四川省绵阳市2017级高三第三次诊断性测试理科数学试题(word版含答案)
四川省绵阳市2017级高三第三次诊断性测试
(理科)数学试题
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.设集合22{(,)|1},{(,)|,AxyxyBxyx+y=1},则A∩B中元素的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知复数z满足(1)|3|,izi则z=
A.1-i B.1+i C.2-2i D.2+2i
3.已知3log21,x则4x=
A.4 B.6 3log2.4C D.9
4.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A、B、O、AB血型与COVID-19易感
性存在关联，具体调查数据统计如下:
根据以上调查数据，则下列说法错误的是
A.与非O型血相比，O型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低
B.与非A型血相比，A型血人群对COVID-19相对易感，风险较高
C.与A型血相比，非A型血人群对COVID-19都不易感，没有风险
D.与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID-19的易感性要高
5.在二项式2()nxx的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为
A. -360 B. -160 C.160 D.360
6.已知在△ABC中，sinB=2sinAcosC, 则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
7.已知两个单位向量a, b的夹角为120°, 若向量c= =2a-b, 则a·c=
5.2A 3
.2B
C.2 D.3
8.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.若将此大教堂外形
弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线22221(0,yxabab>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为
2,到渐近线距离为22,则此双曲线的离心率为
A.2 .22B C.3 .23D
9.设函数21,0,()21,0,xxxfxx则下列结论错误的是
A.函数f(x)的值域为R B.函数f(|x|)为偶函数
C.函数f(x)为奇函数 D.函数f(x)是定义域上的单调函数
10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02)的最小正周期为π,且关于(,0)8中心对称，则下列结论正 11.已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)=x-[x], 则函数()()xxgxfxe的零点个数为 .(0,)2D 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则 17. (12 分) 18. (12分) 19. （12分） 若将频率视为概率，试解答如下问题： (2)该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输.已知一辆货车每天只能运营一趟, 20. (12 分) 21. (12 分) (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。 如图,在极坐标系中,曲线1C是以C1(4, 0)为圆心的半圆，曲线2C是以2(3,)2C为圆心的圆，曲线C1、 C 都过极点O. (2)直线l:()3R与曲线12,CC分别交于M、N两点(异于极点O), P为2C上的动点,求△PMN面积 (2)若函数f(x)的最小值记为m，设a, b, c均为正实数，且a+4b+9c=m, 求11149abc的最小值.
确的是
A. f(1)< f(0)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.在△ABC中，∠C=90°, AB=2,3,ACD为AC上的一点(不含端点),将△BCD沿直线BD折起，使点C
在平面ABD上的射影O在线段AB上，则线段OB的取值范围是
1
.(,1)2A
13.(,)22B 3.(,1)2C 3
13. 已知5cossin,225则sinα=____
14.若曲线f(x)=excosx-mx,在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为3,4则实数m=_____.
15.已知12,FF是椭圆C:22221(0)xyabab的两个焦点，P是椭圆C.上的一点,12120,FPF且
12
FPFV
的面积为43,则b=____.
该容器的高应为____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
若数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,123nnaS.
(1)求;nS
(2)设1,nnbs求证:12352nbbbbL.
如图，己知点S为正方形ABCD所在平面外一点，△SBC是边长为2的等边三角形,点E为线段SB的中点.
(1)证明: SD//平面AEC ;
（2）若侧面SBC⊥底面ABCD，求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值.
2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务。
已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X<200，单位：件。注：蔬菜全部用统一规格的
包装箱包装），并分组统计得到表格如下：
(1).该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多
有2天小于120件的概率;
每辆货车每趟最多可装载40件,满载才发车，否则不发车.若发车，则每辆货车每趟可获利2000元;若未发车，则
每辆货车每天平均亏损400元.为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车?
已知函数2()(2)ln2fxaxaxx，其中a∈R.
(1)当a=4时,求函数f(x)的极值;
(2)试讨论函数f(x)在(1, e) 上的零点个数.
已知动直线l过抛物线C:24yx的焦点F,且与抛物线C交于M, N两点，且点M在x轴上方.
(1)若线段MN的垂直平分线交x轴于点Q,若|FQ|=8,求直线l的斜率;
(2)设点P(x0, 0), 若点M恒在以FP为直径的圆外，求0x的取值范围.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程] (10 分)
2
(1)分别写出半圆1,C2C的极坐标方程;
的最大值.
23. [选修4-5: 不等式选讲] (10 分)
已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|.
(1)解关于x的不等式f(x)≤5;
绵阳市高中2017级(2019.10.31)第一次诊断性考试数学理科试题(PDF版,含答案答题卡)
绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ACDBB DBCAC AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π 15． 16．12m =−或m ≥0 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）22()(cos sin )2sin f x x x x =−−212sin cos 2sin x x x =−−cos 2sin 2x x =−)4x π+， ……………………………………………4分 ∴ T =22ππ=， 即()f x 的最小正周期为π. ……………………………………………………5分 ∵ cos y x =的单调递减区间为[2k π，2k ππ+]，k ∈Z ，∴ 由2k π≤2x +4π≤2k ππ+，k ∈Z ，解得8k ππ−≤x ≤38k ππ+，k ∈Z ， ∴ ()f x 的单调递减区间为[8k ππ−，38k ππ+]，k ∈Z ． ……………………7分（2）由已知0()=1f x −，可得0)14x π+=−， ………………………10分即0cos(2)4x π+=， 再由0()2x ππ∈−−，，可得0732()444x πππ+∈−−，， ∴ 05244x ππ+=−， 解得 03=4x π−．………………………………………………………………12分18．解：（1）∵ a n +2+a n =2a n +1，n ∈N *，即a n +2-a n +1=a n +1-a n ，∴ 数列{}n a 是等差数列.由1411+37a a a d ，===，解得112a d ，==，∴1=+(1)21n a a n d n −=−. ………………………………………………………4分 当1n =时，12b =，当n ≥2时，1122(22)n n n n n b S S +−=−=−−−1222222=n n n n n +−=⨯−=.∴ 数列{}n b 的通项公式为2n n b =．……………………………………………8分（2）由（1）得，212n n c n −=+，………………………………………………9分 3521(21)(22)(23)(2)n n T n −=++++++++ 3521(2222)(123)n n −=+++++++++ 2(14)(1)142n n n −+=+− 2122232n n n +−+=+． ……………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，∴ sin B =sin(A +C )，由题意得 cos B =sin B +1． …………………………………………………3分 两边平方可得2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，根据sin 2B +cos 2B=1，可整理为3sin 2B+2sin B -1=0， 解得31sin =B 或sin B =-1（舍去）．……………………………………………5分 ∴ 31sin =B ． ……………………………………………………………………6分 （2）由2C A π−=，且A B C π++=， 可得22A B π=−，C 为钝角， ∴ sin 2cos A B =，又b =由正弦定理得sinsin a b c A C===∴a A =，c C =． 又C 为钝角，由（1）得cos B =． ………………………………………9分 ∴ △ABC 的面积为111sin 223S ac B A C ==⨯⨯⨯99sinsin()sin cos 222A A A A π=+= 999sin 2cos 444A B ==== 综上所述，△ABC 的面积为2． …………………………………………12分 20．解：（1）由题意得ln 244()1ln 2ln 2x f x x x +−==−++， ………………………2分 由x ≥1，知ln x ≥0，于是ln x +2≥2，∴ 10ln 2x <+≤12，即420ln 2x −≤−<+， ∴-1≤41ln 2x −+<1， ∴()f x 的值域为[-1，1)． ……………………………………………………5分(2)=+)()(21x f x f 2ln 412ln 4121+−++−x x 21=， 所以232ln 42ln 421=+++x x ． 又1211x x >>，，∴2121ln ln ln x x x x +=42ln 2ln 21−+++=x x ………………………………8分4)2ln 42ln 4()]2(ln )2[(ln 322121−+++⋅+++=x x x x 21124(ln 2)4(ln 2)2[8]43ln 2ln 2=x x x x ++++−++≥220(8433+−=， ……………………………………………11分 当且仅当21124(ln 2)4(ln 2)ln 2ln 2x x x x ++=++，即x 1=x 2时取“=”， 故20312min ()e x x =，∵ ()f x 在(1，+∞)上是增函数，∴ 137)(min 21=x x f ． ………………… ………………………………………12分 21．解：（1）由题意得e ()e 2(2)x x f x ax x a x '=−=−，令e ()xh x x=， 则2e (1)()x x h x x−'=． ……………………………………………………………2分 ∴ 当0<x <1时，得()h x '<0，此时()h x 单调递减，且x →0，()h x →+∞，当x >1时，得()h x '>0，此时()h x 单调递增，且x →+∞，()h x →+∞， ∴ ()h x min =h (1)=e ．①当2a ≤e ，即a ≤e 2时，()f x '≥0，于是()f x 在(0，+∞)上是增函数， 从而()f x 在(0，+∞)上无极值．②当2a >e ，即a >e 2时，存在0<x 1<1<x 2，使得1()f x '=2()f x '=0， 且当x ∈(0，x 1)时，()f x '>0，()f x 在(0，x 1)上是单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '<0，()f x 在(x 1，x 2)上是单调递减；当x ∈(x 2，+∞)时，()f x '<0，()f x 在(x 2，+∞)上是单调递增，故x 2是()f x 在(0，+∞)上的极小值． 综上，e 2a >． …………………………………………………………………6分 （2）要证f (x )>ax (ln x -x )即等价于证明e x >ax ln x ．①当0<x ≤1时，得e x >1，ax ln x ≤0，显然成立； ………………………………………………………………………7分 ②当x >1时，则x ln x >0，结合已知0<a ≤2e 2，可得0<ax ln x ≤2e 2x ln x ．于是问题转化为证明e x >2e 2x ln x ， 即证明22e ln 0x x x−−>． …………………………………………………………8分 令22e ()ln 1x g x x x x−=−>，， 则222e (1)()x x x g x x −−−'=， 令2()2e (1)x h x x x −=−−，则2()2e 1x h x x −'=−，易得()h x '在(0)+∞，上单调递增. ∵2(1)=10(2)=30eh h ''−<>，， ∴存在0(12)x ∈，使得0()=0h x '，即0202e 1x x −=. ∴()h x 在区间(1，0x )上单调递减，在区间(0x ，+∞)上单调递增， ………………………………………10分 又(1)=10(2)=0h h −<，，∴当(12)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(2)x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()g x ≥(2)g =1-ln2>0，故g (x )>0，问题得证． ……………………………………………………12分22．解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=，∴ 曲线C 的普通方程为224x y +=． …………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴ 代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． ………………………………5分（2）把=3πθ代入ρcos(6πθ−)=3中， 可得ρcos(36ππ−)=3，解得ρ=，即B 点的极径B ρ=，由（1）易得A ρ=2，∴ |AB |=|A ρ-B ρ|=-2． ………………………………………………10分23．解：（1）当m =2时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．当x ≤-1时，()(2)(1)50f x x x =−−−+−≥，解得x ≤-2； ……………………………………………………………………1分 当-1<x <2时，()(2)15f x x x =−−++−≥0，无解． ……………………………………………………………………………3分 当x ≥2时，()215f x x x =−++−≥0，解得x ≥3； ……………………………………………………………………4分综上，原不等式的解集为(2][3)−∞−+∞，，． ………………………………5分 （2）∵()|||1|5f x x m x =−++−≥|()(1)|5x m x −−+−|1|5m =+−≥-2，∴ |1|m +≥3， …………………………………………………………………8分 ∴ m +1≥3或m +1≤-3，即m ≥2或m ≤-4，∴ 实数m 的取值范围是(−∞，-4][2)+∞，． ……………………………10分。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案
绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷l 至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2=-4y 的准线方程是A. x=-1B. x=2C.y=1D. y=-2 3. 若复数z 满足z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数z= A. 1+i B. -1-i C. 1-i D. -1+i4. 设数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2广是“数列{a n }是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则|a+2b|=A.C. 4 D . 126. 函数f(x)=7. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M 处的条件为 A. 31 k B. 15 k C. k>3l D. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)( x x f ，若函数f(x)在区间)85,6(上单调递增，则0的取值范围是A [87,3]B [43,65] C (32, ] [,8 )D (3, ] [ ,87)9. 已知椭圆)0(12222 b a by a x 与离心率为2的双曲线)0,0(12222 n m ny m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若31cos 21PF F ,则椭圆的离心率为 A.42 B. 22 C.1010D. 510 10. 已知函数f(x)=ln(e x +a)(e 是自然对数的底数，a 为常数）是实数集R 上的奇函数，若 函数f(x)=lnx-f(x)(x 2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e B. )1,0(2eeC. ),1(2 e eD. )1,(2ee第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a 的值是____ 12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____13.设变量x 、y 满足约束条件：11y y x x y ，则目标函数z=2x+y 的最大值是_______14. 己知534sin )3sin(a a，且32 a 则cosa=______ 15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),)(x f 是函数f(x)的导数，如果],[b a ，使得f(b)-f(a)= ))((a b f ,则称 为[a,b]上的“中值点”.下列函数：① f(x)=2x+l,② f(x)=x 2-x+l, ③ f(x)=lnx+l,④3)21()( x x f ，其中在区间[0, 1]上的“中值点”多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.已知{a n }是等差数列，a 1=3, Sn 是其前n 项和，在各项均为正数的等比数列{b n }中， b 1=1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3+3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式； (II)设n n S c 2，数列{c n }的前n 项和为T n ,求证23 n T18. (本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED 丄平面ABCD,ED=1, EF//BD 且EF=BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题满分12分）函数)2||,0)(sin()(x x f 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4个单位后得到函数y=f(x)的 图象. (I )求函数y =g(x)的解析式；(II)已知ΔABC 中三个内角A ，B ， C 的对边分别为a, b ，c ，且满足)122(A g +)122(B g ＝26sinAsinaB,且C=3，c=3，求ΔABC 的面积.已知椭圆C: )0(12222 b a b y a x 的离心率为23，以原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02 y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=e x -ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[ x ，都有不等式f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围； (III)设*N n ,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn )(<1e e绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．31415．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）成绩在区间 9070，的频率是：1 (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴ 27500.54n 人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间 8090，的频率是： 1 (0.02+0.016+0.006+0.004+0.03) 10=0.24，利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是： 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分（Ⅲ）成绩在区间 4050，的学生人数是：50×0.04=2人，成绩在区间 5060，的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间 4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间 5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在 6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在 5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况．∴ 至少有1人成绩在 5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d，， 解得q =2或q =517(舍)，d =2． ∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ，于是2112n n c S n n， ∴ 11111111324352n T n n 1111212n n311212n n<32． …………12分 18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴ EF OB ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．ABCD EF O而BF 平面ACE ，EO 平面ACE ，∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分 （Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ， ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF DO ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高，且高h =EF FO OE ＝． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V 三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+2213232332=2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126（），解得ω=2． 再由()sin(2)11212f，得2(Z)62k k，即2(Z)3k k．由22，得3．∴ ()sin(2)3f x x．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x，即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)x．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：sin sin sin A B A B ．∵ 32sin sin sin sin 3a b c R A B C(R 为△ABC 的外接圆半径)，∴2R ，∴ sin A =2a R ，sin B =2bR ．∴2222a b a b R R R R，即 a b ． ① 由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ， 即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23(舍去)，故△ABC 的面积S △ABC=1sin 24ab C ．…………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=c a∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，∴b ，解得b =1．再由 a 2=b 2+c 2，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y ．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y ，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x，即AQ ⊥BQ ， ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x ，由002(2)22y y x x x ，， 解得：00282x y y x，，即008(2)2y M x ，，∴ 004(2)2yN x ，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y ，∴ 0000212OQ QN y x k k x y，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x )(，当a ≤0时0)( x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数． 当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)( x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)( x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分 （Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ，成立，即不等式2x e x x a x对任意[2)x ，成立．设2()x e x x g x x (x ≥2)，于是22(1)()x x e x g x x ．再设2()(1)x h x x e x ，得()(2)x h x x e ．由x ≥2，得()0h x ，即()h x 在[2) ，上单调递增， ∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x， ∴ g (x )在[2) ，上单调递增， ∴ 2min[()](2)32e g x g ，∴ 232e a ，即实数a 的取值范围是2(3)2e ，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x ．令i x n(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n ≤i ne ，即(1)n i n ≤i e ，∴1()n n n ≤1e ，2()n n n ≤2e ，3()n n n ≤3e ，…，1()n n ≤(1)n e ， 显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n≤0123(1)n e e e e e 11(1)111n n e e e ee e e， 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e…（）（n ∈N *）成立．……………4分。
绵阳市2022年高三第三次诊断测试理科数学含答案
秘密食启用前【考试时间：2022年4月19日15:00-17: 00]绵阳市高中2019级第三次诊断性考试理科数学洼’！.项Et.科怨1附，考生务必将自己的姓名、准考证号坝写在答阁卡上．2.国答地拇跑时Ijk山每小周寄练后，用份电把寄剧卡上X.J应剧院的寄来标号泳棋．如需改动，用橡皮锁平挣后，：峰造涂其它答采标号．回答非边锋届时，将答巢写在答屈卡上．写在本试告上无放．3.考试结束后，将答题卡交回．一、选锦题：本大题共12小题，每小姐5分．共60分．在每小姐绘出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若组数时2’i)(4-i），则z的共领复数为A. -7-6iB. -7+6i c.1’6i D.7+6i2.己知集合A={xl:c 1<l}, B ＝｛斗C J <2｝，则ArlB=A.（寸，l)B.（’1, ln 2)C. (0, ln2)D. (l n2, I)3.某车间从生产的－t比产品中随机抽取了IOOO 个零件道行一项服id:指标的检测，整理捡测结果得此项研fil 指标的频率分布革方图如困所示，则下列结论错误的是A.俨0.005B .估计这批产品该项原iit 指标的众数为45c.仿�H革批产品该项踊挝指标的中位数为ωD.从这批产品中随机地l议l个零件，Jt 届冠指标在（50,70）的概郁的为0.54.己知α，p 是两个不间的平而，m 是一条E 线，若mJ.p ，则～，／／α”是＂o.J.P ＂的A.充分不必�条件B.必要不充分条件般…0.020’”…“…」。
··…......... 。
.01白，…………→…·，．．，卜”c.充分必要条件o.既不充分又不必盟条件5.四函数／（x）＝�，则l+x A.f{x）在（－1，叫上单调迪！{2B.剧的困!$l关于点忖，l )511称c.j{x ）为岱函数 D. f{x ）的回�关于且编户X 对称理科数学试题卷第1页〈然4页〕理科数学参考答案 第1页（共5页）绵阳市高中2019级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DBCAD ABBAB DC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 4．10− 15．9116．192 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）∵cos 2cos b A a B ⋅=⋅，由正弦定理得B A A B cos sin 2cos sin ⋅=⋅，即A B tan 2tan =． ……………………………………………………………………2分 ∵tan C =-3，A +B +C =π，∴2tan tan 3tan tan tan[()]tan()31tan tan tan 2A B B C A B A B A B B π+=−+=−+=−==−−⋅−， 解得tan B =1或-2．∵tan C =-3，∴C 为钝角，B 为锐角，∴tan B =1，即4B π=．……………………………………………………………………6分（2）∵tan C =-3，∴sin C =，cos C =． ……………………………………………………8分 ∵A +B +C =π，∴A =π-(B +C )，∴sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=−+=+=⋅+⋅(==． ………10分 由正弦定理C c A a sin sin =，得sin sin c A a C ⋅=．∵c =3，∴3a ==∴△ABC的面积113sin 3222S ac B ===． ……………………………12分理科数学参考答案 第2页（共5页）18．解：（1）∵123456 3.506x +++++==，∴621()17.5i i x x =−=∑， ∴61621()()8414817.5()i i i i i x x y y b xx ==−−==≈−∑∑． …………………………………………………3分 又144y =，∴14448 3.524a y bx =−=−⨯=−．∴y 关于x 的线性回归方程为4824y x =−． …………………………………………5分 （2）若利用线性回归模型，可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 48724312y =⨯−=（万辆）．…………………………………………………………7分 若利用模型0.3337.71e x y =，则ln 3.630.33y x =+，即 3.630.33e ˆx y+=． ∴2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 3.630.337 5.94e e 380y +⨯===（万辆）．…………………………………………9分 （3）∵0.71<0.87，且2R 越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴用模型0.3337.71e x y =得到的预测值更可靠．……………………………………12分19．解：（1）证明：设点M 为BC 的中点，连接PM ，MA ．∴PM BC ⊥，且PM =1．在△ABM 中，可得MA =，且MA BC ⊥，又MC //AD ，且1MC AD ==，∴四边形AMCD 为矩形，∴AM //CD ． …………………………………………………………………………2分在△P AM 中，可得222PA AM PM =+，∴PM MA ⊥，即PM CD ⊥．又BC CD ⊥，PM BC M =，直线PM ，BC 均在平面PBC 内， ∴平面CD PBC ⊥．……………………………………………………………………4分又⊆PB 平面PBC ，∴PB CD ⊥，又PB PC ⊥，PC CD C =，∴PB PCD ⊥平面． ……………………………………………………………………6分理科数学参考答案 第3页（共5页） z yx M A C D P （2）以M 为坐标原点，分别以MA ，MC ，MP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz ．由题意得M (0，0，0)，A 30，0)，P (0，0，1)，B (0，1−，0)，D (31，0)，∴PA =30，1−)，PB =(0，1−，1−)，设平面PAB 的一个法向量为n 1=(x ，y ，z )．300x z y z ⎧−=⎪⎨−−=⎪⎩，， 不妨设3=x n 1=33−，3)．………………………………9分同理可得平面PAD 的一个法向量为n 2=30，3)．∴cos<n 1，n 2>=12122772112⋅==⋅⋅n n n n ．…………………………………………11分 由图可知，所求二面角的平面角为钝角， ∴二面角B -PA -D 的平面角的余弦值为2712分 20．解：（1）∵2c e a ==，222a b c =+，∴222a b =．…………………………………2分 ∴222||4a AB b==，由题意得点A 的坐标为(22)，． 代入椭圆方程得22221a b+=． 联立解得23b =，26a =．∴椭圆E 的方程为22163x y +=．………………………………………………………5分 （2）联立22163，，y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理得2234260x mx m ++−=． 由221612(26)0m m ∆=−−>，解得33m −<<．由韦达定理得1243m x x +=−，① 212263m x x −⋅=．② …………………………7分 若存在点P ，使得||||AP AB =，AP AB ⊥，则214()3，P y ．且直线AP 的斜率为2121111141433y y x x k x x −−===−−−，即211423x x =−．③ ………………9分联立①②③得21128170m m ++=，解得1m =−或1711−． ∴存在点P 满足题意，此时1m =−或1711−．………………………………………12分理科数学参考答案 第4页（共5页）21．解：（1）()ln f x x a '=−．令()0f x '>，解得e a x >，()0f x '<，解得0e a x <<．∴函数f (x )在区间(0e )，a 上单调递减，在区间(e )，a +∞上单调递增． …………3分当0x →时，f (x )1→；当x →+∞时，f (x )=x [ln x -(a +1)]+1→+∞．∴要使得f (x )有2个零点，则(e )1e 0a a f =−<，解得a >0．………………………………………………………………………………5分（2）()ln [1e]，，f x x a x '=−∈，ln [01]，x ∈．i)当a ≤0时，()0≥f x '恒成立，函数f (x )在区间[1，e]上单调递增， ∴m = f (e)=1-a e ，n = f (1)=-a ．∴m -n =(1-e)a +1．令p (a )= (1-e)a +1，则函数p (a )在区间(0]，−∞上单调递减， ∴函数p (a )最小值为h (0)=1．…………………………………………………………7分ii) 当a ≥1时，()0≤f x '恒成立，函数f (x )在区间[1，e]上单调递减． ∴m = f (1)=-a ，n = f (e)=1-a e ，∴m -n =(e -1)a -1．令h (a )=(e -1)a -1，则函数h (a )在区间[1)，+∞上单调递增， ∴函数h (a )最小值为h (1)=e -2．………………………………………………………9分iii) 当0<a <1时，由()0f x '>，解得e e ≤a x <，由()0f x '<，解得1e ≤a x <．∴函数f (x )在区间[1e )，a 上单调递减，在区间(e e]，a 上单调递增．∴n = f (e a )=1- e a ． ①当11e 1≤a <−时，f (1)- f (e)= (e -1)a -1≥0，此时m = f (1)=-a ．∴m -n= f (1)- f (e a )=e a -a -1．令q (a )= e a -a -1，则()e 1a q a '=−>0．∴函数q (a )在区间(0)，+∞上单调递增，∴函数q (a )的最小值为1()(1)e 2e 1q q <=−−， ∴11e 1e 111e ()=e 1=e e 1e 1e 1q −−−−−−−−．………………………………………………11分 ②当10e 1a <<−时，由f (1)- f (e)= (e -1)a -1<0，∴m = f (e)=1-a e ．∴m -n= f (e)- f (e a )=e a -a e ．令ϕ(a )= e a -a e ，则()e e a a ϕ'=−<0．∴函数()a ϕ在区间(0，1)上单调递减， ∴1e 11e ()()e e 1e 1a ϕϕ−>=−−−． 综上，m -n 的最小值为1e 1e e e 1−−−． ………………………………………………12分理科数学参考答案 第5页（共5页） 22．解：（1）将直线l 的参数方程消参，得直线l 的普通方程为43x y +=． ∵222cos sin ，，，x y x y ρρθρθ=+==又22x y x y +=+，∴2|cos ||sin |ρρθρθ=+， ∴曲线C 的极坐标方程为|cos ||sin |ρθθ=+． ……………………………………5分（2）联立[0]2|cos ||sin |πθααρθθ⎧=∈⎪⎨⎪=+⎩，，，解得cos sin .θαραα=⎧⎨=+⎩，∴点B 的坐标为(cos sin )ααα+，．…………………………………………………7分 由题意得直线l 的极坐标方程为4cos sin 3ρθρθ+=． 联立4cos sin 3θαρθρθ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 解得4.3(cos sin )θαρθθ=⎧⎪⎨=⎪+⎩，∴点A 的坐标为()4()3cos sin ααα+，．………………………………………………8分 ∴()()()443cos sin cos sin 31sin2OAOB ααααα==+++． ∵02πα≤≤，∴02απ≤≤，∴0sin 21α≤≤， ∴11121sin 2α+≤≤，∴24433(1sin 2)3α+≤≤． ∴2433OA OB ≤≤，即OA OB 的取值范围是24[]33，．……………………………………10分 23．解：①当x ≤1时，不等式等价于321≥x x −+，解得23≤x ，综合，23≤x ； 当1<x <2时，不等式等价于1≥x +1，解得x ≤0，综合，无解；当x ≥2时，不等式等价于2x -3≥x +1，解得x ≥4，综合，x ≥4；综上，不等式的解集为2{|4}3≤或≥x x x ．…………………………………………5分 （2）证明：不等式等价于11||||||≤||||||a b a b a b a b ++++++， 要证11||||||≤||||||a b a b a b a b ++++++，只要证1||1||||||||||≥a b a b a b a b ++++++， 只要证11||||||≥a b a b ++，只要证||||||≤a b a b ++， 上式显然成立，所以原不等式成立．…………………………………………………10分。
四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性测试理科数学试卷含答案
绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集{}|0U x x =>，{}2|1x M x e e =<<，则U C M =（ ） A . ()1,2B . ()2,+∞C . (][)0,12,+∞UD . [)2,+∞2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A . 2i - B . 2i + C . 12i -D . 2i -3. 已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A . ()1,5-B . ()1,5-C . ()5,1-D . ()5,1-4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A .18B .14C .38D .125. 已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要6. 若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A . -80B . -10C . 10D . 807. 已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A . m 的值是20B . 该回归直线过点()2,22C . 产品的销售额与广告费用成正相关D . 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元8. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A .B . 2C .D . 39. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A . 1B . 2C . 3D . 410. 已知圆C ：2268410x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）A . 8B .C . 4D . 11. 已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A . 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B . ()0,2C . ()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D . ()2,+∞12. 函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A . 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B . [)3,+∞C . ()[)1,23,+∞UD . [)2,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.14. 法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______.15. 函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.16. 过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______. 三、解答题：共70分。
四川省绵阳市高中20xx级第三次诊断性考试理科数学含答案.doc
绵阳市高中 2016 级第三次诊断性考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题 : 本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 己知集合A={ x |1x∥3 }，N={1,2}，则 M NA. {1}B. {1,2}C. 0D.[1, 2]2. 已知i为虚数单位，复数z 满足 z (1 i )i ,则 | z |A. 1B. 2C. 2D.12 23.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系。
如图所示的折线图是 2017 年和 2018 年的中国仓储指数走势情况。
根据该折线图，下列结论中不正确的是A.2018 年 1 月至 4 月的仓储指数比2017 年同期波动性更大B. 这两年的最大仓铋指数都出现在 4 月份C.2018 年全年仓储指数甲均饥明显低于2017 年D.2018 年各仓储指数的中位数与2017 年备月仓储指数中位数差异明显x 04. 已知变量x, y满足| y | 1，则x2y2的最大值为x y 20A.10B.5C.4D.25. 将函数 f (x) sin(2x) 的图像向左平移个单位，得到g ( x) 的解析式为6 6A.g (x) cos2xB.g (x)cos2xC.g (x) sin 2xD.g (x) sin( 2x)36. 已知 { a n } 是正项等比数列，且a1a84a5,a4与 2a6的等差中项为18,则a5A.2B.4C. 8D.167. 函数f (x)xln x2的大致图象为8.己知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面枳分别为 6, 8, 12, 则铁球的直径最大只能为A.3B.2C.5D.49. 己知双曲线x2 y 21 (a>b>0) 的两个焦点分别为 F1,F2 ，以原点 O为圆心 ,OF1 为半径作圆，E:b2a 2与双曲线 E 相交，若顺次连接这些交点和F1, ， F2 恰好构成一个正六边形，则双曲线 E 的离心率为A. 3B. 2C. 3 1D.310. 在 (1 2 x)5 的展开式中 , x2项的系数为xA. -50B. -30C. 30D. 5011. 若 x, y, z R , 且3x 4 y 12z ，xy (n, n 1), n N ,则n的值是zA. 2B. 3C. 4D.512. 已知抛物线 C: y2 4x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，若在以线段 AB为直径的圆上存在两点M、 N, 在直线l : x y a 0 上存在一点 Q，使得MQN 900 , 则实数 a 的取值范围为A. [-13, 3]B.[-3, 1]C.[-3. 13]D. [-13. 13]二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
四川省泸州市2017届高三三诊考试理科数学试题含答案
泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1}U x x =>，集合2{430}A x x x =-+<，则U C A =（ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,3)2.复数112i z i i=-+（其中i 是虚数单位）的虚部为（ ） A ．12B ．iC ．1D ．-1 3.已知等比数列{}n a 的公比12q =，28a =，则其前3项和3S 的值为（ ）A ．24B ．28C ．32D ．164.已知平面向量(2,1)a =-，(1,2)b =，则2a b -的值是（ ）A ．1B ．5C D5.如图，一环形花坛分成,,,A B C D 四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A ．12B ．24C ．18D ．6 6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线与抛物线C 的准线交于点B ，则线段FB 的长为（ ）A ．10B ．6C ．8D ．47.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m 8.已知函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象沿x 轴向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 的一个单调递增区间是（ ） A ．5[,]612ππ-B ．[,]36ππ-C ．[,]63ππ-D ．2[,]63ππ 9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音g èng ，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．310.已知Rt ABC ∆中，2A π∠=，以,B C 为焦点的双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）经过点A ，且与AB 边交于点D ，若2AD BD =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ． D11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为23π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．16πC ．8πD ．17π 12.已知函数()ln f x x x =+与21()12g x ax ax =+-（0a >）的图象有且只有一个公共点，则a 所在的区间为（ ）A ．12(,)23B ．2(,1)3C ．3(,2)2D ．3(1,)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 5(12)x -展开式中，3x 项的系数为 ．14.设不等式组4000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ．15.若函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-.（1）求证：2A B =；（2）若53b c =，a =BC 边上的高.18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在（1）的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD AB BC ===，3ADC π∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，1AE =，点M 在线段EF 上.（1）当FMEM为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论； （2）求二面角B EF D --的平面角的余弦值.20. 已知点C 是圆22:(1)16F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点'F 与点F关于平面直角系的坐标原点对称，线段'CF 的垂直平分线与线段CF 交于点P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M ，直线:l y kx =+E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围.21. 已知函数()(1)xf x e a x =++（其中e 为自然对数的底数）（1）设过点(0,0)的直线l 与曲线()f x 相切于点00(,())x f x ，求0x 的值；（2）若函数2()1g x ax ex =++的图象与函数()f x 的图象在(0,1)内有交点，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换''2xx y y⎧=⎪⎨⎪=⎩后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x a =+++，若()f x 的最小值为2. （1）求实数a 的值；（2）若0a >，且,m n 均为正实数，且满足m n a +=，求22m n +的最小值.试卷答案一、选择题1-5:ACBBC 6-10:DBBAD 11、12:AD二、填空题13. 80- 14. 8π-15. (1,2] 16. 2n n n a = 三、解答题17.解：（1）因为2cos b c b A =-， 所以sin sin 2sin cos B C B A =-， 因为()C B A π=-+，所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+- 所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+- 即sin cos sin sin cos B B A B A =-， 即sin sin()B A B =-，因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<， 所以B A B =-或()B A B π=--， 故2A B =；（2）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，由1cos 3A =得，sin A = 设BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即610⨯=，所以h =18.解：（1）因为甲机床为正品的频率为4032841005++=，乙机床为正品的频率约为4029631004++=，所以估计甲、乙两机床为正品的概率分别为43,54；（2）若用甲机床生产这2件零件，设可能获得的利润1X 为320元、140元、-40元，它们的概率分别为14416(320)5525P X ==⨯=，1418(140)25525P X ==⨯⨯=， 1111(40)5525P X =-=⨯=， 所以获得的利润的期望11681()320140(40)248252525E X =⨯+⨯+-⨯=，若用乙机床生产这2件零件，设可能获得的利润为2X 为400元、160元、-80元，它们的概率分别为2339(400)4416P X ==⨯=，2316(160)24416P X ==⨯⨯=，2111(80)4416P X =-=⨯=，让你以获得的利润的期望2961()400160(80)280161616E X =⨯+⨯+-⨯=；若用甲、乙机床各生产1件零件，设可能获得的利润3X 为360元、180元、120元、-60元，它们的概率分别为34312(360)5420P X ==⨯=，3133(180)5420P X ==⨯=， 3414(120)5420P X ==⨯=，3111(60)5420P X =-=⨯= 所以获得的利润的期望312341()360180120(60)26420202020E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=， ∵231()()()E X E X E X >>， 所以安排乙机床生产最佳. 19. 解： （1）当12FM EM =时，//AM 平面BDF ，证明如下：在梯形ABCD 中，设AC BD O =，连接FO ，因为1AD BC ==，060ADC ∠=， 所以2DC =，又1AB =， 因为AOB ∆∽CDO ∆, 因此:2:1CO AO =， 所以12FM AO EM CO ==，因为ACFE 是矩形， 所以四边形AOFM 是平行四边形， 所以//AM OF ，又OF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以//AM 平面BDF ；（2）在平面ABCD 内过点C 作GC CD ⊥， 因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且交线为AC ， 则CF ⊥平面ABCD ，即CF GC ⊥，CF DC ⊥，以点C 为原点，分别以,,CD CG CF 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1(,,0)22B ，(2,0,0)D，3(,22E ，(0,0,1)F ， 所以(1,0,1)BE =，1(,2BF =-，1(,2DE =-，(2,0,1)DF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z =，则0m BE m BF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，∴0102x z x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取(1,1)m =-， 同理可得平面DEF 的法向量(1,3,2)n =-，所以cos ,105m n m n m n∙===∙， 因为二面角B EF D --20.解：（1）由题意知圆F 的圆心为(1,0)F -，半径为4， 所以''42PF PF CF FF +==>=，由椭圆的定义知，动点P 的轨迹是以',F F 为焦点，4为长轴长的椭圆，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），且焦距为2c (0)c >，则：222241a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，即21a c c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 故椭圆E 的方程为22143x y +=； （2）把直线:l y kx =+代入椭圆方程消去y得：22(34)360k x +++=，由0∆>得：32k <-或32k >， 因为直线与椭圆相交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x +=，1223634x x k =+，因为点M ，直线l 与y轴交于点(0,DABM ∆的面积121212ABM S MD x x x ∆=∙-=-==243k ==+612=≤=，=，即2k =±时取等号，2k =±满足0∆> 所心ABM ∆面积的取值范围是(0,2. 21.解：（1）因为函数()(1)x f x e a x =++，所以'()(1)xf x e a =++，故直线l 的斜率为0'0()(1)xf x e a =++，点00(,())x f x 的切线l 的方程为000()((1))()xy f x e a x x -=++-， 因直线过(0,0)，所以000()((1))()xx e a x -=++-， 即0000(1)((1))xxe a x e a x ++=++ 解之得，01x =（2）令2()()()(1)1xh x f x g x e axa e x =-=-+-+-，所以'()21x h x e ax a e =-+-+，设()21xk x e ax a e =-+-+，则'()2xk x e a =-，因函数2()1g x ax ex =++的图象与函数()f x 的图象在(0,1)内有交点， 设0x 为()h x 在(0,1)内的一个零点， 由()0,(1)0h x h ==，所以()h x 在0(0,)x 和0(,1)x 上不可能单增，也不可能单减，所以()k x 在0(0,)x 和0(,1)x 上均存在零点，即()k x 在(0,1)上至少有两个零点， 当12a ≤时，'()0k x >，()k x 在(0,1)上递增，()k x 不可能有两个及以上零点； 当2e a ≥时，'()0h x <，()k x 在(0,1)上递减，()k x 不可能有两个及以上零点； 当122e a <<时，令'()0k x =，得ln(2)(0,1)x a =∈， ∴()k x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增， 所以1(ln(2))22ln(2)(1)32ln(2)1()22e k a a a a e a a a a e a =----=-+-<< 设3()ln 1(1)2x x x x e x e ϕ=-+-<<，则'1()ln 2x x ϕ=-，令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕ递增，x e <时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以max ()10x e ϕ=-<，∴(ln(2))0k a <恒成立，若()k x 有两个零点，则有(ln(2))0k a <，(0)0k >，(1)0k >，由(0)20k a e =+->，(1)10k a =->，得21e a -<<，当21e a -<<，设()k x 的两个零点为12,x x ，则()h x 在1(0,)x 递增，在12(,)x x 递减，在2(,1)x 递增，∴1()()0h x h x >=，2()(1)0h x h <=，所以()h x 在12(,)x x 内有零点，即函数2()1g x ax ex =++的图象与函数()f x 的图象在(0,1)内有交点， 综上，实数a 的取值范围是(2,1)e -.22.解：（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：22(2)14x y -+=， 又''2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即''2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入上式可知： 曲线2C 的方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设1(,)A ρθ，2(,)3B πρθ+（(,)26ππθ∈-）， ∴122cos 2cos()3OA OB πρρθθ+=+=++)6πθ=+， 因为()(,)633πππθ+∈-， 所以OA OB +的取值范围是23.解：（1）①当12a ->-时，即2a >时，3(1),2()1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x ⎧--+≤-⎪⎪⎪=+--<<-⎨⎪++≥-⎪⎪⎩则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =或2a =-（舍）； ②当12a -<-时，即2a <时，3(1),1()1,123(1),2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--+≤⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪++≥-⎪⎩则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =（舍）或2a =- ③当12a -=-时，即2a =，()31f x x =+， 此时min ()0f x =，不满足条件，综上所述，6a =或2a =-；（2）由题意知，6m n +=，∵222()2m n m n mn +=++ 2222()()m n m n ≤+++222()m n =+当且仅当3m n ==时取“=”， ∴2218m n +≥，所以22m n +的最小值为18。
2020届四川省绵阳市高三第三次诊断性测试数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届四川省绵阳市高三第三次诊断性测试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B 中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2.故选：C．点评：考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于容易题．2．已知复数z满足（1﹣i）•z＝3i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i答案：B利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 解：（1﹣i ）•z ＝|3+i|，∴（1+i ）（1﹣i ）•z ＝2（1+i ），则z ＝1+i ． 故选：B ． 点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于容易题． 3．已知x •log 32＝1，则4x ＝（） A ．4 B ．6C ．432logD ．9答案：D利用对数的性质和运算法则及换底公式求解． 解：∵x •log 32＝1， ∴x ＝log 23，∴4x 243944log log ===9， 故选：D ． 点评：本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用，属于容易题．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A 、B 、O 、AB 血型与COVID ﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A ．与非O 型血相比，O 型血人群对COVID ﹣19相对不易感，风险较低B ．与非A 型血相比，A 型血人群对COVID ﹣19相对易感，风险较高C ．与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID ﹣19的易感性要高 D ．与A 型血相比，非A 型血人群对COVID ﹣19都不易感，没有风险答案：D根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答． 解：根据A 、B 、O 、AB 血型与COVID ﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知： A 型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感； 故而D 选项明显不对． 故选：D ． 点评：本题考查由频数直方图，看频数、频率，判断问题的关联性，属于中档题5．在二项式2()nx x-的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（） A ．﹣360 B ．﹣160 C ．160 D ．360答案：B根据展开式二项式系数最大，求出n ＝6，然后利用展开式的通项公式进行求解即可． 解：∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大， ∴展开式共有7项，则n ＝6， 则展开式的通项公式为T k+1＝C 6kx 6﹣k （2x-）k ＝（﹣2）k C 6kx 6﹣2k ， 由6﹣2k ＝0得k ＝3，即常数项为T 4＝（﹣2）3C 36=-160， 故选：B ． 点评：本题主要考查二项展开式的应用，求出n 的值，结合展开式的通项公式是解决本题的关键．属于中档题．6．在△ABC 中，已知sin 2sin cos C A B =，则△ABC 一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形答案：B根据三角形内角和定理以及诱导公式,将sin 2sin cos C A B =化为sin()2sin cos A B A B +=,再根据两角和的正弦公式和两角差的正弦公式的逆用公式化为in 0()s A B -=,最后根据,A B 的范围,可得A B =.解：在△ABC 中,因为sin 2sin cos C A B =, 所以sin[()]2sin cos A B A B π-+=, 所以sin()2sin cos A B A B +=所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=, 所以sin cos cos sin 0A B A B -=, 所以in 0()s A B -=, 所以,A B k k Z π-=∈, 因为0,0A B ππ<<<<, 所以0,k A B ==,所以△ABC 一定是等腰三角形. 故选:B 点评：本题考查了三角形的内角和定理,考查了诱导公式,考查了两角和与差的正弦公式,属于基础题.7．已知两个单位向量,a b →→的夹角为120°，若向量c →═2a b →→-，则a →•c →=（） A ．52B ．32C ．2D ．3答案：A根据平面向量的数量积定义，计算即可． 解：由题意知|a →|＝|b →|＝1，且a →•b →=1×1×cos120°12=-，又向量c →═2a b →→-，所以a →•c →=22a a →→-•b →=2×1﹣（12-）52=．故选：A ． 点评：本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．8．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线()222210＞，＞0-=y x a b a b 上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．3答案：B利用已知条件求出方程组，得到a ，c ，即可求解双曲线的离心率． 解：双曲线22221(0y x a b a b-=＞，＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22可得：22222222c a bca b c a b -=⎧=+=+⎩，解得a ＝1，c ＝3，b ＝2， 所以双曲线的离心率为：e ca==3． 故选：B ． 点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基本知识的考查，属于中档题．9．设函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜则下列结论错误的是（）A ．函数f （x ）的值域为RB ．函数f （|x|）为偶函数C ．函数f （x ）为奇函数D ．函数f （x ）是定义域上的单调函数答案：A根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜，当x ＞0时，f （x ）＝2x +1＞2，当x ＜0时，f（x ）＝﹣2﹣x﹣1＝﹣（2﹣x+1）＜﹣2，其值域不是R ，A 错误；对于B ，函数f （|x|），其定义域为{x|x ≠0}，有f （|﹣x|）＝f （|x|），函数f （|x|）为偶函数，B 正确；对于C ，函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜，当x ＞0时，﹣x ＜0，有f （x ）＝2x +1，f （﹣x ）＝﹣f （x ）＝﹣2﹣x﹣1，反之当x ＜0时，﹣x ＞0，有f （x ）＝﹣2x﹣1，f （﹣x ）＝﹣f （x ）＝2x +1，综合可得：f （﹣x ）＝﹣f （x ）成立，函数f （x ）为奇函数，C 正确；对于D ，函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜，当x ＞0时，f （x ）＝2x+1＞2，f （x ）在（0，+∞）为增函数，当x ＜0时，f （x ）＝﹣2﹣x﹣1＜﹣2，f （x ）在（﹣∞，0）上为增函数，故f （x ）是定义域上的单调函数； 故选：A ． 点评：本题考查分段函数的性质，涉及函数的值域、奇偶性、单调性的分析，属于中档题． 10．已知函数f （x ）＝sin （ωx+φ）（ω＞0，02πϕ＜＜）的最小正周期为π，且关于08π⎛⎫-⎪⎝⎭，中心对称，则下列结论正确的是（） A ．f （1）＜f （0）＜f （2） B ．f （0）＜f （2）＜f （1） C ．f （2）＜f （0）＜f （1） D ．f （2）＜f （1）＜f （0）答案：D根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可． 解：∵函数的最小周期是π， ∴2πω=π，得ω＝2，则f （x ）＝sin （2x+φ）， ∵f （x ）关于08π⎛⎫-⎪⎝⎭，中心对称，∴2×（8π-）+φ＝k π，k ∈Z ， 即φ＝k π4π+，k ∈Z ，∵02πϕ＜＜，∴当k ＝0时，φ4π=，即f （x ）＝sin （2x 4π+），则函数在[8π-，8π]上递增，在[8π，58π]上递减，f （0）＝f （4π）， ∵4π＜1＜2，∴f （4π）＞f （1）＞f （2）， 即f （2）＜f （1）＜f （0）， 故选：D ． 点评：本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键，属于中档题．11．已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）＝x ﹣[x]，则函数x xg x f x e=+（）（）的零点个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B函数x x g x f x e =+（）（）的零点个数，即方程xxf x e =-（）的零点个数，也就是两函数y＝f （x ）与y x xe=-的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案． 解：函数x x g x f x e =+（）（）的零点个数，即方程xxf x e =-（）的零点个数，也就是两函数y ＝f （x ）与y x xe =-的交点个数．由y x x e =-，得y ′21x x xx e xe x e e--=-=． 可知当x ＜1时，y ′＜0，函数单调递减，当x ＞1时，y ′＞0，函数单调递增．作出两函数y ＝f （x ）与y xxe =-的图象如图：由图可知，函数xxg x f x e =+（）（）的零点个数为2个． 故选：B ． 点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．12．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，3AC =，D 为AC 上的一点（不含端点），将△BCD 沿直线BD 折起，使点C 在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上，则线段OB 的取值范围是（） A ．（12，1） B ．（12，32） C ．（32，1） D ．（0，32） 答案：A由题意，OC ⊥平面ABD ，根据三余弦定理，线线角的余弦值等于线面角的余弦值与射影角余弦值的积，从而求解. 解：由题意，OC ⊥平面ABD ， 如图：设∠CBD ＝θ，∠CBO ＝θ1，则∠ABD ＝60°-θ；则cos θ＝cos θ1×cos （60°﹣θ） 所以cos θ1()6013cos cos tan θθθ==︒-+∵θ∈（30°，60°）； ∴OB ＝cos θ1∈（12，1）． 故选：A ．本题考查△ABC 的折叠和三余弦定理（最小角定理），要求熟悉余弦定理，属于中档题． 二、填空题13．已知cossin22αα-=，则sin α＝_____． 答案：45将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解． 解：∵225cossinαα-=， ∴两边平方可得：cos 22α+sin 22α-2cos 1sin 225αα=，可得1﹣sin α15=， ∴sin α45=． 故答案为：45．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于容易题．14．若曲线f （x ）＝e x cosx ﹣mx ，在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为34π，则实数m ＝_____． 答案：2对函数求导，然后得f ′（0）314tan π==-，由此求出m 的值． 解：f ′（x ）＝e x（cosx ﹣sinx ）﹣m ．∴3'0114f m tan π=-==-（）． ∴m ＝2． 故答案为：2 点评：本题考查导数的几何意义以及切线问题．抓住切点处的导数为切线斜率列方程是本题的基本思路．属于容易题．15．已知F 1，F 2是椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，P 是椭圆C ．上的一点，∠F 1PF 2＝120°，且△F 1PF 2的面积为43，则b ＝_____． 答案：2根据正余弦定理可得PF 1•PF 2＝16且4c 2＝（2a ）2﹣16，解出b 即可． 解：△F 1PF 2的面积12=PF 1•PF 2sin120°34=PF 1•PF 2＝43，则PF 1•PF 2＝16， 又根据余弦定理可得cos120°2221212122PF PF F F PF PF +-=⋅，即4c 2＝PF 12+PF 22+16＝（2a ）2﹣32+16，所以4b 2＝16，解得b ＝2， 故答案为：2． 点评：本题考查椭圆性质，考查正、余弦定理的应用，属于中档题．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为_____． 答案：433设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，用h 表示出a ，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V 取最大值时对应的h 值． 解：设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，如图所示；则h 2+2a 2＝（2×2）2， 所以a 2＝812-h 2，所以正四棱柱容器的容积为V ＝a 2h ＝（812-h 2）h 12=-h 3+8h ，h ∈（0，4）；求导数得V ′32=-h 2+8，令V ′＝0，解得h 3=，所以h ∈（0，3）时，V ′＞0，V （h ）单调递增；h ，4）时，V ′＜0，V （h ）单调递减；所以h =时，V 取得最大值．故答案为：3． 点评：本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题． 三、解答题17．若数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n+123n S =． （1）求S n ； （2）设b n 1n s =，求证：b 1+b 2+b 3+…+b n 52＜． 答案：（1）S n ＝（53）n ﹣1；（2）详见解析． （1）由数列的递推式：a n+1＝S n+1﹣S n ，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得b n 1n s ==（35）n ﹣1，由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证． 解： （1）a n+123n S =，可得a n+1＝S n+1﹣S n 23=S n ， 由a 1＝1，可得S 1＝1，即S n+153=S n ，可得数列{S n }是首项为1，公比为53的等比数列， 则S n ＝（53）n ﹣1；（2）证明：b n 1n s ==（35）n ﹣1， 则b 1+b 2+b 3+…+b n 31()55532215n-==--•（35）n 52＜．点评：本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查定义法和运算能力、推理能力，属于中档题．18．如图，已知点S 为正方形ABCD 所在平面外一点，△SBC 是边长为2的等边三角形，点E 为线段SB 的中点．（1）证明：SD//平面AEC ；（2）若侧面SBC ⊥底面ABCD ，求平面ACE 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值． 答案：（1）详见解析；（215． （1）连接BD 交AC 于F ，连接EF ，由已知结合三角形的中位线定理可得EF ∥SD ，再由直线与平面平行的判定可得SD ∥平面AEC ；（2）取BC 的中点O ，连接OF 并延长，可知OF ⊥OC ，利用线面垂直的判定定理与性质定理可得：OS ⊥OF ，OS ⊥OC ，建立空间直角坐标系，分别求出平面CDS 与平面ACE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ACE 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值． 解：（1）证明：连接BD 交AC 于F ，连接EF ，∵ABCD 为正方形，F 为BD 的中点，且E 为BS 的中点， ∴EF ∥SD ．又SD ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ， ∴SD ∥平面AEC ；（2）取BC 的中点O ，连接OF 并延长，可知OF ⊥OC ，在等边三角形SBC 中，可得SO ⊥BC ，∵侧面SBC ⊥底面ABCD ，且侧面SBC ∩底面ABCD ＝BC ， ∴SO ⊥平面ABCD ，得OS ⊥OF ，OS ⊥OC ．以O 为坐标原点，分别以OF ，OC ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得：A （2，﹣1，0），C （0，1，0），E （0，12-3，D （2，1，0），S （0，03． ()200CD →=，，，(03CS →=-，，，()220AC →=-，，，1322AE →⎛=- ⎝⎭，，． 设平面CDS 与平面ACE 的一个法向量分别为()n x y z ，，=，()111m x y z =，，．由2030n CD x n CS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取z ＝1，得()031n →=，，； 由1111122013202m AC x y m AE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取x 1＝1，得(3m →=，，． ∴cos231525m nm n m n→→→→→→⋅===⋅＜，＞． ∴平面ACE 与平面SCD 15． 点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定、法向量与数量积的应用、空间角，考查空间想象能力与思维能力、计算能力，属中档题．19．2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X （40≤X ＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？ 答案：（1）485512；（2）3． （1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P （A ）38=，由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率． （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为11118428，，，，设物流公司每天的营业利润为Y ，若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车． 解：（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”， 则P （A ）38=， ∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p 22120333335355485()()()88888512C C C ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为11118428，，，， 设物流公司每天的营业利润为Y ， 若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，P（Y＝4000）78=，P（Y＝1600）18=，∴Y的分布列为：∴E（Y）＝4000160086⨯+⨯=3700元．若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，P（Y＝6000）58 =，P（Y＝3600）14 =，P（Y＝1200）18 =，∴Y的分布列为：∴E（Y）600036001200848=⨯+⨯+⨯=4800元，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，P（Y＝8000）18 =，P（Y＝5600）12 =，P（Y＝3200）14 =，P（Y＝800）18 =，∴Y的分布列为：∴E（Y）8000560032008008248=⨯+⨯+⨯+⨯=4700，∵4800＞4700＞3700＞2000，∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车． 点评：本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝ax ﹣（a+2）lnx 2x-+2，其中a ∈R ． （1）当a ＝4时，求函数f （x ）的极值；（2）试讨论函数f （x ）在（1，e ）上的零点个数．答案：（1）极大值6ln2，极小值4；（2）分类讨论，详见解析．（1）把a ＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值； （2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求． 解：（1）当a ＝4时，f （x ）＝4x ﹣6lnx 2x -+2，()()22221162'4x x f x x x x--=-+=（），x ＞0，易得f （x ）在（0，12），（1，+∞）上单调递增，在（112，）上单调递减， 故当x 12=时，函数取得极大值f （12）＝6ln2，当x ＝1时，函数取得极小值f （1）＝4，（2）()()222122'ax x a f x a x x x--+=-+=（）， 当a ≤0时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，f （x ）＜f （1）＝a ≤0，此时函数在（1，e ）上没有零点；当a ≥2时，f （x ）在（1，e ）上单调递增，f （x ）＞f （1）＝a ≥2，此时函数在（1，e ）上没有零点； 当02a e≤＜即2e a ≥时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，由题意可得，1020f a f e ae a e =⎧⎪⎨=--⎪⎩（）＞（）＜， 解可得，0()21a e e -＜＜，当22a e ＜＜即21e a＜＜时，f （x ）在（1，2a ）上单调递减，在（2e a ，）上单调递增， 由于f （1）＝a ＞0，f （e ）＝a （e ﹣1）()2224120e e e e e ---=-＞＞，令g （a ）＝f （2a ）＝2﹣（a+2）ln 2a-a+2＝（a+2）lna ﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h （a ）2'2g a lna ln a ==+-（），则22'a h a a-=（）＜0， 所以h （a ）在（22e ，）上递减，h （a ）＞h （2）＝1＞0，即g ′（a ）＞0， 所以g （a ）在（22e ，）上递增，g （a ）＞g （2e ）＝240e-＞， 即f （2a）＞0，所以f （x ）在（1，e ）上没有零点， 综上，当0＜a ()21e e -＜时，f （x ）在（1，e ）上有唯一零点，当a ≤0或a ()21e e ≥-时，f （x ）在（1，e ）上没有零点．点评：本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．21．已知动直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，且点M 在x 轴上方．（1）若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q ，若|FQ|＝8，求直线l 的斜率； （2）设点P （x 0，0），若点M 恒在以FP 为直径的圆外，求x 0的取值范围．答案：（1）3±；（2）x 0∈[0，1）∪（1，9）． （1）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得MN 的中点坐标，进而可得MN 的中垂线方程，令y ＝0可得Q 的坐标，进而求出|QF|的值，由题意可得直线l 的斜率；（2）由题意可得∠FMP 为锐角，等价于MF MP →→⋅＞0，求出MF MP →→⋅的表达式，换元等价于h （t ）＝t 2+（3﹣x 0）4+x 0，t ＞0恒成立，分两种情况求出x 0取值范围． 解：（1）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x ＝ty+1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），线段MN 的最大E （x 0，y 0），联立直线与抛物线的方程可得：214x ty y x =+⎧⎨=⎩，整理可得y 2﹣4ty ﹣4＝0， 所以y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4，所以y 0＝2t ，x 0＝ty 0+1＝2t 2+1，即E （2t 2+1，2t ）， 故线段MN 的中垂线方程为：y ﹣2t ＝﹣t （x ﹣2t 2﹣1）， 令y ＝0，则Q （2t 2+3，0）， 所以|FQ|＝|22+3﹣1|＝8， 解得t =，所以直线l 的斜率k 1t ==； （2）点M 恒在以FP 为直径的圆外，则∠FMP 为锐角，等价于MF MP →→⋅＞0，设M （214y ，y 1），F （1，0），P （x 0，0），则MP →=（x 0214y -，﹣y 1），MF →=（1214y -，﹣y 1），故MF MP →→⋅=（x 0214y -）（1214y -）+y 1242113164y y =++（1214y -）x 0＞0恒成立， 令t 214y =，t ＞0，原式等价于t 2+3t+（1﹣t ）x 0＞0对任意t ＞0恒成立，即t 2+（3﹣x 0）4+x 0＞0对任意t ＞0恒成立， 令h （t ）＝t 2+（3﹣x 0）4+x 0，t ＞0， ①△＝（3﹣x 0）2﹣4x 0＜0，即1＜x 0＜9，②0030200x h ∆≥⎧⎪-⎪≤⎨⎪≥⎪⎩（），解得0≤x 0≤1，又因为x 0≠1，故x 0∈[0，1）， 综上所述x 0∈[0，1）∪（1，9）． 点评：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合及点在圆外的性质，属于中难题． 22．如图，在极坐标系中，曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆，曲线C 2是以22C π⎫⎪⎭，为圆心的圆，曲线C 1、C 2都过极点O ．（1）分别写出半圆C 1，C 2的极坐标方程； （2）直线l ：()3R πθρ=∈与曲线C 1，C 2分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为C 2上的动点，求△PMN 面积的最大值． 答案：（1）1:C 802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；2:C ()230sin ρθθπ=≤≤；（2）334． （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果． 解：（1）曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆， 所以半圆的极坐标方程为802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， 曲线C 2是以232C π⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心的圆，转换为极坐标方程为()230sin ρθθπ=≤≤．（2）由（1）得：|MN|＝|823|133M N cossinππρρ-=-=．显然当点P 到直线MN 的距离最大时，△PMN 的面积最大． 此时点P 为过C 2且与直线MN 垂直的直线与C 2的一个交点， 设PC 2与直线MN 垂直于点H ， 如图所示：在Rt △OHC 2中，|223|6HC OC sinπ==所以点P 到直线MN 的最大距离d 22333||3C HC r =+==， 所以113333122PMNSMN d =⨯⋅=⨯=点评：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|x+1|． （1）解关于x 的不等式f （x ）≤5；（2）若函数f （x ）的最小值记为m ，设a ，b ，c 均为正实数，且a+4b+9c ＝m ，求11149a b c++的最小值．答案：（1）{x|﹣2≤x ≤3}；（2）3．（1）将f （x ）写为分段函数的形式，然后根据f （x ）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f （x ）的最小值m ，然后由a+4b+9c ＝m ，根据111111149349a b c a b c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭（a+4b+9c ），利用基本不等式求出11149a b c++的最小值． 解：（1）f （x ）＝|x ﹣2|+|x+1|212312211x x x x x -⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜． ∵f （x ）≤5， ∴2152x x -≤⎧⎨⎩＞或﹣1≤x ≤2或2151x x -+≤⎧⎨-⎩＜，∴﹣2≤x ≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x ≤3}．（2）∵f （x ）＝|x ﹣2|+|x+1|⩾|（x ﹣2）﹣（x+1）|＝1 ∴f （x ）的最小值为1，即m ＝3， ∴a+4b+9c ＝3．()11111114949349a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 14499334949b a b c c a a b c b a c ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭21 1323⎛+= ⎝3， 当且仅当1493a b c ===时等号成立， ∴11149a b c++最小值为3． 点评：本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(文)试题(原卷版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M ( )A.{}1B.{}1,1-C.{}1,0D.{}1,0,1-2.复数25-i 的共轭复数是( ) A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -23.某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的体积为( )A.8B.6C.4D.34.已知命题a x R x p ≥∈∃sin ,:，下列a 的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是( )A.2=aB.1=aC.0=aD.R a ∈5.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为( )A.5B.5log 8C.9D.9log 86.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1＜PA 的概率为( ) A.41 B.21 C.4π D.π 7.函数4ln )2()44ln()2()(2--+--=x x x x x f 的零点个数为( )A.3B.2C.1D.08.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 左移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为( )A.)2cos()(x x g π= B.)2cos()(x x g π-= C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g 9.已知椭圆)0(1222＞＞n m ny m x =+的左顶点为A ，右焦点为F ，点B 在椭圆上.BC ⊥x 轴，点C 在x 轴正半轴上.如果△ABC 的角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，它的面积S 满足)(5222c a b S --=，则椭圆的离心率为( ) A.41 B.51 C.22 D.42 10.设R c b a ∈,,，且2=++c b a ，12222=++c b a ，则c 的最大值和最小值的差为( ) A.2 B.310 C.316 D.320 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.为了参加全市的中学生创新知识竞赛，绵阳一中举行选拔赛，共有2000名学生参加.为了了解成绩情况，从中抽取了50名学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计请你根据如下表所示未完成的频率分布表，估计该校成绩超过80分的人数为______.12．设y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤≤0131y x x ,则y x z -=2的最大值为________. 13.已知幂函数)(x f y =的图像经过点)22,21(，则=+)5(lg )2(lg f f _________. 14.已知,a b 是两个单位向量，且3ka b a kb +=-，若,a b 的夹角为60°则实数=k ___.15.对非负实数m “四舍五入”到个位的值记为m .如048.0=，164.0=，1495.1=，........,若2332x x <-+>=，则=x ________. 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,S S S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ；（Ⅱ）证明：582,,a a a 成等差数列.17.（本小题满分12分）绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）从甲、乙两块试验田的棉花苗株高在[23,29]中抽3株，求至少各有1株分别属于甲、乙两块试验田的概率.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点),(),,(2211y x B y x A 在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB= 4π，且(,)62ππα∈. （Ⅰ）若cos(α+3π)147-=，求1x 的值； （Ⅱ）过点A,B 分别做x 轴的垂线，垂足为C 、D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2.设f(α)=S 1+S 2,求函数f(α)的最大值.19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且满足AD=DC=CB=a AB =21在直角梯形ACEF 中，︒=∠90,21//ECA AC EF ，已知二面角E-AC-B 是直二面角. （Ⅰ）求证：AF BC ⊥；（Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积. 甲 37 21 31 20 29 19 32 23 25 33 乙 10 30 47 27 46 14 26 10 44 4620.（本小题满分13分）已知函数,221ln )(2x ax x x f --=其中0,≠∈a R a . （Ⅰ）若))1(,1(f 是)(x f 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图像上任意一点处切线的斜率1-≥k 恒成立，求实数a 的最大值；（III ）试着讨论)(x f 的单调性.21.（本小题满分14分） 已知圆E 的圆心在x 轴上，且与y 轴切于原点.过抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点F 作垂直于x 轴的直线l 分别交圆和抛物线于A 、B 两点.已知l 截圆所得的弦长为3,且FB FA 32=.（Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）若P 在抛物线运动，M 、N 在y 轴上，且⊙E 的切线PM （其中B 为切点）且PN ⊙E 与有一个公共点，求△PMN 面积S 的最小值.。
四川省绵阳市2019届高三第三次诊断性考试 数学(理)Word版
绵阳市高中2016级第三次诊断性考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知集合 A={＜31|x x ≤}，N={1,2}，则=N MA. {1}B. {1,2}C. 0D.[1, 2]2.已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z =+⋅)1(,则=||z A. 21 B.2 C. 22 D.1 3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系。
如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况。
根据该折线图，下列结论中不正确的是A.2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B.这两年的最大仓铋指数都出现在4月份C.2018年全年仓储指数甲均饥明显低于2017年D.2018年各仓储指数的中位数与2017年备月仓储指数中位数差异明显4.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥021||0y x y x ，则22y x +的最大值为A.10B.5C.4D.25.将函数)62sin()(π-=x x f 的图像向左平移6π个单位，得到)(x g 的 解析式为A. x x g 2cos )(=B. x x g 2cos )(-=C. x x g 2sin )(=D. )32sin()(π+=x x g 6.已知{n a }是正项等比数列，且5814a a a =, 4a 与62a 的等差中项为18, 则=5aA. 2B. 4C. 8D.167.函数2ln )(x x x f =的大致图象为8.己知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面枳分别为6, 8, 12,则铁球的直径最大只能为 A. 3 B. 2 C. 5 D.49.己知双曲线E: 12222=-b y ax (a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2，以原点O 为圆心,OF1为半径作圆，与双曲线E 相交，若顺次连接这些交点和F1,，F2恰好构成一个正六边形， 则双曲线E 的离心率为 A. 3 B. 2 C. 13+ D.310.在5)21(x x-+的展开式中, 2x 项的系数为 A. -50 B. -30 C. 30 D. 50 11.若+∈R z y x ,,,且 z y x 1243==，N n n n z y x ∈+∈+),1,(,则 n 的值是 A. 2 B. 3 C. 4 D.12.已知抛物线C: x y 42=的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N,在直线0:=++a y x l 上存在一点Q ，使得090=∠MQN ,则实数a 的取值范围为A. [-13, 3]B.[-3, 1]C. [-3. 13]D. [-13. 13]二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(文)试题(解析版)
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M () A.{}1B.{}1,1- C.{}1,0 D.{}1,0,1-2.复数25-i 的共轭复数是() A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -23.某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的体积为()A.8B.6C.4D.3 【答案】B考点：三视图，几何体的体积.4.已知命题a x R x p ≥∈∃sin ,:，下列a 的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是() A.2=a B.1=a C.0=a D.R a ∈5.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为()A.5B.5log 8C.9D.9log 8 【答案】D 【解析】试题分析：由程序框图可知，程序在运行过程中各变量值变化如下表：x是否满足条件y第一次循环 2 5x >否第二次循环 3 5x >否 第三次循环 5 5x >否第四次循环 95x >是9log 81y >是输出9log 8故选D .考点：算法与程序框图，对数函数的性质.6.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1＜PA 的概率为() A.41B.21C.4πD.π 【答案】C 【解析】7.函数4ln )2()44ln()2()(2--+--=x x x x x f 的零点个数为() A.3B.2C.1D.0 【答案】B 【解析】8.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 左移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为()A.)2cos()(x x g π=B.)2cos()(x x g π-=C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g【答案】A 【解析】试题分析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足.考点：三角函数的性质，三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，余弦定理的应用.9.已知椭圆)0(1222＞＞n m ny m x =+的左顶点为A ，右焦点为F ，点B 在椭圆上.BC ⊥x 轴，点C 在x 轴正半轴上.如果△ABC 的角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，它的面积S 满足)(5222c a b S --=，则椭圆的离心率为() A.41B.51C.22D.42 【答案】B【解析】无法确定选项！考点：椭圆的几何性质，余弦定理的应用.10.设R c b a ∈,,，且2=++c b a ，12222=++c b a ，则c 的最大值和最小值的差为() A.2B.310C.316D.320 【答案】C 【解析】考点：一元二次方程，一元二次不等式的解法，转化与化归思想.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.为了参加全市的中学生创新知识竞赛，绵阳一中举行选拔赛，共有2000名学生参加.为了了解成绩情况，从中抽取了50名学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计请你根据如下表所示未完成的频率分布表，估计该校成绩超过80分的人数为______.【答案】900 【解析】试题分析：由表知，第2组的频率为150.350=；平移直线2=0x y -，当直线经过点33A （，）时，max z 23-3=3=⨯. 考点：简单线性规划13.已知幂函数)(x f y =的图像经过点)22,21(，则=+)5(lg )2(lg f f _________.【答案】12【解析】14.已知,a b r r 是两个单位向量，且3ka b a kb +=-r r r r ，若,a b r r 的夹角为60°则实数=k ___.【答案】1 【解析】15.对非负实数m “四舍五入”到个位的值记为m .如048.0=，164.0=，1495.1=， ........,若2332x x <-+>=，则=x ________.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,S S S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ； （Ⅱ）证明：582,,a a a 成等差数列.【答案】（Ⅰ）342q =-．（Ⅱ）证明：见解析. 【解析】解得：1q =（舍去），或34q =7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3612q q +=，∴4325111(1)a a a q a q a q q +=+=+671122a q q a q =⋅=， ∵78122a a q =，∴2582a a a +=，即582,,a a a 成等差数列．……………………………………12分 考点：等比数列的求和公式，等差数列的性质.17.（本小题满分12分）绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：甲 37 21 31 20 29 19 32 23 25 33 乙10 30 47 27 46 14 26 10 44 46（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）从甲、乙两块试验田的棉花苗株高在[23,29]中抽3株，求至少各有1株分别属于甲、乙两块试验田的概率.根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐．………………………………6分 （Ⅱ）甲试验田中棉花苗株高在[23，29]共有3株，分别记为A ，B ，C ， 乙试验田中棉花苗株高在[23，29]共有2株，分别记为a ，b ， 从甲，乙两块试验田中棉花苗株高在[23，29]中抽3株基本事件为：ABC Aab Bab Cab ABa ACa BCa ABb ACb BCb ，，，，，，，，，共10个．……8分其中，甲，乙两块试验田中棉花苗至少各有1株的基本事件为：Aab Bab Cab ABa ACa BCa ABb ACb BCb ，，，，，，，，，共9个，……………10分∴910P =．……………………………………………………………………………12分 考点：茎叶图，古典概型.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点),(),,(2211y x B y x A 在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB=4π，且(,)62ππα∈.（Ⅰ）若cos(α+3π)147-=，求1x 的值； （Ⅱ）过点A,B 分别做x 轴的垂线，垂足为C 、D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2.设f(α)=S 1+S 2,求函数f(α)的最大值.【答案】（Ⅰ）1277x =．（Ⅱ）max 3()34f παα==，． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由三角函数的定义有12cos cos()3x x παα==+，，结合角的取值范围，即得max 3()3f παα==， 试题解析：（Ⅰ）由三角函数的定义有12cos cos()3x x παα==+，，……………………2分∵7cos()()31462πππαα+=-∈，， ∴321sin()3πα+，………………………………………………………………4分∴1cos cos ()cos()cos sin()sin 333333x ππππππαααα⎡⎤==+-=+++⎢⎥⎣⎦，∴1277x =．…………………………………………………………………………6分19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且满足AD=DC=CB=a AB =21在直角梯形ACEF 中，︒=∠90,21//ECA AC EF ，已知二面角E-AC-B 是直二面角. （Ⅰ）求证：AF BC ⊥； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）D ACEF B ACEF V V V --=+333=． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，取AB 的中点G ，连结CG ．得到DC//AG ． 又推知四边形ADCG 是平行四边形，得AD=CG=a ，得到AC ⊥BC ．进一步BC ⊥平面ACEF ． 得到BC ⊥AF ．（Ⅱ）根据面面垂直、线面垂直得到BC 、DH 分别是四棱锥B-ACEF 、D-ACEF 的高． 根据平行四边形、直角三角形，确定211333()(3)222ACEFa a S EF AC CE a a =+⋅=+⋅=四边形，（Ⅱ）解：连结DG 交AC 于H ，连结FH ． ∵平面ACEF ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知BC ⊥面ACEF ，DH//BC ， ∴DH ⊥面ACEF ．即BC 、DH 分别是四棱锥B-ACEF 、D-ACEF 的高． 在Rt △ACB 中，2243AC a a a =-=，3a ． 由EF//21AC//CH ，且∠ACE=90º，知四边形HCEF 是矩形， ∴FH//EC ，于是FH ⊥AH ．在Rt △FAH 中，222231()22CE FH AF AH a a a ==-=-=． ∴211333()(3)222ACEFa a S EF AC CE a a =+⋅=+⋅=四边形， ∴D ACEF B ACEFV V V --=+22133133332a a a a =⨯⨯+⨯⨯333a =．………12分 考点：平行关系，垂直关系，几何体体积计算. 20.（本小题满分13分）已知函数,221ln )(2x ax x x f --=其中0,≠∈a R a . （Ⅰ）若))1(,1(f 是)(x f 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图像上任意一点处切线的斜率1-≥k 恒成立，求实数a 的最大值； （III ）试着讨论)(x f 的单调性.【答案】（Ⅰ）a=-1．（Ⅱ）a 的最大值为14-．（Ⅲ）①当a 1≤-时，)(x f 在(0)+∞，上是增函数； ②当10a -<<时，)(x f 在11(0)a +-，上是增函数，在1111()a a +--+-，上是减函数，在11()a -+-+∞，上是增函数；∵(1，f(1))是)(x f 的一个极值点， ∴(1)120f a '=--=，解得a=-1．……………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由题意知x>0，且1()2f x ax x '=--≥-1恒成立，即a ≤211x x-. 令g(x)=211x x -，于是323212()x g x x x x--'=+=， ∴当x ≥2时，()g x '0≥，即()g x 是[2+)∞，上的增函数， 当0<x<2时，()g x '0<，即()g x 是(0，2)上的减函数，∴当x=2时，()g x 取最小值g(2)=14-，∴a ≤14-，即a 的最大值为14-．…………………………………………………7分（Ⅲ）∵1()2f x ax x'=-+=221ax x x --+，设2()21(00)x ax x x a ϕ=--+>≠，，① 当a 0>时，③当a 0>时，)(x f 在11(0)a a +-，上是增函数，在11()a a+-+∞，上是减函数． ……………………………………………………13分考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，不等式恒成立问题，不等式解法. 21.（本小题满分14分）已知圆E 的圆心在x 轴上，且与y 轴切于原点.过抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点F 作垂直于x 轴的直线l 分别交圆和抛物线于A 、B 两点.已知l 截圆所得的弦长为3,且FB FA 32=.（Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）若P 在抛物线运动，M 、N 在y 轴上，且⊙E 的切线PM （其中B 为切点）且PN ⊙E 与有一个公共点，求△PMN 面积S 的最小值.【答案】（Ⅰ）抛物线的方程为2y 2x =，圆的方程为()22x 1y 1-+=．（Ⅱ）S △PMN 的最小值为8．【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆的标准方程为()()222x r y r r 0-+=>，由已知有F(2p，0)，即|EF|=r-2p． 根据l 截得的弦长为3，从而22200020448()(2)x y x b c x +--=-，利用200y 2x =，化简得到220204()(2)x b c x -=-，即0022x b c x -=-． 从而PMN S ∆=00000014()(2)4222x b c x x x x x -⋅=⋅=+-+--2=448≥.又直线PM 与圆()22x 1y 1-+=相切，0022001()y b x b y b x -+=-+，化简得22200002()x x b y b x b =-+．按题意，0x 2>，上式化简得，2000(2)20x b y b x -+-=．…………………………8分同理，由直线PC 与圆()22x 1y 1-+=相切，可得2000(2)20x c y c x -+-=．………9分∴由根与系数的关系知，0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，。