大一期末考试微积分试题带答案

第一学期期末考试试卷

一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）

1. =→x

x x 1

sin lim 0___0_____.

2. 设1

)1(lim )(2+-=∞→nx x

n x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____.

3. 已知(1)2f =，4

1

)1('-=f ,则

12

()x df x dx -== _______.

4. ()a

x x '=_______.

5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写

在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.

2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞

-=，则

lim ()x f x →∞

______.

A.存在且一定等于零

B. 存在但不一定等于零

C.不一定存在

D. 一定存在. 3. 极限=-→x

x x x

e 21lim

0________.

A. 2e

B. 2-e

C. e

D.不存在.

4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→x

x f x f x tan )

2()3(lim

0________.

A.0

B. 1

C. 2

D. 5.

5. 曲线2

21x

y x

=-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求2

0sin 1lim sin x x e x x →--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

求2

1

lim(cos )x x x +

→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

确定常数,a b , 使函数2(sec )0

()0x x x x f x ax b x -⎧>=⎨+≤⎩处处可导.

六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

设21

()arctan ln(1)2

f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx

七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

列表求曲线52

3

333152

y x x =-+的凹向区间及拐点.

九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）

1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.

2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点

)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.

第一学期期末考试参考答案与评分

标准

一、填空题（3×5=15）

1、0

2、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1a

x a x x a x -⋅+ 5、3x = 二、单项选择题（3×5=15）

1、C

2、C

3、A

4、B

5、D

三、（8×1=8）

22

0000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822

x x x x x x x x e x e x x x e x x

e x →→→→----=-=+==分

分分

四、（8×1=8）

()2

00ln cos 1

lim

1

sin cos lim 1

1

2

lim (cos )268x x x x x x x x

x e e e

+→+

+

→→-

⋅--

===分

分

分

五、（8×1=8）

因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。……1分 因为

()20

lim (sec )02lim 34x x x x x ax b b

x b

+--→→=+== 分分

f 分

所以 0b =5分

又因为

()()0200

0lim (sec )00lim 1x x x ax b f a x

x x f x

-

+-→-+→+-'==-'== 所以 1a = ………8分

六、（8×1=8）

()22112arctan 5121arcsin 6arcsin 8x

f x x x x x x dy xdx

'=-⋅-⋅

++==分

分

分

七、（8×1=8）