名师讲坛高考数学二轮专题复习课件：专题一微切口8 极化恒等式

2021微切口1 极化恒等式的应用

第一篇瓶颈题突破之高考微切口——攻坚克难微切口1 极化恒等式的应用【追本溯源】若a ，b 是平面内的两个向量，则a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]；极化恒等式的几何意义是：在△ABC 中，若AD 是BC 边上的中线，则AB →·AC →＝AD 2－BD 2.利用极化恒等式求值(1) 在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB＝1，EF ＝2，CD ＝ 5.若AD →·BC →＝15，则AC →·BD→的值为________． (2) 在梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →＝________.【思维引导】在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM →·CN→的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________. 利用极化恒等式求最值(范围)(1) 在半径为1的扇形AOB 中，若∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP→的最小值是________．(2) 已知O 是△ABC 外接圆的圆心，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若b 2－2b ＋c 2＝0，则BC →·AO→ 的取值范围是________．【思维引导】如图，若正方形ABCD 的边长为2，动点P 在以AB 为直径的圆弧AB 上，则PD →·PC→的取值范围是________．(变式)(1) 极化恒等式源于教材又高于教材，在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD →＝12(AB→＋AC →)，BD →＝12(AC →－AB →)是课本上出现的2个重要的向量三角关系，而极化恒等式就是这两个公式的灵活变用．(2) 具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能，我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．极化恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．一、单项选择题1. 已知点A ，B ，C 均在半径为2的圆上，若AB ＝2，则AC →·BC →的最大值为( )A. 3＋2 2B. 2＋2 2C. 4D. 22. 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有OA →·OB →≥－2，那么k 的取值范围是( )A. (3，＋∞)B. [2，22)C. [2，＋∞)D. [3，22)3. 在△ABC 中，若P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A. ∠ABC ＝90°B. ∠BAC ＝90°C. AB ＝ACD. AC ＝BC4. 若A ，B 为双曲线x 216－y 24＝1上经过原点的一条动弦，M 为圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上的一个动点，则MA →·MB→的最大值为( )A. 154 B. 7 C. －7 D. －16二、填空题5. 如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且点A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，若|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值为________．(第5题)6. 已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于M ，N 两点，若c 2＝a 2＋b 2，P 为圆O 上任意一点，则PM →·PN→的取值范围为________． 7. 已知A (0,1)，曲线M ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线M 上的动点，且AB →·AP →的最小值为2，则a ＝________.8. 已知平面向量a ，b ，c 满足||a ＝1，a ·b ＝12，a ·c ＝2，||2b －c ＝2，那么b ·c 的最小值为________．9. 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________． 10. 在正方形ABCD 中，若AB ＝1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB→的最大值为________．。

2020版名师讲坛高三数学二轮专题复习课件：专题一微切口7 向量的等和线

其中P→A1＝12P→A，P→B1＝13P→B.
由2x＋2x3y＋2x＋3y3y＝1知点D在线段A1B1上(含点A1，B1)，如图．
(变式) 在△PA1B1中，因为|P→A1|＝3，|P→B1|＝2，∠A1PB1＝120°，且点D在线段A1B1上 (含端点A1，B1)，所以|P→H|≤|P→D|≤|P→A1|，其中PH是边A1B1上的高．
由A→1B12＝(P→B1－P→A1)2＝P→B12＋P→A12－2P→B1·P→A1＝19，得|A→1B1|＝ 19.
又由S△PA1B1＝12|P→A1|·|P→B1|·sin∠A1PB1＝12|A→1B1|·|P→H|，得|P→H|＝3 1957，所以3 1957≤|P→D|≤3. 由P→C＝(2x＋3y)P→D，
【解题步骤及说明】 1. 求k＝1的等和线； 2. 平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； 3. 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值．说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．
(变式)
由2x＋2x3y＋2x＋3y3y＝1，得点A1，B1，D共线，即点D在直线A1B1上．如图，由P→C＝5P→D知点C在直线A2B2上，其中P→A2＝5P→A1，P→B2＝5P→B1.
若△PAB是边长为6的等边三角形，点C满足
→ PC
＝x
→ PA
＋y
→ PB
，且2x＋3y＝
4，其中x＞0，y＞0，则|P→C|的取值范围为__1_2_7_2_1_，__1_2__．
(例2) 在△PA1B1中，因为|P→A1|＝3，|P→B1|＝2，∠A1PB1＝60°，且点D在线段A1B1上 (不含端点A1，B1)，所以|P→H|≤|P→D|＜|P→A1|，其中PH是边A1B1上的高．

名师讲坛高考数学二轮专题复习课件：专题七微切口26 以解析几何为背景的应用问题

(例 1(2))
(2) 当 m 取何值时，等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值．【解答】设等腰梯形 ABCD 的面积为 S，
则 S＝12×(2m＋40)×110(400－m2)，＝110(－m3－20m2＋400m＋8 000)，
因为 S′＝110(－3m2－40m＋400)＝－110(3m－20)(m＋20)，令 S′＝0，得 m＝230，当 m 变化时，S′，S 的变化情况如下表：
A(40,40)，B(20,0)代入上式得F40＝2＋0，402＋40D＋40E＋F＝0， 202＋20D＋F＝0，
D＝－20，解得E＝－60，
F＝0，
所以
圆的方程为 x2＋y2－20x－60y＝0，圆心为(10,30)，半径 r＝10 10.
设船起初所在的位置为点 C，则 C(－20，－20 3)，且该船航线所在直线的斜率为 1，
m 0，230
20 3
230，20
S′ ＋
0
—
S
极大值
所以当 m＝230时，等腰梯形 ABCD 的面积最大，且最大值为2526700 m2.
如图，某海面上有 O，A，B 三个小岛(面积大小忽略不计)，A 岛在 O 岛的北偏东 45°方向且相距 40 2 km 处，B 岛在 O 岛的正东方向且相距 20 km 处．
(1) 以 O 为坐标原点，O 的正东方向为 x 轴正方向，1 km 为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，写出点 A， B 的坐标，并求 A，B 两岛之间的距离；
【思维引导】
【解答】因为点 A 在点 O 的东北方向 40 2 km 处，点 B 在点 O 的正东方向 20 km 处，所以 A(40,40)，B(20,0)，

名师讲坛高考数学二轮专题复习课件：专题五微切口18 隐性圆的研究2

－2＝1，即点 A 在以(0,0)为圆心， 3为半径的圆周上除去与 x 轴的交点，
所以 A 到 BC 距离的最大值，即为半径 3，所以 Smax＝12×2 2× 3＝ 6.
(变式(3))
常见的求隐圆的策略如下：策略四两定点 A，B，动点 P 满足 PA2＋PB2 是定值确定隐圆；策略五两定点 A，B，动点 P 满足PPAB＝λ(λ>0，λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆)；策略六构造或者直接求动点的轨迹．利用几何法简化研究直线与圆及圆与圆的位置关系：直线与圆有关的网络交汇问题，利用直线与圆及圆与圆的位置关系，借助圆的几何性质的代数表示(相切条件，勾股数等)简化运算，充分体现解析几何的特点“代数的方法研究几何性质，利用几何性质可简化其运算”．
【解析】设 M(x，y)，则(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝16，
即(x＋1)2＋y2＝4，所以
1＋3 a2≤2，解得
a≤－
25或
a≥
5 2.
(2) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y＝2x－4.
设圆 C 的半径为 1，圆心在直线 l 上，若圆 C 上存在一点 M，使得 MA ＝2MO，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为__0_，__1_52___．
(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点 A(0,2)，若圆 C 上存在点 M，满足 MA2＋MO2＝10，则实数 a 的取值范围是__[_0_,_3_] __．
【解析】设点 M(x，y)，由 A(0,2)，O(0,0)及 MA2＋MO2＝10，得 x2＋(y－2)2＋x2 ＋y2＝10，整理得 x2＋(y－1)2＝4，即点 M 在圆 E：x2＋(y－1)2＝4 上．若圆 C 上存在点 M 满足 MA2＋MO2＝10，也就等价于圆 E 与圆 C 有公共点，所以|2－1|≤CE≤2＋1，即 |2－1|≤ a2＋a－32≤2＋1，整理得 1≤2a2－6a＋9≤9，解得 0≤a≤3，即实数 a 的取值范围是[0,3]．

高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量微点深化极化恒等式的应用学案201812242198

微点深化极化恒等式的应用1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2] 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. 2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.则：(1)PM →·PN →＝14[|PQ |2－|NM |2](平行四边形模式)； (2)PM →·PN →＝|PO |2－14|NM |2(三角形模式).【例题】 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝________.(2)(2018·上海调研)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA →·PB →的取值范围是________.解析 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3.又由极化恒等式得：PA →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以PA →·PB →∈[－2，6].答案 (1)－16 (2)[－2，6]探究提高 1.在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.2.涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围，最值即可求出.【题组训练】(1)(2018·诸暨适应性考试)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为( )A.－14B.－13C.－12D.－1解析 PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－14|OC |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12. 答案 C(2) 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP→＝2，则AB →·AD →的值是( )A.44B.22C.24D.72解析如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP→＝（AP →＋BP →）2－（AP →－BP →）24＝（2EP →）2－AB →24＝2， ∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →，∴AE ＝2DP ，即△FAE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4，FE ＝2PE ＝62， AD →·AB →＝AF →·AE →＝AF 2＋AE 2－EF 22＝100＋16－722＝22. 答案 B(3)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A.2B.3C.6D.8解析如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14， ∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6. 答案 C(4)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________.解析取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－14|AE |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1. 答案 1(5)(2018·镇海中学模拟)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________.解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝2 3. 答案 23 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

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高考数学复习知识点讲解课件7---向量极化恒等式

根据向量的极化恒等式，
得A→B·A→C＝A→D2－D→B2＝9n2－m2＝4，
①
F→B·F→C＝F→D2－D→B2＝n2－m2＝－1.
②
联立①②，解得 n2＝58，m2＝183.
因此E→B·E→C＝E→D2－D→B2＝4n2－m2＝78.
即B→E·C→E＝78.
例 2 (1)已知 AB 为圆 x2＋y2＝1 的一条直径，点 P 为直线 x－y＋2＝0 上任意一点，则P→A·P→B的最小值是___1__.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(含原点)上滑动，则O→C·O→B的最大值是___2__.
1234
解析如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则O→C·O→B＝O→M2－14.
因为OM≤ON＋NM ＝12AD＋AB＝32，当且仅当O，N，M三点共线时取等号.
所以O→C·O→B的最大值为 2.
1234
4.已知 AB 是圆 O 的直径，AB 长为 2，C 是圆 O 上异于 A，B 的一点， P 是圆 O 所在平面上任意一点，则(P→A＋P→B)·P→C的最小值是_－__12__.
解析如图所示，由极化恒等式易知，当 OP 垂直直线时，P→A·P→B有最小值，即 P→A·P→B＝P→O2－O→B2＝( 2)2－12＝1.
(2)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2， MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当
解析如图所示，由极化恒等式，易得A→B·A→C＝A→M2－M→B2＝32－52＝－16.
(2)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分
点.B→A·C→A＝4，B→F·C→F＝－1，则B→E·C→E的值为___78___.

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