2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末检测数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末检测数学（理）试题一、单选题1．已知点(3,0,4)A -，点A 关于原点的对称点为B ，则||AB =（ ） A ．25 B ．12C ．10D ．5【答案】C【分析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可. 【详解】因为点(3,0,4)A -关于原点的对称点为B ，所以(3,0,4)B -, 因此222||(33)(00)(44)10AB =--+-++=， 故选：C2．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k 为（ ） A ．40 B ．30C ．20D ．12【答案】B【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果. 【详解】由总数为1200，样本容量为40， 所以抽样距为：12003040k == 故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.3．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）A ．13时~14时B ．16时~17时C ．18时~19时D ．19时~20时【答案】B【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可 【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间故选：B .【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题. 4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A ．33+22B ．33+C ．332+D ．33+2【答案】A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O ABC -， 其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形， 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1， 故其表面积为()213333112242+⨯⨯⨯+⨯=， 故选：A.5．下面四个说法中，正确说法的个数为（ ）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面； （3）若M α∈，M β∈，l αβ=，则M l ∈；（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理3判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 利用平面的基本性质中的公理3判断（3）正确；空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确， 综上所述只有一个说法是正确的， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.6．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D【分析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K 为1BB 的四等分点，L 为1CC 的中点，M 为1DD 的四等分点，1,2BK CL ==， 取1AA 的中点N ，易证//KN LM ，则异面直线AK 和LM 所成角即直线AK 和KN 所成角AKN ∠， 在AKN △中，2AK NK ==2AN =， 故90AKN ∠= 故选：D7．从编号分别为1,2,3,4,5的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【分析】利用古典概型计算公式计算即可【详解】从编号分别为1,2,3,4,5的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球共有3510C =种不同的取法,恰好有两个小球编号相邻的有:(1,2,4),(1,2,5),(2,3,5),(3,4,1)，(4,5,1),(4,5,2),共有6种 所以概率为63105P == 故选:C8．已知实数x ，y 满足40300x y y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则1x y z x +=+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．43D ．3【答案】A【分析】画出不等式组所表示的平面区域，利用直线的斜率公式模型进行求解即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：1111x y y z x x +-==+++，代数式11y x -+表示不等式组所表示的平面区域内的点与点(1,1)A -连线的斜率，由图象可知：直线BA 的斜率最大，由301403y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，即()1,3B ，即11y x -+的最大值为：31111-=+，因此1x y z x +=+的最大值为2，故选：A9．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大的．”如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点2()1,M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．1或7-D ．2或7- 【答案】A【分析】根据米勒问题的结论，P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点，设圆心C 的坐标为(),a b ，写出圆的方程，并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标.【详解】解：设圆心C 的坐标为(),a b ，则圆的方程为()()222x a y b b -+-=，将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()2222221214a b ba b b⎧--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩（舍去），因此，点P 的横坐标为1，故选：A.10．已知点()2,3A -，()3,2B --，直线l ：10mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≤-或34m ≥ B ．34m ≤-或4m ≥C ．344m -≤≤ D ．344m -≤≤【答案】A【分析】由()11y m x =--+可求出直线l 过定点()1,1P ，作出图象，求出PA k 和PB k ，数形结合可得PA m k -≤或PB m k -≥，即可求解.【详解】由10mx y m +--=可得：()110m x y -+-=，由1010x y -=⎧⎨-=⎩可得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l ：10mx y m +--=过定点()1,1P ，由10mx y m +--=可得()11y m x =--+， 作出图象如图所示：31421PA k --==--，213314PB k --==--， 若直线l 与线段AB 相交，则4m -≤-或34m -≥，解得34m ≤-或4m ≥， 所以实数m 的取值范围是4m ≤-或34m ≥， 故选：A.11．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱A 1B 1上一点，且AB ＝2，若二面角B 1﹣BC 1﹣E 为45°，则四面体BB 1C 1E 的外接球的表面积为（ ） A ．172π B ．12π C ．9π D ．10π【答案】D【分析】连接1B C 交1BC 于O ，可得11B O BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得：1BC ⊥平面1B OE ，于是1BC EO ⊥，可得而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，再求出四面体11BB C E 的外接球半径R ，进而利用球的表面积计算公式得出结论．【详解】连接1B C 交1BC 于O ，则11B O BC ⊥， 易知111A B BC ⊥，则1BC ⊥平面1B OE ， 所以1BC EO ⊥，从而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角， 则145B OE ∠=.因为2AB =，所以11B E BO == 所以四面体11BBC E的外接球半径R ==故四面体BB 1C 1E的外接球的表面积为2410ππ=． 故选：D【点睛】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知圆C ：22(2)2x y -+=，点P 是直线l ：420x y --=上的动点，过点P 引圆C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则直线AB 经过定点（ ） A ．21(,)33-B ．21(,)33-C ．21(,)33--D ．21(,)33【答案】D【分析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】因为PA 、PB 是圆C 的两条切线，所以,PA AC PB BC ⊥⊥，因此点A 、B 在以PC 为直径的圆上，因为点P 是直线l ：420x y --=上的动点，所以设(,42)P m m -，点(2,0)C ，因此PC 的中点的横坐标为：22m +，纵坐标为：42212m m -=-，12PC =PC 为直径的圆的标准方程为： 22221()(21)(17208)(1)24m x y m m m +-+-+=-+，而圆C ：22(2)2(2)x y -+=， (1)(2)-得：(2)(42)220m x m y m ---+-=，即为直线AB 的方程，由(2)(42)220222(42)m x m y m x y m x y ---+-=⇒+-=+- 22220342013x x y x y y ⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎪⎩，所以直线AB 经过定点21(,)33，故选：D【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点A 、B 在以PC 为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键. 二、填空题13．已知茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y +的值为__________．【答案】9【分析】根据中位数、平均数的定义，结合茎叶图进行计算求解即可. 【详解】根据茎叶图可知：甲组5名学生在一次英语听力测试中的成绩分别9,12,10,22,27x +； 乙组5名学生在一次英语听力测试中的成绩分别8,10,15,18,24y +， 因为甲组数据的中位数为14，所以有10144x x +=⇒=， 又因为乙组数据的平均数为16，所以有8101518241655y y +++++=⇒=，所以459x y +=+=， 故答案为：914．过圆222440x y x y +-+-=内的点(3,0)M 作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是______． 【答案】30x y +-=【分析】由已知得圆222440x y x y +-+-=的圆心为()12C -，，所以当直线l MC ⊥时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程.【详解】解：由222440x y x y +-+-=得()()221+29x y -+=，所以圆222440x y x y +-+-=的圆心为()12C -，， 所以当直线l MC ⊥时，被该圆截得的线段最短，所以20113l k --⋅=--，解得1l k =-， 所以直线l 的方程为()3y x =--，即30x y +-=， 故答案为：30x y +-=.15．秦九韶出生于普州（今资阳市安岳县），是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个n 次多项式写成n 个一次式相组合的形式，如可将5432()421022f n n n n n n =---++写成()((((1)4)2)10)22f n n n n n n =---++，由此可得(5)f =__________． 【答案】2022【分析】利用代入法进行求解即可.【详解】(5)((((51)54)52)510)522(((204)52)510)522((802)510)522(39010)5222000222022.f =-⋅-⋅-⋅+⋅+=-⋅-⋅+⋅+=-⋅+⋅+=+⋅+=+=故答案为：202216．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =，点O 为底面四边形ABCD 的中心，点P 在侧面四边形11BB C C 的边界及其内部运动，若1D O OP ⊥，则线段1C P 长度的最大值为__________．【分析】根据正四棱柱的性质、矩形的性质，线面垂直的判定定理，结合勾股定理进行求解即可.【详解】当P 位于点C 时，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，由正四棱柱的性质可知，1DD ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ， 所以1DD AC ⊥，因为11,,DD BD D DD BD =⊂∩平面11D DBB ， 所以OC ⊥平面11D DBB ，1D O ⊂平面11D DBB ， 所以1D O OC ⊥，因此当P 位于点C 时，满足题意， 当点P 位于1BB 边点1P 时，若11D O OP ⊥，在矩形11D DBB 中，114,2DD DO BO ====因为111190POB D OD D OD DD O ︒∠+∠=∠+∠=， 所以11POB DD O ∠=∠，因此11Rt POB Rt DD O ∽，所以有11112PB OB PB DO DD =⇒==，此时1117422PB =-=， 又11,,OP OC O OP OC =平面1OPC，所以1D O ⊥平面1OPC ，故点P 的轨迹在线段1PC 上， 2211111149654442PC B C B P =+=+=>， 所以线段1C P 长度的最大值为652. 故答案为：652【点睛】关键点睛：利用特殊点判断出点P 的轨迹是解题的关键. 三、解答题17．有1000人参加了某次垃圾分类知识竞赛，从中随机抽取100人，将这100人的此次竞赛的分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图.（1）求图中a 的值；（2）估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数.【答案】（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出图中a 的值；（2）先求出竞赛分数不少于70分的频率，由此能估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）由频率分布直方图的性质能估计总体1000人的竞赛分数的平均数． 【详解】（1）由频率分布直方图得：(0.0100.0150.0200.015)101a ++++⨯=，解得0.040a =．∴图中a 的值为0.040．（2）竞赛分数不少于70分的频率为：1(0.0100.015)100.75-+⨯=，∴估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数为10000.75750⨯=．（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替， 估计总体1000人的竞赛分数的平均数为：0.01010550.01510650.04010750.02010850.015109576.5x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．【点睛】本题主要考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，1AC 与1A C 交于点D ，E 为1BC 的中点，(1)求证：//DE 平面111A B C ； (2)求证：平面1AC B ⊥平面1A BC ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ， 且四边形11ACC A 为平行四边形，又11AC A C D =，则D 为1AC 的中点，又E 为1BC 的中点，故//DE AB ，即：11//DE A B ，且DE ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ， 所以//DE 平面111A B C ； (2)在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 则1AA BC ⊥，且AC BC ⊥，1AA AC A =，1AA AC ⊂，平面11ACC A ，故BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥， 又在平行四边形11ACC A 中，1AC CC =， 则四边形11ACC A 为菱形，所以11A C AC ⊥，且1BCAC C =， 1BC A C ⊂，平面1A BC ，故1AC ⊥平面1A BC ，因为1AC ⊂平面1AC B ，所以平面1AC B ⊥平面ABC .19．己知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y．(1)当直线l l 与圆C 相交所得的弦长；(2)设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程．【答案】(1)(2)y x =或y x =-【分析】（1）、由题意可知直线l 的方程为y =，圆C 的圆心为()0,3求出圆心到直线l 的距离，根据勾股定理即可求出l 与圆C 相交所得的弦长；（2）、设()11,A x y ，因为A 为OB 的中点，所以()112,2B x y ，又因为A ，B 均在圆C 上，将A ，B 坐标代入圆C 方程，即可求出A 点坐标，即可求出直线l 的方程． (1)由题意：直线l 过坐标原点O ，且直线l 直线l 的方程为y =，圆C 的方程为22640x y y ∴圆C 的方程可化为：()2235x y +-=∴圆C 的圆心为()0,3，半径为R =∴圆C 的圆心到直线l：y =的距离为d ==l ∴与圆C相交所得的弦长为L =(2)设()11,A x y ，A 为OB 的中点 ∴()112,2B x y ，又A ，B 均在圆C 上，()()2211122111640221240x y y x y y ⎧+-+=⎪∴⎨+-+=⎪⎩2211122111640441240x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩ 2211122111640310x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩1111x y =±⎧∴⎨=⎩ ∴()1,1A 或()1,1A -∴直线l 的方程y x =或y x =- 20．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x （单位：年）与失效费y （单位：万元）的统计数据如下表所示：（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距最小二乘估计计算公式：()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：()()71i i i x xy y =--=14.00∑，()7217.08i i y y=-=∑14.10．【答案】（1）答案见解析；（2）ˆ0.5 2.3y x =+；失效费为6.3万元． 【分析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数r 可得结果；（2）根据公式求出ˆb和ˆa 可得y 关于x 的线性回归方程，再代入8x =可求出结果. 【详解】（1）由题意，知123456747++++++==x ，2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.904.307y ++++++==，()()()()()()()()72222222211424344454647428i i x x=-=-+-+-+-+-+-+-=∑．∴结合参考数据知：14.0014.0014.000.9914.10287.08198.24r ==≈≈⨯．因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）∵()()()7172114ˆ0.528iii i i x x y y bx x==--===-∑∑， ∴ˆ 4.30.54 2.3ˆy abx -==-⨯=． ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.5 2.3yx =+， 将8x =代入线性回归方程得ˆ0.58 2.3 6.3y=⨯+=万元， ∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元．21．已知正三棱柱底面边长为6，M 是BC 上一点，1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，(1)证明：M 是BC 的中点； (2)求二面角1M AC C --的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)45.【分析】（1）根据正棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、直角三角形的性质、正三角形的性质进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义进行求解即可. (1)证明：在正三棱柱中，1CC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则1CC AM ⊥, 又1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则1AM C M ⊥，且111CC C M C ⋂=，11CC C M ⊂，平面11BCC B ， 故AM ⊥平面11BCC B ，而BC ⊂平面11BCC B ，所以AM BC ⊥， 又ABC 为正三角形，所以M 为BC 的中点； (2)在正ABC 中，取AC 的中点为O ，则BO AC ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，则1CC BO ⊥，且1AC CC C =，1AC CC ⊂，平面11ACC A ， 故BO ⊥平面11ACC A ，取OC 的中点为N ，且BC 的中点为M ，则//MN OB ， 故MN ⊥平面11ACC A ，而1AC ⊂平面11ACC A ，所以1MN AC ⊥，在等腰直角1AMC 中，取1AC 的中点为D ，则1AC DM ⊥，MN DM M ⋂=，MN DM ⊂，平面MND ，所以1AC ⊥平面MND ，而DN ⊂平面MND ，所以1AC DN ⊥， 故MDN ∠为二面角1M AC C --的平面角，又132sin 602C M AM BO ====，则12MN BO ==，11322DM AC AM ===，所以在Rt MND △中，sin MN MDN DM ∠==45MDN ∠=， 故二面角1M AC C --的大小为45.：22．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与x 轴正半轴相切，且被直线l ：0x y -=截得的弦长为27（1）求圆C 的方程；（2）设点A 在圆C 上运动，点()7,6B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ. ①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；②试探究：在直线l 上是否存在定点T (异于原点O )，使得对于Γ上任意一点P ，都有PO PT为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）()()22139x y -+-=；（2）①()()22551x y -+-=，Γ是圆；②存在， 4949,1010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）设圆心(),3t t ，根据题意，得到半径3r t =，根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出1t =±，从而可得圆心和半径，进而可得出结果；（2）①设(,)M x y ，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到143123A Ax x y y =-+⎧⎨=-+⎩，代入圆C的方程，即可得出结果； ②假设存在一点(),D t t 满足PO PTλ=（其中λ为常数），设(),P x y ，根据题意，得到λ=，再由①，得到()()22551x y -+-=，两式联立化简整理，得到()()22222221010210102494920x t y t t λλλλλλ-++-+-+=-，推出2222210102049249t t λλλλ⎧-+=⎨-⋅=⎩，求解得出t ，即可得出结果. 【详解】（1）设圆心(),3t t ，则由圆与x 轴正半轴相切，可得半径3r t =. ∵圆心到直线的距离d ==，由2272r t +=，解得1t =±.故圆心为()1,3或()1,3--，半径等于3. ∵圆与x 轴正半轴相切∴圆心只能为()1,3故圆C 的方程为()()22139x y -+-=；（2）①设(,)M x y ，则：AM =(),A A x x y y --，()7,6MB x y =--，∴142122A A x x x y y y -=-⎧⎨-=-⎩∴143123A A x xy y =-+⎧⎨=-+⎩∵点A 在圆C 上运动∴()()22314131239x y --+--= 即：∴()()223153159x y -+-=∴()()22551x y -+-= 所以点M 的轨迹方程为()()22551x y -+-=， 它是一个以()5,5为圆心，以1为半径的圆； ②假设存在一点(),D t t 满足PO PTλ=（其中λ为常数）设(),P x yλ=整理化简得：()222222222x y x tx t y ty t λ+-++-+=，∵P 在轨迹Γ上，∴()()22551x y -+-=化简得：22101049x y x y +=+-，所以()22101049101292042x y x y tx ty t λ--+-+-=+整理得()()22222221010210102494920x t y t t λλλλλλ-++-+-+=-∴2222210102049249t t λλλλ⎧-+=⎨-⋅=⎩， 解得：4910t =； ∴存在4949,1010D ⎛⎫⎪⎝⎭满足题目条件. 【点睛】本题主要考查求圆的方程，考查圆中的定点问题，涉及圆的弦长公式等，属于常考题型.。
2021-2022学年四川省泸州市高二(上)期末数学试卷(理科)
2021-2022学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）双曲线x2﹣y2＝2的渐近线的斜率是（）A．1B．±1C．﹣1D．2．（5分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则3．（5分）在空间直角坐标系中，方程x2+y2+z2＝4所表示的图形是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．球4．（5分）某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其售价进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示．按公式计算，y与x的回归直线方程是，则下列说法错误的是（）售价x99.51010.511销售量y1110865A．B．售价变量x每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8D．销售量与售价成正相关5．（5分）已知条件p：m＞3，条件q：+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝8，则输入的k可能为（）A．9B．5C．4D．37．（5分）一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（）A．B．C．D．18．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有两个命题：p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α；p2：若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．则下列命题中为真命题的是（）A．p1∧p2B．（￢p1）∧p2C．p1∨（￢p2）D．￢（p1∨p2）9．（5分）如图，两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切．已知时，在两相交大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）动点P，Q分别在抛物线x2＝4y和圆x2+y2﹣8y+13＝0上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）设双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与曲线的右支交于A，B两点，若|F1A|＝|AB|＝2|F1B|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．412．（5分）对于圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）上任意一点P（x，y），|x ﹣y+m|+|x﹣y+n|（m≠n）的值与x，y无关，有下列结论：①当时，r有最大值1；②在r取最大值时，则点（a，b）的轨迹是一条直线；③当时，则n∈[6，+∞），其中正确的个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）某中学高三（2）班甲，乙两名同学自高中以来每次考试成绩的茎叶图如图所示，则甲的中位数与乙的极差的和为．15．（5分）已知矩形的长为2，宽为1，以该矩形的边所在直线为轴旋转一周得到几何体的表面积为．16．（5分）某人有楼房一栋，室内面积共计348m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为36m2，可住游客4名，每名游客每天的住宿费100元；小房间每间面积为30m2，可住游客2名，每名游客每天的住宿费150元；装修大房间每间需要3万元，装修小房间每间需要2万元．如果他只能筹款25万元用于装修，且假定游客能住满客房，则该人一天能获得的住宿费的最大值为元．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y＝0上，且过点（0，1），（2，﹣1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，且∠ACB＝120°，求m 的值．18．（12分）已知函数f（x）＝2x2﹣2ax+1．（1）解关于x的不等式f（x）＞a+1﹣x；（2）若不等式f（x）＜0在x∈[﹣2，0）上有解，求实数a的取值范围．19．（12分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图，若该工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，产品的质量指数在[8，10]内时为优等品．（Ⅰ）用统计有关知识判断甲、乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从该工厂样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，求抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率．20．（12分）已知抛物线C：y2＝﹣4x，直线l过点P（0，1）．（Ⅰ）若l与C仅有一个公共点，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C交于A，B两点，直线OA，OB（其中O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，试探究在k1﹣k2，k1+k2，中，运算结果是否有为定值的？并说明理由．21．（12分）如图1，已知矩形ABCD中，，E为CD上一点且CE ＝2DE．现将△ADE沿着AE折起，使点D到达点P的位置，且PE⊥BE，得到的图形如图2．（Ⅰ）证明：△BP A为直角三角形；（Ⅱ）设动点M在线段AP上，判断直线EM与平面PCB的位置关系，并说明理由．22．（12分）已知P，Q的坐标分别为，，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是．设点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，圆O的半径为1，直线l：y＝kx+m与圆O相切，且与曲线C交于不同的两点A，B．当，且满足时，求△AOB面积的取值范围．2021-2022学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．B；2．C；3．D；4．D；5．A；6．D；7．B；8．B；9．C；10．B；11．C；12．B；二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．；14．111；15．6π或12π；16．3600；三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．；18．；19．；20．；21．；22．；。
2021-2022学年四川省眉山市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年四川省眉山市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题 1．抛物线212x y =的焦点到准线的距离是（） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】D【解析】根据抛物线的方程，可直接得出焦准距.【详解】抛物线212x y =的焦点到准线的距离是14p =.故选：D.2．某空间几何体的三视图如图所示，则其体积为（） A ．2 B ．23C ．1D ．13【答案】C【分析】由三视图还原几何体为底面是底边长度为1、底边上的高为1的等腰三角形，侧棱长度为2的直三棱柱，根据柱体的体积公式即可求解.【详解】解：根据空间几何体的三视图，可得该空间几何体是一个直三棱柱（如图），其底面是底边长度为1、底边上的高为1的等腰三角形，侧棱长度为2，所以其体积为111212V Sh ==⨯⨯⨯=， 故选：C.3．圆224x y +=与圆22(3)(4)49x y -+-=的位置关系为 A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离【答案】A【详解】两圆圆心为()()0,0,3,4，圆心距为5；两圆半径分别为2,7，由于725-=，故两圆内切.故选A.4．l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥，βγ⊥，l αγ=，则l β⊥B ．若m n ⊥，n l ⊥，则m l ∥C ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥ 【答案】A【分析】可利用长方体线线，线面，面面之间的关系.【详解】如下图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，令α 为平面1AD ，β 为平面1AB ，γ 为平面11A C ，易知A 正确； 令m 为AD ，n 为DC ，l 为1CC ，易知B 错误；令α为平面1AD ，β为平面1BC ，m 为AD ，n 为1CC ，易知C 错误； 令α为平面1AD ，β为平面AC ，l 为1BC ，易知D 错误. 故选：A5．若m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，且n α⊥，则“m n ⊥”是“m α”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据线面垂直性质和线面平行的性质定理，可判定当//m α时，m n ⊥，但当m n ⊥时，并不能推出//m α，再结合充分条件和必要条件即可判断【详解】已知n α⊥，且m ，n 是两条不重合的直线由于//m α，不妨设过直线m 的一个平面β与平面α交于直线l ，根据线面平行的性质定理，可知：//m l 又n α⊥，则有：l n ⊥根据平行传递性，可知：m n ⊥；若m n ⊥，则//m α或m α⊂．故“m n ⊥”是“//m α”的必要不充分条件 故选：C6．若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为A ．±1B ．C ．D ．±【答案】B【详解】圆的圆心为()1,3-，半径2r =，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心到直线的距离为11=，解得a =7．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为AB C D【答案】C【分析】可设双曲线C 的右焦点F(c,0),渐近线的方程为by x a=±,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得，可得答案.【详解】解：由题意可设双曲线C 的右焦点F(c,0),渐进线的方程为by x a=±，可得=b=2a ，可得，可得离心率e=ca故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.8．下列命题中，正确命题的个数是（） ①若p xa yb =+，则p 与a ，b 共面②若p 与a ，b 共面，则存在实数x ，y 使得p xa yb =+ ③若MP xMA yMB =+，则P ，M ，A ，B 共面④若P ，M ，A ，B 共面，则存在实数x ，y 使得MP xMA yMB =+ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据平面向量基本定理逐一分析①、②、③、④即可得答案.【详解】解：对于②，若a ，b 共线，p 与a ，b 不共线，则不存在实数x ，y 使得p xa yb =+，故②错误；对于④，若M ，A ，B 共线，P 在直线AB 外，则不存在实数x ，y 使得MP xMA yMB =+，故④错误；由平面向量基本定理知①③正确．故选：B.9．已知定点()13,0F -，()23,0F ，M 是22:1O x y +=上的动点，1F 关于点M 的对称点为N ，线段1F N 的中垂线与直线2F N 交于点P ，则点P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．椭圆C ．圆D ．直线【答案】A【分析】根据垂直平分线的性质，结合图分析点P 到1F ，2F 的距离只差可知. 【详解】由题意及图可知，1222PF PF PN PF NF -=-=，因为O 、M 分别为121,F F F N 的中点，所以222NF OM ==，所以12122PF PF F F -=< 故点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点，2为实轴长的双曲线. 故选：A10．直线l 过椭圆221259x y +=的中心，交椭圆于A ，B 两点，F 是椭圆的一个焦点，则ABF周长的最小值为（） A ．14 B ．16C ．18D ．20【答案】B【分析】利用椭圆的对称性，再利用椭圆的定义，将ABF 的周长化简为10AB +，再根据椭圆的性质，可得min 26AB b ==，即ABF 周长的最小值为16【详解】如图，E ，F 是椭圆的两个焦点，则四边形AEBF 是平行四边形，结合椭圆的对称性ABF 周长为：210AB AF BF AB AF AE AB a AB ++=++=+=+又有：min 26AB b ==则有：ABF 周长的最小值为16 故选：B11．已知直线1:4330l x y -+=，2:1l x =-，P 是抛物线24y x =上的动点，则P 到1l 、2l 的距离之和的最小值为（）A ．15B ．45C ．75D ．73【答案】C【分析】过点P 作直线1l 、2l 的垂线，垂足分别为A 、B ，由抛物线的定义可得出PB PF =，由当P 在线段AF 上时，PA PB +取最小值，结合点到直线的距离公式可求得结果.【详解】易知2l 是抛物线24y x =的准线，抛物线焦点为()1,0F ．如图，过点P 作直线1l 、2l 的垂线，垂足分别为A 、B ，由抛物线的定义可得PB PF =，则PA PB PA PF AF +=+≥，当且仅当P 在线段AF 上时等号成立，故当1AF l ⊥时，PA PB +取得最小值，为F 到1l 75=.故选：C.12．若一个三棱锥的底面是斜边长为三条侧棱长均为则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．4πB ．C ．8πD ．16π【答案】D【分析】根据侧棱相等的三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的外心，而球心在过底面三角形外心且与底面垂直的直线上，构造三角形借助勾股定理可解. 【详解】三条侧棱棱长相等， ∴P 在底面的射影D 是ABC 的外心， 又∵ABC 是斜边为BC 的等腰直角三角形， ∴D 是BC 中点，易知直线PD 上的点到A 、B 、C 的距离相等，故三棱锥外接球的球心O 在直线PD 上， 记球的半径为R ，则直角三角形BOD 中有222()R PD R BD =-+ 3PD PB ==，2R ∴=，故外接球表面积为16π.故选：D 二、填空题13．命题“x N ∀∈，1x >-”的否定为______． 【答案】0x N ∃∈，01x ≤-【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可. 【详解】∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“x N ∀∈，1x >-”的否定为“0x N ∃∈，01x ≤-”. 故答案为：0x N ∃∈，01x ≤-.14．双曲线221mx y +=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =______． 【答案】4-【分析】直接利用双曲线的方程求出实轴长和虚轴长，列出方程即可求解.【详解】由已知条件得双曲线221mx y +=的标准方程为2211x y m-=-， 则21a =，21b m =-，实轴长为2，虚轴长为由题意得2=4m =-. 故答案为：4-.15．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中，最长棱的长度为______．【答案】【分析】画出原几何体，理清位置及数量关系，即得． 【详解】该几何体的直观图如图所示，由三视图可知原几何体为四棱锥，其中底面为直角梯形ABCD ，其中AB =1，AD =2，CD =2，BCP A ⊥平面ABCD ，且P A =2，PD=PBCD ⊥平面P AB ，PC=故该多面体的各条棱中，最长棱的长度为故答案为：16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段1BC 上的动点，下列四个结论： ①1//A E 面1ACD ； ②1B D ⊥面1ACD ；③直线AD 与平面1ACD； ④三棱锥1A D EC -的体积不变． 其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④【分析】对于①利用线面平行的判定定理证明即可，对于②利用线面垂直的判定定理证明即可，对于③先找到D 在平面1ACD 的投影为O ,即AD 在平面1ACD 的投影为AO ,故可以知道ADO ∠为直线AD 与平面1ACD 所成角，故sin ADO ∠即可求解，对于④关键要证明1BC ∥平面1ACD ，即可得知三棱锥1A D EC -的体积不变.【详解】①由题意可知11A C ∥AC ,111AC ACD ⊄,AC ⊂平面1ACD ,则11A C ∥平面1ACD , 同理可证1BC ∥平面1ACD , 又∵1BC 、11A C ⊂平面11A C B ,1111A C BC C ,∴平面11A BC ∥平面1ACD ，又∵1A E ⊂平面11A BC ，∴1A E ∥面1ACD ,故①正确； ②∵AC BD ⊥,1AC B B ⊥，∴AC ⊥平面11D DBB ，且1B D ⊂面11D DBB ， ∴1AC B D ⊥, 同理可证1AD ⊥平面11A DCB , ∴11AD B D ⊥, 由此可知1B D ⊥面1ACD ，故②正确；③设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，记D 在平面1ACD 的投影为O ,则DAO ∠为直线AD 与平面1ACD 所成角，由11D ACD D ACD V V --=得，111133ACD ACD SDD SDO ⋅=⋅,则DO =, 即sin DO DAO AD ∠==故③不正确； ④∵1BC ∥1AD , 1AD ⊂平面1ACD ，∴1BC ∥平面1ACD ， 即E 到平面1ACD 的距离不变，∵11A D EC E AD C V V --=，1ACD △的面积不变， ∴三棱锥1A D EC -的体积不变，故④正确. 故答案为：①②④. 17．已知命题:p 方程221231xy aa +=-表示焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：方程2211028x y ax y ++-+=表示圆．若“p 或q ⌝”为假，求实数a 的取值范围． 【答案】[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】若“p 或q ⌝”为假，等价于命题p 为假，且命题q 为真，再椭圆和圆的方程要求列不等式，解出不等式即可【详解】解：当命题p 为真命题时20310231a a a a >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：113a <<当命题q 为真命题时214a >，即12a >或12a <-． 若“p 或q ⌝”为假，则命题p 为假，且命题q 为真若命题 “p ”为假命题，则有：1a ≥或13a ≤综上可得：12a <-或1a ≥实数a 的取值范围：[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭三、解答题18．已知O ，F 分别是抛物线2112y x =的顶点和焦点，动点M 与点O 的距离是它与点F 的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹；(2)若过点()2,2的直线l 与动点M 的轨迹有且只有一个交点，求直线l 的方程． 【答案】(1)点M 的轨迹是以()0,1N -为圆心，半径为2的圆； (2)512140x y -+=或20x -=.【分析】(1)求出点O 、F 坐标，根据给定条件直接列式化简作答. (2)按斜率存在与否结合圆心到直线距离等于半径求解作答. (1)设(),M x y ，依题意()0,0O ，()0,3F ，由12MO MF = 化简得22230x y y ++-=，即()2214x y ++=，所以，点M 的轨迹是以()0,1N -为圆心，半径为2的圆. (2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为()22y k x -=-，即220kx y k -+-=， 因直线l 与动点M 的轨迹有且只有一个交点，由(1)知，即直线l 与圆N 相切，由圆心()0,1N -到直线l 的距离等于半径22=，解得512k =， 直线l 的方程为512140x y -+=，当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =，显然与圆N 相切，所以直线l 的方程为512140x y -+=或20x -=.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，CD 的中点． (1)求证：//EF 平面11A CD ；(2)求异面直线1ED 与1A C 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；. 【分析】(1)取1CD 中点G ，连接FG ，1GA ，证四边形1FGA E 是平行四边形，结合线面平行的判定即可推理作答.(2)连AC ，取AC 中点T ，连接ET ，1D T ，利用几何法计算作答. (1)在正方体1111ABCD A B C D -中，取1CD 中点G ，连接FG ，1GA ，如图， 而F 是CD 的中点，则1//FG DD ，112FG DD =，又E 是1AA 的中点，则11//A E DD ，1112A E DD =， 因此，1//A E FG ，1A E FG =，四边形1FGA E 是平行四边形，有1//EF GA ，而EF ⊄平面11A CD ，1GA ⊂平面11A CD ，//EF 平面11A CD .(2)连AC ，取AC 中点T ，连接ET ，1D T ，DT ，E ，T 分别为1AA ，AC 中点，则1//ET AC ， 即有1D ET ∠为异面直线1ED 与1A C 所成角或其补角， 令正方体棱长为2，则1D E112ET AC ==DT =1DT ， 在1D ET △中，由余弦定理得2221111cos 2D E ET DT D ET D E ET +-∠=⋅，所以异面直线1ED 与1A C20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左右焦点分别是1F ，2F ，以1F 为圆心、3为半径的圆与以2F 为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点()0,2H 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，点D 为椭圆上一点，且四边形OADB 为平行四边形，求AOB 的面积． 【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）根据椭圆定义可得a ，结合离心率可解；（2）设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理结合已知可求斜率，进而可求12x x -，再由AOB AOH OH S S S =-△△△B 可得. (1)设圆1F 与圆2F 的一个交点为P ，则124PF PF += 由点P 在椭圆C 上知24a =，即2a =又c a =c =21b = 故椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)已知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()224116120k x kx +++= 264480k =->△即234k >∴1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+，()121224441y y k x x k +=++=+∵四边形OADB 为平行四边形 ∴OD OA OB =+ ∴()1212,D x x y y ++ ∵点D 在椭圆C 上 ∴()()22121244x x y y +++=，即2222164444141k k k ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即421656150k k --=，即()()22415410k k -+=，即2154k =∴12x x -===∴12122AOB AOH OH S S S x x =-=⨯⨯-=△△△B 21．如图，已知AB ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD ，E ，F 分别是AD ，AC 的中点． (1)求证：BC CD ⊥；(2)若24BD AB ==，直线BD 与平面ABC 所成角为30°，求二面角F BE D --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)14- 【分析】（1）将线线垂直问题转化为线面垂直问题，结合已知逐步转化可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求，注意观察，借助EF ⊥平面ABC 不难发现二面角为钝角.(1)过B 作BH AC ⊥于H∵平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC平面ACD AC = ∴BH ⊥平面ACD∵CD ⊂平面ACD∴BH CD ⊥∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD∴AB CD ⊥又∵AB BH B ⋂=∴CD ⊥平面ABC∵BC ⊂平面ABC∴BC CD ⊥(2)以C 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系C xyz -由（1）知BD 在平面ABC 内的射影为BC ，即CBD ∠为直线BD 与平面ABC 所成角 ∴2CD =，BC =()0,0,0C ，()2,0,0D ，()0,B，()A，()E，()F()2,=-BD，()1,BE =，()0,BF =， 设面BAD 的法向量()111,,m x y z =由00BE m BD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得11111020x z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则1x =10z =，即()3,1,0m = 设面BEF 的法向量()222,,n x y z =由00BE n BF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222200x z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令21y =，则20x =，2z (0,1,3n =设二面角F BE D --的平面角为θ，由图知θ为钝角， 所以1cos 4m nm n θ⋅=-=-⋅ 即二面角F BE D --的余弦值为14- 22．设抛物线()220y px p =>位于第一象限的点M 与焦点F 的距离为52，点M 到x 轴的距离为2p ，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且MA MB ⊥．(1)求抛物线的方程和点M 的坐标；(2)探究直线l 是否恒过定点，并说明理由．【答案】(1)抛物线的方程为22y x =，点M 的坐标为()2,2(2)直线l 恒过定点()4,2-，理由见解析【分析】（1）结合定义和已知，用p 表示点M 坐标，代入方程可得；（2）设直线方程为x ty m =+，利用韦达定理将条件坐标化后，找到t 和m 的关系代回直线方程可得.(1)设()00,M x y ，则0522p MF x =+=，即0522p x =-，02y p =， 由2002y px =得254222p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得1p = 故抛物线的方程为22y x =，点M 的坐标为()2,2．(2)直线l 的斜率显然不为0，设其方程为x ty m =+，设()11,A x y ，()11,B x y 由22x ty m y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2220y ty m --=， 则122y y m =-，122y y t +=而MA MB ⊥，则0MA MB ⋅=，即()()()()121222220x x y y --+--=，即()()2212122222022y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得：()()()()12122222104y y y y ++⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 而12y ≠且22y ≠，则()()12224y y ++=-，即()1212280y y y y +++=，所以有：2480m t -++=，即24m t =+所以直线l 方程为24x ty t =++，即()24x t y =++故直线l 恒过定点()4,2-.。
四川省内江市2021-2022高二数学下学期期末检测试题 文(含解析)
四川省内江市2021-2022高二数学下学期期末检测(ji ǎn c è)试题文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号(dàihào)填涂在答题卡的指定位置上. 1.命题(mìng tí)的否定(fǒudìng)是（ ）A. B. C.D.【答案(dá àn)】A 【解析】 【分析】 根据命题“”是特称命题，其否定为全称命题，将“∃”改为“∀”，“≤“改为“＞”即可得答案 【详解】∵命题“2000,10x R x x ”是特称命题∴命题的否定为2,10xR x x ．故选：A ．【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题． 2.下面是关于复数（i 为虚数单位）的四个命题：①对应的点在第一象限；②；③是纯虚数；④．其中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出z 的坐标判断①；求出判断②；求得2z 的值判断③；由两虚数不能进行大小比较判断④．z i，∴z对应(duìyìng)的点的坐标为（1，1），在第一(dìyī)【详解(xiánɡ jiě)】∵1象限，故①正确(zhèngquè)；，故②错误(cuòwù)；，为纯虚数，故③正确；∵两虚数不能进行大小比较，故④错误．∴其中真命题的个数为2个．故选：B．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（）R为0.98A. 模型1的相关指数2R为0.80B. 模型2的相关指数2R为0.50C. 模型3的相关指数2R为0.25D. 模型4的相关指数2【答案】A【解析】试题分析：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，∴拟合效果最好的模型是模型1．故选A．考点：相关系数．4.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 【分析(fēnxī)】化简抛物线方程为标准(biāozhǔn)方程，然后求解准线方程． 【详解(xiánɡ jiě)】抛物线2430x y 的标准(biāozhǔn)方程为：，准线(zhǔn xiàn)方程316y ． 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．5.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：在二维条形图中，主对角线上的两个条形高度的乘积与副对角线上的两个条形高度的乘积相差越大，两者有关系的可能性就越大，由图中所给的四个量高度的大小来判断，D 选项的两个分类变量关系最强，故选D ． 考点：1.独立性检验；2.二维条形图. 6.已知命题p ：若复数，则“”是“”的充要条件；命题q ：若函数可导，则“”是“x 0是函数f x 的极值点”的充要条件．则下列命题为真命题的是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等和函数极值点的概念可判断p ，q 的真假；利用真值表判断复合命题的真假．【详解】由复数相等的概念得到p ：真；若函数f x 可导，则“0'0f x ”是“x 0是函数f x 的极值点”是错误的，当是导函数的变号零点，即在这个点附近，导函数的值异号，此时才是极值点，故q ：假，为真.∴由真值表知，p q 为真，故选：C ．【点睛】本题考查(kǎochá)真值表，复数相等的概念，求极值的方法．由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真，则p 真，q 也真；若p 或q 真，则p ，q 至少(zhìshǎo)有一个真；若p 且q 假，则p ，q 至少(zhìshǎo)有一个假． 7.函数(hánshù)在区间(qū jiān)上的最大值是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】 函数，，令，解得x ．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数f x 的单调性．【详解】函数2cos 3,0,2f x y x x x ，'12sin f xx ， 令'0f x，解得．∴函数f x 在内单调递增，在内单调递减．∴6x时函数f x 取得极大值即最大值．．故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.8.已知双曲线的右焦点(jiāodiǎn)与抛物线y2=12x的焦点(jiāodiǎn)重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C. 3 D. 5【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【点考点定位】本题主要考察双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维(luó jí sī wéi)能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．10.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若，则（）A. B. 1 C. D. 2【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】AF，求出A的坐标(zuòbiāo)，然后求出AF的方程根据抛物线的定义(dìngyì)，结合5求出B点的横坐标即可得到结论．【详解】抛物线的焦点F（1，0），准线方程为，设A（x，y），则，故x=4，此时y=4，即A（4，4），则直线AF的方程为，即，y x得，代入24解得x=4（舍）或，则，故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义是解决本题的关键．一般和抛物线有关的小题，可以应用结论来处理；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。
四川省内江市自强中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析
四川省内江市自强中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则等于A． B. [O, +∞) C. (0.+∞) D. R参考答案：C略2. 如右图所示的程序框图中,输出S的值为 ( )A．10 B．12 C．15 D．8参考答案：C3. 下列说法中正确的是①三角形一定是平面图形；②若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可以确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面。
A．①③④ B②③④ C①②④ D ①②③参考答案：C4. i为虚数单位，（1+i）=（1﹣i）2，则|z|=（）A．1 B．2 C．D．参考答案：C【考点】A8：复数求模．【分析】通过设z=a+bi，可得=a﹣bi，利用（1+i）=（1﹣i）2，可得=﹣1﹣i，进而可得结论．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，∵（1+i）=（1﹣i）2，∴=======﹣1﹣i，∴z=﹣1+i，∴|z|==，故选：C．5. 执行图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的的值为A．2 B．-2 C． D．参考答案：B6. 由曲线y＝，y＝x－2及y轴所围成的图形的面积等于()．A．－B．4 C. D．6参考答案：C略7. 如图过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于A、B、C、D，则A. 4B. 2C. 1D.参考答案：C【分析】根据抛物线的几何意义转化，，再通过直线过焦点可知，即可得到答案.【详解】抛物线焦点为，,,，于是，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力.8. 不等式的解集为，则实数的值为（A）（B）（C）（D）参考答案：C9. 已知则的大小关系为A．B．C．D ．参考答案：A10. 掷两枚骰子，出现点数之和为5的概率是____。
2021-2022学年四川省乐山市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年四川省乐山市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．过点()2,1A 且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y --= C ．210x y -+= D ．20x y -=【答案】B【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为()122y x -=-，即230x y --=. 故选：B.2．已知直线,,a b c ，若,a b 异面，b ∥c ，则,a c 的位置关系是（ ） A ．异面 B ．相交 C ．平行或异面 D ．相交或异面【答案】D【分析】以正方体为载体说明即可. 【详解】如下图所示的正方体： AB 和1DD 是异面直线，11//DD BB ，1ABBB B ；AB 和1DD 是异面直线，11//DD CC ，AB 与1CC 是异面直线.所以两直线a 与b 是异面直线，b ∥c ，则,a c 的位置关系是相交或异面. 故选：D3．圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标与半径分别是（ ） A ．()1,2,2- B ．()1,2,2- C ．()1,2,3- D ．()1,2,3-【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案. 【详解】由题可知，圆的标准方程为22(1)(2)9x y -++=，所以圆心为()1,2-，半径为3， 故选C .4．已知向量()()()1,2,,2,2,1,2,1,1m n p λ===，满足条件()p m n -⊥，则λ的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】A【分析】先求出p m →→-的坐标，进而根据空间向量垂直的坐标运算求得答案.【详解】因为()1,1,1p m λ→→-=--，所以()()1212110p m n λ→→→⎛⎫-⋅=⨯+-⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，解得1λ=.故选：A.5．曲线221259x y -=与曲线22(1)259x y k k -=>的（ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．渐进线相同【答案】D【分析】将曲线22(1)259x y k k -=>化为标准方程后即可求解. 【详解】22259x y k -=化为标准方程为221259x y k k-=，由于1k >，则两曲线实轴长､虚轴长､焦距均不相等，而渐近线方程同为35y x =±.故选：D6．已知点P 是椭圆22195x y +=上的任意点，F 是椭圆的左焦点，Q 是PF 的中点，则OFQ 的周长为（ ）A ．5B ．6C ．10D ．12【答案】A【分析】设椭圆的另一个焦点为F '，连接PF '，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆22195x y +=中，3a =，b =2c ， 如图，设椭圆的另一个焦点为F '，连接PF '， 因为O 、Q 分别为FF '、PF 的中点，则12OQ PF '=， 则OFQ 的周长为()152OF OQ QF OF PF PF c a '++=++=+=， 故选：A.7．已知正四面体V ABC -的底面ABC 的中心为,O E 为VC 的中点，则直线VO 与BE 所成角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．73D ．223【答案】B【分析】连接OC ，再取OC 中点F ，连接,EF BF ，得到BEF ∠为直线VO 与BE 所成角，再解三角形即可.【详解】连接OC ，再取OC 中点F ，连接,EF BF ，因为,E F 分别为VC ，OC 中点，则//EF VO ，且EF ⊥底面ABC ,所以BEF ∠为直线VO 与BE 所成角，令正四面体边长为1，则3BE =，2222361()32VO VC OC -=-⨯162EF VO == 所以2cos EF BEF BE ∠==故选：B .8．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一动点，过P 点作y 轴垂线并延长交双曲线左支于点Q ，当P 点向上移动时，PF QF -的值（ ）A ．增大B ．减小C ．不变D ．无法确定【答案】C【分析】令双曲线右焦点为F '，由对称性可知，QF PF '=，结合双曲线的定义即可得出结果.【详解】令双曲线右焦点为F '，由对称性可知，QF PF '=， 则||||||2PF QF PF PF a '-=-=∣，为常数， 故选：C.9．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，32BA BC ==，点D 在棱1BB 上，且6BD =，则AD 与平面11AAC C 所成角的正弦值为（ ）A 21B 21C 6D 6【答案】C【分析】取AC 的中点M ，过点M 作//MN BD ，且使得MN BD =，进而证明DN ⊥平面11AAC C ，然后判断出DAN ∠是AD 与平面11AAC C 所成的角，最后求出答案.【详解】如图，取AC 的中点M ，因为32,90BA BC ABC ==∠=︒，则6,3,AC BM BM AC ==⊥，过点M 作//MN BD ，且使得6MN BD ==，则四边形BDNM 是平行四边形，所以//,3DN BM DN BM ==.由题意，BD ⊥平面ABC ，则MN ⊥平面ABC ，而BM ⊂平面ABC ，所以MN BM ⊥，又,BM AC AC MN M ⊥⋂=，所以BM ⊥平面11AAC C ，而//,DN BM 所以DN ⊥平面11AAC C ，连接DA ,NA ，则DAN ∠是AD 与平面11AAC C 所成的角.而2226AD AB BD =+=6sin 26DN DAN AD ∠===故选：C .10．已知圆锥的表面积为12π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A ．4π B 43C ．8πD 83【答案】D【分析】设圆锥的半径为r ，母线长l ，根据已知条件求出r 、l 的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长l ，因为侧面展开图是一个半圆，则2l r ππ=，即2l r =，又圆锥的表面积为12π，则212r rl πππ+=，解得2r =，4l，则圆锥的高2223h l r -21833V r h π==，故选：D.11．过抛物线26y x =焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，则ABC 的面积为（ ）A ．62B ．63C ．32D ．33【答案】B【分析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF ，BK ，然后求解三角形的面积即可．【详解】如图，设拋物线的准线为l ，过A 作AM l ⊥于M ，过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，则根据抛物线的定义可得,3,4BN m AF AM m AB m ====，2AK m =，13cos 60,3,2,234322AK BAM BAM CF p m m BK m AB ∴∠==⇒∠=∴===∴=∴==，ABC ∴的面积为1632ACFBCFS SSCF BK =+=⋅⋅=， 故选：B .12．如图，在三棱锥S ABC -中，22,2SA SC AC AB BC =====，二面角S AC B --的正弦值是63，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．12πB ．4πC ．3πD 43【答案】A【分析】利用二面角S ﹣AC ﹣B 的余弦值求得SB ，由此判断出2BS BA BC ===，且BS BA BC 、、两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E 是AC 的中点，连接EB ES ，，由于,SA SC AB BC ==，所以AC SE AC BE ⊥⊥，，所以SEB ∠是二面角S AC B --的平面角，所以3cos 3SEB ∠=.在三角形SAC 中，6SE =，在三角形ABE △中，2BE =，在三角形SEB △中，由余弦定理得：222cos 2SB SE BE SE BE SEB ∠=+-⋅=，所以2BS BA BC ===，由于22SA SC AC ===，所以BS BA BC 、、两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为23.设正方体外接球的半径为R ，则3R =，所以外接球的表面积为24R 12ππ=， 故选：A .二、填空题13．抛物线214y x =-的准线方程是________【答案】1y =【分析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：24x y =- ∴抛物线准线方程为：1y = 故答案为1y =【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为43，则该正方体的体对角线长为___________.【答案】23【分析】先根据棱锥的体积求出正方体的棱长，进而求出正方体的体对角线长.【详解】如图，连接1A C ，设正方体棱长为a ，则11111121111423323B A BC A B C V SBB a a a -=⨯⨯=⨯⨯=⇒=.所以，体对角线222221111||323AC AC CC a a a a =+=++=故答案为：2315．从双曲线2212y x -=上一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点M 的轨迹方程为___________. 【答案】2221x y -=.【分析】根据题意，设()()00,,,P x y M x y ，进而根据中点坐标公式及点P 在已知双曲线上求得答案.【详解】由题意，设()()00,,,P x y M x y ，则()0,0Q x ，则0012x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即002x x y y =⎧⎨=⎩， 因为220012y x -=，则2221x y -=，即M 的轨迹方程为2221x y -=. 16．已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 【答案】51,3⎛⎤⎥⎝⎦【分析】过点O 作1OM PF ⊥于M ，过点2F 作21F N PF ⊥于N ，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得2OM ，由已知可得22OM a ≤，可得出关于a 、c 的齐次不等式，结合1e >可求得e 的取值范围.【详解】过点O 作1OM PF ⊥于M ，过点2F 作21F N PF ⊥于N ，因为212PF F F =，所以1PN F N =，又因为21OF OF =，所以1MN FM =，故1114F M F P =， 又因为122PF PF a -=，且2122PF F F c ==，所以122PF a c =+，因此12a c F M +=，所以2222a c OM c +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又因为直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，所以22OM a ≤，故2222a c c a +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即223250c ac a --≤，则23250e e --≤，所以513e -≤≤， 又因为双曲线的离心率1e >，所以513e <≤. 故答案为：51,3⎛⎤⎥⎝⎦.三、解答题17．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，,G H 分别在,CD AD 上，且::2:1.CG GD AH HD ==(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)设EH 与FG 交于点P ，求证：,,B D P 三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明//EF HG ，进而证明问题；（2）先证明P ∈平面ABD ，P ∈平面BCD ，进而证明点P 在两个平面的交线上，然后证得结论. (1)连接,,AC E F 分别是,AB BC 的中点，//EF AC ∴.在ADC 中，,//,//CG AHGH AC EF HG GD HD=∴∴.所以,,,E F G H 四点共面.(2)EH FG P ⋂=，所以P EH ∈， 又EH ⊂平面,ABD P ∴∈平面ABD ，同理：P FG ∈，FG ⊂平面,BCD P ∴∈平面BCD ，P ∴为平面ABD 与平面BCD 的一个公共点.又平面ABD ⋂平面,BCD BD P BD =∴∈，即,,P B D 三点共线.18．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 交拋物线于M 、N 两点.(1)若直线l 过点F 且60xFM ∠=，求FM ； (2)若()2,1P 平分线段MN ，求直线l 的方程. 【答案】(1)4；(2)230x y --=.【分析】（1）分析可知直线l 的方程为313x y =+，将直线l 的方程与抛物线方程联立，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义可求得FM ；（2）利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程.(1)解：设点()11,M x y 、()22,N x y ，则直线l 的倾斜角为60，易知点()1,0F ，直线l 的方程为313x y =+，联立23134x y y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得234430y y --=， 由题意可知10y >，则123y =，113133x y ∴=+=，因此，314FM =+=. (2)解：设()11,M x y 、()22,N x y ，若MN x ⊥轴，则线段MN 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以直线MN 的斜率存在， 因为M 、N 在抛物线上，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得1212124y y x x y y -=-+， 又因为()2,1P 为MN 的中点，则122y y +=，所以，直线l 的斜率为1212422y y k x x -===-， 此时，直线l 的方程为()122y x -=-，即230x y --=.19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，2,,PA AC E F ==分别为,PD BC 的中点.(1)证明：EF ∥平面PAB ；(2)求三棱锥A CDE -的体积.【答案】(1)证明见解析 (2)33 【分析】（1）取PA 的中点G ，利用三角形中位线定理可证明BG //EF ，由线线平行，可得线面平行；（2根据图像可得12A CDE E ACD P ACD V V V ---==，以ACD △为底面，证明PA 为高，利用三棱锥的体积公式，可得答案;(1)取PA 的中点G ，因为E 为PD 的中点， 所以//GE AD 且12GE AD =， 又因为F 为BC 的中点，四边形ABCD 为菱形，所以//BF AD 且12BF AD =， 所以//BF GE 且BF GE =，故四边形BFEG 为平行四边形，所以BG //EF ，因为BG ⊂面,PAB EF ⊄面PAB ，所以//EF 面PAB .(2) 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，2AC =，则ACD △为正三角形，所以2323ACD S ==△因为PA ⊥面ABC ，所以PA 为三棱锥P ACD -的高所以三棱锥的体积111332223A CDE E ACD P ACD V V V ---===⨯=20．已知直线:10l ax y --=与双曲线22:21C x y -=相交于P 、Q 两点.(1)当1a =时，求PQ ；(2)是否存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）当1a =时，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得PQ ；（2）假设存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点，设()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线l 与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出220a +=，即可得出结论.(1)解：设点()11,P x y 、()22,Q x y ，当1a =时，联立221021x y x y --=⎧⎨-=⎩，可得2430x x -+=， 16120∆=->，由韦达定理可得124x x +=，123x x =，所以，PQ ==(2)解：假设存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点， 设()11,P x y 、()22,Q x y ，联立221021ax y x y --=⎧⎨-=⎩得()2221430a x ax --+=， 由题意可得()222210Δ1612210a a a ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，解得a <<a ≠， 由韦达定理可知122122421321a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， 因为以PQ 为直径的圆经过坐标原点，则OP OQ ⊥，所以，()()()()11222122111221111O x x ax ax a x P x x a x x OQ x y y =+--⋅=+=+-++ ()2223141021a a a +-=+=-，整理可得220a +=，该方程无实解，故不存在.21．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AA M ==是1CC 上的点，满足BDM 为等边三角形.(1)求证：1A M ⊥平面BDM ；(2)求二面角1M A B D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 6【分析】(1)根据题意证明1A M BM ⊥，1A M DM ⊥，然后根据线面垂直的判定定理证明问题；(2)以DC ，DA ，1DD 为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面1MA B ，平面1DA B 的法向量，求法向量的夹角，根据二面角1M A B D --的余弦值与法向量的夹角的余弦的关系确定二面角1M A B D --的余弦值.(1) 由题意，2BD =，BDM 为等边三角形，2BM DM BD ∴==∵1CC ⊥平面ABCD ，∴1CC BC ⊥，则221CM BM BC =-=，即M 为1CC 中点.连接11A C ，∵1CC ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，∴111CC AC ⊥，易得1112,1AC MC =，则()221123A M =+ 又2211115A B A B BB +22211A M BM A B +=，即1A M BM ⊥，同理22211A M DM A D +=，即1A M DM ⊥，又BM DM M ⋂=，BM DM ⊂，平面BDM1A M ∴⊥平面BDM .(2)由题意直线1DD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，故以DC ，DA ，1DD 为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,2D B M A ，()()()()111,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,2A M BM DB DA =--=-==.设面1MA B 的法向量为()1111,,x n y z =，()111111111021,2,1,01x x y z y n x z z ⎧=⎧-+-=⎪⎪⇒=⇒=⎨⎨-+=⎪⎪=⎩⎩同理可得面1DA B 的法向量()22,2,1n =--，126cos 63n n ∴⋅==⨯ ∴二面角1M A B D --622．已知椭圆22:163x y C +=，点,M N 在C 上，()2,1A ，且90MAN ∠= (1)求出直线MN 所过定点R 的坐标；（不需要证明）(2)过A 点作MN 的垂线，垂足为D ，是否存在点Q ，使得DQ 为定值？若存在，求出DQ的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)存在，DQ =【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理列出方程，求出定点坐标，当斜率不存在时，设出点的坐标进行求解；（2）结合第一问的定点坐标，结合直角三角形斜边中线得到存在点Q ，使得DQ 为定值，求出结果.(1)设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=， 可得2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++， 因为AM AN ⊥，所以0AM AN ⋅=，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+，代入整理可得：()()()22121212(1)40k x x km k x x m ++--++-+=， 所以()()2222226412(1)401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得:()()231210k m k m +++-=，因为()2,1A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故()23101k m k ++=≠，于是MN 的方程为()21133y k x k ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由0AM AN ⋅=得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=， 解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33R ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)由（1）可知22214221333AR ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∣ 因为AD MN ⊥，取AR 中点Q ，则12223DQ AR == 此时，41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】直线过定点问题，一般处理思路是分斜率存在和斜率不存在两种情况，特别是斜率存在时，设出直线为y kx b =+，联立后用韦达定理得到两根之和与两根之积，结合题干条件得到等量关系，求出,k b 的关系，进而得到定点坐标.。
2021-2022年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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2021-2022学年四川省达州市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年四川省达州市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．下列抛物线中，以点()1,0F 为焦点的是（ ） A ．24y x = B ．24x y = C ．24y x =- D ．24x y =-【答案】A【分析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程. 【详解】∵抛物线为()1,0F ，∴可设抛物线方程为()220y px p =>，∴12p=即2p =， ∴抛物线方程为24y x =， 故选：A.2．为了解青少年视力情况，统计得到10名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ）A ．4.6B ．4.5C ．4.3D ．4.2【答案】B【分析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果.【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：3.8、3.9、4.0、4.2、4.4、4.6、5.0、5.1、5.2、5.3，因此，这组数据的中位数为4.4 4.64.52+=. 故选：B.3．下列双曲线中，以()2,0为一个焦点，以()1,0为一个顶点的双曲线方程是（ ） A ．2214x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．221x y -=【答案】C【分析】设出双曲线方程，根据题意，求得,a b ，即可选择.【详解】因为双曲线的一个焦点是()2,0，故可设双曲线方程为22221x y a b-=，且224a b +=；又()1,0为一个顶点，故可得1a =，解得23b =， 则双曲线方程为：2213y x -=.故选：C .4．已知a 、b 、c 、l 是直线，α、β是平面，A 、B 、P 是点（A 、B 不重合），下列叙述错误的是（ ）A ．若∈A l ，B l ∈，A α∈，B α∈，则l α⊂ B ．若P α∈，P β∈，l αβ=，则P l ∈C ．若//a b ，//b c ，则//a cD ．若a b ⊥，c b ⊥，则//a c 【答案】D【分析】由公理2可判断A 选项；由公理3可判断B 选项；利用平行线的传递性可判断C 选项；直接判断线线位置关系，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由公理2可知，若∈A l ，B l ∈，A α∈，B α∈，则l α⊂，A 对；对于B 选项，由公理3可知，若P α∈，P β∈，l αβ=，则P l ∈，B 对；对于C 选项，由空间中平行线的传递性可知，若//a b ，//b c ，则//a c ，C 对； 对于D 选项，若a b ⊥，c b ⊥，则a 与c 平行、相交或异面，D 错. 故选：D.5．一组“城市平安建设”的满意度测评结果1x ，2x ，…，54x 的平均数为116分，则1x ，2x ，…，54x ，116的（ ）A ．平均数变小B ．平均数不变C ．标准差不变D ．标准差变大【答案】B【分析】利用平均数、方差的定义和性质直接求出1x ，2x ，…，54x ，116的平均数、方差从而可得答案.【详解】1x ，2x ，…，54x 的平均数为116分，125454116x x x +++=⨯则1x ，2x ，…，54x ，116的平均数为()()125411116541161161165555x x x ++++=⨯+= 设1x ，2x ，…，54x 的方差为2δ则()()()222212111611611654n x x x δ⎡⎤=-+-++-⎣⎦所以()()()22221211611611654n x x x δ-+-++-=则1x ，2x ，…，54x ，116的方差为()()()()2222212111611611611611655n x x x δ⎡⎤=-+-++-+-⎣⎦()()()22222121541161161165555n x x x δδ⎡⎤=-+-++-=<⎣⎦所以1x ，2x ，…，54x ，116的平均数不变，方差变小.标准差变小. 故选：B6．在区间[]1,4上随机取一个数a ，则事件“曲线22220x y x ay +-++=表示圆”的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】先求出曲线表示圆参数a 的范围，再由几何概率可得答案.【详解】由22220x y x ay +-++=可得()2221124a a x y ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭曲线22220x y x ay +-++=表示圆，则2104a ->解得2a >或2a <-又[]1,4a ∈所以曲线22220x y x ay +-++=表示圆的概率为422413-=- 故选：D7．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点是抛物线28y x =的焦点，且短轴长为2，则该椭圆方程为（ ） A ．2214x y +=B ．22142x y +=C ．221164x y +=D ．22143x y +=【答案】A【分析】求得抛物线的焦点从而求得a ，再结合题意求得b ，即可写出椭圆方程.【详解】因为抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，故可得2a =； 又短轴长为2，故可得22b =，即1b =； 故椭圆方程为：2214x y +=.故选：A .8．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：cm ），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（ ）A ．()8001005π+ B ．()9001005π+ C ．1100π D ．1000π【答案】A【分析】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为22223010102010(8001005)S ππππ=⨯-⨯+⨯+⨯=+，故选：A9．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ） A ．076 B ．104C ．390D ．522【答案】D【分析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择. 【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测， 故需要分为30组，每组26人，设第n 组抽中的编号为n a ， 设26n a n m =+，由题可知：354a =，故可得24m =-， 故可得2624n a n =-.当21n =时，21262124522a =⨯-=. 故选：D .10．已知直线20ax y a --+=与圆22450x y x +--=相交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（ ） A ．3,25⎡⎤⎣⎦B ．4,25⎡⎤⎣⎦C ．[]4,6D ．25,6⎡⎤⎣⎦【答案】C【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，利用弦长公式求解即可. 【详解】因为直线方程为：20ax y a --+=，整理得()21y a x -=-， 故该直线恒过定点()1,2M ，又，故点()1,2M 在圆22450x y x +--=内， 又圆22450x y x +--=的圆心为则max 26AB r ==，此时直线过圆心()2,0；当直线20ax y a --+=与直线MN 垂直时，AB 取得最小值， 此时2222954AB r MN=-=-=.故AB 的取值范围为[]4,6. 故选：C . 11．已知sin6a π=，1ln e b =，6c π=，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．12B ．1-C ．6πD ．1【分析】计算出a 、b 的值，执行程序框图中的程序，进而可得出输出结果. 【详解】1sin62a π==，1ln 1e b ==-，则b a c <<，执行如图所示的程序，12x =，112-<成立，则1x =-，16π<-不成立，输出x 的值为1-.故选：B.12．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，点P 在双曲线上，PO b ，122π3F PF ∠=，则C 的离心率为（ ）A ．51-B ．2C ．102D ．3【答案】C【分析】根据双曲线定义、余弦定理，结合题意，求得,a c 关系，即可求得离心率. 【详解】根据题意，作图如下：不妨设12,PF m PF n ==，则2m n a -=，22224m n mn a +-=，①；在△12PF F 中，由余弦定理可得：2224cos1202m n c mn+-︒=，代值得：2224mn m n c -=+-，②；联立①②两式可得：243b mn =；在△1POF 和△2POF 中，由12cos cos 0POF POF ∠+∠=，可得：222222022c b m c b n bc bc +-+-+=，整理得：222222m n c b +=+，③； 联立②③可得：222422c mn c b -=+，又243b mn =，故可得：2253c b =，则222223a cb b =-=，则2252c a =10.二、填空题13．某次实验得到如下7组数据，通过判断知道y 与x 具有线性相关性，其线性回归方程为ˆˆ0.125yx a =+，则ˆa =______.（参考公式：ˆˆy bx a =+） x1 2 3 4 5 6 7 y6.06.26.36.46.46.76.8【答案】5.95910【分析】求得样本中心点的坐标，代入回归直线，即可求得ˆa. 【详解】根据表格数据可得： ()14,6 6.2 6.3 6.4 6.4 6.7 6.8 6.47x y ==++++++=. 故ˆa，解得ˆa 5.9=. 故答案为：5.9.14．经过点()0,0，()0,1，()1,0的圆的方程为______.【答案】22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，然后将三个点的坐标代入方程中解方程组求出,,D E F 的值，可得圆的方程【详解】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则 01010F E F D F =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得，所以圆的方程为220x y x y +--=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．过点()1,0P 的直线与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，2AP =，则直线AB 的方程为______.【答案】1x =10x -=【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而点P 为抛物线的焦点，设()11A x y ，，利用抛物线的定义可得11x =，有AB x ⊥轴，即可得出结果.【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标(10)F ，，又(10)P ，， 所以点P 为抛物线的焦点，设()11A x y ，，由2AP =，由抛物线的定义得112x +=，解得11x =， 所以AB 垂直与x 轴，所以直线AB 的方程为：1x =. 故答案为：1x =16．下图是4个几何体的展开图，图①是由4个边长为3的正三角形组成；图②是由四个边长为3的正三角形和一个边长为3的正方形组成；图③是由8个边长为3的正三角形组成；图④是由6个边长为3的正方形组成.若几何体能够穿过直径为4的圆，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的序号）. 【答案】①【分析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与2比较大小，即可确定答案.【详解】①由题设，几何体为棱长为3的正四面体，该正四面体可放入一个正方体中，3222=，该正四面体的外接球半径为1323362r ⨯==<，满足要求；②由题设，几何体为棱长为3的正四棱锥P ABCD -，如下图所示：设AC BD O =，连接PO ，则O 为AC 、BD 的中点，因为四边形ABCD 是边长为3的正方形，则32AC BD == 所以，222PA PC AC +=，所以，PA PC ⊥，所以，1322OP OA OC AC ====， 32OB OD ==O 为正四棱锥P ABCD -的外接球球心，且该球的半径为23222r =>，不满足要求； ③由题设，几何体为棱长为3的正八面体，该正八面体可由两个共底面，且棱长均为3的正四棱锥拼接而成， 由②可知，该正八面体的外接球半径为33222r =>，不满足要求； ④由题设，几何体为棱长为3的正方体，其外接球半径为4332r =>，不满足要求； 故答案为：①. 三、解答题17．已知等比数列{}n a 满足11a =，48a =. (1)求数列{}n a 的前8项和8S ； (2)求数列{}n a 的前n 项积n T . 【答案】(1)255 (2)()122n n -【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由48a =，求出公比，然后由等比数列前n 项和公式可得答案.（2） 先得出通项公式，然后可得123n n T a a a a =，由指数的运算性质，结合由等差数列前n 项和公式可得答案. (1)设等比数列{}n a 的公比为q ，33418a a q q ===，解得2q所以12n na所以()8881122125512S ⨯-==-=-(2)23112312222n n n T a a a a -==⨯⨯⨯⨯⨯()()11231222n n n -++++-==18．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，E 分别是AB ，1DD ，1AA 的中点.(1)证明：平面MNE ∥平面1BCD ； (2)求直线MN 与1D C 所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 2【分析】（1）分别证明BC ∥平面MNE ，1D C ∥平面MNE ，最后利用面面平行的判定定理证明平面MNE ∥平面1BCD 即可；（2）由ME ∥1D C 得EMN ∠即为直线MN 与1D C 所成角，在直角△MNE 即可求解. (1)∵BC ∥EN 且EN ⊂平面MNE ,BC ⊄平面MNE , ∴BC ∥平面MNE ,又∵1D C ∥EM 且EM ⊂平面MNE , 1D C ⊄平面MNE , ∴1D C ∥平面MNE 又∵1D C BC C =, ∴ 平面MNE ∥平面1BCD ,(2)由（1）得ME ∥1D C ,∴ EMN ∠为直线MN 与1D C 所成的角，设正方体的棱长为a ,在Rt △MEN 中，EN a =，222222a a EM a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴tan EN EMN EM ∠=222a a ==. 19．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[)70,90、[)90,110、[)110,130、[]130,150.(1)估计该班本次测试的平均分x ；(2)在[)110,130、[]130,150中按分层抽样的方法抽取6个数据，再从这6个数据中任抽取2个，求抽出2个中至少有1个成绩在[]130,150中的概率.【答案】(1)114.4x =；(2)35. 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得x 的值；（2）分析可知，所抽取的6个数据中，成绩在[)110,130内的有4个，分别记为a 、b 、c 、d ，成绩在[]130,150内的有2个，分别记为A 、B ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.(1)解：由频率分布直方图可得800.081000.321200.41400.2114.4x =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2)解：因为数学成绩在[)110,130、[]130,150内的频率分别为0.4、0.2，所以，所抽取的6个数据中，成绩在[)110,130内的有4个，分别记为a 、b 、c 、d ， 成绩在[]130,150内的有2个，分别记为A 、B ，从这6个数据中，任取抽取2个，所有的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a A 、 (),a B 、(),b c 、(),b d 、(),b A 、(),b B 、(),c d 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15个，其中，事件“抽出2个中至少有1个成绩在[]130,150中”所包含的基本事件有：(),a A 、 (),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9个， 故所求概率为93155P ==. 20．如图，在三棱锥M ABC -中，MA MB CA CB ===，点P 为线段MC 上的点.(1)若MC ⊥平面PAB ，试确定点P 的位置，并说明理由；(2)若2MA =，1AB =，23MC =1）成立的前提下，求二面角PAB C 的余弦值.【答案】(1)点P 为MC 的中点，理由见解析；5【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而由三线合一得到点P 为MC 的中点；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各边长，用余弦定理求出答案.(1)点P 为MC 的中点，理由如下：因为MC ⊥平面PAB ，,PA PB ⊂平面PAB ，所以MC PA ⊥，MC PB ⊥，又MA MB CA CB ===，由三线合一得：点P 为MC 的中点(2)取AB 的中点H ，连接PH ，CH ，则由（1）知：MBC MAC ≅，结合点P 为MC 的中点，所以P A =PB ，故由三线合一得：PH ⊥AB ，且CH ⊥AB ，所以∠CHP 即为二面角P AB C 的平面角，因为2MA =，23MC =，1AB =，所以2MB CA CB ===，3PC =，12BH =，由勾股定理得：22431PB BC PC =-=-=，2213142PH PB BH =-=-=，22115442CH CB BH =-=-=， 在△PCH 中，由余弦定理得：2221533544cos 25153222CH PH PC CHP CH PH +-+-∠===⋅⨯⨯， 故二面角P AB C 的余弦值为5521．已知()()2πsin cos cos 26f x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间； (2)已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边长分别是a ，b ，c ，若()1f C =，2c =.求ABC 面积的最大值.【答案】(1)5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2)23.【分析】（1）首先根据三角函数恒等变换得到()sin(2)13f x x π=-+，再求其单调增区间即可.（2）根据()1f C =得到6C π=，根据余弦定理和基本不等式得到4(23)ab ≤，结合三角形面积公式计算即可.(1)由题意13()sin 221sin(2)123f x x x x π=+=-+． 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，得51212x ππ-≤≤， 所以()f x 在[0,]2π上的单调递增区间是5[0,]12π． (2)因为()sin(2)113f C C π=-+=，所以2()3C k k Z ππ-=∈， 得62k C ππ=+，又C 是锐角，所以6C π=， 由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，得22423b b a a a b +=+≥， 所以4(23)ab ≤+，且当a b =时等号成立． 所以11sin 2324ABC S ab C ab ==≤+△， 故ABC 面积最大值为23+．22．如图，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，离心率为12.过1F 的直线与椭圆1C 的一个交点为A ，过2F 垂直于1AF 的直线与椭圆1C 的一个交点为B ，12AF BF P ⋂=.(1)求椭圆1C 的方程和点P 的轨迹2C 的方程；(2)若曲线2C 上的动点M 到直线AB ：y kx m =+21，求2k 的值.【答案】(1)椭圆1C 的方程为22143x y +=，点P 的轨迹2C 的方程为221x y += (2)2472k = 【分析】（1）由题意可得11,2c c a ==，求出a ，再结合222a b c =+，求出2b ，从而可得椭圆1C 的方程，设(,)P x y ，则由题意可得120F P F P ⋅=，坐标代入化简可得点P 的轨迹2C 的方程，（2）由题意结合点到直线的距离公式可得222(1)m k =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入椭圆方程中消去y ，整理利用根与系数的关系，由120AF BF ⋅=，可得2112121x x x x y y -=--，因为22112122(())4x x x x x x -=+-，代入化简计算可求得答案(1) 由题意得11,2c c a ==，解得2a =，则 2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程22143x y +=， 设(,)P x y ，则由题意可得120F P F P ⋅=，所以(1,)(1,)0x y x y +⋅-=，所以221x y +=，所以点P 的轨迹2C 的方程为221x y +=(2)由（1）知曲线2C 是以原点为圆心，1为半径的圆， 因为曲线2C 上的动点M 到直线AB ：y kx m =+1，11=，得222(1)m k =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以2221212222284128(1)1284,34343434km m k k x x x x k k k k --+--+====++++， 1212()()y y kx m kx m =++221212()k x x km x x m =+++2222241283434m km k km m k k --=⋅+⋅+++ 22212334k m k -+=+ 22222126(1)663434k k k k k -++-+==++， 因为120AF BF ⋅=，所以()()11221,1,0x y x y ---⋅--=，所以21121210x x x x y y -+-++=，所以22221121222284661211343434k k k x x x x y y k k k --++-=--=--=+++， 因为22112122(())4x x x x x x -=+-， 所以2222222128844343434k km k k k k ⎛⎫+-⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 所以222222(12)644(84)(34)k k m k k +=--+， 222222(12)642(1)4(84)(34)k k k k k +=⋅+--+， 所以42492470k k --=，得22(21)(247)0k k +-=，得212k =-（舍去），或2472k =。
2022年四川省内江市第四中学高二数学文上学期期末试题含解析
2022年四川省内江市第四中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B． C．D．参考答案：D2. 实数x，y满足x+y﹣4=0，则 x2+y2的最小值是（）A．8 B．4 C．2D．2参考答案：A【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】由于实数x，y满足x+y﹣4=0，则 x2+y2的最小值是原点到此直线的距离d的平方，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：由于实数x，y满足x+y﹣4=0，则 x2+y2的最小值是原点到此直线的距离d的平方．∴x2+y2=d2==8．故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．3. 已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A. B. C.1 D.2参考答案：B4. 已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列，则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣4 B．2n﹣3 C．2n﹣2 D．2n﹣1参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】S n，a n，成等差数列，可得2a n=S n+，利用递推关系可得：a n=2a n﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n，a n，成等差数列，∴2a n=S n+，∴n=1时，2a1=a1+，解得a1=．n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+，可得：2a n﹣2a n﹣1=a n，化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n==2n﹣2．故选：C．5. 已知a，b为异面直线，则下列命题中正确的是 ( )A．过a，b外一点P一定可以引一条与a，b都平行的直线B．过a，b外一点P一定可以作一个与a，b都平行的平面C．过a一定可以作一个与b平行的平面D．过a一定可以作一个与b垂直的平面参考答案：C6. 已知命题p:N 1 000,则p为（）A、N 000B、N 000C 、N 000 D.、N 000参考答案：C7. 已知集合,,则（）(A)(0,2) (B) {0,1,2} (C) (D) [0,2]参考答案：B8. 抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.参考答案：B略9. 在中，已知，，，则的面积等于（）A． B．C． D．参考答案：B略10. 不等式的解集为，则不等式的解集为（）A、 B、 C、 D、参考答案：A提示：得，由题知方程的二根为-1和3 ，易得：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，且，则的最大值为▲．参考答案：由题得根据基本不等式可知：，由可得：故，所以解得：，故的最大值为.12. 已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是_________________.参考答案：略13. 过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 .参考答案：或略14. 给出如图所示的流程图，其功能是________．参考答案： 求|a －b |的值15. 已知平面上两点及，在直线上有一点，可使最大，则点的坐标为。
四川省雅安市2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案
雅安市2021—2022学年上期期末检测高中二班级 数学(理科)试题参考答案 一、选择题: 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 A C C B C A A D C C D B二、填空题：13、方差 14、310 15、（2，3） 16、（1，2）三、解答题：17（本题满分10分）【解析】方法一 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则圆心为C(a ，b)，由|CA|＝|CB|，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.………………5分解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.……………….10分方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A(3，6)、B(5，2)在圆上，得⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.18.（本题满分12分） 【解析】 (Ⅰ)设()11,A x y 、()22,B x y ,由224,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得2540x x -+=,0∆>. ……………………………3分 解方程得1x =或4，∴A 、B 两点的坐标为()1,2-、()4,4∴22(41)(42)35AB =-++=…………………………………6分(Ⅱ)设点200(,)4y P y ,点P 到AB 的距离为d ,则200425y y d --=,∴12PABS=·53·200425y y --=12，………………9分∴200482y y --=.∴200482y y --=±，解得06y =或04y =-∴P 点坐标为()9,6或()4,4-…………………………………………12分19（本题满分12分）解：(Ⅰ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为大事A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0，2]，即x ＝0，1，2；y ∈[－1，1]，即y ＝－1，0，1.则基本大事有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本大事有8个，∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89……………………………………6分(Ⅱ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为大事B ， ∵x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]，则基本大事为如图四边形ABCD 区域，大事B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x＋y ≥0的概率为78………………………………12分20．（本题满分12分）解：(Ⅰ)由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为5100.5=，再结合频率分布直方图可知101000.0110n ==⨯，1000.020100.918a ∴=⨯⨯⨯=，1000.025100.369b =⨯⨯⨯=，270.91000.3x ==⨯，30.21000.15y ==⨯…………4分039910425)29()5x 2222=+--+=-+-y x y x y 即圆的方程为（(Ⅱ)其次，三，四组中回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：其次组： 186254⨯=人，第三组： 276354⨯=人，第四组：96154⨯=人…………………………………………………8分（Ⅲ）设其次组的2人为12A A 、，第三组的3人为123B B B 、、，第四组的1人为1C ，则从6人中抽2人全部可能的结果有：()()()()()1211121311,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C ()()()()()()()()()()21222321121311232131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C B B B B B C B B B C B C 共15个基本大事，其中其次组至少有一人被抽中的有()()()()()()()()()121112131121222321,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C 这9个基本大事.所以其次组至少有一人获得幸运奖的概率为93155=……………………………12分。
四川省泸州市2021-2022高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
四川省泸州市2021-2022高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题1. 双曲线2228x y -=的实轴长是 A. 2B.C. 4【答案】C 【解析】试题分析：双曲线方程变形为22148x y -=，所以28b b =∴=2b =考点：双曲线方程及性质2. 若直线:210l x y +-=与直线:210m x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. 2-C.12D. 4【答案】D 【解析】 【分析】讨论a 的值，由直线平行的性质，求解即可.【详解】当0a =时，直线:210l x y +-=与直线:210m x -=不平行，不满足题意；当0a ≠时，由直线11:22l y x =-+与直线21:m y x a a =-+平行，则122112aa⎧-=-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得：4a = 故选：D【点睛】本题主要考查了由直线平行求参数，属于中档题.3. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.考点：本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可. 4. 若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.11a b< B. 22a b >C. ln()0b a ->D.22ac bc <【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由幂函数的单调性判断B 选项. 详解】当2,1a b =-=-时，11112a b-=>=-；ln()ln10b a -==；则AC 错误； 当0c时，22ac bc =，则D 错误；因为函数2y x 在(,0)-∞上单调递减，0a b <<，所以22a b >故选：B【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题. 5. 设命题:1p a ∀<-，关于x 的方程2210ax x 没有实数根，命题q ：直线倾斜角的范围是[0,)π，则下列关系中，正确的是（ ） A. ()()p q ⌝∧⌝ B. ()p q ∧⌝C. p q ∧D. ()p q ⌝∧【答案】C 【解析】 【分析】分别判断这两个命题的真假，即可得出答案. 【详解】方程2210ax x 没有实数根，等价于440a ∆=+<，即1a <-，则命题p 为真命题；根据直线倾斜角的性质可得，命题q 为真命题；所以,p q ⌝⌝都为假命题即()()p q ⌝∧⌝为假命题；()p q ∧⌝为假命题；()p q ⌝∧为假命题；p q ∧为真命题 故选：C【点睛】本题主要考查了判断且，非联结的命题的真假，属于基础题.6. 若方程221259x y k k-=--表示曲线为焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ） A. (17,25) B. (,9)(25,)-∞⋃+∞ C. (9,25) D. (25,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质得出不等式组(9)25(9)0250k k k k -->-⎧⎪-->⎨⎪->⎩，即可得出答案.【详解】由题意可得，(9)25(9)0250k k k k -->-⎧⎪-->⎨⎪->⎩，解得(17,25)k ∈故选：A【点睛】本题主要考查了由方程表示椭圆求参数范围，属于中档题.7. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入3,2,1,312,0n x v i i ====-=≥成立； 1224v =⨯+=，211,0i i =-=≥成立； 4219v =⨯+=，110,0i i =-=≥成立；92018v =⨯+=，011,0i i =-=-≥不成立，输出18v =.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.8. 设,,αβγ表示平面，,,m n l 表示直线，则l α⊥的充分条件是（ ） A. αβ⊥，l β//B. αβ⊥，m αβ=，l m ⊥C. m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥D. βα⊥，γα⊥，l βγ=【答案】D【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】当αβ⊥，l β//时，可能//l α，则A 错误； 当αβ⊥，m αβ=，l m ⊥时，由面面垂直的性质得出，l 可能在α内，则B 错误；当m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥时，由线面垂直的判定定理得出，当//m n 时，得不到l α⊥，则C 错误；当βα⊥，γα⊥，l βγ=时，则可以在,βγ内分别找到异于l 的直线,d e ，使得,d e αα⊥⊥，根据线面垂直的性质得出//d e ，则//d γ，由直线与平面平行的性质得出//d l ，则l α⊥，则D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了判断直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A. 12πB. 45πC. 57πD. 81π【答案】C 【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱 故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C10. 若关于x 的不等式23||x a x -->至少有一个负实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1313,44⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ()3,3- D. 13,34⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】将该不等式的问题，转化为函数的交点问题，利用图象即可得出实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式23||x a x -->等价于22330x a x x ⎧-<-⎨->⎩ 若不等式至少有一个实数解，则函数()2,33,3x y x ∈-=-与||y x a =-的图象有交点 在同一坐标系中，画出函数23y x =-与||y x a =-的图象，如下图所示当||y x a =-的图象右边部分与23y x =-相切时，23y x ay x =-⎧⎨=-⎩有唯一解，即230x x a +--=有唯一解，则14(3)0a ∆=---=，解得134a =-当||y x a =-的图象左边部分过(0,3)时，求得3a = 则实数a 的取值范围是13,34⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由函数的零点求参数范围，属于中档题.11. 抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点M 在C 上，已知点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则||||MA MF 的最大值为（ ） A. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】过点M 作抛物线2:4C x y =的垂线，垂足于B ，结合抛物线的定义得出||||MA MF =，讨论x 的值，由132y x +-的几何意义，即可得出||||MA MF 的最大值.【详解】过点M 作抛物线2:4C x y =的垂线，垂足于B 设(,)M x y ，则(,1)B x - 由抛物线的定义得：||||MF MB =||||||||MA MA MF MB ∴===当32x =时，||1||MA MF = 当32x ≠时，132y x +-表示直线AM 的斜率k ，设直线3:12AM y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由23124y k x y x ⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得24640x kx k -++=2(4)4(64)0k k ∆=--+，解得12k ≤-或2k ≥24k ∴223115211114xy k⎛⎫-⎪∴+=++=⎪+⎪⎝⎭则||||MAMF的最大值为5故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线上的点到定点的距离以及斜率公式的应用，属于中档题. 12. 已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左，右焦点分别为1F，2F31F作圆222x y a+=的切线交双曲线右支于点M，则12F MF∠的大小为（）A.2πB.6πC.3πD.4π【答案】D【解析】【分析】根据几何关系得出直线1MF的方程，与双曲线方程联立得出M的坐标，根据距离公式以及余弦定理即可得出答案.【详解】由题意可得3,2c a b a==设切点为T，连2,TO MF，则11,||,||TO a F c F bO T===121||2tan2OT aMF FFT b∴∠===，即直线12:(3)2MF y x a=+①将①式代入22221x ya b-=得2232370x ax a-=-，解得363x a=则3262623,33M a a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭22132626233(222)33F M a a a a ⎛⎫⎛⎫++∴=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由双曲线定义得2(222)222F M a a a =+-=由余弦定理得22221284(21)122cos 22222(21)a a a F MF a a ++-∠==⋅⋅+ 124F MF π∴∠=故选：D【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系求参数，属于中档题. 二、填空题13. 双曲线22124x y -=的渐近线方程为_______.【答案】2y x = 【解析】 【分析】根据方程得出2,2a b ==，即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】根据双曲线的方程得2,2a b == 则其渐近线方程为2by x x a=±=± 故答案为：2y x =±【点睛】本题主要考查了求双曲线的渐近线方程，属于基础题.14. 在区间[0,5]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0,5]内的概率为_______.【答案】20π【解析】【分析】利用几何概型求概率即可.【详解】将取出的两个数用,x y表示，则,[0,5]x y∈要求这两个数的平方和在[0,5]内，则2205x y≤+≤由图可知，2205x y≤+≤表示图中阴影部分则这两个数的平方和在区间[0,5]内的概率为(21542520ππ⨯⨯=故答案为：20π【点睛】本题主要考查了几何概型计算概率，属于中档题.15. 在三棱锥A BCD-中，平面ABC⊥平面ACD，ABC与ACD△都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_______.【答案】60π【解析】【分析】根据几何关系确定该三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式即可得出答案.【详解】设外接球的球心为O，半径为R，AC的中点为M，,ACD ABC∆∆的外接圆圆心分别为12,O O，连接121,,,,,BM DM OO OO AO AO，如下图所示则BM AC ⊥，AC 为平面ABC 与平面ACD 的交线即BM ⊥平面ACD ，DM ⊥平面ABC ，1OO ⊥平面ACD ，2OO ⊥平面ABC 故四边形12OO MO 为矩形1213633OO O M ===22221163152sin 60R OO AO ︒⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭则该三棱锥的外接球的表面积为2460R ππ= 故答案为：60π【点睛】本题主要考查了几何体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.16. 不等式2220x axy y -+≤对于任意[1,2]x ∈及[1,3]y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】9[,)2+∞ 【解析】 【分析】 分离参数，令y t x =，根据不等式的性质得出1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设2()h t t t =+，根据函数单调性的定义得出其值域，即可确定a 的范围.【详解】依题意，不等式2220x axy y -+≤等价于2222x y x y a xy y x +≥=+，设yt x= [1,2]x ∈及[1,3]y ∈，1112x ∴，即132yx132t ∴，则22x y t y x t +=+ 令2()h t t t =+，1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令12132t t <≤≤时，()()()()121212122t t t t h t h t t t ---=当1212≤<<t t 12120,20t t t t -<-<，则()12()h t h t >123t t ≤<≤时，12120,20t t t t -<-，则()()12h t h t ≤所以函数()h t在区间12⎡⎢⎣上单调递减，在区间⎤⎦上单调递增119211()4,(3)322233h h h =+====+=则9()2h t ≤，即9[,)2a ∈+∞故答案为：9[,)2+∞【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，涉及求函数的值域，属于中档题. 三、解答题17. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:20C x y x my n +-++=，过点(1,1)--与(3,3)- （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 上有两点M ，N 关于直线20x y +=对称，且||MN =MN 的方程. 【答案】（1）22(1)(2)5x y -++=（2）11524y x =-或1524y x =- 【解析】 【分析】（1）将点(1,1)--与(3,3)-代入圆的方程，解方程组即可得出圆C 的方程；（2）由两直线垂直的关系设出直线MN 的方程，结合圆的弦长公式以及点到直线的距离公式，即可得出直线MN 的方程.【详解】（1）由112099630m n m n ++-+=⎧⎨+--+=⎩，解得4,0m n ==则圆C 的方程为22240x y x y +-+=，即22(1)(2)5x y -++= （2）由（1）可得，圆C 的圆心坐标为(1,2)-由于,M N 关于直线20x y +=对称，则,M N 所在的直线与直线20x y +=垂直 设,M N 所在直线方程为12y x b =+，圆心到直线12y x b =+的距离d=2d =圆心到直线12y x b =+的距离d ==解得155,44b b =-=- 即直线MN 的方程为11524y x =-或1524y x =- 【点睛】本题主要考查了求圆的方程以及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题. 18. 某厂通过节能降耗技术改造后，记录了生产A 产品过程中的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组统计数据，如下表：（1）利用所给数据求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该厂技改前100吨A 产品的生产能耗为90吨标准煤，请你预测该厂技改后100吨A 产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考公式：最小二乘法估计分别为，()()()1122211ˆnni iiii i nni i i i x y nxy x x y y bx nx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）ˆ0.735yx =+（2）16.5 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法得出回归方程即可； （2）将100x =代入回归方程，即可得出答案. 【详解】（1）4130254030504060456650i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221304050608600ii x==+++=∑30405060454x +++==，25304045354y +++==2665043545350ˆˆ0.7,350.745 3.58600445500ba -⨯⨯∴====-⨯=-⨯ 即ˆ0.735yx =+ （2）当100x =时，ˆ70 3.573.5y=+=，9073.516.5-= 则该厂技改后100吨A 产品的生产能耗比技改前降低16.5吨标准煤【点睛】本题主要考查了求回归方程以及根据回归方程进行数据估计，属于中档题. 19. 某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成绩，已知成绩都不低于100分，其中英语成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150].（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生英语成绩的平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）若这100名学生数学成绩分数段的人数y 的情况如下表所示：且区间[130,140)内英语人数与数学人数之比为10:1，现从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率.【答案】（1）这100名学生英语成绩的平均数和中位数分别为124，123.75（2）35【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求平均数，中位数的方法求解即可； （2）利用题设条件得出,m n 的值，再由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）这100名学生英语成绩的平均数为1050.051150.31250.41350.21450.05124⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=设这100名学生英语成绩的中位数为x直方图可知[100,110),[110,120),[120,130)对应的频率分别为0.05,0.3,0.40.050.30.40.750.5,0.5(0.30.05)0.15++=>-+= (120)0.040.15x ∴-⨯=，解得123.75x =则这100名学生英语成绩的中位数为123.75 （2）区间[130,140)内英语人数为1000.220⨯=人∴区间[130,140)内数学人数为120210⨯=人 2,100(1540402)3m n ∴==-+++=设数学成绩在[130,140)的人记为12,a a ，数学成绩在[140,150]的人记为123,,b b b 则从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人的所有情况为()()()()12111213,,,,,,,a a a b a b a b ，()()()212223,,,,,a b a b a b ，()()()121323,,,,,b b b b b b ，共10种，其中选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]有6种 即选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率为63105= 【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数，中位数以及古典概型概率的求解，属于中档题.20. 如图，多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，1AB =，2CD DE ==，3AD AC ==，点F 为CE 中点.（1）证明//BF 平面ACD ；（2）求AF 与平面ABED 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（222【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用向量法求解即可.【详解】（1）取CD 的中点为G ，连接,FG AGAB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD//AB DE ∴，且12AB DE =在CDE ∆中，,F G 分别是,CE CD 中点//FG ED ∴，且12FG ED =//AB DE ∴且=AB DE即四边形ABFG为平行四边形//BF AG∴BF⊄平面ACD，AG⊂平面ACD∴//BF平面ACD（2）由（1）可知，//AB FG，FG∴⊥平面ACD,CD AG⊂平面ACD，,FG CD FG AG∴⊥⊥AC AD=，AG CD∴⊥∴以点G作为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系(22,0,0)A，(22,0,1)B ，(0,1,0)C，(0,1,0)D-，(0,1,2)E -(22,0,1),(0,0,1),(22,1,0)AF AB AD∴=-==--，(0,0,1)F设平面ABED的法向量为(,,)n x y z=220zn AB n ABx yn AD n AD⎧⎧=⎧⊥⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+=⎪⊥⋅=⎪⎩⎪⎩⎩取2x=(2,4,0)n=-设AF与平面ABED所成角为θ||22sin9||||81216AF nAF nθ⋅===⋅+⋅+【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法证明线面角，属于中档题.21. 已知点(1,1)A --，(1,1)B -，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，设点M 的轨迹为C . （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线:l y x b =-+与轨迹C 交于D 、E 两点，(1,0)Q ，若QD QE ⊥，求弦长DE 的值.【答案】（1）2(1,)y x x =-≠±（210 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式得出直线AM 的斜率与直线BM 的斜率，由题意得出点M 的轨迹C 的方程； （2）将QD QE ⊥转化为0QD QE ⋅=，结合韦达定理以及弦长公式，即可得出答案. 【详解】（1）设(,)M x y ，由题意得1(1)1AM y k x x +=≠-+，1(1)1BM y k x x +=≠- 则2AM BM k k -=，即11211y y x x ++-=+-，化简得2(1,)y x x =-≠± 故点M 的轨迹C 的方程为2(1,)y x x =-≠±（2）设()()1122,,,D x y E x y ，则()()11221,,1,QD x y QE x y =-=-()()12120110QD QE x x y y ∴⋅=⇒--+=将y x b =-+代入2(1,)y x x =-≠±中，得20x x b -+=12121,x x x x b ∴+=⋅=，()121222y y x x b ⋅==则()()212121100x x y y b b --=++⇒=，解得0b =或1b =-当0b =时，y x =-与2y x =-的交点为(0,0)和(1,1)，则0b =不成立1b ∴=-DE ∴==【点睛】本题主要考查了求平面轨迹方程以及直线与抛物线相交的弦长，属于中档题.22. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D (0,1)，离心率（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE 、BE 与直线5:2l x =分别交于M 、N 两点，当线段MN 的长度最小时，椭圆C 上是否存在点T 使TBE 的面积为45？若存在，求出点T 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质列出方程组，即可得出椭圆方程；（2）根据题意表示出,M N 的坐标，进而得出直线BE 的方程以及弦长，由TBE 的面积得出点T 到直线BE 的距离，将该距离转化为两平行直线的距离，即可得出T 的坐标.【详解】（1）22212312b a cb a a bc =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为2214x y += （2）显然直线AE 的斜率存在，设为k ，并且0k >，则:(2)AE y k x =+设()11,E x y ，由(2)52y k x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得59,22k M ⎛⎫⎪⎝⎭由22(2)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩，得到()222214161640k x k x k +++-= 由212164214k x k --=+，得出2122814k x k -=+，则212228421414k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭ 222284,1414k k E k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭，即14EB k k =-，所以直线1(2)4:y E k B x =-- 由1(2)452y x kx ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得出51,28N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭91913228282k k MN k k ∴==+⋅=当且仅当16k =时，取等号，则min 32MN = 此时83,55E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5BE == 直线:3260BE x y +-=若椭圆C 上存在点T 使TBE 的面积为45，则点T 到直线BE 的距离为13即过点T 且与直线BE 平行的直线到直线BE的距离为13设该直线为:320l x y t ++=13=，解得2t =或14t =- 当2t =时，由22322014x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩或6545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 当14t =-时，由223214014x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2542960x x -+=由于24245960b =-⨯⨯<，则14t =-不成立综上，存在(0,1)T -或64,55T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使TBE 的面积为45【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中三角形的面积问题，属于较难题.。