数学人教版九年级上册实际问题与二次函数利润问题
教学设计：22.3 实际问题与二次函数
————利润问题
李德强
教学目标 ① 会根据实际问题列二次函数，并能根据实际确定自变量的取值范围
② 能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题。
③ 经历利用二次函数解决实际最值问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
④ 发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的实际意义。
教学重点 培养综合解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法 。
知识难点 能够运用二次函数及其图象、性质及自变量取值范围求最值。
教学准备 课件
教学过程（师生活动） 设计理念
活动1
利润有关的几个公式：
1件商品利润 = 售价-进价
总利润 = 销售量×1件商品的利润
利润率 = 利润∕ 进价×100﹪
探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期
可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖10件；每降价1元，每星期可多卖20件。已知商品的进价每件40元。如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况。
（1）当涨价时，设每件涨价x元，每件实际售
价 ＿＿＿＿＿ 元，每星期少卖10x件，实际卖
出＿＿＿＿＿＿ 件，设每星期利润为y元，则
y=＿＿＿＿＿＿＿＿＿
其中， ＿＿＿＿＿＿＿＿（x的取值范围）
学生熟悉公式便于列关系式，提醒学生考虑自变量取值范围
立足课本，设置问题，培养分析，提高能力。
（２）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）中的讨论，自己得出答案。
由（1）（２）的讨论，你知道应如何定价能使利润最大了吗？
及时巩固，提高应用(学生完成)
活动2
1. 小明的父母开了一个小服装店，出售某种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖300件，该同学对市场作了如下调查，每降价1元，每星期可多卖20件，每涨价1元，每星期要少卖10件，
（1）小明已经求出在涨价情况下一个星期的利润W（元）与售价x（元）（x为整数）的函数关系式为W=-10（x-65）2+6250，请你求出在降价的情况下W与x的函数关系式。
（2）问如何定价，才能使一星期获得的利润最大？
（3）在（2）确定的涨价或降价的条件下，若要求下一个星期的利润不低于6000元，问每件商品的售价在什么范围内？
模仿探究，及时巩固，学生独立讨论完成。第（3）问强调数形结合，通过图像得到结论。
活动3
2. 某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；
方案B：每件商品的利润 至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
此题对比活动（2），强调自变量取值范围在实际问题中求最值的重要作用。
小结与作业
课堂小结 解函数应用题的一般步骤:
1. 设未知数(确定自变量和函数);
2. 找等量关系,列出函数关系式;
3. 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);
4. 求自变量取值范围；
5. 利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
6. 写出结论。
及时总结，把知识纳入学生的认知体系．
本课作业 1．某网店打出促销广告，最潮新款服装30件，每件售价300元，若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元，已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元
(1) 求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围
(2) 顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多
（提示：此题为分段函数）
2. 经过市场调查发现，某公司生产的某商品在第x天的售价（1≤x≤100）为(x＋40)元/件，而该商品每天的销售量满足关系式y＝200－2x．若该商品第20天的售价按7折销售，仍然可以获得40%的高额利润
(1) 求该公司生产每件商品的成本为多少元？
(2) 问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？
(3) (选做)该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元,若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至5000元之间（包含4000元和5000元），且保证至少有90天的盈利，请直接写出a的取值范围
因材施教，作业分层。
人教版九年级数学上教案初三第一学期二次函数实际应用最大利润导学案课堂练习配套课时作业每课一测含答案
第10课时 二次函数实际应用――最大利润
【教学目标】
1． 理解二次函数在解决实际问题中有重要的应用.
2． 会利用二次函数解决实际问题中的最大值问题.
【要点呈现】
1． 在解决最大利润问题中能利用二次函数顶点坐标确定利润的最大值，把最大利润问题转化为求函数的顶点坐标问题。
2．会把面积最大值问题转化为讨论函数的取极值问题，在讨论中要注意顶点坐标与自变量取值范围的讨论问题.
【新知探究】
例1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
变式：某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数m＝162－3x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?．
例2．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q 两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．
（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t 的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
（2）t为何值时，S最小?最小值是多少?
变式：如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
Q
P D C
B A
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
九年级数学上册二次函数的应用——最大利润问题同步练习及答案
1 最大利润问题——典型题专项训练
知识点 1 利润最大化问题
1．毕节某旅行社在十一黄金周期间接团去外地旅游，经计算所获营业额y(元)与旅行团人员x(人)之间满足关系式y＝－x2＋100x＋28400，要使所获营业额最大，则旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人
2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )
A．5元 B．10元 C．0元 D．36元
3．2017·贵阳模拟某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式．
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
知识点 2 利用二次函数的最值解决其他实际问题
4．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到________．
5．某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子
2 树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．
6．生物学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测量出这种植物高度的增长情况(如下表)．
温度x/℃ 6 4 2 0 －2 －4 －6 －8
植物高度增长量y/mm 1 25 41 49 49 39 24
1
科学家经过猜想，推测出y与x之间是二次函数关系．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)推测最适合这种植物生长的温度，并说明理由．
数学人教版九年级上册二次函数实际应用——最大利润问题
22.3.2二次函数与最大利润问题
一、学习目标：
（1）利用二次函数探索商品销售利润问题中的最大（小）值；
（2）能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。
二、重难点分析：
掌握数形结合思想利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。
三、知识链接：
单件利润= ____________—_____________
总利润= ______________×_____________=_____________—______________
四、典例精讲：
例1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况（分类讨论思想）
涨价的情况：
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。每涨价1元，每星期少卖出10件，涨价x元时，则每星期少卖 _________件，实际卖出__________件, 则单件利润为___________元，因此，所得利润为________________________________元。
解：
思考：在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程，自己得出答案。 降价的情况：
（2）设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。每降价1元，每星期多卖出20件，降价x元时，则每星期多卖 _________件，实际卖出__________件, 则单件利润为___________元，因此，所得利润为_____________________________元。
五、归纳：利用二次函数求最大利润问题的五部曲
（1）审清题意，找到变量之间的关系 审
人教版九年级上册实际问题与二次函数
实际问题与二次函数
知识点1 利用二次函数最大利润问题
常用公式：利润 = （售价—进价）×销售量
【例1】 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。
（1） 假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的销售量是 个。（用含x的代数式表示）
（2） 8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？
1. 东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价l2元/只，售价20元/只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低O.10元（例如．某人买20只计算器，于是每只降价O.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的价格购买），但是最低价为16元/只．
（1）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出当一次购买x只时（x＞10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱
少，为了使每次卖的多，赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高到多
少？为什么
【例2】 某市政府大力扶持大学生创业。李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台
灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次
函数：y=-10x+500。
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低
于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
人教版初三数学上册二次函数实际应用-利润最大值问题
年级 九年级 学科 数学 教师姓名 王孟思
章节名称 专题18 二次函数的实际应用-利润最值问题 课时 1
学习内容分析 中考专题18。本节课复习利用二次函数解决利润最大值问题。A组学生在例题的基础上，引导学生总结利润最大值问题的解题思路，形成方法；B组学生先练习计算，再通过填空的形式引导列出函数关系式；C组学生学习弱化了的利润例题，将例题改编成简单问题，先进行计算，最后尝试函数，解决利润问题。
学生情况分析 班级学生层次水平不同，A组学生在之前的学习过程中已大致掌握了利润问题的解题思路，只要老师稍加点拨即可，这样的学生我们给他布置更深层次的问题，引导他自主学习；B组学生头脑中存在知识的片段，但是连接不起来，有的计算也存在问题，我们要通过设问填空的方式一步步引导学生解题的思路，然后通过由浅入深的练习巩固所学知识，直至掌握如何解决利润问题；C组学生在知识上和计算上都存在问题，所以遵循简单计算-函数的过程，一点一点教给他们，最终完成任务。
教学目标 课程标准 A组：熟练运用二次函数解决利润最值问题。
B组：能够通过简单思路的提示，运用二次函数解决利润最值问题。
C组：能够通过详细思路的提示，运用二次函数解决利润最值问题。
知识与技能 A组：能够熟练运用二次函数解决利润最值问题。
B组：能够利用填空分析清楚利润问题的数量关系，解决利润最值问题。
C组：能够解决简单的利润最值问题。
过程与方法 A组：经历自主探究解决利润最值问题的过程。
B组：经历填空分析清楚利润问题的数量关系,从而解决利润最值问题的过程。
C组：通过填空题分析清楚利润问题的数量关系,最后尝试解决简单的利润最值问题的过程。
情感、态度与价值观 A组：培养学生自主探究和合作学习的意识。
B组：培养学生分析问题、解决问题的能力。
C组：提高学生学习数学的兴趣。 教学重点
及
解决措施 A组：熟练运用二次函数解决利润最值问题。
初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题
初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题
1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．
2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．
一、情境导入
红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？
二、合作探究
探究点一：最大利润问题
【类型一】利用解析式确定获利最大的条件
为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．
解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．
解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)
【类型二】利用图象解析式确定最大利润
某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．
人教版九年级上册：22.3.2 最大利润问题 同步练习(含答案)
22.3 实际问题与二次函数 同步练习
第2课时 最大利润问题
一、选择题
1.便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(单位：元)与每件销售价x(单位：元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，每件销售价x(单位：元)满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是( )
A．20元 B．1508元
C．1550元 D．1558元
2.商场销售某种品牌的电磁炉.在销售过程中,发现一周利润y(元)与每台销售价x(元)之间满足y＝－2(x－20)2＋980.由于某种原因,x的取值范围只能是15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是 ( )
A.976元 B.978元
C.980元 D.982元
3.经过调研预测,黄山市某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24,则没有盈利的月份为 ( )
A.2月和12月 B.2月至12月
C.1月 D.1月、2月和12月
4.某种商品每件进价为18元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(18≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30－x)件.若使利润最大,则每件商品的售价应为 ( )
A.18元 B.20元
C.22元 D.24元
5.某品牌钢笔进价为8元/支,按10元/支出售时每天能卖出20支.市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为 ( )
A.11元/支 B.12元/支
C.13元/支 D.14元/支
6.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是( )
A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大
B.每天的最大利润为1250元
C.若销售单价降低10元,则每天的利润为1200元
D.若每天的利润为1050元,则销售单价一定降低了5元