2020届湖南省长沙市一中高三月考试题(四)数学(理)试题
2020届湖南省长沙市一中高三月考试题（四）数学（理）试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D【答案】C分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．若x ∈R ，则“31x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A分别求解两个不等式再判断即可. 解：因为3y x =为增函数,故31x >解得1x >,又1x >解得1x >或1x <-,故“31x >”是“1x >”的充分不必要条件. 故选：A 点评：本题主要考查了幂函数与绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判断,属于基础题型.3．下列命题中，,m n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面． ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥． 正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m 与平面α内的任意一条直线垂直，由n αP 知，存在直线b α⊂内，使n b P ，所以,m b m n ⊥⊥，故①正确；对于②，平面α与平面β可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m 与n 可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有m αγγ⊥P ， ，正确．故正确命题为①④，选C.4．将函数()sin 2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，则()g x 的解析式为A ．()sin()6g x x π=-B ．()sin()6g x x π=+C ．2()sin(4)3g x x π=- D ．()sin(4)6g x x π=-【答案】C将函数()sin2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12得到sin 4y x =，再向右平移6π个单位长度后 得到()g x ，2()sin 4()sin(4)63g x x x ππ=-=-，故选C. 5．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1,3,3,4,6,5,10，…，则这个数列的第19项为（ ）A ．55B ．110C ．58D ．220【答案】A先对“锯齿形”的数列的奇数项找规律，求出通项公式，然后利用“锯齿形”数列的第19项即为新数列的第10项即可求出结论.解：设“锯齿形”的数列的奇数项构成数列{}n b ，由21312b b -=-=，32633b b -=-=，431064b b -=-=，5415105b b -=-=1n n b b n -⇒-=，所以可得()()1212nn n b b +-=+，即22nn nb +=， 又因为“锯齿形”数列的第19项即为新数列的第10项，2101010552b +==，故选：A 点评：本题考查了递推关系式求数列的通项公式，考查了叠加法求通项公式，属于中档题. 6．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．8C ．4D ．83【答案】D由三视图可知几何体为四棱锥,俯视图为底面,主视图的高为棱锥的高, 代入体积公式计算可得选项. 解：由三视图可知该几何体是底面为正方形的四棱锥，底面是边长为2的正方形，棱锥的高为2，∴2182233V =⨯⨯=. 故选:D. 点评：本题考查根据三视图得出原几何体，并且求其体积的问题，关键在于由三视图准确地还原几何体，属于基础题.7．若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C 解：因为5a 是2a 与6a 的等比中项，()()225262222689a a a a a a a ∴=∴+=+∴=-，所以通项公式为()()22922213n a a n d n n =+-=-+-=-，令0n a ≤得6n ≤，所以该数列的前n 项和n S 取最小值时n 的值等于6 8．假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表如下：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为（ ） A ．45a =，15c = B ．40a =，20c = C ．35a =，25c = D ．30a =，30c =【答案】A 由题意得，当10a a +与30cc +相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即可得到答案.解：由题意可得，当与相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，分析四组选项，A 中的a ，c 的值最符合题意，故选A. 点评：本题主要考查了独立性检验的判定及应用，其中熟记独立性检验的相关知识和2K 的计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 9．法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占12，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（ ） A ．甲400法郎，乙300法郎 B ．甲500法郎，乙200法郎 C ．甲525法郎，乙175法郎 D ．甲350法郎，乙350法郎【答案】C通过分析甲可能获胜的概率来分得奖金，假定再赌一局，甲获胜的概率为12；若再赌两局，甲才获胜的概率为111224⨯=，从而得甲获胜的概率为113424+=，可得出奖金的分配金额. 解：假定再赌一局，甲获胜的概率为12；若再赌两局，甲才获胜的概率为111224⨯=， ∴甲获胜的概率为113424+=，∴甲应分得：37005254⨯=（法郎），乙应分得：17001754⨯=（法郎）.故选：C. 点评：本题考查概率知识的实际应用，关键在于明确概率的原理，以达到理论联系实际，属于中档题.10．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（） A 6B ．3C ．6D 3【答案】C利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+，再利用均值不等式得到答案. 解：设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F FF P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=Q ，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=Q ，()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++. ， 2222222222a a cc c a c a +≥⋅=Q ，当且仅当2222a c c a =时等立， 21e 2e 2∴+的最小值为6， 故选:C ．点评：本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+是解题的关键，意在考查学生的计算能力.11．已知12,l l 分别是函数()|ln |f x x =图象上不同的两点12,P P 处的切线，12,l l 分别与y 轴交于点,A B ，且1l 与2l 垂直相交于点P ，则ABP ∆的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】A由题意得()ln ,01ln ln ,0x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩．设11122212(,ln ),(,ln )(1,01)P x x P x x x x -><<，由导数的几何意义可得切线12,l l 的斜率分别为121211,k k x x ==-， 由条件可得121211k k x x =-=-，所以121=x x ，故211x x =．又切线1l 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ，切线2l 的方程为2221ln ()y x x x x +=--，即1111ln ()y x x x x -=--，在两切线方程中，分别令0x =可得切线与y 轴的交点分别为 11(0,1ln ),(0,1ln )A x B x -++，故||2AB =．由1111111ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，可得点2111221121(,ln )11x x P x x x -+++． ∴21122112111211ABPP x x S AB x x x ∆+==<=++（由于11x ≠，故等号不成立）． ∴ABP ∆的面积的取值范围是()0,1．选A ． 点睛：（1）由于曲线的两条切线垂直，故切点的横坐标必为一个小于1，一个大于1，解题时要注意这一隐含条件．（2）三角形面积的最值问题可根据题意得到面积的表达式，然后根据表达式的特征，选择是利用基本不等式求解还是利用函数知识求解，利用基本不等式时要注意不等式使用的条件．12．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭【答案】D由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为123n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121133n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项.解：由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为()1223n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是()()111,23n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即11133n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=， ∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232nn P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，1010111232P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 故选：D. 点评：本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.二、填空题 13．设，向量，且，则______ ．【答案】由题意可得，由此解得的值，可得的坐标，从而求得的值.解： 由题意可得，解得，所以， 所以，故答案是5. 点评：该题所考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，平面向量数量积的运算以及向量的模的求解，正确应用公式是正确解题的关键.14．有4名优秀学生A 、B 、C 、D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每名学生只能被保送到1所学校，每所学校至少1名，则不同的保送方案共有______种.（填写数字） 【答案】36.根据题意首先把4名学生分为3组,则有24C 种分法,再把分好的3组分到3个学习小组,则有33A 种分法,进而再利用分步计数原理计算出答案 解：因为4名学生分配到3个学习小组,每个小组至少有1学生, 所以首先把4名学生分为3组,则有一个组有2人,共有24C 种分法, 再把分好的3组分到3个学习小组,则有33A 种分法,所以共有234336C A ⋅=种分法.故答案为:36. 点评：本题主要考查了分配问题,解决此类问题的关键是熟练掌握分步计数原理与分步计数原理,一般是先分组再分配，属于基础题.15．定义在R 上的连续函数()f x 满足()12f =，且()f x 在R 上的导函数()'1f x <，则不等式()1f x x <+的解集为__________． 【答案】{}|1x x >设()()1h x f x x =--，则()()//10h x fx =-<，即()()1h x f x x =--是单调递减函数，而()()11110h f =--=，所以()1f x x >+等价于()10f x x -->，即()()1h x h >，所以1x >，故不等式的解集为{}1x x ，应填答案{}1x x ．点睛：本题的解答过程中，充分借助题设条件，巧妙地构造函数()()1h x f x x =--，从而借助导数的求导法则及导数与函数单调性的关系，判断出该函数的单调递减函数，进而为解不等式创造出模型．解答本题的难点在于怎样观察并构造出函数，然后再用导数知识判断其单调性，进而将不等式进行等价转化．16．如图，在ABC ∆中，已知角A 、B 、C 对应的边分别为a ，b ，c ，其中3a =，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，D 是AC 边上一点，若AB AD =，则CBD∆的周长的取值范围是______.【答案】(23,32⎤⎦由已知等式利用正弦定理化简,得到三边的关系式,利用余弦定理求出cos A ,进而确定出角A 的值, 得出ABD ∆为等边三角形，求CBD ∆的周长的取值范围得以转化为求AC 的范围，再运用正弦定理，运用三角函数的值域求得范围.解：设CBD ∆的周长为l ，由正弦定理得()()2a b a b c bc +⋅-=-，即222c b a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，0A π<<Q ，∴3A π=. ∵AB BD =，∴ABD ∆为等边三角形，∴l BD DC BC AD DC BC AC BC =++=++=+.在ABC ∆3sin sin3ACABC =∠，∴2sin AC ABC =∠，∵233ABC ππ<∠<3sin 1ABC <∠≤32sin 2ABC <∠≤，∴2sin 2ABC AC <∠+≤∴(2l ⎤∈⎦.故答案为：(2⎤⎦. 点评：此题考查运用正弦、余弦定理,求解三角形，关键在于得到等边三角形，将所求的周长的范围转化为求三角形的边的范围，再运用正弦定理，转化为求角的三角函数值的范围，属于中档题.三、解答题17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n a +是4与n S 的等比中项. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列()111n n n n a a ++⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前2n 项和2n T .【答案】（1）21n a n =-（2）41nn +（1）由题意得：()214n n a S +=，①,当2n ≥时，()21114n n a S --+=.②，①－②得()()1120n n n n a a a a --+--=. 可得数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式的解法可求得； （2）()()1111212142121n n n n a a n n n n +⎛⎫==+ ⎪-+-+⎝⎭，则可得2111111143354141n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可求得答案. 解：（1）由题意得：()214n n a S +=，①,当2n ≥时，()21114n n a S --+=.②，①－②得()()1120n n n n a a a a --+--=.∵0n a >，∴()122n n a a n --=≥，当1n =时，()21114a a +=，11a =，∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-.（2）()()1111212142121n n n n a a n n n n +⎛⎫==+ ⎪-+-+⎝⎭，设()()111111142121n nnn nnba a n n+++-⋅-⎛⎫==⋅+⎪-+⎝⎭，∴2111111143354141nTn n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋅⋅⋅-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1114144144141n nn n n⎛⎫=-=⨯=⎪+++⎝⎭.点评：本题考查由数列的前项的和求数列的通项，裂项求和法求数列的和，关键在于先将1n nna a+式子进行处理，然后再将整个式子按裂项相减法的步骤化简即可得到结果，需要注意的是裂项之后还剩哪些项，搞清楚，属于中档题.18．如图，四棱锥P ABCD-的底面是菱形，平面PAD⊥底面ABCD，O，E分别是AD，AB的中点，6AB=，5DP AP==，60BAD∠=︒.（1）求证：AC PE⊥；（2）求直线PB与平面POE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2312986（1）连接BD，由菱形的性质可得：AC BD⊥，结合三角形中位线的性质可知：//OE BD，故OE AC⊥，再由平面PAD⊥平面ABCD可得AC OP⊥，得AC⊥平面POE，可得证；（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA⊥，OP OB⊥，OA OB⊥，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，求得平面POE的一个法向量，向量PBu u u r，根据线面角的空间向量坐标公式可求得直线PB与平面POE所成角的正弦值. 解：（1）连接BD，由菱形的性质可得：AC BD⊥，结合三角形中位线的性质可知：//OE BD，故OE AC⊥，∵5DP AP==，∴PO AD⊥，∵平面PAD⊥平面ABCD，AD=平面PAD I平面ABCD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，故AC OP⊥，且OP OE O⋂=，故AC⊥平面POE，PE⊂平面POE，∴AC PE⊥.（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA⊥，OP OB⊥，OA OB⊥，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，则()0,0,4P，()0,33,0B，()0,0,0O，33,3,022E⎛⎫⎪⎝⎭，设平面POE的一个法向量为(),,m x y z=u r，则：40333022m OP zm OE x y⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u vvu u u vv，据此可得平面POE的一个法向量为()3,1,0m=-u r，而()0,33,4PB=-u u u r，设直线PB与平面POE所成角为θ，则333sin12986243PB mPB mθ⋅===⨯⨯u u u r u ru u u r u r.所以直线PB与平面POE所成角的正弦值为312986.点评：本题考查空间的线线垂直的证明，线面角的计算，注意在求线面角时，线面角的正弦值是平面的法向量与线向量所成的余弦值的绝对值，这个问题是易错点，属于中档题. 19．已知椭圆C：22221x ya b+=，设直线l：x tyλ=+是椭圆C的一条切线，两点()12,M y-和()22,N y在切线l上.（1）若()11,1P ，()20,1P，3P ⎛- ⎝⎭，4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，证明：当t ，λ变化时，以MN 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析；定点()（1）由于3P ，4P 关于y 轴对称，得C 过3P ，4P ，2P ，C 不过1P ，代入可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程消去x 得()2224240t y t y λλ+++-=.由直线与椭圆相切得：224t λ-=，再由M 、N 在切线上，代入可得1212,y y y y +，代入以MN 为直径的圆的方程中，可得定点. 解：（1）由于3P ，4P 关于y 轴对称，∴C 过3P ，4P ，∴221314a b+=，又由222211134a b a b +>+知，C 不过1P ， ∴2P 在C 上，∴222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2241a b ⎧=⎨=⎩.∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立2214x y x ty λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240t y t y λλ+++-=.由直线与椭圆相切得：224t λ-=，∵M 、N 在切线上，∴1222ty ty λλ-=+⎧⎨=+⎩，∴12y t λ--=，22y t λ-=，∴22122241t y y t tλ-===，122t y y λ+=-， 而以MN 为直径的圆的方程为()()()()12220x x y y y y +-+--=，∴22230x y y t λ++-=，令0y =，则230x -=，∴0y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴过定点(). 点评：本题主要考查直线与椭圆的综合应用能力,具体涉及到求曲线过定点，解题时要注意合理地进行等价转化.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,属于难度题. 20．已知函数()()2ln 1f x x ax =++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间()1,0-有唯一零点0x ，证明：2101e x e --<+<.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.试题分析：（Ⅰ）求导得()2221'1ax ax f x x ++=+， 分0∆<， 0∆=，0∆>，三种情况讨论可得单调区间.（Ⅱ）由（1）及()00f =可知：仅当极大值等于零，即()10f x =且 ()1‘0f x =所以2002210ax ax ++=，且()()2000ln 10f x x ax =++=，消去a 得()()00ln 1021x x x +-=+，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.试题解析：（Ⅰ）()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++，1x >-， 令()2221g x ax ax =++，()24842a a a a ∆=-=-，若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增， 若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立， 当()1,x ∈-+∞时，()'0f x ≥，()f x 单调递增. 若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =，2x =由()()1010g g -==>，102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<，当()11,x x ∈-时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增. 综上所述，当02a <≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时，()f x 在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）由（1）及()00f =可知：仅当极大值等于零，即()10f x =时，符合要求. 此时，1x 就是函数()f x 在区间()1,0-的唯一零点0x .所以2002210ax ax ++=，从而有()00121a x x =-+，又因为()()2000ln 10f x x ax =++=，所以()()00ln 1021x x x +-=+，令01x t +=，则1ln 02t t t--=， 设()11ln 22h t t t =+-，则()221'2t h t t-=， 再由（1）知：102t <<，()'0h t <，()h t 单调递减，又因为()22502e h e --=>，()1302e h e --=<， 所以21e t e --<<，即2101ex e --<+<点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.21．据长期统计分析，某货物每天的需求量()*r r N∈在17与26之间，日需求量r （件）的频率()P r 分布如下表所示：已知其成本为每件5元，售价为每件10元.若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元.假设每天的进货量必需固定.（1）设每天的进货量为()16,1,2,,10n n X X n n =+=L ，视日需求量()16,1,2,,10i i r r i i =+=L 的频率为概率()1,2,,10i P i =L ，求在每天进货量为n X 的条件下，日销售量n Z 的期望值()n E Z （用i P 表示）；（2）在（1）的条件下，写出()n E Z 和()1n E Z +的关系式，并判断n X 为何值时，日利润的均值最大？【答案】（1）当19n ≤≤时，()()()10111616n n iii i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，()()1101016i i E Z i P ==+∑.（2）()1n E Z +=()101n ii n E Z P =++∑；20nX=时，日利润均值最大（1）分日需求量与进货量的大小关系，确定日销售量，从而得出日销售量n Z 的期望值；（2）由（1）可得()()()11011216161n n iii i n E Z i P n P ++==+=++++∑∑，可得()n E Z 和()1n E Z +的关系，设每天进货量为n X 时，日利润为n ξ，则()()()()5316n n n E E Z n E Z ξ=-+-⎡⎤⎣⎦()()8316n E Z n =-+，分析()()1n n E E ξξ+-正负可得出日利润均值的最大值.解：（1）当日需求量n r X ≤时，日销售量n Z 为r ；当日需求量n r X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望值为：当1n =时，每天的进货量为116117X =+=，根据货物的日需求量的频率表得，此时的日销售量为17件，∴()()()11210161P E Z P P =++++L ；当2n =时，每天的进货量为216218X =+=，根据货物的日需求量的频率表得， 此时日销售量为17件的概率为1P ，日销售量为18件的概率为2310P P P +++L ， ∴()()()()212310161162P P P E Z P =++++++L ；当3n =时，每天的进货量为316319X =+=，根据货物的日需求量的频率表得， 此时日销售量为17件的概率为1P ，日销售量为18件的概率为2P ，日销售量为19件的概率为3410P P P +++L ，∴()()()()()3123410161162163E Z P P P P P =++++++++L ；L L ，同理可得： ()()()()()()9123910161162163169P P P P E Z P =+++++++++L ； ()()()()()10123101611621631610P E P P P Z =++++++++L ；所以当19n ≤≤时，()()()10111616n n iii i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，()()1101016i i E Z i P ==+∑.（2）()()()11011216161n n i ii i n E Z i P n P ++==+=++++∑∑()()101116161n iii i n i P n P==+=++++∑∑()101n ii n E Z P =+=+∑.设每天进货量为n X 时，日利润为n ξ，则()()()()5316n n n E E Z n E Z ξ=-+-⎡⎤⎣⎦()()8316n E Z n =-+，∴()()()()1183n n n n E E E Z E Z ξξ++-=--⎡⎤⎣⎦()121083n n PP P ++=++⋅⋅⋅+-.由()()112508n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+⋅⋅+≤+⋅. 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， 即()()()()()()1234510E E E E E E ξξξξξξ<<<>>>L ， ∴()4E ξ最大，∴应进货20件时，日利润均值最大. 点评：本题考查实际问题中的期望值的问题的处理，关键在于对实际问题的理解，如何将生活实际中的数据转化为数学概率中的数据，并且注意对抽象问题的处理的方式，逐一推导找到一般的规律和利用递推之间的关系，属于难度题. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（且）.（I ）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）已知是直线上的一点，是曲线上的一点，，，若的最大值为2，求的值.【答案】(I)；. (Ⅱ)（I ）利用参数方程、极坐标方程和普通方程互化的公式求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）先利用极坐标方程求出，，再求出，即得，解之即得a 的值.解：解：（I ）消去参数，得直线的普通方程为， 由，，得直线的极坐标方程为，即. 曲线的极坐标方程为（且），即，由，，得曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）∵在直线上，在曲线上， ∴，，∴∴，.点评：本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】(I) 最大值为1. (Ⅱ)（I）利用绝对值三角不等式求函数的最大值；（Ⅱ）利用函数f(x)的单调性化简得，再解不等式得解.解：解：（Ⅰ）函数可化为，由，即时“=”成立，所以原函数取得最大值为1.（Ⅱ）函数在上单调递增，∵，，，∴，即，所以，∴.即实数的取值范围是.点评：本题主要考查绝对值三角不等式，考查函数单调性的应用和绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
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长沙一中2020届高三月考试卷一答案及试题高三语文数学英语文综理综长沙一中2020届高三月考试卷一答案及各科试题汇总。
各科考试结束后，将答案公布在新浪微博@全国大联考微博。
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希望大家在复习备考的每一次测试中，都能取得优异成绩!长沙一中2020届高三月考试卷一语文答案及试题(语文)长沙一中2020届高三月考试卷一文科数学答案及试题(文科数学)长沙一中2020届高三月考试卷一理科数学答案及试题(理科数学)长沙一中2020届高三月考试卷一英语答案及试题(英语)长沙一中2020届高三月考试卷一文综答案及试题(文科综合-政治/历史/地理)长沙一中2020届高三月考试卷一理综答案及试题(理科综合-物理/化学/生物)6.某同学重复噬菌体侵染细菌的实验，由于对其中一组噬菌体进行同位素标记时有误(其他操作正确)，导致两组实验结果如表:以上两组实验对噬菌体进行标记的元素分别是( )A.32P、35SB.35S、32PC.32P、14CD.32P、32P解析:选C。
解答本题首先要清楚教材相关实验中两组实验的结果:用32P标记的一组放射性主要出现在沉淀物中，用35S标记的一组放射性主要出现在上清液中。
然后对比表格中的实验结果可知，第一组是正常的，该组是用32P标记的一组。
另一组应为35S标记的一组，但因在同位素标记时有误而出现了异常。
将第二组正常的实验结果与异常的实验结果进行对比并分析可知:沉淀物和上清液中均有较高的放射性，其原因一定是用蛋白质和DNA共有的元素对噬菌体进行了标记，如14C或18O或3H或15N。
湖南四大名校内部资料长沙市一中2020届高三数学月考试卷(七)答案(1)
设 有两个不同的实根 ，
其中 ， ，令
则 ，
令 ，得 或
令 ，得 或
故函数 在 上是增函数，在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是减函数
综上，当 时，函数 在 上是增函数，在 上是增函数
当 时，函数 在 上是增函数，在 上是增函数，在 上是函数，有 上是减函数
(2)要使 在 上有极值，由(1)知 ①
(2)由题意，
由 ， ，得
设 ，
当 ，
当 ，
由数列 的单调性可得，
所以
18.【解析】如图，设 的中点为 ，连接 ，
又设 ，则
(1)在 中， ， 的中点为
故
在 中， ，
所以 为等边三角形
又 的中点为
所以
因为 ，
且
所以 平面
因为 平面
所以
又
所以
(2)因为平面 平面 ，平面 平面 ，且
故 平面
如图，建立空间直角坐标系
长沙市一中2020届高三数学月考试卷(七)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
C
B
B
D
D
B
D
D
D
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(1)由题意，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为
由 ，则
解得 (舍去)或
所以
代入方程组得
因此
综上， ，
则 有一变号零点在区间 上，不妨设
又因为
所以
又
2020届湖南省长沙市一中2017级高三第四次月考数学(文)试卷及解析
2020届湖南省长沙市一中2017级高三第四次月考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1i3iz-=+在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】把复数的分母部分进行实数化即可,13izi-=+(1)(3i)(3)(3i)ii--=+-,化简后即可得到对应点,进而得到答案.【详解】13izi-=+(1)(3i)24(3)(3i)10i ii---==+-125i-=1255i=-,∴在复平面内对应的点为12 (,) 55-,∴复数13izi-=+在复平面内对应的点位于第四象限答案选D.2.设,a b为非零向量,则“//a b”是“,a b方向相同”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量的共线的充要条件,即可作出判定,得到答案．【详解】因为,a b为非零向量,所以//a b时,,a b方向相同或相反,因此“//a b ”是“,a b 方向相同”的必要而不充分条件.故选B ．3.若集合()12{|2{|0}x x x log x a =-＞＜,则实数a 的值为（ ） A. 12 B. 2 C. 32 D. 1【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质,利用集合相等的性质列方程求解即可．【详解】由3222x >=,解得32x >； 由()1122log 0log 1x a -<=解得1x a >+,因为()12{|2{|0}x x x log x a =-＞＜, 所以312a +=,解得12a =．故选A ． 4.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,∞+上单调递增,则三个数()3log 13a f =-,121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.62c f =的大小关系为 A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】C【解析】 根据奇偶性得：()3log 13a f =,通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系,再利用函数的单调性得到,,a b c 的大小关系.【详解】3332log 9log 13log 273=<<=；1221log log 838==,0.610222<<= 即：0.6312102log 13log 8<<< ()f x 为偶函数 ()()33log 13log 13a f f ∴=-=又()f x 在[)0,+∞上单调递增。
2020届长沙市一中高三第3次月考试卷-理数答案
'分
又$/2平面#$/因此平面2#"0平面#$/! (分
$作#3 垂直于平面"$/垂足为 3由"知点 3 在直线"2 上!
如图以" 为原点"/ 为+ 轴"$ 为4 轴以过 " 点与平面"$/ 垂直的直线为5 轴建立空 间 直 角 坐 标 系可 得 如 下 坐 标" ///$/"//"//
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湖南省长沙市第一中学2020届高三月考试卷(八)理科数学试题(PDF版含答案)
二个 a 和三个 b 排列而成.记 S= x ⋅ y1 + x2 ⋅ y2 + x3 ⋅ y3 + x4 ⋅ y4 + x 5 ⋅ y5 ,Smin 表
示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的个数是
rr
r
①S 有 5 个不同的值;
②若 a ⊥ b ,则 Smin 与| a |无关;
rr
r
③若 a // b ,则 Snim 与 b 无关;
B.a2+b2> 1
C. a<1 或 b<1
D. a≤1 且 b≤1
9.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称,反映了中华民族对生
命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.某科研机
构研究发现,一品种中医药的药物成份甲的含量 x(单位:克)与药物功效 y(单位:药物单位)之间
P 的长度的最小值为_____。
三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23
题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17. (本题满分 12 分)
已知 a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边，且 2 sin2 B + 2b cos2 A = b + c
D.5
6.我校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为 40 分钟,第一节课上课
的时间为 7: 50~8:30,课间休息 10 分钟.某同学请假后返校,若他在 8: 50~9: 30 之间随机到达教
室,则他听第二节课的时间不少于 20 分钟的概率为
湖南长沙市一中2020届高三月考文科数学试卷解析版
湖南长沙市一中2020届高三月考文科数学试卷解析版数学(文科)长沙市一中高三文数备课组组稿 时量:120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知i 为虚数单位，若复数2)1(1i z -+=,则=||z (D) A. 1B. 2C. 2D. 5【解析】依题意211212z i i i =+++=+，故z == D. 2.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A (B) 【解析】A={21|≤≤-x x }中整数有-1，0，，1，2，所以{}0,1,2A B = A. {|12}x x -≤≤ B. {2,1,0} C. {2,1-} D. {1,0}3.通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子得到如下的列联表:经计算，统计量K 2的观测值k≈4.762参照附表得到的正确结论是(A) A.在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5％的前提下，认“爱好该项运动与性别无关 C.有97.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有97.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】由题意算得，K≈4.762>3.841，参照附表，可得在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”故选A4. 已知向量(,2),(2,2),a k b a b =-=+为非零向量，若()a a b ⊥+,则实数k 的值为 (A) A.0 B.2 C.-2 D.1【解析】∵a =(k ，-2)，b = (2.2)，∴a b += (k +2，0)，∵()a a b ⊥+， ∴()(2)0a a b k k ⋅+=⋅+=∵a b +为非零向量，即k +2≠0，∴k ＝0. 故选A5.美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等和数学素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步，某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆若“切面所在 平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为(C) A.21 B. 22 C. 23 D. 31【解析】设圆柱底面圆的半径为R ，∵与底面成60°角的平面截圆柱，∴椭圆的半长轴长是2R ，半短轴长是R ，∴c = ∴ c e a ==C 6. 若21212,)21(,8.0log -===c b a π，则有 (B)A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b <c<a 【解】1110.8222211log 0,2()()022a c --=<==<>，所以a<c<b 选B7.函数f(x)＝1的图象大致是【解析】由x ＞1时f (x )<0，排除B 、D ，又f (12)＞0，排除A 故选C8.如图+点A 为单位圆上一点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B )22,22(-，则=αsin (C) A. 462+- B.462-C.462+ D. 462+-【解析】由题意得1sin sin[()]()33222ππαα=+-=--=，故选C9.已知函数MOD 是一个求余函数，记MOD(m ，n )表示m 除以n 的余数，例如MOD(13，3)=1，下图是某个算法的程序框图，当输入m 的值为27时，则输出i 的值为 (B)A.2B.3C.4D.5【解析】当n ＝3，9，27时27能被n 整除，则最终i ＝3.10.在平面直角坐标系x O y 中，已知圆C:x 2+y 2+8x -m ＝0与直线012=++y x 相交于A ，B 两点.若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 (D) A.11 B.12 C.-11 D.-12【解析】C:(x +4)2+y ＝16-m ，圆心C(-4，0)到直线012=++y x 的距离d ==所以弦长)A B =，由△ABC 为等边三角形，所以=m ＝-12.11.设椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为F1,F2，22||21=F F ，P 是C 上一点，若a PF PF =-||||21，且31sin 21=∠F PF ，则椭圆C 的方程为 (D)A. 13422=+y xB. 13622=+y xC. 14622=+y xD. 12422=+y x【解析】由1212,2PF PF a PF PF a -=+=，解得1231,22PF a PF a ==，在△PF 1F 2中，由正弦定理:121221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，解得sin ∠PF 2F 1＝1，则∠PF 2F 1＝90°，又121sin 3PF F ∠=，可知tan ∠PF 1F 2，2c ＝得212a PF ==解得a ＝2，c ，b =C 方程22142x y +=12.已知函数x x f x f sin 2)()(+-=，又当0≥x 时，1)('≥x f ，则关于x 的不等式)4(sin 2)2()(ππ-+-≥x x x f x f 的解集为 (A)A. ),4[+∞πB. ),4[+∞-πC. )4,[π-∞D. )4,[π--∞ 【解析】由f (x )＝f (-x )+2sin x ，知f (x )-sin x ＝f(-x)-sin(-x)，设g(x )＝f(x )-sin x 则g(x )＝g(-x )，即g(x )为R 上的偶函数当x ≥0时，g ’(x )＝f’(x )-cos x ≥f’(x )-1≥0则g (x )在区间[0，+∞)上单调递增()())24f x f x x ππ≥--等价于()()22g x g x x x ππ≥-⇒≥-，解得4x π≥。
2020届湖南省长沙市第一中学高三第六次月考数学(理)试题(有答案解析)
2 , a4
2 3
, a3 a5
2a4
4 3
, tan(a3 a5) tan
4 3
3
【考点】1、等差数列；2、三角函数求值.
3．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到第 14 次的考试
成绩依次记为 A1, A2 , A14 ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算
A．有最大值 e 1 B．有最大值 e
C．有最小值 e
D．有最小值 e
【答案】A
【解析】求 f（x）导数，利用导数的几何意义可得 a 和 b 的值，求 g（x）的导数和单
调性，可得函数
m g(x)的最值，然后解不等式 m2 2
g（x)min g（x)max
即可得
m
的最值．
【详解】
∵
f
(x)
tan
A． 1 3
【答案】A
B． 1 4
C． 1 5
D． 1 2
【解析】根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可.
【详解】
由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率
P1
C13C13A33 A55
9 20
,其中学生丙第一个出场的概率
P2
C13A33 A55
3 20
,所以所求概率为
P
P2
y1 ,
B x2,
y2
,
AB
中点为
N
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,则
AB
x1
x2
p
,故半径
为 x1
x2 2
p
,又中点
N
湖南省长沙一中2020届高考月考卷(七)理科数学试卷(附全解全析)
长沙市一中2020届高三月考试卷(七)数学(理科)注意事项:1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第I 卷时，将答案写在答题卡，上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一-并交回。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=Z ，A={1,2,3,4},B={}(1)(3)0,x x x x z +->∈,则A ()U C B I = A. {1,2} B. {2,3} C. {1,2,3} D. {1,2,3,4} 2.已知复数12i z i-=+，则z 的共轭复数z = A. 1355i - B. 1355i + C. 1355i -- D. 1355i -+ 3.函数1(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是4.61-2)(1)t t +（的展开式中，t 项的系数为 A.20 B.30 C.-10 D.-245.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注:素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一 ,可以这样描述:存在无穷多个素数p 使得p+2是素数,素数对(p ，p+2)称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为A. 114B. 17C. 314D. 136.如图所示的程序框图，则输出的x 、y 、z 的值分别是A. 13009, 600, 11203B.1200, 500,300C.1100, 400, 600D.300,500, 12007.若[,],sin 242ππθθ∈=，则sin θ=A. 35B. 45C. 4D. 348.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C:y 2=2px (p>0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的一点,若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π,则p=A.2B.4C.6D.89.在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC,△ABC 为等边三角形,PA=AB,E 是PC 的中点,则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为 A. 16 B. 14 C. 13 D. 1210.直线x =2与双曲线221169x y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上任意一点， 若(,,OP aob bOB a b R O =+∈u u u r u u r u u u r 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是 A. 2ab =. B. 224a b +≥ C. 2a b -≥ D. 2a b +≥11.已知函数()cos sin 2f x x x =给出下列命题:①x R ∀∈,都有()()f x f x -=-成立;②存在常数0T x R ≠∀∈，恒有()()f x T f x +=成立;③f (x )的最大值为9 ④y =f (x )在[,]66ππ-上是增函数. 以上命题中正确的为A.①②③④B.②③C.①②③.D.①②④12.已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数f (f (x ))的值域相同,则a 的取值范围为 A. (0,1] B. (1,+∞) C:(0. 43] D.[ 4+)3∞， 第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.已知向量(1,4),(2,)a b k ==-r r ，且(2)a b +r r 与2)a b -r r （共线，则实数k =________ 14.某中学有学生3600名,从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人,不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(1,2]公里的学生有_____人15.如图所示,在正四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是边长为4的正方形,E 、F 分别是AB 、CD 的中点，cos ∠PEF=22,若A,B,C,D,P 在同一球面上,则此球的体积为______ 16.如图,在△ABC 中,AC ⊥BC,D 为BC 边上的点,M 为AD 上的点,CD=1,∠CAB=∠MBD=∠DMB,则AM=__________。
2020届湖南省长沙一中高三上学期月考数学(理)试题(三)(解析版)
2020届湖南省长沙一中高三上学期月考数学（理）试题（三）一、单选题1．已知集合2{|340}A x x x =--≤，{|3}B x x =<，则A B =（ ）A ．[)1,3-B ．(],4-∞C ．[]1,4-D ．(,3)-∞【答案】B【解析】求出集合A ，B ，由此能求出A B .【详解】因为集合2{|340}{|14}A x x x x x =--≤=-≤≤， {|3}B x x =<，(]{|14}{|4},4A B x x x x ⋃=-≤≤⋃≤=-∞，故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及解一元二次不等式，属于基础题.2．已知欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位),则根据欧拉公式3i e 表示的复数在复平面位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】3i e 表示的复数为：cos3sin3i +，根据3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出结论. 【详解】由题意可得3i e cos3sin3i =+，3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos30,sin 30∴<>，因此在复平面中位于第二象限. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的几何意义以及三角函数的象限符号，属于基础题.3．已知函数31221,1()3log ,1x x f x x x -⎧-⎪=⎨+>⎪⎩，则((4))f f =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．14【答案】A【解析】根据题意，由函数的解析式求出f （4）的值，即可得(f f （4）)f =（1），计算即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数31221,1()3log ,1x x f x x x -⎧-⎪=⎨+>⎪⎩，则()1243log 4321f =+=-=，则()2((4))1213f f f ==-=.故选：A . 【点睛】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题. 4．已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos θ=( ) A ．0 B ．12CD ．1【答案】B【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由cos cos 66ππθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】由1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 6πθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以311cos cos cos cos sin sin 666666442ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题. 5．()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．31B ．32C ．36D ．40【答案】D【解析】利用二项式展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=⋅以及多项式相乘即可求解.【详解】()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为：31344121283240C C ⨯⨯+⨯⨯=+=.故选：D 【点睛】本题考查了二项式系数，特别注意对x 系数的化简，需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题. 6．函数()ln 11x f x x -=-的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先利用特殊值令12x =，判断函数值的正负可排除B 、C ，再验证()2f x -与()f x 的关系即可求解. 【详解】令12 x=，则1ln1122ln201212f-⎛⎫==>⎪⎝⎭-，排除B、C；()()ln21ln1ln122111x x xf x f xx x x-----===-=-----，即()()20f x f x-+=，故函数图像关于()1,0成中心对称图形，故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，解决此类问题要充分挖掘函数的性质，可利用排除法，属于中档题.7．等腰直角三角形ABC中,2AB AC==,点D为斜边BC上的三等分点,且2AM AD=,则MC MB⋅=( )A．0 B．49C．2 D．89【答案】D【解析】以A为坐标原点，,AC AB为x轴、y轴，根据题意写出各点的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以A为坐标原点，,AC AB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，由2AB AC==,且点D为斜边BC上的三等分点,所以()2,0C、()0,2B、42,33D⎛⎫⎪⎝⎭，又2AM AD=，84.33M⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，24,33MC ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，82,33MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2842833339MC MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴.故选：D 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题. 8．已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且23a =,525S =,若2sin 3n n n b a π=,并设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则9T =( ) A． B ．0C．-D． 【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求出n a 的通项公式，然后求出n b ，可得n b 每3项之和相等，进而求和即可. 【详解】由数列{}n a 为等差数列,则2111513354255252a a d a d da d S a =+=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨⨯+==+=⎩⎪⎩， 解得1a 1,d 2，所以()1121n a a n d n =+-=-.则12sin3b π==，243sin 3b π==，365sin 03b π==，487sin32b π==，5109sin 32b π==-，6612sin 03b a π==，所以123b b b ++=456b b b ++=，所以912789T b b b b b =+++++=-故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，同时考查了三角函数的诱导公式以及数列的周期性，属于中档题.9．已知函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ是奇函数，且在[,]34ππ-上单调递减.则ω的最大值是（ ） A ．12B ．23C ．32D ．2【答案】C【解析】直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值. 【详解】 解：()f x 是奇函数，(0)cos 0f ϕ∴==，且0ϕπ，2πϕ∴=， ()cos()2f x x πω∴=+，令：222k x k ππωππ++，()k ∈Z ，解得：2222k k x ππππωωωω-+，()k ∈Z ， 由于函数在[,]34ππ-上单调递减， 故：223242k k πππωωπππωω⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，当0k =时，整理得：322ωω⎧⎪⎨⎪⎩，故：32ω，可得ω的最大值为32. 故选：C . 【点睛】本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.10．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 是双曲线的左顶点，过点F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若2APB π∠<，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（） A ．(1,2)B ．C ．(1,3)D ．【答案】A【解析】由题可知APB △为等腰三角形，通过AF PF <，列出不等式求解离心率即可. 【详解】由题可知APB △为等腰三角形，若2APB π∠<，只需4APF π∠<即AF PF <，因为通径22b AB a =，所以2b AF a=，即2b ac a <+，所以22b a ac <+，即222c a a ac -<+，所以2220c ac a --<， 可得：220e e --<， 解得：12e <<. 故选：A . 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，求双曲线的离心率，属于中档题 11．已知函数()f x 是定义在{|x x R ∈或}0x ≠上的偶函数,且0x >时,()2log f x x =.若函数()()11122x x g x f x --=-++,则满足不等式()21214g a ->的实数a 的取值范围是( ) A ．()0,2 B ．()()0,11,2 C ．()(),12,-∞⋃+∞D ．()(),02,-∞+∞【答案】D【解析】根据题意可得()g x 关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数,由()21214g a ->可得()()213g a g ->,利用函数的对称性只需21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩即可求解. 【详解】当0x >时,()2log f x x =，即函数在()0,∞+为增函数， 所以()1f x -在()1,+∞为增函数， 令()111422222x x x x h x --⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令2xt =， 所以()142h t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对勾函数的单调性可知()h t 在()2,+∞为增函数，所以()14222x x h x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()1,+∞为增函数， 由题可知函数()()11122x x g x f x --=-++关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数,而由不等式()21214g a ->可得,()()213g a g ->,从而21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩﹐得实数a 的取值范围是()(),02,-∞+∞.故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性的应用以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.12．已知函数()2,04,0x e x x f x x x x ⎧->=⎨+<⎩,函数()f x 的图象在1x x =,2x x =处的切线平行,则12x x -的取值范围为( ) A ．32,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．[)ln5,2C ．[]ln5,2D ．3ln 5,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 【答案】D【解析】由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=.设12x x >,其中()10,ln5x ∈,进而1121e 53ln 5,ln 222x x x x -⎛⎤-=-∈+ ⎥⎝⎦. 【详解】由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=.不妨设12x x >,由2244x +<，则114xe -<，即()10,ln5x ∈,所以1121e 52x x x x --=-， 设()11111e 55222x x e x g x x --=-=-， 则()1122x e g x -'=，当()10g x '>，则1ln 2ln5x <<，函数()1g x 在()ln 2,ln5为增函数，当()10g x '=，则1ln 2x =，当()10g x '<，则10ln 2x <<，函数()1g x 在()0,ln 2为减函数，()ln5ln5g =-，()3ln 2ln 22g =--，所以()13ln 5,ln 22g x ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦, 故选：D 【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用，属于中档题.二、填空题13．已知x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,则目标函数z x y =-的取值范围为________.【答案】1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】作出约束条件的可行域，将目标函数z x y =-化为y x z =-，数形结合求出直线y x z =-截距的取值范围即可求解.【详解】 由x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,作出目标函数的可行域如下（阴影部分）：将z x y =-化为y x z =-，作出y x =，则y x z =-表示与y x =平行的直线， 由图可知y x z =-经过A 时，截距最大， 由21y x x y =⎧⎨+=⎩，解得12,33x y ==，所以12,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以211333z -≤-=，即13z ≥-， 所以目标函数z x y =-的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，属于基础题. 14．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,若2AF FB =,则AF =________.【答案】3【解析】由题意可知直线AB 的斜率存在，设出直线方程：()1y k x =-，将直线与抛物线联立，设出交点坐标()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理可得121=x x ，再根据2AF FB =，结合焦点弦公式可得()12121x x +=+，从而可求出1x ，进而求出AF【详解】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,且2AF FB =, 则直线的斜率存在，设直线AB 为()1y k x =-，所以()214y k x y x⎧=-⎨=⎩ ，整理可得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121=x x （1）, 由2AF FB =，则()12121x x +=+ （2）, 将（1）（2）联立可求出12x =或11x =-（舍去） 所以11132pAF x x =+=+=. 故答案为：3 【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题.15．已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的外接球，P 为棱1DD 中点，现在棱AD 和棱CD 上分别取点M ，N ，使得平面MNP 与正方体各棱所成角相等，则平面MNP 截球O 的截面面积是__. 【答案】512π. 【解析】首先证明M ，N 分别为对应棱的中点，再证明1B D ⊥平面PMN ，求出1B D 的中点O 到1B D 与平面PMN 的交点O '的距离，再由勾股定理求得截面圆的半径，则答案可求. 【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱1DD 中点，M ，N 分别为棱AD ，CD 上任意点，正方体1111ABCD A B C D -中，有1111//////AB CD A B C D ，1111//////AD BC B C A D ，1111//////AA BB CC DD若平面MNP 与正方体各棱所成角相等，只需平面MNP 与AD ，DC ，1DD 所成角相等即可，所以四面体D MNP -中，DN ，DM ，DP 与面MNP 所成角相等， 设DM a =，DN b =，过D 作DE ⊥面MNP ，如下图所示：DN ∴与面MNP 所成角为DNE ∠，DM 与面MNP 所成角为DME ∠，DP 与面MNP 所成角为DPE ∠，则sin DE DNE DN ∠=，sin DE DME DM ∠=，sin DEDPE DP∠=， 由所成角相等，得12DN DM DP ===，即M ，N ，P 分别为AD ，DC ，1DD 的中点， //MN AC ∴，1//MP AD ，故面//MNP 面1AD C ，连接1DB ，1A D ，1AD ，DB ，AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11A D AD ⊥， 又11A B ⊥平面11A ADD ，111A B AD ∴⊥，而111A D B A =⋂，1AD ∴⊥平面11A B D ，则1AD ⊥平面11A B D ，1//MP AD ，MP ∴⊥平面11A B D ，则1MP B D ⊥，同理1MN B D ⊥，MP MN M ⋂=，且MP ，MN ⊂平面MNP ， 1B D ∴⊥平面MNP ，球O 是正方体1111ABCD A B C D -的外接球且正方体棱长为1，O ∴为1B D 的中点，1B D ==设1B D ⋂面MNP O ='，则O '为截面圆圆心且OO '⊥面MNP ，OO O N ∴'⊥'， 因此222111()()()263OO ON NO '=-'=-=，设截面圆的半径r ，OD 为球的半径R ，则112R B D ==， 222()R r OO ∴-='，故222315()4312r R OO =-'=-=，∴截面面积为2512r ππ=. 故答案为：512π.【点睛】本题考查多面体外接球及其有关计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.16．在锐角ABC 中，2BC =，sin B ，sin C 的等差中项为sin A ，则中线AD 的长的取值范围是__.【答案】133,⎭. 【解析】由已知ABC 为锐角三角形结合正弦定理，余弦定理可求b 的范围，进而可求bc 的范围，然后由1()2AD AB AC =+可求22122AD AB AC AB AC =++⋅，即可求解. 【详解】2BC =，sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理可得，24b c a +==，即4c b =-， 因为ABC 是锐角三角形，所以222222222b c a b a c a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222222(4)44(4)(4)4b b b b b b ⎧+->⎪+>-⎨⎪-+>⎩，解可得，3522b <<，所以22(4)4(2)4bc b b b b b =-=-=--+， 结合二次函数的性质可知，215(2)444b <--+≤， 1()2AD AB AC =+ 22222211422222b c AD AB AC AB AC c b bc bc+-=++⋅=++⨯2==⎭=故答案为： ⎭【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及二次函数的性质，数量积的性质的综合应用，属于中档题.三、解答题17．设函数()()25sin cos 22f x x x x π⎛⎫=+++⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期T 和单调递减区间;(2)在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,cos bB=,求()f A 的取值范围.【答案】(1)π,()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)(1. 【解析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用周期公式2T πω=可求周期，利用正弦函数的单调递减区间整体代入即3222232k x k πππππ-+≤+≤+，解不等式即可. （2）利用正弦定理边化角求出3B π=，再利用三角形的内角和性质求出62A ππ<<，代入解析式，根据三角函数的性质即可求解. 【详解】(1)()2sin cos 1f x x x x =+sin 221x x =+2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==, 令3222232k x k πππππ-+≤+≤+,k ∈Z ,得71212k x kππππ+≤≤+,k∈Z,从而函数()f x的单调递减区间为()7,1212k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z;(2)在锐角ABC∆中,由3sin cosa bA B=知,3Bπ=,则2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62Aππ<<,从而242,333Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故()f A的取值范围为()13,13-+.【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质、正弦定理，熟记性质是关键，属于基础题.18．如图,在三棱锥P ABC-中,ABC∆为等腰直角三角形,PBC∆为等边三角形,其中O为BC中点,且1AB AC==.(1)求证:平面OPA⊥平面PBC;(2)若3AP=AP⊥平面EBC,其中E为AP上的点,求CE与平面ABC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(26【解析】（1）由题意可得BC AO⊥,BC PO⊥,利用线面垂直的判定定理证出BC⊥平面P AO,从而得证.（2）作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上,以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,求出CE以及平面ABC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】(1) 证明:由题可知,BC AO ⊥,BC PO ⊥,且AOPO O =,故BC ⊥平面P AO ,又BC ⊂平面PBC ,因此平面OPA ⊥平面PBC . (2)作PH 垂直于平面ABC ,垂足为H ,由(1)知,点H 在直线AO 上.如图,以A 为原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,以过A 点与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系,可得如下坐标:()0,0,0A ,()0,1,0B ,()1,0,0C ,110,22,O ⎛⎫⎪⎝⎭, 设P 点坐标为(),,a a h ,利用3AP =,62PO =,可得1a h ==.从()1,1,1AP =. 因为E 为AP 上的点,故存在实数λ,使得AE AP λ=,点E 坐标可设为(),,λλλ, 由AP ⊥平面EBC 知,0AP CE ⋅=,得13λ=, 从而21133,,3CE =-⎛⎫⎪⎝⎭,取平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =. 设CE 与平面ABC 所成角的为θ,6sin 6CE n CE nθ⋅==⋅. 故CE 与平面ABC 所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理以及空间向量的数量积求线面角，要证面面垂直，需证线面垂直，此题属于中档题.19．中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示： 分数a95100a ≤≤ 8595a ≤< 7585a ≤< 6075a ≤< 60a <人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考数据：()2P K k0.150.100.050.0250.0100.005 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）详见解析；（2）①0.6；②90.【解析】（1）直接利用已知填表并画出图形，利用独立性检验公式计算可得：239.216K ≈，问题得解．（2）①直接利用已知数据计算得解，②由题可得：自主招生通过的人数ξ服从二项分布，利用二项分布的期望公式计算得解． 【详解】（1）列联表如下：优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 60 240 300 没有学习大学先修课程 140 1560 1700 总计20018002000等高条形图如图：通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又222000(601560140240)39.216 6.63530017002001800K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系 （2）①205510570500.90.80.60.50.40.6300300300300300p =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则3~150,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，15015032(),0,1,2,,15055kk kP x k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3150905E ξ=⨯= 【点睛】本题主要考查了独立性检验公式及频率与概率的关系，还考查了二项分布的期望公式，考查计算能力，属于中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别是1F ，2F直线y x =被椭圆C. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)-且斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交x 轴于P 点，点A 关于x 轴的对称点为M ，直线BM 交x 轴于Q 点.求证：·(OP OQ O 为坐标原点）为常数.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用已知条件，解得2a =，1b =.然后推出椭圆方程.（2）直线l 的方程为2y kx =-，则P 的坐标为2(,0)k.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(M x ，1)y -，直线BM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-，求出Q 坐标，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解4OP OQ =即可. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c，则c a =由直线y x =被椭圆C截得的线段长为5可知，点(55在椭圆上， 从而2244155a b+=.结合222a b c =+，可解得2a =，1b =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：依题意，直线l 的方程为2y kx =-，则P 的坐标为2(,0)k. 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(M x ，1)y -，直线BM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-，令0y =，得Q 点的横坐标为12211212121222()()4x y x y kx x x x x y y k x x +-+==++-.①又由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22(14)16120k x kx +-+=，22223(16)412(14)64480,4k k k k ∆=--⨯+=->>， 得12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，代入①得22242162164(14)k kx k k k -⨯==-+，得4OP OQ =，所以||||OP OQ ⋅为常数4. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题. 21．已知函数()ln f x x x a =-+有两个不同零点1x ,()212x x x <. (1)求a 的取值范围; (2)证明:当1104x <≤时,21214x x <. 【答案】(1)()1,+∞;(2)证明见解析. 【解析】（1）求出导函数()1xf x x-'=，求出函数的单调递增、递减区间，从而()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,需满足()10f >,然后验证()f x 在()0,1，()1,+∞分别有零点即可.（2）由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,证出()221104f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭，再利用函数的单调性即可得出22114x x <，从而得证. 【详解】 (1)由题,()111x f x x x-'=-=, 则当01x ≤≤时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当1x >时,()0f x '<,()f x 单调递减.故()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,由题可知,需满足()10f >,即1a >. 当1a >时,0e 1a -<<,()e e 0a a f --=-<,故函数()ln f x x x a =-+在()e ,1a -上存在一个根,存在(211b >+>,使得((((222()1ln 1121f b f a ⎡⎤<+=-++<⎢⎥⎣⎦(210a -+=,从而函数()ln f x x x a =-+在()1,b 上存在一个根,故a 的取值范围为()1,+∞.(2)由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,因此()()222222111111ln ln 444f x f x x a a x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112113ln 2ln 24x x x =-++ 令211()3ln 2ln 2044F x x x x x ⎛⎫=-++<≤ ⎪⎝⎭, 则()233331*********x x F x x x x x --⎛⎫'=--=<≤ ⎪⎝⎭, 而233662121016x x x --≤--<,即()0F x '<, 从而()F x 在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.所以()104F x F ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭, 因此()22114f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,又因为()f x 在()1,+∞上单调递减,且21>x ,21114x >, 所以22114x x <,从而21214x x <. 【点睛】 本题考查了函数的零点以及导数在研究函数单调性性中的应用，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10+-+=ρρθρθ,直线l 的参数方程为cos 2sin x t a y t a=⎧⎨=+⎩(t 为参数,[)0,a π∈). (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角0,3a π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,P 点坐标为()0,2,求PA PBPA PB⋅+的最小值.【答案】(1)[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈,222210x y x y ++-+=;(2)4. 【解析】（1）讨论π2a 或2a π≠，消参求出直线方程即可；由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立，求出()122sin cos t t a a +=-+,121t t =,利用参数的几何意义可知()121212sin cos PA PBt t PA PBt t a a ⋅==+++，然后利用辅助角公式以及三角函数的最值即可求解.【详解】(1)①当π2a时,直线l 的方程为0x =, ②2a π≠时,直线l 的方程为()2tan y a x -=⋅,由①,②得,直线l 的方程可写成[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,得曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y ++-+=. (2)将直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立得:()22sin cos 10t a a t +++=则()122sin cos t t a a +=-+,121t t =, 则()121212sin cos PA PB t t PA PB t t a a ⋅==≥+++当且仅当4a π=时取等号).故PA PB PA PB ⋅+最小值为4. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，参数的几何意义，辅助角公式以及三角函数的性质，考查了分类讨论的思想，属于中档题.23．已知函数()24f x x a =+-.(1)当2a =时,解不等式()1f x x ≥-;(2)若对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,求a 的取值范围. 【答案】(1)(][),71,-∞-+∞;(2)(][),14,-∞+∞.【解析】（1）利用零点分段法分类讨论解不等式即可. （2）不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒成立,利用绝对值的几何意义只需2234a a a ≤-+，解不等式即可.【详解】(1)当2a =时,不等式()1f x x ≥-等价于2114x x +--≥, 得()()12114x x x ≤-⎧⎨-++-≥⎩或()()112114x x x -<≤⎧⎨++-≥⎩或()()12114x x x >⎧⎨++-≥⎩, 解得(][),71,x ∈-∞-⋃+∞.(2)对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒成立,从而可得2234a a a ≤-+,得a 的取值范围为(][),14,-∞+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题.。