初三数学《一元二次方程根与系数之间的关系》练习题(含答案)
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题一(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题一（附答案详解）1．若x=1是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式△=b 2－4ac 和完全平方式M=2)2(b a +的关系是（ ）A ．△=MB ．△>MC ．△<MD ．大小关系不能确定2．我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i=i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1．那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为（ ）A ．0B ．iC ．﹣1D ．13．我们已探究过一元二次方程的根与系数有如下关系：方程（）的两个根是，，则，，若，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________.4．阅读材料：设一元二次方程(≠0)的两根为，，则两根与方程的系数之间有如下关系：+＝－，·＝.根据该材料完成下列填空： 已知，是方程的两根，则（1）+＝ ,； （2）（）（）＝ . 5．如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一根，那么的值是________． 6．已知如下一元二次方程:第1个方程: 01232=-+x x ；第2个方程: 01452=-+x x ；第3个方程: 01672=-+x x ； ⋯⋯按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为 ；第n (n 为正整数)个方程为 ，其两个实数根为 . 7．已知，，满足，，则关于的一元二次方程的根是________． 8．设是一元二次方程的两个实数根，且，则a =__________. 9．阅读：一元二次方程的根，与系数存在下列关系：，；理解并完成下列各题：若关于的方程的两根为、．求和；求．10．如果21,x x 分别是一元二次方程a 2x +b x +c =0（a ≠0）的两根，请你解决下列问题： （1）推导根与系数的关系：21x x +＝-a b ， 21x x ＝ac（2）已知1x ，2x 是方程2x -4x +2=0的两个实根，利用根与系数的关系求221)(x x -的值； （3）已知sin a ，cos a （0090a ＜＜）是关于x 的方程22x -0)13(=++m x 的两个根，求角a 的度数．11．阅读理解：若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=ca，我们把它们称为一元二次方程的根与系数关系定理．问题解决：请你参考根与系数关系定理，解答下列问题：（1）若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为 ．（2）求方程2x2﹣3x=5的两根之和，两根之积．12．如果一元二次方程的两根为、，那么就有：，；人们称之为韦达定理，即根与系数的关系．如：的两根为、，则，．（1）如果方程的两根为、，且满足，，则________，________；（2）已知、是关于的方程的两实根，求的最大值．13．若，是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根，和系数，，有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；（2）若，求的值和此时方程的两根．答案： 1．A解：把x=1代入)0(02≠=++a c bx ax 得a+b+c=0. 即b=-a-c ，△△=b 2-4ac=（-a-c ）2-4ac=a 2-2ac+c2=（a-c ）2，M=（2a+b ）2=（2a-a-c ）2=（a-c ）2， 则△=M ． 2．B 解：3．-2解：△x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x +2=0的两个根，△x 1+x 2=4，x 1•x 2=2，△（x 1﹣2）（x 2﹣2）=x 1•x 2﹣2（x 1+x 2）+4=2﹣2×4+4=﹣2． 故答案为：－2． 4．（1）2011，2012；（2）2解：（1）根据题意得m+n=2012，mn=2013； （2）△m ，n 是方程x 2-2012x+2013=0的两根， △m 2-2012m+2013=0，n 2-2012n+2013=0， △m 2-2012m=-2013，n 2-2012n=-2013，△（m 2-2013m+2014）（n 2-2013n+2014）=（-m-2013+2014）（-n-2013+2014） =（-m+1）（-n+1）=mn-（m+n ）+1=2013-2012+1=2． 5．0或3解：△a 是一元二次方程x 2−3x +m =0的一个根,−a 是一元二次方程x 2+3x −m =0的一个根， △a 2−3a +m =0△,a 2−3a −m =0△，+△,得2(a 2−3a )=0， △a =或 故选：或 6．17x 2+16x-1=0，(2n+1)x 2+2nx-1=0，x 1=-1，1212+=n x 解：由题意得第8个方程为17x 2+16x-1=0，第n (n 为正整数)个方程为(2n+1)x 2+2nx-1=0[]01)12()1(=-++x n x ，解得x 1=-1，1212+=n x .7．； 解：△，△△-△得： 3a=b ，c=2a ， △ax 2+bx+c=0， △x==，△x 1==-1，x 2==-2；故答案为：x 1=-1；x 2=-2．8．8解：△x 1，x 2是一元二次方程x 2+5x-3=0的两个根， △x 2+5x 2-3=0，x 1x 2=-3， △2x 1（x 22+6x 2-3）+a=3， △2x 1x 2+a=3，△-6+a=3，△a=8，故答案是：8． 9．，；．解：△关于的方程的两根为、，△，；．10．（1）推导过程；（2）8；（3）30°或60°.解：（1）因为1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，所以224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥，即2142b b ac x a-+-=，2224(40)2b b ac x b ac a---=-≥∴1x +2x =242b b ac a -+-+242b b ac a ---=ba -；1x 2x =242b b ac a -+-×242b b ac a -+-=c a（2）△x 1，x 2是方程x 2-4x+2=0的两根， △x 1+x 2=4，x 1•x 2=2，△（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42-4×2=8； （3）由题意得，31sin cos 2a a ++=，sin cos 2m a a = △2423sin cos 4a a ++=（） 即 1+23122m ⨯=+ △32m =△原方程变为22x -3(31)02x ++=，解这个方程得：112x =，232x = ∴1sin 2a =或3sin 2a =即030=a 或060a = 答：a 的值是30°或60° 11．（1）﹣2（2）x 1+x 2=32，x 1x 2=﹣52解：（1）设一元二次方程的两根为x 1，x 2，且x 1=﹣1， 则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x 2=﹣3， 解得：x 2=﹣2． 故答案是：﹣2．（2）解：原方程可以转化为：2x 2﹣3x ﹣5=0， △a =2，b =﹣3，c =﹣5，△b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）=49＞0， △方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个实数根分别x 1，x 2，则 x 1+x 2=３２，x 1x 2=﹣５２． 12．（1）（2）解：（1）由韦达定理得，，解得m=4，n=-1；（2）△、是关于的方程的两实根，△，，△=．△的最大值是．13．（1）存在，12（2），；，解：（1）存在．△，是一元二次方程的两个实数根，△且，△的取值范围为且，根据根与系数的关系得，，△，△，△，△；（2）△，△，即，△，解得，，当时，原方程变形为，解得，；当时，原方程变形为，解得，．。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ） A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ） A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ） A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ） A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0 10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13 13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1 14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A．﹣1B ．9C ．23D ．27 15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ． 18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12 21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ） A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 _________ ． 26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是 _________ ． 三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长． 28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ） A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负． 2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ） A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ） A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=． 6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ） A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式． 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ） A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ） A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ） A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ） A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键． 25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是 ﹣2或﹣ ．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
北师大版九年级数学《一元二次方程的根与系数的关系》综合练习2(含答案)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系◆随堂检测1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______．2、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实 数根分别为1和2，则b =______，c =______．3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ） A ．0a = B ．2a =或2a =- C ．2a = D ．2a =或0a =4、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值.◆典例分析已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围； （2）当22120x x -=时，求m 的值．（提示：如果1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，那么有12b x x a +=-，12cx x a=）分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求m 的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方.◆课下作业 ●拓展提高1、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且q >0B ．0p >且q <0C ．0p <且q >0D ．0p <且q <0 2、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为（ ）A 、－1或34B 、－1C 、34D 、不存在(注意:k 的值不仅须满足1212x x x x +=,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即k 的值必须使得△0≥才可以.)3、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.4、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值.5、已知1x ，2x 是关于x 的方程(2)()(2)()x x m p p m --=--的两个实数根． （1）求1x ，2x 的值；（2）若1x ，2x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．●体验中考1、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） AB ．3C ．6D ．9(提示：如果直接解方程22870x x -+=，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.)2、已知,a b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两个实数根,则式子ba ab+的值是（ ）A ．22n +B ．22n -+C ．22n -D ．22n --参考答案： ◆随堂检测1、23. 依据一元二次方程根与系数的关系可得1232x x +=.2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得1212x x b x x c +=-⎧⎨=⎩，∴(12)3,122b c =-+=-=⨯=.3、B . △＝22()41140a a --⨯⨯=-=，∴2a =或2a =-，故选B .4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121231x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴121212(1)(1)1()1311x x x x x x ++=+++=-+=-. ◆课下作业 ●拓展提高1、A . 由一元二次方程根与系数的关系可得：1212x x px x q +=-⎧⎨=⎩，当方程20x p x q ++=的两根12,x x 同为负数时，121200x x x x +<⎧⎨>⎩，∴0p >且q >0，故选A .2、C . 由一元二次方程根与系数的关系可得：1221243x x kx x k +=-⎧⎨=-⎩， ∵1212x x x x +=，∴243k k -=-，解得11k =-，234k =. 当11k =-时,△＝222241(43)151215(1)1230k k k -⨯⨯-=-+=-⨯-+=-<,此时方程无实数根,故11k =-不合题意,舍去. 当234k =时,△＝2222341(43)151215()1204k k k -⨯⨯-=-+=-⨯+>,故234k = 符合题意.综上所述,234k =.故选C . 3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====.4、解：设方程230x x m -+=的两根为1x 、2x ，且不妨设122x x =.则由一元二次方程根与系数的关系可得：12123x x x x m +=⎧⎨=⎩，代入122x x =,得222332x x m=⎧⎨=⎩,∴21x =,2m =.5、解：（1）原方程变为：22(2)2(2)2x m x m p m p m -++=-++ ∴22(2)(2)0x p m x m p --+++=， ∴()()(2)()0x p x p m x p -+-+-=， 即()(2)0x p x p m -+--=， ∴1x p =，22x m p =+-．（2）∵直角三角形的面积为)2(212121p m p x x -+==p m p )2(21212++-=)]4)2(()22()2([21222+-+++--m m p m p =8)2()22(2122+++--m m p ，∴当22+=m p 且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为8)2(2+m 或221p ．●体验中考1、B . 设1x 和2x 是方程22870x x -+=的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：1212472x x x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴22221212127()24292x x x x x x +=+-=-⨯=，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B .2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得：1a b nab +=-⎧⎨=-⎩，∴222222()2()()2221b a a b a b ab a b n n a b ab ab ab ++-+-+===-=-=---.故选D .。
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题三(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题三（附答案详解）1．先阅读，再回答问题：如果x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，那么x1＋x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1＋x2＝－，x1x2＝.例如：若x1，x2是方程2x2－x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝＝－．若x1，x2是方程2x2＋x－3＝0的两个根，（1）求x1＋x2，x1x2（2）求＋的值．（3）求（x1－x2）22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，则c=；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．3．已知关于的一元二次方程．若是此方程的一个根，求的值和它的另一个根；若方程有两个不相等的实数根，试判断另一个关于的一元二次方程的根的情况．4．已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，求的取值范围；如果是满足条件的最大的整数，且方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一根．5．根据下列命题完成以下问题。
（命题）若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则有，。
〖问题1〗若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则有____________，___________。
〖问题2〗若、是一元二次方程的两个实数根，则有____________，___________。
〖问题3〗甲、乙两同学解同一道一元二次方程时，甲看错了一次项系数，得两根为2和7，乙看错了常数项，得两根为1和－10。
一元二次方程根与系数关系习题(含答案)
一元二次方程及一元二次方程与根与系数关系1.方程216x =的解是（ ）A ．4x =± B ．4x = C ．4x =- D ．16x =2.一元二次方程2520x x -=的解是（ ）A ．x 1 = 0 ，x 2 =25 B ． x 1 = 0 ，x 2 =52- C ．x 1 = 0 ，x 2 =52 D ． x 1= 0 ，x 2 =25- 3.方程2x =x 的解是（ ）（A ）x =1 （B ）x =0 (C) x 1=1 x 2=0 (D) x 1=﹣1 x 2=04.用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ）A ．（1)22=+xB ．1)2(2=-xC ．9)2(2=+xD ．9)2(2=-x5.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 6.用配方法将代数式a 2+4a -5变形，结果正确的是（ ）A.(a +2)2-1B. (a +2)2-5C. (a +2)2+4D. (a +2)2-9 7.关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．8.已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 9.已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）A ．3-B ．3C ．0D ．0或310.方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．0x = B ．3x = C ．3x =或1x =- D ．3x =或0x =11. 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）-1 （D ）-2 12.若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．5-D ．613.若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为（ )A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13- 14.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009 15.方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定16.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 17.定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==18.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对 19.方程(x-1)2=4的解是 ；20.若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．21.如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ．22.一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。
北师大版九年级数学《一元二次方程的根与系数的关系》课时训练(含答案)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系课时训练一、选择题(每题5分,共30分)1.已知方程x 2+2x-1=0的两根分别是x 1,x 2,则1211x x += ( ) A.2 B.-2 C.-6 D.62.若k>1,关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0的根的情况是( )A.有一正根和一负根B.有两个正根C.有两个负根D.没有实数根3.已知二次三项式2x 2+kx+c 分解因式为2(x-3)(x+1),则b,c 的值分别为( )A.3,-1B.-6,2C.-6,-4D.-4,-64.如果24410x x -+=,那么4x 等于 ( ) A.-2 B.2 C.4 D.-2或45.已知方程x 2+5x-2=0,求作一个新的一元二次方程, 使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数,则此新方程为( )A.4y 2-29y+1=0B.4y 2-25y+1=0C.4y 2+29y+1=0D.4y 2+25y+1=06.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.19二、填空题(每题3分,共24分)7.若方程x 2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=______,两个根是_______.8.某制药厂生产的某种针剂,每支成本3元,由于连续两次降低成本,现在的成本是2.43元,则平均每次降低的百分数是_________.9.关于x 的代数式x 2+(m+2)x+(4m-7)中,当m=_______时,代数式为完全平方式.10.已知a 2+3a=7,b 2+3b=7,且a≠b,则a+b=_______.11.某市计划在两年内将工农业生产总值翻两番,则平均每年工农业生产总值的增长率是________.12.关于x 的方程x 2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_______.13.在Rt △ABC 中,斜边AB=5,BC 、AC 是一元二次方程x 2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的两个实数根,则m 等于_________.14.在一元二次方程x 2+bx+c=0中,如果系数b 、c 可在1,2, 3,4,5,6中任意取值, 那么其中有实数解的方程有______个.三、解答题(每题7分,共28分)15.已知x 1=q+p,x 2=q-p 是关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根,求p 、q 的值.16.已知: 321329m n m n +=⎧⎨=-⎩, 的值为根的一元二次方程.17.某小会议室的地面为长方形,长比宽多2米,如果地面用384块边长为25 厘米的正方形瓷砖恰好铺满,试算一算,这个小会议室的长和宽各是多少?18.已知x 1和x 2是方程(k 2-1)x 2-6(3k-1)x+72=0的两正根,且(x 1-1)(x 2-1)=4, 求k 的值.四、列方程解应用题(每题9分,共18分)19.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路, 已知这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.20.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出若干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升.参考答案一、ABDBAD 二、7．2；-1，-2 8．10%9．4或810．-3 11．100%12．5 6 -13．4 14．19 三、15．203013ppqq⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或16．x2+2x-14=017.长6米，宽4米四、18．K=319. 宽6米20.10升。
2022-2023学年九年级数学 一元二次方程的根与系数的关系 含答案
一元二次方程的根与系数的关系一．选择题1．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3 B．﹣C．D．﹣22．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4．则k的值为（）A．﹣1 B．4 C．﹣4 D．﹣53．若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（）A．8 B．10 C．12 D．144．设m是整数，关于x的方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0有有理根，则方程的根为（）A．B．x＝﹣1C．D．有无数个根5．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（）A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2 6．已知关于x的方程（m2﹣3m+2）x2+（1﹣2m）x﹣m（m+1）＝0的根是整数，其中m是实数，则m可取的值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个7．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（）A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4 8．m、n是方程x2﹣2019x+2022＝0的两根，（m2﹣2022m+2022）•（n2﹣2022n+2022）的值是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2022 二．填空题9．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子3m2+6m ﹣mn的值为．10．若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．11．已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2的值是．12．若关于x的方程x2﹣34x+34k﹣1＝0至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值．13．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有个．14．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是．三．解答题15．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．18．试求出所有的正整数a，使得关于x的二次方程ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0至少有一个整数根．参考答案一．选择题1．解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b ＝﹣3，由根与系数的关系：x1+x2＝，故选：A．2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4，∴k+1＝﹣4，∴k＝﹣5．故选：D．3．解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝6+5+1＝12．故选：C．4．解：（1）当m＝0，原方程变为：x+1＝0，解得x＝﹣1，为有理根；（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，∵方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0有有理根，∴△＝b2﹣4ac为完全平方数，即△＝（m﹣1）2﹣4m＝（m﹣3）2﹣8为完全平方数，而m是整数，∴设（m﹣3）2﹣8＝n2，即（m﹣3）2＝8+n2，∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，∴n＝1，∴m﹣3＝3，即m＝6，所以方程为：6x2﹣5x+1＝0，（2x﹣1）（3x﹣1）＝0，∴x1＝，x2＝，故选：C．5．解：由题意可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，∴﹣2﹣k﹣1＜﹣1，∴k＞﹣2，∵△＝4﹣4（k+1）≥0，∴k≤0，∴﹣2＜k≤0，故选：C．6．解：①当m2﹣3m+2≠0时，即m≠1和m≠2时，由原方程，得[（m﹣1）x+m][（m﹣2）x﹣（m+1）]＝0解得，x＝﹣1﹣或x＝1+，∵关于x的方程（m2﹣3m+2）x2+（1﹣2m）x﹣m（m+1）＝0的根是整数，∴m＝0.5，m＝1.5，m＝1.25；②当m2﹣3m+2＝0时，m＝1，m＝2，分别可得x＝0，x＝2，因此m＝1，m＝2也可以；综上所述，满足条件的m值共有5个．故选：C．7．解：∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，解得：m≤1．∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．故选：A．8．解：∵m，n是方程x2﹣2019x+2022＝0的两根，∴m2﹣2019m+2022＝0，n2﹣2019n+2022＝0，mn＝2022，∴（m2﹣2022m+2022）•（n2﹣2022n+2022）＝（﹣m）（﹣n）＝mn＝2022．故选：D．二．填空题9．解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴3m2+6m﹣mn＝2（m2+2m）﹣mn＝2×1﹣mn＝2﹣mn，∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，∴mn＝﹣1，∴3m2+6m﹣mn＝2﹣2×（﹣1）＝4．故答案为4．10．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，所以+＝＝＝﹣．故答案为﹣．11．解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3，ab＝﹣1，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3，故答案为：3．12．解：∵方程x2﹣34x+34k﹣1＝0至少有1个正整数根，∴△＝342﹣4（34k﹣1）＝1160﹣136k≥0，正整数k可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，∵只有当k＝1时，x1＝1，x2＝33，∴正整数k的值是1．故答案为：1．13．解：①当a＝1时，x＝1；②当a≠1时，原式可以整理为：[（a﹣1）x+a+1]（x﹣1）＝0，易知x＝1是方程的一个整数根，再由1+x＝且x是整数，知1﹣a＝±1或±2，∴a＝﹣1，0，2，3；由①、②得符合条件的整数a有5个．故答案为：5．14．解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143＝0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）＝39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39＝1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26＝1、5x﹣5a+26＝39联立解得a＝2.8不符合，②当5x﹣26＝39、5x﹣5a+26＝1联立解得a＝18，③当5x﹣26＝3、5x﹣5a+26＝13联立解得a＝8.4不符合，④当5x﹣26＝13、5x﹣5a+26＝3联立解得a＝12.4不符合，∴当a＝18时，方程为5x2﹣90x+325＝0两根为13、﹣5．故答案为：18．三．解答题15．解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，解得m≤﹣．故实数m的取值范围是m≤﹣；（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝，∵4+4x1x2＞x12+x22，∴4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，即4+6x1x2＞（x1+x2）2，∴4+6×＞1，解得m＞﹣2，∴﹣2＜m≤﹣，∴整数m的值为﹣1．16．解：（1）根据题意得△＝4m2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，∵x1+x2+x1•x2＝4，∴2m+m2+m＝4，整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，∵m≤0，∴m的值为﹣4．17．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故答案为：k≥2．（2）由题意得：，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．故答案为：k＝3．18．解：ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0，ax2+4ax+4a＝x+6，a（x+2）2＝x+6，当x＝﹣2时，a不存在，所以x≠﹣2，∵a是正整数，∴a＝≥1，由（x+2）2＞0得（x+2）2≤x+6，整理得x2+3x﹣2≤0．天天向上独家原创解得：≤x≤，所以x可取﹣3、﹣2（舍去）、﹣1、0，依次代入a＝得到：x＝﹣3，a＝3；x＝﹣1，a＝5；x＝0，a＝1.5（舍去）．∴满足条件的正整数a的值是3和5．11 / 11。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题1(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题1（附答案详解）1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．42．下列方程中，两个实数根的和为4的是（）A．x2－4x＋5=0 B．x2＋4x－l=0 C．x2－8x＋4=0 D．x2－4x－1=0 3．已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3=0，那么x2＋3x的值为( ) A．1 B．－3或1 C．3 D．－1或34．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870-+=x x的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A．3B．3 C．6 D．95．已知a≥2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,m≠n,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是()A．6 B．3 C．-3 D．06．一元二次方程x2﹣x﹣1=0和2x2﹣6x+5=0，这两个方程的所有实数根之和为（）A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．17．若关于x的一元二次方程（x–2）（x–3）=m有实数根x1、x2，且x1<x2，则下列结论中错误的是A．当m=0时，x1=2，x2=3B．m>–1 4C．当m>0时，2<x1<x2<3D．二次函数y=（x–x1）（x–x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）8．关于x的方程ax2+bx+c=0,若满足a-b+c=0，。
则方程（）.A．必有一根为1 B．必有两相等实根C．必有一根为－1 D．没有实数根。
9．若是方程的两个根，且，则的值为（）A ．或2 B．1或C．D．110．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).有下列命题：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－1和2，则2a＋c＝0；③若一元二次方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．其中真命题的个数是()11．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是、，那么=，=，则若关于x 的方程的两个实数根满足关系式，则k 的值为_____________________12．已知关于x 的方程x 2+3x+a ＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____． 13．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则1211+x x =__． 14．若是一元二次方程的两个根，则的值是 ．15．已知方程x 2﹣4x ﹣1=0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1•x 2=__________；16．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －12=0的一个根为-2，则另一个根是______________． 17．直线与双曲线交于和两点，则的值为 ．18．x 1、x 2为方程x 2-3x-2=0的两根，则以x 1+1、x 2+1为两根的一元二次方程为________19．若x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣4=0的两实数根，那么2112x x x x +的值为________. 20．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根，则x 1+x 2=_____． 21．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x+m 2+1=0。
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一元二次方程根与系数之间的关系
一 、选择题（本大题共2小题）
1.已知方程260x kx ++=的两个实数根是1x 、2x ，同时方程260x kx -+=的两实数
根是15x +，25x +，则k 的值等于（ ）
A.5
B.5-
C.7
D.7-
2.若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是
（）
A.2316b ac =
B.2316b ac =-
C.2163b ac =
D.2163b ac =-
二 、填空题（本大题共8小题）
3.若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=
4.以3-和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为____________
5.已知m 、n 是一元二次方程2310x x -+=的两根，那么代数式222461999
m n n +-+的值为
6.若方程210x px ++=
的一个根为1，则它的另一根等于 ，p 等于
7.关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是 ，______b =
8.方程2380x x m -+=的两个根之比为3:1，则_______m =
9.已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x
⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶
12
11
_______x x +=；⑷2212_______x x +=
10.如果方程22430x x k ++=的两个根的平方和等于7，那么_______k =
三 、解答题（本大题共12小题）
11.
不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积
12.
已知2240x x k -+=的一个根，求另一个根和k 的值
13.设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值
⑴12(3)(3)x x --；⑵
211211
x x
x x +++；⑶12x x -
14.已知实数1x 和2x 满足211620x x -+=和222620x x -+=，求
21
12
x x x x +的值
15.已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x
⑴求k 的取值范围。
⑵是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由
16.是否存在常数k ，使关于x 的方程224(35)60x k x k ---=的两个实数根1x 、2x ，
满足
213
2
x x =，如果存在，试求出所有满足条件的k 值；如果不存在在，请说明理由
17.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是25230x x +-=各根的负倒数
18.已知关于x 的方程210x mx m -+-=有两个不相等的实根1x 、2x ，
且12
11
m x x +=，求m 的值
19.已知方程240x x m ++=的两个根的平方和是10，求m 的值。
20.
1
4
-，求这两个数
21.已知α、β是方程2520x x ++=的值．
22.设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，
则k 的值是 ．
一元二次方程根与系数之间的关系答案解析
一 、选择题
1.A
2.A;不妨设方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x ，且123x x =
∴1224x x x +=，则24b
x a
=- ∴24b x a =-
，将24b
x a
=-代入方程20ax bx c ++=整理，即可得A 【解析】韦达定理
二 、填空题
3.7-
4.(3)(2)0x x +-=，（最好让学生整理出一般形式260x x +-=）
5.2011;原式222222()2(3)19992[()2]2(3)19992011m n n n m n mn n n =++-+=+-+-+=
6.设方程的另一根为2x ，
根据题意得22(1(11
x p x ⎧+-=-⎪⎨
⋅=⎪⎩，
解得21x =
，p =
【解析】部分学生喜欢将1x =-p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。
7.设另一个根是2x ，根据题意得，22(2)2(2)1
x b x +-=-⎧⎨
⋅-=-⎩，解得212x =，3
4b =
8.设方程的两个根为3a 、a ，根据题意得833
33a a m
a a ⎧
+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩
，解得23a =，4m =
9.⑴2-；⑵3
2-；⑶43
；⑷7
10.设方程2
2430x x k ++=的两个根为1x 、2x ，则12122
32
x x x x k +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，
根据题意得22
12
7x x ∆≥⎧⎪⎨
+=⎪⎩，解得1k =-
三 、解答题
11.令此方程的两个实数根为1x 、2x
由韦达定理得12x x +==
，12x x ⋅==
【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥
12.设另一个根为2x
，根据题意得22(24(2x x k
⎧++=⎪⎨
⋅+=⎪⎩
，解得22x =-1k =
13.由韦达定理得127
4x x +=，1234
x x ⋅=-
⑴12121237(3)(3)3()939344
x x x x x x --=-++=--⨯+=；
⑵221221112121212121212(1)(1)()2()101
11(1)(1)132
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++ ⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=
，∴12x x -=【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来
14.当12x x =时，原式2=；当12x x ≠时，原式16=
【解析】注意分类讨论12x x =，12x x ≠
15.⑴根据题意得200
k ⎧≠⎨∆>⎩，解得1
4k <且0k ≠
⑵不存在这样的实数k
假设方程的两个实数根1x 、2x 互为相反数，则122
21
0k x x k
-+=-= 解得1
2
k =，∵14
k <且0k ≠
∴12
k =舍
因此不存在这样的实数k ，使方程的实数根互为相反数 【解析】易忽略0k ≠
16.解：假设存在满足条件的k ，则由韦达定理得1235
4
k x x -+=①，21232k x x =-②
∵23
02
k -≤ ∴120x x ≤ ∵2132x x =，∴2132
x x =-③ 由①②③解得11k =，25k =
当11k =，25k =时，∆均大于0 所以存在满足条件的常数k ，1k =或5
17.设方程25230x x +-=的两根为1x 、2x ，则122
5x x +=-，1235
x x ⋅=-
设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y 、2y 则111y x =-
，22
1
y x =- ∴12121212112
()()3
x x p y y x x x x +=-+=--
-==⋅； 1212121115()()3
q y y x x x x =⋅=-
⋅-==- ∴所求的方程为22
5033
y y +-=，即23250y y +-=
【解析】求作新方程时，均可以设所求方程为20y py q ++=的简单形式，再根据12()p y y =+，12q y y =⋅
18.由韦达定理得12121x x m x x m +=⎧⎨
⋅=-⎩，∵1211m x x += ∴ 1212
x x m x x +=⋅，即1m
m m =-，解得
0m =或2m =∵0∆>，∴0m =
【解析】易忽略0∆>的条件
19.设方程的两根为1x 、2x ，由韦达定理得12124x x x x m +=-⎧⎨
⋅=⎩，根据题意得22
12
10x x ∆≥⎧⎪⎨+=⎪⎩解
得，3m =
【解析】易忽略0∆≥的条件
20.设这两个数为1x 、2x
，由题意得121214
x x x x ⎧+=⎪
⎨⋅=-⎪⎩，
∴以1x 、2x 为根的一元二次方程
为21
04x -=，解
得1x =
，2x =
【解析】韦达定理
21.由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=
∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ++++=++===
=【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值
22.由韦达定理得122
12
2(1)
2x x k x x k +=+⎧⎪⎨
⋅=+⎪⎩，∵()()12118x x ++= ∴121218x x x x ⋅+++= 即222(1)18k k ++++=，整理得2230k k +-=，解得3k =-或1k = ∵0∆>，∴1k =。