虹口区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
虹口区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在中，，那么一定是（ ）ABC ∆22tan sin tan sin A B B A =AA ABC ∆A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2． 若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43． 若偶函数y=f （x ），x ∈R ，满足f （x+2）=﹣f （x ），且x ∈[0，2]时，f （x ）=1﹣x ，则方程f （x ）=log 8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．84． 函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A ．f （2）＜f （π）＜f （5）B ．f （π）＜f （2）＜f （5）C ．f （2）＜f （5）＜f （π）D ．f （5）＜f （π）＜f （2）5． 已知a ∈R ，“函数y=log a x 在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x +a ﹣1有零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大,A B O 60AOB ∠=︒C O ABC -值为，则球的体积为（）O A ． B ． C ． D ．81π128π144π288π【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．7． 有下列四个命题：①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④8． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．9． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）A ．﹣16B ．14C ．28D ．3010．在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，1111ABCD A B C D -M 11AC M ABD -36p 则正方体棱长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．11．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量，，若，则角B 的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞二、填空题13．若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．()f x []1,2-(32)f x -14．（lg2）2+lg2•lg5+的值为 ．15．在平面直角坐标系中，，，记，其中为坐标原点，(1,1)=-a (1,2)=b {}(,)|M OM λμλμΩ==+a b O 给出结论如下：①若，则；(1,4)(,)λμ-∈Ω1λμ==②对平面任意一点，都存在使得；M ,λμ(,)M λμ∈Ω③若，则表示一条直线；1λ=(,)λμΩ④；{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=⑤若，，且，则表示的一条线段且长度为0λ≥0μ≥2λμ+=(,)λμΩ其中所有正确结论的序号是．16．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ． 17．已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中{}n a 223n n a a =-26121a a a =∙12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值为_________.18．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ．三、解答题19．已知双曲线过点P （﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x ．（1）求双曲线的标准方程；（2）设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1||PF 2|=41，求∠F 1PF 2的余弦值．20．已知f （α）=，（1）化简f （α）；（2）若f （α）=﹣2，求sin αcos α+cos 2α的值．21．求下列函数的定义域，并用区间表示其结果．（1）y=+；（2）y=．22．（本小题满分12分）已知向量，，(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a (cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b 设函数的图象关于点对称，且．()()2n f x x R =×+Îa b (,1)12p(1,2)w Î（I ）若，求函数的最小值；1m =)(x f （II ）若对一切实数恒成立，求的单调递增区间．()(4f x f p£)(x f y 【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．23．将射线y=x （x ≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos θ，sin θ）．（Ⅰ）求点A 的坐标；（Ⅱ）若向量=（sin2x ，2cos θ），=（3sin θ，2cos2x ），求函数f （x ）=•，x ∈[0，]的值域．24．（本小题满分12分）已知圆：的圆心在第二象限，半径为，且圆与直线及轴都C 022=++++F Ey Dx y x 2C 043=+y x y 相切.（1）求；F E D 、、（2）若直线与圆交于两点，求.022=+-y x C B A 、||AB虹口区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】D 【解析】试题分析：在中，，化简得，解得ABC ∆22tan sin tan sin A B B A =A A 22sin sin sin sin cos cos A BB A A B=A ，即，所以或，即sin sin sin cos sin cos cos cos B AA AB B A B=⇒=sin 2sin 2A B =22A B =22A B π=-A B =或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．2A B π+=考点：三角形形状的判定．【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出，从而得到或是试sin 2sin 2A B =A B =2A B π+=题的一个难点，属于中档试题．2． 【答案】A 【解析】解：设=t ∈（0，1]，a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），∴a n =5t 2﹣4t=﹣，∴a n ∈，当且仅当n=1时，t=1，此时a n 取得最大值；同理n=2时，a n 取得最小值．∴q ﹣p=2﹣1=1，故选：A ．【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3． 【答案】D【解析】解：∵函数y=f （x ）为偶函数，且满足f （x+2）=﹣f （x ），∴f （x+4）=f （x+2+2）=﹣f （x+2）=f （x ），∴偶函数y=f （x ）为周期为4的函数，由x ∈[0，2]时，f （x ）=1﹣x ，可作出函数f （x ）在[﹣10，10]的图象，同时作出函数f （x ）=log 8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．数形结合可得交点个为8，故选：D ．4． 【答案】B【解析】解：∵函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，∴f （π）=f （6﹣π），f （5）=f （1），∵f （6﹣π）＜f （2）＜f （1），∴f （π）＜f （2）＜f （5）故选：B【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 5． 【答案】A【解析】解：若函数y=log a x 在（0，+∞）上为减函数，则0＜a ＜1，若函数y=3x +a ﹣1有零点，则1﹣a ＞0，解得：a ＜1，故“函数y=log a x 在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x +a ﹣1有零点”的充分不必要条件，故选：A ． 6． 【答案】D【解析】当平面平面时，三棱锥的体积最大，且此时为球的半径．设球的半径为OC ⊥AOB O ABC -OC，则由题意，得，解得，所以球的体积为，故选D ．R 211sin 6032R R ⨯⨯︒⋅=6R =342883R π=π7． 【答案】B【解析】解：①由于“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；③若x 2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q ≥0，解得q ≤1，因此“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．综上可得：真命题为：①③．故选：B ．【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．8． 【答案】A【解析】解：因为底面半径为R 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R ，长半轴为： =，∵a 2=b 2+c 2，∴c=，∴椭圆的离心率为：e==．故选：A ．【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力． 9． 【答案】B【解析】解：∵a n =（﹣1）n （3n ﹣2），∴S 11=（）+（a 2+a 4+a 6+a 8+a 10）=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）=﹣16，S 20=（a 1+a 3+...+a 19）+（a 2+a 4+...+a 20）=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)=﹣+=30，∴S 11+S 20=﹣16+30=14．故选：B ．【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．10．【答案】C11．【答案】B 【解析】解：若，则（a+b ）（sinB ﹣sinA ）﹣sinC （a+c ）=0，由正弦定理可得：（a+b ）（b ﹣a ）﹣c （a+c ）=0，化为a 2+c 2﹣b 2=﹣ac ，∴cosB==﹣，∵B ∈（0，π），∴B=，故选：B ．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题． 12．【答案】B 【解析】试题分析：函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标()f x 1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭log a y x =01a <<系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），1a >由图知有两个交点，不符合题意,故选B.x（1） （2）考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的()(),y g x y h x ==交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交(),y a y g x ==点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.二、填空题13．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：依题意得.11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦考点：抽象函数定义域．14．【答案】 1 ．【解析】解：（lg2）2+lg2•lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，故答案为：1． 15．【答案】②③④【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．由得，∴，①错误；(1,4)λμ+=-a b 124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩21λμ=⎧⎨=⎩与不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；a b 记，由得，∴点在过点与平行的直线上，③正确；OA = a OM μ=+ a b AM μ=b M A b 由得，，∵与不共线，∴，∴，∴④2μλ+=+a b a b (1)(2)λμ-+-=0a b a b 12λμ=⎧⎨=⎩2(1,5)μλ+=+=a b a b 正确；设，则有，∴，∴且，∴表示的一(,)M x y 2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩21331133x y x y λμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩260x y -+=(,)λμΩ条线段且线段的两个端点分别为、，其长度为，∴⑤错误．(2,4)(2,2)-16．【答案】 （ 1，±2） ．【解析】解：设点P 坐标为（a 2，a ）依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2a 2+2=，求得a=±2∴点P 的坐标为（ 1，±2）故答案为：（ 1，±2）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．17．【答案】【解析】考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公1,,,,n n a a d n S 式在解题中起到变量代换作用,而是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.1,a d 18．【答案】 1 ．【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1，f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1．故答案为：1．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）设双曲线的方程为y 2﹣x 2=λ（λ≠0），代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，∴所求求双曲线的标准方程为（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，又|F1F2|=2c=10，∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2∴cos∠F1PF2=【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）f（α）===﹣tanα；…5（分）（2）∵f（α）=﹣2，∴tanα=2，…6（分）∴sinαcosα+cos2α====．…10（分）21．【答案】【解析】解：（1）∵y=+，∴，解得x ≥﹣2且x ≠﹣2且x ≠3，∴函数y 的定义域是（﹣2，3）∪（3，+∞）；（2）∵y=，∴，解得x ≤4且x ≠1且x ≠3，∴函数y 的定义域是（﹣∞，1）∪（1，3）∪（3，4]．22．【答案】23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α=，α∈（0，）．∴tan θ=tan （α+）==，∴由解得，∴点A 的坐标为（，）．（Ⅱ）f （x ）=•=3sin θ•sin2x+2cos θ•2cos2x=sin2x+cos2x=sin （2x+）由x ∈[0，]，可得2x+∈[，]，∴sin （2x+）∈[﹣，1]，∴函数f （x ）的值域为[﹣，]．【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．24．【答案】（1） ，，;（2）.22=D 24-=E 8=F 2=AB 【解析】试题解析：（1）由题意，圆方程为，且，C 2)()(22=-+-b y a x 0,0><b a ∵圆与直线及轴都相切，∴，，∴，C 043=+y x y 2-=a 25|43|=+b a 22=b ∴圆方程为，C 2)22()2(22=-++y x 化为一般方程为，08242222=+-++y x y x ∴，，.22=D 24-=E 8=F （2）圆心到直线的距离为，22,2(-C 022=+-y x 12|22222|=+--=d ∴.21222||22=-=-=d r AB 考点：圆的方程；2.直线与圆的位置关系.1。
城区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
城区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知数列｛｝满足（）.若数列｛｝的最大项和最小项分别为n a nn n a 2728-+=*∈N n n a M 和，则（ ）m =+m M A ．B ．C ．D ．21122732259324352． 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的()()21xf x e x ax a =--+1a <()0f t <取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1111]3． △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量，，若，则角B 的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．4． 若变量x ，y 满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）A ．﹣2＜t ＜﹣B ．﹣2＜t ≤﹣C ．﹣2≤t ≤﹣D ．﹣2≤t ＜﹣5． 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 设为虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．7． 设命题p ：函数y=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ）A ．p 为假B ．￢q 为真C ．p ∨q 为真D ．p ∧q 为假8． 下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是P Q R S（ ）9． 已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（ ）A ．导函数为B ．函数f （x ）的图象关于直线对称C ．函数f （x ）在区间（﹣，）上是增函数D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度得到10．已知直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=1交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知f （x ）=，若函数f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，3）B ．（1，2）C ．[2，3）D ．（1，2]12．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，]C ．（0，）D ．[，1）13．已知正三棱柱的底面边长为，高为，则一质点自点出发，沿着三棱111ABC A B C 4cm 10cm A 柱的侧面，绕行两周到达点的最短路线的长为（ ）1AA ．B ．C ．D ．16cm 26cm14．已知全集为，集合，，则（ ）R {}|23A x x x =<->或{}2,0,2,4B =-()R A B = ðA ．B ．C ．D ．{}2,0,2-{}2,2,4-{}2,0,3-{}0,2,415．函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ）A ．B ．C ．πD ．2π二、填空题16．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．17．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，且，双曲线：1C x y 42=F P 3||=PF 2C 12222=-by a x （，）的渐近线恰好过点，则双曲线的离心率为 .0>a 0>b P 2C 【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.18．定积分sintcostdt= ．19．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.三、解答题20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由． 22．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小（2）求BC的长．23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 过点P （1，0），斜率为，曲线C ：ρ=ρcos2θ+8cos θ．（Ⅰ）写出直线l 的一个参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|•|PB|的值． 24．设{a n }是公比小于4的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a 1=1，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =lna 3n+1，n=12…求数列{b n }的前n 项和T n ．25．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=ax 2+lnx （a ∈R ）．（1）当a=时，求f （x ）在区间[1，e]上的最大值和最小值；12（2）如果函数g （x ），f 1（x ），f 2（x ），在公共定义域D 上，满足f 1（x ）＜g （x ）＜f 2（x ），那么就称g （x）为f 1（x），f 2（x）的“活动函数”．已知函数.。
上海市2018-2019学年交大附中高二上期末数学期末试卷
2018~2019学年交附高二上期末试卷2019.1一、填空题：1、(19交附高二期末1)复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，i 为虚数单位，实数m =______； 答案：2m =；2、(19交附高二期末2)复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______； 答案：1-3、(19交附高二期末3)抛物线212x y =的准线方程为______； 答案：3y =-4、(19交附高二期末4)已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-，n a b λ=+，如果m n ⊥，则实数λ=______； 答案：25、(19交附高二期末5)若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为______； 答案：3-或26、(19交附高二期末6)设双曲线()222109x y b b-=>的焦点为1F 、2F ，P 为该双能线上的一点，若15PF =，则2PF =______； 答案：117、(19交附高二期末7)设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是______；答案：6-；8、(19交附高二期末8)若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =______；答案：1；9、(19交附高二期末9)在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 位于第二象限，且在AOB ∠的平分线上，2OC =，则OC =______；答案：⎛ ⎝⎭；10. (19交附高二期末10)参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；答案：()3703x y x +-=≠11、(19交附高二期末11)在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中点在原点，它的一个焦点坐标为)，()12,1e =、()22,1e =-分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若()12,OP ae be a b R =+∈，则a 、b 满足的一个等式是______；答案：14ab =； 12、(19交附高二期末12)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P满足()()1AP OA R λλ=-∈，且48OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 答案：10； 二、选择题：13、(19交附高二期末13)对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c R ∈，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A 、两根12,x x 满足12b x x a +=-，12cx x a=；B 、两根12,x x 满足12x x -C 、若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D 、若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 答案：B ；14、(19交附高二期末14)已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条答案：C ；15、(19交附高二期末15)如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =，AD b =，则AC BD ⋅=（ ） A 、22b a -B 、22a b -C.22a b +D.ab答案：A ；16、(19交附高二期末16)已知F 为抛物线2:4C y x =的集点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A 、0个B 、1个C 、3个D 、无数个答案：D ； 三、解答题：17、(19交附高二期末17)设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.答案：（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；18、(19交附高二期末18)（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21zz +都是实数，求虚数z .（1）1z =-±；（2）12z =-；19、(19交附高二期末19)已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142x yl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；（2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.答案：（1；（2）x =或8100y +-=；20、(19交附高二期末20)圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.答案：（1）()2211y x y -=≥；（2）1,k ⎛∈- ⎝⎭；（3）m =；21、(19交附高二期末21)过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由. 答案：（1）24y x =；（2）3-；（2）()[),610,-∞-+∞；。
上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析
上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|•|MQ|=2，求点M的轨迹方程．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是y2=﹣x或x2=y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将（﹣2，3），代入即可求出抛物线标准方程．【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），∴9=4p解得：2p=，∴y2=﹣x；（2）对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），抛物线的方程为x2=2py（p＞0），∴4=6p，得：2p=，∴抛物线的方程为：x2=y．所以所求抛物线的标准方程为：y2=﹣x或x2=y．故答案为：y2=﹣x或x2=y．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】将圆化成标准方程，得（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1，根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关系，结合题意建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0，可化为（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1．∵方程x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0表示圆，∴k+1＞0，解之得k＞﹣1．又∵过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，∴点P（2，2）在圆外，可得（2﹣k）2+（2﹣1）2＞k+1，解之得k＜1或k＞4综上所述，可得k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞），故答案为（﹣1，1）∪（4，+∞）．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是x2+（y﹣1）2=1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数平方关系，可得结论．【解答】解：由题意，消去参数θ，可得普通方程是x2+（y﹣1）2=1，故答案为x2+（y﹣1）2=1．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．再由余弦定理，计算即可得到所求最大角．【解答】解：椭圆的a=3，b=1，c==2，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．则cos∠F1MF2===﹣，可得∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．故答案为：π﹣arccos．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是[﹣6，6] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，根据图象可知数a 的取值范围．【解答】解：∵椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，|x|≤5，|y|≤4，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．∴若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，则实数a的取值范围|a|≤6；故答案为：[﹣6，6]．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x（x＞0）或y=0（x ＜0）．【考点】轨迹方程；抛物线的定义．【分析】分动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴．【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，其轨迹是抛物线；且=2，其方程为y2=8x，若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为y=0，x≤0，故答案为y2=8x，或y=0，x≤0．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）（0，±）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，即可求得c．【解答】解；双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，根据双曲线方程可知c==，∴双曲线焦点坐标为（0，±）故答案为（0，±）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为﹣2．【考点】圆的标准方程．【分析】假设点P的坐标为（﹣1+cosα，sinα），利用三角函数，可求最值．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+y2=1，设P（﹣1+cosα，sinα），则2x+3y=2cosα+3sinα﹣2=cos（α+θ）﹣2∴2x+3y的最大值为：﹣2．故答案为：﹣2．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】抓住两个关键点，一是直线过（0，1）；一是直线与圆相切，分别求出m的值，即可确定出直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a的范围．【解答】解：分两种情况：当直线过（0，1）时，将x=0，y=1代入得：a=；当直线与圆x2+y2=1相切时，圆心到直线的距离d==r=1，解得：a=2或﹣2（舍去），则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（，2）．故答案为（，2）．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为，．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=•丨MN丨•d．【解答】解：由题意可知：椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=﹣，丨MN丨=•=•=，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=•丨MN丨•d=××=，∴△MBN的面积为，故答案为：．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，可得结论．【解答】解：抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，即的最小值是3﹣1=2，故答案为2．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，利用直线系的性质可得：直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a．【解答】解：直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，令，解得x=1，y=2，因此直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a=8．故答案为：8．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点．【解答】解：圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8∴圆心坐标是（﹣1，﹣2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d==，∴过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断．【解答】解：若a=1，b=﹣1，c=0，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程ax2+by2=c表示双曲线，则a，b异号，是必要条件，故ab＜0是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件，故选：C．15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】直线斜率不存在时，不满足条件，直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，可得结论．【解答】解：直线斜率不存在时，满不足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，∴过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有2条．故选：B．16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定【考点】轨迹方程．【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PF1﹣PF2=F1Q﹣F2Q=2a，F1Q+F2Q=F1F2解出OQ，可得结论．【解答】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a=4．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F1Q=a+c，F2Q=c﹣a，∴OQ=F1F2﹣QF2=c﹣（c﹣a）=a．∴△F1PF2内切圆与x轴的切点坐标为（a，0），∴当P变化时，I的轨迹为直线的一部分．故选C．三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．【解答】（1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，∴△=k2+8＞0，∴l与C必有两交点；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1①因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（+）=1②因为x1+x2=k，x1x2=﹣，代入②得k=1．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|•|MQ|=2，求点M的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．可得y1=x1+t，y2=x2+t，t=n﹣m．直线方程与椭圆方程联立可得：3x2+4tx+2t2﹣4=0，|MP|==，同理可得：|MQ|=．利用|MP|•|MQ|=2，代入化简即可得出．【解答】解：设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．则y1=x1+t，y2=x2+t，t=n﹣m．联立，化为：3x2+4tx+2t2﹣4=0，△=16t2﹣12（2t2﹣4）＞0，解得：t2＜6．∴x1+x2=﹣，．|MP|==，同理可得：|MQ|=．∵|MP|•|MQ|=2，∴1=|（x1﹣m）（x2﹣m）|=，∴m2+2n2=1或7．∴点M的轨迹为椭圆，其方程为m2+2n2=1或7．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为﹣，代入求得AB中点M（x0，y0），横坐标和纵坐标与m的关系，代入x2+2y2＜1，即可求得b的取值范围．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=1，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+b对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为﹣则x12+2y12=1，①x22+2y22=1，②①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0•（x1﹣x2）+2•2y0•（y1﹣y2）=0，∴=﹣•=﹣．∴y0=x0，代入直线方程y=4x+b得x0=﹣b，y0=﹣b；∵（x0，y0）在椭圆内部，∴+2×＜1，即6b2＜49，解得﹣＜b＜．实数b的取值范围（﹣，）．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件，设双曲线方程﹣y2=λ，λ≠0，由定点A（50）到双曲线C上的动点P 的最小距离为，运用两点距离公式，结合二次函数最值求法，可得最小值，求得λ，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线C的一条渐近线L的方程为x±2y=0，∴设双曲线方程为﹣y2=λ，λ≠0设P（m，n），则m2﹣4n2=4λ，点A（5，0）到双曲线上动点P的距离为：===，当m=4时，上式取得最小值，由题意可得=，解得λ=﹣1．则双曲线C的方程为y2﹣=1．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）根据向量的表达式，可推断出点M（x，y）到两个定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之差4，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c和a，求得b，则其方程可得．（2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．【解答】解：（1）由题意，﹣=4＜2m，∴动点M的轨迹是以（﹣m，0），（m，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x ≥2）；（2）由直线L：与点M的轨迹方程，联立可得（m2﹣5）x2+12x﹣36﹣4（m2﹣4）=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵，∴x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=，∴x1x2﹣2（x1+x2）+16=，∴m2=9，m=±3，∵m≥2，∴m=3检验m=3时x1+x2=﹣3＜0，所以不存在m．。
虹口区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
虹口区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）A ．B ．C ．1D ．2． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．44． 下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（ ）个A.个B.个C.个D.个5． 设=（1，2），=（1，1），=+k ，若，则实数k 的值等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．6． 阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ ）A ．39B ．21C ．81D ．1027． 设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（ ） A ．{1，2，3} B ．{1，3，5}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4}8． 双曲线4x 2+ty 2﹣4t=0的虚轴长等于（ ）A ．B ．﹣2tC ．D ．49． 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．10．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）A ．B ．8C ．D ．11．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]A ．(0,]6π B ．[,)6ππ C. (0,]3π D ．[,)3ππ 12．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ）A ．15 B ．16 C ．314 D ．13 二、填空题13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC②tanA+tanB+tanC 的最小值为3③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°⑤当tanB ﹣1=时，则sin 2C ≥sinA •sinB ．14．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．15．已知是等差数列，为其公差,是其前项和，若只有是中的最小项,则可得出的结论中所有正确的序号是___________ ①②③④⑤16．如图，在矩形ABCD 中，AB = 3BC =， E 在AC 上，若BE AC ⊥， 则ED 的长=____________17．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则= ．18．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ．三、解答题19．设点P 的坐标为（x ﹣3，y ﹣2）．（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x 、y ，求点P 在第二象限的概率；（2）若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为x 、y ，求点P 在第三象限的概率．20．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边之长依次为a ，b ，c ，且cosA=，5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ．（Ⅰ）求cos2C 和角B 的值； （Ⅱ）若a ﹣c=﹣1，求△ABC 的面积．21．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，圆22127x y +=与直线1x y a b +=相切，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)Q -任作一直线交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使 得MR RN λ=-，试判断当直线运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.22．已知函数f（x）=x3+ax+2．（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．23．如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°．（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．24．已知α、β、是三个平面，且c αβ=，a βγ=，b αγ=，且a b O =．求证：、、三线共点．虹口区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．2． 【答案】C【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长， 设正方体的棱长为：2a ，所以内切球的半径为：a ；外接球的直径为2a ，半径为：a ，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C3． 【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），即抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D ．【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：{}{},,a b b a ⊆和{}0∅⊆是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 5． 【答案】A【解析】解：∵ =（1，2），=（1，1），∴=+k =（1+k ，2+k ）∵，∴ =0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．6． 【答案】] 【解析】试题分析：第一次循环：2,3==n S ；第二次循环：3,21==n S ；第三次循环：4,102==n S ．结束循环，输出102=S ．故选D. 1 考点：算法初步． 7． 【答案】B【解析】解：∵全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩C u N=﹛2，4﹜， ∴集合M ，N 对应的韦恩图为 所以N={1，3，5} 故选B8． 【答案】C【解析】解：双曲线4x 2+ty 2﹣4t=0可化为：∴∴双曲线4x 2+ty 2﹣4t=0的虚轴长等于故选C ．9． 【答案】C10．【答案】C【解析】【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值．【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，两个垂直底面的侧面面积相等为：8，底面面积为：=4，另一个侧面的面积为：=4，四个面中面积的最大值为4；故选C．11．【答案】C【解析】考点：三角形中正余弦定理的运用.12．【答案】D【解析】考点：等差数列．二、填空题13．【答案】①④⑤【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，此时sin2C=，sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣cos2A=sin（2A﹣30°）≤，则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；故答案为：①④⑤【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．14．【答案】70．【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则n=8，所以二项式=展开式的通项为T r+1=（﹣1）r C8r x8﹣2r令8﹣2r=0得r=4则其常数项为C84=70故答案为70．【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．15．【答案】①②③④ 【解析】因为只有是中的最小项，所以，，所以，故①②③正确;，故④正确;，无法判断符号，故⑤错误， 故正确答案①②③④答案：①②③④16．【答案】212【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212.17．【答案】 （﹣，） ．【解析】解：∵，，设OC 与AB 交于D （x ，y ）点则：AD ：BD=1：5即D 分有向线段AB 所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．18．【答案】（3，1）．【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，得即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，∴2x+y﹣7=0，①且x+y﹣4=0，②∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0的图象就和m无关，恒过一定点．由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）；故答案为：（3，1）三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由已知得，基本事件（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1）共9种…4（分）设“点P在第二象限”为事件A，事件A有（﹣2，1），（﹣1，1）共2种则P（A）=…6（分）（2）设“点P在第三象限”为事件B，则事件B满足…8（分）∴，作出不等式组对应的平面区域如图：则P（B）==…12（分）20．【答案】【解析】解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，∴sinA==，∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，∴cosC==，∵0＜C＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．21．【答案】（1）22143x y+=；（2）点R在定直线1x=-上.【解析】试题解析：（1）由12e =，∴2214e a =，∴2234a b =7=，解得2,a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.设点R 的坐标为00(,)x y ，则由MR RN λ=-⋅，得0120()x x x x λ-=--， 解得1121221212011224424()41()814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++又2212122226412322424()24343434k k x x x x k k k---++=⨯+⨯=+++，212223224()883434k x x k k -++=+=++，从而121201224()1()8x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 22．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：f （x ）的导数f ′（x ）=x 2+a ，即有f （1）=a+，f ′（1）=1+a ，则切线方程为y ﹣（a+）=（1+a ）（x ﹣1）， 令x=0，得y=为定值；（Ⅱ）解：由xe x +m[f ′（x ）﹣a]≥m 2x 对x ≥0时恒成立， 得xe x +mx 2﹣m 2x ≥0对x ≥0时恒成立， 即e x +mx ﹣m 2≥0对x ≥0时恒成立， 则（e x +mx ﹣m 2）min ≥0， 记g （x ）=e x +mx ﹣m 2，g ′（x ）=e x +m ，由x ≥0，e x ≥1，若m ≥﹣1，g ′（x ）≥0，g （x ）在[0，+∞）上为增函数，∴，则有﹣1≤m ≤1，若m ＜﹣1，则当x ∈（0，ln （﹣m ））时，g ′（x ）＜0，g （x ）为减函数， 则当x ∈（ln （﹣m ），+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）为增函数，∴，∴1﹣ln （﹣m ）+m ≥0，令﹣m=t ，则t+lnt ﹣1≤0（t ＞1）， φ（t ）=t+lnt ﹣1，显然是增函数，由t ＞1，φ（t ）＞φ（1）=0，则t ＞1即m ＜﹣1，不合题意． 综上，实数m 的取值范围是﹣1≤m ≤1．【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．23．【答案】【解析】解：如图，过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵∠SDC=120°，∴∠SDE=30°，又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为．则有D（0，0，0），，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（1）设平面SAB的法向量为，∵．则有，取，得，又，设SC与平面SAB所成角为θ，则，故SC与平面SAB所成角的正弦值为．（2）设平面SAD的法向量为，∵，则有，取，得．∴，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．24．【答案】证明见解析．【解析】考点：平面的基本性质与推论．。
红星区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
红星区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设函数f （x ）=，f （﹣2）+f （log 210）=（ ）A ．11B ．8C ．5D ．22． 函数f （x ）=﹣x 的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y=﹣x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y=x 对称3． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则O P Q ∆的面积等于（ ）A ．B ．C ．2 D ．44． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．（∁UB ）∩A B ．（∁U A ）∩BC ．∁U （A ∩B ）D ．∁U （A ∪B ）5． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=06． 已知在R 上可导的函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）•f ′（x ）＜0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D ．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）7． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38B ．20C ．10D ．98． 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量=（m ，n ），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．复数满足2＋2z1－i ＝i z ，则z 等于（ ）A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i11．已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．πB ．C ．D ．12．已知全集U R =，{|239}xA x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．AB B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð二、填空题13．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=3x x +，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx ﹣2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．14．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．15．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为__________.16．已知a=（cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是 ．17．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是 ．18．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．三、解答题19．（本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =--. （1）求函数()y f x =在[0,]2π上的最大值和最小值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2c =，3a =，()0f B =，求sin A 的值.1111]20．甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化•印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）： 甲 83 81 93 79 78 84 88 94 乙 87 89 89 77 74 78 88 98（Ⅰ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（Ⅱ）本次竞赛设置A、B两问题，规定：问题A的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A，B成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．21．设{a n}是公比小于4的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna3n+1，n=12…求数列{b n}的前n项和T n．22．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．23．已知函数3()1xf xx=+，[]2,5x∈．（1）判断()f x的单调性并且证明；（2）求()f x在区间[]2,5上的最大值和最小值．24．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．红星区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B 【解析】解：∵f （x ）=，∴f （﹣2）=1+log 24=1+2=3，=5，∴f （﹣2）+f （log 210）=3+5=8． 故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2． 【答案】C【解析】解：∵f （﹣x ）=﹣+x=﹣f （x ）∴是奇函数，所以f （x ）的图象关于原点对称故选C ．3． 【答案】C 【解析】∴1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=， ∴1220y y +=③， 联立①②③可得218m =，∴12y y -==∴12122S OF y y =-=． （由1212420y y y y =-⎧⎨+=⎩，得12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩考点：抛物线的性质． 4． 【答案】A【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A ，但不属于集合B 的元素构成， ∴对应的集合表示为A ∩∁U B ． 故选：A ．5． 【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2﹣2x+4y=0化为：圆（x ﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l 将圆 x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，∴直线l 的方程是：y+2=﹣（x ﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．6． 【答案】B【解析】解：由f （x ）图象单调性可得f ′（x ）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0， 在（﹣1，0）上小于0，∴f （x ）f ′（x ）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）． 故选B ．7． 【答案】C【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m ﹣1+a m+1=2a m ，则a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=a m （2﹣a m ）=0，解得：a m =0或a m =2， 若a m 等于0，显然S 2m ﹣1==（2m ﹣1）a m =38不成立，故有a m =2，∴S 2m ﹣1=（2m ﹣1）a m =4m ﹣2=38， 解得m=10． 故选C8． 【答案】A【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m ，n ），有36种可能，而使⊥的m ，n 满足m=2n ，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；由古典概型公式可得⊥的概率是：；故选：A ．【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．9． 【答案】B【解析】解：∵z=cos θ+isin θ对应的点坐标为（cos θ，sin θ）， 且点（cos θ，sin θ）位于复平面的第二象限，∴，∴θ为第二象限角，故选：B ．【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．10．【答案】【解析】解析：选D.法一：由2＋2z1－i ＝i z 得2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，∴z ＝－21－i ＝－2（1＋i ）2＝－1－i.法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b2b ＝a ＋b， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 11．【答案】D【解析】解：由函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为=π，可得ω=1，故f （x ）=﹣cos2x ．若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），可得y=﹣cos2（x ﹣a ）=﹣cos （2x ﹣2a ）的图象；再根据所得图象关于原点对称，可得2a=k π+，a=+，k ∈Z ．则实数a 的最小值为．故选：D【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．12．【答案】A【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，3(log 2,2]A =，(0,2]B =，∵3log 20>，∴A ØB ，选A ．二、填空题13．【答案】22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】14．【答案】BC【解析】【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC．0,115．【答案】()【解析】16．【答案】240．【解析】解：a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2，则二项式（x2﹣）6=（x2+）6展开始的通项公式为T r+1=•2r•x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是•24=240，故答案为：240．【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17．【答案】．【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高由于此三角形的高为，故圆锥的高为此圆锥的体积为=故答案为【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．18．【答案】4【解析】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．三、解答题19．【答案】（1）最大值为，最小值为32-；（2）14.【解析】试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简()sin(2)16f x x π=--再利用()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><的性质可求在[0,]2π上的最值；（2）利用()0f B =,可得B ,再由余弦定理可得AC ,再据正弦定理可得sin A .1试题解析：（2）因为()0f B =，即sin(2)16B π-=∵(0,)B π∈，∴112(,)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3B π=又在ABC ∆中，由余弦定理得，22212cos 49223732b c a c a π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =由正弦定理得：sin sin b aB A =3sin sin 3A =，所以sin A =. 考点：1.辅助角公式；2.()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><性质；3.正余弦定理.【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角. 20．【答案】【解析】解：（I ）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为、，方差分别为、．，．…，．…因为，，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．…（II ）记事件C 表示为“甲回答问题A 成功”，事件D 表示为“甲回答问题B 成功”，则P （C ）=，P （D ）=，且事件C 与事件D 相互独立． …记甲按AB 顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0，100，400．P （ξ=0）=P （）=，P （ξ=100）=P （）=，P （ξ=400）=P （CD ）=．0 100 400所以甲按AB 顺序获得奖品价值的数学期望．…记甲按BA 顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0，300，400．P （η=0）=P （）=，P （η=300）=P （）=，P （η=400）=P （DC ）=，η所以甲按BA 顺序获得奖品价值的数学期望．…因为E ξ＞E η，所以甲应选择AB 的答题顺序，获得的奖品价值更高．…【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．21．【答案】【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ＜4，∵a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．∴2×3a 2=a 1+3+a 3+4，∴6q=1+7+q 2，解得q=2．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．b n =lna 3n+1=ln23n =3nln2．∴数列{b n }的前n 项和T n =3ln2×（1+2+…+n ）=ln2．22．【答案】【解析】解：（I ）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29． 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（II ）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2， 设成绩为x 、y成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a 、b 、c ， 若m ，n ∈[50，60）时，只有xy 一种情况， 若m ，n ∈[90，100]时，有ab ，bc ，ac 三种情况，事件“|m ﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种 ∴．【点评】在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，高是，所以有：×组距=频率；即可把所求范围内的频率求出，进而求该范围的人数．23．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5. 【解析】试题分析：（1）在[]2,5上任取两个数12x x <，则有1212123()()()0(1)(1)x x f x f x x x --=<++，所以()f x 在[]2,5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为(2)2f =，最大值为5(5)2f =.试题解析：在[]2,5上任取两个数12x x <，则有12121233()()11x x f x f x x x -=-++12123()(1)(1)x x x x -=++0<，所以()f x 在[]2,5上是增函数． 所以当2x =时，min ()(2)2f x f ==， 当5x =时，max 5()(5)2f x f ==. 考点：函数的单调性证明．【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数12x x <，然后作差12()()f x f x -，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1 24．【答案】【解析】解：（1）由题得=，=1，又a 2=b 2+c 2，解得a 2=8，b 2=4．∴椭圆方程为：．（2）设直线的斜率为k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴，=1，两式相减得=0，∵P 是AB 中点，∴x 1+x 2=4，y 1+y 2=2， =k ， 代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，∴直线l ：x+y ﹣3=0． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷B卷(含解析)
高二上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.2.如图，已知点P 在正方体的对角线上，.设，则的值为( )D.3.已知椭圆E （）的左焦点为F ，过焦点F 作圆的一条切线l 交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为( )4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的二次近似值．则222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=ABCD A B C D -''''BD '60PDC ∠=︒D P D B λ''=λ1-3-221y b+=0a b >>222x y b +=2OA OF OQ +=r ()2f x x =+()100x x -=>01x =r ()()00,x f x ()y f x =1x 1x ()()11,x f x ()y f x =2x 2x( )的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线6.数列的前n 项和为，，，设，则数列的前51项之和为()A.-149B.-49C.49D.1497.已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式A. B. C. D.8.设曲线的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段的垂直平分线分别交直线二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x ，y 满足圆C 的方程，则下列说法正确的是( )A.圆心，半径为1B.过点作圆C 的切线，则切线方程为2x =219y =22y px=()0p >{}n a n S 11a =-*(1)()n n na S n n n =+-∈N (1)nn n b a =-{}n b ()f x ()f x '()()e xf x f x -+'=()00f =()()2e 1e xf x -<11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1-()1,e -:C x =)AB x =+2220x y x +-=()1,0-()2,02x =D.的最大值是410.已知等差数列的前n 项和为，，，则下列说法正确的是( )A. B.C.为递减数列 D.11.已知函数，对于任意实数a ，b ，下列结论成立的有( )A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P 、Q 分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M 的方程；（2）写出直线l 恒过定点Q 的坐标，并求直线l 被圆M 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E 为的中点.22x y +{}n a n S 24a =742S =54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎨⎩e ()x x f x =-min ()1f x =e ()x x f x =-e ()x x f x =-(0,1)1y =0a b =->()()f a f b >{}n a 47512a a ⋅=-38124a a +=q ∈Z 10a =1111ABCD A B C D -11A B 11C D 112A P PB =112C Q QD =BP DQ ()()4,0,1,0M N MN MP ⋅ ()2,1M --()1,3:0l x my m ++=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a 为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线，与C 的左支分别交于M ，N 两点，且，，为垂足.（i ）证明：直线恒过定点P ，并求出点P 坐标[1,e]()(2)f x a x ≤+n 24n n S a =-{}n nS n T //PB AEC 2AB AD ==4AP =ADE ACE 2()ln f x a x x =+2a =-()f x (1,)+∞4a =-()f x [1,e]x ∈{}n a n S {}n a n (-MA NA MA NA ⊥AD MN ⊥D MN答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D 为原点，以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，解得，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O ，半径为b ，，设椭圆E 的右焦点为，连接，因为，可知点Q 为的中点，且点O 为的中点，则()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122S AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=DA DC DD '1AD =()0,0,0D ()1,1,0B ()0,0,1D '()0,1,0C ()0,0,1DD '=()1,1,1D B =-' ()0,1,0DC = ()()0,0,11,1,1DP DD D P DD D B λλ'''=+=+=+-='(),,1λλλ-60PDC ∠=cos 60=︒=2210λλ+-=1λ=-1=-01λ≤≤1λ=-222x y b +=c b >2F 2AF 2OA OF OQ +=AF 2FF，因为Q为切点，可知，则，解得4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以做曲线的切线的斜率该切线为，则，整理得5.答案：A的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设点A，在第一象限，设，则，上，所以，//OQ AF222AF OQ==2222a AF a b-=-OQ AF⊥2AF AF⊥2222AF AF F+=()()2222242244b a bc a b+-==-23a==cea====()1f x=()21f x x'=+()1,1()y f x=l()113k f='=():131l y x-=-:32l y x=-1x=()2122133f x⎛⎫=+-=⎪⎝⎭21,39⎫⎪⎭()y f x=223k f⎛⎫'==⎪⎝⎭2l2172:933l y x⎛⎫-=-⎪⎝⎭73y x=2x=219y-=()2,0()32y x=±320x y±=)32x y+=3()2229x y-+=()2229x y-+=()220y px p=>x()()1111,0,0A x y x y>>()11,B x y-12y=1y=)2229x y-+=()21289x-+=解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，所以是以-1为首项，1，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即，可设，当时，因得，所以，，因为，故为偶函数，，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，又因为11x =(1,A (3,A (1,A 82p =4p =(3,A 86p =p =*(1)()n n na S n n n =+-∈N 2n ≥1()(1)n n n n na n S S S n n -=-=+-1(1)(1)n n n S nS n n ---=-11n S n --=-11a ==-n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112n n =-+-=-(2)n S n n =-2n ≥()11(3)n S n n -=--()()121(3)23n n n a S S n n n n n -==----=--1n =23n a n =-()()()1123nnn n b a n =-=--{}n b (11)(35)...(9597)99++-+++-+-2259949=⨯-=-()()e x f x f x -+'=()()e e 1x x x f x f +'=()e 1x f x '⎡⎤=⎣⎦()e xf x x m =+0x =()00f =0m =()e xf x x -=()()2e 1e x f x -<-()2e e 1e x x x --<-e e e x x x x --<()e e x xg x x x -=-()()e e x x g x x x g x --=-+=()g x ()e e e e x x x x g x x x --'=++-0x ≥e e 0x x x x -+≥e e 0x x --≥()e e e x x xg x x x -'=++e 0x --≥()g x [)0,+∞()11e e g -=-0x ≥()e x g x x =-e e xx -<-)0,1为偶函数，故.故选：C8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设（故A选项可排除），联立得，，所以，，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A：，即，圆心为，半径为，A错误；对选项B：在圆上，则和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为，B正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：:1C x=≥()2211x y x-=≥221x y-=)F y x=±(:l y k x=(,y k xx⎧=-⎪⎨⎪=⎩()22221210k x x k--++=()2Δ410k=+>A Bx x+=A Bx x=Bx-==()g x()eg x<)1,1-=2A BNx x+==NMN x=-==(2k=±+2220x y x+-=22(1)1x y-+=(1,0)1r=(2,0)(2,0)2x=1yx+(,)x y(1,0)A-当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为C 错误；对选项D ：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D 正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；为递减数列，C 正确；的前5项和为11.答案：ACD解析：对A ，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A 选项正确.AB ||2AC =||1BC =AB BC ⊥tan 30︒=22x y +(,)x y 2(1)4r +={}n a ()177477422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+1=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(2)(3)2n n n ==-+++11n n a a +⎫⎬⎭1111134457-+-++ 111838-=-=e ()x x f x =-)1(e x f x =-'()0f x '=e x -１=00x =0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x ()f x 0x =(0)1f =()min 1f x =对B ，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B 选项错误.对C ，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C 选项正确.对D ，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D 选项正确.故选：ACD 12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q 为整数，，，，解得，即，故答案为：512.解析：设正方体中棱长为3，以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线(,0)-∞()f x (0,)+∞()f x ()()000e 010e 10.f f '=-==-=，()0,11y =0,0a b b a =->=-<()e ,()()e a a f a a f b f a a -=-=-=+()()f a f b -=e (e )e e 2a a a a a a a ----+=--()e e 2x x g x x -=--()e e 220x x g x -=+-'≥-=()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=()()0f a f b ->()()f a f b >47512a a ⋅=- 38124a a +=3847512a a a a ∴⋅=⋅=-38124a a +=34a =-8128a =3128a =44a =- 34a ∴=-8128a =54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512a a q ==⨯-=⨯=1111ABCD A B C D -DA DC 1DD ()0,0,0D ()0,1,3Q ()3,3,0B ()3,2,3P ()0,1,3BP =- ()0,1,3DQ =与所成角为，则与所成角的余解析：设动点，则.又.化简得，动点P 的轨迹E的方.15.答案：（1）（2）最小值为.解析：（1）圆M的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离l 被圆M 截得的弦长为当d 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为.16.答案：(1)证明见解析；BP DQ θcos BP DQ BP DQθ⋅===⋅ BP DQ 213y =(),P x y ()()()4,,3,0,1,MP x y MN PN x y =-=-=-- MN MP ⋅ ()34x ∴--=2234x y +=213y +=∴23y +=213y =()()222125x y +++=0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤∴=0=解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCD AB AD AP 2AB AD ==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z = ()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n =ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ ADE17.答案：(1)答案见解析(2)当有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以令解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以即存在时，令()0f x'>()0f x'<()f x)+∞⎡⎣x=22ln2f=-2(e)e41f=->()f x()(2)f x a x≤+x=()f x22ln2f=-ex=()f x2(e)e4f=-[)1,-+∞(0,)+∞2a=-2()2lnf x x x=-+2()2f x xx'=-+=()0f x'>1x>()f x(1,)+∞4a=-2()4lnf x x x=-+4()2f x xx'=-+=x>0x<()f x⎤⎦()f x(1)1f=ex=2(e)e4f=-2(ln2)a x x a x≤++()2ln2a x x x x-≤-[1,e]x∈1,ln ln e1x x≥≤=lne lnx x≥≥1x=ln0x= lnx x>[1,e]x∈a≥[1,e]x∈a≥()g x=()g x'=令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a 的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n 项和为，则，，n K 456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②()22ln h x x x =+-22()1x h x x x-'=-=2()0x h x x -'=>2e x <≤2()0x h x x-'=<12x ≤<()h x [)1,2(]2,e ()(2)2(2ln 2)0h x h ≥=->[1,e]x ∈()2(1)(22ln )()0ln x x x g x x x -+-'=≥-min ()(1)1g x g ==-[)1,-+∞12n +24n n S a =- ∴2n ≥1124n n S a --=-()112424n n n n S S a a ---=---12n n a a -=2n ≥12n n a a -=1n =11124S a a ==-14a =∴{}n a 11422n n n a -+∴=⨯=1222424n n n S ++=⨯-=-224n n nS n n +∴=⋅-22,4n n n b n c n +=⋅=-()()1214212n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ {}n b 34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①由，得，即．（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为可得，解得，.（2）证明：（i ）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，，即，3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ()()413332122212812n n n n K n n -++-∴=+-⋅=-⋅+--①②()4133332122222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--()()()32112218n n n T K n n n n n +∴=-+=-⋅-++2116y =(-222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩2,4a b ==2116y -=()2,0A MN MN y kx m =+221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242160k x kmx m ----=()()2222444160k m k m ∆=+-+>22416k m -<设，，由韦达定理可得.因为，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M 点坐标为，所以（舍）或此时过定点，综上可知，直线恒过定点（ii ）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，()11,M x y ()22,N x y 122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩MA ⊥2212y x =--()()1212220y y x x +--=()121212240y y x x x x +-++=()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--2234200m km k --=()()23100m k m k +-=2m km =-=2m k =-()2y kx m y k x =+⇒=-MN ()2,0A m =103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭MN 10,03P ⎛⎫-⎪⎝⎭MN x t =MA NA ⊥AMN (,t 22342002t t t t =-⇒+-=⇒=t =MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 10,0,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥AP1 2AP=2,03⎛⎫-⎪⎝⎭所以存在定点Q为.AP。
虹口区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
虹口区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．20161111] 2． 已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （0＜X ＜4）=0.8，则P （X ＞4）的值等于（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.63． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ）A ．1B ．C ．2D ．44． 已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3， =k ﹣4，与垂直，k 的值为（ ）A ．﹣6B ．6C ．3D ．﹣35． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）A ．M ＞N ＞PB ．P ＜M ＜NC ．N ＞P ＞M6． 给出下列两个结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0；②命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0没有实数根，则m ≤0”；则判断正确的是（ ） A ．①对②错 B ．①错②对C ．①②都对D ．①②都错7． 设函数f （x ）=则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，3） 8． 在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．9． ∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是（ ）A ．不存在x ∈R ，使∃x 2﹣2x+3≥0B ．∃x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3＞010．抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．11．函数f （x ﹣）=x 2+，则f （3）=（ ） A ．8B ．9C ．11D ．1012．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+二、填空题13．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则﹣= ．14．已知正四棱锥O ABCD -的体积为2 则该正四棱锥的外接球的半径为_________15．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC=BD，则四边形EFGH是；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是．16．（﹣2）7的展开式中，x2的系数是．17．8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲学校至少分到两个名额的分配方案为（用数字作答）18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2016项的值是．三、解答题19．求下列曲线的标准方程：（1）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．20．（1）计算：（﹣）0+lne﹣+8+log62+log63；（2）已知向量=（sinθ，cosθ），=（﹣2，1），满足∥，其中θ∈（，π），求cosθ的值．21．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.111]（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}nna b 的前项和n S .22．已知函数f （x ）=x ﹣alnx （a ∈R ）（1）当a=2时，求曲线y=f （x ）在点A （1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的极值．23．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：（x+3）2+（y ﹣1）2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=4 （1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为2，求直线l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．24．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，求抛物线的方程．虹口区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】D 【解析】1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=，故选D. 1 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.【方法点睛】本题通过 “三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()311533212f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）2． 【答案】A【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N （2，o 2）， ∴正态曲线的对称轴是x=2 P （0＜X ＜4）=0.8，∴P （X ＞4）=（1﹣0.8）=0.1， 故选A ．3． 【答案】B【解析】解：设圆柱的高为h ，则V圆柱=π×12×h=h，V球==，∴h=．故选：B．4．【答案】B【解析】解：∵=（2+3）（k﹣4）=2k+（3k﹣8）﹣12=0，又∵=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的5．【答案】A【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，即M＞N＞P，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．6．【答案】C【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．②根据逆否命题的定义可知②正确．故选C．【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．7．【答案】A【解析】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3如果x＜0 则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）故选A．8．【答案】D【解析】设的公比为，则，，因为也是等比数列，所以，即，所以因为，所以，即，所以，故选D答案：D9．【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+3≤0．故选：C．10．【答案】A【解析】解：因为抛物线y2=8x，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0）又双曲线．渐近线为y=有点到直线距离公式可得：d==1．故选A．【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．11．【答案】C【解析】解：∵函数=，∴f（3）=32+2=11．故选C．12．【答案】A【解析】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积ααsin 2sin 112142=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式ααsin 21sin 1121=⨯⨯⨯=S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ，最后得到答案.二、填空题13．【答案】 1 ．【解析】解：若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外）， 均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ， 可通过特殊点，取A （﹣1，t ），则B （﹣1，﹣t ），C （1，﹣t ），D （1，t ）， 由直线和圆相切的条件可得，t=1．将A （﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．14．【答案】118【解析】因为正四棱锥O ABCD -的体积为22，设外接球的半径为R ，依轴截面的图形可知：22211(2)8R R R =-+∴= 15．【答案】 菱形 ； 矩形 ．【解析】解：如图所示：①∵EF ∥AC ，GH ∥AC 且EF=AC ，GH=AC∴四边形EFGH 是平行四边形又∵AC=BD∴EF=FG∴四边形EFGH是菱形．②由①知四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形．故答案为：菱形，矩形【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．16．【答案】﹣280解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．由，得r=3．∴x2的系数是．故答案为：﹣280．17．【答案】15【解析】解：8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，则8人可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2），∵甲学校至少分到两个名额，第一类是1种，第二类有4种，第三类有4种，第四类有3种，第五类也有3种，根据分类计数原理可得，甲学校至少分到两个名额的分配方案为1+4+4+3+3=15种故答案为：15．【点评】本题考查了分类计数原理得应用，关键是分类，属于基础题．18．【答案】0．【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，∴b2016=b336×6=b6=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由椭圆+=1，得a2=8，b2=4，∴c2=a2﹣b2=4，则焦点坐标为F（2，0），∵直线y=x为双曲线的一条渐近线，∴设双曲线方程为（λ＞0），即，则λ+3λ=4，λ=1．∴双曲线方程为：；（2）由3x﹣4y﹣12=0，得，∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3），∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为：y2=16x或x2=﹣12y．【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线为一条渐近线的双曲线方程是关键，是中档题．20．【答案】【解析】（本小题满分12分）解析：（1）原式=1+1﹣5+2+1=0；…（6分）（2）∵向量=（sinθ，cosθ），=（﹣2，1），满足∥，∴sinθ=﹣2cosθ，①…（9分）又sin2θ+cos2θ+=1，②由①②解得cos 2θ=，…（11分）∵θ∈（，π），∴cos θ=﹣． …（12分）【点评】本题考查对数运算法则以及三角函数的化简求值，向量共线的应用，考查计算能力．21．【答案】（1）2,2==q d ；（2）12326-+-=n n n S . 【解析】（2）1212--=n n n n b a ，………………6分 122121223225231---+-++++=n n n n n S ，①nn n n n S 212232252321211321-+-++++=- .②……………8分 ①-②得nn n n n S 2122222222212`1221--+++++=-- 23112222211222222n n nn S --=++++-，…………10分所以12326-+-=n n n S .………………12分 考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）数列}a {nnb 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S . 22．【答案】【解析】解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f （x ）=x ﹣2lnx ，，因而f （1）=1，f ′（1）=﹣1，所以曲线y=f （x ）在点A （1，f （1））处的切线方程为y ﹣1=﹣（x ﹣1）， 即x+y ﹣2=0（2）由，x ＞0知：①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）为（0，+∞）上的增函数，函数f （x ）无极值； ②当a ＞0时，由f ′（x ）=0，解得x=a ．又当x ∈（0，a ）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（a ，+∞）时，f ′（x ）＞0．从而函数f （x ）在x=a 处取得极小值，且极小值为f （a ）=a ﹣alna ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f （x ）无极值；当a ＞0时，函数f （x ）在x=a 处取得极小值a ﹣alna ，无极大值．23．【答案】 【解析】【分析】（1）因为直线l 过点A （4，0），故可以设出直线l 的点斜式方程，又由直线被圆C 1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P 点的直线l 1与l 2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 1与l 2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C 1不相交；∴直线l 的斜率存在，设l 方程为：y=k （x ﹣4）（1分）圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，∵l 被⊙C 1截得的弦长为2 ∴d==1（2分） d=从而k （24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l 的方程为：y=0或7x+24y ﹣28=0（5分） （2）设点P （a ，b ）满足条件，由题意分析可得直线l 1、l 2的斜率均存在且不为0， 不妨设直线l 1的方程为y ﹣b=k （x ﹣a ），k ≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）24．【答案】【解析】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x﹣，联立，得，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义，得|AB|=x1+x2+p=4p=8，解得p=2．∴抛物线的方程为y2=4x．【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．。
虹口区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
虹口区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0D ．0＜a ＜1且b ＜02． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）A ． B.C. D. 4． 已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A B D ．345． 在中，、、分别为角、、所对的边，若，则此三角形的形状一定是（ ） A ．等腰直角 B ．等腰或直角 C ．等腰D ．直角6． 函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4）7． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：（1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（2）与（4）D ．（3）与（4）8． 双曲线上一点P 到左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的距离为（ ） A ．13B ．15C ．12D ．119． 计算log 25log 53log 32的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．810．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．11．已知a n =（n ∈N *），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 3012．已知tan （﹣α）=，则tan （+α）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣二、填空题13．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数()f x xlnx ax ＝－＋在()0e ，上是增函数，函数()22xa g x e a ＝－＋，当[]03x ln ∈，时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为______.14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=（）t ﹣a （a 为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．15．不等式的解为．16．如图，在三棱锥P ABC-中，PA PB PC==，PA PB⊥，PA PC⊥，PBC△为等边三角形，则PC 与平面ABC所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．17．下列说法中，正确的是．（填序号）①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③y=（）﹣x是增函数；④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．18．已知直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则ab的最大值是．三、解答题19．本小题满分10分选修41-：几何证明选讲如图，ABC∆是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PEPA=，︒=∠45ABC，1=PD，8=DB．Ⅰ求ABP∆的面积；Ⅱ求弦AC的长．ACDEBO20．如图，过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F的直线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1x2=﹣4．（Ⅰ）p的值；（Ⅱ）R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，RQ的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．21．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．（1）求x2的系数取最小值时n的值．（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前项和，111a b ==，且3336b S =，228b S =（*n N ∈）．（1）求n a 和n b ； （2）若1n n a a +<，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T ．23．设函数f （θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x ，y ），且0≤θ≤π． （Ⅰ）若点P的坐标为，求f （θ）的值；（Ⅱ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的最小值和最大值．24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]如图，点C 为圆O 上一点，CP 为圆的切线，CE 为圆的直径，3CP =.（1）若PE 交圆O 于点F ，165EF =，求CE 的长； （2）若连接OP 并延长交圆O 于,A B 两点，CD OP ⊥于D ，求CD 的长.虹口区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】解：∵函数y=a x﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0﹣b ﹣1＜0，即a ＞1，b ＞0， 故选：B2． 【答案】A【解析】解：几何体如图所示，则V=，故选：A ．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．3． 【答案】 C【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆的面积为1||2AB d '⋅=，选C ． 4． 【答案】D 【解析】考点：异面直线所成的角.5．【答案】B【解析】因为，所以由余弦定理得，即，所以或，即此三角形为等腰三角形或直角三角形，故选B答案：B6．【答案】A【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．7．【答案】B【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确；∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；故选B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．8．【答案】A【解析】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是x，∵双曲线上一点P到左焦点的距离为5，∴|x﹣5|=2×4∵x＞0，∴x=13故选A．9． 【答案】A【解析】解：log 25log 53log 32==1．故选：A ．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．10．【答案】C【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．11．【答案】C【解析】解：an ==1+，该函数在（0，）和（，+∞）上都是递减的，图象如图， ∵9＜＜10．∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a 10，a 9．故选：C ． 【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，是基础题．12．【答案】B【解析】解：∵tan （﹣α）=，则tan （+α）=﹣tan[π﹣（+α）]=﹣tan （﹣α）=﹣，故选：B ．【点评】本题主要考查诱导公式，两角和的正切公式，属于基础题．二、填空题13．【答案】52【解析】()1ln f x x a =--+'，因为()f x 在()0e ，上是增函数，即()0f x '≥在()0e ，上恒成立，ln 1a x ∴≥+，则()max ln 1a x ≥+，当x e =时，2a ≥，又()22xa g x e a =-+，令xt e =，则()[]2,1,32a g t t a t =-+∈，（1）当23a ≤≤时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2min 2a g t g a ==，则()()max min 312g t g t a -=-=，则52a =，（2）当3a >时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2min 332a g t g a ==-+，则()()max min 2g t g t -=，舍。
虹口区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
虹口区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ）A ．S 18＝72B ．S 19＝76C ．S 20＝80D ．S 21＝843． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（）A ．S 10B ．S 9C ．S 8D ．S 74． 已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．或D ．或5． 若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A ．（2，4）B ．（2，﹣4）C ．（4，﹣2）D ．（4，2）6． 在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7． 执行如图的程序框图，如果输入的，100N =则输出的（ ）x =A ． B ． 0.950.98C ． D ．0.99 1.008． 下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是P Q R S （）9． 若复数z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i10．在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ）A ．2bsinAB ．2bcosAC ．2bsinBD ．2bcosB11．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（）A ．1372B ．2024C ．3136D ．449512．在数列中，，，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是{}n a 115a =*1332()n n a a n N +=-∈（）A ．和B ．和C ．和D ．和21a 22a 22a 23a 23a 24a 24a 25a 二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条，则z=的最小值为 ．14．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx －（m ∈R ）在区间[1，e]上取得mx最小值4，则m ＝________．16．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数（为常数）的导函数为()2f x ax bx c =++,,a b c ，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．()f x 'x R ∈()()f x f x ≥'222b a c+17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若有三个零点，则实数m 的取值范围是________．()()g x f x m =-18．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ．三、解答题19．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．（1）求该几何体的体积；111]V （2）求该几何体的表面积．S 20．某市出租车的计价标准是4km 以内10元（含4km ），超过4km 且不超过18km 的部分1.5元/km ，超出18km 的部分2元/km ．（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y 元与行车里程x km 的函数关系式；（2）如果某人乘车行驶了30km ，他要付多少车费？21．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．22．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．23．如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）求二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值．24．（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．虹口区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A 、D ；对C ：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C 错；故答案为：B 2． 【答案】【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4，∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋＝18（a 1＋d ）不恒为常数．18×17d 2172S 19＝19a 1＋＝19（a 1＋9d ）＝76，19×18d 2同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B.3． 【答案】C【解析】解：∵S 16＜0，S 17＞0，∴=8（a 8+a 9）＜0，=17a 9＞0，∴a 8＜0，a 9＞0，∴公差d ＞0．∴S n 中最小的是S 8．故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4． 【答案】C【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，焦点坐标在x 轴时，a 2=m ，b 2=2m ，c 2=3m ，离心率e=．焦点坐标在y 轴时，a 2=﹣2m ，b 2=﹣m ，c 2=﹣3m ，离心率e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．5．【答案】C【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．6．【答案】B【解析】解：因为△ABC中，已知A=30°，C=45°，所以B=180°﹣30°﹣45°=105°．因为a=2，也由正弦定理，c===2．所以△ABC的面积，S===2=2（）=1+．故选：B．【点评】本题考查三角形中正弦定理的应用，三角形的面积的求法，两角和正弦函数的应用，考查计算能力． 7．【答案】C【解析】111112233499100x=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯．111111199 (1()()() 2233499100100 =-+-+-+⋅⋅⋅+-= 8．【答案】D【解析】考点：平面的基本公理与推论．9．【答案】A【解析】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．10．【答案】D【解析】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB，∴sinA=2sinBcosB，根据正弦定理==2R得：sinA=，sinB=，代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB．故选D11．【答案】C【解析】【专题】排列组合．【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边，根据分类计数原理可得．【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法，再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个．综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．故选：C．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．12．【答案】C【解析】考点：等差数列的通项公式．二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z==32x+y，设t=2x+y，则y=﹣2x+t，平移直线y=﹣2x+t，由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，此时t最小．由，解得，即B（﹣3，3），代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 14．【答案】54【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的x 倍数的数，所以所有输出值的和.54171311751=+++++15．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝＋＝，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递1x 2m x 2x mx+减，当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3 （－e ，－1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－，令1－＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m e mem ＝－3e.16．【答案】2-【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R()'2f x ax b =+()()'f x f x ≥()220ax b a x c b +-+-≥上恒成立，等价于：，可解得：，则：0{a >≤A ()22444b ac a a c a ≤-=-，令，，222222241441c b ac a a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,(0)c t t a =->24422222t y t t t t ==≤=++++故的最大值为．222b a c+2考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用17．【答案】714⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】18．【答案】 m ＞1 ．【解析】解：若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x+m ＞0”是真命题，即判别式△=4﹣4m ＜0，解得m ＞1，故答案为：m ＞1三、解答题19．【答案】（1；（2）．6+【解析】（2）由三视图可知，该平行六面体中平面，平面，1A D ⊥ABCD CD ⊥11BCC B ∴，侧面，均为矩形，12AA =11ABB A 11CDD C．12(11112)6S =⨯++⨯=+考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键．20．【答案】【解析】解：（1）依题意得：当0＜x ≤4时，y=10；…（2分）当4＜x ≤18时，y=10+1.5（x ﹣4）=1.5x+4…当x ＞18时，y=10+1.5×14+2（x ﹣18）=2x ﹣5…（8分）∴…（9分）（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，p：1＜x＜3；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；故x的取值范围是[2，3）（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1＜a＜2∴实数a的取值范围是（1，2）．【点评】考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．22．【答案】【解析】【专题】计算题；排列组合．【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，即能被5整除的三位数共有6个；（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，此时三位偶数一共有6+8=14个，（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，故x=0不成立；当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，则每个数字用了=18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否两种情况讨论．23．【答案】【解析】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD∵CD⊆平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；（2）取AD中点O，连接EO，∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC过O作OF⊥AC于F，连接EF，则∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角由PA=2，得EO=1，在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=∵O是AD的中点，∴OF=×=∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF==∴cos∠EFO==【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．24．【答案】【解析】解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得，∴f（x）的增区间为，减区间为．（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”⇔“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立．”g'（x）=ln（x+1）+1﹣a=0⇒x=e a﹣1﹣1．当x∈（﹣1，e a﹣1﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数．当x∈（e a﹣1﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．“g（x）≥0在x≥0时恒成立”⇔“e a﹣1﹣1≤0”，即e a﹣1≤e0，即a﹣1≤0，即a≤1．故a的取值范围是（﹣∞，1]．。
红星区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
红星区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．2,2x R x x ∃∈≤-B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是 “//m n ”的必要不充分条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．3． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V （ ）1111] A ．41 B ．31 C ．21D ．不是定值，随点M 的变化而变化4． 设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1111] 5． 复数i iiz (21+=是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．6． 集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x ＜2}C ．{x|0＜x ≤1}D ．{x|x ≤1}7． 函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B． C．D．8． 在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 9． 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ） A ．7049 B ．7052 C ．14098 D ．1410110．已知向量，，其中．则“”是“”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 11．一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．212．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A ．4 B ．2 C． D ．2 13．（文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位 14．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则74S a =（ ） A ．74 B ．145C ．7D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.15．过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=1二、填空题16．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．17．递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1），其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10= ． 18．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．19．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．三、解答题20．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是BC 边上的中线．（1）求证：AD ＝122b 2＋2c 2－a 2；（2）若A ＝120°，AD ＝192，sin B sin C ＝35，求△ABC 的面积．21．对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[m ，n]⊆D ，同时满足： ①f （x ）在[m ，n]内是单调函数；②当定义域是[m ，n]时，f （x ）的值域也是[m ，n]． 则称[m ，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．22．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．23．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2EC，EC∥PD．（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角：（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．24．（本小题满分12分）已知()()2,1,0,2A B 且过点()1,1P -的直线与线段AB 有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.25．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且332-=n n a S ，（+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记nn a n b 14+=，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求n T . 【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前n 项和.重点突出对运算及化归能力的考查，属于中档难度.红星区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ），且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限，∴，∴θ为第二象限角，故选：B．【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．2．【答案】D3．【答案】B【解析】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．4．【答案】D【解析】考点：函数导数与不等式．1【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函数()()()21,x g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值范围.5． 【答案】A【解析】()12(i)122(i)i i z i i i +-+===--，所以虚部为-1，故选A. 6． 【答案】B【解析】解：由Venn 图可知，阴影部分的元素为属于A 当不属于B 的元素构成，所以用集合表示为A ∩（∁U B ）． A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}={x|﹣1＜x ＜2}，B={x|y=ln （1﹣x ）}={x|1﹣x ＞0}={x|x ＜1}， 则∁U B={x|x ≥1}，则A ∩（∁U B ）={x|1≤x ＜2}． 故选：B ．【点评】本题主要考查Venn 图表达 集合的关系和运算，比较基础．7． 【答案】 D【解析】解：A 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，A 不正确；B 、由图得f （x ）=ax 2+bx 的对称轴x=﹣＞0，则，不符合对数的底数范围，B 不正确；C 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f （x ）=log x 在定义域上是增函数，C 不正确；D 、由f （x ）=ax 2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f （x ）=logx 在定义域上是减函数，D 正确．【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．8． 【答案】D 【解析】试题分析：在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，化简得22sin sin sin sin cos cos A BB A A B=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B AA AB B A B =⇒=，即si n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．考点：三角形形状的判定．【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2A B π+=是试题的一个难点，属于中档试题． 9． 【答案】B【解析】解：∵a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），∴（a n+1﹣2）（a n ﹣2）=2，当n ≥2时，（a n ﹣2）（a n ﹣1﹣2）=2，∴，可得a n+1=a n ﹣1，因此数列{a n }是周期为2的周期数列． a 1=3，∴3a 2+2=2a 2+2×3，解得a 2=4， ∴S 2015=1007（3+4）+3=7052．【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．10．【答案】A【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若，则成立；反过来，若，则或所以“”是“”成立的充分而不必要条件。