2018年高考数学二轮复习课件 专题7 第2讲计数原理与二项式定理(理)(50张)
高考数学二轮复习 专题八 附加题 第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法学案
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第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法
[考情考向分析] 1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用，B级要求.
2.考查n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差，B级要求.3.考查数学归纳法的简单应用，B级要求．
热点一 计数原理与二项式定理
例1 (2018·苏州调研)已知fn(x)＝x2＋3ax3n，n∈N*.
(1)当a＝1时，求f5(x)展开式中的常数项；
(2)若二项式fn(x)的展开式中含有x7的项，当n取最小值时，展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a的值．
解 二项式x2＋3ax3n的展开式通项为
Tr＋1＝Crn()x2n－r3ax3r＝Crn(3a)rx2n－5r (r＝0,1,2，…，n)，
(1)当n＝5，a＝1时，f(x)的展开式的常数项为T3＝9C25＝90.
(2)令2n－5r＝7，则r＝2n－75∈N，所以n的最小值为6，
当n＝6时，二项式x2＋3ax36的展开式通项为
Tr＋1＝Cr6(3a)rx12－5r (r＝0,1,2，…，6)，
则展开式中含x的正整数次幂的项为T1，T2，T3，它们的系数之和为
C06＋C16(3a)＋C26(3a)2＝135a2＋18a＋1＝10，
即15a2＋2a－1＝0，解得a＝－13或15.
思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面：
(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别．
(2)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质．
(3)关于x的二项式(a＋bx)n(a，b为常数)的展开式可以看成是关于x的函数，且当x给予金戈铁骑 某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决．
高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案：专题八-二项式定理与数学归纳法（理科）-含答案
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江苏新高考
本部分内容在高考中基本年年都考，并以压轴题形式考查. ，主要考查组合计数；考复合函数求导和数学归纳法；考查计数原理为主，又涉及到数学归纳法；考查组合数及其性质等基础知识，考查考生的运算求解能力和推理论证能力；考查概率分布与期望及组合数的性质，既考查运算能力，又考查思维能力.
近年高考对组合数的性质要求较高，常与数列、函数、不等式、数学归纳法等知识交汇考查. 第1课时计数原理与二项式定理(能力课)
[常考题型突破]
计数原理的应用
[例1] 一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合{1,2,3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f(n)．
(1)求f(1)，f(2)的值；
(2)求f(n)的表达式．
[解] (1)①当n＝1时，集合{1,2,3}中的一元好集有{3}，共1个；二元好集有{1,2}，共1个；三元好集有{1,2,3}，共1个，所以f(1)＝1＋1＋1＝3.
②当n＝2时，集合{1,2,3,4,5,6}中一元好集有{3}，{6}，共2个；
二元好集有{1,2}，{1,5}，{2,4}，{3,6}，{4,5}，共5个；
三元好集有{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}，共8个；
四元好集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}，共5个；
五元好集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．
故f(2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23.
(2)首先考虑f(n＋1)与f(n)的关系．
集合{1,2,3，…，3n,3n＋1,3n＋2,3n＋3}在集合{1,2,3，…，3n}中加入3个元素3n＋1,3n＋2,3n＋3.故f(n＋1)的组成有以下几部分：
①原来的f(n)个集合；
2018年高考数学 专题14 二项式定理及数学归纳法教学案 理
专题14 二项式定理及数学归纳法
【2018年高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
(1) 二项式定理的简单应用，B级要求；
(2)数学归纳法的简单应用，B级要求
【重点、难点剖析】
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn，上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中Crn(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第r＋1项叫做展开式的通项，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Crnan－rbr；
(2)(a＋b)n展开式中二项式系数Crn(r＝1,2,3，…，n)的性质：
①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即Crn＝Cn－rn；
②C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n；C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1.
2．二项式定理的应用
(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”．
(2)二项式展开式的通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr是展开式的第r＋1项，而不是第r项．
3．数学归纳法
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
4．数学归纳法的应用
(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论．
(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法．
(3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用．
(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n＝k＋1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式.
高考数学二轮复习第2部分专题7第2讲不等式选讲教案文选修4_5
第2讲 选修4－5 不等式选讲
[做小题——激活思维]
1．已知正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为________．
[答案] 13
2．不等式|3x－1|≤2的解集为________．
[答案] －13，1
3．若关于x的不等式|x－3|＋|x－4|
[答案] (1，＋∞)
4．已知a>b>c，若1a－b＋1b－c＋nc－a≥0恒成立，则n的取值范围是________．
[答案] (－∞，4]
5．函数y＝5x－1＋10－2x的最大值为________．
[答案] 63
[扣要点——查缺补漏]
1．|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．如T2.
(2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
2．不等式的证明
(1)绝对值三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.如T3.
(2)算术—几何平均不等式
如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．如T1，T4.
(3)证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点．
含绝对值不等式的解法(5年8考)
[高考解读] 绝对值不等式的解法是每年高考的热点内容，主要为含两个绝对值的不等式的求解，难度适中.
[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
切入点：将g(x)＝|x＋1|＋|x－1|的解析式化为分段函数的形式．
2014年高考数学二轮复习精品资料-高效整合篇专题09 排列组合、二项式定理(理)(教学案)
第 1 页 共 16 页 【高效整合篇】
一．考场传真
1.【2012年辽宁卷】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A.3×3！ B.3×(3！)3 C.(3！)4 D. 9！
2.【2013年浙江卷】将FEDCBA,,,,,六个字母排成一排，且BA,均在C的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）.
3.【2013年重庆卷】从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答). 第 2 页 共 16 页 4.【2013年新课标（I）】设m为正整数，myx2)(展开式的二项式系数的最大值为a，12)(myx展开式的二项式系数的最大值为b，若ba713，则m＝( )
A.5 B.6错误！未找到引用源。 C.7
D.8
5.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】251()axx的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为______．
6.【2013年陕西理】设函数61,00.,(),xxfxxxx , 则当0x时, [()]ffx表达式的展开式中常数项为 （ ） 第 3 页 共 16 页 A.－20 B. 20 C. －15 D. 15
二．高考研究
1.考纲要求
（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理
①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
（2）排列与组合
①理解排列、组合的概念.
②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
③能解决简单的实际问题.
（3）二项式定理
2015届高考数学总复习第十一章计数原理、随机变量及分布列第3课时二项式定理教学案(含最新模拟试题改编)
第 1 页 共 6 页 第十一章 计数原理、随机变量及分布列第3课时 二项式定理
(对应学生用书(理)169～170页)
考情分析 考点新知
近几年高考二项式定理在理科加试部分考查，以后高考将会考查学生应用基础知识、解决实际问题的能力，难度将不太大．
①能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题.
②会用二项展开式以及展开式的通项，特别要注意有关二项式系数与项的系数的区别.
1. (选修23P32练习5改编)在(x－3)10的展开式中，x6的系数是________．
答案：1 890
解析：Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r，令10－r＝6，r＝4，T5＝9C410x6＝1 890x6.
2. (选修23P32练习6改编)x－1x212的展开式的常数项是________．
答案：495
解析：展开式中，Tr＋1＝Cr12x12－r·－1x2r＝(－1)rCr12x12－3r，当r＝4时，T5＝C412＝495为常数项．
3. (选修23P35习题2改编)若C23＋C24＋C25＋„＋C2n＝363，则自然数n＝________．
答案：13
解析：C33＋C23＋C24＋C25＋„＋C2n＝363＋1，C34＋C24＋C25＋„＋C2n＝364，C35＋C25＋„＋C2n＝„＝C3n＋1＝364，n＝13.
4. (选修23P36习题12改编)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a7x7，那么a1＋a2＋„＋a7＝________．
答案：－2
解析：设f(x)＝(1－2x)7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋„＋a7＝(1－2)7＝－1，令x＝0，得a0＝1，a1＋a2＋„＋a7＝－1－a0＝－2.
5. (选修23P35习题10改编)在(x＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能为________．
答案：11，12，13
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题7_第1讲_排列、组合与二项式定理(含答案)
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第1讲 排列、组合与二项式定理
考情解读 1．高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.
2．排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等．
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
2．排列与组合
（1）排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是Amn＝n(n－1)(n－2)„(n－m＋1)或写成Amn＝n！n－m！.
（2）组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是
Cmn＝nn－1n－2„n－m＋1m！或写成Cmn＝n！m！n－m！.
（3）组合数的性质
①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.
3．二项式定理
（1）二项式定理：(a＋b)n＝C0nanb0＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋„＋Crnan－rbr＋„＋Cnna0bn(r＝0,1,2，„，n)．
（2）二项展开式的通项
Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，„，n，其中Crn叫做二项式系数．
2018年高考数学复习 考前回扣9 计数原理讲学案 理
回扣9 计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．
3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示．
(3)排列数公式：Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Amn＝n！n－m！，这里规定0！＝1.
4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmn表示．
(3)组合数的计算公式：Cmn＝AmnAmm＝n！m！n－m！＝nn－1n－2…n－m＋1m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.
(4)组合数的性质：①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n. 5．二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ckn(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Cknan－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Cknan－kbk.
高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理 二项式系数的性质(一)教案 3数学教案
5 二项式定理 二项式系数的性质
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
2、过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观：要启发学生认真分析课本图提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
二、教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
三、教学方法：探析归纳，讨论交流
四、教学过程
（一）、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，
（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx.
2．二项展开式的通项公式：1rnrrrnTCab
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
（二）、探解新课
1、二项式系数表（杨辉三角）
()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
2、二项式系数的性质：
()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，…，nnC．rnC可以看成以r为自变量的函数()fr
定义域是{0,1,2,,}n，例当6n时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mnmnnCC）．
直线2nr是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kknnnnnnknkCCkk，
∴knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定，1112nknkk，
当12nk时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值．
高三数学应知应会讲义八：排列组合与二项式定理复习教案
.
.专心. 排列组合和二项式定理
一、考试说明要求：
内 容 要 求
A B C
分类计数原理与分步计数原理 √
排列与排列数 √
组合与组合数 √
二项式定理、二项展开式的性质 √
二、应知应会知识
1． 会根据两个原理解决有关分配决策的问题〔要正确区分分类和分步〕
(1) 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有〔 〕
A. 15种 B. 8种 C. 53种 D. 35种
(2) 四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，那么不同的分配方案有_______种．
(3) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有〔
〕
A. 1260种 B. 2025种 C. 2520种 D. 5040种
2．会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题
〔1〕不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，那么不同的排法种数共有〔 〕
A．12种 B．20种 C．24种 D．48种
〔2〕5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为〔 〕
A．48 B．54 C．60 D．66
〔3〕用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.〔用数字作答〕
3.会求某些元素按指定顺序排列的问题
〔1〕七个人排成一行，那么甲在乙左边〔不一定相邻〕的不同排法数有_________种．
〔2〕某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.〔用数字作答〕