2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试题
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在第二象限，则角的终边所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意利用角在各个象限的符号，即可得出结论.【详解】由题意，点在第二象限，则角的终边所在的象限位于第四象限，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2.对于向量，，和实数，下列命题中正确的是（）A. 若，则或B. 若，则或C. 若，则或D. 若，则【答案】B【分析】由向量的垂直条件，数量积为0，可判定A；由向量的数乘的定义可判断B；由向量的平方即为向量的模的平方，可判断C；向量的数量积不是满足消去律，可判断D，即可得到答案. 【详解】对于A中，若，则或或，所以不正确；对于B中，若，则或是正确的；对于C中，若，则，不能得到或，所以不正确；对于D中，若，则，不一定得到，可能是，所以不正确，综上可知，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义，向量的数乘和向量的运算律等知识点，其中解答中熟记向量的数量积的定义和向量的运算是解答本题的关键，着重考查了判断能力和推理能力，属于基础题.3.已知向量，，若，则实数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可得出，进行数量积的运算即可得出，在由向量的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，因为，所以，整理得，又由，所以，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据向量的运算，求得，再根据向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数的图象关于直线对称，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到，即可求解.【详解】由题意，函数，又由函数的图象关于对称，所以，即，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.将的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与重合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用逆向思维，对函数的关系式进行平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，即可得到答案.【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数向左平移个单位，得到的图象，进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.已知函数，，则是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数为，由此可得处函数的奇偶性和最小正周期，得到答案.【详解】由函数，所以函数为偶函数，且最小正周期为，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若向量，，且，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，，求得，在根据向量的数量积的运算公式和三角函数的基本关系式，化简为齐次式，即可求解.【详解】由题意，，所以，解得，又由向量，，则，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，以及利用三角函数的基本关系式化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系，化简向量的数量积为齐次式是解答的关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.8.已知，是方程的两个实数根，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用对数函数的变换，进一步利用一元二次方程的根和系数关系和三角函数关系式的恒等变换，即可求出结果.【详解】由题意，，是方程的两个实数根，即，是方程的两个实数根，所以，则，故选C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根和系数的应用，以及三角函数关系式的恒等变换的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知单位向量的夹角为，若向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，设，由，化简得，表示圆心为，半径为1的圆，结合图形可知，即可求解的最大值.【详解】由题意，设单位向量，且，则，由，所以，化简得，表示圆心为，半径为1的圆，如图所示，由图形可知，的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的坐标公式，得出向量表示的图形，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.10.有下列叙述，①函数的对称中心是；②若函数（，）对于任意都有成立，则；③函数在上有且只有一个零点；④已知定义在上的函数，当且仅当（）时，成立.则其中正确的叙述有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】由正切函数的对称性可判断①；由正弦函数的对称性可判断②；由的导数判断单调性，结合零点存在定理可判断③；由正弦函数与余弦函数的图象和性质，可判断④，即可得到答案. 【详解】由题意，①中，函数的对称中心是，所以不正确；②中，若函数对于任意都有成立，可得函数关于对称，则，所以不正确；③中，函数的导数为，可得函数在上为单调递增函数，又由，即在有且只有一个零点，所以是正确的；④中，已知定义在上的函数，当时，即时，；当时，即时，；当和，时，成立，即当时，成立，所以是正确的，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及函数的零点的存在定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题。
11.的值为_____；的值为_____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接利用诱导公式，及两角和的正弦公式，化简求值，即可得到答案.【详解】由题意，；又由.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和两角和的正弦函数公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知扇形的周长为，当它的半径为____时，扇形面积最大，这个最大值为____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设扇形的半径与中心角分别为，可得，在利用扇形的面积为，利用基本不等式即可求解.【详解】设扇形的半径与中心角分别为，则，可得，可得扇形的面积为，当且仅当是取等号.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长和面积公式，以及基本不等式的性质的应用，其中解答中利用扇形的弧长和面积公式，合理表示扇形的面积，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.13.已知，，若，则实数的值是_____；若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_______.【答案】 (1). 或 (2).【解析】【分析】由题意，根据，得到方程，即可解答得值，再由和的夹角为锐角，所以，且不同向，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，因为，所以，解得或，因为和的夹角为锐角，所以，且不同向，所以，所以且，所以的取值范围为且.【点睛】本题主要考查了向量的共线的应用，以及向量的数量积的应用问题，其中解答中熟记向量平行是的坐标关系，以及向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.设，是单位向量，且，的夹角为，若，，则____；在方向上的投影为____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义求出与，并计算出平面向量的模，再利用公式，即可求解.【详解】由平面向量的数量积的定义，可得，，，即，所以在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15.已知为角的终边上的一点，且，则实数的值为____.【答案】【解析】【分析】由三角函数的定义，即可求解得值，得到答案.【详解】由三角函数的定义可知，解得，又由，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.16.若函数在内有两个不同的零点，则实数的取值范围是____.【答案】或【解析】【分析】由题意，，令，，把原函数转化为有两个不同的零点，进而转化为方程在上有唯一的实根或在上有两相等的实根，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数令，，则原函数转化为有两个不同的零点，则转化为函数在(0,1)上有唯一的零点即转化为方程在(0,1)上有唯一的实根或在(0,1)上有两相等的实根转化为函数，与函数有唯一交点得或所以或【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据题意令，把原函数转化为有两个不同的零点，进而转化为方程在(0,1)上有唯一的实根或在(0,1)上有两相等的实根，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17.已知为的外心，，若（），则的取值范围是___. 【答案】【解析】【分析】法一：设圆的半径为，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，得到，进而可求解其取值范围.法二，由奔弛定理和向量的运算，得，进而得，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】法一：设圆的半径为，如图所示建立平面直角坐标系，则所以易得，所以法二，由奔弛定理，由已知转化为：又，所以变形为于是所以，得.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，把转化为三角函数的运算，合理利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知，，.（Ⅰ）求与的夹角；（Ⅱ）当为何值时，与垂直？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的数量积的运算，列出方程，求得，即可求解结果.（2）由，利用向量的数量积的运算，即可求解.【详解】（1）由题意，根据向量的运算，得，解得：，.（2），..解得.时，与垂直.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的化简、运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在的单调递增区间.【答案】（1）函数的最小正周期是（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的公式，化简，利用周期的公式，即可求解函数的最小正周期；（2）由，根据三角函数的性质，得到，即可得到函数的递增区间.【详解】（1）由题意，函数，则，即函数的最小正周期是.（2），.，.所以函数在的单调递增区间是.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20.设，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：根据两角和的正切函数的公式，化简得，在根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解；法二：令，求得，利用三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解；（2）由三角函数的基本关系式，求得，再由两角和的正弦、余弦函数的公式，求得，的值，进而可求解.【详解】（1）法一：，法二：令，则，.（2），，，，，..【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式、基本关系式，以及两角和的正弦、余弦函数、倍角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.21.已知和的夹角为，且满足，.（Ⅰ）求所有满足条件的所组成的集合；（Ⅱ）设函数，，对于集合中的任意一个，在集合中总存在着一个，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的数量积的公式，求得，进而根据题设条件，得到，即可求解所组成的集合A，得到答案；（2）根据三角恒等变换的公式，化简，令，得到函数，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，根据向量的数量积的运算，可得，；，，得，，故所求集合；（2）由题意，根据三角恒等变换的公式，得；令，，，；由题意，得，.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算公式、合理化简，以及利用三角函数的图象与性质，转化为二次函数的应用求解是解答的关键，着重考查了转化思想、换元思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.22.已知实数，，，若向量满足，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若在上为增函数.（1）求实数的取值范围；（2）若对满足题意的恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）设，根据向量的数量积的运算，求得，进而得到和，即可得到向量的坐标；（Ⅱ）（1）根据向量的模的运算，求得，又由函数在上为增函数，得到也是增函数，得到，即可求解得取值范围；（2）由恒成立，转化为对恒成立，进而转化为对恒成立，即可求解.【详解】（Ⅰ）设，由得，又，，所以，即，得，又，所以，故或（Ⅱ）（1）根据向量的模的公式，得化简得；在上为增函数在上为增函数，即，解得，；，（2）对恒成立，对恒成立即对恒成立，；解得.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式的应用，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据向量的数量积的运算公式和向量的模的运算公式，合理运算、化简，转化为与二次函数相关的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了转化思想，换元思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海区镇海中学高一上学期期中考试数学试题
2018-2019学年浙江省宁波市镇海区镇海中学高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合}{1,2,3,4,5,6U =，}{1,4,5S =，}{2,3,4T =，则()U S C T ⋂的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】 【分析】先求出U C T ，再求()U S C T ⋂中元素的个数，进而求出子集的个数。
【详解】由题可得{}1,5,6U C T =，所以(){}1,5U S C T ⋂=，里面有2个元素，所以子集个数为224=个 故选D【点睛】本题考查集合的基本运算，子集的个数为2n 个，n 指元素个数2.已知α是锐角，那么2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第一象限角或第二象限角 C. 第二象限角 D. 小于180的正角【答案】D【解析】 【分析】根据α是锐角求出2α的取值范围，进而得出答案。
【真题】2017-2018年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期末数学试卷与答案
2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x2．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．33．（5分）直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）A．0°＜φ≤30°B．0°＜φ≤90°C．30°≤φ≤90°D．30°≤φ≤180°4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β6．（5分）椭圆M：长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若•=0且•=0，则动点Q在下列哪种曲线上（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．（5分）如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π8．（5分）在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣=1的焦距为，渐近线方程为．10．（6分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是命题（填“真”或者“假”）；否命题是命题（填“真”或者“假”）．11．（6分）已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=1，则PB 与平面PAC所成角的正弦值为．若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是．12．（6分）已知A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，则|QF|=．13．（4分）过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线有条．14．（4分）已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若，则双曲线的离心率为．15．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点D（﹣2，1）为中点的弦MN所在的直线方程．17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E，F，G分别是CC1，BC，AB1的中点．（Ⅰ）求证：①FG∥平面ACC1A1；②B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求直线GF与平面AEF所成角．18．（15分）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．19．（15分）抛物线y2=2px，p＞0，F为抛物线的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），a＞0，m=||+||．（Ⅰ）证明：a是p，m的等差中项；（Ⅱ）若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．20．（14分）已知椭圆E：的左、右顶点分别为A，B，M，N是椭圆E 上异于A，B的两点，直线AM，BN交于点P（4，t）．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记△PMN，△PAB的面积分别是S1（t），S2（t），求的最小值．2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7p=14∴抛物线方程为y2=28x故选：D．2．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．3【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．3．（5分）直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）A．0°＜φ≤30°B．0°＜φ≤90°C．30°≤φ≤90°D．30°≤φ≤180°【解答】解：如图，设a∩α=A，a在平面α内的射影为b′，在平面α内过A与b′垂直的直线为b″，b是平面α内与a异面的直线，当b∥b′时，a与b的角最小为30°，当b∥b″时，a与b的角最大为90°．∴30°≤φ≤90°．故选：C．4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【解答】解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n'与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；对于D，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选：A．6．（5分）椭圆M：长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若•=0且•=0，则动点Q在下列哪种曲线上（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为，∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）∴=（x+a，y），=（m+a，n）∵•=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣…①同理根据•=0，可得m﹣a=﹣…②①×②，可得m2﹣a2=．…③∵点P（m，n）是椭圆上的动点，∴，整理得n2=（a2﹣m2），代入③可得：m2﹣a2=（a2﹣m2）•，化简得此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选：B．7．（5分）如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π【解答】解：如图，在α内射线OA上取点A，过A作交线l的平行线AB交射线OB于点B，过A作AA′⊥β，垂足为A′，过B作BB′垂直于β，垂足为B′，连接A′B′，则有AB ∥A′B′，且AB=A′B′，设OA=a，OB=b，AB=c，则OA′＜a，OB′＜b，∵∠AOB为钝角，∴a2+b2＜c2，则（OA′）2+（OB′）2＜a2+b2＜c2=（A′B′）2，在△A′OB′中，由余弦定理可得∠A′OB′＞∠AOB为钝角．∴∠AOB+∠AOA′＞π．∴错误的选项是C，故选：C．8．（5分）在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（）D．（）【解答】解：∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵sin∠F1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．∴可得：e==．因此e．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．综上可得：．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣=1的焦距为6，渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，且a=，b==2，则c==3，则双曲线的焦距2c=6，渐近线方程为y=±x；故答案为：6，y=±x．10．（6分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是假命题（填“真”或者“假”）；否命题是真命题（填“真”或者“假”）．【解答】解：命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是“若a2≥4，则a ＞2“，是假命题．命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是“若实数a满足a＞2，则a2≥4，是真命题．故答案为假；真．11．（6分）已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=1，则PB与平面PAC所成角的正弦值为．若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是．【解答】解：如图，取AC中点O，连接BO，PO，∵△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC∴BO⊥AC，∴BO⊥平面APC∴则PB与平面PAC所成角是∠BPO，可得BO=，PB=∴sin∠BPO==．如图，建立空间直角坐标系，易得AD与PC的交点H为PC中点，A（0，0，0），B（，，0），C（0，1，0），H（0，，）=（0，，），=（﹣，，0）cos=，故答案为：，．12．（6分）已知A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是x2=4y（x ≠±1）．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，则|QF|=．【解答】解：设M（x，y），∵A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，∴k AM﹣k BM=﹣=，整理，得点M的轨迹C的方程是x2=4y（x≠±1）．∵点F为轨迹C的焦点，∴F（0，1），P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，作QM⊥y轴于M点，作PN⊥y轴于N点，则=，∴MF=，∴Q（，），∴|QF|==．故答案为：x2=4y（x≠±1），．13．（4分）过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线有4条．【解答】解：如图所示，设过正四面体ABCD的中心为P．则过点P且与平面ABC平行的平面EFG分别与平面ABD，平面ACD相交于直线EF，EG．则直线EG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线．因此过点P与直线EG平行的直线满足条件．同理直线FG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线．因此过点P与直线FG平行的直线满足条件．同理：通过作与ACD平面平行的平面，可得两条满足条件的直线．即符合题意的平面有4条．故答案为：4．14．（4分）已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若，则双曲线的离心率为或．【解答】解：双曲线的两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为•=ab，即=ab，又点P（x0，y0）满足双曲线的方程，∴b2x02﹣a2y02=a2b2，∴=ab，即2a2+2b2=5ab，∴b=2a或b=a，则e===或，故答案为：或．15．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=（3﹣4）：4．【解答】解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）.=（2，0，0）．设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则，．即，，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴=，，．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，∴cos＜＞==．即，解得b=．==．∴S△ADQS梯形ABCD﹣S△ADQ=﹣=．∵S1＜S2，∴S1=﹣，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．故答案为（3﹣4）：4．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点D（﹣2，1）为中点的弦MN所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，故，即，解得b=c，又，解得，故椭圆C的方程为；（Ⅱ）因为点D（﹣2，1）在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN的方程为y=k（x+2）+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程得（2k2+1）x2+（8k2+4k）x+8k2+8k﹣8=0，故，解得k=1，故直线MN的方程为y=x+3．17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E，F，G分别是CC1，BC，AB1的中点．（Ⅰ）求证：①FG∥平面ACC1A1；②B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求直线GF与平面AEF所成角．【解答】解：（Ⅰ）证明：①如图1，连接A1B，则A1B∩AB1=G．连接A1C，∵F，G分别是BC，AB1的中点，∴GF∥A1C．且GF⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1．∴FG∥平面ACC1A1；②等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，∴AF⊥BC又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴面ABC⊥面BB1C1C，∴AF⊥面C1B，∴AF⊥B1F设AB=AA1=1，∴，EF=，，∴B1F2+EF2=B1E2，∴B1F⊥EF又AF∩EF=F，∴B1F⊥面AEF．解：（Ⅱ）如图以A为原点，建立空间直角坐标系，设AB=AA1=1，则A（0，0，0），E（0，1，），F（），G（）．设面AEF得法向量为，则由，可得=（1，﹣1，2）．cos==．直线GF与平面AEF所成角的正弦值为，∴直线GF与平面AEF所成角．18．（15分）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．∵平行四边形ABCD⊥平面CDE∴AH⊥平面CDE又∵DE⊂平面CDE∴AH⊥DE…①由已知AD⊥DE…②，AH∩AD=A…③由①②③得，DE⊥平面ABCD；…（7分）解：（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．由（Ⅰ）得DE⊥平面ABCD，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCD．∴CM⊥AE，又∵CN垂直AE，且CM∩CN=C．∴AE⊥平面CMN，得角CNM就是所求二面角的一个平面角．又∵，，∴所求二面角的余弦值为．…（8分）19．（15分）抛物线y2=2px，p＞0，F为抛物线的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），a＞0，m=||+||．（Ⅰ）证明：a是p，m的等差中项；（Ⅱ）若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则m=||+||=x1+x2+p．又线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），∴|DA|=|DB|，即，∵x1≠x2，∴x1+x2﹣2a=﹣2p，即x1+x2=2a﹣2p，∴，即，∴a是p，m的等差中项．（Ⅱ）∵m=3p，∴a=2p．设A（2pt2，2pt），D（2p，0），则圆心为O′（p+pt2，pt），设直线l的方程为x=n，设R为圆的半径，d为圆心O′到l的距离，则R2﹣d2为定值，又R2﹣d2=[（2pt2﹣2p）2+（2pt）2]﹣（p+pt2﹣n）2=p2[（t2﹣1）2+t2]﹣（p+pt2﹣n）2=﹣3p2t2+2np+2npt2﹣n2=（2np﹣3p2）t2+（2np﹣n2）∴2np﹣3p2=0，即n=，∴直线l的方程为x=．20．（14分）已知椭圆E：的左、右顶点分别为A，B，M，N是椭圆E 上异于A，B的两点，直线AM，BN交于点P（4，t）．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记△PMN，△PAB的面积分别是S1（t），S2（t），求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x 0，y0），N（x0，﹣y0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立得：，由，解得：，代入直线AM可得t=±3；（Ⅱ）将直线AM的方程为，代入椭圆的方程并整理得：（t2+27）x2+4t2x+（4t2﹣108）=0，解得，直线NB的方程为，代入椭圆的方程并整理得：（t2+3）x2﹣4t2x+（4t2﹣12）=0，解得，所以==，当，即t=±3时，．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
浙江省宁波市镇海中学2019年高一下开学考数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）开学数学试卷（2月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知函数()2,33,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则的值为（ ）A.1B.2C.3D.3-【答案】B【解析】解：函数()2,33,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，()12f ∴=，，()5532f =-=，. 故选：B.推导出()12f =，，()5532f =-=，由此能求出.本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2.已知集合{}0lg 2lg 3P x x =<<，，则P Q 为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】解：，；()1,2P Q ∴=.故选：D.可解出集合P ，Q ，然后进行交集的运算即可.考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，分式不等式的解法，以及交集的运算. 3.下列函数的周期不为π的是（ ）A.2sin y x =B.y =C.D.cos cos y x x =+【答案】D【解析】解：函数21cos 2sin 2x y x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件；函数tan y x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D.由题意根据三角函数的周期性，得出结论. 本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题.4.已知()4,3a =，()5,12b =-则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A.165-B.C.1613-D.【答案】C 【解析】解：()4,3a =，()5,12b =-，，则向量a 在b 方向上的投影为1613a b b⋅-=， 故选：C.由向量a 在b 方向上的投影为，根据向量数量积的性质的坐标表示代入可求. 本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题. 5.下列关系正确的是（ ） A. B.0cos8sin1tan 2<<< C. D.【答案】C【解析】解：1是第一象限，sin10∴>，2是第二象限，tan 20∴<，且，()cos8cos 82π=-，82π-是第二象限，，， 故选：C.根据三角函数的图象和函数值的关系，分别判断角2，1，8的象限即可. 本题主要考查三角函数值的大小比较，利用条件判断角的象限是解决本题的关键.6.若非零向量a ，b 满足a b b +=，则（ ） A.22a a b >+ B.22a a b <+C.22b a b >+D.22b a b <+【答案】C 【解析】解：， ，b 是非零向量， 必有，上式中等号不成立.22b a b ∴>+，故选：C.本题是对向量意义的考查，根据进行选择，题目中注意2a b a b b +=++的变化，和题目所给的条件的应用.大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化. 7.在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cos C =（ ） A.1665-B.5665- C.1665±D.5665±【答案】A 【解析】解：B 为三角形的内角，3cos 05B =>，B ∴为锐角，4sin 5B ∴=，又5sin 13A =， sin sinB A ∴>，可得A 为锐角，， 则. 故选：A.由B 为三角形的内角，以及cos B 的值大于0，可得出B 为锐角，由cos B 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，由的值大于sin A 的值，利用正弦定理得到b 大于a ，根据大角对大边可得B 大于A ，由B 为锐角可得出A 为锐角，再sin A ，利用同角三角函数间的基本关系求出cos A 的值，最后利用诱导公式得到()cos cos C A B =-+，再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值.此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.8.向量a ，b 满足2a b a b ==⋅=，当实数1t ≥时，向量a 和的夹角范围是（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】解：由2a b a b ==⋅=， 得a ，b 的夹角为3π， 不妨设，OB b =，()1OC tb t =≥， 不妨设()1OC tb t =≥， 则点C 在OB 的延长线上运动， 向量a 和的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2,33OAC ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B.由共线向量得：不妨设()1OC tb t =≥，则点C 在OB 的延长线上运动，由数量积表示两向量的夹角得：向量a 和的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2,33OAC ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，得解 本题考查了共线向量、数量积表示两向量的夹角，属中档题 9.已知函数对任意x R ∈都满足，则函数的最大值为（ ）A.5B.3【答案】C【解析】解：函数对任意x R ∈都满足，()f x ∴的图象关于直线4x π=对称，，解得1a =.= 故选：C.由题意可得4f π⎛⎫⎪⎝⎭=1a =，可得函数，从而得到()g x 的最大值. 本题考查三角函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用. 10.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当()0,2x ∈时，，且2x ≥时，有()()122f x f x =-，则函数在上的零点个数为（ ） A.9 B.8C.7D.6【答案】B【解析】解：当()0,2x ∈时，，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有()()122f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则， 即，()2,0x ∈- 即当时，，当24x ≤≤时，，此时， 当时，，此时， 由，得：当0x =时，由()00F =，即0x =是()F x 的一个零点， 当0x ≠时，由()20x f x x -=得()1xf x =，即()1f x x=， 作出函数()f x 与()1g x x=在，上的图象如图： 由图象知两个函数在上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数在上的零点个数为8个， 故选：B.根据函数奇偶性和递推关系，分别取出()f x 在上解析式和图象，利用数形结合确定两个图象的交点个数即可.本题主要考查函数与方程的应用，利用函数奇偶性和递推关系求出函数的解析式和图象，利用函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大，有一定的难度. 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）11.函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】【解析】解：函数，，故把函数cos y x x =的图象至少向左平移个单位，可得sin y x x =的图象， 故答案为：.利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论. 本题主要考查两角和差的三角公式，函数的图象变换规律，属于基础题.12.函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调递减区间为________.【答案】【解析】解：函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭，210x x ∴--≥，求得12x ≤12x ≥， 故函数的定义域为，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间， 再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为， 故答案为：.先求出函数的定义域，再利用二次函数、指数函数的性质可得，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得结论.本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，属于中档题.13.已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则的值为________. 【答案】 【解析】解：sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈，sin 0α∴>，cos 0α<，则.联立，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-. 则.故答案为：.由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α的值，则的值可求.本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题. 14.已知2a b +=，4a b -=，则a b +的范围是________. 【答案】【解析】解：设a m =，b n =，,a b θ=.2a b +=，4a b -=， 2222cos 4m m n mn θ∴++=， 222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则， 的范围是. 故答案为：.设a m =，b n =，,a b θ=.根据2a b +=，4a b -=，可得2222cos 4m m n mn θ++=，222cos 16m n mn θ+-=，利用向量三角形法则、基本不等式的性质即可得出.本题考查了向量三角形法则、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15.在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，，则sin ADC ∠=________，AC =________.【答案】 【解析】解：1AB =，5AD =，，在ABD ∆中，由正弦定理可得：1sin 2sin 510AB ABCADB AD⋅∠∠===. sin sin ADC ADB ∴∠=∠=. 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：225121BD BD =+-⨯⨯2240BD -=，解得：BD =-2BC BD ∴==由余弦定理可得： ，由已知在ABD 中，利用正弦定理可得，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD 中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值.本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题.16.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有，且()11f =，则不等式的解集为________. 【答案】【解析】解：根据题意，设， 若函数()f x 满足对任意12x x <，有， 则，则函数()g x 在R 上为增函数， 又由()11f =，则， ，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为； 故答案为：.根据题意，设，将变形可得，分析可得函数()g x 在R 上为增函数，结合()1f 的值可得()1g 的值，则可以转化为()()2log 311xg g -<，进而可得2log 311312x x -<⇒-<，解可得x 的值，即可得答案.本题考查函数单调性的判断，关键是构造新函数，并分析函数的单调性，属于综合题. 17.在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，，则________.【答案】【解析】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则，，()5cos60,5sin60C ︒︒，即52C ⎛ ⎝⎭； 又，110HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ， 则H的纵坐标11024y HE ==⨯=； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ，则1sin602HF AB =⨯⨯︒=设，则sin HA α=，…① ()sin 60HA α︒-=，…②，即1sin 224sin ααα-=，求得sin tan cos ααα==点H的横坐标9tan 4HE x AE α====，9,44H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，9,4HA ⎛∴=- ⎝⎭，14HC ⎛= ⎝⎭，91944HA HC ⎛∴⋅=-⨯+=- ⎝⎭. 故答案为：根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标， 再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积.本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是难题. 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=（Ⅰ）求； （Ⅱ）求2αβ+.【答案】解：（Ⅰ）α，β为锐角，且1sin tan7cos ααα==，22sin cos 1αα+=，sin 10α∴==，cos10α==.sin β=cos β∴==，求()sin sin cos cos sin 101010105αβαβαβ+=+=⋅+=. （Ⅱ）3sin 22sin cos 5βββ∴==，24cos 22cos 15ββ=-=，2β∴还是锐角，02αβπ∴<+<.()43cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ∴+=-=-=， 24παβ∴+=.【解析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得α的正弦、余弦，再求出β的余弦，利用两角和的正弦公式求出的值.（Ⅱ）先求出2αβ+的余弦值，再根据2αβ+的范围，求出2αβ+的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的三角公式，二倍角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题.19.已知，()2,2b =-，，. （Ⅰ）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +，求x 的值； （Ⅱ）是否存在实数k 和x ，使？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】解：()2,2b =-，，()sin 1,1b c x ∴+=--，()//a b c +，()2sin sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-， ， 6x π∴=-.（Ⅱ）()3sin ,1a d x k +=++，()sin 1,1b c x +=--若，则即，，[]sin 10,2x +∈，()2sin 15x +-，x R ∈，，[]5,1k ∈--， 存在[]5,1k ∈--使.【解析】（Ⅰ）先根据()2,2b =-，，求出的坐标，再根据()//a b c +，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（Ⅱ）先假设存在实数k 和x ，使，则可得，再用向量数量级积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则，不存在.本题考查了向量共线以及向量平行的充要条件，两者不要混淆.20.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知.（1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围.【答案】（本题满分为12分）解：（1），由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，整理可得：，02sin cos sin B A B ∴=+，sin 0B >， 可得：1cos 2A =-， ()0,A π∈，23A π∴= 6分 2a =，23A π=， ，3c C ∴=，3b B =， 7分 设周长为y ，则y a c b =++2sin 33B C =++22cos B B =+， 8分 ， 9分 03B π<<，，，223y B π⎛⎤⎛⎫∴=++∈+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 周长的取值范围是. 12分【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cos A ，结合A 的范围可求A 的值.（2）由正弦定理可求3c C =，3b B =，设周长为y ，利用三角函数恒等变换的应用化简得，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围.本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题.21.已知定义在上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数，若对于任意的1x ，[]22,2x ∈-，都有成立，求实数a 的取值范围.【答案】解：（1）根据题意，设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，从而()f x x -=+因为()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数，所以()()f x f x x =-=+因此，()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ （2）因为对任意1x ，[]22,2x ∈-，都有成立，所以()()max min g x f x <又因为()f x 是定义在上的偶函数.所以()f x 在区间和区间上的值域相同.当[]2,0x ∈-时，()f x x =+设t =，则函数化为223y t t =+-，，则()min 0f x =又所以20a -<即2a <，因此，a 的取值范围为02a <<.【解析】（1）根据题意，设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，由函数的解析式可得()f x -的解析式，进而利用函数奇偶性的性质分析可得()f x 的表达式，综合即可得答案；（2）根据题意，求出函数()f x 的最小值与()g x 的最大值，分析可得()()min max f x g x >，解即可得答案. 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，注意将恒成立问题转化为函数的最值问题.22.已知向量，，且函数()f x a b =⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π.（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（）2若函数()12x G x m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭在上恰有两个零点，求实数m 的取值范围. 【答案】解：， 函数()f x a b =⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π， 22T π∴=，得T π=， 即22T ππω==，得1ω=， 即.则，（2）函数，得162m x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 当时，， 当且62x ππ-≠时，sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭才有两个交点， 此时，则，，即0622x π⎛⎫≤--< ⎪⎝⎭，111622x π⎛⎫-≤---<- ⎪⎝⎭，即11m -≤<-， 即实数m 的取值范围是.【解析】（1）根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可.（2）求出函数()G x 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可.本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简是解决本题的关键.运算量较大.。
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
镇海中学2018学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或，即或则本题正确选项：【点睛】本题主要考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.设，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又本题正确选项：【点睛】本题考查与对数函数有关的比较大小类问题，属于基础题.3.曲线在点（1，0）处切线的倾斜角为，则（）A. 2B.C. -1D. 0【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得本题正确选项：【点睛】本题考查导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.4.已知定义在R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数不一定存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。
又为的子集，则区间有零点，则区间也必有零点；上有零点，则上必有零点；由此可得结果.【详解】由题意可得：在上必有零点又，在上必有零点在上必有零点又，在上必有零点在上不一定存在零点本题正确选项：【点睛】本题主要考查零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.5.已知函数，若，则（）A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析】【分析】判断的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得：即定义域为，关于原点对称又可得：为奇函数本题正确选项：【点睛】本题考查通过函数奇偶性求函数值。
关键在于判断出函数的奇偶性，要注意判断函数奇偶性首先要确定函数定义域是否关于原点对称，再判断与的关系.6.在，，这三个函数中，当时，恒成立的函数的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：函数只有在区间上的函数图象是上凸型的，才能满足＞，由于函数和在区间上的函数图象是都下凹型的，故不满足条件，函数在区间上的函数图象是上凸型的，满足条件，故选选B．考点：函数的图象与性质．7.已知函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定定义域后，可知函数在定义域内单调递增；根据零点存在定理，求得的取值范围.【详解】①当时，在上单调递增又，只需，函数存在零点即②当时，在上单调递增函数值域为，函数存在零点综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查函数的单调性与零点问题，关键在于通过对于函数单调性的判断，得到函数值域，从而根据零点存在定理解决问题.8.函数存在两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求解出，将在上有两个不等实根，转化为二次函数图像与轴有两个交点，通过二次函数图像得到不等式，求解出的范围.【详解】由题意得：设，又，可知存在两个不同的极值点等价于在上存在两个不同零点由此可得：，即本题正确选项：【点睛】本题考查导数与极值的关系，解题关键在于通过求导将极值点个数问题转化为二次函数在区间内的零点个数问题，确定二次函数图像主要通过以下三个方式：①判别式；②对称轴；③区间端点值符号.9.已知函数，则“”是“的值域与的值域相同”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过求得函数的值域；再根据的值域，求得值域.【详解】①当时，可得：值域为设，则，当时，可得：值域为②由题意可知，值域为设，则，当即时，值域为即时，与值域相同当即时，值域为若与值域相同，则，不合题意综上所述：若与值域相同，则由此可知，“”是“与值域相同”的充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充要条件的判断，解题关键是正确区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件的结论.10.已知函数，记，当时，，则对于下列结论正确的是（）A. 在单调递增B. 单调递减C. 在单调递减，单调递增D. 在单调递增，单调递减【答案】A【解析】判断出的单调性，利用复合函数单调性推得结果.【详解】在上单调递增又，与在上单调递增根据复合函数单调性可知：在上单调递增又，与在上单调递增根据复合函数单调性可知：在上单调递增以此类推，可知在上单调递增本题正确选项：【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，关键在于明确复合函数单调性遵循“同增异减”的原则.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共7小题。
浙江省宁波市镇海区镇海中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题(含解析)
镇海中学2018学年第一学期期中考试高一年级数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合}{1,2,3,4,5,6U =，}{1,4,5S =，}{2,3,4T =，则()U S C T ⋂的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】 【分析】先求出U C T ，再求()U S C T ⋂中元素的个数，进而求出子集的个数。
【详解】由题可得{}1,5,6U C T =，所以(){}1,5U S C T ⋂=，里面有2个元素，所以子集个数为224=个 故选D【点睛】本题考查集合的基本运算，子集的个数为2n 个，n 指元素个数2.已知α是锐角，那么2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第一象限角或第二象限角 C. 第二象限角 D. 小于180的正角【答案】D 【解析】 【分析】根据α是锐角求出2α的取值范围，进而得出答案。
【详解】因为α是锐角，所以02πα<< ，故02απ<<故选D.【点睛】本题考查象限角，属于简单题。
3.下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( )A. 12()(0)x x =-≥13(0)x x =≤C. 340)xx -=>D. 130)xx -=≠【答案】C 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂的关系化简计算即可。
【详解】12(0)x x =-≥，故A 错13x =，故B 错130)xx -=≠，故D 错 所以选C【点睛】本题考查根式与分数指数幂的化简计算，属于基础题。
4.设0.3113211log 2,log ,()32a b c ===，则（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<【答案】D 【解析】试题分析：根据我们所学的指数函数和对数函数的性质可知，1133log 2log 10a =<=，112211log log 132b =>=，0.30110()()122c <=<=，因此可知a c b <<，故选B. 考点：对数函数性质点评：解决的关键是对于不同底数的对数和指数式比较大小，一般找中间量即可，1,0为常用的常数,属于基础题。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期中数学试卷附答案
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1．（4分）直线x﹣y﹣1＝0的倾斜角大小（）A ．B ．C ．D ．2．（4分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7＝450，则a5＝（）A．45B．90C．180D．3003．（4分）若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A ．B．|a|＞b C．a2＞b2D ．4．（4分）函数的值域为（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．R5．（4分）直线3x+4y+5＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为（）A．1B．2C ．D ．6．（4分）已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（）A．300B．298C．296D．2947．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n 项和，若，则＝（）A ．B．﹣1C．1D．28．（4分）已知a＞b＞c，2a+b+c＝0，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9．（4分）若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2与两条直线y＝x和y＝﹣x都有公共点，则实数a的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10．（4分）若函数f（x）＝x|x﹣2a|﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）第1页（共14页）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）倾斜角为120°，在y轴上的截距为1的直线l的方程为；直线ax+y+1＝0与直线l垂直，则a＝．12．（6分）直线l1：2mx+（m﹣2）y+4＝0（m∈R）恒过定点；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为．13．（6分）若实数x，y 满足约束条件，则点A（x，y）构成的区域面积为；点B（x+y，x﹣y）构成的区域面积为．14．（6分）已知，则＝；x+2y的最小值为．15．（4分）已知数列{a n}满足，则a n＝．16．（4分）一条光线从点（﹣2，1）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为．17．（4分）已知首项为a1，公比为q的等比数列{a n}满足q4+a4+a3+a2+1＝0，则首项a1的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分18．已知直线l经过点P（1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若A（1，﹣1），B（3，1）两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．19．已知x，y 满足约束条件．（1）求目标函数z＝x﹣3y的最值；（2）当目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取得最大值5时，求a2+b2的最小值．20．已知过点P（0，1）的直线与圆C：x2+y2+6x﹣2y+6＝0相交于A，B两点．（1）若|AB|＝2，求直线AB的方程；（2）设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程．21．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a5＝9，数列{b n}满足b1＝2，．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；第2页（共14页）。
浙江省宁波市镇海中学2018届高三上学期期末数学考试试题带答案
浙江省宁波市镇海中学2018届高三上学期期末考试数学试题参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若抛物线的准线方程为7x =-, 则抛物线的标准方程为（ ） A ．228x y =- B ． 228x y = C ．228y x =-D ．228y x =2．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且， 则等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．直线a 与平面所成角的为30o ，直线b 在平面内，且与b 异面，若直线a 与直线b 所成的角为，则( )A ．0º<≤30ºB ．0º<≤90ºC ．30º≤≤90ºD ．30º≤≤180º 4．设,a b 为向量，则“||||||a b a b ⋅=”是“//a b ”( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A ．若，且，则 B ．若，且，则C ．若，且，则D ．若，且//m β，//n β，则22:1916x y E -=12,F F P E 13PF =2PF ααϕϕϕϕϕm n ⊥6．椭圆M :)0(12222>>=+b a by a x 长轴上的两个顶点为A 、B ，点P 为椭圆M 上除A 、B外的一个动点，若0QA PA ⋅=且0QB PB ⋅=，则动点Q 在下列哪种曲线上运动( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．如图，小于90︒的二面角l αβ--中，O l ∈，,A B α∈，且AOB ∠为钝角，''A OB ∠是AOB ∠在β内的射影，则下列结论错误．．的是（ ）A ．''A OB ∠为钝角 B ．''A OB AOB ∠>∠C ．'πAOB AOA ∠+∠<D ．''πB OB BOA AOA ∠+∠+∠>8．已知点P 在以12,F F 为左右焦点的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A ．15⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．15⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．双曲线22154x y -=的焦距为 __ ，渐近线方程为__ ． 10．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的逆否命题是 命题（填“真”或者“假”）；否命题是 命题（填“真”或者“假”）．11．已知ABC ∆是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且1PA =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为________．若点A 关于直线PC 的对称点为D ，则直线AD 与BC 所成角的余弦值是________．12．已知11(1,),(1,)44A B -，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是12，则点M 的轨迹C 的方程是___________．若点F 为轨迹C 的焦点，P 是直线:1l y =-．上的一点，Q 是直线PF 与轨迹C 的一个交点，且3FP FQ =，则_____QF =．13．过正四面体ABCD 的中心且与一组对棱AB 和CD 所在直线都成60°角的直线有________条．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P 到两渐近线的距离分别为12,d d ，若1225d d ab =，则双曲线的离心率为_________． 15．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=，112PA AB BC AD ====，BC //AD ，已知Q 是四边形ABCD 内部一点，且二面角Q PD A --的平面角大小为π4，若动点Q 的轨迹将ABCD 分成面积为1212,()S S S S <的两部分，则12:S S =_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分15分）已知从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ．又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP ，1||F A ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 中，求以点(2,1)D -为中点的弦MN 所在的直线方程．17．（本小题满分15分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，,,E F G 分别是11,,CC BC AB 的中点．（Ⅰ）求证：①//FG 平面11ACC A ；②平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角．18．（本小题满分15分）如图，平行四边形ABCD ⊥平面CDE ，4AD DC DE ===，060ADC ∠=，AD DE ⊥．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角C AE D --的余弦值的大小．111ABC A B C -1AA ⊥ABC ABC ∆90BAC ∠=1AB AA=1B F ⊥AEF GFAEF19．（本小题满分15分）抛物线22y px =，0p >，F 为抛物线的焦点，,A B 是抛物线上两点，线段AB 的中垂线交x 轴于(,0)D a ，0a >，||||m AF BF =+。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合M={x|x2-x≥0}.N={x|x≥2}.则M∩N=（）A.∅B.{x|x≥1}C.{x|x≥2}D.{x|x≥1或x≤0}2.（单选题.4分）设a=ln10.b=ln100.c=（ln10）2.则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a3.（单选题.4分）曲线y=x3-x在点（1.0）处切线的倾斜角为α.则tanα=（）A.2B. −43C.-1D.04.（单选题.4分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续的.且其中的四组对应值如下表.那么在下列区间中.函数f（x）不一定存在零点的是（）B.[1.3]C.[2.5）D.（3.5）5.（单选题.4分）已知函数f（x）=（e x+e-x）ln 1−x.若f（a）=1.则f（-a）=（）1+xA.1B.-1C.-2D.36.（单选题.4分）在y=2x.y=log2x.y=x2这三个函数中.当0＜x1＜x2＜1时.使f(x1+x2)＞2f(x1+x2)恒成立的函数的个数是（）2A.0个B.1个C.2个D.3个在（0.+∞）上存在零点.则实数a的取值7.（单选题.4分）已知函数f（x）=ln（x+a）-e-x+ 12范围是（）A. (−∞)√eB.√e)√eC. (−∞，√e))D. (−√e，√e存在两个不同的极值点x1.x2.则实数a的取值范8.（单选题.4分）函数f（x）=ln（x+a）- xx+1围是（）A. (3，1)∪(1，+∞)4B.（0.+∞）C.（-∞.0）D. (−∞，3)49.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-2x+a.则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-x+1.记f1（x）=f（x）.当n≥2时.f n（x）=f n-1（f （x））.则对于下列结论正确的是（）A.f5（x）在(1，+∞)单调递增2B.f5（x）在(1，+∞)单调递减2C.f5（x）在(1，1)单调递减.（1.+∞）单调递增2D.f 5（x ）在 (12，1) 单调递增.（1.+∞）单调递减11.（填空题.6分）i 是虚数单位.设z= 1−i1+i +2i.则z=___ .|z|=___ ．12.（填空题.6分）已知函数f （x ）= {3x +2，x ＜12x，x ≥1 .则f （0）=___ .f （f （0））=___ ．13.（填空题.6分）设条件p ：|x|≤m （m ＞0）.q ：-1≤x≤4.若p 是q 的充分条件.则m 的最大值为___ .若p 是q 的必要条件.则m 的最小值为___ ．14.（填空题.6分）已知函数f （x ）=ae x -lnx-1.设x=1是f （x ）的极值点.则a=___ .f （x ）的单调增区间为___ ．15.（填空题.4分）已知偶函数f （x ）对任意x∈R 都有f （x+6）-f （x ）=2f （3）.则f （2019）=___ ．16.（填空题.4分）函数f （x ）= {x 2，x ≥0−x 2，x ＜0.若对于在意实数x∈[-1.1].f （x+a ）≥4f （x ）.则实数a 的取值范围为___ ．17.（填空题.4分）已知函数f （x ）=sinx.若方程3（f （x ））2-f （x ）+m=0在 (0，5π6) 内有两个不同的解.则实数m 的取值范围为___ ．18.（问答题.14分）记函数f （x ）=ln （1-x 2）的定义域为M.g （x ）=lg[（x+a+2）（-x-a+1）]的定义域为N ．（1）求M ；（2）若M⊆N .求实数a 的取值范围．19.（问答题.15分）f （x ）=3x 2-2（1+a ）x+a ． （1）若函数f （x ）在[0.2]上的最大值为3.求a 的值；（2）设函数f （x ）在[0.2]上的最小值为g （a ）.求g （a ）的表达式．20.（问答题.15分）已知函数 f (x )=13x 3+12．（1）求曲线y=f （x ）在点 P (1，56) 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积； （2）若过点（2.a ）可作三条不同直线与曲线y=f （x ）相切.求实数a 的取值范围．21.（问答题.15分）已知函数f（x）=e x- 1ax2 -b．2（1）当a=1.b=1时.求f（x）在[-1.1]上的值域；（2）若对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.求a+b的最大值．22.（问答题.15分）已知a＞0.函数f（x）=e x+3ax2-2ex-a+1. （1）若函数f（x）在[0.1]上单调递减.求a的取值范围；（2）|f（x）|≤1对任意x∈[0.1]恒成立.求a的取值范围．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合M={x|x2-x≥0}.N={x|x≥2}.则M∩N=（）A.∅B.{x|x≥1}C.{x|x≥2}D.{x|x≥1或x≤0}【正确答案】：C【解析】：可求出集合M.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：M={x|x≤0.或x≥1}；∴M∩N={x|x≥2}．故选：C．【点评】：考查描述法的定义.一元二次不等式的解法.以及交集的运算．2.（单选题.4分）设a=ln10.b=ln100.c=（ln10）2.则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a【正确答案】：D【解析】：可以得出2＜ln10.从而得出2ln10＜（ln10）2.从而得出ln10＜ln100＜（ln10）2.从而得出a.b.c的大小关系．【解答】：解：∵2＜ln10；∴ln10＜ln100=2ln10＜（ln10）2；∴c＞b＞a．故选：D．【点评】：考查对数的运算.不等式的性质.对数函数的单调性．3.（单选题.4分）曲线y=x3-x在点（1.0）处切线的倾斜角为α.则tanα=（）A.2B. −43C.-1D.0【正确答案】：A【解析】：求得函数y的导数.由导数的几何意义.即可得到所求值．【解答】：解：y=x3-x的导数为y′=3x2-1.曲线y=x3-x在点（1.0）处切线的斜率为3-1=2.即tanα=2．故选：A．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率.考查导数的几何意义.属于基础题．4.（单选题.4分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续的.且其中的四组对应值如下表.那么在下列区间中.函数f（x）不一定存在零点的是（）B.[1.3]C.[2.5）D.（3.5）【正确答案】：D【解析】：由图表可得f（1）=3.f（2）=-1.f（3）=2.f（5）=0.然后结合函数零点的判定得答案．【解答】：解：由图表可知.f（1）=3.f（2）=-1.f（3）=2.f（5）=0．由f（1）•f（2）＜0.可知函数f（x）在（1.2）上一定有零点；则函数f（x）在[1.3]上一定有零点；由f（2）•f（3）＜0.可知函数f（x）在（2.3）上一定有零点.则函数f（x）在[2.5）上一定有零点；由f（3）＞0.f（5）=0.可知f（x）在（3.5）上不一定有零点．∴函数f（x）不一定存在零点的是（3.5）．故选：D．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查零点判定定理的应用.是中档题．5.（单选题.4分）已知函数f（x）=（e x+e-x）ln 1−x1+x.若f（a）=1.则f（-a）=（）A.1B.-1C.-2D.3【正确答案】：B【解析】：可看出f（x）是奇函数.从而由f（a）=1得出f（-a）=-1．【解答】：解：f(a)=(e a+e−a)ln1−a1+a=1；∴ f(−a)=(e−a+e a)ln1+a1−a =−(e−a+e a)ln1−a1+a=−1．故选：B．【点评】：考查奇函数的定义.以及对数的运算性质．6.（单选题.4分）在y=2x.y=log2x.y=x2这三个函数中.当0＜x1＜x2＜1时.使f(x1+x22)＞f(x1+x2)2恒成立的函数的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：B【解析】：先求出各个函数对应的f(x1+x22)，f(x1+x2)2.再利用指数函数的单调性及基本不等式比较两者的大小．【解答】：解：对于y=2x有f(x1+x22)= 2x1+x22f(x1+x2)2=2x1+x22= 2x1+x2−1∵0＜x1＜x2＜1.∴ x1+x22＞x1+x2−1∴ f(x1+x22)＞f(x1+x2)2恒成立对于y=log2x有f(x1+x22)= log2 (x1+x22) . f(x1+x2)2=log2( x1+x2)2= log2√x1+x2∵0＜x1＜x2＜1.∴ x1+x22＜ √x1+x2 .∴ f(x1+x22)＜f(x1+x2)2故选：B．【点评】：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．7.（单选题.4分）已知函数f（x）=ln（x+a）-e-x+ 12在（0.+∞）上存在零点.则实数a的取值范围是（）A. (−∞√e)B.√e√e)C. (−∞，√e)D. (−√e，√e)【正确答案】：C【解析】：当a＞0时.由函数f（x）在（0.+∞）上单调递增.可得要使函数f（x）在（0.+∞）上存在零点.则f（0）=lna- 12＜0.由此求得a的范围；当a≤0时.由函数f（x）在（-a.+∞）上单调递增.且函数f（x）的值域为（-∞.+∞）.可知f（x）在（0.+∞）上存在零点.取并集可得实数a的取值范围．【解答】：解：当a＞0时.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增.要使函数f（x）在（0.+∞）上存在零点.则f（0）=lna- 12＜0.即0＜a＜√e；当a≤0时.函数f（x）在（-a.+∞）上单调递增.此时函数f（x）的值域（-∞.+∞）.则f（x）在（0.+∞）上存在零点．综上可得.a∈（-∞. √e）．故选：C．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查对数函数的性质.体现了分类讨论的数学思想方法.属中档题．8.（单选题.4分）函数f（x）=ln（x+a）- xx+1存在两个不同的极值点x1.x2.则实数a的取值范围是（）A. (34，1)∪(1，+∞)B.（0.+∞）C.（-∞.0）D. (−∞，34)【正确答案】：A【解析】：运用导数求函数的极值可解决此问题．【解答】：解：f（x）的定义域是（-a.+∞）.f′（x）= 1x+a - x+1−x(x+1)2= 1x+a- 1(x+1)2= x2+x+1−a(x+a)(x+1)2.令h（x）=x2+x+1-a.若函数f（x）存在两个不同的极值点x1.x2.则x2+x+1-a=0在（-a.+∞）有2个不同的根.∴a2-a+1-a＞0 ①- 12＞-a ②1-4（1-a）＞0 ③① ② ③ 联立得34＜a＜1或a＞1．故选：A．【点评】：本题考查利用导数研究函数的极值．9.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-2x+a.则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：求出f（x）的单调区间和值域.从而得出f（x）的最大值与单调区间端点的关系.从而得出a的范围.再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】：解：函数f（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1.则函数f（x）的值域为[a-1.+∞）.且f（x）在（-∞.1）上为减函数.在（1.+∞）为增函数.∵f（f（x））的值域与f（x）的值域相同.∴a-1≤1.解得a≤2.故“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的充分不必要条件.故选：B．【点评】：本题考查了函数的单调性和最值.考查了转化方法、方程与不等式的解法以及充分必要条件.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．10.（单选题.4分）已知函数f（x）=x2-x+1.记f1（x）=f（x）.当n≥2时.f n（x）=f n-1（f （x））.则对于下列结论正确的是（）A.f5（x）在(12，+∞)单调递增B.f5（x）在(12，+∞)单调递减C.f5（x）在(12，1)单调递减.（1.+∞）单调递增D.f5（x）在(12，1)单调递增.（1.+∞）单调递减【正确答案】：A【解析】：根据题意.函数f1（x）=f（x）=x2-x+1=（x- 12）2+ 34.由二次函数的性质分析其单调性以及值域.由复合函数的单调性判断方法依次分析f2（x）、f3（x）、f4（x）、f5（x）的单调区间.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f1（x）=f（x）=x2-x+1=（x- 12）2+ 34.在（-∞. 12）上递减.在（12 .+∞）递增.且f（x）≥ 34；对于f2（x）=f1（f（x））.令t=f（x）.则t≥ 34 .则f2（x）在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.对于f3（x）=f2（f（x））.则f3（x）=f2（t）.t=f（x）.在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.且t≥ 34.而f2（x）在（12.+∞）递增.则f3（x）在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.对于f4（x）=f3（f（x））.则f4（x）=f3（t）.t=f（x）.在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.且t≥ 34.而f3（x）在（12.+∞）递增.则f4（x）在（-∞. 12）上递减.在（12.+∞）递增.对于f5（x）=f4（f（x））.则f5（x）=f4（t）.t=f （x ）.在（-∞. 12 ）上递减.在（ 12 .+∞）递增.且t≥ 34 . 而f 4（x ）在（ 12.+∞）递增.则f 5（x ）在（-∞. 12 ）上递减.在（ 12 .+∞）递增. 故选：A ．【点评】：本题考查复合函数的单调性的判断.涉及二次函数的性质.关键是掌握复合函数单调性判定的方法.属于基础题．11.（填空题.6分）i 是虚数单位.设z= 1−i1+i +2i.则z=___ .|z|=___ ． 【正确答案】：[1]i; [2]1【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简.再由复数模的计算公式求解．【解答】：解：∵z= 1−i1+i +2i= (1−i )2(1+i )(1−i)+2i =i .∴|z|=1． 故答案为：i ；1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础的计算题． 12.（填空题.6分）已知函数f （x ）= {3x +2，x ＜12x，x ≥1 .则f （0）=___ .f （f （0））=___ ．【正确答案】：[1]2; [2]4【解析】：推导出（0）=3×0+2=2.从而f （f （0））=f （2）.由此能求出结果．【解答】：解：函数f （x ）= {3x +2，x ＜12x ，x ≥1.∴f （0）=3×0+2=2. f （f （0））=f （2）=22=4． 故答案为：2.4．【点评】：本题考查等函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题． 13.（填空题.6分）设条件p ：|x|≤m （m ＞0）.q ：-1≤x≤4.若p 是q 的充分条件.则m 的最大值为___ .若p 是q 的必要条件.则m 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]1; [2]4【解析】：先化简条件p.再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】：解：条件p：|x|≤m.可得：-m≤x≤m．条件q：-1≤x≤4.若p是q的充分条件.则-m≥-1.且m≤4.解得0＜m≤1.则m最大值为1.p是q的必要条件.则-m≤-1且m≥4.解得m≥4.则m的最小值为4.故答案为：1.4【点评】：本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（填空题.6分）已知函数f（x）=ae x-lnx-1.设x=1是f（x）的极值点.则a=___ .f（x）的单调增区间为___ ．; [2]（1.+∞）【正确答案】：[1] 1e【解析】：求出函数的导数.代入x的值.求出a的值.求出函数的单调区间即可．【解答】：解：∵函数f（x）=ae x-lnx-1．.∴x＞0.f′（x）=ae x- 1x∵x=1是f（x）的极值点..∴f′（1）=ae-1=0.解得a= 1e∴f（x）=e x-1-lnx-1.∴f′（x）=e x-1- 1.x当x＞1时.f′（x）＞0.∴f（x）在（1.+∞）单调递增..（1.+∞）．故答案为：1e【点评】：本题考查了函数的单调性.极值问题.考查导数的应用.是一道常规题．15.（填空题.4分）已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）-f（x）=2f（3）.则f（2019）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：对于f（x+6）-f（x）=2f（3）.可取x=-3.从而得出f（3）-f（-3）=2f（3）.根据f （x）是偶函数即可得出f（3）=0.从而得出f（x+6）=f（x）.即f（x）的周期为6.从而可求出f（2019）．【解答】：解：∵f（x）是偶函数.对f（x+6）-f（x）=2f（3）.取x=-3得.f（3）-f（-3）=2f （3）；∴f（3）=0；∴f（x+6）=f（x）；∴f（x）的周期为6；∴f（2019）=f（3+336×6）=f（3）=0．故答案为：0．【点评】：考查偶函数的定义.以及周期函数的定义．16.（填空题.4分）函数f（x）= {x2，x≥0−x2，x＜0.若对于在意实数x∈[-1.1].f（x+a）≥4f（x）.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：判断函数f（x）的单调性.将不等式进行转化.结合函数的单调性减求解即可．【解答】：解：当x≥0时.f（x）为增函数.且f（x）≥0.当x＜0时.f（x）为增函数.且f（x）＜0.综上f（x）在R上为增函数.且4f（x）=f（2x）.则不等式f（x+a）≥4f（x）等价为f（x+a）≥f（2x）.即x+a≥2x在x∈[-1.1].上恒成立.即a≥x在x∈[-1.1].上恒成立.∵-1≤x≤1.∴a≥1.即实数a的取值范围是[1.+∞）.故答案为：[1.+∞）【点评】：本题主要考查分段函数的应用.判断函数的单调性.将不等式进行转化是解决本题的关键．17.（填空题.4分）已知函数f（x）=sinx.若方程3（f（x））2-f（x）+m=0在(0，5π6)内有两个不同的解.则实数m的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]0＜m＜112或-2＜m＜- 14【解析】：利用换元法设t=f（x）=sinx.方程等价为m=-3t2+t.根t=sinx 交点个数.确定m=-3t2+t中t的取值范围.即可求出m的范围．【解答】：解：令t=f（x）=sinx.则方程等价为3t2-t+m=0.即m=-3t2+t=-3（t- 16）2+ 112由t=f（x）=sinx得当t=1或0＜t≤ 12时.t=sinx只有一个根.当12＜t＜1时.t=sinx有两个不同的根.若t=1.此时m=-3+1=-2.此时方程3t2-t-2=0得（t-1）（3t+2）=0.得t=1或t=- 23 .当t=- 23时.t=sinx无解.此时方程3（f（x））2-f（x）+m=0在(0，5π6)内只有一个解不满足条件．若方程3（f（x））2-f（x）+m=0在(0，5π6)内有两个不同的解.等价为① 当0＜t≤ 12时.m=-3t2+t=-3（t- 16）2+ 112有两个不同的交点.即0＜m＜112.或者② 当12＜t＜1时.m=-3t2+t=-3（t- 16）2+ 112有1个交点.∵t= 12时.m=- 14.t=1时.m=-2∴此时-2＜m＜- 14.综上0＜m＜112或-2＜m＜- 14.故答案为：0＜m＜112或-2＜m＜- 14．【点评】：本题主要考查函数与方程的应用.利用换元法转化为两个函数根的个数关系是解决本题的关键．综合性较强.有一定的难度．18.（问答题.14分）记函数f （x ）=ln （1-x 2）的定义域为M.g （x ）=lg[（x+a+2）（-x-a+1）]的定义域为N ．（1）求M ；（2）若M⊆N .求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）解不等式求出M 即可；（2）求出N.根据集合的包含关系得到关于a 的不等式组.解出即可．【解答】：解：（1）由题意得1-x 2＞0. 解得：-1＜x ＜1. 故M=（-1.1）.（2）由（x+a+2）（-x-a+1）＞0. 解得：-a-2＜x ＜-a+1. 故N=（-a-2.-a+1）. 若M⊆N .则 {−a −2≤−1−a +1≥1 .解得：-1≤a≤0．【点评】：本题考查了对数函数的性质.考查集合的包含关系.是一道常规题． 19.（问答题.15分）f （x ）=3x 2-2（1+a ）x+a ． （1）若函数f （x ）在[0.2]上的最大值为3.求a 的值；（2）设函数f （x ）在[0.2]上的最小值为g （a ）.求g （a ）的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）讨论对称轴与区间的中点1可得；（2）讨论对称轴与区间的端点0和2的大小.利用二次函数的单调性可得．【解答】：解：（1）当 1+a3≤1.即a≤2时.f （x ）max =f （2）=8-3a=3解得a= 53 符合；当1+a3＞1.即a ＞2时.f （x ）max =f （0）=a=3.符合题意；综上a= 53.或者a=3 （2） ① 当 1+a3≤0.即 a≤-1时.f （x ）在[0.2]上递增.∴f （x ）min =g （a ）=f （0）=a ；② 当 1+a3≥2即a≥5时.f （x ）在[0.2]上递减.∴f （x ）min =g （a ）=f （2）=8-3a ；③ 当0＜ 1+a3 ＜2.即-1＜a ＜5时.f （x ）min =g （a ）=f （ 1+a 3 ）= −a 2+a−13 .综上得g （a ）= { a ，a ≤−1−a 2+a−13，−1＜a ＜58−3a ，a ≥5 ．【点评】：本题考查了二次函数的性质与图象.属难题． 20.（问答题.15分）已知函数 f (x )=13x 3+12 ．（1）求曲线y=f （x ）在点 P (1，56) 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积； （2）若过点（2.a ）可作三条不同直线与曲线y=f （x ）相切.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得f （x ）的导数.可得切线的斜率和切线方程.分别令y=0.x=0可得切线与x.y 轴的交点.可得三角形的面积；（2）设出切点坐标（m. 13 m 3+ 12 ）.求出原函数的导函数.写出切线方程.把点（2.a ）代入切线方程.整理得到4m 3-12m 2-3+6a=0有三个不同根.令g （x ）=4x 3-12x 2-3.利用导数求其极大值为g（0）.极小值为g（2）.由-6a介于极小值和极大值之间.即可求得a的范围．【解答】：解：（1）函数f(x)=13x3+12的导数为f′（x）=x2.曲线y=f（x）在点P(1，56)处的切线斜率为1.可得切线方程为y- 56 =x-1即y=x- 16.切线与x轴和y轴的交点为（16 .0）.（0.- 16）.可得切线与x轴和y轴围成的三角形面积为12 × 16× 16= 172；（2）f（x）= 13 x3+ 12.则f′（x）=x2.设切点为（m. 13 m3+ 12）.则f′（m）=m2．可得过切点处的切线方程为y- 13 m3- 12=m2（x-m）.把点（2.a）代入得a- 13 m3- 12=m2（2-m）.整理得4m3-12m2-3+6a=0.若过点（2.a）可作三条直线与曲线y=f（x）相切.则方程4m3-12m2-3+6a=0有三个不同根．令g（x）=4x3-12x2-3.则g′（x）=12x2-24x=12x（x-2）.当x∈（-∞.0）∪（2.+∞）时.g′（x）＞0；当x∈（0.2）时.g′（x）＜0.则g（x）的单调增区间为（-∞.0）.（2.+∞）；单调减区间为（0.2）．可得当x=0时.g（x）有极大值为g（0）=-3；当x=2时.g（x）有极小值为g（2）=-19．由-19＜-6a＜-3.得12＜a＜196．则实数n的取值范围是（12 . 196）．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.训练了利用导数求函数的极值.是中档题．21.（问答题.15分）已知函数f（x）=e x- 12ax2 -b．（1）当a=1.b=1时.求f（x）在[-1.1]上的值域；（2）若对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.求a+b的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1.b=1时.f（x）=e x- 12x2-1．f′（x）=e x-x=g（x）．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．（2）对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.即b≤e x- 12ax2．亦即a+b≤e x- 12ax2 +a在R上恒成立．令h（x）=e x- 12ax2 +a.x∈R．h′（x）=e x-ax．对a分类讨论即可得出．【解答】：解：（1）当a=1.b=1时.f（x）=e x- 12x2-1．f′（x）=e x-x=g（x）．g′（x）=e x-1．可得：-1≤x≤0.则g′（x）＜0；0＜x≤1时.则g′（x）＞0．∴x=0时.函数g（x）取得极小值即最小值.g（0）=1＞0．∴函数f（x）在[-1.1]上单调递增．∴f（x）min=f（-1）= 1e - 32.f（x）max=f（1）=e- 32．∴f（x）在[-1.1]上的值域为[ 1e - 32.e- 32]．（2）对于任意实数x.f（x）≥0恒成立.即b≤e x- 12ax2．亦即a+b≤e x- 12ax2 +a在R上恒成立．令h（x）=e x- 12ax2 +a.x∈R．h′（x）=e x-ax．a≥0时.不成立舍去．a＜0时.令e x-ax=0.x＜0．解得e x0 =ax0．可得函数h（x）在x=x0处取得极小值即最小值．∴h（x）min= e x0 - 12a x02 +a= e x0 - x0e x02+ e x0x0= e x0(1−x02+1x0) .令u（x）=e x(1−x2+1x) .x＜0．则u′（x）=e x• (x−1)(√2+x)(√2−x)2x2．可得x=- √2时.函数u（x）取得极大值即最大值．u（- √2）= e−√2．∴a+b的最大值是e−√2．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法.考查了推理能力与计算能力.属于难题．22.（问答题.15分）已知a ＞0.函数f （x ）=e x +3ax 2-2ex-a+1. （1）若函数f （x ）在[0.1]上单调递减.求a 的取值范围； （2）|f （x ）|≤1对任意x∈[0.1]恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.问题转化为a≤ 2e−e x6x.令g （x ）=2e−e x6x.根据函数的单调性求出a 的范围即可；（2）问题转化为只需f （t ）+f （x ）max ≥0即可.又-1≤f （t ）≤1.故-1≤f （x ）max ≤1.从而求出a 的范围即可．【解答】：解：（1）f （x ）=e x +3ax 2-2ex-a+1. f′（x ）=e x +6ax-2e.由函数f （x ）在[0.1]上单调递减.得e x +6ax-2e≤0在[0.1]上恒成立． 当x=0时.对于任意正实数a.上式恒成立； 当x∈（0.1]时.则a≤ 2e−e x6x. 令g （x ）=2e−e x6x.则g′（x ）=−6xe x −12e+6e x36x 2.令h （x ）=-6xe x -12e+6e x .则h′（x ）=-6e x -6xe x +6e x =-6xe x ＜0. 则h （x ）在（0.1]上单调递减.∴h （x ）＜h （0）＜0． ∴g′（x ）＜0.则g （x ）在（0.1]上单调递减. 则g （x ） ≥g (1)=e6 ． ∴0＜a≤ e 6； （2）∵|f （x ）|≤1.∴ {|f (0)|=|2−a |≤1|f (1)|=|2a −e +1|≤1 . 解得： {1≤a ≤3e−22≤a ≤e 2.故a∈[1. e2].由（1）知f′（x）在[0.1]递增.且f′（0）=1-2e＜0.f′（1）=6a-e＞0.∴f（x）max=max{f（0）.f（1））}.设x=t（0＜t＜1）时.f′（x）=0.即e t+6at-2e=0.则f（x）在[0.t]递减.在（t.1]递增.故f（x）min=f（t）.若|f（x）|≤1.只需f（t）+f（x）max≥0即可. 又-1≤f（t）≤1.故-1≤f（x）max≤1.当2-a≥2a-e+1即a≤ e+13时.-1≤2-a≤1.解得：1≤a≤ e+13.当2-a＜2a-e+1即a＞e−13时.-1≤2a-e+1≤1.解得：e−13＜a≤ e2.综上.a∈[1. e2]．【点评】：本题考查了函数的单调性.最值问题.考查导数的应用以及分类讨论思想.转化思想.是一道综合题．。
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷
镇海中学2023学年第一学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2024πcos 3=（）A.12-B.12C. D.322.已知OA = ，1OB = ，且OA ，OB 的夹角为3π4，则AB = （）A.1B.C.2D.3.为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A.向左平移π15个单位长度 B.向右平移π15个单位长度C.向右平移π3个单位长度 D.向左平移π3个单位长度4.已知a =，且满足5π,6a = ，则a 在b 上的投影向量为（）A.B. C.3b D.3b -5.已知π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2sin 22αα++=（）A.75B.85C.95D.26.若 1.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22ππcossin 1212b =-，23π2tan83π1tan 8c =+，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c a b << D.c b a<<7.在ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足3EC BE =，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM mCA =，CN nCB =，则m n +的最小值为（）A.435+B.45+ C.75D.1658.已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα︒-+︒+=︒-，求tan α=（）A.3B.3-C.D.二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9.已知函数()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.相位为π26x +B.对称中心为()ππ,012k -+，k ∈ZC.函数()f x 的单调递减区间是πππ,π36k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数π2sin 16y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象10.下列说法正确的是（）A.已知a ，b为平面内两个不共线的向量，则{},3a b a b +-+ 可作为平面的一组基底B.//a b ，则存在唯一实数λ，使得a bλ=C.两个非零向量a ，b ，若2323a b a b +=-+ ，则a 与b共线且反向D.ABC 中，12AB AC AB AC ⋅= ，()()0AB AC AB AC -⋅+=，则ABC 为等边三角形11.已知函数()4cos 2cos f x x x=+，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 为偶函数C.()f x 的图象关于()π,1对称D.()f x 的值域为][(),35,∞∞--⋃+12.已知函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x t =-（0t >）有2n 个零点，记为1x ，2x ，…，21n x -，2n x ，且12212n n x x x x -<<⋅⋅⋅<<，则下列结论正确的是（）A.()0,2t ∈B.()12,2x x ∞+∈--C.345512,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D.()3452122182n n x x x x x -+++⋅⋅⋅++=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为______.14.设1e ，2e 为两个单位向量，且212π,3e e = ，若12e e λ+ 与1234e e + 垂直，则λ=______.15.已知5πsin 2245x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且(),2x ∈ππ，则3πcos 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.16.函数()()()sin 32sin cos 2f x x x ωϕϕωϕ=+-+（0ω>，0πϕ<<），设T 为函数()f x 的最小正周期，142T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数()f x 在()π,2π上单调，则ω的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.单位向量a ，b 满足()()223a b a b +⋅-=- .（1）求a 与b夹角的余弦值：（2）若ka b + 与3a b +的夹角为锐角，求实数k 的取值范围.18.已知()()()()()()()πsin 3πcos cos 2πtan π23πcos πsin sin tan π2f ααααααααα⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且满足()()1103f f αα+=-，求cos 2π4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19.如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD 所示），其中O 为生活区入口.已知有三条路AB ，BC ，AD ，路AD 上有一个观赏塘T ，其中300m AT =，路BC 上有一个风雨走廊的入口L ，其中200m BL =.现要修建两条路OT ，OL ，修建OT ，OL 费用成本分别为2/m λ，3/m λ.设TOA α∠=.（1）当600m AO =，200m BO =时，求张角TOL ∠的正切值；（2）当OT OL ⊥时，求当α取多少时，修建OT ，OL 的总费用最少，并求出此的总费用.20.已知向量()1,2a =r，()cos ,sin b αα= ，()1,0c =- .（1）求b c +的最大值，并求此时α的值；（2）若0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求⋅ a b 的取值范围.21.如图是函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象,其中0ω>,0πϕ<<.其中B 为图象最高点,,C D 为图象与x 轴的交点,且BCD △为等腰直角三角形,2CD =,______.（从下面三个条件中任选一个,补充在橫线处并解答）①1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数；③()202f =（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()21π2g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,不等式()2sin 46m x g x m -≤-对于x ∀∈R 恒成立,求m 的取值范围.22.函数()2sin 222sin 24f x x x t t π⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭，最大值为()M t ，最小值为()m t .（1）设()()()g t M t m t =-，求()g t ；（2）设s R ∈，若()6f x s +≤对x R ∈恒成立，求s t +的取值范围.。