成都七中实验学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
h
x
9
f
x 1 x
2
2m
3x
1
，
x
0, log 9
8
，是否存在实数
m
使得
h
x
的
最小值为 0 ？若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由．
鱼的科学家发现鲑鱼的游速 v （单位： m / s ）与其耗氧量单位数 Q 之间的关系可
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）
A． c b a
B． b c a
C． b a c
D． a b c
10、函数 f (x) loga (6 ax) 在 0,3 上为减函数，则 a 的取值范围（
）
A． 0,1
B． 1, 2
C． 1, 2
D． 2,
11、某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储藏温度 x （单位：℃）满足函数关
系 y ekxb （ e 2.718为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在 0 ℃的保
鲜时间是192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是
_____小时．（ ）
A．12
B． 24
C．18
D． 28
12．已知函数
f
(x)
log2 x2
x ,x 2x
2,
0 x
，方程 0
f
(x) b
0
有四个不相等的实数根
x1, x2 , x3, x4 ，且满足：
x1
x2
x3
x4
，则
x32 (8 x42 ) x1x3 x2 x3
的取值范围是（
）
A．[3, 2 2]
B． (, 2)
C． (3, 2)
D． (, 2 2]
15、已知
f
x
1 x , x 4 2
，则 f log2 3
.
16、给出下列命题，其中正确的序号是______（写出所 有正确命题的序号）
①集合 A x Z | x 2k 1, k Z与集合 B x Z | x 2k 3, k Z是相等集合
D. y 2x | x | ）
A. 0,1
B. 2, 2
C. 1,1
D . 2,3
5、在下列区间中，函数 f (x) 2x x 4 的零点所在的区间为（ ）
A． (1, 0)
B． (0,1)
C． (1, 2)
D． (2,3)
6、幂函数 f (x) m2 m 5 xm1 在 0, 上单调递减，则 m 等于 （ ）
B． m 1
C． 1 m 2 4
D． m 1 4
9 、 已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 在 , 0 上 是 增 函 数 ， 设
a f (log2 71) , b f (log2 3) , c f (0.20.6 ) 则 a, b, c 的大小关系是（
二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分)
13、设全集为 R ，集合 A x | x2 4 0 ，B x | 1 x 3 ，则 A CRB
．
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14、函数 y ln x2 2x 8 的单调递增区间是
．
f x 1, x 4
21、（本小题满分
12
分）已知奇函数
f
(x)
a
Байду номын сангаас
2
2 x
1
((x
a为R)常数）.
（1）求 a 的值； （2）若函数 g(x) (2 x 1) f (x) k 有 2 个零点，求实数 k 的取值范围；
(2) 若 A B ，求实数 a 的取值范围．
1
18、（本小题满分 12 分）(1) 计算： (1) 3 (5)3 (0.008) 3 (
20、（本小题满分 12 分）已知二次函数 f (x) x2 bx c 有两个零点1和 1. （1）求 f (x) 的解析式； （2）设 g(x) x 1 ，试判断函数 g(x) 在区间 (1,1) 上的单调性并用定义证明；
f (x) （3）由（2）函数 g(x) 在区间 (1,1) 上，若实数 t 满足 g(t 1) g(t) 0 ，求 t 的取值范 围.
2
2
)
4 3
4
16 49
1 2
；
(2)
(2) log3
4
27 3
21log2 3
lg 5 (lg 2) 2 lg 5 lg 2
．
19、（本小题满分 12 分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑
（3）若
x [2, 1] 时，不等式
f
(x)
m 2
②函数 y log2 x2 2x 3 图象恒在 x 轴的上方；
③将函数 y log 2 x 的图像经过先关于 y 轴对称，再向右平移 2 个单位的变化，就 变为 y log2 (2 - x) 的图像；
④若函数 f x log2 x2 2ax 1 的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是 1,1 ；
三、解答题：(17 题 10 分，18～22 每小题 12 分，共 70 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤)
17、（本小题满分 10 分）已知集合 A x x2 x 2 0 ，集合 B x x a 1 ，
(1) 当 a 1时，求 A B ；
A．3
B．-2
C.-2 或 3
D．-3
7、如果函数 y ax a 0,a 1 的反函数是增函数，那么函数 y loga x 1 的图象大
致是（ ）
A
B
C
D
8、若关于 x 的方程 x2 x m 0 在1,1 上有解，则 m 的取值范围（ ）
A． 1 m 1
）
A. 2,3
B. 1,3
C. 2
D.3
2.函数 f x 1 的定义域是（
x3
A. 3,
B. ,3
）
C. 0,3
D. 3,
3、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （ ）
A. y 2x 1
B. y x2
C. y 1 x
4、函数 f (x) a x2 2(a 0, a 1) 的图象必经过点（
以表示为函数 v
f
(Q)
k
log3
Q 100
b ，其中 k,b 为常数，已知一条鲑鱼在静止时
的耗氧量为100 个单位；而当它的游速为1.5m / s 时，其耗氧量为 2700 个单位.
（1）求出游速 v 与其耗氧量单位数 Q 之间的函数解析式；
（2）求当一条鲑鱼的游速不高于 2.5m / s 时，其耗氧量至多需要多少个单位？
4
x
x
1
1
恒成立，求实数
m
的取值范围.
22、（本小题满分 12 分）已知函数 f x kx log9 9x 1 ， k R 是偶函数．
（1）求 k 的值；
（2）若函数 y f x 的图象在直线 y 1 x b 上方，求 b 的取值范围；
2
（3）若函数
成都七中实验学校 2019～2020 学年上期期中考试
高一年级数学试题
(满分 150，考试时间 120 分钟)
命题人：韩雄
审题人：晏建平
一、选择题：(每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合要求，请将答案填涂在答题卡上)
1、设集合U 1, 2,3, 4,5, A 1, 2,3, B 2,5 ，则 A I CU B （
2019-2020学年四川省成都市成都市第七中学高二上学期期中数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都市成都市第七中学高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 时只记得1x =，忘记了n 的值，但输出v 的值为56，则可推断出输入n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．无法推断出【答案】C【解析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i ，v 的值， 当1i =-时，不满足条件0i ≥时跳出循环，输出v 的值，由此列方程求出n 的值． 【详解】解：初始值为n ，1x =，模拟程序运行过程如下；1v =，1i n =-满足条件0i ≥，111v n n =⨯+-=，2i n =- 满足条件0i ≥，1222v n n n =⨯+-=-，3i n =- 满足条件0i ≥，()221335v n n n =-⨯+-=-，4i n =-⋯满足条件0i ≥，()()()()111232112n n v n n n -=+-+-+-+⋯++=+，0i =满足条件0i ≥，()()11110122n n n n v ⎛⎫--=+⨯+=+ ⎪⎝⎭，1i =- 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为()11562n n -+=，即()1110n n -=，解得11n =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i ，v 值是解题的关键，属于中档题．2．有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（ ） A ．3 B ．6C ．12D ．24【答案】B【解析】根据题意，分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲；②剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本， 分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲，有246C =种情况，②剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法； 故选：B ． 【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁【答案】C【解析】先根据频率分布直方图中频率之和为1计算出数据位于[)25,30的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数。
2020-2021成都七中万达学校高一数学上期中模拟试题含答案
2020-2021成都七中万达学校高一数学上期中模拟试题含答案一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð6．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3328．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)29．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>10．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7811．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log3a f⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f-=，12c f⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a、b、c的大小关系为（）A．a c b>>B．b c a>>C．b a c>>D．a b c>>二、填空题13．已知函数()(),y f x y g x==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f xg x≥在[]3,3-上的解集是________.14．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x xx⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.15．若42xππ<<，则函数3tan2tany x x=的最大值为．16．如果关于x的方程x2+（m-1）x-m=0有两个大于12的正根，则实数m的取值范围为____________.17．函数的定义域为___．18．已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且当0x≥时，2()2f x x x=-．若关于x的方程()0f x m-=有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是_____．19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t天后气球体积变为ktV a e-=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg20.301≈≈，结果保留整数）20．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．三、解答题21．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．22．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 23．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>．24．在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格P （元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？25．已知定义域为R 的函数()22xx b f x a-=+是奇函数．()1求a ，b 的值；()2用定义证明()f x 在(),-∞+∞上为减函数；()3若对于任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．26．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.3．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．6．C解析：C 【解析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.9．B【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．11．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f （x ）g （x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部 解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃【解析】 【分析】 不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数,故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2]U (-1,0) 故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2]U (-1,0)U （1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.14．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】 【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】 设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000, 当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200. 【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键.15．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值16．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判解析：（-∞，-12） 【解析】 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.17．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.18．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同 解析：(1,0)-【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)- 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.19．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23，即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.20．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．三、解答题21．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【解析】 【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围 【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立． 此时2a ＋1＞3a －5， 即a ＜6．若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}． （2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ， 所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ． 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用 22．（1）()1124x f x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】 【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解.【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅, 因为()f x 是()1,1-上的奇函数 所以()()1124x f x f x -=--=+⋅, （2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x-⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭, 所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故135********20182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题. 23．⑴1,0a b c ===⑵增函数⑶22t -<< 【解析】 【分析】 【详解】（1）()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2211ax ax bx c bx c++=--++得bx c bx c -+=--解得0c =又1(1)221a f b a b+==⇒=+Q 412(2)32021a a fb a +-=<⇒<+Q 解得1201a a Z a a -<<∈∴==Q 或 当0a =时12b =与b Z ∈矛盾舍，当1a =时1b =综上1,0a b c === ⑵函数()f x 在[1,)+∞上为增函数任取1212,[1,),x x x x ∈+∞<且则2212121212121211()(1)()()x x x x x x f x f x x x x x ++---=-= 1212,[1,),x x x x ∈+∞<Q 且1212(1,),0x x x x ∴⋅∈+∞-<且 1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<<即得证函数()f x 在[1,)+∞上为增函数⑶222(1)(3)0(3)(1)(1)f t f t f t f t f t --++>∴+>---=+Q211,31t t +≥+>Q ，函数()f x 在[1,)+∞上为增函数 213(1)(2)0t t t t ∴+<+⇒+-<解得222t t <⇒-<<考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明 24．（1）当P ＝19.5元，最大余额为450元；（2）20年后 【解析】 【分析】（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值； （2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论． 【详解】设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q （P ﹣14）×100﹣3600﹣2000，① 由销量图，易得Q ＝250,14P 20340,20P 262p p -+⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟„代入①式得L ＝(250)(14)1005600,14P 20340(14)100560,20P 262P P P P -+-⨯-⎧⎪⎨⎛⎫-+-⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩剟„ （1）当14≤P ≤20时，2(250)(14)1005600200780075600L P P p p =-+-⨯-=-+-，当P ＝19.5元，L max ＝450元，当20＜P ≤26时，23340(14)100560615656022L P P P p ⎛⎫=-+-⨯-=-+- ⎪⎝⎭，当P ＝613元时，L max ＝12503元. 综上：月利润余额最大，为450元，（2）设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450﹣50000﹣58000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫． 【点睛】本题主要考查实际函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论，属于中档题． 25．(1) a=1,b=1 (2)见解析 (3) k<-【解析】试题分析：（1）()f x 为R 上的奇函数⇒(0)01f b =⇒=,再由，得1a =即可；（2） 任取12x x R ∈，，且12x x <，计算2112122(22)()()0(21)(2+1)x x xx f x f x --=>+即可；（3） 不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立等价于22(2)(2)f t t f t k -<--⇔22(2)(2)f t t f k t -<-⇔2222t t k t ->-⇔232k t t<-恒成立，求函数2()32h t t t =-的最小值即可.试题解析： （1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，1b =. 又，得1a =.经检验11a b ==，符合题意. （2）任取12x x R ∈，，且12x x <，则1212211212121212(12)(21)(12)(21)()()2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x --------=-=----21122(22)(21)(2+1)x x x x -=+. ∵12x x <，∴12220x x ->，又∴12(21)(21)0x x++>，∴12()()0f x f x ->，∴()f x 为R 上的减函数（3）∵t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，∴22(2)(2)f t t f t k -<--，∴()f x 为奇函数，∴22(2)(2)f t t f k t -<-，∴()f x 为减函数，∴2222t t k t ->-. 即232k t t <-恒成立，而22111323()333t t t -=--≥-， ∴13k <-考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数与不等式，属中档题；高考对函数性质的考查主要有以下几个命题角度：1.单调性与奇偶性相结合；2.周期性与奇偶性相结合；3.单调性、奇偶性与周期性相结合. 26．（1）2；（2）{|35}m m m -或 【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A ，B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A ，B ，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m 的值；（2）由（1）解出的集合A ，B ，因为A ⊆C R B ，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）∵A∩B=[0，3]∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}∵A⊆C R B，∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，∴m＞5，或m＜﹣3．考点：交、并、补集的混合运算．。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A ．√3 √213．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）b ＞2 7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）B ．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nAt a nB = 3 √3，则 tan A tan B 的值为（ ）10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5四川省成都市第七中学 2019-2020 学年高一下期期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2√6 √2 2B ．4C ．2D ．42．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）1 A ．2B ．1C ．﹣1D ． 21A ．121 B ．43 C ．4D ．√3211 4．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2b aC ．aD ．|a |+|b |＞|a +b |△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√66．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48SS 39A ．8B ．99 7C ．9 或﹣7D ． 或8 88．化简c o s25°si n25°的结果为（）si n 40°si n 50°1 A ．1C ．22D ．﹣121 A ．41 B ．31 C ．25 D ．31 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．5811．有一块半径为 2，圆心角为 45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =．16．已知正数 x ，y 满足 x +y ＝2，若a ≤ x+1 + y+2恒成立，则实数 a 的取值范围是．形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上） 则这个内接矩形的面积最大值为（）A ．2 + √2B ．2 − √2C ．2√2 − 2D ．2√2 + 212．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3， 1)，则 l 的倾斜角的取值范围是．π π15．不等式（x ﹣2）√x 2 − x − 6 ≥0 的解集为．x 2 y 2三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．19．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝﹣26，a 5+a 9＝﹣38．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 t 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n ．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+λ（λ为常数）．（1）试探究数列{a n+2λ}是否为等比数列，并求a n；（2）当λ＝2时，求数列{n(a n+2λ)}的前n项和T n．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且3(S n+1)=4a n，n∈N∗（1）求{a n}的通项公式；2）求证：1+S2S3+S n+1＞π3π11S（S2S3 S4+⋯+S n n4−115．A ．√3 √2sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°= √2 × √2 2 × √ = √ 4 ． B ．1 C ．﹣1D ． 23．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）∵s i n xc o s x = 2，∴两边平方，可得：1﹣2sin x cos x ＝1﹣sin2x = 4，∴解得：sin2x = 4．七中高一下期期中参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2 √6 √2 2B ．4C ．2D ．4易知 sin105°＝sin （60°+45°），展开计算即可得解．3 2 1 2故选：B ．本题主要考查和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）26 √ 21 A ．21利用等差数列的通项公式即可得出．∵a 4＝7，a 7＝4，∴7+3d ＝4，d ＝﹣1．故选：C ．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11 A ．21 B ．43 √3C ．D ．4 2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．113故选：C ．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．1 14．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abb ＞2b ≥2 且当 a ＝b 时取等号，又因 b ＜a ，b ＞2，故 C 对； s i n B=∵等差数列{a n }中，S 10= 2 （a 4+a 7）＝240，baA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ． + aD ．|a |+|b |＞|a +b |由题意先求出 b ＜a ＜0，根据它们的关系分别用作差法判断 A 和 B 选项，利用基本不等式判断 C 选项，由几何意义判断 D 选项．1 1∵ ＜ ＜0，∴b ＜a ＜0，abA 、∵b ＜a ＜0，∴a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）＜0，则 a 2＜b 2，故 A 对；B 、ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＜0，则 ab ＜b 2，故 B 对；b a baC 、∵b ＜a ＜0，∴ ＞0， ＞0，则 + a b a ba∴ + aD 、∵b ＜a ＜0，∴|a |+|b |＝|a +b |成立，故 D 不对．故选：D ．本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√6由已知利用正弦定理即可求解．∵b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，∴由正弦定理bc s i n C，可得2√2= c√3，22∴解得 c = √6．故选：D ．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解．10∴a 4+a 7＝48．故选：D ．本题考查等差数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，由 a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ，再利用求和公式化简 6，代入即可得设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，∵a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ＝± ．S 61q1 9 1 7 8 = ． 则 = =1+q 3＝1+= 或 1 a1(1q 3)S 3 8．化简c o s 25°si n25°原式=si n 40°cos40°= si n 40°cos40°= si n 40°cos40° = 2．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nA+ tanB= 3 √3，则tan A tan B 的值为（ ）B ．1t a nAt a nB = 1t a nAt a nB ，故1 t a nAt a nB= 3，即t a nAt a nB= 3．10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5SS 39A ．89 7B ．9C ．9 或﹣7D ． 或8 8SS 3出．1 2a1(1q 6)8 8 81q故选：D ． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．si n 40°si n 50°的结果为（）1 A ．1C ．2D ．﹣12利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．cos10° si n 80° 2si n 40°cos40°故选：C ．本题主要考查二倍角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．21 A ．41 B ．31 C ．25 D ．3根据 A +B ＝180°﹣C ＝60°，先求出 tan （A +B ）的值，再求 tan A tan B ．tan(A+ B) = tan(180°120°) = √3 = t a nA+t a nB2√ 3 32 1故选：B ．本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．1 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．58结合已知可先求出公比 q 及首项 a 1，然后根据等比数列的求和公式可求．∵a5−3a7=2，∴a7=2，∴q2=a7=4，∴q=2，q4∴S5==62，sin(45°−θ)=a2•a8＝4，可得a52＝4，∵数列{a n}为各项均为正数的等比数列，∴a5＝2，11a151∴a1=a5=32，32(1−1)251−12故选：B．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A．2+√2B．2−√2C．2√2−2D．2√2+2直接利用正弦定理的应用整理出矩形的两边长，进一步利用矩形的面积公式把面积用三角函数的关系表达式整理出来，最后利用三角函数关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．根据题意得到图形：如图所示：设∠COB＝θ．所以BC＝2sinθ，在△ODC中，∠ODC＝180°﹣45°＝135°，利用正弦定理：DC OCsi n135°，整理得CD=2√2sin(45°−θ)，所以 S 矩形＝BC •CD = 2s i n θ ⋅ 2√2sin(45° − θ) =4√2sin （45°﹣θ）sin θ＝2√2si n (2θ + 4) − 2．当θ = 8时，S 矩形的最大值为 2√2 − 2． 3 ，π） ．3 ，π）． 3 ，π）．14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =−∵c o s(2 +α) = 2cos(π − α)，ππ故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b利用已知条件，推出 a 的范围，b 与 c 的关系，利用特殊值判断即可．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1，可得（a ﹣1）2＝c ﹣b ≥0，可得 c ≥b ，排除 B ，D ，a +b 2+1＝0，可得 a ≤﹣1，当 a ＝﹣1 时，b ＝0，排除 B ，C所以 A 正确．故选：A ．本题考查函数与方程的应用，考查推理与判断能力．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分π2π13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角的取值范围是[0， ）∪（ 4根据直线 l 斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角 θ 的取值范围．直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角 θ 满足−√3＜tan θ＜1，其中 θ∈[0，π），π2π所以 θ 的取值范围是[0， ）∪（ 4π 2π故答案为：[0， ）∪（ 4本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题．π π1 3．先利用诱导公式可得 sin α＝2cos α，进而可得 tan α＝2，再利用正切的差角公式得解．π∴﹣sin α＝﹣2cos α，∴t a n(4−α)=1+2=−．=故答案为：−3．x2−x−6＞0或x﹣x﹣6＝016．已知正数x，y满足x+y＝2，若a≤x+1+y+2恒成立，则实数a的取值范围是（−∞，5]．t a nπ−t a nα+(y+2−2)25+x+1++(y+2−2)2(x+1)2−2(x+1)+1(y+2)2−4(y+2)+4=+，x+1+y+2−4+y+2，x+1+y+2−1，+y+25+5(y+2)+5(x+1)+−15(y+2)5(x+1)=，4(x+1)⋅∴tanα＝2，π1−2141+tanπt a nα341本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，和差角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．15．不等式（x﹣2）√x2−x−6≥0的解集为[3，+∞）∪{﹣2}．根据不等式中根式的讨论：分大于0，等于0两类，将无理不等式转化为二次不等式组或二次方程解．原不等式同解于x−2≥02解得x＞3或x＝﹣2或x＝3故答案为：[3，+∞）∪{﹣2}．求分式不等式、无理不等式一般先将它们同解变形为整数不等式来解，注意：一定要使原不等式的各部分有意义．x2y24首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得(x+1−1)2x+1y+2=(x+1)2−2(x+1)+1x+1+(y+2)2−4(y+2)+4y+2，最后利用基本不等式的应用求出结果．已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，x+1所以：y+25=1则：x2y2y+2=(x+1−1)2x+1y+2，x+1y+2=x+1−2+14 =14x+1＝（515）（x+1+4y+2）﹣1，=14(x+1)y+245≥1−1+2√y+245要使a ≤ x+1 + y+2恒成立，只需满足a ≤ (x+1 + y+2)mi n 即可，故a ≤ 5．故答案为：（−∞，5]．对应的一元二次方程有两个实数根 x = 和 x = ，4 ＜ ∴不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；对应的一元二次方程有两个相等的实数根 x = − 4，∴不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；综上，a ＞4 或 a ＜﹣4 时，不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；a ＝±4 时，不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；x 2 y 2 x 2 y 244本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．讨论 ＞△0， ＝0 以及 ＜△0 时对应不等式的解集即可．关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）中，△＝a 2﹣4×2×2＝a 2﹣16，当 a ＞4 或 a ＜﹣4 时， ＞△0，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4且 −a−√a 2 −16 −a+√a 2 −164 ，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4当 a ＝±4 时， ＝△0，aa当﹣4 ＜a ＜4 时， ＜△0，∴不等式的解集为 R ；−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4a﹣ 4＜a ＜4 时，不等式的解集为 R ．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若 ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．∴cos B=．2∴B=3．（2）据（1）求解知B=3，又S=2ac sin B＝3√3，（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知得sin C＝2sin C cos B，由0＜C＜π，可求cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）根据余弦定理，三角形面积公式即可解得a+c的值．（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，1又B∈（0，π），ππ∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①1∴ac＝12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c＝7．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．在等差数列{a n}中，a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为t的等比数列，求{b n}的前n项和S n．（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）a n+b n＝t n﹣1，可得b n＝t n﹣1+3n﹣2，运用数列的分组求和，计算可得所求和．（1）设等差数列{a n}的公差为d，当t≠1时，S n=+21−t，当t＝1时，S n=3n2−n+n=．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．（1）化简函数f（x），结合题意可得f(x)=2si n(6x+6)+1，进而求得单调增区间及最值；（1）f(x)=√3si n2ωx+cos2ωx+1=2si n(2ωx+6)+1，3，解得ω＝3，∴f(x)=2si n(6x+6)+1，令−2+2kπ≤6x+6≤2+2kπ，k∈Z，解得πππkππkππ∴其单调递增区间为[3−9，3+18](k∈Z)；当x=3+18(k∈Z)时，f（x）max＝3，当x=3−9(k∈Z)时，f（x）min＝﹣1；（2）∵x∈[0，6]，6≤由a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38，可，得a5+a9﹣（a3+a7）＝4d＝﹣12，即d＝﹣3，∴a3+a7＝2a1+8d＝﹣26，解得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2；（2）由数列{a n+b n}是首项为a1，公比为t的等比数列，∴a n+b n＝t n﹣1，∴b n＝t n﹣1+3n﹣2，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+t+t2+…+t n﹣1）=3n2−n2+（1+t+t2+…+t n﹣1），3n2−n1−t n3n2+n22本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．π3（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；ππ（2）问题等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝2m﹣1恰有两个不同的交点，作出图象，结合图象可得2≤2m﹣1＜3，进而得解．ππ2π又周期为，故32ω=ππ−≤x≤+39318，k∈Z，kππkππkππkπππ∴π6≤6x+π7π6，结合图象可知，2≤2m ﹣1＜3，解得 ≤ m ＜2．综上，实数 m 的取值范围为[2 ，2)． （1）试探究数列{a n + 2 λ}是否为等比数列，并求 a n ；（2）当 λ＝2 时，求数列{n(a n + 2 λ)}的前 n 项和 T n ．本题第（1）题将题干中的递推公式 进行转化可得 a n +1+ 2λ＝3（a n + 2λ），然后根据 a 1＝1，可得 a 1 + 2λ＝0 和 a 1+ 2λ≠0 两种情况，当 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}是常数列，不是等比数列；当 a 1+ 2λ≠0 时， 数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时通过计算出数列{a n + 2 λ}的通项第（2）题将 λ＝2 代入数列{a n + 2 λ}的通项公式，并进一步计算出数列{n(a n + 2 λ)}的通项公式，然后a n +1+ 2λ＝3a n +λ+ 2λ＝3（a n + 2λ），∴当 λ＝﹣2，即 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}不是等比数列， 此时 a n + 2λ＝a 1+ 2λ＝a 1﹣1＝0，a n ＝a 1＝1，n ∈N *．当 λ≠﹣2，即 a 1+ 2λ≠0时，a n + 2λ≠0，由函数 g （x ）＝f （x ）﹣2m +1 恰有两个不同的零点，得函数 y ＝f （x ）的图象与直线 y ＝2m ﹣1 恰有两个不同的交点，323本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．21．已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n +1＝3a n +λ（λ 为常数）．111 1 11 1 1 11 1 1 1公式即可进一步计算出数列{a n }的通项公式．1 1运用错位相减法计算前 n 项和 T n ．（1）依题意，由 a n +1＝3a n +λ，可得1 1 1∵a 1＝1，1 11 11 1数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时 a n + 2λ＝（a 1+ 2λ）•3n ﹣1＝（1+ 2λ）•3n ﹣1， ∴a n ＝（1+ 2λ）•3n ﹣1− 2λ，n ∈N *．则 n （a n + 2λ）＝2n •3n ﹣1， 1−3 −n •3n ）＝2[（ −n ）•3n − ]， ﹣2T n ＝2（1+31+32+…+3n ﹣1﹣n •3n ）＝2•（ 2∴T n ＝（n − 2）•3n + 2S 3 + S 3S 4 +⋯+ S nS n+1 ＞ S n+1 的表达式并进行转化得到 S n第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 S n 的表达式，进一步可计算出S n+1 = ﹣1）≥15•4n ，则有 ≤ 1 5⋅4 n ，再代入S 1 S 2 + S 2 S 3 + ⋯+ S n1 1 11 1 11 1（2）由（1）知，当 λ＝2 时，a n ＝2•3n ﹣1﹣1，1T n ＝2[1•1+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1]，①3T n ＝2[1•31+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，② ①﹣②，可得1−3n1 1 21 1本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前 n 项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．22．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且3(S n + 1) = 4a n ，n ∈ N ∗（1）求{a n }的通项公式；（2）求证：S 1S 2+S 2n 4 − 1 15．本题第（1）题先将 n ＝1 代入表达式，根据 S 1＝a 1 可解出 a 1 的值，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减并进行计算可得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2），即可得数列{a n }是以 3 为首项，4为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式；S n 14 − 3 4(4 n+1 −1)，然后根据当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0 对 4（4n +1﹣1）进行转化计算并应用放缩法可得 4（4n +13 4(4 n+1 −1) S n+1 进行放缩后依据等比数列的求和公式进行求和，再次运用放缩法可证明不等式成立．（1）解：由题意，当 n ＝1 时，3（a 1+1）＝4a 1，解得 a 1＝3，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减，可得 3a n ＝4a n ﹣4a n ﹣1，1−4=4n﹣1，Sn1=5⋅4 n ）4 − （ 1 4(1−4n ) − • 1−14 − 15（1− n ）4 n 1 1 14 15 15 4n 4 − 15，整理，得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2）， ∴数列{a n }是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， ∴a n ＝3•4n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）知，S n = 3(1−4n )则 S n4n −1 4n1 −1=4(4 n −1) 4(4 n1 −1) = 4n1 −4 4(4 n1 −1) = 4n1 −1−3 4(4 n1 −1) = 1 4 − 34(4 n1 −1) ，∵当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0，∴4（4n +1﹣1）＝16•4n ﹣4＝15•4n +4n ﹣4≥15•4n ，∴ 34(4 n1−1) ≤ 3 15⋅4 n = 1 5⋅4 n，则 S 1 S 2 S 2 S 3 ⋯ S n S n1 1 ≥（ − 4 1 1 1 1 1 ）+（ − ）+…+（ −5⋅41 4 5⋅4 2 4= n 1 5 1 41 142 ⋯ 1 4n）= n4 5 1 14= =＞ n 1 1−• n 1故得证．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，分组求和法，等比数列的基本量计算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题多次应用放缩法，属较难题．。
福建省莆田第七中学2019-2020学年高一数学上学期期中复习检测试题【含答案】
（A） 0，1, 3
（B） 1，3
（C） 1，2, 3
（D）0,1, 2,3
（2）函数 f (x) x ln(1 x) 的定义域是（ ）
（A） (0，1)
（B）（0,1]
（C） [0,1)
（D） [0,1]
（3）已知幂函数 y f x的图象过（4，2）点，则 f 2 （ ）
（A） 2
（B） 2
f (x) g(x) 成立，那么称 g(x) 为函数 f (x) 的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结
论：
①函数 f (x) 2 x 存在“线性覆盖函数”； ②对于给定的函数 f (x) ，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个； ③ g(x) 1 x 1 为函数 f (x) x 的一个“线性覆盖函数”；
1 log3 x, x 3
ab bc ca 的取值范围为（ ）
（A） (1 ,4)
（B） (1 ,5)
（C） (4,7)
（D） (5,7)
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置上）
（13）已知集合 A x N log2 x 1 ，则集合 A 子集的个数为_______________
4 元），两个城市的总收益为 f (x) （单位：万元）。
（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
2019-2020 学年上学期期中考高中一年数学科试卷（答案卷）考号
考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题:（每题 5 分，共 60 分）
所以函数 f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数 f（x）在[1，4]上是增函数，
四川省成都七中实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(理科)Word版含解析
四川省成都七中实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．）1．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或23．直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（）A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣104．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．25．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x6．直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定7．已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）A．B．C．D．8．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．B．C．D．9．过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对10．已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）A．B．C．D．011．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）12．如图所示，已知椭圆C： +y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=，=，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（）A．10 B．5 C．6 D．3二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=．14．椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=．15．若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=．16．已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：①x+y的最小值为；②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．以上结论正确的有（用序号表示）三、解答题（共6小题，共70分）17．已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x ﹣2y﹣6=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．18．求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过两点；（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．19．（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．20．已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．（1）求C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B 两点，求AB的长．21．已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切（Ⅰ）求圆M的标准方程；（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1x2，求直线L的方程．22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．四川省成都七中实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．）1．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，计算可得c的值，进而由焦点坐标公式可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为，则其焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，则c2=a2﹣b2=9，即c=3，故其焦点的坐标为（0，3），（0，﹣3）；故选：B．2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．故选C．3．直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（）A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣10【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0，利用直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，建立方程，即可求出a．【解答】解：直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0，∵直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，∴=，∴a=0或﹣20．故选：C．4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【考点】简单线性规划．【分析】1．作出可行域2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．5．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x【考点】轨迹方程．【分析】结合题设条件作出图形，观察图形知图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，由此能求出其轨迹方程．【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，其轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2．故选B．6．直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），只需判断点P（2，1）与椭圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），∵，∴点P（2，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为相交．故选：A．7．已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2），⇒+=0，⇒，【解答】解：设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2）线段AB中点为（1，1），∴x1+x2=2，y1+y2=2，⇒+=0，⇒，l的斜率是．故选：C8．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】由kx+y+1﹣k=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，斜率为﹣k，分别求出k BC，k AC，由此利用数形结合法能求出k的取值范围．【解答】解：由kx+y﹣k﹣1=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，∴直线过定点C（1，1），又A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），讨论临界点：当直线l 经过B 点（﹣3，﹣2）时，k BC =﹣k==，结合图形知﹣k ∈[，+∞）成立，∴k ∈（﹣∞，﹣]； 当直线l 经过A 点（2，﹣3）时，k AC =﹣k==﹣4，结合图形知﹣k ∈（﹣∞，﹣4]，∴k ∈[4，+∞）．综上k ∈（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）． 故选：C9．过定点（1，2）可作两直线与圆x 2+y 2+kx +2y +k 2﹣15=0相切，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞2B ．﹣3＜k ＜2C ．k ＜﹣3或k ＞2D ．以上皆不对【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，可求k 的范围，根据过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k 的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x +k ）2+（y +1）2=16﹣k 2，所以16﹣k 2＞0，解得：﹣＜k ＜，又点（1，2）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，解得：k＞2或k＜﹣3，则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．故选D10．已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）A．B．C．D．0【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．【解答】解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1．根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•==|F1F2|•y P=y P．所以y p=．则=（﹣1﹣x p，﹣y P）•（1﹣x P，﹣y P）=x p2﹣1+y p2=4（1﹣）﹣1+y p2=3﹣=故选B．11．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D12．如图所示，已知椭圆C： +y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=，=，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（）A．10 B．5 C．6 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】由向量线性运算的几何意义可得，故而DF2∥QN，DF1∥PN，于是，于是=5a．【解答】解：∵，即，∴，∴，又，，∴，，∴，∴DF2∥NQ，DF1∥NP，∴，，∴，根据椭圆的定义，得|DF1|+|DF2|=2a=4，∴，故选A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=﹣8．【考点】直线的斜率．【分析】由题意和直线的斜率公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，∴=，解得a=﹣8故答案为：﹣814．椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义及椭圆标准方程求得到|PF1|+|PF2|=2a=6，由∠F1PF2=90°可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=（2c）2=20，两边平方即可求得|PF1|•|PF2|．【解答】解：∵椭圆方程：圆，∴a2=9，b2=4，可得c2=a2﹣b2=5，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵∠F1PF2=90°，可得PF1⊥PF2，m+n=6，m2+n2=20∴36=20+2mn得2mn=16，即mn=8，∴|PF1|•|PF2|=8．故答案为：815．若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=23或13．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的方程，找出圆心坐标和半径r，根据平移规律“上加下减，左加右减”表示出平移后直线的方程，根据平移后直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），半径r=1，直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后解析式为：3（x﹣2）+4（y﹣3）+m=0，即3x+4y+m﹣18=0，由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d==1，解得：m=23或13．故答案为23或13．16．已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：①x+y的最小值为；②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．以上结论正确的有①③④（用序号表示）【考点】圆的一般方程．【分析】根据圆的标准方程得到圆的参数方程，由x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，判断①正确；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故直线和圆可能相切、相交，判断②不正确；由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称，求出点M到AB的距离为15，故AB的方程为y=18﹣15=3，判断③正确；利用圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），从而得到x，y∈N*时xy的值，判断④正确．【解答】解：方程x2+y2+4y﹣96=0 即x2+（y+2）2=100，表示以（0，﹣2）为圆心，以10为半径的圆．令x=10cosθ，y=﹣2+10sinθ，有x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，故①正确；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）即m（x﹣2y+16）﹣（2x+y﹣8）=0，表示过x﹣2y+16=0 与2x+y﹣8=0交点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，故②不正确；过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称．而切线MA=，MA 与y轴的夹角为30°，点M到AB的距离为MA•cos30°=15，故AB的方程为y=18﹣15=3，故③正确；圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），若x，y∈N*，则xy的值为36或32，故④正确．综上，①③④正确，故答案为：①③④．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x ﹣2y﹣6=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出交点坐标，利用与直线x﹣2y﹣6=0垂直，求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，根据点到直线的距离公式，建立方程，即可求实数a的值．【解答】解：（1）联立两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0，得交点（1，6），∵与直线x﹣2y﹣6=0垂直，∴直线l的方程为2x+y﹣8=0；（2）∵点P（a，1）到直线l的距离为，∴=，∴a=6或1．18．求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过两点；（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程；（2）由椭圆，求得焦点坐标，设所求椭圆的方程为，（a2＞5），将A（﹣3，2）代入椭圆方程，求得a2的值，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），∵椭圆经过点，∴，解得m=，n=，∴所求的椭圆方程为；（2）∵椭圆的焦点为F（±，0），∴设所求椭圆的方程为，（a2＞5），把点（﹣3，2）代入，得，整理，得a4﹣18a2+45=0，解得a2=15，或a2=3（舍）．∴所求的椭圆方程为．19．（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】（1）首先设所求圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，然后根据点A （5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）在圆上列方程组解之；（2）由已知得AB⊥AC，AB=4，AC=5，BC=12，由此求出△ABC内切圆的半径和圆心，由此能求出△ABC内切圆的方程．【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，①因为A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，所以△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25．（2）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，∴△ABC内切圆的半径r==2，圆心（2，2），∴△ABC内切圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．20．已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．（1）求C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B 两点，求AB的长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆的短轴长为4，焦距为2．可得a，b；（2）过F1倾斜角为45°的直线l：y=x+1．把y=x+1．代入圆的方程为：．得7x2+8x﹣8=0，由韦达定理及弦长公式可计算AB．【解答】解：（1）∵椭圆的短轴长为4，焦距为2．∴a=2，c=1，b=，椭圆的方程为：．（2）由（1）得椭圆C的左焦点F1（﹣1，0），过F1倾斜角为45°的直线l：y=x+1．把y=x+1．代入圆的方程为：．得7x2+8x﹣8=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），x1，+x2=﹣，x1x2=﹣，AB==．21．已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切（Ⅰ）求圆M的标准方程；（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1x2，求直线L的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），由直线3x﹣4y+9=0与圆M相切可求出a值，进而可得圆M的标准方程；（Ⅱ）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）所以由已知得：整理得：7k2﹣24k+17=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）设A、B、P的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理及向量知识，即可求t的范围．【解答】解：（1）由题意知，…1分所以．即a2=2b2．…2分又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴，…3分，则a2=2．…4分故椭圆C的方程为．…6分（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分且，．∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．当t=0时，不满足；当t≠0时，解得x==，y===，∵点P在椭圆上，∴，化简得，16k2=t2（1+2k2）…8分∵＜，∴，化简得，∴，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分∴或，∴实数取值范围为…12分。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕考试时间 : 120分钟 总分值 : 150分一、选择题1.sin105︒的值为〔 〕 A. 322+ B. 624+ C. 122 D. 6-24【答案】B【解析】【分析】根据两角和的正弦公式计算即可. 【详解】231sin105sin(6045)sin 60cos45cos60sin 45()222︒=︒+︒=︒︒+︒︒=+ 624+=, sin105∴︒=624+, 应选 : B 【点睛】此题主要考查了两角和的正弦公式 , 特殊角的三角函数值 , 属于容易题.2.已知等差数列{}n a 中 , 47a = , 74a = , 那么公差d 的值为〔 〕A. 12B. 1C. 1-D. 12- 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式计算即可求解.【详解】因为等差数列{}n a 中 , 47a = , 74a = ,所以417136a a d a a d =+⎧⎨=+⎩ ,解得1d =- ,应选 : C【点睛】此题主要考查了等差数列的通项公式 , 考查了运算能力 , 属于容易题.3.已知1sin cos 2x x -= , 那么sin 2x =〔 〕 A. 12 B. 14 C. 34 D. 32【答案】C【解析】【分析】将条件等式两边平方 , 利用22sin cos 1x x += , 结合二倍角公式 , 即可求解. 【详解】因为1sin cos 2x x -= , 所以221sin cos 2sin cos 4x x x x +-=, 所以3sin 24x =． 应选 : C. 【点睛】此题考查应用同角间的三角函数关系、三角恒等变换求值 , 属于基础题．4.假设110a b<< , 那么以下结论不正确的选项是〔 〕 A. 22a b < B. 2ab b < C. 2b a a b +> D.a b a b +>+【答案】D【解析】【详解】试题分析 : 因为110a b << , 所以<<0b a , 所以 : (A)22a b <正确 ;(B) 因为<0b , 所以在<b a 两边同时乘以b , 得2ab b < , 正确‘(C) 因为<<0b a , 0,0b a a b >> , 所以2b a a b+> , 正确 ; (D) 当=-4,=-1b a 时 , a b a b +=+ , 故错误．应选D.5.在ABC 中 , 内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且2b = , 120B =︒ , 45C =︒ , 那么边c 的大小是〔 〕 A. 2 B. 3 C. 2 D. 263【答案】D【解析】【分析】 根据正弦定理直接计算即可求解.【详解】因为2b = , 120B =︒ , 45C =︒ , 所以2sin sin c B C=, 即2sin 226sin 332C c B ===, 应选 : D【点睛】此题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用 , 属于容易题.6.等差数列{}n a 中 , 10240S = , 那么47a a +的值是〔 〕A . 60 B. 24 C. 36 D. 48【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质及求和公式即可求解.【详解】因为等差数列{}n a 中 , 110104710()2405()2a a S a a +===+, 所以4748a a += ,应选 : D【点睛】此题主要考查了等差数列的求和公式 , 等差数列的性质 , 属于中档题.7.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和 , 121616a a = , 那么63S S 的值为〔 〕A. 98B. 9C. 9或7-D. 98或78【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式即可求解.【详解】因为121616a a = ,所以4121216a a q = , 即214q =, 解得12q =或12q =- 而6363319118S q q S q -==+=-或78, 应选 : D【点睛】此题主要考查了等比数列的求和公式 , 通项公式 , 属于中档题.8.化简22cos 5sin 5sin 40sin 50︒-︒︒︒的结果为〔 〕 A. 1 B. 12 C. 2 D. 1-【答案】C【解析】【分析】根据正弦余弦的二倍角公式及诱导公式化简即可求值. 【详解】22cos 5sin 5cos10cos102cos1021sin 40sin 50sin 40cos 40cos10sin802︒-︒︒︒︒====︒︒︒︒︒︒, 应选 : C【点睛】此题主要考查了三角恒等变形 , 二倍角公式 , 诱导公式 , 属于中档题.9.在ABC , 120C =︒ , 1tan tan 3A B = , 那么tan tan A B +的值为〔 〕A. 433B. 233C. 334D. 332【答案】B【解析】【分析】根据两角和正切公式的变形可求出. 【详解】因为tan tan tan()1tan tan A B A B A B++=-, 所以tan tan 3tan()tan (tan tan )1213A B C C A B π+-=-==+-, 即23tan tan 3A B +=, 应选 : B【点睛】此题主要考查了两角和的正切公式 , 诱导公式 , 属于中档题.10.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列 , n S 是它的前n 项和 , 假设284a a ⋅= , 且57132a a -=, 那么5S 的值为〔 〕 A. 64 B. 62 C. 60 D. 58【答案】B【解析】【分析】根据条件 , 联立方程组 , 求出首项和公比 , 代入求和公式即可求解.【详解】因为数列{}n a 为各项均为正数的等比数列且22854a a a ⋅== , 所以52a = , 又57132a a -=, 所以712a = ,由451671212a a q a a q ⎧==⎪⎨==⎪⎩, 解得 : 1132,2a q == , 所以515132(1)(1)32621112a q S q --===-- , 应选 : B【点睛】此题主要考查了等比数列的通项公式 , 求和公式 , 属于中档题.11.有一块半径为2 , 圆心角为45°的扇形钢板 , 从这个扇形中切割下一个矩形〔矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上 , 且矩形的一边在扇形的半径上〕 , 那么这个内接矩形的面积最大值为〔 〕A. 22+B. 22-C. 222-D. 222+ 【答案】C【解析】【分析】如下列图先用所给的角将矩形的面积表示出来 , 建立三角函数模型 , 再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值.【详解】如下列图 :在Rt OCB 中 , 设COB α∠= ,那么2cos ,2sin OB BC αα== , 在Rt OAD 中 , tan 451DA OA︒== , 所以2sin OA DA α== , 2cos 2sin AB OB OA αα∴=-=- ,设矩形A BCD 的面积为S ,那么()212cos 2sin 2sin 4(sin 2sin )2S AB BC ααααα=⋅=-⋅=-四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析） 2(sin 2cos 2)222sin(2)24πααα=+-=+- , 由于04πα<< , 所以当8πα=时 , =222S -最大 , 应选 : C【点睛】此题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型,求解问题的关键是根据图形建立起三角模型,将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简 , 属于中档题.12.实数a , b , c 满足221a a c b =+--且210a b ++= , 那么以下关系成立的是〔 〕A . b a c >≥B. c a b ≥>C. b c a >≥D.c b a ≥>【答案】D【解析】【分析】根据等式221a a c b =+--可变形为2(1)a c b -=- , 利用完全平方可得,c b 大小 , 由210a b ++=得21a b =-- , 做差b a - , 配方法比拟大小.【详解】由221a a c b =+--可得2(1)0a c b -=-≥ , 利用完全平方可得所以c b ≥ ,由210a b ++=可得21a b =-- , 22131()024b a b b b ∴-=++=++> , b a ∴> ,综上c b a ≥> ,应选 : D【点睛】此题主要考查了做差法比拟两个数的大小 , 考查了推理与运算能力 , 属于难题.二、填空题13.已知直线l 斜率的取值范围是()3,1- , 那么l 的倾斜角的取值范围是______．【答案】20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】【分析】 根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线l 斜率的取值范围是()3,1- ,所以当斜率01k ≤<时 , 倾斜角04πα≤< , 当斜率30k -<<时 , 倾斜角23παπ<< , 综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭, 故答案为 : 20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】此题主要考查了直线的斜率 , 直线的倾斜角 , 属于中档题.14.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 那么tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】13-【解析】【分析】 根据诱导公式化简可得tan 2α= , 利用两角差的正切求解即可.【详解】()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, sin 2cos αα∴-=-,即tan 2α= ,tantan 1214tan 41231tan tan 4παπαπα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+ , 故答案为 : 13- 【点睛】此题主要考查了诱导公式 , 两角差的正切公式 , 同角三角函数基本关系 , 属于中档题.15.不等式()2260x x x ---≥的解集是______． 【答案】{2x x =-或3}x ≥【解析】【分析】 由260x x --≥ , 可知20x -≥ , 转化为不等式组求解即可.【详解】因为()2260x x x ---≥ ,所以22060x x x -≥⎧⎨-->⎩或260x x --= , 即23x x ≥⎧⎨>⎩或22x x ≥⎧⎨<-⎩或2x =-或3x = 解得2x =-或3x ≥ ,故答案为 : {2x x =-或3}x ≥【点睛】此题主要考查了一元二次不等式的解法 , 一次不等式的解法 , 属于中档题.16.已知正数x , y 满足2x y += , 假设2212x y a x y ≤+++恒成立 , 那么实数a 的取值范围是______． 【答案】4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】 将2212x y x y +++变形为1414122411212x y x y x y ++-+++-=-++++++ , 利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解. 【详解】因为2x y += , 所以2222(1)2(1)1(2)4(2)41212x y x x y y x y x y +-+++-+++=+++++1414122411212x y x y x y =++-+++-=-++++++ , 而14114124(1)19(12)()1()1241251251255y x x y x y x y x y +++=++++=++≥+⨯=++++++ , 当且仅当24(1)12y x x y ++=++ , 即24,33x y ==时等号成立 , 所以22149411121255x y x y x y +=-++≥-+=++++ , 故知45a ≤ , 故答案为 : 4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】此题主要考查了式子的变形化简 , 均值不等式 , 〞1〞的技巧 , 属于难题.三、解答题17.解关于x 的不等式2220x ax ++>.【答案】答案见解析【解析】【分析】先利用判别式讨论2220x ax ++=是否有解进行分类讨论,再利用求根公式求出方程的解,进一步解得不等式【详解】对于方程2220x ax ++=,其判别式()()21644a a a ∆=-=+-, ①当>0∆时,即4a >或4a 时,方程2220x ax ++=的两根为211(16)4x a a =--- ,221(16)4x a a =-+- ∴原不等式的解集为2211|(16(16)44x x a a x a a ⎧⎫<--->-+-⎨⎬⎩⎭或 ②当0∆=时,即4a =±,当4a =时,方程有两个相等实根,121x x ==-,∴原不等式的解集为{}|1x x ≠- ; 当4a =-时,方程有两个相等实根,121x x ==, ∴原不等式的解集为{}|1x x ≠③当∆<0时,即44a -<<时,方程无实根,∴原不等式的解集为R综上,当4a >或4a 时原不等式的解集为2211|(16(16)44x x a a x a a ⎧⎫<--->-+-⎨⎬⎩⎭或 ; 当4a =时,原不等式的解集为{}|1x x ≠- ; 当4a =-时,原不等式的解集为{}|1x x ≠ ; 当44a -<<时原不等式的解集为R【点睛】此题考查分类讨论思想解不等式,考查含参不等式的解法,属于中档题18.在ABC , 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且cos cos ()cos b A c B c a B -=-.〔1〕求角B 的值 ;〔2〕假设ABC 的面积为33 , 13b = , 求a c +的值.【答案】〔1〕3B π=〔2〕7【解析】试题分析 :〔1〕由正弦定理把已知等式化为角的关系 , 再利用两角和与差的正弦公式及诱导公式求得1cos 2=, 从而得3B π= ; 〔2〕由三角形面积公式1sin 2S ac B =及已知可得12ac = , 再利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求得a c +.试题解析 :〔1〕∵()cos cos cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理 , 得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-.∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++= , ∴()sin sin A B C +=.又∵0C π<< , 1cos 2B ∴=.又()0B π∈， , 3B π∴=. 〔2〕据〔1〕求解知3B π=, ∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.① 又1sin 332S ac B == , ∴12ac = , ② 又13b = , ∴据①②解 , 得7a c +=.19.在等差数列{}n a 中 , 3726a a +=- , 5938a a +=-．〔1〕求数列{}n a 的通项公式 ;〔2〕设数列{}n n a b +是首项为1 , 公比为t 的等比数列 , 求{}n b 的前n 项和n S ．【答案】〔1〕32n a n =-+〔2〕232n n n S += 【解析】【分析】〔1〕根据等差数列条件列方程组 , 即可求通项公式 ;〔2〕先由等比数列通项公式求出1n n n a b t -+= , 解得132n n b n t -=-+ , 分组求和即可.【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差是d ,由已知()5937412a a a a d +-+==- , 3d ∴=- ,3712826a a a d ∴+=+=- , 得11a =- ,∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．〔2〕由数列{}n n a b +是首项为1 , 公比为t 的等比数列 ,1n n n a b t -+= , 1132n n n n b t a n t --=-=-+ ,()()()22121314732112n n n n n S n t t t t t t ---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦．当1t ≠时 , 23121nn n n t S t--=+-． 当1t =时 , 223322n n n n n S n -+=+=．【点睛】此题主要考查了等差数列的通项公式 , 等比数列的通项公式 , 等差、等比数列的求和公式 , 属于中档题.20.已知函数()()223sin cos 2cos0ωωωω=+>f x x x x 的周期为3π． 〔1〕求函数()f x 的单调递增区间和最值 ;〔2〕当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 函数()()21g x f x m =-+恰有两个不同的零点 , 求实数m 的取值范围．【答案】〔1〕(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭．()min 1f x =-．()max 3f x =．〔2〕3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】〔1〕由二倍角公式及降幂公式化简函数 , 根据函数周期求出ω , 写出函数单调增区间、最值即可 ; 〔2〕根据0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 求出函数()f x 的值域 , 并结合图象 , 根据21y m =-与()y f x =图象有2个交点 , 即可求解.【详解】〔1〕()223sin cos 2cos 3sin 21cos22sin 216f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ 又因为周期为3π , 所以2263πωπ== , 3ω= ,()2sin 616f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭ , 令262,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, 解得,39318k k x k Z ππππ-≤≤+∈ 故其单调递增区间为(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．当()318k x k z ππ=+∈时 , ()max 3f x =． 当()39k x k z ππ=-∈时 , ()min 1f x =-． 〔2〕0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 76666x πππ∴≤+≤． 令76,666t x t πππ=+≤≤ , 那么72sin ,[,]66y t t ππ=∈ , 由函数()()21g x f x m =-+恰有两个不同的零点 ,得函数72sin ,[,]66y t t ππ=∈的图像与直线22y m =-恰有两个不同的交点 , 如下列图 :结合图像可知1222m ≤-< , 即322m ≤< , 综上 , 实数m 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】此题主要考查了三角函数的恒等变形 , 正弦型函数的图象与性质 , 零点与函数图象交点的转化 , 属于中档题.21.已知数列{}n a 满足11a = , 13n n a a λ+=+〔λ为常数〕． 〔1〕试探究数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为等比数列 , 并求n a ;〔2〕当2λ=时 , 求数列12n n a λ⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项 , 3为公比的等比数列．1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．〔2〕11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】 (1)根据数列的递推公式可得数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项 , 3为公比的等比数列 , 即可求出通项公式 ;(2)由〔1〕计算出数列12n n a λ⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的通项公式 , 然后根据错位相减法即可求出前n 项和T n . 【详解】〔1〕13n n a a λ+=+ , 111322n n a a λλ+⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭ , 又11a = , 所以当2λ=-时 , 1102a λ+= , 数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭不是等比数列． 此时1102n n a a λ+=-= , 即1n a = ; 当2λ≠-时 , 1102a λ+≠ , 所以102n a λ+≠． 所以数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项 , 3为公比的等比数列． 此时1111322n n a λλ-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ , 即1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 〔2〕由(1)知1231n n a -=⋅- , 所以()1123n n n a n -+=⨯ ,121222323323n n T n -=+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯① ,2332322323323n n T n =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯② ,-①②得 : ()122223+3323n n n T n -=++⋅⋅⋅+-⨯ ()1313222313n n n --=+-⨯- 所以11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 【点睛】此题主要考查了数列的递推公式 , 考查数列的求和方法:错位相减法 , 考查运算能力 , 属于中档题.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S , 且()314n n S a += , n *∈N〔1〕求{}n a 的通项公式 ;〔2〕求证 : 312234+11415++++>-n n S S S S n S S S S ． 【答案】〔1〕134n n a -=⋅ , n *∈N ．〔2〕见解析【解析】【分析】 〔1〕由数列前n 项和与通项关系可证明数列为等比数列 , 写出通项公式即可 ; 〔2〕根据等比数列前n 项和公式化简 , 利用放缩法证明不等式即可.【详解】〔1〕当1n =时 , ()11314a a += , 解得13a = ;当2n ≥时 , 334n n S a += , 11334n n S a --+= ;两式相减得1344n n n a a a -=- , 即()142n n a a n -=≥ ,所以数列{}n a 是公比为4 , 首项为3的等比数列134n n a -=⋅ , n *∈N ．〔2〕由1知41nn S =- 故()1114113414441n n n n n S S +++-==--- 又因为()()144115444154440n n n n n +-=⨯+-≥⨯-≥那么()()13154441nn n N *+≤∈⨯- 111454n nn S S +≥-⨯ 所以122231111145444n n n S S S n S S S +⎛⎫++⋅⋅⋅+≥-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ 1111111441145415441514n n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅=-->- ⎪⎝⎭-． 【点睛】此题主要考查了由递推关系证明数列为等比数列 , 等比数列的通项公式 , 放缩法证明数列不等式 , 属于难题.。
【20套试卷合集】四川省成都七中2019-2020学年数学七上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年七上数学期中模拟试卷含答案时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每小题3分，共30分）1、－2 016的绝对值是 ( )A ．－2 016B ．2 016 C.12 016 D ．－12 0162、已知下列各式：abc ，2πR ，x ＋3y ，0，x －y 2，其中单项式的个数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3、如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是 （ ）A ．a+b ＞0B ．ab ＞0C ．a ﹣b ＞0D ．|a|﹣|b|＞04、已知|a|＝5，|b |＝2，且|a －b|＝b －a ，则a ＋b 的值为 ( )A ．3或7B ．－3或－7C ．－3D ．－75、已知方程1(2)60a a x--+=是关于x 的一元一次方程，则a 的值为 （ ） A ．2± B ．－2C ．1D ．2 6、下列方程变形中，正确的是 （ ）A.方程1223+=-x x ，移项，得2123+-=-x xB.方程)1(523--=-x x ，去括号，得1523--=-x xC.方程2332=t ，系数化为1，得1=t D.方程521x x =-，去分母，得x x 2)1(5=- 7、.据萧山区劳动保障局统计,到“十二五”末,全区累计参加各类养老保险总人数达到88.2万人,比“十一五”末增加37.7万人,参加各类医疗保险总人数达到130.5万人.将数据130.5万用科学记数法(精确到十万位)表示为 ( )A.1.3×102B.1.305×106C.1.3×106D.1.3×1058、今天数学课上,老师讲了多项式的加减,放学后,小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师讲的内容，他突然发现一道题()2222221131342222x xy y x xy y x y ⎛⎫⎛⎫-+---+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭空格的地方被钢笔水弄污了，那么括号中的一项是 （ ）A ．-7xy B. 7xy C.-xy D.xy9、在一次美化校园活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍、问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x 人，则下列方程中正确的是A．32+x=2×18 B．32+x=2（38﹣x）C．52﹣x=2（18+x）D．52﹣x=2×1810、某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元（）A．838 B．924 C．924或838 D．838或910二、填空题（每小题3分，共24分）11、若代数式﹣2a3b m与3a n+1b4是同类项，则mn=12、数轴上与表示数－3的点的距离是5的点表示的数是________。
2019-2020年高一下学期期中考试 数学试题 含答案(I)
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第6页。
考试时间为120分钟，满分为150分。
2019-2020年高一下学期期中考试 数学试题 含答案(I)一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．不等式20x y ->表示的平面区域（阴影部分）为A BCD2．如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的是A B ．11a b< C ．22a b < D ．||||a b > 3．. 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c,若角A 、B 、C 依次成等差数列，且2212)(b c a +=+，则△ABC 的面积为A ．336-B ．936-C ．3D ．32 4．在等比数列{}n a 中，若n a >0且3764a a =，则5a 的值为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．85．在A B C △中，3A π∠=，3B C =，A B C ∠=A.4π或34π B.34πC.4π D.6π6．已知等比数列的公比为2,若前4项之和为1,则前8项之和为( ) A.15 B.17 C.19 D.21 7．已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是A. 3B. 4C. 92D. 1128．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0， S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5＝S 6 B ．S 5＜S 6 C ．S 6＝0 D ．S 5＞S 6 9．数列{a n }的通项公式2cos 41πn a n +=，其前n 项和为S n ，则S 2012等于（ ） A.1006 B.2012 C.503 D.010．不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于A.43B.23C.32 D. 3411. 若关于x 的不等式2－2x >|x －a| 至少有一个负数解，则a 的取值范围为（ ） A. 7,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.5,24⎛⎫-⎪⎝⎭ C.7,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭12. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若数列{}n a 是等差数列，且30a <，则()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值 A.恒为正数 B.恒为负数C.恒为0D.可正可负开滦二中2012-2013学年第二学期高一年级期中考试试题第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年四川省成都七中高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年四川省成都七中高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x<5}，B={x|1<x≤7}，则A∪B为()A. {x|1<x≤7}B. {x|−3<x<7}C. {x|1<x<7}D. {x|−3<x≤7}2.下列变量是线性相关的是()A. 人的身高与视力B. 角的大小与弧长C. 收入水平与消费水平D. 人的年龄与身高3.命题“∃x∈R，x2+2x+a≤0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+2x+a≤0B. ∃x∈R，x2+2x+a>0C. ∀x∈R，x2+2x+a>0D. ∃x∈R，x2+2x+a≤04.函数f(x)=lgx−9x的零点所在的大致区间是()A. (9,10)B. (8,9)C. (7,8)D. (6,7)5.某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. 45B. 12C. 56D. 376.执行如图所示的程序框图，输出的结果为()．A. (−2,2)B. (−4,0)C. (−4,−4)D. (0,−8)7. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤1x ≥0y ≥0则z =y −x 的最大值为( )A. 1B. 0C. −1D. −28. 已知m 为一条直线，α,β为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A. 若m//α,α//β,则m//βB. 若α⊥β,m ⊥α,则m//βC. 若m//α,α⊥β,则m ⊥βD. 若m ⊥α,α//β,则m ⊥β 9. 已知复数z =−√3+3i ，则z 在复平面所对应的坐标是( ) A. (3,√3) B. (√3,3)C. (3,−√3)D. (−√3,3) 10. 关于函数y =sin(2x −π3)，下列说法正确的是( ) A. 周期为2πB. x =2π3是它的一条对称轴 C. 有一个对称中心为(π6,0)D. 在[0,π2]上单调递增 11. 已知e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 是两个单位向量，且夹角为π3，则(e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )⋅(−2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )=( ) A. −32 B. −√36 C. 12 D. √3312. 已知函数f (x )={−x 3+x 2,x <1a (2e−x )lnx x+1,x ≥1,若曲线y =f(x)上始终存在两点P ，Q ，使得OP ⊥OQ ，且PQ 的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. (0,1e ]C. [1e ,+∞)D. [e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,2)则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线与方程为(x −2)2+y 2=3的圆相切，则此双曲线的离心率为______ ．15. 中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =2，ED =1，若鳖臑P −ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P −ABCD 的外接球的表面积等于______．16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S =a 2−(b −c)2，则tan A 2=________，sin A2=________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =2S n 22Sn −1(n ≥2,n ∈N +). (Ⅰ)求证：数列{1S n }是等差数列； (Ⅱ)证明：13S 1+15S 2+17S 3+⋯+12n+1S n <12．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，侧棱均相等，底面ABCD为平行四边形，AC，BD的交点为O．(1)求证：AD//平面SBC；(2)求证：SO⊥底面ABCD．19.有一个容量为50的样本，其数据的茎叶图如图：(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1,0)，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0).当l ⊥x 轴时，△ABM 的面积为√22． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线AM 、BM 的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1+k 2=0．21. 已知函数f(x)=x 2e ax (a <0)．(1)若a =−1，求曲线y =f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若对任意x 1，x 2∈[0,2]，f(x 1)−1≤x2x 22+1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系的单位长度相同.已知圆C 1的极坐标方程为ρ=4(cosθ+sinθ)，P 是C 1上一动点，点Q 在射线OP 上且满足|OQ |=12|OP |，点Q 的轨迹为C 2(1)求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；(2)已知直线l 的参数方程为{x =2+tcosφ,y =tsinφ,(t 为参数，0≤φ<π)，l 与曲线C 2有且只有一个公共点，求φ的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x+1|．(1)求函数f(x)的值域M；(2)若a∈M，试比较|a−1|+|a+1|，32a ，72−2a的大小．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的并集的运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键，属于基础题．根据A、B的范围，求出其并集即可．【解答】解：∵A={x|−3<x<5}，B={x|1<x≤7}，∴A∪B={x|−3<x≤7}，故选：D．2.答案：C解析：解：对于A，人的身高与视力没有什么关系，不是线性相关关系；对于B，同一圆中，角的大小与弧长是确定的关系，是函数关系，不是线性相关关系；对于C，收入水平与消费水平是一种正相关关系；对于D，人的年龄与身高不具有相关关系．故选：C．根据相关关系的定义分别进行判断，即可得出正确的结论．本题考查了两个变量间的相关关系的判断问题，解题时应根据相关关系的定义进行解答，是基础题目．3.答案：C解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+2x+a≤0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+a>0．故选：C．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4.答案：A在它的定义域内是增函数，且是连续函数，解析：解：由于函数f(x)=lgx−9xf(9)<0，f(10)>0，故函数f(x)=lgx−9的零点所在的大致区间是(9,10)，x故选A．由于函数f(x)=lgx−9x在它的定义域内是增函数，且是连续函数，f(9)<0，f(10)>0，从而得到函数的零点所在的大致区间．本题考查函数零点的判定定理，解题的关键是理解零点的定义以及零点判定定理，属于基础题．5.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点是几何概型，是基础的计算题．求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为x，当x在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P=2040=12，故选B．6.答案：B解析：【分析】本题考查程序框图的循环结构，模拟运行求解即可．【解答】解：第一次循环，S=0，t=2，x=0，y=2，k=1，第二次循环，S=−2，t=2，x=−2，y=2，k=2，第三次循环，S=−4，t=0，x=−4，y=0，k=3，此时退出循环，所以输出的(x,y)为(−4,0)．故选B．7.答案：A解析：【分析】本题考查利用线性规划的知识求目标函数的最值的方法，属于较易题．画出不等式组所表示的区域，找准目标函数的几何意义是关键．【解答】解：不等式组所表示的区域为下图中三角OAB的内部及边界．目标函数z的几何意义为斜率为1的直线在y轴上的截距，由图可知B点坐标为最优解，B(0,1)，所以z max=1−0=1故选A．8.答案：D解析：↵【分析】本题考查线与线、线与面、面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，根据题意逐项进行判断即可得到结果.属基础题．【解答】解：对于A，若m//α，α//β，则m、β位置关系不定，故错；对于B，若，α⊥β,m⊥α，则m//β或m⊂β，故错；对于C，若m//α，α⊥β，则m、β位置关系不定，故错；对于D，若m⊥α，α//β，则m⊥β，根据线面垂直、面面平行的性质、可判定m⊥β，故正确．故选D．9.答案：D解析：【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接由复数z写出z在复平面所对应的坐标．【解答】解：∵复数z=−√3+3i，∴z在复平面所对应的坐标是(−√3,3).故选：D．10.答案：C解析：解：∵y=f(x)=sin(2x−π3)，∴T=2π2=π，故A错误；∵f(2π3)=sinπ=0，∴x=2π3不是它的一条对称轴，故B错误；∵f(π6)=sin0=0，∴有一个对称中心为(π6,0)，故C正确；当x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴f(x)在[0,π2]上不是单调函数，故D错误．∴下列说法正确的是C．故选：C．由函数解析式直接求得周期判断A；分别求出f(2π3)，f(π6)的值判断B，C，由复合函数的单调性判断D．本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，是基础题．11.答案：A解析：【分析】本题考查平面向量的数量积运算，是基础题．由已知可得e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =12，进一步代入数量积公式即可求得答案．【解答】解：∵e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 是两个单位向量，且夹角为π3，，∴(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(−2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=−2e1⃗⃗⃗ 2+5e1⃗⃗⃗ e2⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ 2=−2+52−2=−32．故选A．12.答案：C解析：【分析】本题考查了分段函数，利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的极值．利用题目条件得，利用导数研究函数的单调性得函数是单调递增函数，再利用导数研究函数的极值计算得结论．【解答】解：由题意可知点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设，Q(−t,t3+t2)(t>1)，由OP⊥OQ得，即有解，所以有解．令，则，令，则，即函数是单调递增函数．因为x=e时，y=0，所以当t∈(1,e)时，f’(t)<0，函数f(t)是减函数;当t∈(e,+∞)时，f’(t)>0，函数f(t)是增函数，，因此当t=e时，f(t)min=f(e)=1e而当t→1时，f(t)→+∞，,+∞)．因此正实数a的取值范围为[1e故选C．13.答案：4解析：解：向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,2)则a⃗⋅b⃗ =2×1+1×2=4．故答案为：4．直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量的数量积的坐标运算，考查计算能力．14.答案：2解析：解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆相切，=√3，求得b2=3a2，∴圆心到渐近线的距离为√a2+b2∴c2=a2+b2=4a2，∴e=c=2．a故答案为2．先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．15.答案：12π解析：解：鳖臑P−ADE可看做如下图所示的长方体的一部分：则长方体外接球即为鳖臑P−ADE的外接球，∴外接球半径为：12√ED2+AD2+PA2=12√5+PA2，又43π×(12√5+PA2)3=92π，∴PA=2，连接AC，BD，交于O′，取PC中点O，连接OO′，可知：OO′=12PA=1，则OA=OB=OC=OD=√2+1=√3，OP=OC=12PC=12√8+4=√3．可知O为阳马P−ABCD的外接球球心，则外接球半径R=√3，∴阳马P−ABCD的外接球表面积S=4πR2=12π．故答案为：12π．将鳖臑P−ADE放入长方体中，利用长方体体对角线长表示出鳖臑P−ADE半径，利用外接球体积求解出PA；通过长度关系可确定阳马P−ABCD的外接球球心为PC中点，从而可得半径，代入表面积公式求得外接球表面积．本题考查多面体的外接球体积和表面积的相关计算，关键是能够根据多面体的特征确定球心的位置，进而求得半径，是中档题．16.答案：14√17 17解析：【分析】根据S=a2−(b−c)2 =12bc⋅sinA，把余弦定理代入化简可得4−4cosA=sinA，由此求得1−cosAsinA的值．本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，属于中档题．【解答】解：∵△ABC的面积为S，且S=a2−(b−c)2=a2−b2−c2+2bc=12bc⋅sinA，∴由余弦定理可得−2bc⋅cosA+2bc=12bc⋅sinA，∴4−4cosA =sinA ， ∴1−cosA sinA=14， ∴tan A 2=sin A 2cos A 2=sin A 2×2sin A2cos A 2×2sin A 2=1−cosA sinA =14又{tan A 2=14sin 2A 2+cos 2A2=1 ∴sin A2=√1717． 故答案为14 √1717．17.答案：证明：(Ⅰ)数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =2S n 22Sn −1(n ≥2,n ∈N +).则：当n ≥2时，S n −S n−1=2S n 22Sn −1，整理得：S n−1−S n =2S n−1S n ， 所以：1S n−1Sn−1=2(常数)．所以：数列{1S n}是以1S 1=1为首项，2为公差的等差数列．证明：(Ⅱ)由(Ⅰ)得：1S n=1+2(n −1)=2n −1，所以：S n =12n−1， 当n =1时，符合通项． 故：12n+1⋅S n =12(12n−1−12n+1)， 所以：13S 1+15S 2+17S 3+⋯+12n+1S n ， =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)，=12(1−12n +1)<12解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式． (Ⅱ)利用列想想效法求出数列的和．本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式及应用，利用裂项相消法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.答案：(本小题满分12分)证明：(1)∵底面ABCD 为平行四边形，∴AD//BC ，…(2分) ∵AD ⊄平面SBC ，BC ⊂平面SBC ，…(4分) ∴AD//平面SBC.…(6分)(2)∵底面ABCD 为平行四边形，∴O 是AC 的中点， ∵SA =SC ，∴SO ⊥AC ，…(8分)同理，O 是BD 的中点，SB =SD ，∴SO ⊥BD ，…(9分) ∵AC ，BD 是平面ABCD 内的两条相交直线，…(11分) ∴SO ⊥底面ABCD.…(12分)解析：(1)推导出AD//BC ，由此能证明AD//平面SBC ． (2)推导出SO ⊥AC ，SO ⊥BD ，由此能证明SO ⊥底面ABCD ．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.答案：略解析：(1)由茎叶图可知，数据的最大值为33，最小值为13，分组为7组，可以将区间定为，组距为3，则频率分布表为：(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：20.答案：解：(1)依题意得c 2=a 2−b 2=1，即b 2=a 2−1，所以当x =1时，解得y =±a 2−1a ，当l ⊥x 轴时，|AB|=2(a 2−1)a， 因为|MF|=1，所以S △ABM =12|AB|×|MF|=a 2−1a=√22，解得a =√2，所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)当l 与x 轴重合时，k 1=k 2=0，满足条件；当l 与x 轴垂直时，满足条件， 当l 与x 轴不重合且不垂直时，设l 为y =k(x −1)(k ≠0)，设点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 把l 的方程代入x 22+y 2=1，得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，因为k 1+k 2=y 1x1−2+y 2x 2−2=2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)， 而2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k =2k(2k 2−2)2k +1−3k−4k 22k +1+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k +1=0，所以，k 1+k 2=0．解析：(1)由已知条件得b 2=a 2−1，利用通径公式得出|AB|的表达式，再由△ABM 的面积得出有关a 的方程，求出a 的值，可得出椭圆C 的标准方程；(2)对直线l 与x 轴垂直、与y 轴垂直以及与斜率存在且不为零三种情况讨论． 在前两种情况下可直接进行验证；在第三种情况下，设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理，通过化简计算得出结论成立．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查计算能力与推理能力，属于难题．21.答案：解：(1)依题意，f(x)=x 2e −x ，f′(x)=2xe −x −x 2e −x ，故f′(1)=1e ，又f(1)=1e ，故所求切线方程为y −1e =1e (x −1)，即y =1e x ； (2)令g(x)=xx 2+1，故函数g(x)的定义域为R ， g′(x)=1−x 2(x 2+1)2=(1−x)(1+x)(x 2+1)2．当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：因为g(0)=0，g(2)=5>0，所以x ∈[0,2]时，函数g(x)的最小值为g(0)=0； 因为f′(x)=(ax 2+2x)e ax . 因为a <0，令f′(x)=0得，x 1=0，x 2=−2a ． (ⅰ)当−2a ≥2，即−1≤a <0时，在[0,2]上f′(x)≥0， 所以函数f(x)在[0,2]上单调递增， 所以函数[f(x)]max =f(2)=4e 2a ．由4e 2a ≤1得，a ≤−ln2，所以−1≤a ≤−ln2．(ⅰ)当0<−2a <2，即a <−1时，在[0,−2a )上f′(x)≥0，在(−2a ,2]上f′(x)<0，所以函数f(x)在[0,−2a )上单调递增，在(−2a ,2]上单调递减， 所以[f(x)]max =f(−2a )=4a 2e 2， 由4a 2e 2≤1得，a ≤−2e ，所以a <−1． 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−ln2]．解析：(1)求出函数的导数，计算f′(1)，f(1)，求出切线方程即可；(2)令g(x)=xx 2+1，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，通过讨论a 的范围求出f(x)的最大值，求出a 的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：(1)设点P ，Q 的极坐标分别为(ρ0,θ)，(ρ,θ)，则ρ=12ρ0=12⋅4(cosθ+sinθ)=2(cosθ+sinθ)， 点Q 的轨迹C 2的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)， 两边同乘以ρ，得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ)，C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=2x +2y ，即(x −1)2+(y −1)2=2．(2)将l 的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，得(tcosφ+1)2+(tsinφ−1)2=2， 即t 2+2(cosφ−sinφ)t =0，t 1=0，t 2=2(sinφ−cosφ)，由直线l 与曲线C 2有且只有一个公共点，得sinφ−cosφ=0，因为0≤φ<π，所以φ=π4．解析：本题考查了极坐标方程、直角坐标方程的转化，参数方程中参数的意义，考查了方程思想，属中档题．(1)设点P ，Q 的极坐标分别为(ρ0,θ)，(ρ,θ)，则ρ=12ρ0=12⋅4(cosθ+sinθ)=2(cosθ+sinθ)，利用，得到C 2的直角坐标方程．(2)将l 的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，得(tcosφ+1)2+(tsinφ−1)2=2，即t 2+2(cosφ−sinφ)t =0，φ的值应使得关于t 的方程有两相等实根． 23.答案：解：(1)f(x)={−3x,x <−12−x,−1≤x ≤123x,x >12，根据函数f(x)的单调性可知， 当x =12时，f(x)min =f(12)=32．所以函数f(x)的值域M =[32,+∞)；(2)因为a ∈M ，所以a ≥32，所以0<32a ≤1，|a −1|+|a +1|=a −1+a +1=2a ≥3， 所以|a −1|+|a +1|>32a ， 因为32a−(72−2a)=4a 2−7a+32a =(a−1)(4a−3)2a，又由a ≥32，知a −1>0，4a −3>0， 所以(a−1)(4a−3)2a >0，所以32a >72−2a ，所以|a −1|+|a +1|>32a >72−2a ．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． (1)求出函数的分段函数的形式，求出f(x)的最小值，从而求出函数的值域即可； (2)根据绝对值的性质，求出a 的范围，根据作差法比较即可．。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题及参考答案
成都七中2019~2020学年度下期高2022届半期考试高一数学试卷考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．(2020 七中高一下半期 1)sin105=( )A.B.C.D. 【答案】B【解析】1sin105sin(6045)sin 60cos 45cos60sin 45)22︒=︒+︒=︒︒+︒︒==, sin105∴︒=故选：B(2020 七中高一下半期 2)已知等差数列{}n a 中，4,774==a a ，则公差d 的值为( )A.12 B. 1 C. 1- D. 12- 【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，47a =，74a =，所以417136a a d a a d =+⎧⎨=+⎩，解得1d =-， 故选：C(2020 七中高一下半期 3)已知21cos sin =-x x ，则x 2sin 的值为( )A.12 B. 14 C. 34D.【答案】C【解析】因为1sin cos 2x x -=， 所以221sin cos 2sin cos 4x x x x +-=， 所以3sin 24x =． 故选：C.(2020 七中高一下半期 4)若011<<ba ，则下列结论中不正确的是( ) A. 22ab < B. 2ab b < C.2b aa b+> D. a b a b +>+ 【答案】D 【解析】因为110a b<<，所以<<0b a ，所以： (A)22a b <正确；(B) 因为<0b ，所以在<b a 两边同时乘以b ，得2ab b <，正确‘ (C) 因为<<0b a ，0,0b aa b >>，所以2b a a b+>，正确； (D) 当=-4,=-1b a 时，a b a b +=+，故错误． 故选D.(2020 七中高一下半期 5)在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且︒︒===45,1202C B b ，，则边c 的大小是( )A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】因为2b =，120B =︒，45C =︒，所以2sin sin cB C=,即2sin sin 3Cc B===, 故选：D(2020 七中高一下半期 6)等差数列{}n a 中，24010=S ，那么74a a +的值是( ) A. 60 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D【解析】因为等差数列{}n a 中，110104710()2405()2a a S a a +===+,所以4748a a +=， 故选：D(2020 七中高一下半期 7)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，161216a a =，则36S S 的值为( ) A.98 B. 9 C. 9或7- D. 98或87 【答案】D【解析】因为121616a a =，所以4121216a a q =，即214q =， 解得12q =或12q =-而6363319118S q q S q -==+=-或78， 故选：D(2020 七中高一下半期 8)化简22cos 5sin 5sin 40sin50︒︒︒︒-的结果为( )A. 1B. 12C. 2D. 1-【答案】C【解析】22cos 5sin5cos10cos102cos1021sin40sin50sin40cos40cos10sin802︒-︒︒︒︒====︒︒︒︒︒︒,故选：C(2020 七中高一下半期9)在31tantan,120==∆︒BACABC中，，则tan tanA B+的值为()A.B. C. D.【答案】B【解析】因为tan tantan()1tan tanA BA BA B++=-,所以tan tan3tan()tan(tan tan)1213A BC C A Bπ+-=-==+-,即tan tan3A B+=，故选：B(2020 七中高一下半期10)已知数列{}n a为各项均为正数的等比数列，n S是它的前n项和，若482=⋅aa，且21375=-aa，则5S的值为( )A. 64B. 62C. 60D. 58【答案】B【解析】因为数列{}n a为各项均为正数的等比数列且22854a a a⋅==，所以52a=，又57132a a-=，所以71 2a=，由4 51671212a a qa a q⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：1132,2a q==，所以515132(1)(1)32621112a qSq--===--，故选：B(2020 七中高一下半期11)有一块半径为2，圆心角为︒45的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上)，则这个内接矩形的面积最大值为( )A. 22+ B. 22- C. 222- D. 222+【答案】C【解析】如图：在Rt OCB中，设COBα∠=，则2cos,2sinOB BCαα==，在Rt OAD中，tan451DAOA︒==，所以2sinOA DAα==，2cos2sinAB OB OAαα∴=-=-，设矩形A BCD的面积为S，则()212cos2sin2sin4(sin2sin)2S AB BCααααα=⋅=-⋅=-2(sin 2cos2)2)24πααα=+-=+-，由于04πα<<，所以当8πα=时，2S 最大，故选：C(2020 七中高一下半期 12)实数c b a 、、满足221a a c b =+--且012=++b a ，则下列关系成立的是( )A. c b a ≥>B. c a b ≥>C. a c b >≥D. c a b >≥ 【答案】D【解析】由221a a c b =+--可得2(1)0a c b -=-≥，利用完全平方可得 所以c b ≥，由210a b ++=可得21a b =--，22131()024b a b b b ∴-=++=++>，b a ∴>，综上c b a ≥>， 故选：D二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共计20分(2020 七中高一下半期 13)已知直线l 斜率的取值范围是()1，则l 的倾斜角的取值范围是 .【答案】20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】因为直线l 斜率的取值范围是()， 所以当斜率01k ≤<时，倾斜角04πα≤<，当斜率0k <<时，倾斜角23παπ<<， 综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 故答案为：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭(2020 七中高一下半期 14)已知()απαπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+cos 22cos ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ4tan . 【答案】13- 【解析】()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,sin 2cos αα∴-=-,即tan 2α=，tantan 1214tan 41231tan tan 4παπαπα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+，故答案为：13-(2020 七中高一下半期 15)不等式()0622≥---x x x 的解集是 .【答案】{2x x =-或3}x ≥【解析】因为(20x -≥，所以22060x x x -≥⎧⎨-->⎩或260x x --=，即23x x ≥⎧⎨>⎩或22x x ≥⎧⎨<-⎩或2x =-或3x =解得2x =-或3x ≥， 故答案为：{2x x =-或3}x ≥(2020 七中高一下半期 16)已知正数y x ,满足2=+y x ，若2122+++≤y y x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为2x y +=，所以2222(1)2(1)1(2)4(2)41212x y x x y y x y x y +-+++-+++=+++++ 1414122411212x y x y x y =++-+++-=-++++++， 而14114124(1)19(12)()1()11251251255y x x y x y x y x y +++=++++=++≥+⨯=++++++， 当且仅当24(1)12y x x y ++=++，即24,33x y ==时等号成立， 所以22149411121255x y x y x y +=-++≥-+=++++， 故知45a ≤， 故答案为：4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． (2020 七中高一下半期 17)解关于x 的不等式 ()R a ax x ∈>++,0222【解析】对于方程2220x ax ++=,其判别式()()21644a a a ∆=-=+-,①当>0∆时,即4a >或4a时,方程2220x ax ++=的两根为11(4x a =- ,21(4x a =-∴原不等式的解集为11|((44x x a x a ⎧⎫<->-+⎨⎬⎩⎭②当0∆=时,即4a =±,当4a =时,方程有两个相等实根,121x x ==-,∴原不等式的解集为{}|1x x ≠-；当4a =-时,方程有两个相等实根,121x x ==, ∴原不等式的解集为{}|1x x ≠③当∆<0时,即44a -<<时,方程无实根,∴原不等式的解集为R 综上,当4a >或4a时原不等式的解集为11|((44x x a x a ⎧⎫<-->-+⎨⎬⎩⎭；当4a =时,原不等式的解集为{}|1x x ≠-；当4a =-时,原不等式的解集为{}|1x x ≠；当44a -<<时原不等式的解集为R(2020 七中高一下半期 18)在ABC ∆内，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、且()B a c B c A b cos cos cos -=-(1)求角B 的大小；(2)若ABC ∆的面积为33，13=b ，求c a +的值． 【答案】(1)3B π=(2)7【解析】(1)∵()cos cos cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-. ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++=，∴()sin sin A B C +=. 又∵0C π<<，1cos 2B ∴=.又()0B π∈，，3B π∴=.(2)据(1)求解知3B π=，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.①又1sin 2S ac B ==12ac =，② 又13b =，∴据①②解，得7a c +=.(2020 七中高一下半期 19)在等差数列{}n a 中，38,269573-=+-=+a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n n b a +是首项为1，公比为t 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S【答案】(1)32n a n =-+(2)232n n nS += 【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差是d ，由已知()5937412a a a a d +-+==-，3d ∴=-，3712826a a a d ∴+=+=-，得11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．(2)由数列{}n n a b +是首项为1，公比为t 的等比数列，1n n n a b t -+=，1132n n n n b t a n t --=-=-+，()()()22121314732112n n n n nS n t t tt t t ---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦．当1t ≠时，23121nn n n t S t --=+-． 当1t =时，223322n n n n nS n -+=+=． (2020 七中高一下半期 20)已知函数()()0cos 2cos sin 322>+=ωωωωx s x x x f 的周期为3π(1)求函数()x f 的单调递增区间和最值;(2)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6,0πx 时，函数()()12+-=m x f x g 恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭．()min 1f x =-．()max 3f x =．(2)3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】(1)()2cos 2cos 21cos 22sin 216f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭又因为周期为3π， 所以2263πωπ==，3ω=，()2sin 616f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭， 令262,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, 解得,39318k k x k Z ππππ-≤≤+∈ 故其单调递增区间为(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． 当()318k x k z ππ=+∈时，()max 3f x =． 当()39k x k z ππ=-∈时，()min 1f x =-． (2)0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 76666x πππ∴≤+≤． 令76,666t x t πππ=+≤≤，则72sin ,[,]66y t t ππ=∈，由函数()()21g x f x m =-+恰有两个不同的零点， 得函数72sin ,[,]66y t t ππ=∈的图像与直线22y m =-恰有两个不同的交点，如图：结合图像可知1222m ≤-<，即322m ≤<，综上，实数m 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．(2020 七中高一下半期 21)已知数列{}n a 满足λ+==+n n a a a 3,111(λ为常数)．(1)试探究数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+λ21n a 是否为等比数列，并求n a ；(2)当2=λ时，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+λ21n a n 的前n 项和n T ．【答案】(1)数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项，3为公比等比数列．1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．(2)11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】(1)13n n a a λ+=+，111322n n a a λλ+⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，又11a =，所以当2λ=-时，1102a λ+=，数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭不是等比数列． 此时1102n n a a λ+=-=，即1n a =； 当2λ≠-时，1102a λ+≠，所以102n a λ+≠． 所以数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项，3为公比的等比数列． 此时1111322n n a λλ-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． (2)由(1)知1231n n a -=⋅-，所以()1123n n n a n -+=⨯，121222323323n n T n -=+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯①， 2332322323323n n T n =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯②， -①②得：()122223+3323n n n T n -=++⋅⋅⋅+-⨯ ()1313222313n n n --=+-⨯- 所以11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． (2020 七中高一下半期 22)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*∈=+N n a S n n ,413(1)求{}n a 的通项公式;(2)求证：15141433221->+++++n S S S S S S S S n n 【答案】(1)134n n a -=⋅，n *∈N ．(2)见解析【解析】(1)当1n =时，()11314a a +=，解得13a =； 当2n ≥时，334n n S a +=，11334n n S a --+=；两式相减得1344n n n a a a -=-，即()142n n a a n -=≥， 所以数列{}n a 是公比为4，首项为3的等比数列 134n n a -=⋅，n *∈N ．(2)由1知41n n S =- 故()1114113414441n n n n n S S +++-==--- 又因为()()144115444154440n n n n n +-=⨯+-≥⨯-≥ 那么()()13154441n n n N *+≤∈⨯- 111454n nn S S +≥-⨯ 所以122231111145444n n n S S S n S S S +⎛⎫++⋅⋅⋅+≥-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ 1111111441145415441514n n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅=-->- ⎪⎝⎭-．。