2019年高考天津卷文科数学试题(含解析)
天津2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一、选择题1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x R x =-==∈≤<，则()A C B =（ ）A.{2}B.{2,3}C.{1,2,3}-D.{1,2,3,4} 【答案】D 【解析】{1,2}AC =,(){1,2,3,4}A C B =，故选D.2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ）A.2B.3C.5D.6 【答案】C【解析】画出可行域，如图，当4E x y =-+经过(1,1)D -时，取最大值max 415z =+=.3.设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由|1|1x -<，得02x <<，“05x <<”不可以推出“02x <<”， 而“02x <<”可推出“05x <<”,故为的必要不充分条件，故选B.4.阅读的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A.5B.8C.24D.29 【答案】B【解析】1,1i S ==；2,1,1225i j S ===+⨯=；3,538i S ==+=；4i =，满足4i ≥，输出8S =.5.已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.c b a <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 【答案】A 【解析】0.2332230.3log 8log 19log 2log 4lo 3g 7c b a ==<=<=<==<.6.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =(O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）2【答案】D【解析】由题意知(1,0)F ，:1l x =-，||4AB =，所以24ba=，e ==.7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x：若()4g π=3()8f π=（ ） A.2-B.2 【答案】C【解析】由题意知(0)00f ϕ=⇒=，所以()sin()f x A x ω=，()()sin()22x xg x f A ω==，()g x 的最小正周期为2π，且()4g π=()2sin 2f x x =，3()8f π=.8.已知函数1,()1, 1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A.59[,]44B.59(,]44C.59(,]{1}44D.59 [,]{1}44【答案】D【解析】方法一：当1a =时，令104x+=即2840([0,1])t t t +-==，解得4(0,1)t =∈，令110(1)4x x x+-=>，解得2x =，排除A,B ； 当54a =时，令5044x +=即2850([0,1])t t t +-==，解得4(0,1)t =∈，令150(1)44x x x +-=>，解得4x =，排除C. 方法二：如图，当直线14y x a =-+过(1,2)点时，有2191044a a -=-⇒=-， 过(1,1)点时，有1151044a a -=-⇒=-， 当直线14y x a =-+与曲线1(1)y x x =>相切时，可求得切点1(2,)2， 此时1121204a a -=-⇒=-，综上，实数a 的取值范围为59 [,]{1}44.二.填空题 9.i 是虚数单位，则5||1ii-+的值为 .【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-.10.设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 . 【答案】(21,)3-【解析】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<，即213x -<<，故x 的取值范围是2(1,)3-.11.曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为 . 【答案】220x y +-=【解析】1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-，故所求的切线方程为112y x-=-，即220x y +-=.12.的正方核侧枝长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 【答案】4π【解析】显然圆柱的直径等于1，圆柱的高等于1，所以圆柱的体积等于4π.13.设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 .【答案】92【解析】∵0,0,24x y x y >>+=，∴42x y =+≥≤2xy ≤，当且仅当22x y ==时等号成立.，∵(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=.14.在四边形ABCD 中，//,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 【答案】1-【解析】如图所示，//,5,30AD BC AB AD BAC ==∠=︒，又AE BE =，所以120AEB ∠=︒，根据余弦定理222cos1202AE BE AB AE BE +-︒=⋅⋅，解得2AE BE ==，所以25BE AD =-，又BD AD AB =-，25AE AB BE AB AD =+=-，所以72()()(12525)15525AB A BD AE AD A D B ⋅=-⋅=--⨯⨯⨯=--.三、解答题15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如右表，其中“”表示享受.“⨯”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. （i ）使用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率. 【解析】（1）由已知老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25为员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （2）（i ）从已知6人中随机抽取2人的所有可能结果为{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 共15种.（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A D A E A F B D B E B F C E C F D F E F 共11种.所以，事件M 发生的概率11()15P M =.16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求in 6(s 2)B π-的值.【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =，由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅. （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2coscos 2sin666828(2)16B B B πππ+=+=--⨯=-17.如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3. 【解析】（1）证明：连接BD ，易知AC BD H =，BH DH =.又由BG PG =，故//GH PD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//GH 平面PAD . （2）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得D N P C ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥，又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）解：连接AN ，由（2）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角.因为PCD ∆是等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以DN =DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，sin 3DN DAN AD ∠==.所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3. 18.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a =，3243b a =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足.求*112222()n n a c a c a c n N +++∈.【答案】（1）3n a n =；3n nb =；（2）22*(21)3692()n n n n N +-++∈.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n =+-=，1333n nn b -=⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n nb =.（2）112222n n a c a c a c +++135212142632(())n b n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++123(1)366[3123183632]()n n n n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯2123613233()n n n =+⨯+⨯++⨯.记1213233nn T n =⨯+⨯++⨯，① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯，②②-①得，231233333n n n T n +=-----+⨯11313(21)333132()n n n n n ++--+=-+⨯=-. 所以122112222(21)3336332n n n n n a c a c A a c n T n +-++++=++⨯22*(21)3692()n n n n N +-++=∈.19.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上.且//OC AP ，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c2b =，又由222a b c =+，消去b得222(2)a a c =+，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2a c =，b =，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+.点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1x c =，2137c x =-.代入到l 的方程，解得132y c =，2914y c =-.因为点P 在x 轴上方，所以2()3,P c c .（2）由圆C 在直线4x =上，可设(4,)c t .因为//OC AP ，且由（1）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l||3(4)22c +-=，可得2c =. 所以，椭圆的方程为2211612x y +=.20.设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈. （1）若0a ≤，讨论()f x 的单调性； （2）若10ea <<. （i ）证明()f x 恰有两个零点；（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->. 【解析】（1）由已知()f x 的定义域为(0,)+∞，且2[11()(]1)x x xax e f x ae a x e x x-'=-+-=.因此当0a ≤时，210x ax e ->，从而()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（2）证明：（i ）由（1）知，21()x ax e f x x -'=.令2()1xg x ax e =-，由10a e <<，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)10g ae =->，且22()()1111ln 1ln 1ln 0()g a a a a a=-=-<，故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设0x ，则011ln x a<<.当0()0,x x ∈时，0(())()0g x g x f x x x '=>=，所以()f x 在0(0,)x 内单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，0()()()0g x g x x x f x<'==，所以()f x 在0(,)x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h x x'=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()(1)0h x h <=，所以ln 1x x <-，从而1ln 111111ln ln ln ln ()1ln ln ln ln 0())1(a f a e h a a a a a a=--=-+=<，又因为0()(1)0f x f >=，所以()f x 在0(),x +∞内有唯一零点.又()f x 在0(0,)x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰好有两个零点. （ii ）由题意01()()00f x f x '=⎧⎨=⎩，即0120111ln )1(x x ax x a e x e⎧=⎨=-⎩，从而1011201ln x x x x e x --=，即102011ln 1x x x x e x -=-. 因为当1x >时，ln 1x x ≤-，又101x x >>，故10220101()11x x x x e x x --<=-，两边取对数，得020ln ln x x e x -<，于是100021(ln )2x x x x -<<-，整理得0132x x ->.。
2019高考天津文科数学真题、答题卡、答案(16开、免排版、可编辑)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3－5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：●如果事件A、B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)●如果事件A、B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B).●圆柱的体积公式V＝Sh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.●棱锥的体积公式V＝Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合A＝{－1，1，2，3，5},B＝{2，3，4}，C＝｛x∈R|1≤x＜3｝，则(A∩C) ∪B(A){2} (B){2，3}(C){－1，2，3} (D){1，2，3，4}(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为(A)2 (B)3 (C)5 (D)6(3)设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(A)5(B)8(C)24(D)29(5) 已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(A) c＜b＜a(B)a＜b＜c(C)b＜c＜a(D)c＜a＜b(6) 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(A)(B)(C)2 (D)(7) 已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f (x)的最小正周期为π，将y＝f (x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g (x).若g ()＝，则f ()＝(A)－2 (B)－(C)(D)2(8)已知函数 f (x)＝若关于x的方程 f (x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(A)[，] (B)(，](C) (，]∪{1} (D) [，]∪{1}绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(文史类)第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年天津高考试题(文数,word解析版)
2019年天津高考试题（文数，word 解析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！数学〔文科〕本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共150分，考试用时120分钟。
第一卷1至2页，第二卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第一卷本卷须知1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=13Sh 其中S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。
2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本答题共6小题，每题5分，共30分。
〔9〕集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位.【解析】3-不等式52≤-x ，即525≤-≤-x ，73≤≤-x ，所以集合}73{≤≤-=x x A ，所以最小的整数为3-。
【答案】3-〔10〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m 〕,那么该几何体的体积3m.【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。
长方体的体积为24243=⨯⨯，五棱柱的体积是6412)21(=⨯⨯+，所以几何体的总体积为30。
【答案】30 〔11〕双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,那么a =b =【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-by a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=ab，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。
2019年高考天津卷文科数学试题解析
2019年高考天津卷文科数学试题解析1.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()AC B = A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4} D先求A B ⋂，再求()AC B 。
解析：因为{1,2}AC =， 所以(){1,2,3,4}AC B =. 故选D 。
2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A. 2B. 3C. 5D. 6D画出可行域，用截距模型求最值。
解析：已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距，故目标函数在点A 处取得最大值。
由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -， 所以max 4(1)15z =-⨯-+=。
故选C 。
3.设x R ∈，则“05x <<”是“11x -<”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B 求出11x -<的解集，根据两解集的包含关系确定. 解析：11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<。
故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。
故选B 。
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A. 5B. 8C. 24D. 29。
(精校版)【高考真题】2019年天津卷文数高考试题文档版(有答案)
【详解】因为 A C {1,2} ，所以 ( A C ) B {1,2,3,4} .故选 D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结
合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.【答案】 D 【分析】画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
（ B ）必要而不充分条件
（ C）充要条件
（ D ）既不充分也不必要条件
（ 4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出
S 的值为
1
（A ）5
（B）8
（ C） 24
（ D） 29
（ 5）已知 a log 2 7, b log 3 8, c 0.30.2 ，则 a， b， c 的大小关系为
（A） c b a
· 棱锥的体积公式 V
1 Sh ，其中
S 表示棱锥的底面面积，
h 表示棱锥的高 .
3
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合 A { 1,1,2,3,5}, B {2,3,4}, C { x R |1, x 3} ，则 ( A C ) B
（ A ）{2}
（B ） {2 ， 3}
（15）（本小题满分 13 分）
2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住
房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除
. 某单位老、中、青员工分别有
72,108,120 人，现采用分层抽样的方法， 从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的
享受情况 .
a
a
a
所以 AB
2019年高考文数天津卷-答案
2019年普通高等学校全国统一招生考试（天津市）数学（文史类）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】D【解析】通解：{}1,2A C ⋂=，{}2,3,4B =，所以{}()1,2,3,4A C B ⋂⋃=，故选D .优解：因为|2,3,4|B =，所以()A C B ⋂⋃中一定含有2，3，4三个元素，故排除A ，B ，C ，选D . 【考点】集合的交运算与并运算 【考查能力】运算求解 2．【答案】C【解析】解法一 作出可行域如图中阴影部分所示.由4z x y =-+得4y x z =+，结合图形可知当直线4y x z =+过点A 时，z 最大，由20,1,x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，.故max 4(1)15z =-⨯-+=.故选C.解法二易知目标函数：4z x y =-+的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是(1,1)-，(0,2)，(1,1)--，(3,1)-.当直线4y x z =+经过点(1,1)-时，5z =；当直线4y x z =+经过点(0,2)时，2z =；当直线4y x z =+经过点(1,1)--时，3z =；当直线4y x z =+经过点(3,1)-时，：13z =-.所以max 5z =，故选C.【考点】简单的线性规划问题 【考查能力】数形结合，运算求解 3．【答案】B【解析】由11x -＜，解得02x ＜＜，(0,2)(0,5)Ú，故“05x ＜＜”是“11x -＜”的必要而不充分条件.故选B.【考点】绝对值不等式的解法，充要关系 【考查能力】逻辑推理，运算求解 4．【答案】B【解析】由题意知，011S =+=，2i =；1j =，11225S ⨯=+=，3i =；538S =+=，4i =，退出循环.故输出的结果为8，故选B. 【考点】循环结构的程序框图 【考查能力】逻辑思维，运算求解 5．【答案】A【解析】因为22log 7log 42a ==＞，33log 8log 92b ==＜，3log 81b =＞，0.20.31c =＜，所以c b a <<.故选A.【考点】对数函数与指数函数的性质 【考查能力】逻辑推理，运算求解 6．【答案】D【解析】由题意知(1,0)F ，:1l x =-，双曲线的渐近线方程为by x a =±，则||4||4A B O F ==，而||2bAB a=⨯，所以2ba=，所以c e a ==== D. 【考点】抛物线与双曲线的几何性质【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解 7．【答案】B【解析】因为()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且其最小正周期为π，所以0ϕ=，2ω=，()sin 2f x A x =，()sin g x A x =，所以2A =，故()2sin 2f x x =，332sin 84f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭C. 【考点】三角函数的图象变换，三角函数的奇偶性、周期性 【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解 8．【答案】D【解析】由题意画出()f x 的图象，如图所示，当直线14y x a =-+与曲线1(1)y x x=>相切时，方程114x a x =-+有一个解，2440x ax -+=，2(4)440a ∆=--⨯=，得1a =，此时1()4f x x a =-+有两个解.当直线1()4f x x a =-+经过点(1,2)时，即1214a =-⨯+，所以94a =，当直线1()4f x x a =-+经过点(1,1)时，1114a =-⨯+，得54a =，从图象可以看出当59,44a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数01,()1,1x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩剟的图象与直线，14y x a =-+有两个交点，即方程1()4f x x a =-+有两个互异的实数解.故选D.【考点】分段函数的图象与性质，函数图象的交点与方程的解之间的关系 【考查能力】分析问题，解决问题，数形结合，运算求解第Ⅱ卷二、填空题9．【解析】通解5i (5i)(1i)46i23i 1i (1i)(1i)2----===-++-，于是5i 23i 1i -=-==+.优解 5i |5i |1i |1i |--=++【考点】复数的运算及复数的模 【考查能力】运算求解10．【答案】21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】2320x x +-＜，即(32)(1)0x x -+＜，所以213x -＜＜. 【考点】一元二次不等式的解法 11．【答案】220x y +-= 【解析】由题意知1si 'n 2y x =--，于是01'2x y ==-，所以所求切线方程为11(0)2y x -=--，即220x y +-=. 【考点】导数的几何意义、切线方程 【考查能力】运算求解 12．【答案】4π【解析】由题意得圆柱的高为四棱锥高的一半，底面圆的直径为以四棱锥侧校的四个中点为顶点的正方形的对角线，易求得圆柱的底面圆的直径为1，高为1，所以该圆柱的体积21π124V ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭π.【考点】空间几何体的内接几何体 13．【答案】92【解析】解法一：由题意知42x y =-，代入得222(421)(21)48552(42)2424y y y y y y y y y y-++-++==+--+-+，当了1x =时，224y y -+取得最大值2，此时原式取得最小值，所以(1)(21)59222x y xy +++=….解法二：由题意知22xy =-，代入222(1)(41)(22)(5)2810102(4)4422x x x x x x x x x x x x x x +-++--++===+--+-+⎛⎫- ⎪⎝⎭，当当2x =时，24x x -+你取得最大值4，此时原式取得最小值，所以(1)(21)59222x y xy +++=….解法三：由题意知(1)(21)2212552x y x y x y x y x y x yx y x y++++++===+因为0x ＞，0y ＞，所以42x y y =+…2xy ≤，当且仅当22x y ==时取“=”，所以(1)(21)59222x y xy +++=….【考点】二次函数的性质，基本不等式的应用 【考查能力】运算求解，化归与转化 14．【答案】1x -…【解析】通解：AEB △ 为等腰三角形，易得||2BE =，所以25A E A B B E A B AD =+=-uu u r uu u r uur uu u r uuu r，则22227|()1012211555BD AE AD AB AB AD AD AB AD AB ⎛⎫⋅=-⋅-=--+⋅=--+=- ⎪⎝⎭uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuur uu u r uuu r uu u r .优解：如图，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，垂直BC 且过点B 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(00)B ，，易知(2,0)E -，(A -，又BD所以D ，于是BD =uu u r，(1,AE =uu u r，所以(1,231BD AE ⋅=⋅=-=-u r uu u r.【考点】平面向量基本定理，向量的数量积 【考查能力】分析问题与解决问题，运算求解 三.解答题15.【答案】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （Ⅱ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C {, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B F C D C E {,},C F{,},{,},{,}D E D F E F ，共15种.（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B C E B F E C F D F E F ，共11种.所以，事件M 发生的概率11()15P M =. 【解题思路】（Ⅰ）先根据题意求出老、中、青员工人数之比，然后用分层抽样的知识即可求解； （Ⅱ）（i ）利用列举法即可求解；（ii ）先找出事件M 包含的结果，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【考点】随机抽样，用列举法计算随机事件所含的基本事件数，古典概型及其概率计算公式 【考查能力】用概率知识解决简单实际问题 16.【答案】（Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得s i n s i n b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.【解析】（1）由正弦定理及已知条件得34b a =，再结合2b c a +=将b ，c 用a 表示，最后用余弦定理求cos B ；（Ⅱ）结合（I ）求出sin B ，进而求出2sin B ，2cos B ，最后利用两角和的正弦公式即可得出结果. 【考点】同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，正弦定理、余弦定理 【考查能力】运算求解能力17.【答案】（Ⅰ）证明：连接BD ，易知AC BD H =I ，BH DH =.又由BG=PG ，故G H P D ∥.又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD .（Ⅱ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面P AC ，又PA ⊂平面P AC ，故D N P A ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =I ，所以PA ⊥平面PCD.（Ⅲ）解：连接AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角，因为PCD △为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以DN =又DN AN ⊥，在Rt AND △中，sin DN DAN AD ∠==所以，直线AD 与平面PAC . 【解析】（I ）连接BD ，由三角形的中位线定理得GH PD ∥，结合线面平行的判定定理即可得出结论； （Ⅱ）取PC 的中点N ，连接DN ，则D N P C ⊥，由面面垂直的性质定理得DN ⊥平面P AC ，进而得DN PA ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅲ）连接AN ，则由（Ⅱ）得DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角，再计算sin DAN ∠即可. 【考点】直线与平面平行，直线与平面垂直，平面与平面垂直，直线与平面所成的角 【考查能力】空间想象，推理论证18.【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n nn n a n n b -=+-==⨯=. 所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3nn b =.（Ⅱ）解：112222n n a c a c a c +++L()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L 123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦L()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .记1213233nn T n =⨯+⨯++⨯L ,① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②②−①得，()12311313(21)332333331332n n n n n n n T n n +++--+=---⨯=-+⨯=--+-L .所以，122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L()22(21)3692n n n n +*-++=∈N . 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列0.的公比为q ，由已知条件建立方程组进行求解即可； （Ⅱ）利用分组求和法及错位相减法求解.【考点】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式 【考查能力】数列求和的基本方法，运算求解19.【答案】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+ 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-.因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（Ⅰ）知(2, 0)A c -，故3242c t c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【解析】（I|2||OA OB =2b =，结合222a b c =+，求出椭圆的离心率；（Ⅱ）由（I ）得出2a c =，b =，用c 表示出椭因方程与直线l 的方程，联立方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，求出点P 的坐标，利用已知条件可求解c 的值，进而得到椭圆的方程. 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆，用代数方法研究圆锥曲线的性质 【考查能力】运算求解，用方程思想，数形结合思想解决问题 20.【答案】（Ⅰ）解：由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且211e ()e (1)e x x xf ax x a a x x x-⎡⎤=-+-=⎣'⎦. 因此当a ≤0时，21e 0x ax -＞，从而()0f x '＞，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（Ⅱ）证明：（i ）由（Ⅰ）知21e ()x ax f x x -'=.令2()1e xg x ax =-，由10ea <<，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)1e 0g a =-＞，且221111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a＜＜.当()00,x x ∈时，()0()()0g x g x f x x x'=>=，所以()f x 在()00,x 内单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0()()0g x g x f x x x'=<=，所以()f x 在()0,x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h'x x=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x ＞时，()(1)0h x h <=，所以ln 1x x <-.从而ln 1111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0f x f =＞，所以()f x 在0(,)x +∞内有唯零点.又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点.（ii ）由题意，()()010,0,f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩即()012011e 1,ln e ,1x x ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-.因为当1x ＞时，ln 1x x -＜，又101x x ＞＞，故()102012011e 1x x x x x x --<=-，两边取对数，得1020lne ln x x x -＜，于是()10002l n 21x x x x --＜＜，整理得013 2x x ->.【解题思路】（I ）首先求出导数，根据0a ≤，确定函数的单调性；（Ⅱ）（i ）利用导数及函数的零点存在性定理得函数()f x 的单调性及()f x 具有唯一极值点，然后构造函数，结合函数的单调性及零点存在性定理证明()f x 恰有两个零点； （ii ）建立0x 与x 的关系式，通过放缩法得证.【考点】导数的运算，不等式证明，运用导数研究函数的性质 【考查能力】综合分析问题和解决问题的能力。
(完整版)2019年天津市高考数学(文科)试题
2019年天津市高考数学（文科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．是虚数单位，复数131i i--=A ．2i -B ． 2i +C ．12i --D ．12i -+ 2．设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为A ．-4B ．0C ．43D ．43．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为A ．,0.5B ．1C ．2D ．44．设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈->=∈<，{}|(2)0C x R x x =∈->，则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 5．已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则A ．a b c >>B ．a c b >>C ． b a c >>D ．c a b >>二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知集合{}|12,A x R x Z =∈-<为整数集，则集合A Z ⋂中 所有元素的和等于________10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为__________3m11．已知{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，若3206,20,a S ==则10S 的值为_______12．已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为__________ 13．如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE与圆相切，则CE 的长为__________14．已知直角梯形ABCD 中AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB+u u u r u u u r的最小值为____________三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人， （i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50分的概率． 16．（本小题满分13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,23.B C b a ==（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4A π+的值．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为 平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．19．（本小题满分14分）已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．。
2019年天津ⅠⅡ卷高考全国统一考试-文科数学题及答案
2019年天津ⅠⅡ卷高考全国统一考试-文科数学题及答案绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津Ⅰ卷）数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高 ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =（A ）{2}（B ）{2，3}（C ）{-1，2，3}（D ）{1，2，3，4}（2）设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≥则目标函数4z x y =-+的最大值为（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）6（3）设x R ∈，则“05x <<”是“11x -<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（A ）5 （B ）8（C ）24（D ）29（5）已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（A ）c b a << （B ）a b c << （c ）b c a <<（D ）c a b <<（6）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 （A 2（B 3（C ）2（D 5（7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）-2（B）（C（D ）2（8）已知函数01,()1,1.x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 （A ）59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）59,44⎛⎤⎥⎝⎦（C ）59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦（D ）59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年高考真题文科数学天津卷
（9） i 是虚数单位，则的值 5 − i 的值为__________. 1+ i
（10）设 x ∈ R ，使不等式 3x2 + x − 2 < 0 成立的 x 的取值范围为__________.
（11）曲线=y cos x − x 在点 (0,1) 处的切线方程为__________.
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条 形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。
，共 15 种.
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
{A, B},{A, D},{A, E},{A, F},{B, D},{B, E},{B, F},{C, E},{C, F},{D, F},{E, F} ，
共 11 种.
所以，事件 M 发生的概率 P(M ) = 11 15
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦
期为π ，将 y = f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图
象对应的函数为
g
(
x)
.若
g
π 4
=
2
，则
f
3π 8
=
（A）-2
（B） − 2
（C） 2
2019年天津市高考数学(文科)试题(可编辑修改word版)
⎨ ⎩2019 年天津市高考数学（文科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 是虚数单位，复数1- 3i =1- iA ． 2 - iB ． 2 + iC ． -1- 2i⎧x ≥ 1,D ． -1+ 2i2. 设变量 x ，y 满足约束条件⎪x + y - 4 ≤ 0, ⎪x - 3y + 4 ≤ 0,为则目标函数z = 3x - y 的最大值A ．-4B ．0C ． 43D ．43．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输 出 y 的值为A ．,0.5B ．1C ．2D ．44．设集合 A = {x ∈ R | x - 2 > 0}, B = {x ∈ R | x < 0}，C = {x ∈ R | x (x - 2) > 0} ，则“ x ∈ A ⋃ B ”是“ x ∈ C ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．已知a = log 2 3.6, b = log 4 3.2, c = log 4 3.6 则 A ． a > b > cB ． a > c > bC ． b > a > cD ． c > a > b二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9.已知集合A ={x ∈R | x -1 < 2}, Z 为整数集，则集合A ⋂Z 中所有元素的和等于10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为m311.已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n 项和，n ∈N *，若a3 = 6, S20= 20, 则S10 的值为12.已知log2 a + log2b ≥1，则3a+ 9b的最小值为13.如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，EPA + 3PB 的最小值为是 AB 延长线上一点，且DF = CF = 长为2, AF : FB : BE = 4 : 2 :1. 若CE 与圆相切，则CE 的14. 已知直角梯形 A BCD 中 A D // B C , ∠ADC = 900 , A D = 2, B C = 1 , P 是腰DC上的动点，则三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）编号为 A 1 , A 2 ,⋅⋅⋅, A 16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；（Ⅱ）从得分在区间[20, 30) 内的运动员中随机抽取 2 人，（i ） 用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；运动员编 号 A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8得分 1535212825361834运动员编 号A 9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A 16得分 17 26 25 33 22 12 3138区 间[10, 20) [20, 30) [30, 40]人 数) （ii ） 求这 2 人得分之和大于 50 分的概率．16．（本小题满分 13 分）在△ ABC 中，内角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ，已知B = C , 2b = （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ） cos(2 A + 的值．3a .417．（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ∠ADC = 450 ， AD = AC = 1 ， O 为 AC 中点，PO ⊥ 平面 ABCD ， PO = 2 ， M 为PD 中点．（Ⅰ）证明： PB //平面 ACM ； （Ⅱ）证明： AD ⊥ 平面PAC ；（Ⅲ）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值．19．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x ) = 4x 3 + 3tx 2 - 6tx + t -1, x ∈ R ，其中t ∈ R ． （Ⅰ）当t = 1时，求曲线 y = f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）当t ≠ 0 时，求 f (x ) 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t ∈(0, +∞), f (x ) 在区间(0,1) 内均存在零点．。
【数学】2019年高考真题——天津卷(文)(精校版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学第Ⅰ卷一、选择题1．设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x ＜3}，则(A ∩C )∪B 等于( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3} D ．{1,2,3,4}答案 D解析 由条件可得A ∩C ＝{1,2}，故(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}．2．设变量x ，y 满足约束条件{x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线－4x ＋y ＝0，并平移，可知当直线过点A 时，z 取得最大值．由{x ＝－1，x －y ＋2＝0，可得{x ＝－1，y ＝1，所以点A 的坐标为(－1,1)，故z max ＝－4×(－1)＋1＝5.3．设x ∈R ，则“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由|x －1|＜1可得0＜x ＜2，所以“|x －1|＜1的解集”是“0＜x ＜5的解集”的真子集．故“0＜x ＜5”是“|x －1|＜1”的必要不充分条件．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()A．5 B．8 C．24 D．29答案B解析执行程序框图，S＝1，i＝2，j＝1，S＝1＋4＝5，i＝3，S＝8，i＝4，满足i≥4，输出的S＝8.5．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜a B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b答案A解析∵a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2且b＞1，c＝0.30.2＜0.30＝1，∴c＜b＜a.6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.√2B.√3C．2 D.√5答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±bax.将x＝－1代入y＝±ba x，得y＝±ba，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|＝4|OF|可得2ba＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ca ＝√a2+b2a2＝√5.7．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(π4)＝√2，则f(3π8)等于()A．－2 B．－√2 C.√2D．2答案C解析∵函数f(x)为奇函数，且|φ|＜π，∴φ＝0.又f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，解得ω＝2，∴f (x )＝A sin 2x . 由题意可得g (x )＝A sin x ，g (π4)＝√2，即A sin π4＝√2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin 2x . ∴f (3π8)＝2sin3π4＝√3.8．已知函数f (x )＝{2√x,0≤x ≤1,1x,x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A.[54,94] B.(54,94] C. (54,94]∪{1} D. [54,94]∪{1}答案 D 解析 如图，画出函数y ＝f (x )的图象，而y ＝－14x ＋a 的图象是一条斜率为－14的直线，在y 轴的截距为a .①先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2√x 的图象只有一个交点的情况． 当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1,2)时，2＝－14＋a ，解得a ＝94，所以0≤a ≤9144；②再研究当x ＞1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况．当直线与y ＝1x 的图象相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为(2,12)，可得a ＝1. 当直线与y ＝1x的图象相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向上平移时与y ＝1x的图象只有一个交点．直线过点A (1,1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为[54,94]∪{1}．第Ⅱ卷 二、填空题9．i 是虚数单位，则|5−i1+i |的值为________． 答案 √13 解析 方法一5−i1+i ＝(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)＝4−6i 2＝2－3i ，故|5−i1+i |＝√4+9＝√13.方法二 |5−i 1+i|＝|5−i 1+i|＝√25+11+1＝√26√2＝√13. 10．设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2＜0成立的x 的取值范围为________． 答案 (−1,23)解析 3x 2＋x －2＜0变形为(x ＋1)(3x －2)＜0，解得－1＜x ＜23，故使不等式成立的x 的取值范围为(−1,23).11．曲线y ＝cos x －x2在点(0,1)处的切线方程为________． 答案 x ＋2y －2＝0解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12.所以切线方程为y －1＝－12x ，即x ＋2y －2＝0.12．已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形，侧棱长均为√5，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________． 答案 π4解析 由题意可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为√5−1＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×(12)2×1＝π4. 13．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为________．答案 92 解析 (x+1)(2y+1)xy＝2xy+x+2y+1xy＝2xy+5xy＝2＋5xy.∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4，∴4≥2√2xy (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)， ∴2xy ≤4，∴1xy ≥12，∴2＋5xy≥2＋52＝92.14．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________. 答案 －1解析 方法一 在等腰△ABE 中，易得∠BAE ＝∠ABE ＝30°，故BE ＝2，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )A ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝5×2√3×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2√3×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二 在△ABD 中，由余弦定理可得BD ＝√AD 2+AB 2−2×AD ×AB ×cos∠BAD ＝√7，所以cos ∠ABD ＝AB 2+BD 2−AD 22×AB×BD＝－√2114，则sin ∠ABD ＝5√714.设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AE⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD ＋30°)＝－cos(∠ABD －30°)＝－cos ∠ABD ·cos 30°－sin ∠ABD ·sin 30°＝－√714，在△ABE 中，易得AE ＝BE ＝2，故BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝√7×2×(−√714)＝－1. 三、解答题15．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种． 所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C . (1)求cos B 的值； (2)求sin (2B +π6)的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sinB＝csinC，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，又sin C ≠0，所以3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a ，由余弦定理可得cos B ＝a 2+c 2−b 22ac＝a 2+49a 2−169a 22∙a∙23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝√1−cos 2B ＝√154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin (2B +π6)＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－√158×√32－78×12＝－3√5+716. 17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面P AD ； (2)求证：P A ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值． (1)证明 连接BD ，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH . 又由BG ＝PG ，故GH ∥PD .又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ， 所以GH ∥平面P AD .(2)证明 取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC .又因为平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ，DN ⊂平面PCD ， 所以DN ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，所以DN ⊥P A .又已知P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ，CD ，DN ⊂平面PCD ， 所以P A ⊥平面PCD .(3)解 连接AN ，由(2)中DN ⊥平面P AC ，可知∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角． 因为△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点， 所以DN ＝√3.又DN ⊥AN ，在Rt △AND 中，sin ∠DAN ＝DN AD＝√33，所以直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为√33.18．设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝{1,n 为奇数，b n 2,n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0. 依题意，得{3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得{d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝[n ×3+n(n−1)2×6]＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1 ＝－3(1−3n )1−3＋n ×3n ＋1＝(2n−1)3n+1+32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n＝3n 2＋3×(2n−1)3n+1+32＝3(n−1)3n+2+6n 2+92 (n ∈N *)．19．设椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知√3|OA |＝2|OB |(O 为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC ∥AP .求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，由已知有√3a ＝2b ，又由a 2＝b 2＋c 2，消去b 得a 2＝(√32a)2＋c 2，解得ca ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)由(1)知，a ＝2c ，b ＝√3c ，故椭圆方程为x 24c2＋y 23c 2＝1.由题意，F (－c,0)，则直线l 的方程为y ＝34(x ＋c )． 点P 的坐标满足{x 24c 2+y 23c 2=1,y =34(x +c ),消去y 并化简，得到7x 2＋6cx －13c 2＝0， 解得x 1＝c ，x 2＝－13c 7.代入到l 的方程，解得y 1＝32c ，y 2＝－914c . 因为点P 在x 轴上方，所以P (c,32c).由圆心C 在直线x ＝4上，可设C (4，t )． 因为OC ∥AP ，且由(1)知A (－2c,0)， 故t4＝32c c+2c ，解得t ＝2.因为圆C 与x 轴相切，所以圆C 的半径为2. 又由圆C 与l 相切，得|34(4+c )−2|√1+(34)2＝2，可得c ＝2.所以，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.20．设函数f (x )＝ln x －a (x －1)e x ，其中a ∈R . (1)若a ≤0，讨论f (x )的单调性； (2)若0＜a ＜1e .①证明：f (x )恰有两个零点；②设x 0为f (x )的极值点，x 1为f (x )的零点，且x 1＞x 0，证明3x 0－x 1＞2. (1)解 由已知，f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1x －[a e x ＋a (x －1)e x ]＝1−ax 2e xx.因此当a ≤0时，1－ax 2e x ＞0，从而f ′(x )＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)内单调递增． (2)证明 ①由(1)知，f ′(x )＝1−ax 2e xx.令g (x )＝1－ax 2e x ，由0＜a ＜1e ，g ′(x )＝－ax ·e x (x ＋2)＜0，可知g (x )在(0，＋∞)内单调递减．又g (1)＝1－a e ＞0，且g (ln 1a )＝1－a (ln 1a )2·1a ＝1－(ln 1a )2＜0， 故g (x )＝0在(0，＋∞)内有唯一解， 从而f ′(x )＝0在(0，＋∞)内有唯一解，不妨设为x 0，则1＜x 0＜ln 1a .当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＝g(x)x＞g(x 0)x＝0，所以f (x )在(0，x 0)内单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＝g(x)x＜g(x 0)x＝0，所以f (x )在(x 0，＋∞)内单调递减， 因此x 0是f (x )的唯一极值点． 令h (x )＝ln x －x ＋1，则当x ＞1时，h ′(x )＝1x －1＜0， 故h (x )在(1，＋∞)内单调递减， 从而当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0， 所以ln x ＜x －1，从而f (ln 1a )＝ln (ln 1a )－a (ln 1a −1)eln 1a ＝ln (ln 1a )－ln 1a ＋1＝h (ln 1a )＜0. 又因为f (x 0)＞f (1)＝0，所以f (x )在(x 0，＋∞)内有唯一零点． 又f (x )在(0，x 0)内有唯一零点1. 从而，f (x )在(0，＋∞)内恰有两个零点． ②由题意，可得{f ′(x 0)=0,f (x 1)=0,即{ax 02e x 0=1,lnx 1=a (x 1−1)e x 1,从而ln x 1＝x−1x 02e x 1−x0， 即ex 1−x 0＝x 02lnx 1x 1−1.因为当x ＞1时，ln x ＜x －1， 又x 1＞x 0＞1， 故e x 1−x 0＜x 02(x 1−1)x 1−1＝x 02，两边取对数，得ln e x 1−x 0＜ln x 02，于是x 1－x 0＜2ln x 0＜2(x 0－1)， 整理得3x 0－x 1＞2.。