初二数学经典难题及答案
初二几何经典难题集锦(含答案)
初二几何经典训练题1、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.⑴求证：四边形ABFE是等腰梯形;⑵求AE的长.2、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF和OF的长。
3、如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ycm2．（1）求A D的长及t的取值范围；（2）当1.5≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律。
4、如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G,若CF=15cm,求GF 之长。
5、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE =∠C。
（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）。
6、如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA ＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离。
7、如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，（1）若AB=6，求线段BP的长；（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．8、如图已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥FG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。
初中数学经典几何难题, 附答案
初二数学几何经典难题初二数学几何经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1CB DA A 1求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·4、平行四边形ABCD 中，设E、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC ，求证：≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC0，∠EBA＝200，求∠BED的度数．APC BAC BPD AC BPD经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学难题精选(附问题详解)
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
经典难题（四）
1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
初中数学经典几何题(附答案)
初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A FG C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1C B DA A 1F经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）。
中(小)学初二数学难题带标准及解析
初二数学经典难题一、解答题（共10 小题，满分100 分）1．（10 分）已知：如图，P 是正方形ABCD内点，∠ PAD=∠ PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（ 10 分）已知：如图，在四边形ABCD中， AD=BC， M、 N 分别是 AB、CD的中点， AD、BC 的延长线交MN 于 E、F．求证：∠ DEN=∠ F．3．（10 分）如图，分别以△ ABC 的边 AC、 BC为一边，在△ABC 外作正方形 ACDE和 CBFG，点 P 是 EF的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半．4．（10 分）设 P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠ PBA=∠ PDA．求证：∠ PAB=∠ PCB．5．（10 分） P 为正方形 ABCD内的一点，而且PA=a，PB=2a， PC=3a，求正方形的边长．6．（ 10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内灌水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管灌水．向容器中注满水的全过程共用时间t 分．求两根水管各自灌水的速度．7．（10 分）（ 2009 郴州）如图 1，已知正比率函数和反比率函数的图象都经过点M （﹣ 2，﹣ 1），且 P（﹣ 1，﹣ 2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是A、 B．（1）写出正比率函数和反比率函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上能否存在这样的点 Q，使得△ OBQ 与△OAP 面积相等假如存在，央求出点的坐标，假如不存在，请说明原由；（ 3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、 OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．8．（10 分）（2008 海南）如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD对角线 AC上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在线段BC 上，且 PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE ⊥ PD；（2）设 AP=x，△ PBE的面积为 y．①求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当 x 取何值时， y 获得最大值，并求出这个最大值．9．（10 分）（ 2010 河南）如图，直线y=k1x+b 与反比率函数（ x＞ 0）的图象交于A（1 ，6）， B（ a，3）两点．（ 1）求 k1、 k2的值．（ 2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形 OBCD中， BC∥ OD， OB=CD，OD 边在图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和x 轴上，过点 C 作 CE⊥OD 于点 E，CE和反比率函数的PE 的大小关系，并说明原由．10．（ 10 分）（ 2007 福州）如图，已知直线y= x 与双曲线交于A，B两点，且点A 的横坐标为4．（ 1）求 k 的值；（ 2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△ AOC的面积；（ 3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A， B， P，Q 为顶点构成的四边形面积为24，求点 P 的坐标．初二数学经典难题参照答案与试题分析一、解答题（共10 小题，满分100 分）1．（10 分）已知：如图，P 是正方形ABCD内点，∠ PAD=∠ PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判断。
初二数学经典难题带问题详解及解析汇报
标准文档初二数学经典难题一、解答题〔共10 小题，总分值100 分〕1．〔 10 分〕：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠ PAD= ∠ PDA=15 °．求证：△ PBC 是正三角形．〔初二〕2．〔 10 分〕：如图，在四边形ABCD 中， AD=BC ， M 、N 分别是 AB 、 CD 的中点， AD 、 BC 的延伸线交MN 于 E、F．求证：∠ DEN= ∠ F．3．〔 10 分〕如图，分别以△ ABC 的边 AC 、BC 为一边，在△ ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG ，点 P 是 EF 的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半．4．〔 10 分〕设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA= ∠ PDA ．求证：∠ PAB= ∠PCB．5．〔 10 分〕 P 为正方形A BCD 内的一点，而且PA=a， PB=2a， PC=3a，求正方形的边长．适用文案6．〔 10 分〕一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内灌水，水面高度抵达容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管灌水．向容器中注满水的全过程共用时间t 分．求两根水管各自灌水的速度．7．〔 10 分〕〔 2021?郴州〕如图1，正比率函数和反比率函数的图象都经过点M 〔﹣ 2，﹣ 1〕，且 P〔﹣ 1，﹣ 2〕为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是A、 B．〔 1〕写出正比率函数和反比率函数的关系式；〔 2〕当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线MO上能否存在这样的点Q，使得△ OBQ与△OAP面积相等？假如存在，恳求出点的坐标，假如不存在，请说明原因；〔 3〕如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．1 的正方形ABCD对角线AC上一动点〔P与A、C不重合〕，点 E 在8．〔 10 分〕〔 2021?海南〕如图，P 是边长为线段 BC 上，且 PE=PB．〔 1〕求证：① PE=PD ；② PE⊥PD；〔 2〕设 AP=x ，△ PBE 的面积为y．①求出 y 对于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当 x 取何值时， y 获得最大值，并求出这个最大值．9．〔 10 分〕〔 2021?河南〕如图，直线y=k 1x+b与反比率函数〔x＞ 0〕的图象交于 A 〔 1，6〕， B〔 a，3〕两点．〔 1〕求 k1、k2的值．〔 2〕直接写出时x的取值范围；（3〕如图，等腰梯形 OBCD 中， BC ∥OD ， OB=CD ， OD 边在 x 函数的图象交于点P，当梯形OBCD 的面积为12 时，请判断PC轴上，过点 C 作 CE⊥ OD 于点 E，CE 和反比率和PE 的大小关系，并说明原因．10．〔 10 分〕〔 2007?福州〕如图，直线y= x 与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．〔 1〕求 k 的值；〔 2〕假定双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC 的面积；〔 3〕过原点O 的另一条直线l 交双曲线于P，Q两点〔P点在第一象限〕，假定由点 A ， B， P，Q 为极点构成的四边形面积为24，求点 P 的坐标．初二数学经典难题参照答案与试题分析一、解答题〔共10 小题，总分值100 分〕1．〔 10 分〕：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠ PAD= ∠ PDA=15 °．求证：△ PBC 是正三角形．〔初二〕考点：正方形的性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判断。
初二数学经典难题及答案
初二数学经典难题及答案 A P C D B
初二数学经典题型 1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．
证明如下。 首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ， 连接PQ， 则 ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB， 显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。
2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延
N F E C D 所以PQ＝（ME＋NF）/2 又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B＝角Rt＝角BNF CB=BF 所以△OCB全等于△NBF △MEA全等于△OAC（同理） 所以EM＝AO，0B＝NF 所以PQ=AB/2. 4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．
过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE 因为DP//AE，AD//PE 所以，四边形AEPD为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP 所以，A、E、B、P四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB
P A D
C B 因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC 所以，PE//BC，且PE=BC 即，四边形EBCP也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB
初中的数学难的题目精选(附问题详解)
经典难题〔一〕1、：如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO．求证：CD＝GF．〔初二〕2、：如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD＝∠PDA＝150求证：△PBC是正三角形．〔初二〕3、如图,四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．〔初二〕4、：如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,M、N分别是MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难1、：△ABC中,H为垂心〔各边高线的交点〕,O为外心,〔1〕求证：AH＝2OM；〔2〕假如∠BAC＝600,求证：AH＝AO．〔初二〕2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自AE,直线EB与CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．〔初二〕3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦P、Q．F求证：AP ＝AQ ．〔初二〕4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG,点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,AE ＝AC,AE 求证：CE ＝CF ．〔初二〕2、如图,四边形ABCD 为正方形求证：AE ＝AF ．〔初二〕3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．〔初二〕4、如图,PC 切圆O 于C,AC 证：AB ＝DC,BC ＝AD ．1、：△ABC 是正三角形,P 求：∠APB 的度数．〔初二〕2、设P 是平行四边形ABCD 求证：∠PAB ＝∠PCB ．3、设ABCD 为圆内接凸四边形,4、平行四边形ABCD 中,设E 、AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠经典难题〔五〕1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L＝PA＋PB＋PC,求证：≤L＜2．2、：P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA＝a,PB＝2a,PC＝3a,求正方形的边长．4、如图,△ABC中,∠ABC＝∠ACB＝800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA＝300,∠EBA＝200,求∠BED的度数．经典难题〔一〕1.如如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆,所以∠GFH OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF =GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证.2. 如如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形3.如如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点, 连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ,EB2=12AB=12BC=F C1 ,又∠GFQ+∠Q=900和FPDE CBAAPCBACBPDEDCBAACBPD∠GE B 2+∠Q=900,所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 , 可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ,所以A 2B 2=B 2C 2 , 又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 , 从而可得∠A 2B 2 C 2=900 , 同理可得其他边垂直且相等, 从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.4.如如下图连接AC 并取其中点Q,连接QN 和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN ＝∠F.经典难题〔二〕1.<1>延长AD 到F 连BF,做OG ⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2<GH+HD>=2OM<2>连接OB,OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.3.作OF ⊥CD,OG ⊥BE,连接OP ,OA,OF,AF,OG,AG,OQ.由于22AD AC CD FD FDAB AE BE BG BG, 由此可得△ADF ≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE.又因为PFOA 与QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ, ∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ.4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG,CI,FH.可得PQ=2EGFH.由△EGA ≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH ≌△CBI,可得FH=BI. 从而可得PQ=2AI BI=2AB,从而得证. 经典难题〔三〕1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B,G,D 在一条直线上,可得△AGB ≌△CGB. 推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC 为等边三角形. ∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750. 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF.2.连接BD 作CH ⊥DE,可得四边形CGDH 是正方形.由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150, 又∠FAE=900+450+150=1500, 从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF.3.作FG ⊥CD,FE ⊥BE,可以得出GFEC 为正方形.令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X . tan ∠BAP=tan ∠EPF=X Y =Z Y XZ,可得YZ=XY-X 2+XZ,即Z<Y-X>=X<Y-X> ,既得X=Z ,得出△ABP ≌△PEF , 得到PA ＝PF ,得证 .经典难题〔四〕1. 顺时针旋转△ABP 600 ,连接PQ ,如此△PBQ 是正三角形.可得△PQC 是直角三角形.所以∠APB=1500 .2.作过P 点平行于AD 的直线,并选一点E,使AE ∥DC,BE ∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP ,可得：AEBP 共圆〔一边所对两角相等〕. 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP ,得证.3.在BD 取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC ∽△ADC,可得：BE BC =ADAC,即AD •BC=BE •AC, ① 又∠ACB=∠DCE,可得△ABC ∽△DEC,既得AB AC =DEDC,即AB •CD=DE •AC, ② 由①+②可得: AB •CD+AD •BC=AC<BE+DE>= AC ·BD ,得证.4.过D 作AQ ⊥AE ,AG ⊥CF ,由ADE S=2ABCDS=DFCS,可得：2AE PQ =2AE PQ,由AE=FC. 可得DQ=DG,可得∠DPA ＝∠DPC 〔角平分线逆定理〕.经典难题〔五〕1.〔1〕顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP ,PE,EF 在一条直线上, 即如如下图：可得最小L=；〔2〕过P 点作BC 的平行线交AB,AC 与点D,F.由于∠APD>∠ATP=∠ADP ,推出AD>AP ① 又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④由①②③④可得：最大L< 2 ； 由〔1〕和〔2〕既得：≤L ＜2 .2.顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE 为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP ,PE,EF 在一条直线上, 即如如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.既得213(1)42= 23=4232=2(31)2 = 231) =622 .3.顺时针旋转△ABP 900 ,可得如如下图：既得正方形边长L = 2222(2)()22a = 522a .4.在AB 上找一点F,使∠BCF=600 ,连接EF,DG,既得△BGC 为等边三角形,可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE ≌△ACF , 得到BE=CF , FG=GE .推出 ： △FGE 为等边三角形 ,可得∠AFE=800 ,既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG ,既得∠BGD=800 ,既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ,从而推得：∠FED=∠BED=300 .。