连续的概念 教案

1
【教学课题】：§1.8 函数的连续性（第一课时）
【教学目的与要求】：①使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写
出函数在一点连续的各种等价叙述；②明确函数在一区间上连续是以函数在一
点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述
的不同内涵。
【教学重点】
：函数在一点处连续的定义。

【教学难点】：
函数在一点处连续的几种等价定义及其应用。

【教学方法】
：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。

【教学过程】：一）引入
所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图像是坐标平面上一条连绵不断的曲线。当然，
我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地
理解概念，而不能揭示概念的本质属性。
为了给出“连续”的定义，我们需要首先给出“增量”的定义。

定义１ 设变量u从它的一个初值1u变到终值2u，终值与初值的差21uu，就叫做变量
u
的增量，记作u，即

u
21
uu

。

假设函数()yfx在某0()Ux内有定义，当自变量在此邻域内由0x变到0xx时，
函数y也相应地由0()fx变到0()fxx，因此函数y的对应增量为

00
()()yfxxfx
假如保持0x不变而让增量x变动，那么函数的增量y也会随之变动，若x趋近于零时，
函数的增量y也趋近于零那么就叫函数()yfx在点0x处是连续的，即有下述定义。
二）函数在一点连续的定义及其等价定义
定义２ 设函数f在某0()Ux内有定义，如果

0lim0xy，或 000lim()()0xfxxfx


那么称函数()yfx在点0x连续。
设0xxx，则当0x时，0xx。而
000

()()()()yfxxfxfxfx

当0y时，0()()fxfx，则f在0x处连续的等价定义；设函数f在某0()Ux内有
定义，如果00lim()()xxfxfx，称函数()yfx在点0x连续。

另外用“—”语言表达f在0x处连续的等价定义：
2

函数()yfx在点0x连续0,0，当0||xx时，0|()()|fxfx。
以前我们已经用“—”语言证明了类似于：00limxxxxee，00lim2121xxxx，

0
0
limnnxxxx
，等等式，还可以证明00limsinsinxxxx，证明如下：考察

0
00

00
sinsin2cossin2222xxxxxxxxxx

其中不妨设022xx，可取min{,}，于是当0||xx时，0|sinsin|xx，
即证。类似还可证明00limcoscosxxxx。现在看来函数,21,,sin,cosxnexxxx均在点
0
x

连续。
函数f在点0x有极限与函数f在点0x连续之间的关系：

１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f在00()Ux内有定义（f在点0x可以没
有定义）。而f在点0x连续则要求f在某0()Ux内有定义（包括0x）。所以，在极限中，要
求00||xx，而当“f在点0x连续”时，换为：0||xx.。
２） 从对极限的要求看：“f在点0x连续”不仅要求“f在点0x有极限”，而且

00lim()()xxfxfx；而在讨论0
lim()xxfx

时，不要求它等于0()fx，甚至于0()fx可以不存

在。
可见，函数()yfx在点0x连续必须具备以下条件：

① ()yfx在点0x处有定义，即0()fx的值存在。
② 0lim()xxfx存在。
③ 00lim()()xxfxfx。

例１：讨论函数1sin,0()0,0xxfxxx在点0x处连续性。
解：由于01sinlim0xxx，而0)0(f，所以此分段函数()fx在0x处连续。
总之：
函数()yfx在点0x连续0lim0xy
3


000lim()()0xfxxfx或00
0lim()()xfxxfx




0
0
lim()()xxfxfx

还要强调的是：000lim()()(lim)xxxxfxfxfx，即“f在点0x连续”意味着“极限运算与

对应法则f可交换。
三）函数在一点左（右）连续的定义

例２： 论函数2,0()2,0xxfxxx在点0x的连续性。
解 因为
2)2(lim)(lim00xxf
xx

2)2(lim)(lim00xxf
xx

而2)0(f，0lim()(0)xfxf，故此函数在0x处不连续。

由于分段函数在分段点处左右函数的表达式不同，所以要讨论左右极限，因此连续也有
相应的左右连续。

定义３ 设函数f在点0()Ux（0()Ux内有定义），若

00lim()()xxfxfx（0
0
lim()()xxfxfx
），

则称f在点0x右（左）连续。
显然，函数f在点0x连续f在点0x既是右连续，又是左连续。
在上述例２中，f在点0x右连续，但不左连续，从而在0x不连续。
四）区间上的连续函数
定义 若函数f在区间Ｉ上每一点都连续，则称f为Ｉ上的连续函数。
对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。例如，
（１）函数,,sin,cosyCyxyxyx是Ｒ上的连续函数；（２）函数21yx在
(1,1)
内每一点都连续。在1x处为左连续，在1x处为右连续，因而它在[1,1]上连

续。
初等函数在其定义区间上为连续函数。

例３函数21sin,0(),0xxfxxaxx，要使()fx在(,)内连续，应当怎样选择
a
？
4

解 因为1sinxx在(0,)内连续，2ax在(,0)内连续，所以只须考虑()fx在
0x
处的连续性即可。

又 001lim()limsin0xxfxxx
2
00lim()lim()xxfxaxa


0a
。

例４ 已知对于一切,xy，有()()()fxyfxfy且函数()fx在0x处连续，

证明：函数()fx在(,)内连续。
证 （只须证明()fx在(,)内任意一点0x处连续即可，由本题条件可选择
00
0lim()()xfxxfx


的形式。）

()()()fxyfxfy，令0xy(0)(0)(0)fff(0)0f
。

又()fx在0x处连续，0lim(0)(0)0xfxf。
对于0(,)x，都有
0000
00lim()()lim[()()()]xxfxxfxfxfxfx



0lim()(0)0xfxf


，

故函数()fx在(,)内连续。
五）小结
本课时的主要内容要求：
① 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连
续的各种等价叙述。
② 明确函数在区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区“连
续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。