浙江省宁波市九校2019-2020学年高二上学期期末联考数学试题答案
2019-2020学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I ( )A ．()10-， B ．(]06， C ．()06， D ．(]16-， 【答案】B【解析】进行交集的运算即可. 【详解】解：∵{}0A x x =>，{}16B x x =-<≤，∴(]06A B =I ，. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题. 2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．33⎛ ⎝⎭-1， C ．(3-， D ．13⎡-⎣，【答案】C【解析】先判断出函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可. 【详解】解：因为函数tan y x =在,43ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增， 且tan3,tan 134ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 则所求的函数的值域是(3-，. 故选：C. 【点睛】本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( )A ．110x y-> B ．cos cos 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【答案】C【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论. 【详解】解：0x y >>，则11x y <，即110x y->，故A 错误； 函数cos y x =在()0,∞+上不是单调函数，故cos cos 0x y ->不一定成立，故B 错误；函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是单调减函数，则1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当11,x y e==时，ln ln 10x y +=-<，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．已知向量3122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且3a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围. 【详解】解：设a r 与b r的夹角为θ,3122a ⎫=⎪⎪⎝⎭r Q ，， 1a ∴=r,3||||cos 3cos 2a b a b θθ∴⋅=⨯=⇒=r r r r, [0,]θπ∈Q , 6πθ∴=.故选：A. 【点睛】本题考查向量的数量积及其夹角，是基础题.5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()h x 图象关于()30π，对称 D ．函数()h x 图象关于直线3x π=-对称【答案】D【解析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和ϕ，并代入函数()h x 的解析式，整理得1()cos 3h x x =-，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可. 【详解】解：∵扇形弧长¶323,2AB ϕπϕπ==∴=， 又∵扇形面积13232ωππ=⋅⋅=， 31()sin sin cos 323h x x x x ππϕπωπ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A 选项，函数()h x 为偶函数，即A 错误； 对于B 选项，令1[2,2],3x k k k Z πππ∈+∈，则[6,36],x k k k Z πππ∈+∈， 而[2,0][6,36],k k k Z ππππ-+∈Ú，即B 错误； 对于C 选项，令1,32x k k Z ππ=+∈，则33,2x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称中心为33,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D 选项，令1,3x k k Z π=∈，则3,k x k Z π=∈，∴函数的对称轴为3,k x k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题. 6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】771log 2log 72<= ，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②【答案】B【解析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】解：①sin y x x =是奇函数，图象关于原点对称；当0x >时，0y ≥恒成立； ②cos y x x =是奇函数，图象关于原点对称；③2=x x y e为非奇非偶函数，图象关于原点和y 轴不对称，且0y ≥恒成立；④4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称；则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A【解析】令，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-，则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxy x--+<-Q ，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020x x y y--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由已知不等式的特点构造函数.10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】方程()()21610f x x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可. 【详解】解：方程()()21610f x x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数， 画出两个函数的大致图象，如图所示：1(0)(0)016g f =>=Q ， ∴在(0,)+∞内有1个交点，191(5)(5)164g f -=-<-=-Q ，51(3)(3)162g f -=->-=-， 11(2)(2)0,(1)(1)1616g f g f -=-<-=-=>-，∴两个函数在(,0)-∞内有3个交点，综上所述，函数()f x 与函数()g x 共有4个交点， 所以方程()()21610f x x x ++-=根的个数是4个，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，关键是要画出函数图像，并且确定关键点的高低，是一道难度较大的题目.二、填空题11．已知函数()()1lg 311x f x x x+=+-,则()0f =____________函数定义域是____________.【答案】2 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】直接在函数解析式中取0x =求得()0f ；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域. 【详解】解：由()()1lg 311x f x x x +=++-，得(0)lg121f ==；由10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，∴函数定义域是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 故答案为：2；113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u ur u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.【答案】125 【解析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解. 【详解】解：由已知可得1212(2)()210AB CD e e e e λλ⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r，解得实数12λ=； ∵A B D ，，三点共线，又()12122,12AB e e BD BC CD e e λ=+=+=-+u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r ，2112λ∴=- 解得实数5λ=. 故答案为：12；5. 【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直和向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________.【答案】13 31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】根据正切的周期求出a ，利用整体法求出对称中心即可.【详解】解：函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3， 则3a ππ=，得13a =， 所以函数1()2tan 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11,362x k k Z πππ+=∈， 得3122x k =-，k Z ∈， 故对称中心为31022k k Z ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，，. 故答案为：13；31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题. 14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a ba b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log x f x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.【答案】1 [)13，【解析】由所给的函数定义求出分段函数()f x 的解析式，进而求出结果. 【详解】解：由题意1(0,1]()?21(1,2)xx f x x ∈⎧=⎨-∈⎩ 所以(1)1,f =当(1,2)x ∈时，()f x 是单调递增函数，则()(1,3)f x ∈，则()f x 的值域为[)13，. 故答案分别为：1；[)13，.【点睛】考查分段函数的解析式及函数的值域，属于基础题.15．已知函数()()29af x m x =-为幂函数,且其图象过点(33，,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________.【答案】()2-∞，【解析】根据函数()f x 是幂函数求出m 的值，再根据()f x 的图象过点(33，，求出a 的值；由此得出函数()g x 的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出()g x 的单调递增区间. 【详解】解：函数函数()()29af x m x =-为幂函数，291m -=，解得5m =，且其图象过点(33，， 所以33a =，解得12a =， 所以函数()()2log 6a g x x mx =-+即函数()()212log 56g x x x =-+， 令2560x x -+>，解得2x <或3x >,所以函数()g x 的单调递增区间为()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，复合函数的单调性的判断，是基础题.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.【答案】[)3+∞，【解析】先根据()6a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=r r r r r r r得到cos 3a b θ⨯=+r r ；进而表示出a b+r r 即可求解. 【详解】解：设a b +r r 与c r 的夹角为θ，()6||||cos a b c a c b c a b c θ+⋅=⋅+⋅==+⨯⨯r r r r r r r r r rQ ， ||cos 3a b θ∴+⨯=rr ，0cos 1θ∴<≤，3||3cos a b θ+=≥r r . 故答案为：[3,)+∞. 【点睛】本题主要考察平面向量的数量积以及三角函数的性质应用，属于基础题.17．函数()()25sin f x xg x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________. 【答案】6【解析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n . 【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦， ()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++， 即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+， 由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+，即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. (1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.【答案】(1)12;(2) 6611⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，. 【解析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出tan x 的值，再根据x 的范围确定tan x 的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m 的解析式，再求m 的取值范围. 【详解】(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-r r ,即2sin cos 5x x ⋅=,所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++, 所以22tan 5tan 20x x -+=,即tan 2x =或1tan 2x =. 因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以[]tan 01x ∈，,即1tan 2x =； (2)因为a c +r r 与a c -r r垂直, ()()220a c a c a c ∴+⋅-=-=r r r r r r ，a c ∴=r r ,所以221sin m x =+,因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以2231sin 12m x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，, 即6611m ⎡⎤⎡∈-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.19．已知集合()(){}()31121A x y x x B a a ==+-=-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()R A B =∅I ð,求a 的取值范围; (2)若A C C =I ,求m 的取值范围. 【答案】(1)20a -<≤;(2)20m -≤≤【解析】（1）可以求出[]31A =-，，从而可得出A R ð，根据()R A B =∅I ð得121a a -<+，并且13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可； （2）根据A C C =I 即可得出C A ⊆，然后可讨论1m +与1m --大小关系，从而得出集合C ，根据C A ⊆即可得出m 的范围. 【详解】 (1)因为()(){}[]3131A x y x x ==+-=-，,所以()()31,R A =-∞-+∞U ，ð, 因为()121B a a =-+，,即121a a -<+.即2a >-, 由()R A B =∅I ð得,13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得20a -≤≤, 所以20a -<≤；(2)因为A C C =I ,即C A ⊆,[]()(){}31|110A C x x m x m =-=--++≤，，,①11m m +≤--时,即1m ≤-时,{}11C x m x m m R =+≤≤--∈，,C A ⊆,所以1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩,解得2m -≤,所以21m -≤≤-. ②11m m +>--时,即1m >-时,{}11C x m x m m R =--≤≤+∈，, C A ⊆,所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩,解得0m ≤,所以10m -<≤. 综上所述:20m -≤≤. 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，补集、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题. 20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+. (1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围. 【答案】(1)()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，;(2)40k -<<.【解析】（1）设0x <，则0x ->，()()()2lg 1f x f x x =-=-+，再求出()f x 的解析式；（2）当0x <时，因为0kx >，所以k 0<，结合分离参数法求出k 的范围. 【详解】(1)设0x <,则0x ->,()()()2lg 1f x f x x =-=-+,所以()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，；(2)当0x <时,因为0kx >,所以k 0<,所以()()lg 2lg 1kx x <-+,即()()2lg lg 1kx x <-+,即()21kx x <-+.因为0x <,所以()2112x k x xx-+>=+-恒成立,当0x <时,11224x x x x+-≤-⋅=-最大值为-4,所以4k >-, 所以40k -<<. 【点睛】本题考查分段函数求解析式，函数求含参恒成立问题，转化为最值问题即可，中档题. 21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)312⎛- ⎝⎭，. 【解析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解. 【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫- ⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ； (2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x 取最小值3,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以3212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即312m ⎛∈- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题.22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132xxf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k =时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.【答案】(1)()3log 2+∞，;(2)1k =或17k =-;(3)存在,207k <<.【解析】（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数()y f x =的值域； （2）利用换元法设30x t t =>，，然后对参数k 进行分类讨论，分0k ≥和k 0<两种情况进行讨论函数()g t 的最大值，根据最大值取得的情况计算出k 的取值； （3）继续利用换元法设30x t t =>，，设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++，根据二次函数的性质可得()f x 在()1+∞，上为增函数，则()()()()min max f x f m f x f n ==，，将问题转化为方程()3log 291321x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据>0∆，及韦达定理可计算出实数k 的取值范围. 【详解】(1)0k =时,()()3log 32xf x =+,因为322x +>.所以()()33log 32log 2xf x =+>,所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，(2)设30x t t =>，,则()()23log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,若0k ≥,则函数()()2212g t k t k t k =⋅--++无最大值,即()f t 无最大值,不合题意;故k 0<,因此()()2212g t k t k t k =⋅--++最大值在104k t k-=>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()211212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭, 解得1k =或17k =-, 由k 0<,所以17k =-. (3)因为01k <<时,设()31xt t =>.设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++. 此时对称轴104k t k-=<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,即()f x 在()1+∞，上为增函数. 所以,()()()()min max 11f x f m m f x f n n ==+==+，, 即方程()3log 291321xxk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根, 即()1291323xxx k k k -⋅--++=,设()31xt t =>.所以()22123k t k t k t ⋅--++=.即方程()22220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,因为01k <<,所以()()()228202142220k k k k kk k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩, 解得207k <<, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207k <<. 【点睛】本题主要考查函数的值域问题，最值问题，考查了换元法的应用，分类讨论思想和转化思想的应用，不等式的计算能力，本题属综合性较强的中档题.。
浙江省衢州五校2019-2020学年高二上学期期末考试联考数学试题Word版含解析
浙江省衢州五校2019-2020学年上学期期末考试联考高二数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）A. 若不是偶数，则与不都是偶数B. 若不是偶数，则与都不是偶数C. 若是偶数，则与不都是偶数D. 若是偶数，则与都不是偶数2. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.3. 已知，，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.4. 过点且与直线垂直的直线方程是（）A. B.C. D.5. 已知空间两不同直线，两不同平面，下列命题正确的是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则不垂直于6. 圆上的动点到直线的最小距离为（）A. 1B.C.D.7. 由曲线围成的图形的面积为（）A. B. C. D.8. 在直角坐标平面内有四点，，，，为该坐标平面内的动点，则到四点的距离之和的最小值为（）A. B. C. 12 D.9. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（）A. B. 16 C. D. 3210. 已知是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（单空题每题4分，多空题每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）11. 已知直线，直线，若，则__________；若，则两平行直线间的距离为__________.12. 某几何体的三视图入下图所示，则该几何体最长的一条棱的长度__________，体积为__________.13. 已知正方体中，，异面直线与所成角的余弦值是__________；14. 已知椭圆的方程为，则其长轴长为__________；若为的右焦点，为的上顶点，为上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为__________．15. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若（为坐标原点），则__________．16. 如图，矩形与所成的二面角的平面角的大小是，，，现将绕旋转一周，则在旋转过程中，直线与平面所成角的取值范围是__________．17. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点，若，则__________.三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18. 已知命题：方程表示圆；命题：方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）若命题为真命题时，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19. 如图，在直三棱柱中，，，且分别是中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知抛物线的焦点为，为过定点的两条直线.（1）若与抛物线均无交点，且，求直线的斜率的取值范围；（2）若与抛物线交于两个不同的点，以为直径的圆过点，求圆的方程.21. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正切值.22. 如图，分别是椭圆的左、右焦点，焦距为，动弦平行于轴，且.（1）求椭圆的方程；（2）过分别作直线交椭圆于和，且，求四边形面积的最大值.浙江省衢州五校2019-2020学年上学期期末考试联考高二数学试题参考答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）A. 若不是偶数，则与不都是偶数B. 若不是偶数，则与都不是偶数C. 若是偶数，则与不都是偶数D. 若是偶数，则与都不是偶数【答案】A【解析】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则与不都是偶数”. 故选：A2. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】一般式化为斜截式：，故k=，故倾斜角为.故选C.3. 已知，，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点为，又∴，∵，∴即, D点坐标故选：D4. 过点且与直线垂直的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】与直线垂直的直线的斜率为，有过点，∴所求直线方程为：即故选：C5. 已知空间两不同直线，两不同平面，下列命题正确的是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则不垂直于【答案】B【解析】对于A，若且，则或，故错误；对于B，若且，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于C，若且，则，故错误；若m不垂直于α，且n⊂α，则m可以垂直于n，故D错误．故选：B6. 圆上的动点到直线的最小距离为（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0即（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，表示圆心坐标为（2，2），半径等于1的圆．圆心到直线的距离为 =2（大于半径），∴圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0上的动点P到直线x+y=0的最小距离为2﹣1．故选：D．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.7. 由曲线围成的图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是2×2+4××π×（）2=8+4π故选：D．8. 在直角坐标平面内有四点，，，，为该坐标平面内的动点，则到四点的距离之和的最小值为（）A. B. C. 12 D.【答案】A【解析】设平面直角坐标系中任一点P，P到点，，，的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC，即到四点的距离之和的最小值为四点构成的四边形对角线长度之和．故选：A9. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（）A. B. 16 C. D. 32【答案】B【解析】设AC=x，BC=y，由题意得x＞0，y .＞0，x2+y2=16，∵当阳马B﹣A1ACC1体积最大，∴V=4x×y=取最大值，∵xy≤=8，当且仅当x=y=时，取等号，∴当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，AC=BC=，此时堑堵ABC﹣A1B1C1的体积V=S ABC•AA1=．故选：B．10. 已知是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的另一个焦点为E，令|CF|=m，|BF|=|AE|=4m， |AF|=2a-4m，在直角三角形EAC中，4m2+（2a-4m +m）2=（2a-m）2，化简可得a=3m，在直角三角形EAF中，4m2+（2a-4m）2=（2c）2，即为5a2=9c2，可得e=．故选：B．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（单空题每题4分，多空题每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）11. 已知直线，直线，若，则__________；若，则两平行直线间的距离为__________.【答案】 (1). (2)............................若，则，解得：∴两平行直线间的距离为故答案为：，12. 某几何体的三视图入下图所示，则该几何体最长的一条棱的长度__________，体积为__________.【答案】 (1). (2).【解析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．其中PA⊥底面ABC，PA=2，底面△ABC是边长为2的等边三角形．该几何体最长的一条棱的长度为PA或PC==2，体积V==．故答案为：，．点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.13. 已知正方体中，，异面直线与所成角的余弦值是__________；若，则__________．【答案】 (1). (2).【解析】如图建立空间坐标系，设正方体棱长为4易得：，，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值是由可得：即，∴故答案为：，点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。
2019年6月宁波九校高二下期末考数学试卷
19．（本小题满分 15 分）
（Ⅰ）令 gx f x b 4x3 ax ，则 g x gx，
所以 gx 是奇函数，故 gx 的图象关于原点对称，
所以 f x gx b 的图象关于 0,b 对称，即 b 1.
----------6 分
a
1 a
0.
----------13 分
又函数
hx在
R
上连续，故
hx
有一个零点为
0
，且在
ln
1 2a
，1 a
上也有一个零点.
综上，方程 h(x) 0 的有 2 个实数根.
----------15 分
22.（本小题满分 15 分）
（Ⅰ）当 a 0 时， f 1 ln 2 a 1 11 0 ，不合题意.
x 0.
f [ f (x 1)] 恰有 3 个不同的零
点，则实数 b 的取值范围是___▲___．
17 ． 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f (x) 的 导 函 数 为 f '(x) ， 若 f (x) 满 足 ： 当 x 0 时 ，
xf '(x) f (x) 1, f (1) 2019 ，则不等式 f (x) 1 2018 的解集是___▲___． x
5 8
3k
k
0,1,2,3 .
----------9 分
X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
27
135
225
125
512
512
512
512
所以
EX
2019-2020学年--浙江省宁波中学高二上学期--期中数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果. 【详解】B 中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C 中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D 中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意； A 中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意， 故选A. 【点睛】本题主要考查旋转体的基本定义，考查了空间想象能力，属于基础题. 2．设p ：01x <<，q ：21x ≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据充分必要条件及由x 范围的大小即可判断。
【详解】由题设知，210x x ≥⇒≥，∵()[)010⊂+∞，，，∴满足p q ⇒，但qp ，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，可知p 是q 的充分不必要条件． 故选A ． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，注意方向性，属于基础题。
3．如图，Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，直角边1=''B O ， 则这个平面图形的面积是（A ）22 （B ） 1 （C ）2 （D ）42【答案】C 【解析】略4．已知直线m ，l ，平面α，β，且m α⊥，l β⊂，给出下列命题，其中正确的是（ ）A ．若//αβ，则m l ⊥B ．若αβ⊥，则//m lC ．若m l ⊥，则//αβD ．若//m l ，则//αβ【答案】A【解析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行判断. 【详解】已知直线m ，l ，平面α，β，且m α⊥，l β⊂， 若//αβ，则m β⊥，所以m l ⊥，A 正确； 若αβ⊥，则m 与l 平行、相交或异面，B 不正确； 若m l ⊥，则//αβ或α与β相交，C 不正确； 若//m l ，则αβ⊥，D 不正确. 故选：A 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，属于基础题.5．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若，则”的否命题B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则”的否命题D ．命题“已知，若，则a ＞b ”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题 【答案】B【解析】根据否命题的定义写出A ，C 的否命题，用特殊法判断其是否为真命题； 根据逆命题的定义写出B 中命题的逆命题，判断真假; 根据D 命题是假命题可知D 的逆否命题为假命题. 【详解】A ．命题“若x ＞1，则x2＞1”的否命题为“若x ≤1，则”假命题；B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|，则x ＞y ”真命题．C ．命题“若x ＝1，则”的否命题为“若x ≠1，则”假命题．D ．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题． 【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用． 6．方程22(3)2610x y x y +-+-=表示的图形是（ ） A ．一条直线与一个圆 B ．两条射线与一个椭圆 C ．两个点 D ．一条直线与一个椭圆【答案】D【解析】由题意知30x y +-=22(2610)x y +-≥或222610x y +-=，表示一条直线与一个椭圆. 【详解】因为22(3)2610x y x y +-+-=，所以30x y +-=22(2610)x y +-≥或222610x y +-=，222610x y +-=即2211126x y +=表示椭圆，所以方程22(3)2610x y x y +-+-=表示的图形是一条直线与一个椭圆. 故选：D 【点睛】本题考查曲线方程与图象的判断问题，属于基础题.7．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 【答案】C【解析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.8．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．19【答案】B【解析】试题分析：由题可知，222212||(|4)(|1)PM PN PC PC -=---， 因此2222121212||||3()()3PM PN PC PC PC PC PC PC -=--=-+-12122()32313PC PC C C =+-≥-=，故选B ．【考点】圆锥曲线综合题．9．正三棱柱111ABC A B C -（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点，M 、N 分别是1BB 、1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =.当M 、N 运动时，下列结论中正确的个数是（ ）①平面DMN ⊥平面11BCC B ； ②三棱锥1A DMN -的体积为定值； ③DMN ∆可能为直角三角形；④平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①由1BM C N =得线段MN 必过正方形11BCC B 的中心O ，则DO ⊥平面11BCC B ，推出面面垂直；②由1A DM 的面积不变，点N 到平面1A DM 的距离不变得到三棱锥1A DMN -的体积为定值；③利用反证法说明DMN ∆不可能为直角三角形；④设三棱柱棱长为a ，([0,1])MB t t =∈，建立空间直角坐标系，利用向量法表示出平面DMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值，根据t 的范围求出cos θ的范围即可求得两平面所成锐二面角的范围. 【详解】①如图当M 、N 分别在1BB 、1CC 上运动时，若满足1BM C N =，则线段MN 必过正方形11BCC B 的中心O ，而DO ⊥平面11BCC B ，所以平面DMN ⊥平面11BCC B ，①正确；②当M 、N 分别在1BB 、1CC 上运动时，1A DM 的面积不变，点N 到平面1A DM 的距离不变，所以棱锥1N A DM -的体积不变，即三棱锥1A DMN -的体积为定值，②正确；③设三棱柱棱长为a ，([0,])MB t t a =∈，由1BM C N =易知DM DN =且221()2DM DN a a x ==+-，22(2)MN a x a =-+，若DMN ∆为直角三角形则90MDN ∠=，222DM DN MN +=，所以()22222212()(2)2a a x a x a⎛⎫+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，化简得()222(2)ax a =-，解得212x a a +=>或1202x a -=<，均不符合题意，所以DMN ∆不可能为直角三角形，③错误；④建立如图所示空间直角坐标系：设三棱柱棱长为a ，([0,1])MB t t =∈，则3111(,0,),(0,,),(0,,)222M t N a a t D a a --， 3111(,,),(0,,)2222DM a a t a DN a a t =-=-， 设(,,)n x y z =为平面DMN 的法向量，则11()002210()02ay t a z DM n DN n ay a t z ++-=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅=⎩⎪+-=⎩， 令1y =可得平面DMN 的一个法向量为(3,1,)12an t a =--， 易知1(0,0,)CC a =为平面ABC 的一个法向量，设平面DMN 与平面ABC 所成二面角为θ，则11cos n CC n CC θ⋅==⋅， 因为[0,1]t ∈，所以222214()[,2]2t a a a a -+∈⇒cos [2θ=， 所以平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π，④正确.故选：C 【点睛】本题考查面面垂直的判定，椎体的体积，二面角的相关问题，属于中档题.10．已知,x y R ∈，则()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．14B ．2C ．12D ．12【答案】C【解析】问题转化为点(,1)x x -到点1(,)y y-的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象1y x=-的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解. 【详解】()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭可看成点(,1)x x -到点1(,)y y -的距离的平方， 点(,1)x x -在直线1y x =-的图象上，点1(,)y y -在反比例函数1y x=-的图象上，问题转化为在图象1y x =-上找一点，使得它到直线1y x =-的距离的平方最小. 注意到反比例函数1y x=-的图象关于直线y x =-对称，直线1y x =-也关于y x=-对称，观察图象知点P 到直线1y x =-的距离最短，1(1,1)y P x y x⎧=-⎪⇒-⎨⎪=-⎩，最短距离为111222d +-==()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为12. 故选：C 【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象1y x=-的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题，属于中档题.二、填空题11．下列语句是命题的有______，其中是假命题的有______．（只填序号） ①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线③若x y +为有理数，则x ，y 也都是有理数． ④8x >．【答案】③ ③【解析】根据命题定义可判断出③为命题；通过反例可知③为假命题，由此得到结果. 【详解】①②不是陈述句，④不能判断真假，均不符合命题定义，不是命题 ③是可以判断真假的陈述句，是命题；当2x =-，2y =时，x y +为有理数，但,x y 不是有理数 ∴③是假命题 本题正确结果：③；③ 【点睛】本题考查命题的定义和真假命题的判断，属于基础题.12．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为_________，表面积为_________.【答案】16 332+ 【解析】根据三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，棱锥的高为1，底面直角三角形的直角边为1，由棱锥的体积公式及三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，棱锥的高为1，底面直角三角形的直角边为1，所以该几何体的体积为111(11)1326V =⨯⨯⨯⨯=， 取BC 的中点为D ，连接AD ，因为2AB AC BC ===ABC 为等边三角形且6cos6AD AC π=⋅=，表面积为116333(11)222S +=⨯⨯⨯+= 故答案为：1633+【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积、面积，属于基础题.13．若方程2211x y m m +=-表示的曲线是椭圆，则m 的取值范围为_________.【答案】(1,)+∞【解析】由椭圆的性质得0101m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即可求得m 的范围.【详解】若方程2211x ym m +=-表示的曲线是椭圆，则01011m m m m m >⎧⎪->⇒>⎨⎪≠-⎩，所以m 的取值范围为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.14．在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多可有________个；在四面体的4个面中，直角三角形最多可有________个． 【答案】4 4【解析】在正方体中，选取四棱锥、四面体，判断直角三角形的个数，由此得出结论. 【详解】画出正方体ABCD EFGH -如下图所示，根据正方体的几何性质可知，在四棱锥H ABCD -中，,,,HAD HAB HBC HCD ∆∆∆∆都是直角三角形，共4个.在四面体H ABD -中，,,,HAD HAB HBD ABD ∆∆∆∆都是直角三角形，共4个.故填：（1）4；（2）4.【点睛】本小题主要考查四棱锥、四面体的概念和几何性质，考查空间想象能力，属于基础题.15．点F 为椭圆22198x y 的右焦点，M 在椭圆上运动，点()1,2P -，则MPF ∆周长的最大值为_________. 【答案】822+【解析】取椭圆左焦点为左焦点为1(1,0)F -，连接1MF ，则MPF C FP MP MF ∆=++，因为FP 为定值故只需求出||||MP MF +的最大值即可求得MPF ∆周长的最大值. 【详解】由椭圆22198x y 的焦点在x 轴上知3,22,1a b c ===，右焦点(1,0)F ，左焦点为1(1,0)F -，连接1MF ，2MPF C FP MP MF MP MF ∆=++=++由椭圆定义可知：1||2MF MF a +=，11||||||26||MP MF MP a MF MP MF +=+-=+-，即1||MP MF -最大时，||||MP MF +最大，在1PMF 中，两边之差总小于第三边，2211||(11)(20)22MP MF PF -≤=++-=，当且仅当1M F P 、、共线时，1||MP MF -取最大值22，此时||||MP MF +取最大值6+22，则周长2MPF C MP MF ∆=++的最大值为822+. 故答案为：822+ 【点睛】本题考查椭圆的定义与几何性质，椭圆中三角形周长问题，属于中档题. 16．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AC BD ==，5AD BC ==，,E F 分别是,AD BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.【答案】62【解析】本题首先可以将四面体补成长宽高分别为3、2、1的长方体，然后根据EF ⊥平面α得出截面为平行四边形，再然后根据三角形相似的相关性质得出两相邻边的和为5，再然后求出异面直线BC 与AD 所成角的正弦值，最后通过解三角形面积公式以及基本不等式即可得出结果。
宁波市九校2019-2020学年上学期高一数学期末联考卷附答案解析
宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I ( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-1，C．(-D．⎡-⎣3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( )A ．110x y ->B ．cos cos 0x y ->C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +> 4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.解析宁波市九校2019-2020学年上学期期末联考高一数学试卷一、单选题 1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I( )A ．()10-， B ．(]06，C ．()06， D ．(]16-， 【答案】B【解析】进行交集的运算即可.解：∵{}0A x x =>，{}16B x x =-<≤，∴(]06A B =I ，. 故选：B.【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题.2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．⎛ ⎝⎭- C ．(-D ．⎡-⎣【答案】C【解析】先判断出函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可.【详解】解：因为函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，且tan tan 134ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则所求的函数的值域是(-. 故选：C.【点睛】本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( ) A ．110x y-> B ．cos cos 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【答案】C【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论. 【详解】解：0x y >>，则11x y <，即110x y->，故A 错误； 函数cos y x =在()0,∞+上不是单调函数，故cos cos 0x y ->不一定成立，故B 错误；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是单调减函数，则1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当11,x y e==时，ln ln 10x y +=-<，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．已知向量122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围. 【详解】解：设a r 与b r的夹角为θ,122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r Q ，，1a ∴=r ,||||cos cos a b a b θθ∴⋅=⨯==r r r r ,[0,]θπ∈Q ,6πθ∴=.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积及其夹角，是基础题.5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()hx 图象关于()30π，对称 D ．函数()hx 图象关于直线3x π=-对称【答案】D【解析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和ϕ，并代入函数()h x 的解析式，整理得1()cos 3h x x =-，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可. 【详解】解：∵扇形弧长¶323,2AB ϕπϕπ==∴=， 又∵扇形面积13232ωππ=⋅⋅=， 31()sin sin cos 323h x x x x ππϕπωπ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A 选项，函数()h x 为偶函数，即A 错误；对于B 选项，令1[2,2],3x k k k Z πππ∈+∈，则[6,36],x k k k Z πππ∈+∈， 而[2,0][6,36],k k k Z ππππ-+∈Ú，即B 错误； 对于C 选项，令1,32x k k Z ππ=+∈，则33,2x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称中心为33,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D 选项，令1,3x k k Z π=∈，则3,k x k Z π=∈， ∴函数的对称轴为3,k x k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题. 6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】771log 2log 2<= ，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②【答案】B【解析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】 解：①sin y x x =是奇函数，图象关于原点对称；当0x >时，0y ≥恒成立；②cosy x x =是奇函数，图象关于原点对称；③2=xx y e为非奇非偶函数，图象关于原点和y 轴不对称，且0y ≥恒成立； ④4cos xy x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称；则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形.故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A【解析】令，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-，则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxy x--+<-Q ，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020x x y y--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由已知不等式的特点构造函数.10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可. 【详解】 解：方程()()21610fx x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：1(0)(0)016g f =>=Q ， ∴在(0,)+∞内有1个交点，191(5)(5)164g f -=-<-=-Q ，51(3)(3)162g f -=->-=-， 11(2)(2)0,(1)(1)1616g f g f -=-<-=-=>-， ∴两个函数在(,0)-∞内有3个交点，综上所述，函数()f x 与函数()g x 共有4个交点，所以方程()()21610f x x x ++-=根的个数是4个，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，关键是要画出函数图像，并且确定关键点的高低，是一道难度较大的题目.二、填空题11．已知函数()()1lg 31x f x x +=+,则()0f =____________函数定义域是____________. 【答案】2 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】直接在函数解析式中取0x =求得()0f ；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域.【详解】解：由()()1lg 31x f x x +=++，得(0)lg12f ==； 由10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，∴函数定义域是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 故答案为：2；113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u u r u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.【答案】125 【解析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解. 【详解】解：由已知可得1212(2)()210AB CD e e e e λλ⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r，解得实数12λ=；∵A B D ，，三点共线，又()12122,12AB e e BD BC CD e e λ=+=+=-+u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r ，2112λ∴=- 解得实数5λ=. 故答案为：12；5.【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直和向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________. 【答案】13 31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】根据正切的周期求出a ，利用整体法求出对称中心即可. 【详解】解：函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3， 则3a ππ=，得13a =， 所以函数1()2tan 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11,362x k k Z πππ+=∈，得3122x k =-，k Z ∈， 故对称中心为31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 故答案为：13；31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题.14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a b a b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log xf x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.【答案】1[)13， 【解析】由所给的函数定义求出分段函数()f x 的解析式，进而求出结果.【详解】解：由题意1(0,1]()?21(1,2)xx f x x ∈⎧=⎨-∈⎩ 所以(1)1,f = 当(1,2)x ∈时，()f x 是单调递增函数，则()(1,3)f x ∈，则()f x 的值域为[)13，.故答案分别为：1；[)13，. 【点睛】考查分段函数的解析式及函数的值域，属于基础题. 15．已知函数()()29a f x m x =-为幂函数,且其图象过点(3,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________. 【答案】()2-∞，【解析】根据函数()f x 是幂函数求出m 的值，再根据()f x 的图象过点(3，求出a 的值；由此得出函数()gx 的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出()g x 的单调递增区间.【详解】 解：函数函数()()29a f x m x =-为幂函数，291m -=，解得5m =，且其图象过点(3，所以3a =，解得12a =， 所以函数()()2log 6a g x x mx =-+即函数()()212log 56g x x x =-+， 令2560x x -+>，解得2x <或3x >,所以函数()g x 的单调递增区间为()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，复合函数的单调性的判断，是基础题.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.【答案】[)3+∞，【解析】先根据()6a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=r r r r r r r得到cos 3a b θ⨯=+r r ；进而表示出a b +r r 即可求解.【详解】解：设a b +rr与c r的夹角为θ，()6||||cos a b c a c b c a b c θ+⋅=⋅+⋅==+⨯⨯r r r r r r r r r rQ ， ||cos 3a b θ∴+⨯=rr ，0cos 1θ∴<≤，3||3cos a b θ+=≥rr .故答案为：[3,)+∞. 【点睛】本题主要考察平面向量的数量积以及三角函数的性质应用，属于基础题. 17．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.【答案】6【解析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n .【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++，即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+，由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+， 即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.(1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.【答案】(1)12;(2) 11⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【解析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出tan x 的值，再根据x 的范围确定tan x 的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m 的解析式，再求m 的取值范围.(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-r r ,即2sin cos 5x x ⋅=, 所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++, 所以22tan 5tan 20x x -+=,即tan 2x =或1tan 2x =. 因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以[]tan 01x ∈，,即1tan 2x =；(2)因为a c +r r 与a c -r r垂直,()()220a c a c a c ∴+⋅-=-=r r r r r r ，a c ∴=r r ,所以221sin m x =+,因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以2231sin 12m x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，,即11m ⎡⎤⎡∈-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.19．已知集合{()121A x y B a a ===-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()RA B =∅Ið,求a 的取值范围;(2)若A C C =I ,求m 的取值范围.【答案】(1)20a -<≤;(2)20m -≤≤【解析】（1）可以求出[]31A =-，，从而可得出A R ð，根据()RA B =∅Ið得121a a -<+，并且13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可； （2）根据A C C =I 即可得出C A ⊆，然后可讨论1m +与1m --大小关系，从而得出集合C ，根据C A ⊆即可得出m 的范围.(1)因为{[]31A x y ===-，,所以()()31,R A =-∞-+∞U ，ð, 因为()121B a a =-+，,即121a a -<+.即2a >-, 由()RA B =∅Ið得,13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得20a -≤≤, 所以20a -<≤； (2)因为A C C =I,即C A ⊆,[]()(){}31|110A C x x m x m =-=--++≤，，,①11m m +≤--时,即1m ≤-时,{}11C x m x m m R =+≤≤--∈，, C A ⊆,所以1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩,解得2m -≤,所以21m -≤≤-.②11m m +>--时,即1m >-时,{}11C x m x m m R =--≤≤+∈，, C A ⊆,所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩,解得0m ≤,所以10m -<≤. 综上所述:20m -≤≤. 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，补集、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题. 20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围.【答案】(1)()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，;(2)40k -<<.【解析】（1）设0x <，则0x ->，()()()2lg 1f x f x x =-=-+，再求出()f x 的解析式；（2）当0x <时，因为0kx >，所以k 0<，结合分离参数法求出k 的范围.【详解】(1)设0x <,则0x ->,()()()2lg 1f x f x x =-=-+,所以()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，；(2)当0x <时,因为0kx >,所以k 0<, 所以()()lg2lg 1kx x <-+,即()()2lg lg 1kx x <-+,即()21kx x <-+.因为0x <,所以()2112x k x xx-+>=+-恒成立,当0x <时,1224x x +-≤-=-最大值为-4,所以4k >-, 所以40k -<<.【点睛】本题考查分段函数求解析式，函数求含参恒成立问题，转化为最值问题即可，中档题. 21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()gx 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)12⎛- ⎝⎭，. 【解析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()gx 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解.【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫-⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点,所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()gx ；(2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x取最小值,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即122m ⎛∈-- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题. 22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k=时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)()3log 2+∞，;(2)1k =或17k =-;(3)存在,207k <<. 【解析】（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数()y f x =的值域；（2）利用换元法设30x t t =>，，然后对参数k 进行分类讨论，分0k ≥和k 0<两种情况进行讨论函数()g t 的最大值，根据最大值取得的情况计算出k 的取值；（3）继续利用换元法设30x t t =>，，设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++，根据二次函数的性质可得()f x 在()1+∞，上为增函数，则()()()()min max f x f m f x f n ==，，将问题转化为方程()3log 291321x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据>0∆，及韦达定理可计算出实数k 的取值范围. 【详解】 (1)0k=时,()()3log 32xf x =+,因为322x +>. 所以()()33log 32log 2x f x =+>,所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，(2)设30x t t =>，,则()()23log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,若0k ≥,则函数()()2212g t k t k t k =⋅--++无最大值,即()f t 无最大值,不合题意;故k 0<,因此()()2212gt k t k t k =⋅--++最大值在104k t k-=>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()211212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭, 解得1k=或17k =-,由k 0<,所以17k =-.(3)因为01k <<时,设()31x t t =>.设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++.此时对称轴104k t k-=<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,即()f x 在()1+∞，上为增函数.所以,()()()()min max 11f x f m m f x f n n ==+==+，,即方程()3log 291321xx k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根,即()1291323xx x k k k -⋅--++=,设()31x t t =>.所以()22123k tk t k t ⋅--++=.即方程()22220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,因为01k<<,所以()()()228202142220k k k k k k k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩, 解得207k<<, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207k <<.【点睛】本题主要考查函数的值域问题，最值问题，考查了换元法的应用，分类讨论思想和转化思想的应用，不等式的计算能力，本题属综合性较强的中档题.。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)
2022学年第二学期宁波市九校联考高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，求出复数z ，即可求解. 【详解】由i 1i z ⋅=+，得21i (1i)(i)=1i ii z ++−==−−， 所以1i z =+，在复平面内对应的点为(1,1) 所以对应点位于第一象限. 故选：A.2. 设集合(){},21x Mx y y ==−，()π,cos ,442N x y y x x==−≤≤，则M N ∩中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】在同一坐标系下画出两集合对应函数图象，交点个数即为交集元素个数【详解】对于函数21x y =−，当0x <时，01y <<；当0x ≥时，0y ≥.对于函数πcos,442yx x −≤≤，222ππ,πx ∈− ，则11y −≤≤且端点处取最大值 两函数图象在同一坐标系下大致如下，则两函数图象有3个交点，即M N ∩中元素的个数为3个. 故选：B3. 已知随机变量()211~,X N µσ，()222~,Y N µσ，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确.的是（ ）A. 12µµ<，2212σσ< B. 12µµ<，2212σσ> C 12µµ>，2212σσ<D. 12µµ>，2212σσ>【答案】B 【解析】【分析】由图结合正态分布曲线特点可得答案.【详解】由图可得随机变量X 的均值比随机变量Y 的均值小，则12µµ<.又由图得，随机变量X 的分布比随机变量Y 的分布更加分散，则2212σσ>. 故选：B4. 已知平面向量a ，b满足a b a b +=− ，则b a − 在a 上的投影向量为（ ） A. a −B. aC. b −D. b【答案】A 【解析】【分析】由已知可得0a b ⋅=，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.【详解】由a b a b +=− 知：222222a a a b b a b b−=+⋅+⋅+ ，可得0a b ⋅= ， 所以b a − 在a上的投影向量为22()a b a a a b a a a aa a⋅−⋅−⋅=⋅=−. 故选：A 5. 若1sin()43πα+=，(0,)απ∈，则cos 2=α（ ） A. 79−B.C.D. 【答案】D 【解析】.【分析】根据同角三角函数的关系结合角度范围可得cos()4πα+，再根据二倍角公式可得sin[2()]4πα+，结合诱导公式可得cos 2α.【详解】因为(0,)απ∈，所以5(,)444πππα+∈，又13sin()sin 434ππα+=<，所以3(,)44ππαπ+∈，所以cos()4πα+，所以cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444ππππααααα=+=+=++＝ 故选：D6. 在ABC 中，点O 满足2CO OB = ，过点O 的直线分别交射线AB ，AC 于点M ，N ，且AM mAB =，AN nAC =，则2m n +的最小值为（ ） A.83B.103C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用共线定理的推论可得21133m n+=，然后妙用“1”可得. 【详解】由题可知，0,0m n >>，因为AM mAB = ，AN nAC =，所以1AB AM m= ，1AC AN n = ，又2CO OB = ，所以22AO AC AB AO −=−，所以21213333AO AB AC AM AN m n=+=+， 因为,,M O N 三点共线，所以21133m n+=，所以2144482(2)()3333333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=， 当且仅当43321133m nn mm n = +=，即42,33m n ==时，等号成立.所以2m n +的最小值为83.故选：A7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22f =，若对任意的1x ，()20,x ∈+∞，均有()()12121f x f x x x −>−成立，则不等式()11f x x −+>的解集为（ ）A. ()()2,02,−+∞B. ()(),20,2−∞−C. ()(),11,3−∞−D. ()()1,13,−+∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()gx f x x =−，则()()g x f x x =−在()0,∞+上递增，判断()()g x f x x =−也是是定义在R 上的奇函数，可得()()gx f x x =−在(),0∞−上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的1x ，()20,x ∈+∞，均有()()12121f x f x x x −>−成立，不妨设2x >1>0x ，则−1x 20x <，所以()()()()12121122f x f x x x f x x f x x ⇒−<−−<−，构造函数()()gx f x x =−，则()()g x f x x =−在()0,∞+上递增， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()g x f x x =−也是是定义在R 上的奇函数， 所以()()gx f x x =−在(),0∞−上递增， 不等式()11f x x −+>化为()()()11010f x x g x −−−>⇒−>， 因为()()()()()2222020220f f g g g =⇒−=⇒=⇒−=−=，则()()121231010x g x g x x x −> −> ⇒⇒>−>−> ，或()()1212111010x g x g x x x −>− −>− ⇒⇒−<<−<−<； 10x −=时，()00g =，不合题意；综上不等式()11f x x −+>的解集为()()1,13,−+∞ ， 故选：D.8. 三面角是立体几何的重要概念之一.三面角−P ABC 是指由有公共端点P 且不共面的三条射线PA ，PB ，PC 以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成夹角为θ，则cos cos cos cos sin sin γαβθαβ−=.现已知三棱锥−P ABC ，PA =，3BC =，45APC ∠=°，60BPC ∠=°，90APB ∠=°，则当三棱锥−P ABC 的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）A. 18πB. 36πC.87π2D.117π2【答案】B 【解析】【分析】作出图形，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则θ∠=BDM ，先表示出13P ABCAPC V S BM −=⋅ ，接着用条件表示成P ABC V −=−P ABC 的体积最大，则PB PC ⋅最大，利用基本不等式得出3PB PC ==时，其体积最大，然后补全三棱锥成棱柱，根据棱柱外接球半径即可求解.【详解】由题知，45APC ∠=°，60BPC ∠=°，90APB ∠=°， 平面APC 与平面BPC 所成夹角为θ， 作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ， 则θ∠=BDM ，由题意得13P ABCAPC V S BM −=⋅ ，cos cos cos cos sin sin γαβθαβ−===()0,πθ∈，sin θ=，sin BM BD θβ=⋅ 13sin 22APC S PA PC PC α=⋅⋅=⋅ ，所以13P ABC APC V S BM −=⋅= 要使三棱锥−P ABC 的体积最大，则PB PC ⋅最大， 在PBC 中，由余弦定理得， 2221cos 22PB PC BC BPC PB PC+−∠==⋅⋅，整理得，229PB PC PB PC +−=⋅，2292PB PC PB PC PB PC +=⋅+≥⋅，即9PB PC ⋅≤，当且仅当3PB PC ==时，等号成立，则PA =，3PB PC BC ===，AB =因为222cos 2PA PC AC APC PA PC+−∠=⋅⋅， 解得3AC =，所以222PC AC PA +=，222AC BC AB +=， 即AC PC ⊥，ACBC ⊥，60BCP ∠=°，所以补全三棱锥成棱柱，如下图，则四边形BCPD 是菱形，点O 为其外接球的球心，即AD 中点，所以3BP =，2cos30CD PC =⋅⋅°=6AD =，所以外接球半径为3，即三棱锥−P ABC 外接球的表面积为24π336π×=. 故选：B【点睛】三棱锥外接球表面积问题，从以下几个角度分析： （1）面面角的定义以及辨析； （2）求解最值时，基本不等式的利用； （3）几何体割补法的应用； （4）数形结合思想的应用.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列等式成立的是（ ） A. 0!0=B. 11A A m m n n n −−=C. 11(1)C (1)C mm n n n m +++=+ D. 111C C C m m m n n n −+++=【答案】BC 【解析】【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答. 【详解】根据阶乘的概念可知，0!1=，故A 错误；()()()111!!!!A A m m n n n n n n n m n m −−−===−−，故B 正确； 因为11(1)!1!1C C (1)!()!1!()!1m m n n n n n n m n m m m n m m +++++===+−+−+，所以11(1)C (1)C m m n n n m +++=+，故C 正确； 根据组合数的性质可知11C C C mm m n n n −++=，故D 错误；故选：BC10. 以下四个正方体中，满足AB ⊥平面CDE 的有（ ）A. B.C. D.【答案】BD 【解析】AC ，根据直线与平面垂直的判定定理判断BD. 【详解】对A ，CE AD ∥，π4DAB ∠=，AB ∴与CE 所成角为π4，故AB 与平面CDE 不垂直， 故A 错误；对B ，在正方体中，ED ⊥平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ED ⊥， 又AB CE ，DE CE E ∩=，,DE CE ⊂平面CDE ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 正确；对C ，连接,AF BF ，如图，在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知，ABF △为正三角形，所以π3BAF ∠=，又CE AF ∥，AB 与CE 所成的角为π3，所以AB 与平面CDE 不垂直，故C 不正确； 对D ，连接,MB BN ，如图，因为AM ⊥平面CMEB ，EC ⊂平面CMEB ，所以AM EC ⊥，又BM EC ⊥，,BM AM M BM AM =⊂ ，平面AMB ，所以EC ⊥平面AMB ，又AB ⊂平面AMB ，所以EC AB ⊥，同理可得ED AB ⊥，再由,,EC ED E EC ED =⊂ 平面ECD ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 正确. 故选：BD11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()21f x +是偶函数，()1f x −的图象关于点()3,3中心对称，则下列说法正确的是（ ）A. ()()2f x f x =+ B. ()203f =C. ()()24f x f k x +=−，Z k ∈D.411()123k i f i k −==−∑，Z k ∈【答案】BCD 【解析】【分析】根据()21f x +是偶函数可得函数()f x 关于直线1x =对称，由()1f x −的图象关于点()3,3中心对称可得()f x 关于点(2,3)成中心对称，据此可推导出函数为周期函数，判断A ，再由函数的周期求出()20f 判断B ，由周期性及对称性可判断C ，由以上分析利用()()41411()4k ki i f i f i f k −===−∑∑求解可判断D.【详解】因为()21f x +是偶函数，所以(21)(21)f x f x −+=+，可得(1)(1)−+=+f x f x ，故()f x 关于直线1x =对称，因为()1f x −的图象关于点()3,3中心对称，所以()f x 关于点(2,3)成中心对称，所以(2)(2)6f x f x −++=，又由(1)(1)−+=+f x f x 可得()(2)f x f x −=+，所以(2)()6f x f x −+−=，即(2)()6f x f x ++=，所以(4)(2)6f x f x +++=， 两式相减可得(4)()0f x f x +−=，即(4)()f x f x +=，所以4T =，故A 错误； 由周期4T =，()20(4)(0)f f f ∴==，又(0)(4)6f f +=，所以(0)(4)3f f ==，即()203f =，故B 正确；由周期4T =，()4()f k x f x ∴−=−，Z k ∈，由()(2)f x f x −=+可得，()()24f x f k x +=−，Z k ∈，故C 正确；由上述分析可知(2)(4)3f f ==，又因为(1)(3)6f f +=， 所以(1)(2)(3)(4)12f f f f +++=，所以()()41411()4123k ki i f i f i f k k −===−=−∑∑， 故D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：当函数满足()()f a x f b x +=−时，函数()f x 关于直线2a bx +=对称， 当函数满足()()2f a x f b x c ++−=时，函数关于点,2a b c +成中心对称.12. 摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设=i A “第i 次摸到红球”，i B =“第i 次摸到黄球”，i C =“第i 次摸到蓝球”，i D =“摸完第i 次球后就停止摸球”，则（ ）A. ()329P D =B. ()41227P D A =C. ()11223n n n P D −−−=，3n ≥ D. ()312223n n n n n P D B C −−−−=，3n ≥【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，求出n D 包含的事件数为()12322C n −−，从而得到()n P D ，并计算出()3P D ；B 选项，计算出()41227P D A =，()113P A =，利用条件概率公式计算出答案，D 选项，表达出()31223n n n n n P D B C −−−=，3n ≥，和()21233n n n n P B C −−−=，3n ≥，利用条件概率公式得到答案.【详解】AC 选项，n D =“摸完第n 次球后就停止摸球”，有放回的摸n 次，有3n 种可能，若恰好摸球n 次就停止摸球，则恰好第n 次三种颜色都被摸到，即前()1n −次摸到2种颜色，第n 次摸到第三种颜色，共()12322C n −−种情况，则()()1311222322C 3nn n nn P D −−−−==−，3n ≥，()23222239P D −==，AC 正确； B 选项，事件41D A 表示第一次摸到红球，摸到第4次，摸球结束，若第2次或第3次摸到的球为红球，此时有12A 种情况，不妨设第2次摸到的球为红球， 则第3次和第4次摸到的球为蓝球或黄球，有2种可能， 故有122A 4=种情况，若第2次和第3次都没有摸到红球，则第2次和第3次摸到的球颜色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球颜色不同，故有22A 2=种情况，故()41426n D A =+=，其中摸4次球可能得情况有4381=种情况，故()41761228P D A ==， 其中()113P A =，故()4129P D A =，B 错误； D 选项，12n n n D B C −−表示“第()2n −次摸到蓝球，第()1n −次摸到黄球，第n 次摸到红球，停止摸球”，则前()3n −次摸到的球时蓝球或红球，故有32n −种可能，故()31223n n n n n P D B C −−−=，3n ≥，12n n B C −−表示“在前n 次摸球中，第()2n −次摸到蓝球，第()1n −次摸到黄球”，故有23n −种可能， 故()21233n n n n P B C −−−=，3n ≥，则()312223n n n n n P D B C −−−−=，3n ≥，D 正确.故选：ACD【点睛】常见的条件概率处理方法，其一是用样本点数的比值处理，需要弄情况事件包含的样本点数，其二是用概率的比值处理，也可以缩小样本空间，从而确定概率，解决实际问题的关键在于分析情况基本事件.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数a ，b 满足25a bm ==且1112a b +=，则m ＝______. 【答案】100 【解析】【分析】根据指数与对数的互化公式，表示出,a b ，再结合换底公式表示出1112a b +=，最后结合对数运算即可求解【详解】由25a bm ==可得2511log ,log log 2,log 5m m a m b m a b==⇒==， 又1112a b +=，即1log 2log 5log 102m m m +==， 所以1210m =，即100m = 故答案为：10014. 现有一枚质地不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为12，则随机抛掷它两次得到正面、反面朝上各一次的概率为______；若随机抛掷它10次得到正面朝上的次数为ξ，则()E ξ=______.（第一空2分，第二空3分） 【答案】 ①1##1−②. 【解析】【分析】p ，再由独立重复试验求出正面、反面朝上各一次的概率为，由二项分布的期望公式求期望.【详解】设这枚硬币正面朝上的概率为p ，反面朝上的概率为1p −， 则两次正面朝上的概率为212p =，解得p = ，所以随机抛掷两次得到正面，反面朝上各一次的概率为()12C 1211P p p =−=− . 由题易知随机变量ξ服从二项分布ξ~10B ，则()10E ξ=.1−；15. 已知函数()()ln 2e ,0234,0x a x f x x ax a x − −<= −++−≥ ，若()f x 有4个零点，则实数a 的范围是______..【答案】41,3【解析】【分析】由题可得方程()ln e x a −=与方程22340,0x ax a x −++−=≥各有两个根，对于前者转化为函数()()ln ex g x −=图象与直线y a =有两个交点，后者由判别式结合韦达定理可得a 范围，综合后可得答案.【详解】当0x <时，()()()ln ,1ln ln ,10x x x x x −≤− −= −−−<<，则函数()()()()ln ln ln e ,1e 1e,10x x x x x g x x x −−−− =−<− == =−−≤<在(),1−∞−上单调递减，在[)10−，上单调递增，据此可得()g x 大致图象如下，又()ln e x a −=方程的解的个数相当于函数()g x 图象与直线y a =交点个数，方程22340,0x ax a x −++−=≥最多2个根，()f x 有4个零点，则方程()ln e x a −=与方程22340,0x ax a x −++−=≥各有两个根.设方程22340,0x ax a x −++−=≥两根为12,x x ，则212121Δ41216041203430a a a a x x a x x a > +−>⇒<≤+=> =−≥ . 故答案为：41,3.【点睛】16. 已知平面向量a ，b ，()1,2i c i =满足22a b b ==⋅=，1i c a −= ，则()1222R c b c b λλλ−+−∈的最小值为______.【答案】3−##3−+【解析】【分析】求出向量,a b的模及夹角，记1122,,2,,2OA a OB b OB b OC c OC c λ=====′ ，得出对应点的轨迹，利用数形结合求最值.【详解】由||2||2a b b==⋅=，即21cos ,a b ×× ，所以π,4a b = ， 记1122,,2,,2OA a OB b OB b OC c OC c λ′=====，因为1i c a −=， 所以1C 在以A 为圆心，1为半径的圆上，2C 在以A ′为圆心，2为半径的圆上，其中(2,0),(4,0)A A ′，所以11222122222||||c B b c b c b c b C B C λλλλ−+−=−′+=′+−， 作A 关于直线l （OB所在直线）的对称圆，1C 的对称点记为3C ，知1(0,2)A ，则1232B C B C B C B C +=+′′′′，如图，由图可知，当132,,,,A C B C A ′′共线时，32||||C B C B ′′+存在最小值，因为111,2A A A A r r ′===′，所以32||||C B C B ′′+最小值为3.故答案为：3−【点睛】关键点点睛：利用向量的的几何表示，原问题转化为求32||||C B C B ′′+最小值，数形结合，利用共线线段最短得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______，请从下列两个条件中任选一个填入上方的横线中作为已知条件，并解答本题（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）：①sinsin 2B Cc a C +=；②)222ABC S b c a =+− ，（1）求A ；（2）若D 为边BC 上一点，且2CD AD BD ==，试判断ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由. 【答案】（1）π3A =（2）直角三角形，理由见解析 【解析】【分析】（1）选①：利用诱导公式化简，再由正弦定理边化角，然后由二倍角公式化简可得；选②：根据面积公式和余弦定理列方程可解；（2）根据已知先得1233AD AB AC =+，然后平方，联立余弦定理求解可得2c b =，a ，然后可判断三角形形状. 【小问1详解】若选①：πsin sin cos 222B C A A c c c +−== ，cos sin 2A c a C ∴=，sin cos sin sin 2AC A C ∴=， ()0,π,sin 0C C ∈> ，cossin 2sin cos 222A A AA ∴==， π0,,cos 0222A A ∈>，1sin 22A ∴=， 所以π26A =，解得π3A =.若选②：)2222cos cos ABC S b c a bc A A =+−== ，1cos sin 2A bc A =， sin A A =，tan A ∴， 因为()0,πA ∈，故π3A =. 【小问2详解】 2CD BD AD == ，212,,333AD a CD a BD a ∴===且2BD DC = 22AD AB AC AD ∴−=−，即1233AD AB AC =+ ， 222144999AD AB AC AB AC ∴=++⋅，22241429999a cb bc ∴=++，即222442a c b bc =++①， 又由余弦定理得222a b c bc =+−②，联立①②可得2c b =，a ，从而222+=a b c ，故ABC 是直角三角形.18. 已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线π8x =对称，且()f x 在π0,6上没有最小值.（1）求()f x 的单调增区间；（2）已知函数()()log 242x a g x a a =−+（0a >且1a ≠），对任意1ππ,42x∈，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）)3πππ,πZ 88k k k−++∈（2）2a ≥或112a ≤<. 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由对称轴及在π0,6上没有最小值求出解析式，由正弦型函数的单调性求单调区间即可；（2）根据存在性及任意性问题转化为()()12max max f x g x ≤，分别利用三角函数及对数型函数的性质求最值，解不等式即可. 【小问1详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω=++.()f x 的图象关于直线π8x =对称. ππππ,Z 842k k ω∴+=+∈，解得82,Z k k ω=+∈. 当π0,6x∈时，ππππ,4464x ωω+∈+ . ()f x 在π0,6上没有最小值.ππ3π642ω∴+≤，解得152ω≤.又0ω>，所以2ω=，所以()π24f x x=+.令()πππ2π22πZ 242k x k k −+≤+≤+∈， 解得()3ππππZ 88k x k k −+≤≤+∈. 所以()f x 的单调增区间为()3πππ,πZ 88k k k−++∈.【小问2详解】任意1ππ,42x∈，均存在[]20,2x ∈，使得()()12f x g x ≤. ()()12max max f x g x ∴≤.1ππ,42x ∈ .1π3π5π2,444x ∴+∈ .()m x 11a sin 1π24f x x∴ +≤≤=.又log ,242x a y t t a a ==−+ （0a >且1a ≠）单调性相同， ()()log 242x a g x a a ∴=−+在定义域上是增函数.()()()2max 2log 2421a g x g a a ∴==−+≥.21242a a a a > ∴ −+≥或2010242a a a a << <−+≤ 2a ∴≥或112a ≤<. 19. 航班正点率是指航空旅客运输部门在执行运输计划时，航班实际出发时间与计划出发时间较为一致的航班数量与全部航班数量的比率.人们常用航班正点率来衡量一个航空公司的运行效率和服务质量.现随机抽取10家航空公司，对其近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，得到数据如下：航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10航班正点率ix/% 82 7777 76 74 73 71 70 9169顾客投诉次数iy/次21 58 79 68 74 93 72 122 18 125 整理数据得：10153620i iix y=≈∑，102158150iix=≈∑，102164810iiy=≈∑，101760iix==∑，101730iiy==∑，70≈.（1）（i）证明：样本相关系数nnx yr=；（ii）根据以上数据计算样本相关系数（结果保留2位小数），并由此推断顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度（若0.81r≤≤，则认为线性相关程度很强；若0.30.8r≤<，则认为线性相关程度一般；若0.3r<，则认为线性相关程度很弱）.（2）用一元线性回归模型对上表中的样本数据进行拟合，得到顾客投诉次数关于航班正点率的经验回归方程为5y x a=−+.数，并希望一年内收到的顾客投诉不超过73次，试估计该公司的航班正点率应达到多少？参考公式：样本相关系数nx yr=【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）0.89−；顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强（2）76%.【解析】【分析】（1）（i）将()()1ni iix x y y=−−∑展开，结合平均数意义化简可得()()11n ni i i ii ix x y y x y nx y=−−=−∑∑，然后分别用,i x x,i x x替代,i y y，用,i y y分别替代,i x x可证；（ii）根据所给数据代入公式计算,然后可作出判断；（2）利用样本中心点求 a，然后根据回归方程解不等式可得. 【小问1详解】（i ）证明：()()()11ni iiini i i i x x x y x y x y y y x y ===+−−−−∑∑1111n n nni i i ii i i i x y x y x y x y =====−−+∑∑∑∑ 1111nnnniii ii i i i x y y x x y x y =====−−+∑∑∑∑1()()ni ii x y y nx x ny nx y ==−−+∑1ni ii x y nx y ==−∑，在上式中分别用,i x x 替代,i y y ，得()22211nni i i i x x x nx ==−=−∑∑，同理，也有()22211nni i i i y y y n y ==−=−∑∑，故样本相关系数nnx yr =.（ii ）可知10117610i i x x ===∑，10117310i i y y ===∑.10110536201076731860i i i x y x y =∴−≈−××=−∑，10222110581501076390ii xx =−≈−×=∑， 1022211064810107311520ii yy =−≈−×=∑，1010x y x yr−∴≈620.8970≈−≈−，故顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强.【小问2详解】557673453a x y =+=×+=令545373ˆyx =−+≤，得76x ≥. 即该公司的航班正点率应达到76%.20. 2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为34，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为35，23，且各队各轮比赛互不影响. （1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为12，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率. 【答案】（1）分布列见解析，7780（2）57【解析】【分析】（1）设“甲队晋级”为事件M ，“乙队晋级”为事件N ，求得9()16P M =，2()5P N =，得到X 的可能取值为0,1,2，求得相应的概率，出分布列，结合期望的公式，即可求解；（2）记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”，结合条件概率的公式，即可求解. 【小问1详解】解：设“甲队晋级”为事件M ，“乙队晋级”为事件N ， 可得339()4416P M =×=，322()535P N =×=，则随机变量X 的可能取值为0,1,2，可得()922101116580P X==−×−=；()92924111116516580P X==−×+×−=. ()929216540P X ==×=.所以随机变量X 的分布列为则期望()214197701280804080E X =×+×+×=. 【小问2详解】解：根据题意，设甲乙两队通过初赛的事件分布为12,A A ，可得12339322(),()4416535P A P A =×==×=， 即甲乙进入决赛的概率分别为916和25，记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”， 可得()()()()()191393||21625160P A P B P A B P B P A B =+=×+×=， 又由()()()199()(|)()21632P AB P AB P B P B P A B P B =⋅==×=，故()()()9532|937160P AB P B A P A ===. 21. 如图，四面体ABCD 中，平面ABC⊥平面BCD ，AB AC ⊥，AB AC ==1CD =，（1）若AD AB ⊥，证明：CD ⊥平面ABC ；（2）设过直线AD 且与直线BC 平行的平面为α，当BD 与平面ABC 所成的角最大时，求平面α与平面BCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得⊥AE 平面BCD ，进而得到AE CD ⊥，从而利用线面垂直的判定定理依次证得AB ⊥平面ACD ，CD ⊥平面ABC ；（2）先由题意推得BD 与平面ABC 所成的角最大时DF 的值，再推得平面α与平面BCD 的夹角的平面角为AGE ∠，从而在Rt AEG △中求得所求. 【小问1详解】过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD BC =，AE BC ⊥，AE ⊂平面ABC ，AE ∴⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，AE CD ∴⊥，AD AB ⊥ ，AB AC ⊥，AC AD A = ，AC AD ⊂ 平面ACD ，AB ∴⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ，AB CD ∴⊥，又,,AE AB A AE AB =⊂ 平面ABC ，故CD ⊥平面ABC .【小问2详解】过点D 作DF BC ⊥，垂足为F平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD BC =，DF BC ⊥，DF ⊂平面BCD ，DF ⊥∴平面ABC ，DBC ∴∠是BD 与平面ABC 所成的角，在ABC 中，ABAC ⊥，AB AC ==2BC =，故sin sin CD BC DBC BDC=∠∠，即12sin sin DBC BDC =∠∠，则1sin sin 2DBC BDC ∠=∠，∴当sin 1BDC ∠=，即CD BD ⊥时，sin DBC ∠最大，且最大值为12，此时π6DBC ∠=，BD =，DF =， 记l α= 平面BCD ，过点E 作EG l ⊥，垂足为G ，连接AG ，//BC α ，BC ⊂平面BCD ，l α= 平面BCD ，//l BC ∴，故平面ADG 就是平面α，AE 平面BCD ，AE l ∴⊥，EG l ⊥ ，EG AE E ∩=，,EG AE ⊂平面AGE ，l ∴⊥平面AGE ，又AG ⊂平面AGE ，l AG ∴⊥，AGE ∴∠是平面α与平面BCD 的夹角，则π02AGE <∠<， 又因为DF BC ⊥，//l BC ，所以//GE DF ，所以四边形DFEG 是平行四边形，故GE DF ==，则在Rt AEG △中，AG ， 所以平面α与平面BCD的夹角余弦值为cos GE AGE AG ∠=. .22. 已知()1f x x =+，()22g x x =+.定义{},min ,,a a b a b b b a ≤ =≤ ，设()()(){}min ,2m x f x t g x t =−−，R t ∈．（1）若3t =，（i ）画出函数()m x 的图象； （ii ）直接写出函数()m x 的单调区间；（2）定义区间(),A p q =的长度()L A q p =−.若()*12Nn B A A A n =∪∪∪∈ ，(1)i j A A i j n =∅≤<≤ ，则()1()ni i L B L A ==∑.设关于x 的不等式()m x t <的解集为D .是否存在t ，使得()6L D =？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（i ）作图见解析；（ii ）单调减区间为(),3−∞，()5,6，单调增区间为()3,5，()6,+∞ （2）存在，3t = 【解析】【分析】（1）（i ）3t =时，(){}2min 31,1238m x x x x =−+−+，求出方程221238x x x −=−+的根，即可画出()m x 的图象；（ii ）由()m x 的图象即可写出其单调区间； （2）由()min 1m x =得不等式()m x t <有解必要条件是1t >，再对t 的值分情况讨论即可. 【小问1详解】（i ）若3t =，则()31f x t x −=−+，()()222621238g x t x x x −=−+=−+.(){}2min 31,1238m x x x x ∴=−+−+. 令221238x x x −=−+， 得15=x ，28x =.故函数()m x 的图象如图所示.（ii ）由函数()m x 的图象可知()m x 的单调减区间为(),3−∞，()5,6， 单调增区间为()3,5，()6,+∞.- 【小问2详解】()min 1f x = ，()min 2g x =.()min 1m x ∴=. ∴不等式()m x t <有解的必要条件是1t >.①当12t <≤时，如图①所示，令()m x t <，即()f x t <，得()1,21D t =−.的()222L D t ∴=−≤，不符合题意.当2t >时，令()1x t g x −+=，得()2241410x t x t t −++++=解得1x =，2x =令11x t t −+=，得3t =.②当23t <≤时，如图②所示，()f x t <的解集为()1,21t −，()g x t <的解集为(2t t −+，此时()22L D t =−+. 令()6L D =，解得3t =.③当3t >时，如图③所示，2220t x t +−=+=< ，22t x ∴+< ，令()m x t <，得(1,2D t =.()21L D t ∴=+−.令()6L D =，解得3t =或174t =，均舍去. 综上所述，3t =..【点睛】思路点睛：本题考查了函数的新定义问题，对于第（2）小题，突破口是由()min 1m x =得不等式()m x t <有解的必要条件是1t >，再对t 与()f x 和()g x 的最小值进行分类讨论求解.。
浙江省宁波市九校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题(1)
【分析】
利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.
【详解】
由于 ，排除B选项.
由于 ， ，函数单调递减，排除C选项.
由于 ，排除D选项.故选A.
【点睛】
本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.
6．D
【解析】
根据题意，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数需要分3种情况讨论：
①当取出的4个数都是奇数,有 种情况，
②当取出的4个数有2个奇数、2个偶数,有 种情况，
③当取出的4个数都是偶数,当取出的数字没有奇数有 种情况，
根据分类计数原理总共有5+60+1=66种取法；
本题选择D选项.
7．C
【解析】
∵1<a<b，∴b−1>a−1>0，∴m=ab−1>aa−1>n=ba−1，则m>n，
16．已知 的最小值为 ，则实数 ____.
17．已知函数 在区间 上有零点 ，则 的最大值是________.
四、解答题
18．已知 ， .
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)猜想 与 的关系，并用数学归纳法证明.
19．(Ⅰ)已知 ，其中 .（i）求 ；（ii）求 .
(Ⅱ)2021年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位.
【全国校级联考】浙江省宁波市九校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
浙江省宁波市九校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题答案
宁波市二2220学年第学期九校联考高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）若选①：sin sin cos 222B C A Ac c c π+−==．cos sin 2Ac a C ∴=．--------------------------------------------------------------------------------------1分sin cos sin sin 2AC A C ∴=．------------------------------------------------------------------------------3分cos sin 2sin cos 222A A A A ∴==． 1sin 22A ∴=．又0A π<<，故02A π<<，故2A π=，解得3A π=．------------------------------------------5分若选②：)222cos ABC S b c a A =+−=△．----------------------------------------------2分1cos sin 2A bc A =． sin A A =．---------------------------------------------4分tan A ∴=3A π=．-------------------------------------------------------------------------------5分（2）2CD BD AD ==．23AD a ∴=且1233AD AB AC =+．222144999AD AB AC AB AC ∴=++⋅．22241429999a cb bc ∴=++，即222442a c b bc =++．①------------------------------------------7分 又由余弦定理得222a b c bc =+−．②联立①②可得2c b =，a =．---------------------------------------------------------------------9分 从而222a b c +=，故ABC △是直角三角形．------------------------------------------------------10分18．解：（1）()sin cos 4f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．()f x 的图象关于直线8x π=对称．,842k k Z πππωπ∴+=+∈，解得82,k k Z ω=+∈．当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,4464x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭．()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值．3642πππω∴+≤，解得152ω≤． 又0ω>，所以2ω=，所以()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．-------------------------------------------4分令()222242k x k k Z πππππ−+≤+≤+∈，解得()388k x k k Z ππππ−+≤≤+∈． 所以()f x 的单调增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣∈⎦．-----------------------------------------6分 （2）任意1,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，均存在[]20,2x ∈，使得()()12f x g x ≤．()()12max max f x g x ∴≤．----------------------------------------------------------------------------------7分 1,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．1352,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦．()1max 1f x ∴=．又()()log 242x a g x a a =−+（0a >且1a ≠）在定义域上是增函数．()()()2max 2log 2421a g x g a a ∴==−+≥．----------------------------------------------------------9分21242a a a a >⎧∴⎨−+≥⎩或201242a a a a <<⎧⎨−+≤⎩2a ∴≥或112a ≤<．------------------------------------------------------------------------------------12分19．解：（1）（i ）证明：()()()11nni i i i i i i i x x y y x y x y xy x y ==−−=−−+∑∑1111n n n ni i i i i i i i x y x y xy x y =====−−+∑∑∑∑1111nn n ni i i i i i i i x y y x x y x y =====−−+∑∑∑∑()()1ni i i x y y nx x ny nx y ==−−+∑1ni i i x y nx y ==−∑，在上式中分别用,i x x 替代,i y y ，得()22211nni i i i x xx nx ==−=−∑∑，同理，也有()22211nni ii i y yyny ==−=−∑∑，故样本相关系数ni ix ynx yr −=∑．-------------------------------------------------4分（ii ）可知10117610i i x x ===∑，10117310i i y y ===∑．10110536201076731860i i i x y x y =∴−≈−⨯⨯=−∑，10222110581501076390i i x x =−≈−⨯=∑，1022211064810107311520ii yy =−≈−⨯=∑，1010620.8970i ix yx yr −∴≈=≈−≈−∑故顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强．--------------------------------------8分（2）557673453a x y =+=⨯+=．------------------------------------------------------------------------10分令545360y x =−+≤，得78.6x ≥．即该公司的航班正点率应达到78.6%．-------------------------------------------------------------12分20．解：（1）P （甲队晋级）3394416=⨯=，P （乙队晋级）322535=⨯=．X 的可能取值为0,1,2．()922101116580P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．B ()92924111116516580P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯+⨯−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ()929216540P X ==⨯=． X ∴的分布列为-----------------------------------------------4分()214197701280804080E X ∴=⨯+⨯+⨯=．--------------------------------------------------------------6分 （2）记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”．()()()()()291323||3163540P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=．-----------------------------------9分 故()()()()()()29|15316|232340P AB P B P A B P B A P A P A ⨯====．--------------------------------------------12分21．解：（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．平面ABC ⊥平面BCD ， 平面ABC 平面BCD BC =，AE BC ⊥，AE ⊂平面ABC ． AE ∴⊥平面BCD ． AE CD ∴⊥．AD AB ⊥，AB AC ⊥，AC AD A =．AB ∴⊥平面ACD ． AB CD ∴⊥．又AE AB A =，故CD ⊥平面ABC ．--------------------------------------------------------------4分 （2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ．平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =， DF BC ⊥，DF ⊂平面BCD ． DF ∴⊥平面ABC ． DBC ∴∠是BD 与平面ABC 所成的角． 在ABC △中，sin sin CD BCDBC BDC=∠∠， 即12sin sin DBC BDC=∠∠． ∴当sin 1BDC ∠=即CD BD ⊥时，sin DBC ∠最大，故DBC ∠最大，此时30DBC ∠=．-----------------------------------------------------------------7分 记l α=平面BCD ．过点E 作EG l ⊥，垂足为G ，连结AG ． //BC α，BC ⊂平面BCD ，l α=平面BCD ．//l BC ∴．故平面ADG 就是平面α．----------------------------------------------------------------9分 AE ⊥平面BCD ． AE l ∴⊥．C B图②EG l ⊥，EG AE E =． l ∴⊥平面AGE ． l AG ∴⊥．AGE ∴∠是平面α与平面BCD 的夹角．12tan 332AE AGE GE ∠===． 21cos 7AGE ∴∠=．------------------------12分 22．解：（1）若3t =，则()31f x t x −=−+，()()222621238g x t x x x −=−+=−+．(){}2min 31,1238m x x x x ∴=−+−+．令221238x x x −=−+， 得15x =，28x =．故函数()m x 的图象如右图所示．----------2分 ()m x ∴的单调减区间为(),3−∞，()5,6，单调增区间为()3,5，()6,+∞．------------4分 （2）()min 1f x =，()min 2g x =． ()min 1m x ∴=．∴不等式()m x t<有解的必要条件是1t >．①当12t <≤时，如图①所示， 令()m x t <，即()f x t <， 得()1,21D t =−．()222L D t ∴=−≤，不符合题意．------------------------------------------------------------6分当2t >时，令()1x t g x −+=，得()2241410x t x t t −++++=． 解得141432t t x +−−=，241432t t x ++−=．令11x t t −+=，得3t =．②当23t <≤时，如图②所示， ()f x t <的解集为()1,21t −，()g x t <的解集为()22,22t t t t −−+−，此时()2222L D t t =−+−．令()6L D =，解得3t =．----------------9分 ③当3t >时，如图③所示，图①22241432224443102t t x t t t t t t +−−++−=+−−−−−−=<222t t x ∴+−< 令()m x t <，得()1,22D t t =+−． ()221L D t t ∴=+−−．令()6L D =，解得3t =或174t =，均舍去． 综上所述，3t =．-----------------------------------------------------------------------------------12分图③。
浙江省2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题(含解析)
浙江省2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.设集合A={x|x-1≤0}，B={x|x2-x-6＜0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知lg2=a，lg3=b，则lg120=（）A. B. C. D.3.若实数x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A. 11B. 10C. 5D. 94.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C，A，B成等差数列，a=3，c=2b，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.5.若α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. 若,,则B. 若,,,则C. 若,,则D. 若,,,则6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，则=（）A. B. 5 C. D. 257.已知{a n}是等比数列，a2=2，，则a1a3+a2a4+…+a n a n+2=（）A. B. C. D.8.在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为α，直线AB与平面BCD所成的角为β，二面角C-AB-D的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系为（）A. B. C. D.9.设函数f（x）满足f（-x）=f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有，且对任意的，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（）A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共7小题）11.在等差数列{a n}中，若a3+a6+a9=24，则a6=______，S11=______．12.几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为______，几何体的外接球的直径为______．13.若直线l的倾斜角α是直线x-2y-6=0的倾斜角的2倍，则tanα=______，=______．14.已知a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，则ab的最小值是______，a+b的最小值是______．15.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若b2=ac，且a=b cos A，则cos B=______．16.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论：①异面直线AB与CD所成的角为60°；②AC⊥BD；③△ACD是等边三角形；④二面角A-BC-D的平面角正切值是；其中正确结论是______．（写出你认为正确的所有结论的序号）17.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数．（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）当时，求函数f（x）的值域．19.如图，矩形ABCD所在的平面垂直于△BCE所在的平面，BC=CE，F为CE的中点．（1）证明：AE∥平面BDF；（2）若P、M分别为线段AE、CD的动点．当BE⊥PM时，试确定点P的位置，并加以证明．20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，∠CAA1=60°，A1B=3，D，D1分别是AC，A1B1的中点．（1）证明：DD1∥平面BCC1B1；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的正弦值．221.已知数列{a n}满足a1=1，数列是公比为3的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当n≥2时，证明：；（3）设数列的前n项和为S n，证明：．22.已知函数f（x）=x2+ax+b．（1）若b=3时，不等式f（x）≤x对x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点，求a-2b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由A={x|x-1≤0}={x|x≤1}，B={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，则A∩B={x|-2＜x≤1}，故选：B．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵lg2=a，lg3=b，∴lg120=lg（10×3×4）=lg10+lg3+2lg2=1+b+2a．故选：C．由已知结合对数的运算性质求解lg120．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），令z=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+3×3=11．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4.【答案】B【解析】解：△ABC中，因C，A，B成等差数列，C+B=2A，又A+B+C=π，∴A=，由余弦定理知：a2=b2+c2-2bc×cos A，又a=3，c=2b，∴32=b2+（2b）2-2b×2b×cos，得b=，∴c=2b=2，∴△ABC的面积为b×c×sin A=．故选：B．由C，A，B成等差数列及三角形内角和求出角A，再利用已知条件和余弦定理求出b和c，然后由三角形面积公式b×c×sin A，计算出答案．本题结合三角形考查了余弦定理，三角形面积，等差数列等知识运用，考查了学生计算4化简技巧与能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若m⊥n，n∥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；在B中，若n⊥β，n⊥α，可得α∥β，由m⊥β，由线面垂直的判定定理得m⊥α，故B正确；在C中，若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故C错误；在D中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：B．在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得m⊥α；在C 中，m与α相交、平行或m⊂α；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．6.【答案】C【解析】解：如图，∵∠C=90°，∴，∴，且BC=5，∴=．故选：C．根据∠C=90°即可得出，从而带入进行数量积的运算即可求出．本题考查了向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为{a n}是等比数列，a2=2，，所以公比q=，因为，a1a3=4，所以a1a3+a2a4+…+a n a n+2=，故选：D．由知{a n}是等比数列可得{a n a n+2}为等比数列，根据等比数列的求和公式即可求和．本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：过A作A在底面的射影O，∵A-BCD是正四面体，∴O是底面的中心，取BC的中点E，连结OB，OE，AE，则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即β=∠ABO二面角C-AB-D的平面角和侧面ABC与底面BCD所成的角相等，又侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO，∴γ=∠AEO，在正四面体A-BCD中，AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角为α=90°，∵sinβ=sin∠ABO=，sinγ=sin∠AEO=，∵AB＞AE，∴＜，即sinβ＜sinγ，则β＜γ＜90°，即β＜γ＜α，故选：D．分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定α，β，γ的大小即可得到结论．本题考查空间角大小计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+∞）递增，故f（x）在（-∞，0）递减，时，x-2∈[-，-1]，故f（x-2）≥f（1），若任意的，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则时，|ax+1|≤1恒成立，故-1≤ax+1≤1，x∈[，1]，故-2≤ax≤0，x∈[，1]，故-≤a≤0，x∈[，1]，而a≥（-）max=-2，故-2≤a≤0，故选：A．根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道常规题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，cos＜，＞==，不妨设=（4，0），=（1，），=（cosθ，sinθ），则=|4cosθ|-|cosθ+sinθ|=3cosθ-sinθ=sin（θ-），所以最大值为2，故选：B．由条件可知，夹角为，用特殊值法表示出，，列出即可求出其最大值．本题考查平面向量数量积及其运算，用特殊值法进行运算是关键，属于中档题．11.【答案】8 88【解析】解：在等差数列{a n}中，若a3+a6+a9=3a6=24，则a6=8，故S11==11a6=88，故答案为：8；88．由题意利用等差数列的性质求出a6的值，再利用等差数列的求和公式求出S11的值．本题主要考查等差数列的性质、等差数列的求和公式，属于基础题．12.【答案】 2【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，是列出为2的正方体的一部分，是四棱锥P-ABCD，几何体的体积为：=．四棱锥的外接球就是正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，可得外接球的直径：=2．故答案为：；2．6画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，求出外接球的半径，然后求解直径即可．本题考查三视图求解几何体的体积，外接球的直径的求法，是中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可得：tan=．∴tanα==．∴=====．故答案为：，．由题意可得：tan=．理念倍角公式可得tanα．利用倍角公式、同角三角函数基本关系式化简，代入tanα即可得出．本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：①因为a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，所以3ab=a+2b≥，所以或（舍），所以ab≥，所以ab的最小值为；②由a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，可得，所以a+b==≥=，当且仅当，即a=，b=，所以a+b的最小值为．故答案为：；．①根据条件可得3ab=a+2b≥，解不等式可得ab的最小值；②根据条件可得，然后由a+b=，利用基本不等式求出最小值即可．本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题．15.【答案】【解析】解：∵b2=ac，且a=b cos A，∴a=b•，∴b2+c2-a2=2ac=2b2，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．由余弦定理，有cos B=，∴cos B====cos2A=sin2B=1-cos2B，∴cos2B+cos B-1=0，∴cos B=或（舍），故答案为：．根据条件可知△ABC为直角三角形，然后用余弦定理经过转化得到关于cos B的一元二次方程，再求出cos B即可．本题考查了勾股定理的逆定理，余弦定理和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想和计算能力，属中档题．16.【答案】①②③④【解析】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，∴以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设OC=1，则A（0，0，1），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，-1，-1），=（-1，1，0），cos＜，＞===-，∴异面直线AB与CD所成的角为60°，故①正确；=（1，0，-1），=（0，2，0），∵=0，∴AC⊥BD，故②正确；∵OA=OC=OD=1，OA，OC，OD两两垂直，∴AC=CD=AD=，∴△ACD是等边三角形，故③正确；平面BCD的法向量=（0，0，1），=（0，1，1），=（1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，1），cos＜＞=，∴sin＜＞==．∴二面角A-BC-D的平面角正切值是：=，故④正确．故答案为：①②③④．取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】【解析】解：设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，由△=a2+＞0，可得y=x2+ax-的图象与x轴有两个交点，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，可得4a-2≥0，不满足题意；则4a-2＜0，即a＜，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），即有（4a-2）x2+=0，即x2=，代入x2+ax-=0，化为48a2-40a+7=0，解得a=或a=＞（舍去），故答案为：．设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，讨论4a-2≥0，不符题意；4a-2＜0，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），将B 的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用一次函数和二次函数的图象，考查转化思想8和方程思想、以及数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵，=4cos x（+sin x），=4cos x（）=6sin x cosx-2cos2x，=3sin2x-（1+cos2x）=2sin（2x-）-，∴T=π，由2x-=可得对称轴x=，k∈Z，（2）由，可得，∴sin（2x-），2sin（2x-）-，∴2sin（2x-）-，函数f（x）的值域为[-3-，]．【解析】（1）结合两角差的正弦公式，二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据正弦函数的性质可求；（2）由，可求，结合正弦函数的性质可求值域．本题主要考查了利用和差角，二倍角，辅助角公式对三角函数化简，及正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．19.【答案】解：（1）证明：连结AC，交BD于点O，连结OF，∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC的中点，又F为EC的中点，∴OF∥AE，∵OF⊂面BDF，AE⊄面BDF，∴AE∥面BDF．（2）解：当PM⊥BE时，点P为AE的中点．证明如下：取BE的中点H，连结DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB．又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面，∵面ABCD⊥面BCE，且面ABC∩面BCE=BC，CD⊥BC，CD⊂面ABCD，∴CD⊥面BCE，又BE⊂面BCE，∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H为BE的中点，∴CH⊥面BCE，又CH∩CD=C，且CH，CD⊂面DPHC，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE．【解析】（1）连结AC，交BD于点O，连结OF，推导出OF∥AE，由此能证明AE∥面BDF．（2）取BE的中点H，连结DP，PH，CH，推导出PH∥AB．PH∥CD，从而P，H，C，D四点共面，推导出CD⊥面BCE，CD⊥BE，从而CH⊥面BCE，进而BE⊥平面DPHC，由此能证明PM⊥BE．本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的条件是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．20.【答案】解：（1）证明：取A1C1中点M，连结DM，D1M，∵D1M是A△A1B1C1的中位线，∴D1M∥B1C1，∵D1M⊄平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1，又DD1⊂平面DMD1，∴DD1∥平面BCC1B1．（2）解：CC1∥AA1，∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH，由条件知△AA1C是正三角形，∴AC⊥DA1，同理，AC⊥DB，又∵DB∩DA1=D，∴AC⊥平面BDA1，∵A1H⊂平面BDA1，且A1H⊥BD，∴A1H⊥平面ABC，∴∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由条件知DB=DA1=，∴cos∠BDA1=-，∴∠BDA1=120°，∴∠A1DH=60°，A1H=，∵AA1=2，∴sin∠A1AH==，∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值为．【解析】（1）取A1C1中点M，连结DM，D1M，推导出D1M∥B1C1，由此能证明DD1∥平面BCC1B1．（2）由CC1∥AA1，得直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH，推导出AC⊥DA1，AC⊥DB，从而AC⊥平面BDA1，进而A1H⊥平面ABC，∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由此能求出直线CC1与平面ABC所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）数列是公比为3，首项为的等比数列，所以，即．（2）证明：当n≥2时，，所以原式成立．（3）证明：当n=1时，，当n≥2时，=，所以成立．【解析】（1）考察等比数列求通项公式；（2）放缩法证明不等式；（3）先写出数列的前n项和为S n，构造等比数列证明不等式．（1）求等比数列通项公式，基础题；（2）放缩法证明不等式，这里用糖水不等式解决了问题；（3）利用放缩法证明不等式，关键是根据（2）变成等比数列求和，中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，f（x）=x2+ax+3≤x对x∈[1，4]恒成立，变形可得：ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立，则a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立，设g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，则g（x）在[1，]上单调递增，[，4]上单调递减，又由g（1）=-3，g（4）=-，则g（1）＞g（4），故g（x）min=g（4）=-，∴必有a，∴a的取值范围是（-∞，]；（2）根据题意，若f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点，则有，即，由线性规划，画出约束条件表示的可行域，以a为横轴，b为纵轴，如图，黑色为可行10域，A（-4，4）∴-12＜a-2b＜0，∴a-2b的取值范围是（-12，0）．【解析】（1）由题意可得，ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立，变形化为a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立，构造函数g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，根据对勾函数的图象性质知g（x）在[1，]上单调递增，[，4]上单调递减，又由g（1）＞g（4），求出a的取值范围；（2）根据题意，找到f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点所满足的条件，利用线性规划来解决．本题考查了利用参变分离、对勾函数的图象性质来解决恒成立问题，利用线性规划来解决取值范围，属于难题．。