =时，18053520x =+，解得，51x =，即当岩层温达到1805℃时，岩层所处的深度是51km ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．25．（1）见解析，1(1,3)A -，1(3,1)B -，1(4,5)C -；（2）见解析；（3）194m <≤【分析】（1）根据轴对称与坐标变化的规律，由(1,3)A ，点(3,1)B ，点(4,5)C 可得1(1,3)A -，1(3,1)B -，1(4,5)C -，描点、连线后即可得到△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1； （2）作点A 关于x 轴的对称点A 2，连接A 2B 与x 轴相交于点P ，即可使PA PB +的值最小；（3）先求出AB 的解析式，再求出当点A 落在BC 边上时的点A ＇的坐标，根据轴对称的性质可得，点M 的横坐标m 等于点A 与点A'的横坐标之和的一半，进而得到点M 的横坐标m 的取值范围．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，1(1,3)A -，1(3,1)B -，1(4,5)C -；（2）如上图所示，点P 为所求作的点．作点A 关于x 轴的对称点A 2，连接A 2B ，交x 轴于点P ，则（AP ＋BP ）此时有最小值； （3）设AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，依题意得：3145k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：411k b =⎧⎨=-⎩． ∴y ＝4x －11． 令y ＝3，则x ＝72． ∴当点A 关于直线MN 的对称点A ＇落在BC 上时，点A ＇的坐标为（72，3）． 此时m ＝12（1＋72）＝94． 又∵点M 不与点A 重合， ∴点M 的横坐标m 的取值范围是：194m <≤． 故答案为：194m <≤． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握轴对称与坐标变化的规律，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．26．（1）交点P 表示小东和小明出发2.5小时在距离B 地7.5km 处相遇；（2）1520y x =-+；（3）263h 【分析】（1）根据相遇问题的等量关系结合函数图象的表示的量，可知点P 横纵坐标表示两人相遇时的时间和两人离B 地的距离；（2）代入两个已知点坐标列出方程组，用待定系数法求出解析式即可；（3）根据时间等于路程除以速度，用小明走的路程除以小明走的速度即可得到结果．【详解】解：（1）交点P 表示小东和小明出发2.5小时在距离B 地7.5km 处相遇．（2）设1y 与x 的函数关系式为1y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠），因为函数图象经过点()020，，()40，，所以20b =，①40k b +=，②解得5k =- 所以1y 与x 的函数关系式为1520y x =-+．（3）小明的速度为()7.5 2.53/km h ÷=，小明到达A 地所需的时间为()220363h ÷=． 【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求解析式和读懂函数图象的能力，熟练运用相遇问题的数量关系解决相关问题是解题的关键．。
初中八年级的数学一次函数常考题型总总结复习.doc
学习必备 欢迎下载八年级一次函数重点题型复习基础题常考易错题型：1、已知一次函数 y kx k , 若 y 随着 x 的增大而减小 , 则该函数图象经过 ( )。
A. 第一 ,二 ,三象限B. 第一 ,二 ,四象限C. 第二 ,三 ,四象限D. 第一 ,三 ,四象限2、若函数 ykx b ( k ,b 为常数 ) 的图象如图所示，那么当 y0 时， x 的取值范围是 ()。
A. x 1B. x 2C. x 1D. x 2ｙ3、将直线 y=2x 向上平移两个单位，所得的直线是()。
A ．y=2x+2B ． y=2x-2C ． y=2 （x-2 ）D ． y=2（ x+2 ）x2 x 1 的自变量 x 的取值范围为 () 14、函数 y1。
x0 1 2ｘA. x ≠ 1B. x ＞－ 1C. x ≥－ 1D. x ≥－ 1 且 x ≠ 15、函数 yx 3 的自变量 x 的取值范围是。
6、 已知一次函数 y ＝ (2m-1)x ＋ m ＋ 5,当 m 取何值时 ,y 随 x 的增大而增大 ?当 m 取何值时 ,y 随 x 的增大而减小 ?7、 某个一次函数的图像位置大致如下图所示，试分别确定k 、b 的符号，并说出函数的性质？8、 已知关于 x 的一次函数 y ＝ (-2m ＋1)x ＋2m2＋ m-3.(1) 若一次函数为正比例函数，且图像经过第一、第三象限，求m 的值；(2) 若一次函数的图像经过点 (1， -2),求 m 的值？9、求满足下列条件的函数解析式：(1) 把直线 Y==2x+1 向下平移两个单位，再向右平移3 个单位后所得直线的解析 式． (2) 与直线 y=－ 2x 平行且经过点 (1, -1)的直线的解析式； (3) 经过点（ 0， 2）和（ 1，1）的直线的解析式； (4) 直线 y=2x － 3 关于 x 轴对称的直线的解析式学习必备欢迎下载图像和应用题常考题型：1、已知正比例函数y k1 x 和一次函数 y k2 x b 的图象相交与点A（8， 6），一次函数与x 轴相交于 B3 OA ，求这两个函数的解析式点，且OB52、已知，一次函数的图象经过点( 2,0) ，且直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，求一次函数的解析式。
部编数学八年级下册专题09一次函数与几何图形综合的七种考法(解析版)含答案
专题09 一次函数与几何图形综合的七种考法类型一、面积问题例．如图，直线AB 的表达式为364y x =-+，交x 轴，y 轴分别与B ，A 两点，点D 坐标为()4,0-点C 在线段AB 上，CD 交y 轴于点E ．(1)求点A ，B 的坐标．(2)若CD CB =，求点C 的坐标．(3)若ACE △与DOE V 的面积相等，在直线AB 上有点P ，满足DOC △与DPC △的面积相等，求点P 坐标．∵CD CB =，∴DF BF =，∵点D 坐标为()4,0-，点B 的坐标为(∴12BD =，8OB =，∴6BF =，∴2OF =，∵DOC △与DPC △的面积相等，∴点O 和点P 到距离相等，此时OP ∥∴直线OP 的解析式为35y x =，联立得：36435y x y xì=-+ïïíï=ïî，解得：x y ì=ïïíï=ïî【变式训练1】如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．(1)填空：k =________；b =________；m =________；(2)在x 轴上是否存在一点E ，使BCE V 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若动点P 在射线DC 上从点D 开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP ，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP △和ADP △的面积比为1:2？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）∵点P 在射线DC 上从点∴(2,0)D -，∵(2,2)C ，∴22(22)225CD =++=，∵点P 的运动时间为t 秒．②点P 在线段DC 的延长线上，∵ACP △和ADP △的面积比为1:∴12CP DP =，∴22545DP =´=，综上：存在t 的值，使ACP △和【变式训练2】在平面直角坐标系中，O 为原点，点()4,0A ，()2,0B -，()3,2C -，点D 是y 轴正半轴上的动点，连接CD 交x 轴于点E ．(1)如图①，若点D 的坐标为()0,2，求ACD V 的面积；(2)如图②，若12ABD ABC S S =V V ，求点D 的坐标．(3)如图③，若BDE ACE S S =△△，请直接写出点D 的坐标．【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线AB ：13y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．过点()1,0E 且垂直于x 轴的直线DE 交AB 于点D ，P 是直线DE 上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式和点B 的坐标；(2)求ABP V 的面积（用含n 的代数式表示）；(3)当ABP V 的面积为2时，以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，求出点C 的坐标．，则90PEB BP CGB Ð=Ð=Ð=°，PB BC =，∴90PBE BPE Ð+Ð=°，90BPE CPG Ð+Ð=°，∴BPE CPG Ð=Ð，∴()AAS BEP PGC ≌V V ，∴2BE PG ==，2PE CG ==，∴点()3,4C ；②以PB 为底时，如图，过点C 作CG PE ^于点G ，作CH x ^轴于点H ，则90PGC CGE CHB PEB PCB Ð=Ð=Ð=°=Ð=Ð，CP CB =，∴90GCH PCB Ð=°=Ð，∴PCG BCH Ð=Ð，∴∴()AAS BCH PCG ≌V V ，∴BH PG =，CH CG =，∴BE BH PE PG +=-，即22BH BH +=-，∴0BH PG ==，∴点()3,2C ；综上，符合题意的点C 坐标为()5,2或()3,4或()3,2．类型二、最值问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过()4,0A 、()0,4B 两点．(1)k =______，b =______．(2)已知()1,0M -、()3,0N ，①在直线AB 上找一点P ，使PM PN =．用无刻度直尺和圆规作出点P （不写画法，保留作图痕迹）；②点P 的坐标为______；③点Q 在y 轴上，那么PQ NQ +的最小值为______．【答案】(1)1-，4；(2)①见解析；②()1,3；③5【详解】（1）解：将()4,0A 、()0,4B 代入()0y kx b k =+¹中，得：044k b b =+ìí=î，解得；14k b =-ìí=î，故答案为：1-，4；（2）①如图，点P 即为所求；【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线l经过1,32Aæöç÷èø和()3,2B-两点，且与x轴，y轴分别相交于C，D两点．(1)求直线l的表达式；V的面积等于2时，求点E的坐标；(2)若点E在直线AB上，当ODE-的值最小，则点P的坐标为______；(3)①在x轴上找一点P，使得PA PB-的值最大，则点Q的坐标为______．②在x轴上找一点Q，使得QA QB【变式训练2】如图，一次函数2y x =+的图象分别与x 轴和y 轴交于C ，A 两点，且与正比例函数y kx=的图象交于点()1,B m -．(1)求正比例函数的表达式；(2)点D 是一次函数图象上的一点，且OCD V 的面积是4，求点D 的坐标；(3)点P 是y 轴上一点，当BP CP +的值最小时，若存在，点P 的坐标是______．取点C 关于y 轴的对称点C ¢，则PC PC =CP BP C P BP C B ¢¢\+=+³，即点P 位于C B ¢与x 轴的交点时，BP +∵点(2,0)C - ，【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，()3,4A -，()3,2B ，点C 在x 轴上，AD x ^轴，垂足为D ，BE x ⊥轴，垂足为E ，线段AB 交y 轴于点F ．若AC BC =，ACD CBE Ð=Ð．(1)求点C 的坐标；(2)如果经过点C 的直线y kx b =+与线段BF 相交，求k 的取值范围；(3)若点P 是y 轴上的一个动点，当PA PC -取得最大值时，求BP 的长．类型三、等腰三角形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =--的图像分别交x 轴、y 轴于点A 和B ．已知点C 的标为()3,0-，若点P 是x 轴上的一个动点．(1)A 的坐标是______，B 的坐标是______；(2)过点P 作y 轴的平行线交AB 于点M ，交BC 于点N ，当点P 恰好是MN 的中点时，求出P 点坐标．(3)若以点B 、P 、C 为顶点的BPC △为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P 点坐标．【变式训练1】直线8y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，且43OC OB =．(1)求OB 的长和k 的值：(2)若点A 是第一象限内直线8y kx =-上的一个动点，当它运动到什么位置时，AOB V 的面积是12？(3)在（2）成立的情况下，y 轴上是否存在点P ，使POA V 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）由题意得，12OB AD ´´=6OB =Q ，\解得，AD当21294OA OP =+==当397OA OP ==时，3P 当22AP OP =时，作2P H ^22AP OP =Q Q 2P 为线段OA 垂直平分线与【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线MN 交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点()0,3N -，30Ð=°ONM ，作线段MN 的垂直平分线交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．(1)如图1，求直线MN 的解析式和A 点坐标；(2)如图2，过点M 作y 轴的平行线l ，P 是l 上一点，若ANP S =△P 坐标；(3)如图3，点Q 是y 轴的一个动点，连接QM 、AQ ，将MAQ V 沿AQ 翻折得到1M AQ △，当1M MN △是等腰三角形时，求点Q 的坐标．过T 作TS AM ^于S ，则AT ∴22333322AS æö=-=ç÷èø，同理2315Q P y x =--：，综上：()3,6P ，(3,P -（3）①如图，当MN MM =由轴对称的性质可得：AM ∵()223323AN =+=，∴()0,1Q ．②当1NM NM =时，如图，由23AN NM AM ===，∴ANM V 为等边三角形，此时Q ，N 重合，∴()0,3Q -；③当11M M M N =时，1M 在直线∵30OAB Ð=°，【变式训练3】如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图象与x 轴交于点C ，与y 轴交于点()0,5A ，与正比例函数12y x =的图象交于点B ，且点B 的横坐标为2，点P 为y 轴上的一个动点．(1)求B 点的坐标和k 、b 的值；(2)连接CP ，当ACP △与AOB V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)连接BP ，是否存在点P 使得PAB V 为等腰三角形?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．③当PA PB =时，如图2，设(0,P m 22(5)PA m =-，1PH m =-，所以PB 所以222(5)(1)2m m -=-+，解得m类型四、直角三角形存在性问题例．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线AB :3y 4x b =+与直线AC ：9y kx =+交于点(2,)A n ，与x 轴分别交于点0()6,B -和点C ．点D 为线段BC 上一动点，将ABD △沿直线AD 翻折得到ADE V ，线段AE 交x 轴于点F ．(1)直线AC 的函数表达式．(2)当点D 在线段BO 上，点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标．(3)若DEF V 为直角三角形，求点D 的坐标．【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与直线11433y x =-+交于点C ．直线11433y x =-+与x 轴交于点D ，若点P 是线段AD 上的一个动点，点P 从点D 出发沿DA 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A （到 A 停止运动）．设点P 的运动时间为s t ．(1)求点A 和点B 的坐标；△的面积为12时，求t的值；(2)当ACP△为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使ACP若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点()30A -，与y 轴交于点()06B ，，点C 是直线AB 上的一点，它的坐标为()4m ，，经过点C 作直线CD x ∥轴交y 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)已知点P 是直线CD 上的动点，①若POC △的面积为4，求点P 的坐标；②若POC △为直角三角形，请求出所有满足条件的点P 的坐标．②Q OCP Ð一定不是直角，当90OPC Ð=°时，点P 恰好在点D ，\()04P ，，当90POC Ð=°时，，由题可得221417OC =+=，2222416OP DP DP =+=+，()221CP DP =+，Q 222CP OC OP =+，\()2211716DP DP +=++，\16DP =，\()164P ，，综上所述，所有满足条件的点P 的坐标为()04，或()164P ，．【变式训练3】如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1B -，与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,n ．(1)则k =______，b =______，n =______；(2)关于x ，y 的二元一次方程组y =x +1,y =kx +b的解为______；(3)求四边形AOCD 的面积；(4)在x 轴上是否存在点P ，使得以点P ，C ，D 为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P 的坐标．①当P D DC ¢^时，22P C P D ¢¢=类型五、等腰直角三角形存在性问题例．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ^于D ，过B 作BE ED ^于E ．(1)求证：BEC CDA V V ≌．(2)模型应用：已知直线14:43l y x =+与y 轴交与A 点，将直线1l 绕着A 点顺时针旋转45°至2l ，如图2，求2l 的函数解析式．(3)如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为()8,6，A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC m =，已知点D 在第一象限，且是直线26y x =-上的一点，若APD △是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．∵45BAC Ð=°，∴ABC V 为等腰直角三角形，由（1）得：CBD BAO V V ≌∴BD AO =，CD OB =，∵直线4:4l y x =+，∴()626122AE x =--=-由（1）得：ADE DPF △△≌∴DF AE =，即1228x x -=-，解得：4x =；∴()4,2D ；∴266212BF x x =--=-；同（1）得，APB PDF △≌△∴8AB PF ==，PB DF ==∴()88BF PF PB x =-=--=∴21216x x -=-，解得：283x =；∴2838,33D æöç÷èø；【变式训练1】综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C 是线段OA 的中点，点D 与点C 关于y 轴对称，作直线BD ．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)若点P 是直线BD 上的一个动点．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______题．A ．如图2，连接AP ，CP ．直接写出ACP △为直角三角形时点P 的坐标．B ．如图3，连接CP ，过点P 作PQ x ^轴于点Q ．直接写出CPQ V 为等腰直角三角形时点P 的坐标．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线1:3AB y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．直线1x =交AB 于点D ，交x 轴于点E ，P 是直线1x =上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式；(2)当2ABP S =△时，在第一象限内找一点C ，使BCP V 为等腰直角三角形，求点C 的坐标．∵1x =时，12133y x =-+=，P 在点∴23PD n =-，∴12PAB APD BPD S S S PD AM =+=×+V V V ∵2ABP S =△，3∵90,45CPB EPB Ð=°Ð=°，∴45NPC EPB Ð=Ð=°．又∵90,CNP PEB BP PC Ð=Ð=°=，∴CNP BEP ≌V V ，∴2PN =NC =EB =PE =，∴224NE NP+PE ==+=，∴()3,4C ；若90,PBC BP BC Ð=°=，如图，过点C 作CF x ^轴于点F ．∵90,45PBC EBP Ð=°Ð=°，∴45CBF PBE Ð=Ð=°．又∵90,CFB PEB BC BP Ð=Ð=°=，∴CBF PBE ≌V V ．∴2BF CF PE EB ====，∴325OF OB BF =+=+=，∴()5,2C ；若90,PCB CP EB Ð=°=，如图，∴45CPB EBP Ð=Ð=°，∵,,CP EB CPB EBP BP BP =Ð=Ð=，∴PCB PEB ≌V V ，∴2PC CB PE EB ====，∴()3,2C ；∴点C 的坐标是()3,4或()5,2或()3,2．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AP 交x 轴于点(),0P p ，与y 轴交于点()0,A a ，且a ，p ()230a +=．(1)求直线AP 的解析式；(2)如图1，直线2x =-与x 轴交于点N ，点M 在x 轴上方且在直线2x =-上，若MAP △的面积等于6，请求出点M 的坐标；(3)如图2，已知点()2,4C -，若点B 为射线AP 上一动点，连接BC ，在坐标轴上是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为底边，点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．∵MD AP P ，MAP △的面积等于∴DAP V 的面积等于6，∴162A DP y ××=，即12DP ×∴4DP =，∴()3,0D -，y∴,33OE t BE t ==-，∵BCQ △是以BC 为底边的等腰直角三角形，∴BQ CQ =，90BQC Ð=∴90BQE NQC Ð=°-Ð=又∵BEQ QNC Ð=Ð，∴()AAS BEQ QNC V V ≌，∴BG t =，33OG t =-，∴BT t =，33OT t =-，同②可证CFQ QTB V V ≌∴QF BT t ==，QT CF =∴OQ OT QT OF =+=+∴52t =，∴513422OQ =+=，类型六、平行四边形存在性问题例．在平面直角坐标系xOy 中，直线36y x =+分别与x 、y 轴相交于A 、B 两点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ．连接BC 交x 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)P 为x 轴上的动点，连接PB ，PC ，当PB PC -的值最大时，求此时点P 的坐标．(3)点E 在直线AC 上，点F 在x 轴上，若以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F 的坐标；【答案】(1)点C 的坐标为()4,2-(2)()6,0P (3)点F 的坐标为()17,0-或()13,0或()23,0【详解】（1）解：令0y =，则2x =-，()2,0A \-，令0x =，则6y =，()0,6B \，26OA BO \==，，过点C 作CH x ^轴于H ，9090CAD BAO BAO ABO ÐÐÐÐ+=°+=°Q ，，CAD ABO ÐÐ\=，90AHC BOA ÐÐ\==°，由旋转得AB AC =，()AAS ABO CAH \V V ≌，26CH OA AH BO \====，，4OH AH OA \=-=，\点C 的坐标为()4,2-；（2）作点C 关于x 轴的对称点C ¢，连接BC ¢延长交x 轴于点P ，则点P 就是所求的最大值点，\()4,2C ¢设直线BC ¢的解析式为y kx b =+，\642b k b =ìí+=î，解得16k b =-ìí=î，6y x \=-+，()6,0P \；（3）()()()2,04,20,6A C B --Q ，，，设直线AC 的解析式为y mx n =+，则2042m n m n -+=ìí+=-î【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点(),0A m ，与y 轴交于点()0,B n ，且m n ，满足：()260m n n ++-=．(1)求：AOB S V 的值；(2)D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边作等腰直角BDE V ，连接EA ，求直线EA 与y 轴交点F 的坐标；(3)在（2）的条件下，当2AD =时，在坐标平面内是否存在一点P ，使以B E F Р、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点Р的坐标，若不存在，说明理由．∵EDB △为等腰直角三角形，∴,90DE DB EDB =Ð=°，∴18090EDG ODB Ð+Ð=°-。
八年级数学一次函数之轴对称最值问题(人教版)(专题)(含答案)
一次函数之轴对称最值问题（人教版）（专题）一、单选题(共7道，每道15分)1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，点B(-2，1)，在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标( )A.(0，0)B.(0，1)C.(0，-1)D.(-1，0)答案：D解题思路：1.思路分析：2.解题过程：如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC，则直线BC与x轴的交点即为使点P到A，B两点的距离之和最小的点．设点B，C所在直线的表达式是y=kx+b，∵B(-2，1)，C(2，-3)，在直线y=kx+b上，∴，∴，∴，∴当y=0时，x=-1，∴图象与x轴交于点(-1，0)．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.已知点M(1，2)和点N(5，6)，点P是y轴上的一个动点，当△PMN的周长最小时，点P 的坐标是( )A.(0，)B.(0，1)C.(，0)D.(-1，0)答案：A解题思路：1.思路分析：C△PMN=PM+PN+MN，MN的长度固定，可转化为PM+PN最小2.解题过程：如图，作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N，则直线M′N与y轴的交点即为使PM+PN最小的点．设点M′，N所在直线的表达式是y=kx+b，∵M′(-1，2)，N(5，6)在直线y=kx+b上，∴，∴，∴，∴当x=0时，y=，∴图象与y轴交于点(0，)．故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )A. B.C.（1，0）D.（5，0）答案：B解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，PQ的长固定，所以若要AP+PQ+QB的值最小，则AP+BQ最小即可．如图，BQ向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为所求的点P．根据题意可得，点的坐标为(3，-1)，∴的直线解析式为：，∴点P的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：略4.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，EF和CD的长固定，所以若要四边形CDEF的周长最小，则DE+CF最小即可．如图，CF向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点D关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为点E．根据题意可得，点的坐标为(1，4)，点的坐标为(0，-2)，∴的直线解析式为：，∴点E的坐标为，∴点F的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：略5.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )A. B.1C.2D.答案：A解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，PN和AB的长固定，且PN=2，所以若要四边形PABN的周长最小，则AP+BN最小即可．如图，BN向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为点P．根据题意可得，点的坐标为(2，-1)，∴的直线解析式为：，∴点P的坐标为，∴．故选A试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当的值最大时，点P的坐标是( )A. B.（0，0）C.（-1，0）D.（3，0）答案：C解题思路：1．思路分析2．解题过程故选C试题难度：三颗星知识点：略7.如图，已知直线是第一、三象限的角平分线，A，B两点的坐标分别为，B(1，2)，在直线上找一点P，使的值最大，则此时点P的坐标是( )A.（-1，-1）B.C.（-2，-2）D.答案：A解题思路：1．思路分析2．解题过程故选A试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。
八年级数学上册《第十四章一次函数》一次函数题型归纳解析新人教版
一次函数题型归纳解析1.判断k 、b 的符号在不作出函数图象的情况下，根据函数图象经过的象限，可判断出k 、b 的符号，反之亦然.例1 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，则k 、b 的符号 （ ）A 、k ＜0，b ＞0.B 、k ＞0，b ＞0.C 、k ＜0，b ＜0.D 、k ＞0，b ＜0.【分析】 看图象自左向右是上升还是下降来决定k 的正负由图象与y 轴的交点在x 轴的上方还是下方来决定b 的正负．解 k ＜0，b ＞0.【评析】 注意到图象自左向右上升，函数值y 随着x 的增大而增大，图象自左向右下降，函数值y 随着x 的增大而减小；直线与y 轴正方向相交，k 为正，直线与y 轴的负方向相交，k 为负.反之亦然.2.判断直线经过的象限例2下列图象中，表示直线y=x-1的是 ( ) (A)11O yx (B)-11O y x(C)-1-1O y x (D)1-1O y x分析：直线经过的象限是由k 、b 的符号确定的。
当k ＞0，b ＞0时，直线经过第1，2，3象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过第1、3、4象限等。
反之亦然。
解：在y=x-1中，k ＝1＞0，b ＝－1＜0，故直线经过第1、3、4象限，故选择D 。
3.确定函数的解析式此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x 的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？分析 （1）设所求一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，则500028500,800036000.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得k ＝52，b ＝16000。
∴所求的函数关系式为y ＝52x ＋16000。
（2）∵48000＝52x ＋16000。
八年级数学一次函数常考题型分类专题训练
一次函数常考题型分类专题训练题型一：一次函数的判定题型例1 根据变量x 、y 的关系式，判断y 是否是x 的一次函数。
(1) y ＝40x (2) y ＝2x ＋16 (3)y －5x ＝150 (4) 35xy分析总结：例2、若函数y ＝（3－m ）x 2m--8是正比例函数，求m 的值。
分析总结：例3、写出下列各题中x 与y 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？（1）小红去商店买笔记本，每个笔记本 2.5元，小红所付买本款y （元）与买本的个数x （个）之间的关系.答：__________________________________________________________________（2）等腰三角形的周长是18，若腰长为y ，底边长为x ，则y 与x 之间的关系.并求出x 的取值范围.答：__________________________________________________________________ 分析总结：针对性练习：1.以下函数：①y=2x 2+x+1 ②y=2πｒ③y=x1④y=(2－1)x ⑤y=－(a+x)(a 是常数)⑥s=2t 是一次函数的是___ _____.2.当m =________时，y=(m －1)x 2m是正比例函数.3.当k=________时，y=(k+1)x2k+k 是一次函数.4.圆的周长与半径成正比例关系；圆的面积与半径成正比例关系。
（填“是”或者“不是”）5．时间t 一定时，速度v 与路程s 成关系。
题型二：一次函数与坐标轴的交点例4、1.函数y ＝2x ＋1与X 轴的交点坐标是（），与Y 轴的交点坐标是（）；2. 函数y ＝31x －2与X 轴的交点坐标是（），与Y 轴的交点坐标是（）；分析总结：例5.若一次函数y ＝mx-(m-2)过点(0,3)，则m= ．分析总结：例6. 函数y=－x+2的图像与x 轴，y 轴围成的三角形面积为_________________.分析总结：针对性练习：1.函数y ＝x －3与X 轴的交点坐标是（），与Y 轴的交点坐标是（）；2、函数y ＝－x ＋3与X 轴的交点坐标是（），与Y 轴的交点坐标是（）；3、若一次函数y ＝mx+3过点(1,2)，则m=4、函数y= x －3的图像与x 轴，y 轴围成的三角形面积为_________________.题型三：一次函数与象限的关系例7. 一次函数y ＝kx ＋b 的图像过二、三、四象限，则k ，b 。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 一次函数提升大视野(解析版)
专题一次函数素质提升大视野【例题精讲】题型一、图象类问题例1. 【2019·厦门市期中】在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿着A-B-C-D-A的路径运动过一周，线段AP长度与点P运动路程x之间的函数图象如图所示，则矩形的面积是【答案】32．【解析】解：由图象可知，x=a时，AP=8，AB=8，点（b，P与点C重合，AC=AP，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=4，即矩形的面积为：8×4=32，故答案为：32.例2. 【2019·宿迁市期末】如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】解：由题意知，当0＜x≤2，s=12 x，当2＜x≤3，s=1，由以上分析可知，函数的图象开始是一条上升的线段，然后为水平线段，故答案为：C.题型二、图形存在性问题例1. 【2019·福州市期中】如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x 上一点P(1，1)，C 为y 轴上一点，连接PC，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD，过点D 作直线AB⊥x 轴，垂足为B，直线AB 与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x 交于点Q，则点Q 的坐标为．【答案】（94，94）.【解析】解：过点P作PE△y轴于E，延长EP交AN于F，易证，△CPE△△DPF，△PE=DF=1，BF=OE=1，△BD=2，△BD=2AD，△AD=1，即AB=3，OB=3，PF=2，CE=2，即C(0,3)，D(3,2),可得直线CD的解析式为：y=13-x+3，联立y=13-x+3，y=x，解得：x=y=94，即点Q坐标为：（94，94）.例2. 【2019·泉州市晋江区期中】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线12y x b=+与△ABC有交点时，b的取值范围是（）A．﹣1≤b≤1B．﹣12≤b≤1C．﹣12≤b≤12D．﹣1≤b≤12【答案】B．【解析】解：分别将A（1，1），B（3，1），C（2，2）代入直线12y x b =+，得：b=12，-12，1，所以b的取值范围是﹣12≤b≤1．故答案为：B．例3. 【2019·宜城市期末】如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（）A.y=x-2B.y=2x-4C.y=x-1D.y=3x-6【答案】A.【解析】解：∵点B的坐标为（8，4），∴平行四边形的对角线交点的坐标为（4，2），设直线DE的函数解析式为y=kx+b，则其必过点(4,2)，则42 20k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12kb=⎧⎨=-⎩，直线DE的解析式为y=x-2．故答案为：A．题型三、实际问题应用例1. 【2018·武威凉州区期末】如图，线段AB，CD分别是一辆轿车的油箱剩余油量y1（升）与一辆客车的油箱剩余油量y2（升）关于行驶路程x（千米）的函数图象．（1）分别求y1，y2与x的函数解析式；（2）如果两车同时出发轿车的行驶速度为100千米/时，客车的行驶速度为80千米/时，当油箱的剩余油量相同时，两车行驶的时间相差多少分？【答案】见解析．【解析】解：（1）设AB、CD所表示的函数解析式分别为y1＝k1x+50，y2＝k2x+80．可知：0=500k1+50，0=400k2+80，解得：k1=-0.1，k2=-0.2，y1＝﹣0.1x+50（0≤x≤500），y2＝﹣0.2x+80（0≤x≤400）．（2）令y1＝y2，则有﹣0.1x+50＝﹣0.2x+80，解得：x＝300．轿车行驶的时间为300÷100＝3（小时）；客车行驶的时间为300÷80＝3.75（小时），3.75﹣3＝0.75小时＝45（分钟）．答：当油箱的剩余油量相同时，两车行驶的时间相差45分钟．例2. 【2019·高密市期末】某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．【答案】见解析．【解析】解：（1）y＝0.3x+0.4（2500﹣x）＝﹣0.1x+1000；因此y与x之间的函数表达式为：y＝﹣0.1x+1000．（2）由题意得：()0.250.5250010002500x xx+-≤⎧⎨≤⎩，解得：1000≤x≤2500，△k＝﹣0.1＜0，△y随x的增大而减小，△当x＝1000时，y最大，此时2500﹣x＝1500，所以，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．【刻意练习】1. 【2019·汕头市期末】一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k的值等于．【答案】12．【解析】解：△一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，△k＞0，△一次函数y＝kx﹣2与两坐标轴的交点分别为（0，﹣2），（2k，0），△一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积S＝12×2×|2k|＝|2k|，即|2k|＝4，△k＝±12，△k＞0，△k＝12．故答案为：12．2. 【2019·桑植县期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P 从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP 的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】解：当点P在GF、ED边上时△ABP的面积不变，所以B、C错误；点P在AD上运动时，△ABP的面积逐渐增大，所以D错误；故答案为：A．3. 【2019·兴城市期末】已知一次函数y=kx+2的图象与x轴交点的横坐标为6，则当-3≤x≤3时，y的最大值是______．【答案】1≤y≤3.【解析】解：把（6，0）代入y=kx+2中得：0=6k+2，k=13 -，△k=13-＜0，y随x的增大而减小，当x=-3时，y=3，当x=3时，y=1，故答案是：1≤y≤3．4. 【2019·大连市期末】在平面直角坐标中，已知点A（2，7）、B（9，6），直线y=kx（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为______．【答案】27 32k≤≤.【解析】解：△直线y=kx（k≠0）与线段AB有交点，△当直线y=kx过B（9，6）时，k值最小，9k=6，解得：k=23；当直线y=kx过A（2，7）时，k值最大，2k=7，解得k=72，△k的取值范围为：27 32k≤≤，故答案为：27 32k≤≤．5. 【2019·孝感市期末】如图，直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-2．则下列结论：△m＜0，n＞0；△直线y=nx+4n一定经过点（-4，0）；△m与n满足m=2n-2；△当x＞-2时，nx+4n＞-x+m，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D.【解析】解：△△直线y=-x+m与y轴交于负半轴，△m＜0；△y=nx+4n的图象从左往右上升，△n＞0，结论△正确；△x=-4时，y=-4n+4n=0，△直线y=nx+4n一定经过点（-4，0）．结论△正确；△△直线y=-x+m与y=nx+4n交点的横坐标为-2，△当x=-2时，y=2+m=-2n+4n，△m=2n-2．结论△正确；△△当x＞-2时，直线y=nx+4n在直线y=-x+m的上方，△当x＞-2时，nx+4n＞-x+m，结论△正确．故答案为：D．6. 【2019·高阳县期中】星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）A. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C. 从家出发，一直散步(没有停留)，然后回家了D. 从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才开始返回【答案】B.【解析】解：由纵坐标看出，0到4分钟从家到了报亭，由横坐标看出4到10分钟在报亭读报，由纵坐标看出10到12分钟看报后继续前行，由纵坐标看出12到18分钟返回家，B正确；故答案为：B．7. 【2019·乐亭县期末】如图，某个函数的图象由折线A→B→C组成，其中点A（0，5），B（1，2）、C（3，34），则此函数值最大的是（）3B.1C.2D.3A.53【答案】C.【解析】解：由图象知，此函数的最大值是y=2，故答案为：C．8. 【2019·卢龙县期末】某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过500元的商品，超过500元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y （单位：元）与商品原价x （单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过500元的部分可以享受的优惠是（ ）A .打六折B .打七折C .打八折D .打九折【答案】C . 【解析】解：设超过500元的部分可以享受的优惠是x 折， （1000-500）×0.1x +500=900， 解得：x =8， 故答案为：C ．9. 【2019·固始县期末】甲、乙两人同时从相距90千米的A 地前往B 地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B 地停留半小时后返回A 地．如图是他们离A 地的距离y （千米）与时间x （时）之间的函数关系图象． （1）求甲从B 地返回A 地的过程中，y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A 地到B 地用了多长时间？【答案】见解析. 【解析】解：（1）设甲从B 地返回A 地的过程中，y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ，根据题意得：301.590k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：60180kb=-⎧⎨=⎩，△y=-60x+180（1.5≤x≤3）；（2）当x=2时，y=-60×2+180=60．△骑摩托车的速度为60÷2=30（千米/时），△乙从A地到B地用时为90÷30=3（小时）．10. 【2019·莆田市期末】如图，直线y=43-x+4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（）A.4.2B.4.8C.5.4D.6【答案】B.【解析】解：△直线y=43-x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，△点A（3，0），点B（0，4），△OA=3，OB=4，△AB=5，△四边形OADC是菱形，△OE△AB，OE=DE，△OA•OB=OE•AB，即3×4=5×OE，解得：OE=2.4，△OD=2OE=4.8．故答案为：B．11. 【2018·辽阳市期末】如图所示，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是．【答案】x＜4．【解析】解：∵函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），∴不等式kx﹣3＞2x+b的解集指函数y＝2x+b的图象在函数y＝kx﹣3图象的下方，由图可知：x＜4．故答案为：x＜4．12. 【2019·株洲市期末】如图，直线m的表达式为y=-3x+3，且与x轴交于点B，直线n经过点A（4，0），且与直线m交于点C（t，-3）（1）求直线n的表达式．（2）求△ABC的面积．（3）在直线n上存在异于点C的另一点P，使△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线m过C点，△-3=-3t+3，解得：t=2，△C（2，-3），设直线n的解析式为y=kx+b，把A、C两点坐标代入可得：4023k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得： 1.56k b =⎧⎨=-⎩， △直线n 的解析式为：y =1.5x -6；（2）在y =-3x +3中，当y =0时，x =1；△B （1，0），A （4，0），△AB =4-1=3， C 点到x 轴的距离为3，△S △ABC =12×3×3=4.5； （3）设P 点坐标为：（x ，1.5x -6），△S △ABC =S △ABP ，则P 点纵坐标与C 点纵坐标互为相反数，即P 点纵坐标为：-3，即1.5x -6=3，解得x =6，△P 点坐标为（6，3）．13. 【2019·孝感市期末】如图，直线y =32x +m 与x 轴交于点A （-3，0），直线y =-x +2与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，并与直线y =32x +m 相交于点D ． （1）点D 的坐标为______；（2）求四边形AOCD 的面积；（3）若点P 为x 轴上一动点，当PD +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】（1）（-1，3）；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）把A （-3，0）代入y =32x +m ，得m =92， △直线y =-x +2与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，△B 点坐标为（2，0），C （0，2），联立，y=32x+92、y=-x+2，得：x=-1，y=3，△D点坐标为（-1，3）；故答案为：（-1，3）；（2）S四边形AOCD=S△DAB-S△COB=12×5×3-12×2×2=5.5；（3）作D关于x轴的对称点E，连接CE，交x轴于P，此时PD+PC的值最小，△D（-1，3），E（-1，-3），设直线CE的解析式为y=mx+n，可得：-m+n=-3，n=2，解得：m=5，n=2，即直线CE的解析式为：y=5x+2，当y=0时，x=25 -，即P点的坐标为（25-，0）．14. 【2019·福州市期中】如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为(0，1)，直线x＝1 交x 轴于点B．点P 为线段AB上一动点，作直线PC△PO，交直线x＝1 于点C．过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M，交直线x＝1 于点N．记AP＝x，△PBC 的面积为S．（1）当点C 在第一象限时，求证：△OPM△△PCN；（2）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x＝1 上移动，求出S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当点P 在线段AB 上移动时，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，直接写出所有能使△PBC 成为等腰三角形的x 的值；如果不可能，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）△OM△BN，MN△OB，△AOB＝90°，△四边形OBNM 为矩形△MN＝OB＝1，△PMO＝△CNP＝90°△OA＝OB，△△1＝△3＝45°△MN△OB△△2＝△3＝45°△△1＝△2＝45°，△AM＝PM△OM＝OA﹣AM＝1﹣AM，PN＝MN﹣PM＝1﹣PM △OM＝PN△△OPC＝90°，△△4＋△5＝90°，△△4＋△6＝90°，△△5＝△6△△OPM△△PCN(2)解：△点C 在第一象限时，△AM＝PM x△OM＝PN＝1﹣2x，△△OPM△△PCN△CN＝PM x，△BC＝OM﹣CN＝1x＝1x，△S＝12 BC•PN＝12×(1﹣2x)•(1﹣x)＝12x2x＋12(0≤x)．△点C 在第四象限时，△AM＝PM x△OM＝PN＝1﹣2x，△△OPM△△PCN△CN＝PM x，△BC＝CN﹣OM x﹣(1x)x﹣1，△S＝12 BC•PN＝12×(1x x﹣1)＝﹣12x2﹣12x).（3）△PBC 可能成为等腰三角形；△当 P 与 A 重合时，PC ＝BC ＝1，此时 P (0，1)， △当点 C 在第四象限，且 PB ＝CB 时，BN ＝PN ＝1-2x ，△BC ＝PB PN = x ，△NC =BN +BC =1x -x ，由（2）知，NC =PM =2x ，△1-2x -x =2x ，解得：x =1，△P ，1).综上所述，满足条件的P 点坐标为（0,1）或(2，1-2).。