基本不等式与线性规划.pdf
高考数学第六单元 简单的线性规划与基本不等式.docx
第六单元 简单的线性规划与基本不等式一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不在36x y +<表示的平面区域内的点是A.(0,0)B.(1,1)C.(0,2)D.(2,0)2.点(1,1)与点(2,1)在直线20x y m -+=的两侧,则实数m 的取值范围是A.(,3)(1,)-∞--+∞UB.(3,1)--C.3m =-或1m =-D.(1,3)3.不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩围成的封闭图形的面积是A.4B.2C.3D.54.已知函数1()3(0)f x x x x=+-<,则()f x 有 A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为5- D.最小值为5-5.若,x y 满足约束条件3133x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪+≥⎩,则函数2z x y =-的最大值是A.1-B.0C.3D.66.若0,0a b >>且6a b +=,则下列不等式中恒成立的是 A.113ab ≥ B.1123a b +≤3≥≤7.已知1x >-,则函数11y x x =++的最小值为 A.1- B.0 C.1 D.28.设二次函数2()2f x ax x c =-+的值域是[0,)+∞,则11a c+的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.49.已知首项为正数的等差数列{}n a 中,122a a =-,则当3a 取最大值时,数列{}n a 的公差d 等于A.1-B.2C.3D.3-10.在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩所表示区域上的一动点,其中N 点的坐标是 (1,1),-若ON OM ⋅u u u r u u u u r 的最小值是1-,则实数m 的值是A.0B.2C.5D.611.某公司一年购买货物600吨,每次都购买x 吨(x 为600的约数),运费为每次3万元,一年的总存储费用为2x 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买A.20吨B.30吨C.40吨D.60吨12.已知函数()lg1x f x x=-,若()()0f a f b +=且0,1a b <<,则22a b +的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.12 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置.13.设函数216()(0)4x f x x x =>+,则函数()f x 的最大值是 14.已知,x y 满足约束条件3302202x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若目标函数2z ax y =+仅在点(1,0)处取得最小值,则实数a 的取值范围是15.已知lg lg 1x y +=,若225m m x y+>+恒成立,则实数m 的取值范围是 16.已知变量,x y 满足约束条件240140x y y x y k -+≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩,且目标函数2z x y =+的最小值是1-.则实数k =三、本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分) 已知函数263(),(),(0,)x x m f x g x x x x-+==∈+∞ (Ⅰ)求函数()f x 的值域;(Ⅱ)如果当[2,5]x ∈时,()()f x g x ≥恒成立,求实数m 的取值范围.18(本小题满分12分)设变量,x y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,若18()2x m y -⋅的最大值是16,求常数m 的值. 19(本小题满分12分)某建筑公司计划450万元购买甲型与乙型两款挖土机,购买总数不超过50辆,其中购买甲型挖土机每辆需要13万元,购买乙型挖土机每辆需要8万元,假设甲型挖土机的纯利润是每辆2万元,乙型挖土机的纯利润是每辆1.5万元为了利润最大化,要如何购买两种挖土机?20(本小题满分12分)设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为16,求ab 的最大值.21(本小题满分12分)某公司引进一高科技企业,投资81万元建设基本设施,第一年运营费为1万元,以后每年增加2万元,每年企业销售收入30万元.(Ⅰ)若扣除投资和运营费,从第几年开始获取纯利润?(Ⅱ)若干年后企业开发新产品,有两种处理方案:(1)纯利润总和最大时,以10万元出售该企业;(2)年平均利润最大时以46万元出售该企业.哪种方案更好?22(本小题满分12分)已知0,0x y >>且,x y 满足211x y+=求2z x y =+的最小值.解法如下: 2142()(2)448x y z x y x y x y y x =+=++=++≥+=,当且仅当4x y y x =即4,2x y ==时,2z x y =+取得最小值8.应用上述方法,求解下列问题:(Ⅰ)已知,,x y z 为正实数,且1111x y z++=,求49u x y z =++的最小值及取得最小值时的,,x y z 的值; (Ⅱ)已知1(0,)2x ∈,求函数1812y x x =+-的最小值.。
线性规划+基本不等式
一对一授课教案学员姓名：年级：所授科目：上课时间：年月日时分至时分共小时老师签名学生签名教学主题全国高考卷线性规划+基本不等式真题练习上次作业检查本次上课表现本次作业（全国1卷2015）(15)若x，y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 .（14）设x，y满足约束条件则z=x-2y的取值范围为__________.15. 若x,y满足约束条件20210220x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y的最大值为．（11）设x，y满足约束条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay=+的最小值为7，则a=A．-5 B. 3 C．-5或3 D. 5或-314．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x，y满足约束条件13,10,xx y≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z＝2x－y的最大值为______．（14）若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y=+的最大值为____________．9.设x,y满足约束条件70310350x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y=-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 29．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．214.若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--≤-+01201205y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为 .（9）设x,y 满足约束条件的最大值为则y x z y x y x y x 2033,01,01+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+ ( )(A)8 (B)7 (C)2 (D)13．设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z ＝2x －3y 的最小值是( )．A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3（14）若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为____________.1. 已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．6（16广州一模）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C ）1,17⎡⎤⎣⎦ （D ）2,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值范围是 ．知识点：基本不等式定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
THANKS
谢谢您的观看
迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
第12讲 线性规划及基本不等式(解析版)
第12讲 线性规划及基本不等式一．选择题（共39小题）1．（2020秋•南岗区校级期末）设变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为( )A ．0B ．3-C ．18D ．21【解析】解：作出变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩的可行域，如图所示的阴影部分，如图：由3z x y =-可得3y x z =-可得z -为该直线在y 轴上的截距，截距越小，z 越大， 作直线:30L x y -=，可知把直线平移到(6,0)A 时，z 最大， 故18max z =． 故选：C ．2．（2020秋•龙岗区期末）设实数x 、y 满足42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2z x y =+的最小值为( )A ．8-B ．6-C ．6D ．10【解析】解：由已知得到可行域如图：目标函数必须为2y x z =-+，当此直线经过图中(2,2)C --时z 最小，为226-⨯=-； 故选：B ．3．（2020•哈尔滨模拟）设x ，y 满足约束条件30320x x y y -⎧⎪+⎨⎪-⎩，则y x 的最大值为( )A ．0B ．23C ．32D ．2【解析】解：约束条件对应的区域如图：yx表示可行域中一点(,)x y 与坐标原点连线的斜率， 由23y x y =⎧⎨+=⎩解得(1,2)A ，由图形可知OA 的斜率取得最大值，即当1x =，2y =时yx取得最大值2． 故选：D ．4．（2020•漳州三模）已知变量x ，y 满足约束条件010x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：作出变量x ，y 满足约束条件010x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩对应的平面区域如图：由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线的纵截距最大，此时z最大，由1xy=⎧⎨=⎩，可知(1,0)A此时2102z=⨯+=，故选：C．5．（2020•河南模拟）设x，y满足约束条件13x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩，则2z x y=-的最大值为()A．3-B．1C．2D．3【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线2z x y=-过点A点时，目标函数2z x y=-的纵截距最小，此时z取得最大值，由13x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得(2,1)A时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故选：D．6．（2020•柯桥区模拟）若实数x ，y 满足3102340220x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪--⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3-B ．1-C ．0D ．2【解析】解：由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，平移直线20x y +=，当直线经过可行域的C 时，目标函数的截距取得最小值， 此时2x y +取得最小值．由220310x y x y --=⎧⎨++=⎩解得(0,1)C -，2x y +的最小值为：1-，故选：B ．7．（2020•浙江模拟）若实数x ，y 满足约束条件203101x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值是( )A ．2B ．94C ．134D ．154【解析】解：画可行域如图，目标函数2z x y =+，2z可看成是直线2z x y =+的纵截距，20310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得1(4A ，7)4， 画直线2z x y =+，平移直线过A 点时，目标函数的纵截距取得最大值．此时z 有最大值17152444+⨯=． 故2z x y =+的最大值为：154． 故选：D ．8．（2020•来宾模拟）设实数x ，y 满足不等式组4,2,4,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩则11y z x +=+的最小值为( )A ．13B ．15C ．13-D ．12-【解析】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，由44x y x +=⎧⎨=⎩，解得(4,0)C ，11y x ++表示平面区域内的点(,)x y 与(1,1)D --连线的斜率， 则11y z x +=+的最小值为15CD k =．故选：B ．9．（2020•青羊区校级模拟）若实数x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩，则11y z x -=+的最大值为( )A ．1B ．2C ．12D ．3【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩所对应的可行域（如图阴影），11y z x -=+的几何意义是可行域内的点与定点D 连线的斜率，由图象知可知DA 的斜率最大，此时DA 与直线20x y -+=重合， 即z 的最大值为1， 故选：A ．10．（2020•江西模拟）若点(,)x y 在不等式组1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩表示的平面区域内，则实数211y z x -=+的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．[2-，1]C ．1[2-，1]D ．[1-，1]2【解析】解：根据约束条件画出可行域，则实数1212211y y z x x --==++表示可行域内点Q 和点1(1,)2P -连线的斜率的最值的2倍， 当Q 点在原点C 时，直线PC 的斜率为12，当Q 点在可行域内的点B 处时，直线PQ 的斜率为14-，结合直线PQ 的位置可得，当点Q 在可行域内运动时，其斜率的取值范围是：1[2-，1]．故选：C ．11．（2020•浙江模拟）若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩，则32z x y =-的最大值是( )A ．0B ．2C ．4D ．5【解析】解：实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩的可行域如图：340x y x y +=⎧⎨--=⎩解得(1,1)B -， 32z x y =-化为：322zy x =-，平行直线320x y -=，当直线经过B 时， 目标函数的纵截距最小，目标函数取得最大值， 32z x y =-的最大值是：5，故选：D ．12．（2020•镇海区校级模拟）设x ，y R ∈且满足约束条件24240x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则3(z x y =- )A ．有最大值16，最小值83-B ．有最大值16，最小值0C ．有最大值83，最小值0D ．有最大值83，最小值43-【解析】解：x ，y R ∈且满足约束条件24240x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩，的可行域如图：4(3A -，4)3-，(4,4)B -，4(3C ，4)3围成的阴影部分，平移3z x y=-，经过A时，函数3y x z=-的纵截距z-取得最大值，此时目标函数取得最小值，最小值83 -，经过B时，目标函数的截距取得最小值，此时目标函数取得最大值：16，故选：A．13．（2020•4月份模拟）实数x，y满足不等式组12222x yx yx y+⎧⎪--⎨⎪+-⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为()A．3B．4C．5D．6【解析】解：由题意作出其平面区域，将2z x y=+化为2y x z=-+，z相当于直线2y x z=-+的纵截距，则由22010x yx y++=⎧⎨+-=⎩解得(4,3)A-，直线经过A时取得最大值．故2z x y =+的最大值是2435⨯-=， 故选：C ．14．（2020秋•双塔区校级期末）已知0a >，0b >，则28()()a b a b++的最小值为( )A ．4B ．8C ．12D ．18【解析】解：由282828()()1021018b a b a b a b a b a b++=++⨯=，当且仅当2b a =时取“=”．∴28()()a b a b++的最小值为18．故选：D ．15．（2020秋•咸阳期末）已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为( )A ．B ．C ．6D ．8【解析】解：因为0a >，0b >且31a b +=，则28228a b a b +⋅==， 当且仅当132a b ==即12a =，16b =时取等号，故选：A ．16．（2020秋•如东县期末）已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式492mx y+恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．1[,)2+∞B ．[1，)+∞C ．(0，1]D ．1(0,]2【解析】解：0xy >，且2x y +=，0x ∴>，0y >，∴4141411()()(4)(4(42222m m y mx x y m m m x y x y x y +=++=+++++=++，当且仅当4y mxx y=2y =时，等号成立，不等式492m x y +恒成立，∴19(422m ++，化简得，50m +，1，即1m ，m ∴的取值范围是[1，)+∞．故选：B ．17．（2020春•淮安期末）函数9()(2)2f x x x x =+>-的最小值为( ) A ．5B ．3C ．8D ．6【解析】解：99()222(2)28222f x x x x x x x =+=-++-+=---， 当且仅当922x x -=-，即5x =时，取等号． 所以函数()f x 的最小值为8． 故选：C ．18．（2019秋•淮安期末）函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】解：因为22(1)1y x x x =+>-， 22(1)222(1)2611x x x x =-++-+=--， 当且仅当22(1)1x x -=-即2x =时取等号，此时取得最小值6． 故选：C ．19．（2020秋•宝安区期末）已知正数x ，y 满足2230x xy +-=，则2x y +的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：2230x xy +-=，232x y x-∴=，2233333332223222222x x x x x y x x x x x-+∴+=+==+⋅．当且仅当3322x x=即1x =时取等号． 故选：A ．20．（2020秋•鼓楼区校级期末）已知0x >，0y >，且91x y +=，则11x y+的最小值是( )A ．10B ．12C ．14D ．16【解析】解：0x >，0y >，且91x y +=，∴11119(9)()1061016y x x y x y x y x y+=++=++=+=， （当且仅当9y x x y =且91x y +=即112x =，14y =取等号） 故选：D ．21．（2020秋•建邺区月考）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82【解析】解：因为0x >，0y >， 所以182x y xy =+， 所以81xy ，当且仅当9x y ==时等号成立， 故选：C．22．（2020秋•雨花区校级月考）已知2x >，则函数1()24f x x x =+-的最小值为( )A ．2B ．2+C ．2D ．【解析】解：2x >，240x ∴->， 1111()(24)222(22242242f x x x x x =+=-++++--当且仅当11(24)224x x -=-时取得最小值2+故选：A ．23．（2020秋•辽源期末）已知2x >，那么函数42y x x =+-的最小值是( ) A ．5B ．6C ．4D ．8【解析】解：已知2x >，则20x ->， 函数444(2)2226222y x x x x x =+=+-+=---， 当且仅当4x =时“=”成立， 故函数的最小值是6， 故选：B ．24．（2020秋•梅州期末）已知0x >，0y >，则94x y x y+++的最小值为( )A ．B ．10C ．12D ．【解析】解：0x >，0y >，94949()()210x y x y x x y x y x ∴+++=+++⨯+， 当且仅当3x =，2y =时，取得最小值10． 故选：B ．25．（2020春•越秀区期末）若0a >，0b >，且240a b +-=，则ab 的最大值是( )A ．12B ．1C ．2D ．4【解析】解：0a >，0b >，且240a b +-=，4222a b ab ∴=+，即2，即24ab ，2ab ∴，当且仅当22a b ==时取“= “，ab ∴的最大值是2，故选：C ．26．（2020秋•镜湖区校级期中）已知m ，0n >，4m n mn +=，则m n +的最小值为( ) A ．72B ．7C ．8D ．9【解析】解：4m n mn +=，∴411n m+=． 0m >，0n >，4144()()()5()529m n m m n m n n m n m n ∴+=++=+++，（当且仅当4m nn m=取等号）． 故m n +的最小值为9． 故选：D ．27．（2020秋•三明期中）已知0x >，0y >，且4x y +=，则xy 最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：0x >，0y >，且4x y +=， 由基本不等式可得，2()42x y xy +=，当且仅当2x y ==时，等号成立， 故xy 最大值为4． 故选：D ．28．已知0a >，0b >，且124a b+=，46a b +的最小值是( )A ．4B ．4+C ．8+D ．4+【解析】解：已知0a >，0b >，且124a b +=，则有11142a b+=，所以1123246(46)()13424422a b a a b a b a b b a b +=++=+++++ 当且仅当232a b b a =且11142a b+=时取等号，则46a b +的最小值是的最小值是4+ 故选：B ．29．（2020秋•嘉兴期末）已知0a >，0b >，且121a b +=，则2b a+的最小值为( )A ．B ．3C ．8D ．9【解析】解：已知0a >，0b >，且121a b+=， 则22122()(2)421525229b b a ab ab ab a a b ab ab +=++=+++=+++， 当且仅当22ab ab=且121a b +=时取等号，则2b a+的最小值为9． 故选：D ．30．（2020秋•岳麓区校级期末）已知正数x ，y 满足2021x y xy +=，则2120x y+的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】解：由2021x y xy +=得20211y x+=， 2021202120()()22222421202120212021x y x y x y y x y x +=++=++++=， 当且仅当20212120x y y x=且20211y x +=时，等号成立． 故选：C ．31．（2020秋•浙江期中）已知正实数x ，y ，a 满足2x y axy +=，若2x y +的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．6D ．9【解析】解：因为正实数x ，y ，a 满足2x y axy +=， 所以21a y x+=， 所以1211221292(2)()(5)(52)x y x y x y x y a y x a y x a a+=⨯++=+++=， 当且仅当22x y y x =且21a y x+=时取等号， 由题意可得，93a=， 解得，3a =， 故选：B ．32．（2020秋•西湖区校级期中）下列说法正确的是( ) A ．若a b <，则11a b> B ．若0a b c >>>，则b b ca a c+<+ C ．若a ，b R ∈，则2b a a b+ D ．若a ，b R ∈，则22a b aba b++ 【解析】解：A 当1a =-，1b =时，满足a b <，但是11a b<，A 不成立； 由0a b c >>>，则()0()()b bc ab bc ab ac c b a a a c a a c a a c ++----==<+++， 故b b ca a c+<+，B 成立； 当0ab <时，C 显然不成立，由a ，b R ∈，222()4()22()2()a b ab a b ab a b a b a b a b ++---==+++正负不确定，D 不成立． 故选：B ．33．（2020秋•文山州月考）若a ，b 为正实数，且1123a b+=，则3a b +的最小值为( ) A ．2B ．32C ．3D ．4【解析】解：1111313(3)()(11)(22)223232a b a b a b a b b a +=++=++++=，当且仅当33a b b a =时，即13a =，1b =时，取得最小值2， 故选：A ．34．（2020秋•秦淮区校级月考）已知正数a ，b 满足10ab =，则25a b +的最小值是( ) A ．10B ．20C ．15D ．25【解析】解：因为正数a ，b 满足10ab =，则2521020a b ab +=，当且仅当25a b =且10ab =即5a =，2b =时取等号， 故选：B ．35．（2020秋•玄武区校级月考）若正实数a ，b 满足10ab =，则25a b+的最小值为( )AB ．CD ．2【解析】解：因为正实数a ，b 满足10ab =， 所以251022a b ab +=，当且仅当25a b=且10ab =即5b =，2a =时取等号， 故选：D ．36．（2020秋•山东月考）若0x >，0y >，1x y +=，且14xm x y+>恒成立，则实数m 取值范围为( ) A ．(,3)-∞B ．(,6)-∞C ．(,5)-∞D ．(,9)-∞【解析】解：0x >，0y >，且1x y +=， 则14441125x x y x y x y m x y x y x y x ++=+=+++⨯>（当且仅当223y x ==取等号）， ∴成立的实数m 的取值范围是：5m <．故选：C ．37．（2020•浙江学业考试）已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是( )A ．1BCD ．12【解析】解：因为221x y +=，则22122x y xy +=，当且仅当x y ==故选：D ．38．（2020•道里区校级四模）若正实数a ，b 满足112a b+ab 的最小值为( )AB ．C ．4D ．8【解析】解：正实数a ，b满足111222a b ab+=， 解可得，2ab ，当且仅当112a b=时取等号， 则ab 故选：A ．39．（2020春•安徽期末）已知0a >，0b >，且2a b +=，则22a b+的最小值是( ) A ．4B ．6C ．8D ．2【解析】解：由题意可得，222224a b a b b a b a b a b a b a b+++=+=+++=，当且仅当a b =时取等号， 故选：A ．二．多选题（共1小题）40．（2020秋•辽阳期末）已知1x >，则251x x +-的值可以为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】解：由1x >，得10x ->， 所以2525(1)12(1)11111x x x x x +=-++-=--， 当且仅当2511x x -=-时等号成立， 故选：CD ．三．填空题（共4小题）41．（2020秋•太原期末）设变量x ，y 满足约束条件02360x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 3 ．【解析】解：变量x ，y 满足约束条件02360x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩的可行域如图目标函数2z x y =+， 点(1,1)A ，3A z =， (2,0)B ，2204B z =⨯+=； (3,3)C ，2339C z =⨯+=，z 在点A 处有最小值：3，故答案为：3．42．（2020秋•黄埔区校级期末）已知3x <，则43x x +-的最大值为 1- ． 【解析】解：3x <，30x ∴-<，∴44(3)32(3133x x x x x +=+-+--=---， 当且仅当433x x =--即1x =时取等号， 故()f x 的最大值为1-， 故答案为：1-．43．（2020秋•朝阳区期末）已知0x >，0y >，且2x y +=，则xy 的最大值为 1 ． 【解析】解：因为0x >，0y >，且2x y +=， 所以由基本不等式可得，2()12x y xy +=， 当且仅当1x y ==时，等号成立， 故xy 最大值为1． 故答案为：1．44．（2020秋•唐山期末）当0x >时，函数2()1x f x x =+的最大值为 12． 【解析】解：0x >，∴211()11212x f x x x x x ===++⋅，当且仅当1x =时取“= “， 故答案为：12．。
2023届二轮专练_专题三 不等式_第1讲 基本不等式与线性规划(含答案)
2023届二轮专练_专题三 不等式_第1讲 基本不等式与线性规划一、填空题（共17小题）1. 不等式组 {y ≤−x +2,y ≤x −1,y ≥0 所表示的平面区域的面积为 ． 2. 若 x ，y 满足约束条件 {2x +y ≥4,x −y ≥1,x −2y ≤2, 则 z =x +y 的最小值是 ． 3. 已知函数 f (x )=x +1x −2(x <0)，那么 f (x ) 的最大值为 ． 4. 若 x >0，y >0，且 log 3x +log 3y =1，则 1x +1y 的最小值为 ．5. 设 x,y ∈R ，a >1，b >1，若 a x =b y =2，a +√b =4，则 2x +1y 的最大值为 ．6. 设实数 x ，y 满足 x 2+2xy −1=0，则 x 2+y 2 的最小值是 ．7. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0, 则 z =x +y 的最大值为 ． 8. 若变量 x ，y 满足约束条件 {x +y ≤2,2x −3y ≤9,x ≥0, 则 x 2+y 2 的最大值是 ．9. 若实数 x ，y 满足约束条件 {x +y −3≥0,x −y −3≤0,0≤y ≤1, 则 z =2x+y x+y 的最小值为 ． 10. 若 0<x <1，则当 f (x )=x (4−3x ) 取得最大值时 x 的值为 ． 11. 已知 a >0，b >0，a ，b 的等比中项是 1，且 m =b +1a ，n =a +1b，则 m +n 的最小值是 ．12. 若实数 x ，y 满足约束条件 {2x −y ≤0,x +y ≤3,x ≥0,则 2x +y 的最大值为 ．13. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域{x −2≤0,x +y ≥0,x −3y +4≥0中的点在直线 x +y −2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则 AB = ． 14. 函数 y =2√x 2+4 的最小值为 ．15. 设 x ，y ，z 均为大于 1 的实数，且 z 为 x 和 y 的等比中项，则 lgz 4lgx +lgz lgy 的最小值为 ．16. 已知 a >b >1，且 2log a b +3log b a =7 ，则 a +1b 2−1 的最小值为 ．17. 若正实数 x ，y 满足 (2xy −1)2=(5y +2)(y −2)，则 x +12y 的最大值为 ．二、解答题（共1小题）18. 某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．（1）试求新建道路交叉口的总造价y（单位：万元）与x的函数关系式；（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数，并说明理由．的20%，且k≥3．问：P能否大于120答案1. 142. 23. −44. 2√335. 46. √5−127. 328. 109. 5310. 2311. 412. 413. 3√214. 52【解析】y=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为y=t+1t在[2,+∞)上为增函数，所以当t=2时，y min=2+12=52，所以当且仅当x=0时，y min=52．15. 98【解析】因为z为x和y的等比中项，所以z2=xy．两边同时取以e为底的对数得，ln(z2)=ln(xy)，即2lnz=lnx+lny．因为x，y，z>1，所以lnx，lny，lnz>0，所以lgz 4lgx +lgzlgy=lnx+lny8lgx+lnx+lny2lgy=18+18×lnylnx+12+12×lnxlny≥58+2√18×lnylnx×12×lnxlny=98.当且仅当y=x2时" = "号成立．所以最小值为98．16. 3【解析】提示：因为a>b>1，所以t=log a b<1，又因为2log a b+3log b a=7，所以2t+3t=7，解得t=12，或t=3（舍去），所以t=log a b=12，所以b2=a，所以a+1b2−1=a−1+1a−1+1≥2√(a−1)1a−1+1=3，当且仅当a−1=1a−1，即a=2且b=√2时，取等号．17. 3√22−1【解析】方法一：令x+12y=t．则2xy=2ty−1，代入已知等式，得(2ty−2)2=(5y+2)(y−2)，整理得(4t2−5)y2+8(1−t)y+8=0．因为总存在正实数y使得等式成立，所以Δ=64(1−t)2−32(4t2−5)≥0，即2t2+4t−7≤0，解得−3√22−1≤t≤3√22−1．当t=3√22−1时，y=−8(1−t)2(4t2−5)=8+6√2为正值，所以x+12y 的最大值为3√22−1．方法二：由题意知(x−12y )2=(52+1y)(12−1y)，整理得(x−12y)2+(1y+1)2=94．令x−12y =32cosα，1y+1=32sinα，其中α∈R，且x,y>0，所以12y =34sinα−12，x=32cosα+34sinα−12，所以x+12y =32cosα+32sinα−1≤3√22−1．即所求的最大值为3√22−1．18. （1）由题意知y=mkn=mk(ax+5),x∈N∗．（2）方法一：由题意知x=0.2a，所以P=mxy=xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)≤a3(a2+25)=13(a+25a)≤3×2√a×25a=130<120.答：P不可能大于120．方法二：由题意知x=0.2a，所以P=mxy =xk(ax+5)=0.2ak(0.2a2+5)=ak(a2+25)．假设P>120，得ka2−20a+25k<0．因为k≥3，所以Δ=100(4−k2)<0，不等式ka2−20a+25k<0无解．故P不可能大于120．答：P不可能大于120．。
第一章 线性规划
线性规划
【开篇案例】
一、人力资源分配的问题
某旅行社为了迎接旅 游黄金周的到来，对一日 游导游人员的需求经过统 计分析如表所示。为了保 证导游充分休息，导游每 周工作 5天，休息两天， 并要求休息的两天是连续 的。问应该如何安排导游 人员的作息，既满足工作 需要，又使配备的导游人
下午5时14分
什么是规划？
• 以上问题无一例外都属于规划问题，涉及到求解最大值 和最小值
• 人们经常谈规划，比如国家有5年规划、10年规划、城市 有城市规划，个人有自己的人生规划.
• 规划是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优 的全面、理性的计划
下午5时14分
线性规划
• 线性规划简介： • 运筹学中最成熟的一个分支 • 静态规划：单周期决策
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
1. 模型隐含假定
作为严密的数学模型，线性规划蕴含着以下假定： （1）线性化假定
函数关系式f(x)= c1x1+c2x2+… +cnxn，称线性函数。 经济学中大多数函数都是非线性，通过偏导求最优。但在企业
运营决策中，经常考虑比较短时间内的计划安排，通过线性化 更便于应用。
乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
线性规划
x12 x13
线性规划的典型实例
运输问题
数学模型
10x11 min f s.t. x11 x12 x 21 x 22 x11 x 21 x12 x13 x ij x 22 x 23 0 (i 1, 2; j 12x12 9x13 x13 35 x 23 55 26 38 26 1, 2, 3) 8x 21 11x 22 13x 23
基本解不是线性规划问题的解，而是仅满足约束方程组的解
线性规划问题中解的概念
可行解、可行域
上面的分析仅考虑了约束方程组Ax=b，下面进一步考虑线性规划问题的非负 约束。我们称既满足约束方程组Ax=b，又满足非负约束x≥0的解为线性规划 问题的可行解，即可行解满足线性规划问题的所有约束。可行解的集合称为可 行域，记作：
下面将分步骤详细分析如何获得这个线性规划问题的解，同时介绍在这类问题 中的几个概念
线性规划问题中解的概念
基本解
如果线性规划问题的解存在，则它必定是满足Ax=b的有限多个“基本解”中 选出的，那么我们的第一个任务就是找出满足方程Ax=b的基本解 假设独立方程的个数为m个，故Ax=b的系数矩阵A的秩为m，于是A中必有m 个列向量是线性无关的，不妨假设A中的前m个列向量线性无关，则这m个列 向量可以构成矩阵A的m阶非奇异子矩阵，用矩阵B表示：
D x | Ax b, x 0
基本可行解
特别的，若线性规划问题的基本解能够满足线性规划问题中的非负约束，即：
xB B 1b 0
则称该解xB为基本可行解，简称基可行解，称B为可行基。基可行解的数量不 m 会超过 C n 个。显然，基本可行解一定是可行解，基可行解是可行域中一种特 殊的解
最优解
《线性规划与基本不等式》的案例分析
高考考点:《不等关系、线性规划与基本不等式》的案例分析一、高考要求1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景。
2.一元二次不等式（1）会从实际背景中抽象出一元二次不等式模型。
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元二次不等式组。
（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
4.基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程。
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、规律分析【规律总结】全面分析这六年来的试题，可以看出，山东卷全面落实考纲对这一部分的规定，考查不等式的解法、线性规划和基本不等式的应用，每年的考查形式稍有变化，但总体上考点不变。
具体来说，有这样的规律：（1）文科几乎每年涉及一元二次不等式的解法。
理科涉及绝对值不等式的解法较多，一般与集合、函数的定义域求解结合较多，以选择题为主。
（2）几乎每年都考查线性规划问题，并且基本上都是以填空题和选择题的形式出现，只有20XX年在填空题中考查了基本不等式，分析发现20XX年以前山东高考是填空题的形式进行考查，20XX年之后，则改为以选择题的形式考查。
（2）从20XX年开始，山东高考考查线性规划的比重和难度在逐渐增加，20XX年只是考查求线性规划的最大值问题，20XX年的高考既考查求最大值又增加了求最小值，这两年都设计一个小题，2013则是设计了两个小题，并且与解析几何相结合，难度教以往有所增加。
20XX年将线性规划问题文科放在了第10，理科在9，难度再次增大。
（3）高考对基本不等式的考查，通常是与函数的最值、解析几何相结合，一般出现在文科试卷的最后一题的最后一问，理科试卷则是出现在倒数第二题的最后一问，难度很大。
不等式简单线性规划课件理ppt
不等式简单线性规划课件理ppt
xx年xx月xx日
不等式的概念及分类线性规划的基本理论线性不等式的解法线性规划问题的求解实际应用案例分析研究展望及未来发展趋势
contents
目录
不等式的概念及分类
01
不等式是表示两个数或两个量之间关系的式子，用“<”(小于)、“>”(大于)、“≤”(小于等于)、“≥”(大于等于)、“≠”(不等于)等符号连接两个数或量
03
利用MATLAB求解线性不等式，可以在命令窗口输入以下命令：`A*x<=b`，其中A是系数矩阵，x是变量向量，b是不等式右侧的常数向量。
利用Excel求解线性不等式，可以在Excel中输入相应的函数，如：`=solve(f,x)`，其中f是不等式表达式，x是变量。
线性不等式的求解方法
在生产计划中，线性不等式可以用来描述各个资源的约束条件，如人力、设备、时间等。
线性规划问题的求解
04
适用于变量较少的情况，通过绘制图形进行求解，直观易懂。
图解法
适用于大部分线性规划问题，利用单纯形法进行求解，简单易学。
单纯形法
在单纯形法的基础上进一步优化，可以有效解决对偶问题。
对偶单纯形法
线性规划问题的求解方法
03
金融投资
在金融投资领域，利用线性规划可以确定最优的投资组合和风险控制方案。
优化运输路径
根据运输距离、运输重量等因素，合理确定运输费用。
确定运输费用
运输问题
研究展望及未来发展趋势
06
完善不等式简单线性规划的理论体系
研究展望
拓展应用领域
加强算法优化
推进软件实现
随着不等式简单线性规划应用领域的不断拓展，其理论研究方向也将不断丰富和发展，涉及更广泛的应用背景和更复杂的数学模型。
不等式线性规划基本不等式
不等式线性规划基本不等式不等式知识归纳：1、实数大小比较的基本事实：(1) a>b ?_______; (2) a=b ?_______ ; (3) a(1）对称性a>b ?b___a; （2）传递性：a>b,b>c ?a____c; （3）a>b, ?a+c____b+c; （4）a>b,c>0?ac___bc;（5）a>b,c<0?ac___bc; （6）a>b>0?n n b ___a (2n ,N n ≥∈); （7）a>b>0?n n b ___a (2n ,N n ≥∈) （8）a>b,c>d ?a+c____b+d; (9) a>b>0,c>d>0?ac____bd;(10)a>b,ab>0?a 1___b1. 3、含有绝对值的不等式的解法：><)0a (a x __________ ?>>)0a (a x ___________ 4、分式不等式：课堂基础训练：1、设d c b a R d c b a >>∈,.,,,且，且下列结论中正确的是( )A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cb d a >2、如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（）（A ）11a b < （B （C ）22a b < （D ）||||a b > 3、若,011<；③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 8、不等式112x <的解集是（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2)D ．()0,∞-?(2,)+∞9、不等式311<+<="" a="" b="" c="" d="" p="" 的解集为（="" ）="" ．())2,0(2,4="" ．())4,2(0,2="" ．()0,4-="" ．()2,0="">简单线性规划知识归纳：1、二元一次不等式表示的区域对于直线0=++C By Ax当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax （）区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的（）区域当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax （）区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的（）区域.2、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.例1、画出不等式组??≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域即时训练：不等式组5000x y x y x -+≥??+≥??≤?表示的平面区域的面积为________例2、设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x-≤-??+≤??≥?，求z 的最大值和最小值.即时训练：设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ??+??-?，，．≥≤≥，求3z x y =-的最小值课后巩固练习：1、画出下列二元一次不等式表示的平面区域:(1) ≤≥+≥+-3,0,05x y x y x ; (2)??≥≤-+≥+-10623012y y x y x2、设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ?--?+?-<?，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（）Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．142、已知实数x 、y 满足2203x y x y y +≥??-≤?≤≤?，则2Z x y =-的取值范围是线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。