直线与圆题型总结
高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．
2、 设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程．
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
1 已知圆422yxO：，求过点42，P与圆相切的切线．
2 两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．
3、过圆122yx外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。
练习：
1．求过点(3,1)M，且与圆22(1)4xy相切的直线l的方程
2、过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为
3、已知直线0125ayx与圆0222yxx相切，则a的值为 .
类型三：弦长、弧问题
1、求直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长
2、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为
3、求两圆0222yxyx和522yx的公共弦长
类型四：直线与圆的位置关系
1、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，实数m的取值范围
2 圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有 个
3、直线1yx与圆)0(0222aayyx没有公共点，则a的取值范围是
4、若直线2kxy与圆1)3()2(22yx有两个不同的交点，则k的取值范围是 .
5、 圆034222yxyx上到直线01yx的距离为的点共有（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
6、 过点43，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆42122yxC：有公共点
类型五：圆与圆的位置关系
1、判断圆02662:221yxyxC与圆0424:222yxyxC的位置关系
2圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有 条。
类型六：圆中的对称问题 1、圆222690xyxy关于直线250xy对称的圆的方程是
类型七：圆中的最值问题
1、圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是
2、 (1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆上的动点，求22yxd的最大、最小值．
(2)已知圆1)2(222yxO：，),(yxP为圆上任一点．求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值．
3、已知)0,2(A，)0,2(B，点P在圆4)4()3(22yx上运动，则22PBPA的最小值是 .
练习：
1：已知点),(yxP在圆1)1(22yx上运动.
（1） 求21xy的最大值与最小值；（2）求yx2的最大值与最小值.
类型八：轨迹问题
1、已知点M与两个定点)0,0(O，)0,3(A的距离的比为21，求点M的轨迹方程.
2、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆4)1(22yx上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
练习：
1、由动点P向圆122yx引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程是
类型九：圆的综合应用
1、 已知圆0622myxyx与直线032yx相交于、两点，为原点，且OQOP，求实数的值．
2、已知对于圆1)1(22yx上任一点),(yxP，不等式0myx恒成立，求实数的取值范围．
初三圆中常考题型总结
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授课类型 T 圆的基本位置关系 C圆与直线相关性质综合 T 中考真题运用
授课日期及时段
教学内容
一、同步知识梳理
基本概念关系：
1、点与圆的位置关系
（1）点在圆内 dr 点C在圆内；
（2）点在圆上 dr 点B在圆上；
（3）点在圆外 dr 点A在圆外；
2、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆相离 dr 无交点；
（2）直线与圆相切 dr 有一个交点；
（3）直线与圆相交 dr 有两个交点；
drd=rrd
3、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 dRr；
外切（图2） 有一个交点 dRr；
相交（图3） 有两个交点 RrdRr； rddCBAOword格式-可编辑-感谢下载支持
内切（图4） 有一个交点 dRr；
内含（图5） 无交点 dRr；
图1rRd 图3rRd
二、同步题型分析
题型1：点与圆
例1：（★）⊙O的半径r=10cm，圆心到直线L的距离OM=8cm，在直线L上有一点P，PM=6cm，则点P（ ）
A 在⊙O内 B 在⊙O 外 C 在⊙O 上 D 不能确定
题型2：直线与圆（相交、相离、相切）
例1：（★★★）（2013四川巴中，26，13分）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．
题型3：直线与圆（切线的证明）
．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，求证：DE是⊙O的切线．
图2rRd图4rRd图5rRdword格式-可编辑-感谢下载支持
专题04 直线和圆的位置关系4种压轴题型全攻略(解析版)
专题04直线和圆的位置关系4种压轴题型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】.......................................................................................................................................................1
【考点一由直线和圆的位置关系求半径的取值范围】...............................................................................1
【考点二由直线和圆的交点个数求半径或距离的大小】.............................................................................2
【考点三直线和圆相切问题的应用】..............................................................................................................2
【考点四动点问题在直线和圆的位置关系中的拓展提高】.........................................................................3
【过关检测】.......................................................................................................................................................4
【典型例题】
【考点一由直线和圆的位置关系求半径的取值范围】
【例题1】如图，直线2yx与圆心在原点O
《直线与圆》常见考点及题型分析
《直线与圆》常见考点及题型分析
陕西省麟游县中学（721599） 韩红军
1.热点透析
解析几何涉及直线与圆和圆锥曲线两部分内容，是衔接初等数学和高等数学的纽带，是运用“数”研究“形”。（1）近几年高考的热点：第一部分是直线的方程。需要掌握直线的倾斜角和斜率，直线方程的几种形式（如点斜式、两点式和一般式等），两直线位置关系（平行、垂直）的判定和应用。第二部分是圆的方程。需要掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，与圆有关的最值问题、弦长问题、轨迹问题等。第三部分是直线和圆、圆与圆的位置关系。需要掌握直线与圆、圆与圆的位置关系中基本量的计算。（2）近几年常考的题型：主要是一道选择题或填空题，单独出解答题的概率不大，然而有可能作为解答题的背景或渗透在解答题的第（1）问中。
2.热点题型分类精讲
题型一：求直线的倾斜角或斜率
例1.（2014，安徽）过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.0，π6 B.0，π3 C.0，π6 D.0，π3
解析：易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0.因为直线l圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离|3k－1|1＋k2≤1，即k2－3k≤0，解得0≤k≤3，故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3.故选D．
评注：直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.
题型二：求直线的方程
例2.（2014，福建）已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＝2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结
直线与圆是高中数学中重要的几何概念。在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系
1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：
a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程
1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。 3. 直线与圆的方程应用：
a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质
1. 切线与半径的关系：
切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。
2. 切线的性质：
a. 切点：切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。
d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质：
弦是圆上的两个点之间的线段。弦的性质有：
a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
直线和圆知识点及题型总结
〔4〕截距式：直线在轴和轴上的截距为,那么直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
〔5〕一般式：任何直线均可写成 (A,B不同时为0)的形式。
例题：
〔1〕经过点〔2，1〕且方向向量为=(－1, )的直线的点斜式方程是___________〔答：〕；
〔2〕直线，不管怎样变化恒过点______〔答：〕；
〔3〕假设曲线与有两个公共点，那么的取值范围是_______〔答：〕
注意：
(1)直线方程的各种形式都有局限性.〔如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？〕；
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。例：过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条〔答：3〕
4．设直线方程的一些常用技巧：
〔1〕知直线纵截距，常设其方程为；
〔2〕知直线横截距，常设其方程为 (它不适用于斜率为0的直线)；
〔3〕知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，那么其方程为；
〔4〕与直线平行的直线可表示为；
〔5〕与直线垂直的直线可表示为
注意
5．点到直线的距离及两平行直线间的距离：
〔1〕点到直线的距离；
〔2〕两平行线间的距离为。
6．直线与直线的位置关系：
〔1〕平行〔斜率〕且〔在轴上截距〕；
〔2〕相交；
〔3〕重合且。
注意：
〔1〕、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！
〔2〕在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；
〔3〕直线与直线垂直。
直线与圆涉及的12个必考点题型归纳梳理教师版
直线与圆涉及的12个必考点题型归纳梳理
必考点1 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
②范围：倾斜角的范围为0．
2．直线的斜率
①定义．一条直线的倾斜角(90)的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即tank＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l与x轴平行或重合时, 0, tan00k.
②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()PxyPxyxx，，，的直线的斜率公式为2121yykxx＝.
3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：
（1）当[0,)2时，0,k越大，斜率越大；（2）当(,)2时，0,k越大，斜率越大.
例题1 直线l的倾斜角,43，则其斜率的取值范围为（ ）
A．3(,1)3 B．(1,3) C．2,32 D．32(,)32
【解析】直线的倾斜角为2，则斜率为tan，tanyx在0,2上为增函数.
由于直线l的倾斜角,43，所以其斜率的取值范围为tan,tan43，即(1,3).选B
例题2 已知A（2，3），B（﹣1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则3yx的最大值为（ ）
A．1 B．35 C．12 D．﹣3
【解析】设Q（3，0），则k30233，k201132，
∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴3yx的取值范围是[﹣3，12]，故则3yx的最大值为12
高观点下盘点直线与圆综合问题7大题型
解决鸟类眼界的线条和圈子的多汁问题时，经常出现7种令人兴奋的问题。 想象一下，找到那些神奇的交叉点， 在那里，一个令人兴奋的线与一个酷酷的圈子相遇， 或者想出一个调情的切线与一个圈子的等式—— 这就像解谜一样！ 接下来是分析一个大胆的线条相对于一个神秘的圆圈的位置的刺激，以及揭开多个圆圈和线条的交叉点的谜题。
等等，还有更多！ 准备好探究一个圆圈和一条线之间的最大和最小距离——这就像一个高招的捉迷藏游戏。 谁能抗拒探索被一圈一线包围的区域和周边的冒险？ 这就像揭开埋藏的宝藏！ 如果这还不够的话，
使用坐标几何来导航 令人惊奇的线条和圆圈世界， 将是一个令人发指的挑战。 谁知道数学会这么有趣？
第一种问题在于找出一条线和一圈交汇的地方。 你基本上必须解决几个方程，才能找到它们相互交叉的点。 第二类问题是试图找到一个线的方程式，这个线只在某一点上触碰一个圆。 这就像找到线的坡度 并利用它来构建方程式 第三类问题在于如何看一行与一圈的关系。 你基本上正在想，如果线条穿过圆圈， 只是触摸它， 或者在它之外停留。
展望未来，第四种问题涉及审查多个圈和线的交叉点。 这会造成复杂配置，特别是在处理两个以上的圆圈和线条时。 第5类问题侧重于调查给定圆与给定线之间的最大和最小距离。 这往往需要利用几何和微积分的概念来优化距离。 第六类问题探索特定圆圈和特定线所包围的区域和周边。 这需要几何公式和方程解析的二元化。 第7类问题涉及理解协调几何的应用，以解决涉及线和圈的问题。 这可能需要使用距离公式和一个圆的方程来导航问题的复杂性。
专题07 直线与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题07直线与圆的位置关系
【知识梳理】
1、直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线l
与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l
与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线l
与圆C相交；
有一组实数解时，直线l
与圆C相切；
无实数解时，直线l
与圆C相离．
（2）几何法：
由圆C的圆心到直线l
的距离d
与圆的半径r
的关系判断：
当dr
时，直线l
与圆C相交；
当dr
时，直线l
与圆C相切；
当dr
时，直线l
与圆C相离．
3、圆的切线方程的求法
（1）点M
在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率
lk
与圆心和该点连线的斜率
OMk
的乘积等于1
，即
1
OMlkk
．
法二：圆心O
到直线l的距离等于半径r
．
（2）点
00,xy
在圆外，则设切线方程：
00()yykxx
，变成一般式：
000kxyykx
，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k
．
诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，
则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆222xyr
上一点
00,Pxy
的切线方程是2
00xxyyr
；（2）过圆22
2xaybr
上一点
00,Pxy
的切线方程是
2
00xaxaybybr
．
4、求直线被圆截得的弦长的方法
（1）应用圆中直角三角形：半径r
，圆心到直线的距离d
，弦长l具有的关系
2
22
2l
rd
，这也是求弦长最常用的方法．
（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间
的距离公式计算弦长．
（3）利用弦长公式：设直线:lykxb
，与圆的两交点
1122,,,xyxy
，将直线方
程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：
(word完整版)直线和圆综合问题题型分类全面
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1 第九讲 直线和圆问题
一、直线与圆
（一）直线和圆的位置关系及其特点
1.直线和圆相交:直线和圆有两个公共点. 2。直线和圆相切：直线和圆有一个公共点。
3.直线和圆相离：直线和圆没有公共点。
（二）直线和圆的位置关系的判断
几何法:利用圆心0),(CByAxbaO到直线的距离22BACBbAad与半径r的大小来判断.
代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过根的判别式acb42来判断.
直线与圆的
位置关系 相交 相切 相离
图形
圆心到直线的距离d
acb42
（三)相交弦长
1.定义：当直线和圆相交时，我们把两个交点的距离叫做相交弦长。
2.求相交弦长的两种方法
几何法：如图,半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，满足勾股定理：__________。
代数法：若直线bkxy与圆有两个交点),(),(2211yxByxA、,则弦长公式AB=_______________________________________________．
或______________________________________________________．
3.相交弦中点求法
几何法：求出经过圆心与相交弦l垂直的直线方程'l，则'll、的交点即为相交弦中点．
代数法：联立直线l和圆C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，其两根分别为21,xx则相交弦的中点横坐标为2210xxx,再把0x代入直线l的方程求得0y，),(00yx即为中点弦坐标．
（四）圆的切线
１.圆的切线条数
点在圆内时：___________；点在圆上时：___________;点在圆外时：____________.
2.圆的切线方程求法
解题技巧：直线与圆的题型与方法
解题技巧：直线与圆的题型与方法-(总15页)
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--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 解题技巧：直线与圆的题型与方法
一、考试要求：
直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
3．了解二元一次不等式表示平面区域．
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．
二、教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
(一)直线的方程
1．点斜式：)(11xxkyy；2． 截距式：bkxy；
3．两点式：121121xxxxyyyy；4． 截距式：1byax；
5．一般式：0CByAx，其中A、B不同时为0．
(二)两条直线的位置关系
两条直线1l，2l有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）．在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交．
设直线1l：y=1kx+1b，直线2l：y=2kx+2b，则
1l∥2l的充要条件是1k=2k，且1b=2b；1l⊥2l的充要条件是1k2k=-1．
(三)线性规划问题 1．线性规划问题涉及如下概念：
⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件．
⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值．特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数．
⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．
⑷满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解．