高中数学必修四课件：2.3.3-2.3.4平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示课件
高中数学 必修四 §2.3.4共面向量共线的坐标表示
备课人 授课时间
课题 §2.3.4平面向量共线的坐标表示
课标要求
平面向量共线的坐标表示
教
学
目
标 知识目标 会用坐标表示平面向量共线条件
技能目标 通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用
情感态度价值观 通过本节学习,培养学生的理性与探索精神
重点 用平面向量坐标表示向量共线条件
难点 应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题
教
学
过
程
及
方
法 问题与情境及教师活动 学生活动
（一）创设情景，揭示课题
1．平面向量的坐标运算公式
2．向量的数乘运算
3.平面向量的共线定理
4.请说出下列各组中两向量的位置关系(共线或不共线), 并指出它们的特点.
（二）研探新知
1.向量共线定理的坐标形式
学生回忆概念
学生完成
,.abab向量与非零向量共线，当且仅当有唯一一个实数使得(1)(1,2),(2,4)ab(2)(0,0),(2,4)ab(1,2),(2,3)ab（3）112211222.(,),(,),0,,,,?axybxybxyxyab且则满足什么条件时向量与共线12210xyxy1122(,),(,)(0).axybxybabab设则，、共线（R）
教
学
过
程
及
方
法 问题与情境及教师活动 学生活动
如果用坐标表示，可写为
消去可得
思考：若01221yxyx，能得到a与0bb共线吗？
（三）质疑答辩，排难解惑
例1.
例2. 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系
例3. 设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，
(x2，y2).⑴当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
⑵当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
学生回答
熟悉巩固向量平行或共线的坐标条件，通过证明共线，感受向量法的优势
高中数学三维设计必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
预习课本P98～100，思考并完成以下问题
如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？
[新知初探]
平面向量共线的坐标表示
前提条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线
[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2＝y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；
(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.( )
(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )
答案：(1)√ (2)√
2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则与a＋b共线的向量可以是( )
A．(2,1) B．(－1,2) C．(6,10) D．(－6,10)
答案：C
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x等于( )
A．－12 B.12 C．－2 D．2
答案：D
4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________．
答案：73，0
向量共线的判定
[典例] (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A.12 B.13 C．1 D．2
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
[解析] (1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.
2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
玉环实验学校杭州高中部 高一（上） 数学必修4．第二章
1 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
●温故知新
1.平面向量基本定理
基底 平面内_______________的向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
定
理 条件 对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一对实数
1，2
结论 a____________，并且这种分解是唯一的
（1）式子a__________叫做向量a关于基底12,ee的分解式.
（2）如果基底的两个向量1e、2e________，则这个基底为正交基底.
2.在直角坐标系中建立一个________,ij，对于平面内任一向量a可分解为xyaij，则有序
实数对______叫做向量a的坐标，记作_________.
3.设OAxyij，则向量OA的坐标______就是_________的坐标；
反过来，_________的坐标______也就是向量OA的坐标.
4.向量的加法法则：两向量首尾相接，则和向量为首向量的______指向末向量的______.
●课题引入
在直角坐标平面中，
（1）画出2,4OA，如何画2,4a？
（2）若2,4a，3,1b，画出ab，如何求ab的坐标？
●教材新知
1.向量的线性运算
向量的加法 设11,xya，22,xyb，则ab______________，
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的______.
向量的减法 设11,xya，22,xyb，则ab______________，
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的______.
向量的数乘 设,xya，R，则a____________，
数乘向量的积的坐标等于数_____向量相应坐标的___.
高中数学 2.2.3 用平面向量坐标表示向量的共线条件课件 新人教B版必修4
1 【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.3 用平面向量坐标表示向量的共线条件课件 新人教B版必修4
一、选择题
1．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( )
A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)
【解析】 由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行．
对任意k∈R,1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行．
【答案】 C
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
【解析】 由a∥b得m＋2×2＝0，∴m＝－4，
∴b＝(－2，－4)．
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
【答案】 B
3．在▱ABCD中，已知AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,3)，对角线AC、BD相交于O点，则CO→的坐标是( ) 2 A．(－12，5) B．(－12，－5)
C．(12，－5) D．(12，5)
【解析】 ∵CO→＝－12AC→＝－12(AB→＋AD→)
＝－12(－2,3)－12(3,7)＝(－12，－5)．
【答案】 B
4．已知向量a＝(32，sin α)，b＝(sin α，16)，若a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60°
C．45° D．75°
【解析】 ∵a∥b，∴sin2 α＝32×16＝14，
∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°.
【答案】 A
5．与a＝(12,5)平行的单位向量为( )
A．(1213，－513)
B．(－1213，－513)
C．(1213，513)或(－1213，－513)
高中数学 必修四 (2.3.4 平面向量共线的坐标表示)教案 新人教A版必修4
2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学过程
导入新课
思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？
思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?
②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?
活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
图1
a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,
即a+b=(x1+x2,y1+y2).
同理a-b=(x1-x2,y1-y2).
又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).
教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:
【最新!决胜高考精品高中数学课件-教师版】人教版数学必修四-平面向量基本定理及坐标运算
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平面向量基本定理及坐标运算
知识集结
知识元
平面向量的坐标运算
知识讲解
平面向量的坐标运算
1、加法运算
若，，则量．
即两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和．
2、减法运算
若，，则量．
即两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差．
3、数乘运算
若，则．
即实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标．
4、向量坐标的求法
若，则．
即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
例题精讲 2 / 14 平面向量的坐标运算
例1.
（2020∙天河区一模）已知向量（3，-2），（m，1）．若向量（2）∥，则m=__．
【答案】
【解析】
题干解析:∵向量（3，-2），（m，1），∴，∵（2）∥，∴-4m=3-2m，∴m．
例2.
（2019春∙宜昌期末）若向量，的夹角为120°，||=||=2，则∙（）=___
【答案】
6
【解析】
题干解析:向量，的夹角为120°，||=||=2，则∙（）4-2∙2∙cos120°=6，
例3.
（2019春∙滁州期末）已知向量（1，x2），（-2，y2-2），若向量，共线，则xy的最大值为__．
【答案】
【解析】
题干解析:向量（1，x2），（-2，y2-2），若向量，共线，则y2-2+2x2=0，∴2=y2+2x2≥22xy，即xy，当且仅当x，y=1时，取等号．故xy的最大值为， 3 / 14 平面向量的坐标求法
知识讲解
一 、平面向量的正交分解和坐标表示
1、向量的正交分解
把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2、平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的直角坐标，记，其中叫做向量在轴上的坐标，叫做向量在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示其中、称为标准基底，也叫做基本向量．显然、．
数学人教A版必修4： 2.3.4平面向量共线的坐标表示 含
备课资料
一、求点P分有向线段所成的比的几种求法
(1)定义法:根据已知条件直接找到使PP1=λ2PP的实数λ的值.
例1 已知点A(-2,-3),点B(4,1),延长AB到P,使|AP|=3|PB|,求点P的坐标.
解：因为点在AB的延长线上,P为AB的外分点,所以AP=λPB,λ<0,又根据|AP|=3|PB|,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P点的坐标为(7,3).
(2)公式法:依据定比分点坐标公式.
x=,1,12121yyyxx结合已知条件求解λ.
例2 已知两点P1(3,2),P2(-8,3),求点P(21,y)分21PP所成的比λ及y的值.
解：由线段的定比分点坐标公式,得
.2249,175,132,1)8(321yy解得
二、备用习题
1.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b等于（ ）
A.(7,1) B.(-7,-1) C.(-7,1) D.(7,-1)
2.已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若AB和CD是相反向量,则D点的坐标是（ ）
A.(-2,0) B.(2,2) C.(2,0) D.(-2,-2)
3.若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使AB=λBC的实数λ的值为（ ）
A.1 B.-2 C.0 D.2
4.设a=(23,sinα),b=(cosα,31),且a∥b,则α的值是（ ）
A.α=2kπ+4(k∈Z) B.α=2kπ-4(k∈Z)
高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案 新人教A版必修4
课题 2.3.4平面向量共线的坐标表示
教
学
目
标 知识与技能 理解用坐标表示的平面向量共线的条件
过程与方法 能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
情感态度价值观 掌握三点共线的判断方法．
重点 平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题
难点 使问题具有代数化的特点、程序化的特征
教
学
设
计 教学内容 教学环节与活动设计
1．两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有 .
(2)当a∥b且x2y2≠0时，有 .即两向量的相应坐标成比例．
2．若P1P→＝λPP2→，则P与P1、P2三点共线．
当λ∈ 时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；
当λ∈ 时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈ 时，P位于线段P1P2的反向延长线上.
探究点一 平面向量共线的坐标表示
a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？
问题1 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0，请你写出证明过程．
问题2 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.请你写出证明过程．
教学内容 教学环节与活动设计 探究点二 共线向量与中点坐标公式
问题1 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标．
问题2 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．点P是线段P1P2的一个三等分点，求P点的坐标．
问题3 已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．求△ABC的重心G的坐标．
【高中数学必修四】专题2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，__________的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组__________．
（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
（2）若基底给定，则同一向量的分解形式唯一；
（3）如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到1122．
2．两个向量的夹角
（1）向量夹角的几何表示
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．已知两向量a，b，作OAuuur=a，OBuuur=b，则__________为a与b的夹角．
（2）夹角范围
①向量的夹角是针对非零向量定义的；
②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是__________和[0,]2；
③当两向量方向相同时，夹角为__________，当方向相反时，夹角为__________．
3．平面向量运算的正交分解及坐标表示
（1）向量的分解
一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．
（2）向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量__________．这两个互相垂直的向量称为
__________．
4．平面向量运算的坐标运算
运算 坐标表示
和（差） 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．
数乘 已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数．
任一向量的坐标 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 ABuuur=（x2–x1，y2–y1）．
教学：高一数学人教A版必修四教案：2.3.4 平面向量的坐标表示 Word版含答案
§2.3.4平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia
把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，)0,1(i，)1,0(j，)0,0(0.
2．平面向量的坐标运算
若),(11yxa，),(22yxb，
则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx，),(yxa.
若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB
二、讲解新课：
a∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
设a=(x1， y1) ，b=(x2， y2) 其中ba.
由a=λb得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 2121yyxx消去λ，x1y2-x2y1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0，∵b0∴x2， y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成2211xyxy∵x1， x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b0)01221yxyxba
三、讲解范例：
例1已知a=(4，2)，b=(6， y)，且a∥b，求y.
例2已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).