八年级数学第二章 实数1
第二章 实 数
课题
第一节：理解无理数（1）
教学
目标
（1）[知识与技能]
通过剪拼正方形使学生感受到生活中确实存有着不是有理数的数，使他们感觉到
自己所学的数又不够用了，无理数的引入很有必要。
（2）[过程与方法]
动手剪拼正方形或利用勾股定理感受到生活中确实存有着不是有理数的数。
（3）[情感、态度与价值观]
增进学生热爱科学、追求科学、献身科学的学习热情，让学生经历探究活动，
体验成功的喜悦，培养实事求是的科学态度。
教学
重点
剪拼正方形使学生感受到生活中确实存有着不是有理数的数。
教学
难点
剪拼正方形使学生感受到生活中确实存有着不是有理数的数。
教学
用具
剪刀、小正方形。
教学
方法
实验法、推理法
教学过程
教学内容 活动设计 备注
复习： 1、 什么是有理数？ 2、 有理数的分类。 阅读七年级数学上
册：有理数及其分
类。完成预习笔记。
新授：
1、剪一剪，拼一拼
1 1
1 1
如上图，两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设
法得到一个面积较大的正方形。
拼完之后观察你所拼出的大正方形回答问题：
（1） 设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
（2） a可能是整数吗？说说你的理由。
（3） a可能是分数吗？说说你的理由。并与同伴交流。
从上面的实验的出一个结论：————————
学生动手剪正方
形并拼出大的正
方形。
请找出一个整数
的平方等于2.
请找出一个分数
的平方等于2.
观察上面的实验
过程得出一个结
2.做一做
（1） 在上图中，以直角三角形的斜边为边长的正方形的
面积是多少？
（2） 设该正方形的边长为b,b满足什么条件？
（3） b是有理数吗？
上面的两个问题中，数a,b确实存有，但都不是有
理数。
3.学生活动。
在方格纸上画出一些是有理数的线段，一些不是有理数的
线段。
论：在等式a2=2
中，a既不是整
数，也不是分数，
所以a不是有理
数。
学生能举例说出
b不是有理数。
感受到a,b的确
存有。这说明数
又不够用了。为
下节学习作好基
础。
练习
第33页随堂练习1。
小结：
在上面的问题a,b
不是有理数。 a,b的确存有。这说明数又不够用了。
作业：
第33页习题2.1第1、2、3题。
板书设计：
2.1数怎么又不够用了
a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。
b2=5中，b也不是有理数。
课后反思：
1
2
北师大版初中八年级数学下册第二章1 认识无理数
【归纳提升】 无理数“三要素” (1)是小数；(2)是无限小数；(3)不循环．
【变式一】：巩固 (2021·济南期中)下列数是无理数的是( B )
A．－59
·
B．π C．0 D．0.23
【变式二】：提升 (2021·苏州质检)如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，高为 h， h 可能是整数吗？可能是分数吗？
【一题多变】
用 48 m 长的篱笆材料，在空地上围成一个圆形的绿化场地，则该场地的面积是
(D )
A．整数
B．分数
C．自然数
D．无理数
【母题变式】 (变换条件)小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场地，现共有 a 米长的篱笆材料， 他设计了两种方案，一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，那么
【变式一】：巩固Biblioteka (2021·太原期中)一个直角三角形两条直角边的边长分别为 3
和 5，斜边长 a，则 a 是一个___无__理__数_____数，它的整数部分是__5__．
【变式二】：提升 设面积为 5π 的圆的半径为 a. (1)a 是有理数吗？说说你的理由． (2)估计 a 的值(精确到 0.1)
第二章 实数 1 认识无理数
识新知·自主预习
【旧知再现】 _整__数____和___分__数____ 统称有理数，它们都可以用有限小数和无限___循__环____(填 “循环”或“不循环”)小数来表示．
【新知初探】 阅读教材P21【做一做】，完成以下问题． 探究1：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，设大 正方形的边长为a，计算a2＝___2___. 思考：a可能是整数吗？可能是分数吗？为什么？ 因为12＝1，22＝4，1＜2＜4，所以a不可能是整数． 没有两个相同的分数相乘得2，故a不可能是分数． 结论：a___不__是____有理数．
北师大版八年级数学上册第二章《实数》教案
八年级数学第二章《实数》教案（1）北师大版教学过程一、创设情境，导入新课师：用课件出示下列内容：你能独立完成吗？1. _________和_________统称为有理数，如__________________,_________等都是有理数。
2.无理数是_________的小数，如_________，_________，_________等都是无理数。
3.把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）生：独立思考并完成。
二、师生互动探究互动一、在实数概念基础上对实数进行不同分类师：上面的一系列数，它们都可以填进这两个圆中，你认为我们学过的数字，有没有不属于上面两种类型的呢？生：没有。
师：那么这节课的课题是实数，那么我们就把这两种类型就叫实数。
即有理数和无理数统称为实数。
生：也就是说实数可分为有理数和无理数。
师：对！你说的太对啦！实数从定义可分为有理数和无理数。
无理数和有理数一样，也有正负之分，那么按正负分实数还可以怎样分类？生：实数按正负分还可以分为正实数和负实数。
师：正数和负数能构成实数吗？还有别的数吗？生：还有0.师：所以实数还可以怎么分？生：实数可以分为正实数、0、负实数。
师：很好，在这里要特别提示大家分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏。
互动二、了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义：师：－2的相反数是什么？生：（齐声）2师：的相反数是什么？生: 是-师：实数a的相反数是什么？生：思考并讨论后回答是-a。
师：同学们回答的非常好，－2的倒数是什么？生：是－。
师：的倒数是什么？生：思考回答。
师：实数a的倒数是什么？生：是。
师：－2的绝对值是什么？生：是2师：的绝对值是什么？生：是师：实数a的绝对值是什么？生：思考、交流，然后回答。
是|a|师：通过以上问题我们可以得哪些结论？生：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
2022秋八年级数学上册 第二章 实数1 认识无理数课件(新版)北师大版
4．在探索x2＝a(a≥0)中x的值时，先估计x的__整__数____部分， 看x在哪两个连续整数之间，_较__小__整__数___即为其整数部分， 再确定x的___十___分位上的数，同样寻找x在哪两个连续 一位小数之间．按照上述方法依次确定x的__百____分位、 _千_____分位……上的数，从而确定x的值．
(3)x是有理数吗？
x不是有理数．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1， △ABC的顶点均在格点上，则在△ABC中，边长是无理数 的边有___2_____条．
【点拨】由题图可知，AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋ 32＝10，AC2＝32＋42＝25，所以AC＝5，而AB，BC 的长是无理数，所以边长是无理数的边有2条．
15．设边长为4的正方形的对角线长为x.
(1)x是有理数吗？说说你的理由． 解：x不是有理数．理由如下：
由勾股定理可知x2＝42＋42＝32，首先x不可能是整数(因为52
＝25，62＝36，所以x在5和6之间)，其次x也不可能是分数 (因为若x是最简分数 mn，则 mn 2仍是一个分数，不等于32)． 综上可知，x不是有理数．
A．0 B．1 C．2 D．3
12．(2020·长沙)2020年3月14日，是人类第一个“国际数学 日”．这个节日的昵称是“π(Day)”．国际数学日之所以定 在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数 字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可 以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主 要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率 的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先 世界一千多年，以下对于圆周率的四个表述：
2．一个正方形的边长为a，面积为20，则( D ) A．a可能是整数 B．a可能是分数 C．a可能是有理数 D．a不是有理数
八年级数学实数1
重要知识回 顾
1.算术平方根、平方根、立方根的联系与区别。
2.几个重要公式。
3.实数的分类
区别
算术平方根 表示方法
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
平方根
立方根
3
a
≠
0
a的取值
性 质
正数 0 负数
a≥
0 没有
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
C）
A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
3、若式子 （ 4-a） 是一个实数，则满足这个条件的a的值有（B ）
2
A.0个
B.1 个
C.2个
D.3个
4、已知 a 5，b2 7，且 a +b a b，则a b的值为（ D ）
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
5、已知5 7的小数部分是a？ 7的小数 5 部分是b？求a b的值
求a b的相反数的立方根
1
1
变式：已知9 13和9 13的小数部分分别为a和b
6、设a和b互为相反数，c和d互为负倒数，x的绝对值为 5，
4 5 则代数式x a b cd）x a b 3 cd） ___________ （ （
2
一、判断： 1.实数不是有理数就是无理数。（ 2.无理数都是无限不循环小数。（ 3.无理数都是无限小数。（ ） 4.带根号的数都是无理数。（ ×） 5.无理数一定都带根号。（ × ） 6.两个无理数之积不一定是无理数。（ 7.两个无理数之和一定是无理数。（× ） ） ） ）
最新北师大版八年级数学上册《实数》1教学设计
第二章实数6．实数一、依据新课标制定教学重点：1．了解实数意义，能对实数进行分类；2．在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律；3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。
依据新课标制定教学难点：利用数轴上的点表示无理数。
二、教学任务分析1. 教学目标：(1)．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小.(2)．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.(3)．在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。
(4).在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。
(5)．了解数系扩展对人类认识发展的必要性；2. 知识目标：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力。
3. 能力目标：通过对问题的发现和解决，培养学生的相互协作意识及数学表达能力，体验探索、交流与成功。
三、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：实数概念和分类；第三环节：实数相关概念；第四环节：实数的运算；第五环节：探究——实数与数轴上点之间的对应关系；第六环节：课堂练习；第七环节：归纳小结；第一环节：复习引入新课内容：问题：（1）什么是有理数？有理数怎样分类？（2）什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？意图：回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。
效果：学生主动思考并积极回答，通过相互补充完善了旧知识的复习掌握，通过对有理数分类的复习，使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏。
通过举例明确了无理数的表现形式，野味后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备。
第二环节：实数概念和分类内容1：把下列各数分别填入相应的集合内：32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）知识整理：有理数和无理数统称为实数。
北师大版八年级数学上册 第二章实数知识点及经典例题讲解 (学案)
初二数学上册实数知识点及经典例题讲解一、平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 二、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的平方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（32(3)0y +=，则x -y 的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、7 D 、-7（4）若a 、b 为实数，且满足20a -=，则b -a 的值为（ ）A 、2 B 、0 C 、-2 D 、以上都不对（5）2)3(-的算术平方根是 。
（6）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
八年级数学上册第二章《实数》教案
第二章实数1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.一、本章主要内容及要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.掌握必要的运算(包括估算)技能.3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.二、教材分析从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?a可能是分数吗?……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.【重点】1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用.1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.2.鼓励学生自主探索和合作交流.本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.1认识无理数2课时2平方根2课时3立方根1课时4估算1课时5用计算器开方1课时6实数1课时7二次根式3课时回顾与思考1课时1认识无理数1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.3.会判断一个数是不是无理数.1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.【重点】理解无理数的概念.【难点】判断一个数是不是无理数.第课时感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.【重点】感受无理数产生的背景.【难点】会判断一个数是不是无理数.【教师准备】两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.【学生准备】两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方,并提出问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1拼成后的正方形是什么样的呢?问题2拼成后的大正方形面积是多少?问题3若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣,让学生感受到无理数产生的过程,确[知识拓展]正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是()A.16B.25C.2D.4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为,长度不是有理数的线段为.答案:略第1课时1.拼接正方形.2.做一做.3.a,b存在,但不是有理数.一、教材作业【必做题】教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC中,边长不是有理数的线段有,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数.假设a,b是两个有理数,且a<b,在a,b两数之间插入一个数为.【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB,BC,AC 略(解析:AB2=42+12=17,BC2=22+32=13,AC2=22+42=20.)2.a+a2(解析:答案不唯一,如插入a和b正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x,则10x=7.7·,∴9x=7,从而x=79;(3)设0.3·4·=x,则100x=34.3·4·,∴99x=34,从而x=3499.解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499.4.略大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.随堂练习(教材第21页)解:因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.习题2.1(教材第22页)1.解:答案不唯一.如图(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE的长度都不是有理数.2.解:答案不唯一.如图(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?可能是整数吗?可能是分数吗?解:它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.第课时掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.【重点】 能用所学定义正确判断所给数的属性. 【难点】 无理数概念的建立.【教师准备】 计算器、立方体、多媒体课件. 【学生准备】 计算器、复习有理数的分类.导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢? 1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如-1,0,2,3,…)分数(如13,-25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a面积S1<a<2 1<S<41.4<a<1.5 1.96<S<2.251.41<a<1.42 1.9881<S<2.01641.414<a<1.415 1.999396<S<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449【思考】a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图]让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.二、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,4 5,59,-845,211.【答案】3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】你能找到其他的无理数吗?[设计意图]通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.三、例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数a a的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能. [设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法: 1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数1.下列说法中正确的是 ( ) A .无限小数都是无理数 B .有限小数是无理数 C .无理数都是无限小数 D .有理数是有限小数 答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( )A.面积为25的正方形B.面积为425的正方形C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C.3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a是有理数吗?解:由勾股定理得: a2=32+52,即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a不是有理数.4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n.(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第2课时1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材第24页随堂练习.【选做题】教材第25页习题2.2第2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<52.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是()A.整数B.分数C.有限小数D.无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是,则斜边长是数.【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.(1)a是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.随堂练习(教材第24页)解:有理数有:0.4583,3.7·,-17,18.无理数有:-π.习题2.2(教材第25页)1.解:-559180,3.97·,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数组成)是无理数.2.提示:(1)x不是有理数. (2)x≈3.2. (3)x≈3.16.3.(1)✕(2)a(3)✕(4)✕4.解:5a ,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.一根长为5米的电线杆竖立于地面,为保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?〔解析〕每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.2平方根1.了解数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.了解开方与平方是互逆运算,会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根.通过教学过程的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.1.通过与“加法的逆运算是减法、乘法的逆运算是除法”作类比,让学生体会平方和开方互为逆运算的同时,领会数学中处处蕴含着辩证法.2.使学生通过开方运算的学习,解决实际生活中的一些具体问题.【重点】1.数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.(√a)2=a(a≥0)的得出和应用.【难点】1.利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根和平方根.2.(√a)2=a(a≥0)和√a2=|a|的区别和联系.第课时1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根.在合作交流等活动中,培养合作精神和创新精神.积极参与教学活动,发展对数学的好奇心和求知欲.。
北师大版八年级数学上册-第二章实数(同步+复习)精品串讲课件
第二章
实数
八年级（下）
第一单元：认识无理数
一．无理数的存在性探索
1. 探究：
① ② 什么是有理数：整数和分数统称为有理数。 不是有理数的数：π、正方形的面积为2、3、5、 6、7，13---时，它们的边长。--- 广泛存在。 X2=a（a ≥0），当我们知道a求x 时，结果可能 是有理数，也可能不是有理数。
—
二．算术平方根
1. 2. 定义：一个正数a有两个平方根±√a— ，其中 — 正的平方根√a叫做a的算术平方根。 — √a 表示a 的算术平方根。规定：0的算术平 方根是0。显然：负数没有算术平方根。 重要性质：
① ② ③ √a的非负性：a ≥0，√a≥0( 双非负）。 √a是非负数a的算术平方根；-√a是算术平方根的 相反数（另外一个平方根）。 √a开得尽是运算；开不尽可能就是个数（最写）
（5） 81
三．平方根与算术平方根的区别与联系
1. 2. 3. 4.
5.
a≥0时：√a，-√a，±√a的区别与联系。 区别一：正数有两个平方根，它们的和为零。 有一个算术平方根。 区别二：表示方法不同： √a； ±√a 区别三：取值范围不同：正数的算术平方根 一定是正数，平方根一正一负互为相反数。 联系：平方根包含算术平方根；被开方数都 必须是非负数；0的平方根和算术平方根都 是 0。
（ 5） (－ 4 )2的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿ 4 10 （ 6） 10的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿
1＿ .2 36=＿ ＿ 1.44=＿
6
3 1 2 =＿ ＿ 25=＿ ＿ 2 4
5
【练习】 求下列各数的算术平方根：
（1）900； （4）14
八年级数学第二章_实数
第二章 实数 §2.1数怎么又不够用了一、知识梳理。
知识点1：无理数的概念。
知识点2：有理数与无理数的区别和联系。
区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
②任何一个有理数都可以化成分数形式，无理数则不能。
联系：它们都能写成小数的形式。
二、个性题典。
例1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3．1415926，-3，1..4.1，722，251，-3∏，∏0，0,513 133 13331…，(相邻两个1之间3的个数逐次加1)，例2．下列说法正确的是（ ）A 、不循环小数是无理数B 、分数不是有理数C 、有理数都是有限小数D 、面积为3的正方形的边长是无理数 例3、下列各数是有理数的是（ ）A 、3∏B 、3.14∏C 、0.232232223…D 、∏0 例4、把下列各数填入相应的集合内：-71，0.304，2∏，0.121 221 222 1…（两个1之间依次多1个2）,1312，－32 正数集合｛ …｝； 负数集合｛ …｝； 有理数集合｛ …｝；无理数集合｛ …｝。
三．跟踪训练 （一）选择题。
1、在下列实数中,无理数是（ ）。
A 、O...51 B 、∏ C 、－4 D 、7222、在下列实数中,有理数是（ ）。
A 、3∏ B 、3.14∏ C 、0.232 232 223 … D 、∏03、边长为6的正三角形的高为h,则h 是（ ）。
A 、无理数 B 、分数 C 、有理数 D 、整数4、下列式子不是无理数的（ ）。
A 、6∏ B 、∏＋5 C 、（∏－3）0D 、∏－3.14 5、面积是3的正方形的边长是（ ）。
A 、有理数 B 、无理数 C 、整数 D 、分数6、如果x 2=10，下列说法正确的是（ ）。
A 、x 可能是整数 B 、x 可能是分数 C 、x 可能是有理数 D 、x 不是有理数7、作一个面积为132cm 的正方形,它的边长可能（ ）。
八年级上册期末章节复习第二章实数
第二章实数 1．平方根2．算术平方根3．立方根例题1、 （1）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________． （2）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，则这个数是________． 例题2、判断下列各题，并说明理由 （19±． （ ） （2）算术平方根一定是正数． （ ） （3（ ） （4）2a -没有算术平方根．（ ） （53=±． （ ） （6）若236x =，则6x ==±． （ ） （7）6-是2(6)-的平方根． （ ） （8）2(6)-的平方根是6-． （ ） （9）2a 的算术平方根是a ．（ ） （105，则5a =-．（ ）（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． （ ） （12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． （ ） 例题3、（1|227|0xy x y -+-=，求①22x y +；②22444x y x y --．（2）（七初半期）已知：2y =-，则34x y +=_______．（3）已知x 、y为实数，y =________．（4）（育才期末）若x 、y为实数，且满足||4y x =-________．（5）（嘉祥2014-2015半期）已知x ，y 为实数，(0 y -=，那么20112011x y -=________． 例题4、（1）若3x =-，则|1=________；计算|3π|-_______．（2）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：||||a b b c ++________．（322000=，y =，求y x -的平方根．例题5、（1）求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338-； ⑤2(5)-（22±，27x y ++的立方根为4，求x y +的值．（3a =，2(0)y b y =<8(4)b a >18=，求xy 的值．实数的概念、估算和分类 模块一：实数的估算和高斯记号1．估算法：（1）若120a a a ≤<<；（2）若12a a a <<<根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a 最近的两个平方数和立方数，916a <<，则34<<；827a <<，则23<．1.414 1.7322.236．2．高斯记号：任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分．的整数部分为223的整数部分为1，那么小4；4-，那么小数部分为4例题1、（1）若4m -，则估计m 的范围为（ ）．A ．12m <<B ．23m <<C ．34m <<D ．45m << （2）比较下列各数大小：0.5；②3-____-例题2、（1）对于一个无理数m ，我们把不超过m 的最大整数叫做m 的整数部分，把m 减去整数部分的差叫做m 的小数部分．设1x =，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分．求323a b ab ++的值．（2）（成外半期）若99的小数部分分别为a 与b ，则a b +=_______．（3）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则[100]++++=________． 模块三：实数的概念和分类1．无理数： 叫无理数． 2．实数： 和 统称实数．3．实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是 .4．请你对实数进行分类：例题1、（1）227，，3.14，π，0π，0.61414，0.1001000100001……这9个实数中，无理数的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 （2）下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数；②有理数与无理数之积是无理数； ③无理数与无理数之和是无理数；④无理数与无理数之积是无理数． 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．例题2、计算：（1（2）2（3）202π)-+ （4）21)-例题3、已知x ，y 是有理数，且11 2.25034x y ⎛⎛++--= ⎝⎭⎝⎭，求x ，y 的值．。