高中数学高考专题汇编：专题12 概率和统计(理)(含答案解析)
第十二章 概率和统计
1.【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（oC）数据的茎叶图如下：
0891258200338312
则这组数据的中位数是（ ）
A、19 B、20 C、21.5 D、23
【答案】B.
【命题立意】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念. 考查学生的数据处理能力.
【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B..
2.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A．1 B. 2111 C. 2110 D. 215
【答案】B．
【解析】从袋中任取2个球共有215105C种，其中恰好1个白球1个红球共有1110550CC种，所以从袋中任取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为5010=10521，故选B．
【命题立意】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，属于容易题．
3.【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36
（D）0.312
【答案】A
【命题立意】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式，是基础题
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C=0.648，故选A.
【方法技巧】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，本题很好考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键.
4.【2015高考陕西，理11】设复数(1)zxyi(,)xyR，若||1z，则yx的概率为（ ）
A．3142 B．1142 C．112
D．112
【答案】B
【命题立意】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题．
【方法技巧】解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若zabi（a、Rb），则22zab，几何概型的概率公式构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．
5.【2015高考陕西，理2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
（ ）
A．167 B．137 C．123 D．93
【答案】B
【解析】该校女老师的人数是11070%150160%137，故选B．
【命题立意】本题主要考查的是扇形图，属于容易题．
【易错警示】解题时一定要抓住重要字眼“女教师”，否则很容易出现错误．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系．
6.【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【答案】B
【解析】依题意，这批米内夹谷约为169153425428石，选B.
【命题立意】本题考查用样本估计总体.
【举一反三】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题.
7.【2015高考安徽，理6】若样本数据1x，2x，，10x的标准差为8，则数据121x，221x，，1021x的标准 差为（ ）
（A）8 （B）15 （C）16 （D）32
【答案】C
【命题立意】本题考查.样本的方差与标准差的应用.
【解析】设样本数据1x，2x，，10x的标准差为DX，则8DX，即方差64DX，而数据121x，221x，，1021x的方差22(21)2264DXDX，所以其标准差为226416.故选C. 【方法技巧】已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解.若随机变量X的均值EX、方差DX、标准差DX，则数YaXb的均值aEXb、方差2aDX、标准差aDX.
8.【2015高考湖北，理4】设211(,)XN，222(,)YN，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．21()()PYPY B．21()()PXPX
C．对任意正数t，()()PXtPYt D．对任意正数t，()()PXtPYt
【答案】C
【命题立意】本题考查正态分布密度曲线.
【方法技巧】正态曲线的性质
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线x对称．
③曲线在x处达到峰值21.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示
⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示．
9.【2015高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3
11.9
支出y （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybxa
，其中ˆˆˆ0.76,baybx ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
【答案】B
【命题立意】本题考查线性回归方程，要注意计算的准确性，属于基础题．
【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x（万元），6.27.58.08.59.885y（万元），故80.76100.4a，所以回归直线方程为ˆ0.760.4yx，当社区一户收入为15万元家庭年支出为ˆ0.76150.411.8y（万元），故选B．
【易错警示】要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义．
10.【2015高考湖北，理7】在区间[0,1]上随机取两个数,xy，记1p为事件“12xy”的概率，2p为事件“1||2xy”的概率，3p为事件“12xy”的概率，则 （
）
A．123ppp
B．231ppp
C．312ppp D．321ppp
【答案】B
【命题立意】本题考查几何概型.
【解析】因为,[0,1]xy，对事件“12xy”，如图（1）阴影部分1S，
对事件“1||2xy”，如图（2）阴影部分2S，
对为事件“12xy”，如图（3）阴影部分3S， 由图知，阴影部分的面积从下到大依次是132SSS，正方形的面积为111，
根据几何概型公式可得231ppp.
（1） （2） （3）
【易错警示】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
11.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布20,3N，从中随机取
一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布2,N ，则68.26%P ，
2295.44%P。）
（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%
【答案】B
【命题立意】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.
12.【2015高考新课标2，理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D
【命题立意】本题考查回归分析中的正、负相关，属于基础题．
【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．
【2015高考湖南，理7】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
附：若2(,)XN，则6826.0)(XP，9544.0)22(XP
【答案】C.
【命题立意】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题. 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对
随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。
一、常见题型的解题思路
1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。
2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。
3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。
4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
二、概率与统计的相关知识点总结
1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。
2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。
3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。
4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
三、示例分析
下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。
高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编及解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识要点
一、选择题
1．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ）
A．36 B．72 C．108 D．144
【答案】D
【解析】
【分析】
按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生的情况去掉，录取方案数为2263CC，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为24C、22C，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。
【详解】
根据题意，分3步进行分析：
①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312CC种情况，
②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C种情况，
③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有122C种情况，
则有1262144种不同的录取方案；
故选：D．
【点睛】
本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。
2．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案.
【详解】
由得，故或，由，故或，故使的概率为.
【点睛】
本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.
3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）
A．100种 B．60种 C．42种 D．25种
【答案】C
【解析】
【分析】
给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数.
高考数学压轴专题新备战高考《计数原理与概率统计》真题汇编含答案
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》期末复习知识要点
一、选择题
1．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）
A．13
B．14
C．15 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可.
【详解】
由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率113333155CCA9A20P,其中学生丙第一个出场的概率1333255CA3A20P,所以所求概率为2113PPP.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.
2．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布221122,,,NN，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲类水果的平均质量10.4kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从正态分布的参数21.99
【答案】D
【解析】
由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，B，C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99，故D 不正确．故选D．
3．设某中学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数,iixy1,2,3,,inLL，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx，给出下列结论，则错误的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．若该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0．85kg
C．回归直线至少经过样本数据,iixy1,2,3,,inLL中的一个
D．回归直线一定过样本点的中心点(),xy
专题4.3 统计与概率(理)(解析版)2021年高考数学(理)解答题挑战满分专项训练
专题4.3 统计与概率
1．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：3μg/m），得下表：
2SO
PM2.5 [0,50] (50,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：
2SO
PM2.5 [0,150] (150,475]
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？ 附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，
2()PKk 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【试题来源】2020年海南省高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）
【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有． 【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的天数有32618864天，所以该市一天中，空气中的2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的概率为640.64100；
（2）由所给数据，可得22列联表为
2SO
2.5PM 0,150
150,475 合计
0,75 64 16 80
75,115 10 10 20
合计 74 26 100
（3）根据22列联表中的数据可得
222()100(64101610)()()()()80207426nadbcKabcdacbd36007.48446.635481，
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编含解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识点
一、选择题
1．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
2．若1()nxx的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．252 B．70 C．256x D．256x
【答案】B
【解析】
由题意可得26nnCC，所以8n，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44445881()70TCxCx，故选B.
3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知()3EX，则()(DX ) A．85
B．65
C．45 D．25
【答案】B
高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案
高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案
1.(理)设 ，那么 的展开式中 的系数不可能是( )
A.10 B.40 C.50 D.80
(文)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )
A.20 B.30 C.40 D.50
2.(理)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是平安的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么平安存放的不同方法种数为( )
A.96 B.48 C.24 D.0
(文)从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )
A. B. C. D.
3.甲：A1、A2是互斥事件;乙：A1、A2是对立事件，那么( )
A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有以下四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;
2024高考数学真题分类汇编(解析)
一．复数
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）若1i
1z
z
，则z
（）
A．1iB．1iC．1iD．1i【详解】因为111
11i
111zz
zzz
，所以1
11i
iz
.故选：C.
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知1iz，则z
（）
A．0B．1C．
2D．2
【详解】若
1iz，则
22
112z.故选：C.
3．（2024
年高考全国甲卷数学（理））设5iz
，则
izz
（）
A．10iB．
2iC．10D．
2
【详解】由5i5i,10zzzz
，则
i10izz.故选：A
二．集合
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知集合
355,{3,1,0,2,3}AxxB∣
，则AB
（）
A．{1,0}
B．{2,3}
C．{3,1,0}D．{1,0,2}
【详解】因为
33|55,3,1,0,2,3AxxB
，且注意到3152，从而AB
1,0.故选：A.
2．（2024年高考全国甲卷数学（理））
集合
1,2,3,4,5,9,ABxxA
，则
AABð
（）
A．
1,4,9
B．
3,4,9
C．
1,2,3
D．
2,3,5
【详解】
因为
1,2,3,4,5,9,ABxxA
，所以
1,4,9,16,25,81B
，则
1,4,9AB
，
2,3,5
AABð
故选：D
三．命题与逻辑
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知命题p：xR
，|1|1x
；命题q：0x
，
3xx，
则（）
A．p和q都是真命题B．p
和q都是真命题C．p和q
都是真命题D．p
和q
都是真命题
【详解】对于p
而言，取=1x
，则有101x
，故p
是假命题，p
是真命题，对于q
而
言，取1x
，则有3311xx，故q
是真命题，q
是假命题，综上，p
和q
都是真命题.
故选：B.
高中数学概率与统计真题(解析版)
高中数学
专题23 概率与统计真题汇编
1．在1，2，3…，10中随机选出一个数a，在-1，-2，-3.…，-10中随机选出一个数b，则a2+b被3整除的概率为
.
【答案】
【解析】若a∈{1，2，4，5，7，8，10}，.
若.
若a∈{3，6，9}，.
若.
∴a2+b为3的倍数的概率为.
2．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abc+def是偶数的概率为
.
【答案】
【解析】先考虑abc+def为奇数的情况，此时abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的排列，进而d，e，f为2，4，6的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知，使abc+def为奇数的情况数为36×2=72种.从而abc+def为偶数的概率为.
3．袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为
________.
【答案】
【解析】
一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而，.故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为.
又此时，即从B中取走的两张纸币不能均为1元纸币，相应有种取法．
因此，所求的概率为.
4．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______. 【答案】
【解析】 设正方体为，共12条棱，从中任意取出三条棱的方法有种.
下面考虑使三条棱两两异面的取法数.
由于正方体棱共确定三个互不平行的方向(即的方向)，具有相同方向的四条棱两两共面，因此，取出的三条棱必属于三个不同的方向.可先取定方向的棱，这有四种取法. 不妨设取的棱为.则方向只能取棱，共两种可能.当方向取棱时，方向取棱分别只能为.
综上，三条棱两两异面的取法数为8. 故所求概率为.
【2019年整理】高考数学试题分类汇编及答案解析22个专题
--
--
高考数学试题分类汇编及答案解析（ 22 个专题）
目录
专题一 集合 ..................................................................................... 1
专题二 函数 ..................................................................................... 2
专题三 三角函数................................................................................... 7
专题四 解三角形.................................................................................. 10
专题五 平面向量.................................................................................. 12
专题六 数列 .................................................................................... 14
专题七 不等式 .................................................................................. 18
专题八 复数 .................................................................................... 21
专题九 导数及其应用 .............................................................................. 23
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 高考解答题专项突破(六) 概率与统计的综合问题
[考情分析]概率与统计的综合问题是高考的热点，一般以解答题形式考查，通常以考查随
机事件的概率、相互独立事件、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列、期望及方差、
回归分析、独立性检验为主，有时也与函数、数列、不等式等知识综合考查．
考点一求离散型随机变量的分布列、均值与方差
例1(2023·湖北宜昌模拟)据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的选择，
一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种
特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选
择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其
中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生)．
(1)若从样本中选一名学生，已知这名小学生佩戴眼镜，那么，该学生佩戴的是角膜塑形镜的
概率是多少？
(2)从这8名佩戴角膜塑形镜的学生中，选出3人，求其中男生人数X的期望与方差；
(3)若将样本的频率当作估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20名小学生，
求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望与方差．
解(1)根据题中样本数据，设“这名小学生佩戴眼镜”为事件A，“这名小学生佩戴的眼镜是角
膜塑形镜”为事件B，“这名小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB，则P(A)＝24
100
＝0.24，P(AB)＝8
100＝0.08，故所求的概率为P(B|A)＝P（AB）
P（A）＝0.08
0.24＝1
3，所以从样本中选
一名学生，已知这名小学生佩戴眼镜，则该学生佩戴的是角膜塑形镜的概率是1
3.
(2)依题意，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中选3人，男生
人数X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝C36
C38＝20
56＝5
14，
P(X＝1)＝C12C26
C38＝30
56＝15
28，
P(X＝2)＝C22C16
C38＝6