2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题01 数与式、方程与不等式(逐题详解版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．8．（20212x -的根为____．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--【答案】D【分析】利用零指数幂的定义分别得出结果即可求解【详解】A 选项0()a =1-，故错误，B 选项0()a =1-，故错误C 选项01a -=-，故错误，D 选项01a -=-，故正确，故选：D【点睛】熟记任何非零次幂的零次幂等于1是解决本题的关键2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 【答案】A【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．【详解】A 选项214x x -+=212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故正确，B 选项21124x x++=213416x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故错误 C 选项21144x x +-=216516256x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故错误，D 选项21144x x -+=216316256x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故错误 故选：A【点睛】本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化．二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 【答案】3-【分析】根据已知得到2y x =，代入所求式子中计算即可． 【详解】解：∵12x y =，∴ 2y x =，∴2332x y x x x x y x x x ++===----：故答案为：-3． 【点睛】本题考查了求分式的值，利用已知得到2y x =后再整体代入是解题的关键．4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 【答案】32- 【分析】只有符号不同的两个数叫互为相反数，根据定义解答． 【详解】32的相反数是32-，故答案为：32-． 【点睛】此题考查互为相反数的定义，掌握定义是解题的关键．5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可．【详解】1sin 30cot 60=236︒⋅︒=⨯，故答案为：6． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．【答案】1+【分析】设BP x =厘米，得2AB x =+厘米，根据题意得()222x x =⨯+，通过求解方程，即可得到答案． 【详解】设BP x =厘米，根据题意得：2AB AP BP x =+=+厘米∵2BP AP AB =⋅，∴()222x x =⨯+ ，∴1x =±10-，故舍去；∴15x ，即1BP =1+．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式、线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．【答案】2【分析】如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b == 由三角形的周长关系可得：5,a b +=再证明：,ANM DEM ∽利用相似三角形的性质求解8,AN a =-再证明：,ANF CEF ∽可得：10432,b a ab +-=再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b ==()1,2AB BE AF AB BC AC ∴++=++ ()1101012815,2a b ∴++=++= 5,a b ∴+=:2:112BD CD BC ==，，84BD CD ∴==，， 8,DE a ∴=- M 为AD 的中点，,AM MD ∴= //AN BC ，,ANM DEM ∴∽ 1AN AM DE DM ∴==， 8,AN a ∴=- //AN BC ，,ANF CEF ∴∽ ,AN AF CE CF ∴= 即：8,848a b a b -=-+- ∴ 10432,b a ab +-= 510432a b b a ab +=⎧∴⎨+-=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩或94a b =⎧⎨=-⎩，经检验：94a b =⎧⎨=-⎩不合题意，舍去， 2.BE ∴= 故答案为：2.【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．（20212x =-的根为____．【答案】x 1=【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x 的值，再进行检验即可得出结果．【详解】解：方程两边同时平方得：()2322x x -=-，∴2210x x -+=，即()210x -=，∴x 1=x 2=1，经检验，x=1是原方程的根，故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题的关键．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．【答案】()17324x x -=【分析】垂直于墙的一段篱筐长为x 米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为3x ，又因为篱笆总长为17米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为()173x -米，最后根据长方形的面积公式即可求解．【详解】解：由题意可得：()17324x x -=．故答案为：()17324x x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 【答案】()21001y x =+； 【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率)n,即可列方程求解． 【详解】依题意得：()21001y x =+，故答案为：()21001y x =+【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率)n =现有量，n 表示增长的次数． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-【答案】2【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题．【详解】解：原式14122⨯=⨯1= 2=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．． 【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y 2，化为22310x x y y --=，然后解一元二次方程，即可求解．【详解】解：222xy y x xy +=-，2230x xy y --=．∵0y ≠，∴22310x x y y --=，∴x y = ∵x 、y表示线段，∴负值不符合题意，∴x y = 【点睛】本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x 、y 的非负性．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-3． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ∴==142ADB S DB AC ∴=⋅=，12ADB S AB DH =⋅，DH ∴=AH ==1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH ⊥CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒，∴ACD EHD ．∴AC EH CD DH = 即44EH x x EH =--．∴()444x EH x -=+ ．∵EH ⊥CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，∴)44x EB x -==+ ，AB =∴)44x AE x -=+，∵EF AD ⊥，90C ∠=︒，∴AFG ADC ∠=∠ ．∵EDB ADC ∠=∠，∴AFG EDB ∠=∠．∵45FAE B ∠=∠=︒，∴AFE BDE ． ∴AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+．整理得，()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt △MDB 中，DB=4-x,所以).x - 在Rt △ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan ∠DAB=44DM x AM x-=⋅+按照点F 的位置，分两种情况讨论△CDF 与△AGE 相似: ①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan ∠FDC=tan ∠DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得-4 或-4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan ∠CFD=tan ∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y xx x-=+结合y=2x-4，整理，得23160.x-=解得或3-（舍去）如果∠CFD=∠DAB,44x xy x-=+与y=2x-4，整理，得238160.x x-+=此方程无解.综上，CD的值为、8-或3．【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题11向量的线性运算(逐题详解版)
a
是非零向量，
r b
2ar
，下列说法中错误的是（
）
A．
b
与
a
平行
B．
b
与
a
互为相反向量
C．
|
b
|
2
|
a
|
D．
a
1
b
2
7．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知向量
a
和
b
都是单位向量，那么下列等式成立的是（
）
A．
a
b
B．
a
b
2
C．
a
b
0
D．
a
b
8．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，已知点 D 、E 分别在 ABC 的边 AB 、AC 上，DE // BC ，AD 2 ，
A． a 2b 0
B． a 与 b 方向相同 C． a / /b
D．| a | 2 | b |
13．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知
a，b
和
c
都是非零向量，下列结论中不能确定
a
/
/b
的是（
）
A．
a
b
B．
2a
3b
C．
a
/
/c，c
/
/b
D． a 1 c，b 3c 2
14．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知 e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
三、解答题
29．（2021·上海九年级一模）如图，在 ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、 AC 上，且 AD 2 ，DB 4 ， AE 3 ， EC 6 ， DE 3.2
2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题01 数与式(逐题详解版)
2020年上海市16区中考数学二模汇编专题01 数与式1. （2020闵行二模）2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模） 13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）一．选择题1.（2020闵行二模）在下列各式中，与213xy 是同类项的是（ ） A. 2xyB. 2y x -C. 213xy +D. 2x y2.（2020嘉定二模）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是 （ ）（A ）214-； （B ）722； （C ）2π； （D ）%50.3.（2020嘉定二模）当0≠x 时，下列运算正确的是 （ ）（A ）523x x x =+； （B ）623x x x =⋅； （C ）923)(x x =； （D ）x x x =÷23．4．（2020松江二模） 下列实数中，有理数是（ ）A ．B ．C ．πD ．3.145.（2020宝山二模） 下列计算正确的是（ ）A. ab b a -=B. 235a a a +=C. 32a a a ÷=D. ()325a a =6.（2020奉贤二模） 下列计算中，结果等于a 2m 的是（ ）A ．a m +a mB ．a m •a 2C ．（a m ）mD ．（a m ）27．（2020奉贤二模）下列等式成立的是（ ）A ．（）2＝3B ．＝﹣3C ．＝3D ．（﹣）2＝﹣38. （2020金山二模） 在下列各数中，无理数是（ ）A ．B ．C ．D ．0.1010019．（2020金山二模）计算（a 3）2的结果是（ ）A ．aB ．a 5C ．a 6D ．a 910.（2020静安二模）下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2020静安二模）一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是（ ）A ．864×102B ．86.4×103C ．8.64×104D ．0.864×10512.（2020长宁二模）下列实数中，无理数是（ ）A ．0B ．C ．﹣3D ．13．（2020长宁二模）下列单项式中，与xy 2是同类项的是（ ）A ．x 2yB ．x 2y 2C ．2xy 2D ．3xy14.（2020崇明二模） 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.15.（2020浦东二模）下列各数是无理数的是（ ）A. B. C. 227 D. 0.116.（2020是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 17.（2020徐汇二模） 下列实数中，有理数是（ ）A. 2πB.C. 227D. 18.（2020徐汇二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A. B. C. D. 19.（2020青浦二模）a （a≠0）的倒数是（ ）A ．aB ．﹣aC ．D ．20．（2020青浦二模）计算（﹣2x ）2的结果是（ ）A ．2x 2B ．﹣2x 2C ．4x 2D ．﹣4x 221.（2020虹口二模）下列各数中，无理数是（ ）A ．2﹣1B ．C ．D ．2π22.（2020杨浦二模） 2020的相反数是（ ）A ．2020B ．﹣2020C ．D ．23．（2020杨浦二模）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 2•a 4＝a 8B ．（a 3）4＝a 7C ．（ab ）4＝ab 4D ．a 6÷a 3＝a 324.（2020黄浦二模）下列正整数中，属于素数的是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．825. （2020普陀二模）下列计算中，正确的是（ ）A.−22=4B.1612=8C.3−1=-3D.(12)−2=426.（2020普陀二模）（2020普陀二模）下列二次根式中，与√2a (a >0)属同类二次根式的是（）A.√2a 2B.√4aC.√8a 3D.√4a 2二．填空题1.（2020闵行二模）计算：252-+=______．2.（2020闵行二模）化简：113a a -=______．3.（2020嘉定二模）计算：=+x x 32__________.4.（2020嘉定二模）函数321+=x y 的定义域是__________.5.（2020嘉定二模）分解因式：1442+x -x __________.6.（2020松江二模） 化简：＝ ．7.（2020宝山二模）2020的相反数是__________．8.（2020宝山二模）计算：()()m n m n -+_________．9.（2020宝山二模）分解因式：244a a-+=___．10.（2020奉贤二模）计算：9a3b÷3a2＝．11．（2020奉贤二模）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是．12．（2020金山二模）分解因式：a2﹣4＝．13．（2020金山二模）某种冠状病毒的直径大约是0.00011毫米，数据0.00011用科学记数法表示为．14.（2020静安二模）计算：a11÷a7＝．15．（2020静安二模）因式分解：x2﹣9＝．16.（2020长宁二模）计算：（x3）2÷（﹣x）2＝．17.（2020崇明二模）计算：()233x=____________.18.（2020崇明二模）因式分解：39a a-=______.19.（2020徐汇二模）计算：11a b-=________．20.（2020徐汇二模）分解因式：223m m+-=_______．21.（2020青浦二模）计算：a3÷a＝．22．（2020青浦二模）在实数范围内分解因式：m2﹣2＝．23.（2020虹口二模）（a2）3＝．24．（2020虹口二模）化简：＝．25.（2020杨浦二模）分解因式：2mx﹣6my＝．26.（2020黄浦二模）计算：6a4÷2a2＝．27．（2020黄浦二模）分解因式：4x2﹣1＝．28.（2020普陀二模）计算a∙(3a)2=_________.三．计算题1.（2020闵行二模）计算：3202022(112-+--+．2.（2020嘉定二模）计算：()()223-1362-1-3++⋅3．（2020松江二模）计算：（）﹣1+﹣+|1﹣|．4.（2020112cos 453-⎛⎫-︒+- ⎪⎝⎭5．（2020奉贤二模）计算：．6.（2020奉贤二模）先化简，再求值：，其中x＝．7．（2020金山二模）计算：+（﹣1）﹣1﹣（）+cos30°．8.（2020静安二模）计算：．9.（2020崇明二模）.计算：12012()122tan601) 3π-+--+︒-（10.（2020浦东二模）计算：11 0311)183-⎛⎫+-++⎪⎝⎭．11.（2020徐汇二模）.1222cos303+--︒+12.（2020青浦二模）计算：．13.（2020虹口二模）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+2．14.（2020杨浦二模）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．15.（2020黄浦二模）计算：+|﹣|﹣﹣3．16.（2020普陀二模）（2020普陀二模）先化简，再求值：xx+1−1x2−1÷x−1x2−2x+1，其中x=√3+12020年上海市16区中考数学二模汇编专题01 数与式2. （2020闵行二模） 2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模） 13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）一．选择题1.（2020闵行二模）在下列各式中，与213xy 是同类项的是（ ） A. 2xyB. 2y x -C. 213xy +D. 2x y【答案】B 【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可得出答案． 【详解】由同类项的概念可知，与213xy 是同类项的是2y x -， 【点睛】本题主要考查同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键．2.（2020嘉定二模）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）（A ）214-； （B ）722； （C ）2π； （D ）%50. 【考查内容】分数的概念【解析】把单位1平均分为多少份，表示这样的一份或者几份的数叫分数，分子在上，分母在下。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题10锐角三角函数(解析版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题10锐角三角函数一、单选题1．（2021·上海金山区·九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=，那么锐角A 的正弦等于（ ）A ．A A 锐角的对边锐角的邻边B ．A 锐角的对边斜边C ．A 锐角的邻边斜边D ．A A 锐角的邻边锐角的对边．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．【详解】在Rt ABC ∆中，90C ∠=，那么锐角A 的正弦=A 锐角的对边斜边，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在ABC 中，如果1sin 2A =，cot 3=B ，那么这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A ＝30°，∠B ＝60°，即可判断三角形的形状．【详解】∠ 1sin 2A =，cot 3=B ，∠∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠ ∠A ＋∠B ＝90°， ∠ 这个三角形一定是直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，那么sin A 的值为（ ）．A ．35B ．34C ．45D ．43【答案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt∠ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=35BC AB =，故选：A ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．4．（2021·上海奉贤区·九年级一模）在 Rt ABC ∆中，90C =∠，如果33,4AC cosA == ，那么 AB 的长为（ ）A ．94B ．4C ．5D ．254【答案】B【分析】根据cosA 34==AC AB ，即可得出AB 的值 【详解】解：在Rt∠ABC 中，∠C=90°，AC=3，又∠,osA 34c ==AC AB ∠AB=4故选：B ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2021·上海虹口区·九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，那么tan A 的值等于（ ）A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】A【分析】在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得tan A . 【详解】解：如图90C ∠=︒，3tan 4BC A AC ∴==.故选：A. 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.6．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东30方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是（ ）A ．10海里B ．C ．5海里D 【答案】B【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可． 【详解】根据题意建立如图所示Rt∠ABC ，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，∠560AC BC tan B tan ==⨯︒=B ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．7．（2021·上海徐汇区·九年级一模）在Rt ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，那么下列结论正确的是（ ）A．4tan3C=B．4cot5C=C．3sin4C=D．4cos5C=【答案】D【分析】先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．【详解】根据勾股定理可得：8AC==，则3tan4ABCAC==；4cot3ACCAB==；3sin5ABCBC==；4cos5ACCBC==；故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键．8．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在∠ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（）A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．10cot50°【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：∠cosB＝BCAB，∠BC＝ABcosB＝10cos50°．故选：A．【点睛】此题主要考查三角函数的定义．余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝bc．9．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】A【分析】根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，即可得出答案．【详解】解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B 处小明看点A 处小丽的仰角是35°，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解是解题的关键． 10．（2021·上海黄浦区·九年级一模）对于锐角α，下列等式中成立的是（ ） A ．sin cos tan ααα=⋅ B ．cos tan cot ααα=⋅ C ．tan cot sin ααα=⋅ D ．cot sin cos ααα=⋅【答案】A【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【详解】解：A ．sin cos tan ααα=⋅，故本选项正确； B ．tan cot 1cos ααα⋅=≠，故本选项错误； C ．cot sin cos tan αααα⋅=≠ ，故本选项错误； D ．cos cot sin cos sin ααααα=≠⋅ ，故本选项错误．故选A ． 【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键．11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，一艘船从A 处向北偏东30°的方向行驶10千米到B 处，再从B 处向正西方向行驶20千米到C 处，这时这艘船与A 的距离（ ）A ．15千米B ．10千米C ．D ．千米【答案】C【分析】根据题意，利用30BAD ∠=︒，根据锐角三角函数求出AD 和BD 的长，从而得到CD 的长，再用勾股定理求出AC 的长． 【详解】解：如图，根据题意，10AB km =，30BAD ∠=︒，∠1sin 301052BD AB km =⋅︒=⨯=，cos30102AD AB =⋅︒=⨯=，∠20BC km =，∠15CD km =，∠AC ==．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．12．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，,2A BC α∠==，那么AB 的长等于（ ）A ．2sin αB ．2sin αC ．2cos αD ．2cos α【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA ＝BCAB，代入求出即可． 【详解】解：∠在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，∠sinA ＝BCAB， ∠AB ＝sin BC A =2sin α，故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．13．（2021·上海金山区·九年级一模）若α是锐角，()2sin 152α+=，那么锐角α等于（ ） A ．15 B ．30 C ．45D ．60【答案】B【分析】由sin45°=2可得()15α+=45°即可确定α．【详解】解：∠sin45°=2，()2sin 152α+=，α是锐角∠()15α+=45°，即α=30°．故选：B ．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定()15α+=45°成为解答本题的关键．14．（2021·上海九年级一模）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，那么cosA 等于（ ） A ．BCABB ．ACABC ．BCACD ．ACBC【答案】B【分析】作出草图，根据锐角的正弦=邻边斜边列式即可． 【详解】解：如图，∠∠C=90°，∠cosA=ACAB．故选：B ． ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．15．（2021·上海静安区·九年级一模）在Rt∠ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α，那么CD 的长为（ ）A ．sin tan m αα⋅⋅B ．sin cos m αα⋅⋅C ．cos tan m αα⋅⋅D ．cos cot m αα⋅⋅【答案】B【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC ，再表示出CD 即可求出结果． 【详解】解：根据题意作图如下：由题意知：AB =m ，∠A =α，∠cos AC AB α=⋅，∠sin cos sin CD AC AB ααα=⋅=⋅⋅， 即cos sin CD m αα=⋅⋅，故选：B ．【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．16．（2021·上海静安区·九年级一模）如果锐角α ） A ．30α=︒ B ．60α=︒ C ．3045α︒<<︒D ．4560α︒<<︒【答案】C【分析】利用30度角和45度角的正切值与角α的正切值比较，即可得到答案．【详解】∠tan 30tan tan 451α︒==︒=，22213,1134===， 而13134<<，∠3045α︒<<︒，故选：C ． 【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．17．（2021·上海崇明区·九年级一模）倍，那么这个正多边形的边数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．无法确定【答案】B【分析】如图，画出简图，根据切线的性质可得∠OCA=90°，根据∠AOC 的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求出多边形的边数．【详解】如图，OA 、OC 分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB 为边长，∠OC∠AB ，∠∠OCA=90°，∠倍，∠cos∠AOC=OC OA =2， ∠∠AOC=45°，∠∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，∠此多边形的边数=360°÷90°=4，故选：B ．【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．18．（2021·上海崇明区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，如果8AC =，6BC =，那么A ∠的正弦值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A【分析】利用勾股定理可求出AB 的长，根据正弦函数的定义即可得答案．【详解】∠90C ∠=︒，8AC =，6BC =，，∠sinA=BC AB =35，故选：A ． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型． 19．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，过D 作DF AB ⊥交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果1tan 3EAC ∠=，1CEFS=，那么ABCS的值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】证明∠BAC∠∠FEC ，得219EFC BAC S EC S AC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，进一步得出结论．【详解】解：∠90ACB ∠=︒，DF∠AB ，∠∠ACB=∠FCE=∠BDE=90° 又∠FEC=∠BED∠∠F=∠B∠∠ABC∠∠EFC∠()22211tan 39EFC BAC S EC EAC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫==∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠1CEFS =∠99BAC FEC S S ∆∆== 故选：C【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．20．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，在∠ABC 中，∠C ＝90°．若AB ＝3，BC ＝2，则sin A 的值为（ ）A ．23BCD 【答案】A【分析】根据在直角三角形中，正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】解：∠ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，得sin A ＝2 3BC AB ＝，故选A ． 【点睛】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键.21．（2021·上海松江区·九年级一模）已知在Rt∠ABC 中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC 的长为（ ） A ．2sinαB ．2cosαC ．2tanαD ．2cotα【答案】D 试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∠在Rt∠ABC 中，∠C=90°， ∠cotA=，∠BC=2，∠A=α，∠AC=2cotα，故选D ．考点：锐角三角函数的定义．二、填空题22．（2021·上海九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，如果cot 2A ∠=，3BC =，那么AC =________________．【答案】6 【分析】直接根据cot AC A BC∠=，将已知条件代入，便可求出AC.【详解】∠cot AC A BC∠==2，3BC =，∠cot 326AC BC A =⋅∠=⨯=，故答案为：6. 【点睛】本题考查余切的定义，正确掌握余切的公式是解题的关键.23．（2021·上海九年级专题练习）已知某斜坡的坡度1:3,当铅垂高度为3米时，水平宽度为_________________米【答案】9【分析】根据斜坡是铅垂高度与水平距离的比值，而这个斜坡的坡度为1:3，铅垂高度为3米，从而求出斜坡的水平宽度．【详解】解：∠斜坡的坡度为1:3，其铅垂高度为3米，∠这个斜坡的水平宽度为：3×3=9米，故答案为：9．【点睛】本题考查解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度是指斜坡的铅直高度与水平距离的比值．24．（2021·上海松江区·九年级一模）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，3cos 4A =，那么AB 的长为__．【答案】8【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解． 【详解】解：∠3cos 4AC A AB ==，∠AB=34AC ＝634＝8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，是所邻的直角边与斜边的比，理解定义是关键．25．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．【答案】5【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得APB C ∠=∠，根据1tan 2C =得1tan 2AB APB BP ==∠，求出4BP =，得出6PC =，利用1tan 2C =和勾股定理即可得DP 的长． 【详解】解：∠AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥，∠90B APD PDC ∠=∠=∠=︒，90C DPC ∠+∠=︒，90APB DPC ∠+∠︒=，∠APB C ∠=∠， ∠1tan 2C =，∠1tan tan 2AB APB C BP ===∠，∠2AB =，10BC =，∠4BP =，6PC =， 设DP 的长是x ，∠1tan 2DP C CD ==，∠22CD DP x ==，∠222PC DP CD =+，即()22262x x =+，解得x =（舍去负值）． 【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 26．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了______米．【答案】3256【分析】设高度上升了h ，则水平前进了2.4h ，然后根据勾股定理解答即可．【详解】解：设高度上升了h ，则水平前进了2.4h ，130= ，解得h=50．故答案为50．【点睛】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h 的方程成为解答本题的关键．27．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为________度．【答案】126°或54°【分析】根据仰角或俯角是36°分类讨论，画出图形即可分别求出结论．【详解】解：当仰角是36°时，如下图所示由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为36°＋90°=126°；当俯角是36°时，如下图所示由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为90°－36°=54°；综上：该视线与铅垂线之间的夹角为126°或54°.故答案为：126°或54°．【点睛】此题考查的是仰角和俯角的定义，根据仰角或俯角是36°分类讨论是解题关键．OP ，且OP与x轴负半轴夹角的正切28．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知点P位于第二象限内，5值为2，则点P的坐标是________．【答案】（【分析】根据题意，画出图形，过点P 作PA∠x 轴于A ，根据正切值可知2PA OA=，设OA=x ，则PA=2x ，利用勾股定理列出方程即可求出x ，从而求出OA 和PA ，即可求出结论．【详解】解：如下图所示，过点P 作PA∠x 轴于A由题意可知：tan∠POA=2∠2PA OA=设OA=x ，则PA=2x∠OA 2＋PA 2=OP 2∠x 2＋（2x ）2=52 解得：x=PA=∠点P 在第二象限∠点P的坐标为（（．【点睛】此题考查的是解直角三角形和求点的坐标，掌握利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键．29．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是133，则这个锐角的正切值为________．【答案】3【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：1tan cot 33tan cot 1αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩，解方程即可． 【详解】解：设这个锐角为α，∠1tan cot 33tan cot 1αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩①②由①，得10cot tan 3αα=-③将③代入②，得tan tan 0131αα⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭解得：1tan 3α=或tan 3α= 当1tan 3α=时，∠cot α=3＞tan α∠α的正切值比余切值大∠此时不符合题意，舍去； 当tan 3α=时，cot α=13＜tan α∠此时符合题意．故答案为：3． 【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．30．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是______度．【答案】36【分析】根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可．【详解】解：如图所示：∠甲处看乙处为俯角∠DBA=36°，//AC BD ，∠乙处看甲处为：仰角∠CAB=∠DBA=36°．故答案为：36．【点睛】此题主要考查了仰角、俯角的定义以及平行线的性质，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．31．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知一个斜坡的坡度i =______．【答案】30【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．【详解】解：∠3tan α==，∠坡角=30°．【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．32．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，一辆汽车沿着坡度为1:i =50米，则它距离地面的垂直高度下降了 米.【答案】25【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设垂直高度下降了x 米．根据勾股定理可得：x 2+）2=502．解得x=25，即它距离地面的垂直高度下降了25米．【点睛】此题考查三角函数的应用.关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．33．（2021·上海金山区·九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=，15AB =，4sin 5A =，那么BC =______． 【答案】12【分析】直接利用正弦的定义列式求解即可．【详解】解：∠90C ∠=︒，4sin 5A =，∠4sin 5CB A AB == ∠15AB =∠4155CB =，解得：BC=12．故填：12． 【点睛】本题主要考查了正弦的定义，正确理解正弦的定义是解答本题的关键．34．（2021·上海金山区·九年级一模）在ABC ∆中，::1:2AB AC BC =tan B =______．【答案】2【分析】先由勾股定理逆定理判断出ABC ∆是直角三角形，再根据正切的定义求解即可.【详解】设2AB x AC x BC ===，，，则()22222225AB AC x x x BC +=+==， ABC ∆∴是直角三角形，且90A ∠=︒，2tan 2AC x B AB x∴===，故答案为：2 【点睛】此题考查了正切的定义.再直角三角形中锐角的正切值等于对边和邻边的比是解答此题的关键. 35．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，120ABC ∠=︒，12AB =，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，4sin 5ADE ∠=，5ED =，如果ECD 的面积是6，那么BC 的长是_____．【答案】6【分析】过点F 作EF AC ⊥交AC 于F ，过点A 作BC 的垂线交CB 的延长线于点H ，通过解直角三角形、勾股定理及三角形面积公式求出CF ，再通过解直角三角形求出CH ，即可解得答案．【详解】解；过点F 作EF AC ⊥交AC 于F ，∠4sin =5EF ADE ED∠=，又∠5ED =，∠4EF =，∠3DF ==，又∠114622ECD S CD EF CD =⋅=⋅=，∠3CD =，6CF =， 过点A 作BC 的垂线交CB 的延长线于点H ，∠90AHB ∠=︒，又∠120ABC ∠=︒，∠60ABH ∠=︒，∠12AB =，∠1cos602BH AB ︒==，∠6BH =，sin 602AH AB ︒==AH =在CEF △和ACH 中，tan EF AH ACH CF CH ∠== 即46=CH =6BC CH BH =-=【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理，解题的关键是根据题意做出辅助线．36．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知ABC 是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点,D E 分别在边,AC AB 上，点,F G 在边BC 上，那么AD 的长是_____．【答案】6【分析】根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt∠CDG 中运用正弦的定义建立方程求解即可．【详解】根据题可知，∠ADE 为等边三角形，即：AD=DE ，根据正方形的性质可知DE=DG ，DG∠BC ，∠C=60°，设AD=x ，则DG=x ，DC=AC -AD=2-x ，∠在Rt∠CDG 中，DG sinC CD =，即：602DG x sinC sin CD x =︒===-解得：6=x ，经检验6=x 是上述分式方程的解，故答案为：6．【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质，以及利用锐角三角函数解直角三角形，灵活根据题意找准合适的直角三角形是解题关键．37．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45︒，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30，那么甲楼高是_____米．【答案】(30-【分析】先依据题意画出图形，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得30AB BC ==米，再根据解直角三角形可得CF 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】由题意，画出图形如下，其中AD 长表示甲楼的高度，BC 长表示乙楼的高度，AB 表示地面，且,,AD AB BC AB EC BC ⊥⊥⊥，45,30BAC ECD ∠=︒∠=︒，30AB =米，过点D 作DF BC ⊥于点F ，则四边形ABFD 是矩形，AD BF ∴=，30DF AB ==米，,45BC AB BAC ⊥∠=︒，Rt ABC ∴是等腰三角形，30AB BC ∴==米，30,ECD EC BC ∠=︒⊥，60DCF ∴∠=︒，在Rt CDF 中，30tan tan 60DF CF DCF ===∠︒（米），30BF BC CF ∴=-=-，则甲楼高30AD =-，故答案为：(30-． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，依据题意，正确画出图形，并通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．38．（2021·上海九年级一模）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么BAC ∠的正弦值为_________________．【答案】2【分析】连接BC ，根据网格求出AB,BC,AC ，得到∠ABC 是直角三角形，再进行求解.【详解】∠每个小正方形的边长均为1，∠AB =BC =AC =∠AB 2＝BC 2＋AC 2，∠∠ABC 是直角三角形，∠sin∠BAC ＝2BC AB ==，故答案为2． 【点睛】此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用.39．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC 的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠=______．【答案】23【分析】根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答．【详解】解：如图，延长CG 与AB 交于点D ，过D 作DE∠CB 于点E ，∠G是∠ABC 的重心，∠CG=2GD，∠CG=2，∠GD=1，∠CD=2+1=3，∠∠ACB=90°，∠AC∠CB，∠AC∠DE，∠D是AB中点，∠E是CB中点，∠CE=122CB=，∠cos∠GCB=23CECD=，故答案为23．【点睛】本题考查三角形的综合运用，熟练掌握重心的性质和余弦函数的定义是解题关键．40．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为______米．【答案】15【分析】过点B作BC∠AC于C，由迎水坡的坡度为1:0.75，得到tan∠BAC=43=BCAC，求出AC=9米，再利用勾股定理求出答案．【详解】过点B作BC∠AC于C，∠迎水坡的坡度为1:0.75，∠tan∠BAC=43=BCAC，∠BC=12米，∠AC=9米，=15(米)，故答案为：15．．【点睛】此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为1:0.75得到tan∠BAC=43=BC AC 是解题的关键． 41．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______． 【答案】26 【分析】作DF∠BC 于F ，AE∠BC 于E ，根据等腰梯形的性质就可以得出∠AEB∠∠DFC 就可以求出FC=BE ，然后根据底角的余弦值为35，求得BE ，AB ，从而求出周长． 【详解】解：如图示，作DF∠BC 于F ，AE∠BC 于E ，∠四边形ABCD 是等腰梯形，∠∠B=∠C ，AB=CD ，AD∠BC ，∠∠ADF=∠DFC=90°，∠∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，∠四边形AEFD 是矩形，5EF AD ，在∠AEB 和∠DFC 中 ∠∠AEB∠∠DFC （AAS ），∠BE=CF ；∠35cos E AB B B ，设3BE x =，则5AB x =， 根据勾股定理，有：2222534AEAB BE x x ，解之得：1x =（取正值）， ∠3BE =，5AB =，∠3FCBE ，5DC AB ==， ∠周长AB BE EF FC CDAD 53535526， 故答案是：26．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，三角函数，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，能熟练应用相关性质是解题的关键．42．（2021·上海闵行区·九年级一模）在直角坐标平面内有一点(12,5)A ，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cos θ=_________．【答案】1213【分析】根据锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解即可．【详解】解：∠在直角坐标平面内有一点A （12,5）=13∠cos θ=1213．故答案为：1213． 【点睛】本题主要考査了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理等知识点，掌握锐角三角函数的定义成为解答本题的关键．43．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，ABC 在边长为1个单位的方格纸中，ABC 的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC ∠的正弦值为_____．【分析】利用勾股定理可求出AC 、BC 、AB 的值，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，根据正弦的等于即可得答案．【详解】∠ABC 在边长为1个单位的方格纸中，ABC 的顶点在小正方形顶点位置，，BC=，∠（2+）2=2，∠∠ACB=90°，∠sin∠ABC=ACAB 【点睛】本题考查网格的特征、勾股定理及正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．44．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如图，正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，点A 、B 、C 在同一条直线上．连接AD 、BD ，那么cot ADB ∠的值为______．【答案】3【分析】先构造以∠ADB 为内角的直角三角形，根据余切的定义求解即可．【详解】解：如图，作正方形ABEF 关于直线AB 对称的正方形ABGH ，连接AG ，BH ，相交于点O ；∠正方形ABGH ，∠∠AOD=90°，OA=OB=12AG ， ∠正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，∠正方形ABGH 和正方形BCDE 的边长相等，∠AG=BD=2OA ，∠OD=OB+BD=3OA ，∠在Rt∠AOD 中，cot ADB ∠=3OD OA OA OA==3． 故答案为3．【点睛】本题考查了求角的余切值，掌握相关知识是解题的关键．45．（2021·上海金山区·九年级一模）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=，1BC =，2AC =，以点C 为直角顶点的Rt DCE ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若1tan 2CED ∠=，CE GE =，那么BD 的长等于______．【答案】2【分析】根据题意画图，作AH∠CE 于H ，根据1tan tan 2CED BAC ∠==∠得出E BAC ∠=∠，由等边对等角得CGE ECG ∠=∠，根据三角形的内角和可得出AKC ECG ∠=∠，得出AK=AC ，利用等腰三角形三线合一得KH=CH ，再证出AH 为KCD △的中位线，可得出AK ，AD 的长，利用勾股定理求出AB ，AB+AD 即可得BD 的长．【详解】解：如图，作AH∠CE 于H ，∠1tan tan 2CED BAC ∠==∠，∠E BAC ∠=∠，∠CE GE =，∠CGE ECG ∠=∠， ∠AKC ECG ∠=∠，∠AK=AC=2，∠AH∠CE ，90ECD ∠=，∠KH=CH ，//AH CD ，∠AH 为KCD △的中位线，∠A 为DK 的中点，DK=2AK=4，AD=AK=2，∠90ACB ∠=，1BC =，2AC =，=∠BD=AD+AB=2+．故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．。
上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类一．相反数（共1小题）1．（2022•上海）8的相反数是（ ）A ．8B ．C ．﹣8D ．二．同类项（共1小题）2．（2021•上海）下列单项式中，a 2b 3的同类项是（ ）A ．a 3b 2B ．3a 2b 3C ．a 2bD ．ab 3三．平方差公式（共1小题）3．（2022•上海）下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3＝a 6B ．（ab ）2＝ab 2C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2四．二次根式的性质与化简（共2小题）4．（2023•上海）下列运算正确的是（ ）A ．a 5÷a 2＝a 3B ．a 3+a 3＝a 6C ．（a 3）2＝a 5D ．＝a5．（2021•上海）下列实数中，有理数是（ ）A ．B ．C ．D ．五．换元法解分式方程（共1小题）6．（2023•上海）在分式方程+＝5中，设＝y ，可得到关于y 的整式方程为（ ）A ．y 2+5y +5＝0B ．y 2﹣5y +5＝0C ．y 2+5y +1＝0D ．y 2﹣5y +1＝0六．反比例函数的性质（共2小题）7．（2023•上海）下列函数中，函数值y 随x 的增大而减小的是（ ）A ．y ＝6xB ．y ＝﹣6xC ．y ＝D ．y ＝﹣8．（2022•上海）已知反比例函数y ＝（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，0）D．（﹣3，0）七．二次函数图象与几何变换（共1小题）9．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变八．矩形的判定（共1小题）10．（2023•上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D九．梯形（共1小题）11．（2023•上海）已知在梯形ABCD中，联结AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC＝（a+b）；②AD＝，则下列说法正确的是（ ）A．①正确②错误B．①错误②正确C．①②均正确D．①②均错误一十．*平面向量（共1小题）12．（2021•上海）如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（ ）A．B．C．D．一十一．圆与圆的位置关系（共1小题）13．（2021•上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外一十二．命题与定理（共1小题）14．（2022•上海）下列说法正确的是（ ）A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题一十三．旋转对称图形（共1小题）15．（2022•上海）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（ ）A．6B．9C．12D．15一十四．频数（率）分布直方图（共1小题）16．（2021•上海）商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）A．2kg/包B．3kg/包C．4kg/包D．5kg/包一十五．折线统计图（共1小题）17．（2023•上海）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ）A．小车的车流量与公车的车流量稳定B．小车的车流量的平均数较大C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值D．小车与公车车流量的变化趋势相同一十六．方差（共1小题）18．（2022•上海）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，小明和小红分别计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类参考答案与试题解析一．相反数（共1小题）1．（2022•上海）8的相反数是（ ）A．8B．C．﹣8D．【答案】C【解答】解：8的相反数为：﹣8．故选：C．二．同类项（共1小题）2．（2021•上海）下列单项式中，a2b3的同类项是（ ）A．a3b2B．3a2b3C．a2b D．ab3【答案】B【解答】解：A、字母a、b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；B、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；C、字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；D、相同字母a的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：B．三．平方差公式（共1小题）3．（2022•上海）下列运算正确的是（ ）A．a2+a3＝a6B．（ab）2＝ab2C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【答案】D【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；B、（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．故选：D．四．二次根式的性质与化简（共2小题）4．（2023•上海）下列运算正确的是（ ）A．a5÷a2＝a3B．a3+a3＝a6C．（a3）2＝a5D．＝a【答案】A【解答】解：A、a5÷a2＝a3，故A符合题意；B、a3+a3＝2a3，故B不符合题意；C、（a3）2＝a6，故C不符合题意；D、＝|a|，故D不符合题意；故选：A．5．（2021•上海）下列实数中，有理数是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A.＝，不是有理数，不合题意；B.＝，不是有理数，不合题意；C.＝，是有理数，符合题意；D.＝，不是有理数，不合题意；故选：C．五．换元法解分式方程（共1小题）6．（2023•上海）在分式方程+＝5中，设＝y，可得到关于y的整式方程为（ ）A．y2+5y+5＝0B．y2﹣5y+5＝0C．y2+5y+1＝0D．y2﹣5y+1＝0【答案】D【解答】解：设＝y，则＝，分式方程+＝5可变为：y+＝5，去分母得：y2+1＝5y，整理得：y2﹣5y+1＝0，故选：D．六．反比例函数的性质（共2小题）7．（2023•上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝D．y＝﹣【答案】B【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，故A不符合题意；B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，故B符合题意；C选项，在每一个象限内，y＝的函数值随着x增大而减小，故C不符合题意；D选项，在每一个象限内，y＝﹣的函数值随着x增大而增大，故D不符合题意，故选：B．8．（2022•上海）已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，0）D．（﹣3，0）【答案】B【解答】解：因为反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，所以k＜0，A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；C．3×0＝0，故本选项不符合题意；D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；故选：B．七．二次函数图象与几何变换（共1小题）9．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变【答案】D【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：D．八．矩形的判定（共1小题）10．（2023•上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D【答案】C【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB的长为AD与BC间的距离，∵AB＝CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；故选：C．九．梯形（共1小题）11．（2023•上海）已知在梯形ABCD中，联结AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC＝（a+b）；②AD＝，则下列说法正确的是（ ）A．①正确②错误B．①错误②正确C．①②均正确D．①②均错误【答案】D【解答】解：过B作BE∥CA，交BC延长线于E，如图所示：若AD＝BC，AB∥CD，则四边形ACEB是平行四边形，∴CE＝AB，AC＝BE，∴AB∥DC，∴∠DAB＝∠CBA，∵AB＝AB，∴△DAB≌△CBA（SAS），∵AC⊥BD，∴BE⊥BD，在Rt△BDE中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，∴DE＝DC+CE＝b+a，∴，此时①正确；过B作BF⊥DE于F，如图所示：在Rt△BFC中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，DE＝b+a，∴，，∴BC＝＝，此时②正确；但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB∥CD还是AD∥BC，并未确定，∴无法保证①②正确，故选：D．一十．*平面向量（共1小题）12．（2021•上海）如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵＝，E为AB中点，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝，∴+＝+＝，故选：A．一十一．圆与圆的位置关系（共1小题）13．（2021•上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外【答案】C【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆A的半径为R，则：AB＝R﹣1，∵AB＝4，圆B半径为1，∴R＝5，即圆A的半径等于5，∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，∴点C在圆上，点D在圆内，故选：C．一十二．命题与定理（共1小题）14．（2022•上海）下列说法正确的是（ ）A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．一十三．旋转对称图形（共1小题）15．（2022•上海）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（ ）A．6B．9C．12D．15【答案】C【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；故选：C．一十四．频数（率）分布直方图（共1小题）16．（2021•上海）商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）A．2kg/包B．3kg/包C．4kg/包D．5kg/包【答案】A【解答】解：由图知这组数据的众数为1.5kg～2.5kg，取其组中值2kg，故选：A．一十五．折线统计图（共1小题）17．（2023•上海）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ）A．小车的车流量与公车的车流量稳定B．小车的车流量的平均数较大C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值D．小车与公车车流量的变化趋势相同【答案】B【解答】解：观察小车与公车的车流量图可知，小车的车流量在每个时段都大于公车的车流量，∴小车的车流量的平均数较大，选项B正确；而选项A，C，D都与图象不相符合，故选：B．一十六．方差（共1小题）18．（2022•上海）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，小明和小红分别计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（ ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】D【解答】解：因为计算了点单的总额和不计算外卖费的总额，所以两种情况计算出的数据一样的是方差，故选：D．。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题06 几何证明(解答题23题)(学生版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题06 几何证明（解答题23题）1. （2021宝山一模）如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅；（2）如果1OE =，2EF =，求CF BF的长．2. （2021崇明一模）已知：如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ∠=∠，连接BE 、CD 相交于点F ．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=．3. （2021奉贤一模）如图，在四边形ABCD 中，,B DCB ∠=∠联结AC ．点E 在边BC 上，且,CDE CAD DE ∠=∠与AC 交于点,F CE CB AB CD ⋅=⋅．()1求证：//AD BC ；()2当AD DE =时，求证：2AF CF CA =⋅．4. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．5.（2021黄埔一模）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点M 、N ，则AM CN DM BN=； ②如图2．在梯形ABCD 中，//AD BC ，过两腰延长线交点P 的直线与两底分别交于点K 、L ，则AK BL DK CL =．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明：（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分，请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔水笔完成作图，不要涂改）的6. （2021嘉定一模）如图，已知矩形DEFG的边DE在ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC 上．ABC的高AH交GF于点I．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．7. （2021闵行一模）如图，点E 为ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．8.（2021普陀一模） 已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=； （2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．9. （2021青浦一模）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，AC 、BD 相交于点E ，AE CE DE BE ⋅=⋅（1）求证：ABE ACB ∽；（2）如果2·DA DE DB =，求证：AB EC BC AE ⋅=⋅．10.（2021松江一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 上一点，联结BE 、CE ，延长BA 、CE 相交于点F ，2CE DE BC =⋅（1）求证：EBC DCE ∠=∠；（2）求证：··BE EF BF AE =．11. （2021杨浦区一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DE BD BE =； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．12. （2021金山一模）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且ABD MAN ∠=∠.（1）求证：DE BF AB ⋅=2； （2）若DCDN DE BE =，求证：MN EF //.A B F EC第23题图 D MN13.（浦东新区一模）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．14．（2021徐汇一模）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE 交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．15．（2021长宁一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC 上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．16．（2021·上海静安区·九年级一模）已知：如图，在△ABC中，DE△BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD△△CDE；（2）22CD AD BC AB．。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题11向量的线性运算(逐题详解版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题11向量的线性运算一、单选题1．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）． A ．AM BM = B ．12AM AB = C ．12BM AB = D ．0AM BM +=2．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知a 和b 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ）A ．a b =B ．2a b +=C ．0a b +=D ．2a b += 3．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．||＝B ．||＝C ．＝D ．＝4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）下列命题中，正确的是（ ）A ．如果为单位向量，那么＝||B ．如果、都是单位向量，那么＝C ．如果＝﹣，那么∥D ．如果||＝||，那么＝5．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知向量a 与非零向量e 方向相同，且其模为e 的2倍：向量b 与e 方向相反，且其模为e 的3倍．则下列等式中成立的是（ ）A ．23a b =B ．23a b =-C ．32a b =D ．32a b =- 6．（2021·上海普陀区·九年级一模）已知a 是非零向量，2b a =-，下列说法中错误的是（ ）A ．b 与a 平行B ．b 与a 互为相反向量C ．||2||b a =D ．12a b =- 7．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知向量a 和b 都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =B ．2a b +=C ．0a b -=D ．a b = 8．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =，3BD =，BC a =，那么ED 等于（ ）A ．23aB ．23a -C ．25aD ．25a - 9．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知1e 、2e 是两个单位向量，向量13a e =，23b e =-，那么下列结论正确的是（ ） A ．12e e = B ．a b =-C ．a b =D ．a b =- 10．（2021·上海九年级一模）已知a b c +=，2a b c -=，且0c ≠，下列说法中，不正确的是（ ） A ．3a b = B ．a ∥b C ．30a b += D ．a 与b 方向相同11．（2021·上海闵行区·九年级一模）以下说法错误的是（ ）A ．如果0ka =，那么0a =；B ．如果2a b =-，那么||2||a b =；C ．如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ；D ．如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =．12．（2021·上海松江区·九年级一模）已知2a b =，下列说法中不正确的是（ ）A ．20a b -=B ．a 与b 方向相同C ．//a bD ．||2||a b =13．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知a b ，和c 都是非零向量，下列结论中不能确定//a b 的是（ ） A ．a b = B ．23a b = C ．////a c c b ， D ．132a c b c ==，14．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（） A ．a e a = B ．e b b = C ．1a e a = D ．11a b a b =二、填空题15．（2021·上海长宁区·九年级一模）计算：()122a b b -+=_______________．16．（2021·上海虹口区·九年级一模）计算：()13242a a b --=________．17．（2021·上海金山区·九年级一模）计算：322a a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______． 18．（2021·上海九年级一模）计算：()432a a b --=_________________．19．（2021·上海杨浦区·九年级一模）计算：()()322a b a b +--=______．20．（2021·上海宝山区·九年级一模）计算：32a b a b ______．21．（2021·上海闵行区·九年级一模）化简：12(3)33a b b -++=__________． 22．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知向量关系式()260a b x +-=，那么向量x =______．（用向量a 与向量b 表示） 23．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，设AB a =，AD b =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为______．24．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，那么向量AB 关于a 、b 的分解式为______．25．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，OB =2OD ，设AB a =，AD b =，那么AO =____．（用向量a 、b 的式子表示）26．（2021·上海崇明区·九年级一模）计算：()()2232a b a b -++=________． 27．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，设向量AB a =，AD b =，用向量a ，b 表示AC 为___．28．（2021·上海普陀区·九年级一模）在∥ABC 中，AB BC CA ++＝_____．三、解答题29．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2AD =，4DB =，3AE =，6EC =， 3.2DE =（1）求BC 的长（2）联结DC ，如果DE a =，BA b =．试用a 、b 表示向量CD ．30．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =，BC=．1.8BF DF的值；（1）求:（2）设AB a=，BC=b，求向量DF（用向量a、b表示）．31．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设BA a=．=，CB b（1）试用a、b表示BO；（2）在图中作出CO在CB、CD上的分向量，并直接用a、b表示CO．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）32．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DN NE的值； （2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ．33．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由； （2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．34．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知向量关系式()132a x b x -=+，试用向量a 、b 表示向量x ．35．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，BD a =，BC b =．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ；（2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．36．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，2AD =，4DB =，8AC =．（1）求线段AE的长；（2）设BA a=，BC b=．①请直接写出向量AE关于a、b的分解式，AE=________；②连接BE，在图中作出向量BE分别在a、b方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）37．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC 的中点，连接BE并延长，交边CD于点F，设BA a=，BC b=．（1）填空：向量AE=__________；（2）填空：向量BF=__________，并在图中画出向量BF在向量BA和BC方向上的分向量．（注：本题结果用含向量a 、b 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）38．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，已知抛物线23y x ax =-++与y 轴于点A ，且对称轴是直线1x =．（1）求a 的值与该抛物线顶点Р的坐标﹔（2）已知点B 的坐标为(1,2)-，设,OA a OP b ==，用向量,a b 表示OB ．39．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在ABC 中，点G 是ABC 的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，过点G 作//GE BC 交边AC 于点E ．（1）如果AB a =，AC b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AG BD ⊥，6BG =，45GAD ∠=︒时，求AE 的长．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题11向量的线性运算一、单选题1．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）． A ．AM BM = B ．12AM AB =C ．12BM AB = D ．0AM BM +=【答案】B【分析】根据题意画出图形，因为点M 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．【详解】解：A 、AM MB =，故本选项错误；B 、12AM AB =，故本选项正确；C 、12BM BA =，故本选项错误；D 、0AM BM +=，，故本选项错误．【点睛】本题考查了线段的中点定义，注意向量的方向及运算法则．2．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知a 和b 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ） A ．a b = B ．2a b += C ．0a b += D ．2a b +=【答案】D 【分析】根据单位向量的定义进行选择．【详解】解：∥a 和b 是两个单位向量，∥它们的长度相等，但是方向不一定相同；∥2a b +=正确；故选：D ．【点睛】本题考查单位向量的含义；属于基础题．3．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．||＝B ．||＝C ．＝D ．＝【答案】B【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ．【点睛】本题考查了向量的性质．4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）下列命题中，正确的是（ ）A ．如果为单位向量，那么＝||B ．如果、都是单位向量，那么＝C ．如果＝﹣，那么∥D ．如果||＝||，那么＝【分析】根据平面向量的定义、共线向量的定义以及平面向量的模的定义进行分析判断．【解答】解：A 、如果为单位向量，且与方向相同时，那么＝||，故本选项不符合题意．B 、如果、都是单位向量且方向相同，那么＝，故本选项不符合题意．C 、如果＝﹣，则向量与﹣的大小相等、方向相反，那么∥，故本选项符合题意．D 、若||＝||，那么与的模相等，但是方向不一定相等，即＝不一定成立，故本选项不符合题意． 故选：C ．5．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知向量a 与非零向量e 方向相同，且其模为e 的2倍：向量b 与e 方向相反，且其模为e 的3倍．则下列等式中成立的是（ ）A ．23a b =B ．23a b =-C ．32a b =D ．32a b =- 【答案】B【分析】根据向量的方向和模的关系可得a =2e ，b =-3e ，从而可得e =13b -，即可求出结论． 【详解】解：由题意可知：a =2e ，b =-3e ∥e =13b -∥a =2e =23b -故选：B ． 【点睛】此题考查的是向量的数乘运算，根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键． 6．（2021·上海普陀区·九年级一模）已知a 是非零向量，2b a =-，下列说法中错误的是（ ） A ．b 与a 平行 B ．b 与a 互为相反向量C ．||2||b a =D ．12a b =- 【答案】B 【分析】根据向量的有关定义和运算分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：A.因为2b a =-（a ≠0），则b 与a 平行，故此结论正确；B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误；C. 因为2b a =-，则||2||b a =结论正确；D. 2b a =-两边同除以-2，则12a b =-，故此结论正确．故答案为：B ． 【点睛】本题考查了向量的相关应用，解题的关键是熟练掌握基本知识及运算法则．7．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知向量a 和b 都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =B ．2a b +=C ．0a b -=D ．a b = 【答案】D 【分析】根据向量a 和b 都是单位向量，，可知|a |＝|b |＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a 和b 都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =不一定成立，故本选项错误． B 、向量a 和b 都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=不一定成立，故本选项错误． C 、向量a 和b 都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=不一定成立，故本选项错误． D 、向量a 和b 都是单位向量，则|a |＝|b |＝1，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键8．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =，3BD =，BC a =，那么ED 等于（ ）A ．23aB ．23a -C ．25aD ．25a - 【答案】D【分析】先根据相似三角形的判定与性质求出DE 与BC 的数量关系，再根据向量的定义即可求出ED 的值．【详解】解：∥//DE BC ，∥DE AD BC AB =，∥2AD =，3BD =，∥223DE BC =+， ∥25DE BC =．∥BC a =，∥ED =25a -．故选D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．9．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知1e 、2e 是两个单位向量，向量13a e =，23b e =-，那么下列结论正确的是（ ）A ．12e e =B ．a b =-C ．a b =D ．a b =- 【答案】C【分析】由1e 、2e 是两个单位向量的方向不确定，从而判定A 与B 错误；又由平面向量模的知识，即可判定选项C 正确，选项D 错误．【详解】解：∥1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∥1e 与2e 不一定相等，选项A 错误； ∥1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∥a 与b -不一定相等，选项B 错误；∥133a e ==，233b e =-=，∥a b =，选项C 正确，选项D 错误；故选：C【点睛】本题考查了单位向量的定义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的． 10．（2021·上海九年级一模）已知a b c +=，2a b c -=，且0c ≠，下列说法中，不正确的是（ ） A ．3a b =B ．a ∥bC ．30a b +=D ．a 与b 方向相同【答案】D 【分析】根据向量的和与差运算可以得到向量a 与b 的关系即可解答．【详解】解：∥a b c +=，2a b c -=，且0c ≠，∥30a b +=，即a =﹣3b ， ∥3a b =，a ∥b ，a 与b 方向相反，所以，选项A 、B 、C 正确，D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查平面向量，熟练掌握向量的基本性质和运算是解答的关键．11．（2021·上海闵行区·九年级一模）以下说法错误的是（ ） A ．如果0ka =，那么0a =；B ．如果2a b =-，那么||2||a b =；C ．如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ； D ．如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =．【答案】A【分析】根据单位向量、平行向量的定义解答．【详解】A 、如果0ka =，那么0a ≠，故该项错误，B 、如果2a b =-，那么||2||a b =，故该项正确；C 、如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ，故该项正确； D 、如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =，故该项正确；故选：A ．【点睛】此题考查平面向量，熟记定义是解题的关键．12．（2021·上海松江区·九年级一模）已知2a b =，下列说法中不正确的是（ ）A ．20a b -=B ．a 与b 方向相同C ．//a bD ．||2||a b =【答案】A【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】A.20a b -=，故该选项错误，B.∥2a b =，∥a 与b 方向相同，故该选项正确，C.∥2a b =，∥//a b ，故该选项正确，D.∥2a b =，∥||2||a b =，故该选项正确，故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．13．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知a b ，和c 都是非零向量，下列结论中不能确定//a b 的是（ ） A ．a b =B ．23a b =C ．////a c c b ，D ．132a cbc ==， 【答案】A【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、该等式只能表示a ，b 的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B 、由23b a =，可以判定 //a b ，故本选项不符合要求；C 、由//a c ，//b c 可以判定//a b ，故本选项不符合题意；D 、由12a c =， 3b c =，可知6b a =，可以判定 //a b ，故本选项不符合题意；故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键．14．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b = C ．1a e a = D ．11a b a b =【答案】B【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误.故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.二、填空题15．（2021·上海长宁区·九年级一模）计算：()122a b b -+=_______________． 【答案】12a b 【分析】去括号，合并同类向量即可解得． 【详解】()1112222a b b a b b a b -+=-+=+ 【点睛】本题考查了向量的线性运算，属于基础题． 16．（2021·上海虹口区·九年级一模）计算：()13242a a b --=________． 【答案】22a b +【分析】根据向量的线性运算法则进行运算，从而可得答案．【详解】解：()13242a a b --=3222.a a b a b -+=+ 故答案为：22a b +． 【点睛】本题考查的向量的线性运算，掌握向量的加，减，数乘运算是解题的关键．17．（2021·上海金山区·九年级一模）计算：322a a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______． 【答案】42a b -【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案． 【详解】解：323-2=4-22⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭a ab a a b a b ，故答案为：4-2a b 【点睛】此题考查了平面向量的运算，注意去括号时的符号变化，熟练掌握法则是解题的关键，属于基础题18．（2021·上海九年级一模）计算：()432a a b --=_________________． 【答案】6a b +【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案．【详解】解：()432a a b -- 4366a a ba b =-+=+故答案为：6a b +．【点睛】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的键．19．（2021·上海杨浦区·九年级一模）计算：()()322a b a b +--=______． 【答案】8a b +【分析】根据向量的线性运算可直接进行求解．【详解】解：()()32236228a b a b a b a b a b +--=+-+=+；故答案为8a b +．【点睛】本题主要考查向量的运算，熟练掌握向量的运算是解题的关键．20．（2021·上海宝山区·九年级一模）计算：32a b a b ______．【答案】54a b -【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．【详解】解：326354a b a b a b a b a b ，故答案为：54a b -．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉相关性质是解题的关键．21．（2021·上海闵行区·九年级一模）化简：12(3)33a b b -++=__________． 【答案】a b -+【分析】根据向量的计算方法即可求解．【详解】12(3)33a b b -++=1233a b b a b -++=+-，故答案为：a b -+． 【点睛】此题主要考查向量的计算，解题的关键是熟知其运算法则．22．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知向量关系式()260a b x +-=，那么向量x =______．（用向量a 与向量b 表示） 【答案】13a b +【分析】利用类似一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1，即可求得答案．【详解】解：∥()260a b x +-=∥2660a b x +-=626x a b =+ x =13a b +故答案为：13a b + 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，此向量方程的解法与一元一次方程的解法类似． 23．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，设AB a =，AD b =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为______．【答案】a b --【分析】根据题意得2BC b =，再求出2CA a b =--，由CD CA AD =+即可求出结果．【详解】解：∥2BC AD =，AD b =，//AD BC ，∥2BC b =，∥()()22CA AC AB BC a b a b =-=-+=-+=--， ∥2CD CA AD a b b a b =+=--+=--．故答案是：a b --．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算方法．24．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，那么向量AB 关于a 、b 的分解式为______．【答案】b a -【分析】根据AB AO OB OA OB =+=-+计算即可．【详解】解：∥OA a =，OB b =，∥AB AO OB =+OA OB =-+a b =-+b a =-，故答案为：b a - ．【点睛】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解决本题的关键．25．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，OB =2OD ，设AB a =，AD b =，那么AO =____．（用向量a 、b 的式子表示）【答案】1233a+b 【分析】先证明∥AOD∥∥COB ，推出OA OC =12AD OD CB OB ==，求出2AD 2BC b ==，由三角形法则得出2AC AB BC a b =+=+即可根据13AO AC =求出答案． 【详解】∥OB =2OD ，∥12OD OB =，∥AD ∥BC ，∥∥AOD∥∥COB ，∥OA OC =12AD OD CB OB ==， ∥2AD 2BC b ==，∥2AC AB BC a b =+=+,∥13AO AC ==1233a+b ，故答案为：1233a+b ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定及性质，解题时注意三角形法则的应用． 26．（2021·上海崇明区·九年级一模）计算：()()2232a b a b -++=________．【答案】8a b -【分析】根据向量的线性运算以及实数与向量相乘的运算法则计算即可．【详解】解：()()2232a b a b -++ =2463a b a b -++=8a b -．故答案为8a b -．【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及实数与向量相乘，掌握相关运算法则成为解答本题的关键． 27．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，设向量AB a =，AD b =，用向量a ，b 表示AC 为___．【答案】2a b +【分析】由//AD BC 说明向量AD 与向量BC 是共线向量，又是同向向量，由2BC AD =，说明向量BC 与向量AD 是2倍关系，即BC=2AD=2b ，再利用和向量求向量AC 即可【详解】∥//AD BC ，2BC AD =，∥BC=2AD=2b ∥=AB+BC=2AC a b +故答案为：2a b +【点睛】本题考查方向相同的共线向量与向量的倍分关系，以及和向量问题，掌握方向相同的共线向量与向量的倍分关系，以及和向量，利用方向相同的共线向量进行线性计算，会利用平行四边形法则求和向量是解题关键28．（2021·上海普陀区·九年级一模）在∥ABC 中，AB BC CA ++＝_____．【答案】0．【分析】由在∥ABC 中，根据三角形法则即可求得AB +BC 的值，则可求得答案．【详解】∥0AB BC CA AC CA ++=+=．故答案为：0．【点睛】本题考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．三、解答题29．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2AD =，4DB =，3AE =，6EC =， 3.2DE =（1）求BC 的长（2）联结DC ，如果DE a =，BA b =．试用a 、b 表示向量CD ．【答案】（1）9.6=BC ；（2）233-+a b ． 【分析】（1）根据SAS 判定ADE ABC ，再根据相似三角形对应边成立解题即可；（2）根据相似三角形的判定与性质解题即可．【详解】解：（1）2AD =，4DB =，3AE =，6EC =，2131,6393AD AE AB AC ∴==== A A ∠=∠ADEABC ∴13DE BC ∴=9.6BC ∴=； （2）由（1）中， 2233BD BA b ==，33BE DE a ==CD 233CB BD BC BD a b =+=-+=-+． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．30．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =，1.8BC =．（1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC =b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）．【答案】（1）BF :DF =2：3，（2）3355DF a b =-． 【分析】（1）先证∆BFE ∥∆DFA ，得出BE BF AD DF= ，在利用角平分线的性质进行等量代换，得到BE AB AD AD =再结合平行四边形的性质即可求得答案．（2）利用第（1）小问的结论，得到DF 与DB 的数量关系，进而得到DF 与DB 的关系，根据向量DB =AB AD -即可求解．【详解】（1）在ABCD 中，∥BC ∥AD ∥∥BEA =∥DAE ，又∥∥BFE =∥DFA ，∥∆BFE ∥∆DFA ，∥BE BF AD DF= ，又∥AE 平分BAD ∠，∥∥BAE =∥DAE ，∥∥BAE =∥BEA ，∥AB =BE ， ∥BE AB AD AD =又∥ 1.2AB =， 1.8AD BC ==．∥ 1.221.83BF AB DF AD ===∥BF :DF =2：3 （2）∥BF :DF =2：3∥DF =35DB ∥35DF DB ==3()5AB AD - ∥BC ∥ AD ， BC =AD ，AB a =，BC =b ，∥AD BC b ==∥333()555DF a b a b =-=-． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，平面向量的加减法等知识点，证明∆BFE ∥∆DFA 并且进行等量代换、理解平面向量的加减法是解决本题的关键．31．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边AD 的中点AC 、BE 相交于点O ．设BA a =，CB b =．（1）试用a 、b 表示BO ；（2）在图中作出CO 在CB 、CD 上的分向量，并直接用a 、b 表示CO ．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】（1）2133BO a b =-；（2）见解析，2233CO b a =+ 【分析】（1）首先证明23BO BE =，求出BE 即可求解； （2）证明23CO CA =，求出CA 即可解决问题． 【详解】解（1）∥//AD BC ∥12OE AE BO BC ==∥23BO BE =∥()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭； （2）∥AE∥BC ，∥1=2AO AE CO CB =，∥23CO CA =， ∥()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+ 如图所示，CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM ．【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识点．32．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DN NE的值； （2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ． 【答案】（1）12；（2）4455b a -． 【分析】（1）由平行线的性质得到∥ADN∥∥ABM ，∥ANE∥∥AMC ，可得DN NE BM MC ，即DN BM NE MC =，根据13BM BC =可求出DN NE 的值； （2）根据23AD DB =可得25AD AD AB AD DB ==+，所以DN =()2255BM BA AM =+，根据DN NE =12，即可得出答案．【详解】解：（1）∥//DE BC ，∥∥AND=∥B ，∥AND=∥AMB ，∥ANE=∥AMC ，∥AEN=∥C ，∥∥ADN∥∥ABM ，∥ANE∥∥AMC ，∥DN AN BM AM =，AN NE AM MC =，∥DN NE BM MC ， ∥DN BM NE MC =，∥13BM BC =，∥12BM MC =，∥DN NE =12； （2）∥23AD DB =，∥25AD AD AB AD DB ==+， ∥DN =()2255BM BA AM =+=()222555a b b a -+=-，∥DN NE =12， ∥224422=5555NE DN b a b a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，向量等相关知识．熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．33．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由； （2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．【答案】（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由见解析；（2）2a 3b -【分析】（1）设网格中小正方形的边长为a ，利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据向量加法的三角形法则计算即可．【详解】解：（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为a ，则BC=a ，， =，其中BC ＜AB ＜AC如下图所示，连接BM 、AM则=，=，其中AB ＜BM ＜AM∥ABBC ==2BM AB ==∥AB BC ≠BM AB ∥ABM 和ABC 不相似； 如下图所示，连接AN则BN=2a ，=，其中AB ＜BN ＜AN∥ABBC ==BN AB ==AN AC ==∥AB BC ＝BN AB =AN AC∥NBA △∥ABC ；如下图所示，连接BP则=，AP=3，其中AB ＜BP ＜AP∥AB BC a==BP AB ==∥AB BC ≠BP AB ∥ABP △和ABC 不相似；如下图所示，连接BQ 、AQ则=，=，其中AB ＜BQ ＜AQ∥AB BC a ==2BQ AB ==∥AB BC ≠BQ AB ∥ABQ △和ABC 不相似；综上：点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据正方形的性质可知，点E 正好落在格点上，如下图所示∥22AE AB a ==，33ED BC b =-=-∥AD =AE ＋ED=2a 3b -．【点睛】此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键．34．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知向量关系式()132a x b x -=+，试用向量a 、b 表示向量x ． 【答案】1277x a b =-【分析】根据平面向量的定义，既有方向，又有大小计算即可． 【详解】解：∥()132a x b x -=+， ∥11322a xb x -=+， ∥7122x a b =-， ∥1277x a b =-．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．35．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，BD a =，BC b =．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ；（2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）． 【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析 【分析】（1）根据重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，分析得到DE=23BC ，再根据向量的加法法则，首尾顺次相连，由三角形法则即可求解；（2）取AD 的中点J ，延长CB 到I ，使BI=DE ，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，边接BK ，则BK 即是所求作的向量．【详解】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ，AG 2=AF 3∴， DE//BC ，BC b =ADE ABC ∴△△∽，DE AG 2==BC AF 3∴， 23b DE BC =＝， 2a 3BE BD DE b ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=， 延长CB 到I ，使得BI=DE ，23BI b ∴=-， 以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-， ∥BK 即是所求的求作的向量【点睛】本题考查了向量的知识，掌握法则向量的平行四边形法则，向量的三角形法则是解题的关键． 36．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，2AD =，4DB =，8AC =．（1）求线段AE 的长；（2）设BA a =，BC b =．①请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE =________；②连接BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）【答案】（1）83AE =；（2）①1133a b -+；②作图见解析． 【分析】（1）先求出AB ，再据平行线分线段成比例，写出关于AE 、AC 、AD 、AB 的等比式，问题可解． （2）①以AD ，DE 为边作平行四边形ADEF ，，先再求得11,33AD a AF b =-=，据AE AD AF =+问题可解；②以BD 、DE 为边作平行四边形即可．【详解】解：（1）∥//DE BC ，∥AD AE AB AC =，∥83AE =．（2）①如下图∥DE∥BC∥∥ADE=∥B ，∥AED=∥C∥∥ADE∥∥ABC∥2163AD DE AB BC ===又BA a =，BC b =∥11,33AD a DE b =-=∥四边形ADEF 是平行四边形∥13AF DE b ==∥1133AE a b =-+，②如下图，BD 和BM 是BE 分别在a 、b 方向上的分向量．37．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 为OC 的中点，连接BE 并延长，交边CD 于点F ，设BA a =，BC b =．（1）填空：向量AE =__________；（2）填空：向量BF =__________，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量． （注：本题结果用含向量a 、b 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】（1）3344b a -；（2）13a b +；作图见解析 【分析】（1）先求出AE 占AC 得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则计算即可；（2）先根据相似三角形的性质得到CF 占CD 得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则以及平行四边形法则计算并画图即可．【详解】解：（1）∥平行四边形ABCD 中∥AO=OC=12AC ∥OE=EC=12OC=14AC∥AE=AO+OC=12AC+14AC=34AC ∥AC BC BA b a =-=-∥()33334444AE AC b a b a ==-=-；故答案为3344b a -； （2）∥EC=14AC,AE=34AC∥13EC AE = ∥平行四边形ABCD ∥AB//CD∥∥FCE∥∥BAE ∥13FC EC AB AE ==,即FC=13AB ∥AB//FC∥13CF BA =,即13CF a =∥13BF CF BC a b =++=+ 故答案为：13a b +．【点睛】本题主要考査了平面向量的三角形法则、平行四边形法则等知识，灵活运用向量运算的运算法则成为解答本题的关键．38．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，已知抛物线23y x ax =-++与y 轴于点A ，且对称轴是直线1x =．。
2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-定义新图形及其他题型含详解
专题定义新图形及其他题型【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 1x+c 1的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝12，CE＝GE，那么BD的长等于．10．(2020秋•黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线34y x上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为__．专题定义新图形及其他题型【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的相似；模型思想．【分析】过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．想办法求出AE ，EC 即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．则有∠AEC ＝∠ADB ＝∠AFE ＝∠EGC ＝90°，AE ＝AD ，∠EAF ＝∠CEG ＝30°，∴EF ＝12AE ＝2，∴EG ＝2，CG ＝3EG ＝52，CE ＝2CG ＝5，∴AC =．∴等边△ABC 的边长为．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时构造相似三角形是关键．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为2．【考点】抛物线与x 轴的交点；等腰直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可．【解答】解：设抛物线y ＝x 2+bx 与x 轴的交点坐标为A ，B ，顶点为D ，∴A （0，0），B （﹣b ，0），D （﹣2b ，﹣24b ），∵抛物线y ＝x 2+bx 对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴AB 2＝AD 2+BD 2＝2AD 2，∴b 2＝2（24b +416b ），解得：b ＝±2，∵b ＞0，∴b ＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3．【考点】抛物线与x 轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】先由直线y ＝﹣kx +k 求得点A 和点B 的坐标，然后求得点C 的坐标，最后将点A 、B 、C 的坐标分别代入函数y ＝mx 2+2mx +c 中求得m 、k 、c 的值，即可得到一次函数的解析式．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，22020m m c c k mk mk c ⎧++=⎪=⎨⎪++=⎩，解得：000m k c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133m k c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩或1311m k c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、旋转的特征，解题的关键是会求点B 经过逆时针旋转90°后的点的坐标．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；；推理能力．【分析】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ），由题意可知34M M N y x x =-，即可求得D 点坐标为（6，0），则有直线MD 解析式为3(6)4y x =--，因为N 点过直线MD ，N 点也过抛物线y=(x-2)2+3，故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716），可设顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y a x =-+，又因为M 点过2557()416y a x =-+，即可解得a=-1，故顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y x =--+．【解答】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=∴34M M N y x x =-即3324D x =-解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D ∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线y=(x-2)2+3故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+化简得2135042a a -+=解得a=54或a=2（舍）将a=54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557(416y a x =-+有25573(2)416a =-+化简得95731616a =+解得a=-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557(416y x =--+．【点评】本题考察了二次函数的图象及其性质，三角函数的应用．理解题意所述“关联抛物线”的特点，即若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上是解题的关键．5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB ＝ACAD＝CD ＝32，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于414．【考点】相似图形；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】利用相似三角形的性质求出BC 长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF 的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC AD＝32，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC Rt△AFC中AF＝=，∵AD＝32，E为AD中点，∴AE＝34，∴EF414 =．故答案为：41 4．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝或．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF，∵AB＝CD＝2，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABE＝∠DCF＝60°，BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6，∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x，∵△BAQ∽△QDC，∴AB AQ=QD CD，∴x（6﹣x）＝4，解得x＝3±5，∴AQ＝3±5故答案为：5或3-5【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先求出BD＝8，CD＝4，再求出MH＝4，DH＝2，设BE＝x，得出CE＝12﹣x，CF＝3+x，EH＝10﹣x，再判断出△EHM∽△ECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DCA，∴MH DH=ACDMCD AD=，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴MH DH1=842=，∴MH＝4，DH＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DG ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH =CF CE ，∴410-=3+12x x x，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BE ＝x ＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin ∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是﹣6．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝，∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin ∠ADE ＝EF DE ＝45，∴EF ＝4，∴DF 3==，∵S △CDE ＝6，∴12•CD •EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF AH CF CH =，∴4636CH=，∴CH ＝，∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，以点C 为直角顶点的Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若tan ∠CED＝12，CE ＝GE ，那么BD 的长等于2+【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A 作AH ⊥CE 于H ．想办法证明AK ＝AC ，推出HK ＝CH ，推出AK ＝AD ＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CE 于H .∵tan ∠CED ＝12＝tan ∠BAC ，∴∠E ＝∠BAC ，∵CE ＝EG ，∴∠CGE ＝∠ECG ，∵∠BAC +∠GAK ＝180°，∴∠E +∠GAK ＝180°，∴∠AGE +∠AKE ＝180°，∵∠AKE +∠AKC ＝180°，∴∠AKC ＝∠CGE ，∴∠AKC ＝∠ACK ，∴AC ＝AK ＝2，∵AH ⊥CK ，∴KH ＝CH ，∵∠AHE ＝∠DCK ＝90°，∴AH ∥CD ，∴KA ＝AD ，∴DK ＝2AK ＝4，AD ＝AK ＝2，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB =∴BD ＝AB +AD ＝，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．10．(2020秋·黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5.一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为2:1或1:2或1:1．【考点】相似多边形的性质;矩形的性质，四手拉手模型【专题】图形的相似;推理能力.【分析】如图，设AB=a，AD=2.5a，AE=x，则DE=2.5a-x，利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．【解答】解:如图，设AB=a，AD=2.5a，,AE=x，则DE=2.5a-x.∵矩形ABFE∽矩形EDCF∴AE EF=EF DE∴=2.5x aa a x整理得，x2-2.5xa+a2=0，解得x=2a或0.5a，∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：1或1：2.当E，F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1故答案为：2：1或1：2或1：1.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属干电考常考题型11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是13318﹣1．【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出2294AD CD AE BE ==，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，求出AB ＝AD AE×BE ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，由等腰三角形的性质得出BM ＝CM ＝12BC ，由直角三角形的性质得出AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝x ，得出BC ＝2BM ＝，求出DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，即可得出答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝30°，∵∠DAE ＝∠B ＝30°，∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ，∵∠AED ＝∠BEA ，∴△ADE ∽△BAE ，∴AD AE DE ==AB BE AE，∴AE 2＝DE ×BE ，同理：△ADE ∽△CDA ，∴AD DE =CD AD ，∴AD 2＝DE ×CD ，∴22239()24AD CD AE BE ===，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，∵AD AE AB BE =，∴AB ＝AD AE ×BE ＝32×4x ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，如图所示：∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM ＝12BC ，∵∠B ＝30°，∴AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝，∴BC ＝2BM ＝，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，∴13318DE EC ==﹣1；故答案为：13318﹣1．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A 在直线34y x =上，如果把抛物线y=x ²沿OA 方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为_y=(x-4)2+3_．【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征，四二次函数的平移【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力.【分析】过点A作AB丄x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可.【解答】解：如图，过点A作AB丄x轴于B，∵点A在直线34y x上，OA=5，∴OB=4，AB=3，∵点A的坐标为(4，3)，∴平移后的抛物线解析式是y=(x-4)2+3故答案为y=(x-4)2+3.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便.。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题09 相似三角形(解析版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题09 相似三角形一、单选题1．（2021·上海长宁区·九年级一模）下列命题中，说法正确的是（ ）A ．四条边对应成比例的两个四边形相似B ．四个内角对应相等的两个四边形相似C ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似【答案】D【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．【详解】A 、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B 、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；C 、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大． 2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列说法中，错误的是（ ）A ．AOB DOC S S =△△ B ．AOB BOC S OD S OB =△△ C ．AOD BOC S OA S OC =△△ D ．ABD ABC S AD S BC=△△ 【答案】C【分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项．【详解】解：如图所示：∵AD∵BC ，∵∵AOD∵∵COB ，ABC DBC S S =，ABD ABC S AD S BC=△△，故D 正确， ∵OA OD OC OB =，∵22AOD BOC S OA S OC=△△，故C 错误； ∵,DOC OBC ABC AOB OBC DBC S S S S S S =+=+△△，∵AOB DOC S S =△△，A 正确； ∵AOB BOC S OA S OC=△△，即AOB BOC S OD S OB =△△，故B 正确；故选C ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等积法是解题的关键．3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知ABC 与DEF 相似，又40A ∠=︒，60B ∠=︒，那么D ∠不可能是（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°【答案】D【分析】利用三角形的内角和定理即可求出∵C ，然后根据相似三角形的性质和对应情况分类讨论即可得出∵D 可能的度数，从而作出判断．【详解】解：∵ABC 中，40A ∠=︒，60B ∠=︒∵∵C=180°－∵A －∵B=80°∵ABC 与DEF 相似∵∵D=∵A=40°或∵D=∵B=60°或∵D=∵C=80°∵D ∠不可能是100°.故选：D ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据相似三角形的性质分类讨论是解题关键．4．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（ ）．A ．am nB ．an mC ．am m n +D ．an m n+ 【答案】D【分析】先证明：四边形DEBF 是平行四边形，可得DF BE =，利用::AF FB m n =，再求解AF m AB m n=+，再证明ADF ACB ∽，利用相似三角形的性质求解BE ，再利用线段的和差可得答案． 【详解】解： //AB DE ，//BC DF ，∴ 四边形DEBF 是平行四边形，DF BE ∴=， ::AF FB m n =，AF mAB m n∴=+，//DF BC ，ADF ACB ∴∽ AF DF ADAB BC AC ∴==, //AB DE ，BE AD m BC AC m n ∴==+，BC a =，ma BE m n∴=+， .ma na CE a m n m n ∴=-=++ 故选：.D 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．5．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =，3BD =，BC a =，那么ED 等于（ ）A ．23aB ．23a -C ．25aD ．25a - 【答案】D【分析】先根据相似三角形的判定与性质求出DE 与BC 的数量关系，再根据向量的定义即可求出ED 的值．【详解】解：∵//DE BC ，∵DE AD BC AB=， ∵2AD =，3BD =，∵223DE BC =+，∵25DE BC =． ∵BC a =，∵ED =25a -．故选D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．6．（2021·上海徐汇区·九年级一模）下列说法中，正确的是（ ）A ．两个矩形必相似B ．两个含45︒角的等腰三角形必相似C ．两个菱形必相似D ．两个含30角的直角三角形必相似【答案】D【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；B 、如果一个等腰三角形的顶角是45︒，另一等腰三角形的底角是45︒，则不相似，此项错误；C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；D、两个含30角的直角三角形必相似，此项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键．7．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，己知在ABC中，点D、点E是边BC上的两点，连接AD、AE，且AD＝AE，如果ABE∵CBA，那么下列等式错误的是（）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•ACC．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD【答案】D【分析】根据相似三角形的判定及性质对每一个选项一一证明即可．【详解】解：∵ABE∵CBA，∵AB BEBC AB=，∵BAE＝∵C，∵AEB＝∵CAB，∵AB2＝BE•BC，（故选项A正确）∵AD＝AE，∵∵ADE＝∵AED，∵∵ADE＝∵CAB，又∵∵C＝∵C，∵CDA∵CAB，∵CD ADAC AB=，∵CD•AB＝AD•AC，（故选项B正确）∵∵ADE＝∵AED，∵BAE＝∵C，∵ABE∵CAD，∵AE BE CD AD=，∵AE•AD＝CD•BE，又∵AD＝AE，∵AE2＝CD•BE，（故选项C正确）∵∵ADE＝∵AED＜90°，∵∵ADB＝∵AEC＞90°，∵AB＞AD，AC＞AE，∵AB•AC＞AE2，即AB•AC＞CD•BE，（故选项D错误）故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．8．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD DE DB BC = B ．AE BF AC BC = C ．BD BF AD DE = D ．DG BF GF FC= 【答案】C【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可．【详解】解：∵DE∵BC ，DF∵AC ，∵四边形DFCE 是平行四边形，∵DE=CF ，DF=CE ，∵DE∵BC ，DF∵AC ，∵∵ADE∵∵ABC ，∵BFD∵∵BAC ，∵AD DE AB BC=，故A 错误； AE AD AC AB BC CF ==，即AE CF AC BC=，故B 错误； ∵DF∵AC ，∵BD BF BF AD CF DE==，故C 正确； ∵DE∵BC ，∵DG DE CF GF BF BF==，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键．9．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，对角线的交点为点O ．如果梯形ABCD 的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）A ．点O 到边AB 的距离B ．点O 到边BC 的距离 C ．点O 到边CD 的距离D ．点O 到边DA 的距离【答案】D 【分析】变化后的梯形为ABC D ''，对角线的交点为O '，连接OO '，利用平行证出∵ABO∵∵CDO ，∵ABO '∵C D O '''△列出比例式即可证出BO BO DO D O '=''，从而证出OO '∵DD '，然后根据平行线之间的距离处处相等即可证出结论． 【详解】解：如下图所示，变化后的梯形为ABC D ''，对角线的交点为O '，连接OO '由题意易知：CD=C D ''∵AB∵CD ，AB∵C D ''∵∵ABO∵∵CDO ，∵ABO '∵C D O '''△ ∵AB BO CD DO =，AB BO C D D O '=''''∵BO BO DO D O '=''∵OO '∵DD ' 根据平行线之间的距离处处相等，可得点O 和点O '到DA 的距离相等，点O 和点O '到AB 、BC 、CD 的距离不一定相等∵不变量是点O 到边DA 的距离故选D ．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线之间的距离，找出相似三角形并证出OO '∵DD '是解题关键．10．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点，如果∵ACD=∵B ，DE //BC ，EF //CD ，下列结论不成立的是（ ）A ．2AE AF AD =⋅B ．2AC AD AB =⋅C ．2AF AE AC =⋅D ．2AD AF AB =⋅【答案】C【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．【详解】解：∵DE //BC ，EF //CD ，∵∵ADE=∵B ，∵ACD=∵AEF ，又∵∵ACD=∵B ，∵∵ADE=∵AEF ，∵∵ADE=∵AEF ，∵A=∵A ，∵AEF∵ADE ，∵AE ADAF AE=，∵2AE AF AD =⋅，故选项A 正确； ∵∵ACD=∵B ，∵A=∵A ，∵ACD∵ABC ，∵AC AD AB AC=，∵2AC AD AB =⋅，故选项B 正确； ∵DE //BC ，∵AE AD AC AB =，∵EF //CD ，∵AE AF AC AD=，∵AF AD AD AB =，∵2AD AF AB =⋅，故选项D 正确； ∵EF //CD ，∵AE AF AC AD =，∵AF AC AE AD ⋅=⋅，故选项C 错误，故选：C ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A ．53B ．73C ．83D ．103【答案】C【分析】因为点G 是ABC 的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1，可知点D 为BC 的中点，21AG GD =，根据GE AC ⊥，可得90AEG ∠=︒，进而证得AEG △∵ACD △，从而得到EG AG CD AD=，代入数值即可求解． 【详解】如图，连接AG 并延长交BC 于点D ．点G 是ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =，8CB =，∴142CD BD BC ===， GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，EAG CAD ∠=∠（公共角），∴AEG △∵ACD △，∴EG AGCD AD =，21AG GD =，∴23AG AD =， ∴243EG AG AD ==，∴83EG =．故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．12．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//,3AD BC BC AD =，对角线AC BD 、交于点,O EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD AC 、分别交于点G H 、，如果OGH ∆的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C 【分析】设AD=2x ，BC=6x ，根据EF 是梯形ABCD 的中位线，求得EG=FH=12AD =x ，GF=12BC =3x ，证得GH=AD ，由此得到1OGH AOD S S ∆∆==，39BOC OGH S S ∆∆==，033A B DOC AOD S S S ∆∆∆===，即可求出答案．【详解】设AD=2x ，BC=6x ，∵EF 是梯形ABCD 的中位线，∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BD 、AC 的中点，EF∵AD∵BC ，∵EF=1()24AD BC +=x ， ∵EG=FH=12AD =x ，GF=12BC =3x ，∵GH=2x ，∵GH=AD ，∵GH∵AD,∵∵OAD∵∵OHG, ∵1OD AD OG GH==，∵OG=OD ，1OGH AOD S S ∆∆==， ∵GH∵BC,∵∵OGH∵∵OBC ，∵2163GH x BC x ==∵99BOC OGH S S ∆∆==， ∵O 是DG 的中点，G 是BD 的中点，∵033A B DOC AOD S S S ∆∆∆===，133916ABCD S ∴=+++=， 故选：C ．．【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题．13．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，过D 作DF AB ⊥交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果1tan 3EAC ∠=，1CEFS=，那么ABCS的值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】证明∵BAC∵∵FEC ，得219EFC BAC S EC S AC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，进一步得出结论．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，DF∵AB ，∵∵ACB=∵FCE=∵BDE=90°又∵FEC=∵BED∵∵F=∵B∵∵ABC∵∵EFC∵()22211tan 39EFC BAC S EC EAC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫==∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵1CEFS=∵99BAC FEC S S ∆∆== 故选：C【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题14．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为________．【答案】1:16【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，∵两三角形的相似比为1：4，∵两三角形的面积比为1：16．故答案为：1：16．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．15．（2021·上海闵行区·九年级一模）已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为__________．【答案】4：9【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可直接得出结果．【详解】解∵两个相似三角形的相似比为4：9，∵这两个相似三角形的周长比为4：9．故填：4：9．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．16．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果两个相似三角形的周长之比为1:4,那么这两个三角形对应边上的高之比为_______________________．【答案】1:4【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应边上的高之比．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，∵两个相似三角形的相似比为1：4，∵这两个三角形对应边上的高之比为1：4，故答案为：1：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键． 17．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB AC 上， //DE BC ，如果AED 和四边形DECB的面积相等，BC = DE 的长是 _____ ．【答案】2【分析】根据题意可得∵ADE∵∵ABC ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．【详解】∵//DE BC ，∵∵ADE∵∵ABC ，∵2ADE ABCS DE SBC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又∵AED 和四边形DECB 的面积相等，∵12ADE ABCS S=， ∵212DEBC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即：222DE BC ===，故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．18．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________．【答案】4【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC ，ACB CAD ∠=∠，继而可证//BC AD ，根据等腰三角形三线合一性质可得CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =，∵AFC ＝∵FAE ＝90°，继而在Rt∵AFC 中，根据勾股定理可得AF ，继而在Rt∵AEF 中，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵AB AC =，DA DC =∵ABC DAC △∽△∵2AC BC AD =⋅，ACB CAD ∠=∠∵AB AC ==32AD CD ==，∵2BC =又ACB CAD ∠=∠，∵//BC AD ，∵AB ＝AC 又点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．∵AF∵BC ，AF∵AD ，CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =，即∵AFC ＝∵FAE ＝90°，在Rt∵AFC 中，由勾股定理，得：AF ===∵在Rt∵AEF 中，由勾股定理，得：4EF ===．【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是求出综合利用所学知识求得BC ，AF 的长度．19．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为_______________． 【答案】5:4【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，∵其相似比为5：4， ∵这两个相似三角形的周长的比为5：4．故答案为：5：4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 20．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【答案】207【分析】作CM∵AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明∵CGF∵∵CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．【详解】作CM∵AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt∵ABC 中，∵C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∵设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB 2＝AC 2＋BC 2，即：102＝（2k ）2＋k 2，解得：k ＝∵BC ＝25，AC ＝45，∵CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于∵ABC ，∵GF ＝EF ＝MN ，GF∵AB ，∵∵CGF∵∵CAB ， ∵CN GF =CM AB ，即4EF EF 410-=，解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC 的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果DE=2DG ，那么DG=______厘米．【答案】15【分析】如图，记,AH DG 的交点为M ， 设,DG x = 2,402,DE x AM x ==-再证明：,ADG ABC ∽利用相似三角形的性质可得：,DG AMBC AH=再列方程，解方程可得答案． 【详解】解：如图，记,AH DG 的交点为M ，设,DG x = 2DE DG =， 2,DE x ∴= ,AH BC ⊥ 四边形DEFG 为矩形，40AH =，2,402,MH DE x AM x ∴===- ,AH DG ⊥ //,DG EF ,ADG ABC ∴∽ ,DG AMBC AH∴= 60BC =，402,6040x x -∴= 402400120,x x ∴=- 1602400,x ∴= 15,x ∴= 15.DG ∴=故答案为：15.【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．22．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在∵ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∵AED =∵B ，如果AD =2，AE =3，CE =1，那么BD 长为____．【答案】4【分析】根据相似三角形的判定得出∵AED∵∵ABC ，得出比例式，代入求出AB 即可． 【详解】AC=AE+CE=3+1=4，∵∵A=∵A ，∵AED=∵B ，∵∵AED∵∵ABC ，∵=AD AEAC AB ，∵23=4AB，∵AB=6，∵BD=6-2=4，故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能求出∵AED∵∵ABC 是解此题的关键． 23．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//EF AB ，12AF FC =，如果四边形ABEF 的面积为25，那么ABC 的面积为______．【答案】45【分析】根据//EF AB ，易得∵CFE∵∵CAB ，再依据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出三角形ABC 的面积．【详解】解：∵//EF AB ∵∵CFE∵∵CAB 又∵12AF FC =∵32AC FC =，∵94ABC FEC S S =△△ 设∵ABC 的面积为x 则9254x x =-，解得，x=45，经检验x=45是原方程的根,故答案为：45 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，依据相似三角形面积比是相似比的平方，构建方程，是解决问题关键．24．（2021·上海闵行区·九年级一模）在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且//DE BC ，如果：25DE BC =，那么AEEC=__________． 【答案】23【分析】如图，由//DE BC ，可得：ADE ABC △△∽，从而有：25DE AE BC AC ==，设2AE x =，则=5AC x ，求解3EC x =，从而可得答案．【详解】解：如图，//DE BC ，ADE ABC ∴△△∽，2,5DE AE BC AC ∴== 所以设2AE x =，则=5AC x ，3,EC AC AE x ∴=-= 2.3AE EC ∴=故答案为：2.3【点睛】本题考查的是比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 25．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在AB 、AC 上，已知ABC 的边16BC cm =，高AH 为10cm ，则正方形DEFG 的边长为___．【答案】8013【分析】高AH 与边DG 的交点为P ，由四边形DEFG 是正方形，得到DE DG PH ==，//DG EF ，所以ADG B ∠=∠，又因为DAG BAC ∠=∠，可证ADG ∵ABC ，根据相似三角形边之比等于高之比得到DG APBC AH=，代入数据求解即可． 【详解】高AH 与边DG 的交点为P ，如图，四边形DEFG 是正方形，∴//DG EF ，DE DG PH ==， 设正方形DEFG 的边长为x cm ，则DE DG PH x ===，10AH =，∴10AP AH PH x =-=-，//DG EF ，∴ADG B ∠=∠，DAG BAC ∠=∠（公共角），∴ADG ∵ABC ，∴DG APBC AH=， 16BC =，10AH =，∴101610x x -=，∴8013x =．故答案为：8013．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是注意图中公共角这个隐含条件．26．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，//AB CD ，AD 、BC 相交于点E ，过E 作//EF CD 交BD 于点F ，如果3AB =，6CD =，那么EF 的长是________．【答案】2【分析】选证明ABE DEC △∽△得到3162AE AB ED CD ===，利用比例性质得到23DE DA =，再证明//EF AB ，则可判断DEF DAB ∽，然后利用相似比可得到23EF AB =，问题可解． 【详解】解：/AB/CD ，ABE DEC ∴∽△△3162AE AB ED CD ∴===23DE DA ∴=， ∵//,//EF CD AB CD ，∵//EF AB ，DEF DAB ∴∽，∴23EF DE AB AD ==， ∵223233EF AB ==⨯=，故答案为：2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形时，应注意利用图中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．27．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，90BDC ∠=︒，4=AD ，9BC =，那么BD =______．【答案】6【分析】根据题意可知∵ABD∵∵DCB ，利用相似三角形对应边成比例，即可求出答案． 【详解】解：在直角梯形ABCD 中，∵//AD BC ，90A ∠=︒，90BDC ∠=︒，∵∵ADB=∵DBC ，∵A=∵BDC ，∵∵ADB∵∵DCB,∵AD BDDB CB= 又∵AD=4,,BC=9,∵BD=6故答案为:6．【点睛】本题考察了直角梯形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出∵ABD∵∵DCB ．28．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知△ABC 和△A 'B 'C '，顶点A 、B 、C 分别与顶点A '，B '，C '对应，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''边上的中线，如果3BC =， 2.4AD =，2B C ''=，那么A D ''的长是________． 【答案】85【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应边上的中线的比进而得出答案．【详解】解：如图，∵∵ABC∵∵A 1B 1C 1，3BC =， 2.4AD =，2B C ''=，∵BC AD B C A D ='''' 即3 2.4=2A D ''∵85A D ''=．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．29．（2021·上海金山区·九年级一模）已知：如图，ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，//DF AE 交BC 于F ，那么DF AG=______．【答案】34【分析】根据已知条件得出G 点是重心，再通过证明BEG ∵BFD △得出比例关系即可．【详解】∵ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，∵G 为ABC ∆的重心， ∵DG BG =12，GE AE =13；∵BG BD =23∵DF //AE ，∵BEG ∵BFD △ ∵EG DF =23∵GE AE =13∵DF AG =34．故答案为34． 【点睛】本题考查了重心的判定和性质与相似三角形的判定与性质，找到重心和两个相似三角形是解题的关键．30．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．【分析】由折叠的性质可得Rt BCD Rt BED ∆≅∆，由矩形的性质可证明Rt DAB Rt BCD ∆≅∆，故可得Rt DAB Rt BED ∆=∆，再证明Rt BCD Rt CDF ∆∆求得CD=2，在Rt AEF ∆中由勾股定理可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵BED 是由∵BCD 翻折得到，∵Rt BCD Rt BED ∆≅∆，CE BD ⊥，∵4AD BC ==，AB CD ED ==，∵四边形ABCD 是矩形，∵AD=BC ，AB=CD ，又BD=DB∵Rt DAB Rt BCD ∆≅∆∵Rt DAB Rt BED ∆≅∆∵AB ED =，ABD EDB ∠=∠∵四边形ABDE 是等腰梯形，∵CE BD ⊥，//AE BD ∵CE AE ⊥，∵EAD ADB DBC =∠=∠∵∵90,90DBC FCB FBC FCD ︒︒+∠=∠+∠=∵∵DBC FCD =∠∵Rt BCD Rt CDF ∆∆∵FD CD CD BC =，即14CD CD =∵2CD =或-2（舍去） 在Rt DCB ∆中，21tan 42CD DBC BC ∠===，∵∵EAD DBC =∠ ∵1tan 2EAD ∠=在Rt AEF ∆中，12EF AE =由勾股定理得，222AE AF EF =-即2221()()2AE AD FD AE =--∵2221(41)4AE AE =--解得：AE =． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．31．（2021·上海九年级一模）如果两个相似三角形的周长比为2:3，那么它们的对应角平分线的比为_________________． 【答案】23【分析】结合题意得：23AP AB =；再根据角平分线的性质，通过证明ABN APM △∽△，即可得到答案． 【详解】如图，ABC APQ △∽△，BAC ∠的角平分线AN 交BC 于点N ，交PQ 于点M∵APQ B ∠=∠∵APQ 和ABC 周长比为2:3∵23AP AB = ∵BAC ∠的角平分线AN 交BC 于点N ，交PQ 于点M ∵12PAM BAN BAC ∠=∠=∠ ∵ABN APM △∽△∵23AM AP AN AB ==故答案为：23．【点睛】本题考查了相似三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、角平分线的性质，从而完成求解．32．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，12AE EB =，联结DE 交对角线AC 于点O ，那么AO OC的值为_____．【答案】13【分析】由题意可以得到∵AOE∵∵COD ，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO ：OC 的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵∵OAE=∵DCO ，∵OEA=∵ODC ，∵∵AOE∵∵COD ，∵AO AE AE OC CD AB ==，∵122AE EB AE EB =∴=，， ∵133AE AE AE AB AE EB AE ===+，∵13AO OC =，故答案为13． 【点睛】本题考查平行四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质、三角形相似的判定和性质是解题关键．33．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，点D 、E 、F 分别位于ABC 的三边上，且//DE BC ，//EF AB ．如果ADE 的面积为2，CEF △的面积为8，那么四边形BFED 的面积是________．【答案】8【分析】根据平行线的性质可得∵AED=∵C ，∵A=∵CEF ，从而证出∵ADE∵∵EFC ，然后根据相似三角形的性质即可求出AE EC ，从而求出AE AC，然后利用平行证出∵ADE∵∵ABC ，根据相似三角形的性质求出ADE ABC S S ，即可求出ABC S ，最后根据S 四边形BFED =ABC S －ADE S －CEF S △即可证出结论．【详解】解：∵//DE BC ，//EF AB ∵∵AED=∵C ，∵A=∵CEF∵∵ADE∵∵EFC∵ADE 的面积为2，CEF △的面积为8，∵12AE EC ==== ∵31AE AC =∵//DE BC ∵∵ADE∵∵ABC∵219ADE ABC S AE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△∵219ABCS =△ ∵18ABC S =∵S 四边形BFED =ABC S －ADE S －CEF S △=8故答案为：8．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．34．（2021·上海浦东新区·九年级一模）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt ABC 中，∵C=90°，AC=12，BC=5，AD∵AB ，AD=0.4，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF∵CE 交DE 于点F ，那么BF=______．【答案】2625【分析】分别过点C 、B 作CH∵AB ，BG∵EF ，垂足分别为点H、G ，先根据勾股定理得到AB=13，进而可求得CH= 6013，再证明FBE∵ACB，根据相似三角形的性质可得BF BGAC CH=，由此计算即可．【详解】解：如图，分别过点C、B作CH∵AB，BG∵EF，垂足分别为点H、G，∵∵ACB=90°，AC=12，BC=5，13 ==，∵CH∵AB，∵CH=6013 AC BCAB⋅=，∵DE//AB，BG∵DE，AD∵AB，AD=0.4，∵BG=AD=0.4，∵FEB=∵ABC，∵BF∵CE，∵ACB=90°，∵∵ACB=∵FBE=90°，∵∵FEB=∵ABC，∵ACB=∵FBE=90°，∵FBE∵ACB，又∵CH∵AB，BG∵EF，∵BF BGAC CH=，∵0.4601213BF=，解得：2625BF=，故答案为：2625．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，根据题意得到BF BGAC CH=是解决本题的关键．35．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M 的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC 相交于点E、F，那么线段BE的长为______．【答案】2【分析】如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b == 由三角形的周长关系可得：5,a b +=再证明：,ANM DEM ∽利用相似三角形的性质求解8,AN a =-再证明：,ANF CEF ∽可得：10432,b a ab +-=再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b ==()1,2AB BE AF AB BC AC ∴++=++ ()1101012815,2a b ∴++=++= 5,a b ∴+=:2:112BD CD BC ==，， 84BD CD ∴==，， 8,DE a ∴=- M 为AD 的中点，,AM MD ∴= //AN BC ，,ANM DEM ∴∽ 1AN AM DE DM ∴==， 8,AN a ∴=- //AN BC ，,ANF CEF ∴∽ ,AN AF CE CF ∴= 即：8,848a b a b -=-+- ∴ 10432,b a ab +-= 510432a b b a ab +=⎧∴⎨+-=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩或94a b =⎧⎨=-⎩，经检验：94a b =⎧⎨=-⎩不合题意，舍去， 2.BE ∴= 故答案为：2. 【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．36．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在∵ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∵BC ，如果AB =12，BC =9，AC =6，四边形BCED 的周长为21，那么DE 的长为____．【答案】6【分析】先设DE=x ，CE=y 根据线段数量关系得出AD=DE+CE=x+y ，由相似三角形对应线段成比例得到关于x ，y 的二元一次方程组，解得x 即可求解．【详解】如图：设DE=x ，CE=y∵四边形BCED 的周长为21，BC =9，∵BD+DE+CE=21-9=12=AB=BD+AD即AD=DE+CE=x+y∵DE ∵BC ，∵∵ADE∵∵ABC ∵AD AE AB AC = 即6126x y y +-= DE AE BC AC = 即696x y -= 整理得：3122318x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：x=6 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，以及解二元一次方程，正确设未知数是解题的关键． 37．（2021·上海宝山区·九年级一模）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=︒，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．【答案】6【分析】设正方形铁皮的边长为x ，证明∵AEF∵∵DBG ，得到EF AF BG DG =，49x x=，求解即可． 【详解】设正方形铁皮的边长为x ，∵90C ∠=︒，∵∵A+∵B=90︒，在正方形EFGD 中，EF=DG=FG=x ，∵EFG=∵DGF=90︒,∵∵AFE=∵BGD=90︒，∵∵A+∵AEF=90︒,∵∵AEF=∵B ，∵∵AEF∵∵DBG ，∵EF AF BG DG =，∵49x x=， 解得x=6（负值舍去），故答案为：6．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明∵AEF∵∵DBG 是解题的关键． 38．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在ABC 中，2AB AC =，点D 在边AB 上，且ACD B ∠=∠，那么ACD ABCS S =△△__________． 【答案】14【分析】由∵A=∵A ，∵ACD=∵B ，得到∵ABC∵∵ACD ，根据相似三角形的性质即可得到结果．【详解】∵∵ACD=∵B ，∵A=∵A ，∵∵ACD∵∵ABC ，∵AB=2AC ， ∵22ACD ABC 1124S AC S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：14． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用了“相似三角形面积的比等于相似比的平方”． 39．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知点D ．E 分别在ABC 的边AB 和AC 上，//DE BC ，34DE BC =，四边形DBCE 的面积等于7，则ADE 的面积为____．【答案】9【分析】由//DE BC 易证∵ADE∵∵ABC 利用相似三角形的性质2ADE 2ABC S DE =S BC ∆∆利用分比性质ADE ABC ADE S 9=S S 169∆∆∆--，由ABC ADE S S ∆∆-S 四边形DBCE =7，代入ADE DBCE 9S =S 7∆四边形即可． 【详解】∵点D ．E 分别在ABC 的边AB 和AC 上，//DE BC ，∵∵ADE=∵ABC ，∵A 共用，∵∵ADE∵∵ABC ，∵34DE BC =，∵2ADE 2ABC S DE 9==S 16BC ∆∆ ， ∵ADE ABC ADE S 9=S S 169∆∆∆--，∵ADE DBCE S 9=S 7∆四边形，∵S 四边形DBCE =7，∵ADE DBCE 99S =S =7=977∆⨯四边形． 故答案为：9．【点睛】本题考查三角形相似的判断与性质，会证三角形相似，能利用相似三角形的性质列出面积比，会利用比例性质解决问题是关键．40．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若2CE BE =，ABC ∆的面积等于15，那么FEC ∆的面积等于______．【答案】4。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题06 几何证明(解答题23题)(解析版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题06 几何证明（解答题23题）1. （2021宝山一模）如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅；（2）如果1OE =，2EF =，求CF BF的长．【答案】（1）见解析；（2）33CF BF = 【分析】（1）根据菱形的性质证明ABO EDO ，BFO DAO ，得到AB BF ED DA=，再由AB DA =，即可证明结论； （2）连接OC ，先证明()ADO CDO SAS ≅得到DAO DCO ∠=∠，就可以证明OEC OCF ，根据对应边成比例求出OC 的长，再根据ADE FCE ~，利用对应边成比例求出结果．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴//AB CD ，//AD BC ，AB DA =，∴ABO EDO ，BFO DAO ， ∴AB BO ED DO =，BF BO DA DO =，∴AB BF ED DA=， ∵AB DA =，∴2AB DE BF =⋅；（2）如图，连接OC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=DC ，ADO CDO ∠=∠，在ADO △和CDO 中，AD CD ADO CDO DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADO CDO SAS ≅，∴DAO DCO ∠=∠，∵//AD BF ，∴DAO OFC ∠=∠，∴DCO OFC ∠=∠，∵COE FOC ∠=∠，∴OEC OCF ，∴OE OC OC OF=，即2OC OE OF =⋅， ∵1OE =，2EF =，∴123OF =+=，∴OC =AO OC == ∵//AD CF ，∴ADE FCE ~，∴12AD AE FC FE +==，∴12BC AD FC ==，BF BC CF FC FC =+=+=，∴(23363CF BF -===． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．2. （2021崇明一模）已知：如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ∠=∠，连接BE 、CD 相交于点F ．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=． 【分析】（1）先说明ADE ACB 可得AE AB AD AC=，再说明ADC AEB △△，最后根据相似三角形对应角相等即可证明： （2）先说明EDF EBD △△得到DF EF DE BD DE BE ==，进一步可得2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即可证明． 【详解】证明：（1）∵AED ACB ∠=∠，A A ∠=∠，∵ADE ACB ，∵AE AB AD AC =， 又∵A A ∠=∠，∵ADC AEB △△，∵ABE ACD ∠=∠；（2）∵ED EC =，∵EDC ACD ∠=∠，∵ABE ACD ∠=∠∵EDC ABE ∠=∠，又∵DEF DEF ∠=∠，∵EDF EBD △△，∵DF EF DE BD DE BE ==， ∵2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，∵22DF EF BD EB =． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解答本题的关键． 3. （2021奉贤一模）如图，在四边形ABCD 中，,B DCB ∠=∠联结AC ．点E 在边BC 上，且,CDE CAD DE ∠=∠与AC 交于点,F CE CB AB CD ⋅=⋅．()1求证：//AD BC ；()2当AD DE =时，求证：2AF CF CA =⋅．【分析】（1）证明ACB EDC ∆∆可得∠ACB=∠EDC=∠CAD ，从而可得结论；（2）根据ASA 证明ADF DEC ∆≅∆，得到AF=DC ，再证明FCDDCA ∆∆，得到2FC CA CD =，即可得到结论．【详解】解：（1）∵B DCB ∠=∠，且CE CB AB CD ⋅=⋅，即CE CD AB CB = ∴ACB EDC ∆∆，∴ACB CDE ∠=∠∵CDE CAD ∠=∠，∴∠ACB=∠CAD ，∴//AD BC（2）∵//AD BC ，∴∠ADE=∠CED在△ADF 和△DEC 中，FAD EDC AD CEADF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△DEC ，∴AF=DC 又∵∠CDF=∠CAD ，∠FCD=∠ACD ，∴FCD DCA ∆∆ ∴FC CD CD CA=，即2FC CA CD = ，∴2AF CF CA =⋅ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的性质找出比例式．4. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．【分析】（1）由//EG AB 易证△CGE ∽△CAB ，由性质得CG CE =CA CB 由比例性质得CG CE =AG BE ，由已知BF=AG 比例式变为CG CE =BF BE，由已知DB DC =，利用等边对等角得∠FBE=∠GCE ，利用两边成比例夹角相等知BFE CGE △∽△；（2）由//EG AB ，利用性质内错角相等∠BAE=∠AEG ，由已知AEG C ∠=∠，推出∠BAE=∠C ，又∠ABE=∠CBA 共用，可证△ABE ∽△CBA ，由性质AB BE =BC AB，∠BEA=∠BAC ，把比例变等积得2AB =BC BE ，由（1）BFE CGE △∽△利用性质∠BEF=∠CEG ，∠BFE=∠CGE ，推出∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC ，利用等角对等边得AC=BC ，GC=EC ，利用等量代换得AG=BE ，可证2AB =AC AG ．【详解】（1）∵//EG AB ，∴∠CGE=∠CAB ，∠CEG=∠CBA ，∴△CGE ∽△CAB ，∴CG CE =CA CB ， ∴CG CE =CA-CG CB-CE 即CG CE =AG BE ，∵BF=AG ，∴CG CE =BF BE，∵DB DC =， ∴∠DBC=∠DCB ，即∠FBE=∠GCE ，∴BFE CGE △∽△，（2）∵//EG AB ，∴∠BAE=∠AEG ，又∵AEG C ∠=∠，∴∠BAE=∠C ，又∵∠ABE=∠CBA 共用，∴△ABE ∽△CBA ，∴AB BE =BC AB，∠BEA=∠BAC ，∴2AB =BC BE ， 由（1）BFE CGE △∽△，∴∠BEF=∠CEG ，∠BFE=∠CGE ，∵//EG AB ，∴∠ABC=∠GEC ，∠BAC=∠EGC ，∴∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC ，∴AC=BC ，GC=EC ，∴AG=BE ，2AB =BC BE=AC AG ．．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，会利用换比的方法证三角形相似，会利用相似证角等转化边角关系是解题关键．5.（2021黄埔一模）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点M 、N ，则AM CN DM BN=； ②如图2．在梯形ABCD 中，//AD BC ，过两腰延长线交点P 的直线与两底分别交于点K 、L ，则AK BL DK CL =．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明：（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB 、CD 同时平分，请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B 铅笔水笔完成作图，不要涂改）【分析】（1）根据题意，写出已知、求证并画出图形，如解图所示，根据平行证出△AOB ∽△COD ，列出比例式并根据比例的性质可证AO BO AC BD=，再利用平行证出△AEO ∽△ADC ，△BFO ∽△BCD ，分别列出比例式即可证出结论；（2）连接DA 、CB 并延长交于点P ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 并延长，分别交AB 、CD 于M 、N ，利用①、②的结论即可证明PN 平分线段AB 、CD ．【详解】解：（1）已知：四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作EF ∥CD ，分别交AD 、BC 于E 、F ，求证：OE=OF 证明：∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AO BO CO DO =，∴AO BO AC BD= ∵EF ∥CD ，∴△AEO ∽△ADC ，△BFO ∽△BCD ∴OE AO CD AC =，OF BO CD BD=，∴OE OF CD CD =，∴OE=OF ； （2）连接DA 、CB 并延长交于点P ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 并延长，分别交AB 、CD 于M 、N ，如下图所示，PN 即为所求，证明如下的由①知：AM CN BM DN =，由②知：AM DN BM CN =，∴CN DN DN CN= ∴22CN DN =，∴CN=DN ，∴1AM DN BM DN==，∴AM=BM ，∴PN 平分线段AB 、CD ． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握利用平行证相似和相似三角形的性质是解题关键．6. （2021嘉定一模）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．ABC 的高AH 交GF 于点I ．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=． 分析】（1）证明,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽，根据相似三角形的性质列出比例关系，整理即可证得结论；（2）要证明11n BC AH EF +=只需证明1nEF EF BC AH +=即1DE EF BC AH+=，证明∵AGF∵∵ABC ，根据相似三角形的性质以及比例的性质即可证明．【详解】解：（1）证明：∵四边形DEFG 为矩形，ABC 的高AH 交GF 于点I ，∴GD=EF,90GDH GDB FEC FEB AHB AHC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒,又∵∵B=∵B,∵C=∵C ，∵,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽， ∴GD BD BD AH BH BD DH ==+,EF CE CE AH CH CE EH ==+，∵=BD CE BD DH CE EH++，∴BD EH DH CE ⋅=⋅； （2）证明：∵四边形DEFG 为矩形，∴,//GF DE GF BC =，90FEB EFG ∠=∠=︒，∴,AGF B AFG C ∠=∠∠=∠，∴∵AGF∵∵ABC ， ∵AH 为∵ABC 的高，∵∵AIF=∵AHC=90°，GF AI BC AH =,即DE AI BC AH=, ∵90FEB EF C G AH ∠=∠=∠=︒，∴四边形IHEF 为矩形，∴EF=IH ，∵DE n EF =⋅，∴1nEF EF DE IH AI IH AI IH AH BC AH BC AH AH AH AH AH ++=+=+===，∴11n BC AH EF+=． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质和判断．本题中相似三角形有很多，能结合结论判断是需要证明哪组三角形相似是解题关键．7. （2021闵行一模）如图，点E 为ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．【分析】（1）先证明ADF CDB △△，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出1B ∠=∠，再证明BCD CAE △△，根据相似三角形的性质得出BC CE BD AC ⋅=⋅，根据等式的性质和等量代换即可得证．【详解】（1）CD BD ⊥，90ADF CDB ∴∠=∠=︒，AF CD BC AD ⋅=⋅,AD CD AF BC∴=, 在ADF 和CDB △中AD BC AF CD ADF CDB ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADFCDB ∴△△，F B ∴∠=∠，FAD EAB ∠=∠，90FDA BEA ∴∠=∠=︒，AE BC ∴⊥；（2）BE CE AE BC =⊥，，AB AC ∴=，1B ∴∠=∠又90BDC AEC ︒∠=∠=,BCDCAE ∴△△，BC BD AC CE ∴=，BC CE BD AC ∴⋅=⋅ 22BC CE BD AC ∴⋅=⋅，BE CE =，∴2BC CE =，∴22BC BD AC =⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．8.（2021普陀一模） 已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=； （2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．【分析】（1）先证ABD △与DCB 相似，再根据相似三角形对应线段成比例再进行证明，问题得证；（2）先证ABD EFD ∽，再证DCB EFD △∽△，最后根据相似三角形对应线段成比例进行证明，问题得证．【详解】证明（1）/AD/BC ，ADB DBC ∠=∠∴，ABD C ∠=∠，∴ABD DCB △∽△，又∵AE 、DF 分别是ABD △与DCB 对应边上的高，AE BDDF BC∴= （2）如图，连结EF/AD/BC ，DF BC ⊥，∴90ADF ∠=︒，ADB BDF ∠=∠，∴45ADB BDF ∠==︒ AE BD ⊥，∴90∠=︒AED ，∴cos45DE DFDA DB=︒= ABD EFD ∴△∽△，DCB EFD ∴△∽△，DC BCEF DF∴=DF DC EF BC ∴⋅=⋅ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9. （2021青浦一模）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，AC 、BD 相交于点E ，AE CE DE BE ⋅=⋅（1）求证：ABE ACB ∽；（2）如果2·DA DE DB =，求证：AB EC BC AE ⋅=⋅． 【分析】（1）找到两对相同角即可证明相似 （2）证明出ADE BDA △∽△后可推出．【详解】证明：（1）··AE CE DE BE ADE BCE ADE ACB =⇒⇒∠=∠∽AB AD ADE ABE ACB ABE =⇒∠=∠⇒∠=∠∵两个三角形有一公共角∠BAC ∴ABE ACB ∽．（2）2·DA DE DB ADE BDA =⇒∽AED ⇒为等腰三角形BEC ⇒为等腰三角形AD AE AB AEAB EC BC AE BC EC BC EC⇒=⇒=⇒⋅=⋅． 【点睛】本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题， 10.（2021松江一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 上一点，联结BE 、CE ，延长BA 、CE 相交于点F ，2CE DE BC =⋅（1）求证：EBC DCE ∠=∠； （2）求证：··BE EF BF AE =． 【分析】（1）根据2CE DE BC =⋅得CE BCED CE=，再由BCE CED ∠=∠，可以证明BCE CED ，即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质结合（1）的结论，证明BFE AEB ∠=∠，即可证明EBF ABE ，就能得到结论．【详解】解：（1）∵2CE DE BC =⋅，∴CE BCED CE=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴BCE CED ∠=∠，∴BCE CED ，∴EBC DCE ∠=∠；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴AEB EBC ∠=∠， ∵EBC DCE ∠=∠，∵//AB CD ，∴BFE DCE ∠=∠，∴BFE AEB ∠=∠， ∵EBF ABE ∠=∠，∴EBFABE ，∴EF BFAE BE=，∴BE EF BF AE ⋅=⋅． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．11. （2021杨浦区一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DEBD BE=； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项． 【分析】（1）延长AF 交BC 于点G ，可证AD=GC ，由//AF DC ，可证DF CG ADBD BC BC==，由ADE CBE △△，可证AD DEBC BE=，进而可证结论成立； （2）证明ADECBE △△，可证2CD BD DE =⋅，由（1）得AD DEBC BE=，即DF BE BD DE ⋅=⋅，进而可证线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．【详解】证明：（1）如图，延长AF 交BC 于点G ，∵//AD BC ，//AF DC ， ∴四边形AGCD 是平行四边形，∴AD=GC ． ∵//AF DC ，∴DF CG ADBD BC BC==，∵//AD BC ，∴ADE CBE △△， ∴AD DE BC BE =， ∴DF DEBD BE=；（2）∵//AD BC ，∴CBD ADB ∠=∠．∵ADB ACD ∠=∠，∴CBD ACD ∠=∠， ∵CDE BDC ∠=∠， ∴CDEBDC ，∴CD DEBD CD=， ∴2CD BD DE =⋅． ∵DF DEBD BE=，∴DF BE BD DE ⋅=⋅，∴2CD DF BE =⋅． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．12. （2021金山一模）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且ABD MAN ∠=∠.（1）求证：DE BF AB ⋅=2；（2）若DCDNDE BE =，求证：MN EF //.证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形； ∴AD AB =；……………（1分） ∴ADB ABD ∠=∠；……………（1分）∵BAE ABD AED ∠+∠=∠,BAE MAN BAF ∠+∠=∠； 又∵ABD MAN ∠=∠；A BF E C第23题图DMN∴BAF AED ∠=∠；……………（1分） ∴AED ∆∽FAB ∆；……………（1分） ∴ABDEBF AD =，即DE BF AB AD ⋅=⋅；……………（1分） ∴DE BF AB ⋅=2.……………（1分）（2）∵四边形ABCD 是菱形；∴BC AD =，BC AD //；……………（1分） ∴AD BM DE BE =；……………（2分） ∵DCDNDE BE =； ∴DC DN AD BM =，……………（1分）∴DCDNBC BM =；……………（1分） ∴BD MN //，即MN EF //.……………（1分）13. （浦东新区一模）Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD ＝CA ， DE ⊥AB ．（1）求证：CA 2＝CE •CB ；（2）联结AE ，取AE 的中点M ，联结CM 并延长与AB 交于点H ，求证：CH ⊥AB ．【分析】（1）证明△DCE△△BCD ，根据相似三角形的对应边成比例即可得证；（2）证明△CAE△△CBA ，可得△CEA=△CAB ，由直角三角形的性质可证CM=AM ，从而△CAE=△ACM ，然后由等量代换可证△CAB+△ACM=90°，进而可证结论成立．【详解】证明：（1）△CA=CD ，△△A=△CDA ．△△ACD=90°，△△A+△B=90°．△DE△AB，△△CDA+△CDE=90°，△△B=△CDE．△△DCE=△BCD，△△DCE△△BCD，△CD CB CE CD=．△CD=CA，△CA CBCE CA=，△2CA CB CE=⋅；（2）△CA CBCE CA=，△ACE=△BCA，△△CAE△△CBA，△△CEA=△CAB．△△ACB=90°，△△CEA+△CAE=90°．△M为AE的中点，△ACE=90°，△CM=AM，△△CAE=△ACM．△△CEA=△CAB，△△CAB+△ACM=90°，△△AHC=90°，△CH△AB．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．14．（2021徐汇一模）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE 交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到＝，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴＝，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴＝，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．15．（2021长宁一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC 上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH＝∠CBH，根据等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDE，进而得到∠AEC＝∠ADB，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，根据相似三角形的性质得到＝，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC＝90°，∴∠ACH＝∠CBH，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ACE∽△ABD；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，∴∠CAD＝∠G，∵△ACE∽△ABD，∴＝，∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠G，∴AB＝BG，∵BG∥AC，∴△ADC∽△GDB，∴＝，∴＝，∴＝，∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．16．（2021·上海静安区·九年级一模）已知：如图，在△ABC中，DE△BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD△△CDE；（2）22CD AD BC AB．【分析】（1）由2·AD AE AC =，易证得ADC AED ∆∆∽，即可得ACD ADE =∠∠，又由//DE BC ，易证得ECD B ∠=∠，则可证得BCD CDE ∆∆∽；（2）由BCD CDE ∆∆∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可得CD DEBC CD=，又由//DE BC ，可得ADE ABC ∆∆∽，即可得AD DEAB BC=，继而得到结论． 【详解】证明：（1）2·AD AE AC =，∴AD ACAE AD=，A ∠是公共角， ADC AED ∴∆∆∽，ACD ADE ∴∠=∠，//DE BC ，ADE B ∴∠=∠，BCD CDE ∠=∠，ECD B ∴∠=∠，BCD CDE ∴∆∆∽；（2）BCD CDE ∆∆∽，∴CD DE BC CD =，2CD DE BC ∴=， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴AD DE AB BC =，∴22CD ADBC AB=． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。
2021年上海市中考数学试卷-含答案详解
2021年上海市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列实数中，有理数是( ) A. √12B. √13C. √14D. √152. 下列单项式中，a 2b 3的同类项是( ) A. a 3b 2B. 3a 2b 3C. a 2bD. ab 33. 将函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象向下平移两个单位，以下错误的是( ) A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. y 随x 的变化情况不变D. 与y 轴的交点不变4. 商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适( )A. 2kg/包B. 3kg/包C. 4kg/包D. 5kg/包5. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，E 为AB 中点，则12a ⃗ +b ⃗ =( )A. EC⃗⃗⃗⃗⃗ B. CE⃗⃗⃗⃗⃗ C. ED⃗⃗⃗⃗⃗ D. DE⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 如图，长方形ABCD 中，AB =4，AD =3，圆B 半径为1，圆A 与圆B 内切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是( )A. 点C在圆A外，点D在圆A内B. 点C在圆A外，点D在圆A外C. 点C在圆A上，点D在圆A内D. 点C在圆A内，点D在圆A外二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7. 计算：x7÷x2=______．8. 已知f(x)=6，那么f(√3)=______．x9. 已知√x+4=3，则x=______．10. 不等式2x−12<0的解集是______．11. 70°的余角是______．12. 若一元二次方程2x2−3x+c=0无实数根，则c的取值范围为______ ．13. 已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为______．14. 已知函数y=kx经过二、四象限，且函数不经过(−1,1)，请写出一个符合条件的函数解析式______．15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得______元．16. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD//BC，S△ABDS△BCD =12，则S△BOCS△BCD=______．17. 六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积______．18. 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP=2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。