八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除(第3课时)导学案(新版)新人教版
新人教版八年级数学下册二次根式教案(14篇)
新人教版八年级数学下册二次根式教案（14篇）篇1：新人教版八年级数学下册二次根式教案1.二次根式：式子( ≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：(1)( )2= ( ≥0); (2)5.二次根式的运算：(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.= ? (a≥0，b≥0); (b≥0，a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1) ，其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ;(2)例3、在根式1) ，最简二次根式是( )A.1) 2)B.3) 4)C.1) 3)D.1) 4)例4、已知：例5、 (龙岩)已知数a，b，若 =b-a，则 ( )A. a>bB. a2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ;B. - ;C. - ;D.例2. 把(a-b)-1a-b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= .例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值(1)、根式变形法当时，①如果，则;②如果，则。
初中数学_二次根式的乘除法教学设计学情分析教材分析课后反思
数学八年级下册第九章《二次根式》第三节《二次根式乘除法》第1课时教学设计数学八年级下册第九章《二次根式》第三节《二次根式乘除法》第1课时学情分析一、思想状况分析八年级10班大部分学生的学习目的性明确、学习积极性高，能主动地学习，部分同学有上进心，但主动性不够，需要老师的引导。
八年级10班的学生学习目的不明确，不能积极主动地完成学业，甚至不能完成老师布置的作业。
大部分学生正处在生长发育的高峰期，一方面他们对因青春期生理、心理急剧变化而产生的丰富而深刻的感受和体验，有诸多成长的烦恼；另一方面面对沉重的学习、开放的社会环境带来的各种刺激和诱惑，难免不知所措。
二、学习状况分析八年级是一个产生剧烈变化的时期，更是一个危险的时期，也是一个爬坡的时期，是一个分水岭。
第一类:学习有一定的基础和很浓厚的兴趣.学生成绩稳定.第二类:基础差,但热情高,方法不当第三类：学习有一定的基础，但因各种原因成绩（如懒、上课纪律差易开小差注意力不集中、不想上学的思想作怪等）就是提不上来。
第四类:基础差,没有太大的兴趣,但尽量跟住老师.这些孩子的家长当然也在督促。
第五类:跟不上正常的进度.另外，大部分学生有学习目标，学习态度端正，学习积极性高，有一定的理解能力和分析判断推理能力，但学习自主性不太强，基础较薄弱，通过小学的精心培养，学生们已经养成了良好的学习习惯和行为习惯。
语言文明，思想健康，积极、认真、扎实。
但有的学生对自己的学习没信心，在自动放弃学习。
三、今后措施1、在教学中必须立足基础知识，加强基础知识的教学，要让学生通过历史知识的学习，养成良好的思维习惯，培养学生良好的学习习惯和严谨认真的学习态度，加强规范语言训练，提高答题得分率。
2、运用科学探究的方法，获取相应的知识，培养学生的情感和态度，扎扎实实打好基础，引领学生进入阅读世界、注重文献史料的积累借鉴，引导学生系统、牢固地掌握各课的知识考点，并培养他们运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
16.2 二次根式的乘除 (教学课件)- 初中数学人教版八年级下册
算术平方根的概念
如果x²=a(x≥0), 那 么 x称 为a 的算术平方根。 用 √a(a≥0) 表示.
2.下列运算正确的是(A
A.(√2)²=2
C.(-√-2)²=2
)
B.(一 √2)²=-2
D.-√(-2)²=2
3. 计算：
(1) √4× √25=10 , √4×25= 10 ;
(2) √16× √9= 12 , √ 16×9= 12 思考：√4× √36 与 √4×36 的结果相● 同吗?你发现了什么?
二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·Jb.√c……√n=Jabc…n(a≥0,b≥0,c≥0……n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法 则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),被 开方数的积作为被开方数，即
化简二次根式的步骤：
(1) √4× √9= √4×9;
(2) √16× √25= √16×25;
(3) √25× √36= √25×36.
思考你发现了什么规律?你能用字母表示你所发现的规律吗?
猜测：Ja. √b= √a ·b(a≥0,b≥0). ·. 你能证明
这
个猜测吗?
求证：√a · √b= √a·b(a≥0,b≥0).
商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商. 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例3 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) √3.5;
解：原
解：原式
最简二次根式应满足如下特点： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除课标解读素材 (新版)新人教版
最新Word 欢送下载二次根式的乘除课标解读1.上一节引入了二次根式概念，研究二次根式的性质.由算术平方根的意义可知，，，…都是实数.当a取某个非负数值时，就是这个非负数的算术平方根，也是一个实数.既然是实数，就应该可进行四那么运算，那么其运算满足怎样的运算法那么？如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？就是我们要讨论的问题.2.由于二次根式的乘除比二次根式的加减运算简单，而且二次根式的加减要以二次根式的乘除作为根底，特别是最简二次根式.我们要先探究二次根式的乘除并了解最简二次根式的概念.3.?课标?要求“了解〞最简二次根式的概念，就是要求学生通过运算结果的比较，归纳出有些二次根式有两个特点：一是被开方数不含分母；二是被开方数中不含开得尽方的因数或因式.同时要求在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.4.二次根式的乘除法运算法那么，考虑到学生的年龄特征和认知水平，要从二次根式的实例出发，先让学生计算，发现结果的规律，由特殊到一般地归纳出二次根式的乘除法法那么，从而理解二次根式乘除法法那么的合理性，在此根底上，运用乘除法法那么进行二次根式的乘除运算，同时，在进行二次根式的乘法运算时，要用到积的算术平方根的性质，教学时要注意提醒学生注意，并注意使运算简单.5.二次根式的乘除法运算法那么的逆运算，可以用于二次根式的化简.在化简过程中，主要还要用到积的算术平方根的性质，在化简时，一般要先将被开方数进行因数分解，然后将能开得尽方的因数或因式开出来.6.?课标?的要求将本章的学习对象限定在“根号下为数的二次根式〞.为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提高运算能力，也为今后的学习打下必要的根底，教材在正文中设置了“选学例题〞，采用举例的方式，让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式〞的运算.7.本节内容要更加注重运算能力的培养，具体地落实在运算技能的训练上.8.鉴于“探索、发现、归纳，然后定义，再运用〞是解决代数问题的根本过程，教材中乘除法法那么都是采用从特殊到一般的归纳方式得出的；本章内容与实数内容有较多联系，在思考问题的方法上与整式的内容又有很多相通之处，教学中应引导学生充分体会代数问题的根本思想和根本研究方法.。
人教版-数学-八年级下册《二次根式的乘除》教学详案
《二次根式的乘除》教学详案1.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.2.能利用二次根式的乘、除法法则和性质化简二次根式.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖,相互补充的辩证关系.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】能熟练进行二次根式的乘法和除法运算.【难点】综合运用有关法则和性质化简二次根式.第课时1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.【难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习二次根式的定义和代数式的定义.导入一:古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7 m,5 m,8 m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?原来海伦先算出三角形的周长的一半为10 m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢?这节课我们一起来进行探讨.创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.导入二:我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.1.二次根式的乘法思路一计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)×=,=;(2)×=,=;(3)×=,=.参考上面的结果,用“>,<或=”填空.×,×,× .老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.老师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.提问:二次根式的乘法法则是什么?字母表达式是怎样的?学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.(1)·=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn(a≥0,b≥0).思路二出示教材第6页“探究”.计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)×=,=;(2)×=,;(3)×=,=.学生自己计算,并力争独立发现规律:×=,×=,×=.教师演算:×=×5=,==,则×=.由上面的特殊例子引导学生总结:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.尝试练习(教材例1):计算:(1)×;(2)×.学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.2.积的算术平方根的性质思路一计算并思考:①==,×=2×5=;②==,×=6×=;③==,×=0.1×3=.你认为=(a≥0,b≥0).学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导:根据算术平方根的意义,得==10,×=2×5=10,则=×;同样,==,×=6×=,则有=×;==0.3,×=0.1×3=0.3,则有=×.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.进一步明确:=·(a≥0,b≥0).让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望.思路二尝试练习:化简:(1);(2)(m>0).学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为202×10,再利用=·计算;(2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再利用=·计算.解:(1)原式=×=20.(2)原式==·=9m.教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·(a≥0,b≥0).鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.(1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.3.例题讲解(教材例1)计算:(1)×;(2)×.引导学生结合前面尝试练习分析:根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算.解:(1)×=.(2)×===3.(教材例2)化简:(1);(2).教师引导发现:被开方数4a2b3含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简.解:(1)=×=4×9=36.(2)=··=2·a·=2ab.(教材例3)计算:(1)×;(2)3×2;(3)·.〔解析〕根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)计算,其中3×2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.解:(1)×===×=7.(2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30.(3)·===·=x.化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.【变式训练】判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.(1)=×;(2)×=4××=4×=4=8.解:(1)不正确.改正:==×=2×3=6.(2)不正确.改正:×=×===4.让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.师生共同回顾本节课所学主要内容:1.·=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.1.若=·,则a的取值范围是()A.-4≤a≤4B.a>-4C.a≤4D.-4<a<4解析:由题意可知:4-a≥0且4+a≥0,得a≤4且a≥-4,因此-4≤a≤4.故选A.2.下列各式成立的是()A.4×2=8B.5×4=20C.4×3=7D.5×4=20解析:A错,正确结果为40;B错,正确结果为20;C错,正确结果为12;D正确.故选D.3.一个长方形的长和宽分别是cm和cm,则这个长方形的面积是.解析:×==25(cm2).故填25 cm2.4.已知x>0,y>0,则·=.解析:·=·=·=xy.故填xy.5.化简:(1);(2)(a≥0,b≥0).解:(1)=×=6×9=54.(2)=··=3·a·=3a·=3ab.6.计算:(1)×;(2)4×7;(3)3×5;(4)·.解:(1)×==6.(2)4×7=4×7=28=252.(3)3×5=3×5=15.(4)·==a.第1课时1.二次根式的乘法2.积的算术平方根的性质3.例题讲解例1例2例3一、教材作业【必做题】教材第7页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第1题.【选做题】教材第11页习题16.2第6题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各数中,与的积为有理数的是()A. B.3 C.2 D.2.(2015·安徽中考)计算×的结果是()A. B.4 C. D.23.已知m=×(-2),则有()A.5<m<6B.4<m<5C.-5<m<-4D.-6<m<-54.k,m,n为三个整数,若=k,=15,=6,则下列有关k,m,n的大小关系正确的是()A.k<m=nB.m=n<kC.m<n<kD.m<k<n【能力提升】5.张老师在计算机上设计了一个长方形,已知长方形的长是cm,宽是cm.他又想设计一个面积与其相等的圆,则圆的半径是.6.·是一个整数,那么最小正整数a的值为.7.计算:(1)××;(2)×0.5(a≥0);(3)×(-)×.8.一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20 cm,求铁桶的底面边长是多少厘米.(容器的尺寸为从里面量得的)9.若y=,且x,y为实数,求·的值.【拓展探究】10.观察下列各式:=2,=3,=4,….(1)你能发现上述式子有什么规律吗?将猜想到的规律用含自然数n(n为正整数)的代数式表示出来是;(2)请你运用所发现的规律,写出第9个式子;(3)请你验证所发现的规律.【答案与解析】1.C(解析:因为×=,而为无理数,所以选项A错误;因为3×=3,而3是无理数,所以选项B错误;因为2×=6,而6是有理数,所以选项C正确;因为×=3,而3为无理数,所以选项D错误.故选C.)2.B(解析:∵·=(a,b都是非负数),∴×====4.故选B.)3.A(解析:m=×(×)=××=2.∵25<28<36,∴<<,即5<2<6.故选A.)4.D(解析:化简二次根式得到k,m及n的值,=3,=15,=6,可得k=3,m=2,n=5,则m<k<n.故选D.)5. cm(解析:设圆的半径为r cm,则πr2=·,r=.)6.2(解析:因为50=52×2,所以50×2=52×22,因此a的最小整数值为2.)7.解:(1)××=××===4.(2)×0.5===abc.(3)×(-)×=×=×=60.8.解:设铁桶的底面边长为x cm,则x2×10=30×30×20,x2=30×30×2,所以x==30,所以铁桶的底面边长是30 cm.9.解:由已知得4-x2≥0,x2-4≥0且x≠-2,∴x=2,∴y=.当x=2,y=时,·=·==.10.解析:解决这类问题的方法是先观察已知几个等式的数字特征,从而发现各式的数字变化规律,归纳出几个式子所反映的一般规律,这种探索性解题的方法在今后的学习中经常用到,望同学们引起高度重视.解:(1)=(n+1)(n为正整数)(2)当n=9时,可得到第9个式子为:=10.(3)因为左边= ===(n+1)=右边,所以=(n+1)(n为正整数).本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.进一步放手让学生自学本节内容,让学生在观察、归纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教.练习(教材第7页)1.解:(1)×==.(2)×===6.(3)2×=2=2.(4)×===2.2.解:(1)=×=7×11=77.(2)==15.(3)=·=2.(4)=···=4bc.3.解:S=×2=2=2=2×=4.教材设计意图本节课主要内容是二次根式的乘法运算和二次根式的化简,通过本节学习应使学生掌握根式的乘法运算法则和化简二次根式的常用方法,建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备.探究二次根式的乘法法则,教材从具体例子出发,由特殊到一般、由具体到抽象地归纳给出二次根式的运算法则.通过“探究”栏目,引导学生利用二次根式的性质,从具体数字的运算中发现规律,进而得出二次根式的乘法法则.“探究”栏目中的两个问题是两个不同层次的探究活动.首先是让学生通过计算发现规律,然后是让学生对发现的规律进行类比,得出乘法法则的具体内容.为了使学生更全面地了解二次根式的运算,提高学生的运算能力,也为今后的数学学习打下必要的基础,教材在正文中设置了“选学例题”,采用举例的方式,让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算.由于数式通性,只要将二次根式中的实数看成字母,二次根式的运算实际上就是整式的运算.将二次根式的乘法法则·=反过来,就得到积的算术平方根的性质.利用这条性质可以对二次根式进行化简.通过学习,应该使学生对化简二次根式的基本要求有所认识,即在化简时,一般先将被开方数进行因数分解或因式分解,然后再将能开得尽方的因数或因式开出来,这一点教材利用了一个小贴士加以说明.第课时1.会进行简单的二次根式的除法运算.2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.【重点】会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.【难点】二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习二次根式的乘法法则.导入一:化育中学有一块直角三角形的花台,计划让九年级的同学负责花台周围的清洁卫生.已知直角边AC= m,BC=3 m,你能求出斜边AB的边长吗?在学习了下一章后,根据勾股定理得AB== =.在上面的问题中,你会计算的结果吗?学习这节课后,你将很容易地解答这类问题.创设问题情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.导入二:1.请同学们回忆·=(a≥0,b≥0)是如何得到的?学生回忆二次根式乘法的运算法则的推导过程,并总结学习方法.2.计算下面的式子,并请每一个同学举出一个例子.(1)=,=;(2)=,=;教师巡视学生举例和计算结果是否正确.这些式子的计算涉及我们这节课要学习的二次根式的除法等相关内容,让我们一起来探究一下.1.二次根式的除法思路一计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)=,=;(2)=,=;(3)=,=.参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.;;.老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.提问:二次根式的除法法则是什么?字母表达式是怎样的?学生总结二次根式除法的法则:=(a≥0,b>0).即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.追问:a,b的取值范围为什么不同?学生思考,交流:因为分母不能为0,所以b≠0.当a<0,b<0时,,无意义,因此a≥0,b>0.运用二次根式乘法的方法探索,使学生清楚新旧知识之间的区别与联系,培养学生从特殊到一般的归纳概括能力.思路二,.提问:比较上面的式子,你能得到什么样的结论呢?引导学生比较计算结果,发现规律.因为=,=,所以=;因为=,=,所以=.由此可以看出两个二次根式相除,把被除数的被开方数除以除数的被开方数,根指数不变.明确二次根式的除法法则:=(a≥0,b>0).你会应用二次根式的除法法则吗?尝试练习:(教材例4)计算:(1);(2)÷.学生利用=(a≥0,b>0)进行计算,根据学生计算情况指点.对于(2)题,需将除法转化成乘法后,再进行化简.解:(1)===2.(2)÷====3.由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式的除法法则,通过尝试练习使学生先学,教师后教,初步掌握二次根式的除法运算.(1)当被除式的被开方数能被除式中的被开方数整除时,可直接利用二次根式除法法则计算.如÷===2.(2)当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时,或者被除式是整数而除式是二次根式时,可以利用分数的基本性质把分母中的根号化去.如==,==.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式除以单项式的法则进行运算,即系数之商作为系数,被开方数之商作为被开方数,如m÷n=(m÷n)×(÷),其中a≥0,b>0且n≠0.2.商的算术平方根的性质思路一=(a≥0,b>0)反过来也成立吗?(1)=,=;(2)=,=;(3)=,=.参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.;; .你认为=(a≥0,b>0).学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现,教师明确商的算术平方根的性质:=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.让学生亲自动手计算,提出猜想,归纳论证,得出结论,培养学生探究能力和探究的良好习惯.思路二二次根式的乘法公式可以逆用,那么除法公式可以逆用吗?学生阅读教材第8页内容:把=(a≥0,b>0)反过来,就得到=(a≥0,b>0),利用它就可以将二次根式化简.尝试练习:(教材例5)化简:(1);(2).学生独立完成后,找学生口述解题过程,教师将过程写在黑板上.解:(1)==.(2)===.引导学生归纳:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即=(a≥0,b>0).鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.(1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=,而不等于.(2)如果被开方数是带分数,应先将其化成假分数,如必须化成,防止出现=×这样的错误.3.最简二次根式你能用积的算术平方根和商的算术平方根化简吗?化简:=;=.学生独自练习后,教师讲解.由于27可以分解为32×3,根据=·(a≥0,b≥0),则有=×=3,可以根据=(a≥0,b>0)得,再利用分数的基本性质可以变形,则有===.追问:观察化简结果3和,它们有什么特点?自己可以再举例说明.引导学生从上面两小题化简的过程来看:(1)把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)开出来;(2)把被开方数中所含有的分母化去.进一步归纳总结:如果二次根式满足下列两个条件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含有分母.那么这样的二次根式叫做最简二次根式.(1)在二次根式的运算中,一般都要把最后结果化成最简二次根式.(2)判断一个二次根式是不是最简二次根式,就要紧扣最简二次根式的特点:①被开方数中不含有分母或小数;②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式;③若被开方数是和或差的形式,则先把被开方数写成积的形式,再判断,若无法写成积或一个数的平方的形式,则为最简二次根式.如因为=,所以不是最简二次根式;因为无法进行因式分解或变成一个数或因式的平方,所以是最简二次根式.4.例题讲解(教材例6)计算:(1);(2);(3).先引导学生分析本题3道小题,根据二次根式的除法法则进行计算,计算结果应化成最简二次根式,在自己练习后小组交流.解法1:(1)=====.解法2:(1)===.解:(2)======.(3)===.化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数的,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.(教材例7)设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2,b=,求a.学生先分析题意,独立列出式子,再代值计算.分析:∵S=ab,∴a=,将S,b的值代入进行化简即可.解:a=====.通过对例题的分析和解答,加深对二次根式的除法与商的算术平方根的理解和应用.师生共同回顾本节课所学主要内容:1.=(a≥0,b>0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.2.=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.3.如果一个二次根式满足以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们称这样的二次根式为最简二次根式.1.下列计算正确的是()A.==B.==C.===D.=±=±解析:当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=,而不等于,因此===.故选C.2.(2015·淮安中考)下列式子为最简二次根式的是()A. B. C. D.解析:=2,=2,=,均不是最简二次根式.故选A.3.计算4÷2的结果是.解析:4÷2=(4÷2)×=2×=2×3x=6x.故填6x.4.计算:(1);(2);(3);(4).解:(1)==.(2)==.(3)==.(4)=-=-=-1.5.计算:(1)(y>0);(2)-÷;(3).解:(1)==.(2)-÷=-=-3.(3)==.第1课时1.二次根式的除法例12.商的算术平方根的性质例23.最简二次根式4.例题讲解例3例4一、教材作业【必做题】教材第10页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第2,3,4题.【选做题】教材第11页习题16.2第7,8,9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.若等式÷=成立,则实数a应是()A.正实数B.大于-1的实数C.非负实数D.非正实数2.下列各式正确的是()A.=16B.÷=1C.=D.=93.下列根式中最简二次根式有(),,,,,,.A.2个B.3个C.4个D.5个4.计算的结果是()A.4bB.2C.D.【能力提升】5.(2015·南京中考)计算的结果是.6.长方形的长为3,面积为30,要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形,则该正方形的面积是.7.计算:(1)×÷;(2)×÷;(3).【拓展探究】8.已知x=×,y=×,试比较x与y的大小.【答案与解析】1.C(解析:由被开方数的非负性和除数不为零,可得a为非负实数.)2.C(解析:A的结果为4;B的结果为;D的结果为3.故选C.)3.A(解析:,是最简二次根式.故选A.)4.D(解析:====.故选D.)5.5(解析:=×=5.)6.60(解析:30÷3=2,=60.)7.解:(1)原式=÷==2.(2)原式=-×÷=-×4=-.(3)原式==3×2=6.8.解:设a=2013,则x=×==,y=×==.∵a2+3a+2>a2+3a,∴x<y.本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,但一些学生在计算时,没有把结果化成最简二次根式.在总结二次根式乘法一课的学习方法之后,进一步放手让学生自学本节内容,让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,重点进行计算练习,提高二次根式乘除运算的能力.练习(教材第10页)1.解:(1)÷===3.(2)===2.(3)÷===.(4)÷====2a.2.解:(1)==4.(2)==2.(3)==.(4)===.3.解:由题意,知S=ab,∵S=16,b=,∴a×=16,∴a===.习题16.2(教材第10页)1.解:(1)×=2×3=6=6×3=18.(2)×(-)=-=-3.(3)××=3×2×5=30=30.(4)=3×4=12=12×2=24.2.解:(1)÷===.(2)==2.(3)÷===.(4)==.3.解:(1)=×=2×7=14.(2)=×=10.(3)==.(4)==.4.解:(1)==.(2)===.(3)====.(4)==.(5)==y.(6)=-×=-=-×3=-.5.解:(1)当a=1,b=10,c=-15时,====-5+2. (2)当a=2,b=-8,c=5时,====2+.6.解:(1)由题意可知S=ab,∵a=,b=,∴S=×===4.(2)由题意可知S=ab,∵a=2,b=3,∴S=2×3=10×12=10×12×2=240.7.解:(1)由题意可知S=a2,∵S=50,∴50=a2,∴a==5(负值已舍去).(2)由题意可知S=a2,∵S=242,∴242=a2,∴a==11(负值已舍去).8.解:(1)×===. (2)×===.(3)×===.(4)×÷====3×5=15.9.解:∵≈1.414,∴=≈×1.414=0.707,即≈0.707.∵≈1.414,∴=2≈2×1.414=2.828,即≈2.828.10.解:∵S=ab,S=4,a=,∴b=4,∴b=====.11.解:∵V=S·h,V=4,h=3,∴S====.12.解:由题意知截去的两个小正方形的边长分别为cm和cm,而留下的是两个全等的小长方形,其宽为cm,长为cm,∴留下部分的面积=2××=2×=2×6=12(cm2).13.解:(1)==10.(2)==100.(3)==1000.(4)==10000.10n本节内容在中考中主要考查二次根式的化简,题型一般为选择题和填空题,有时出现二次根式化简和混合运算综合题,但难度不大,掌握二次根式的乘除法法则及最简二次根式就能顺利解答.(2014·山东中考)下列式子中,属于最简二次根式的是()A. B. C. D.〔解析〕判断一个二次根式是否为最简二次根式的主要方法是根据最简二次根式的定义进行判断.选项A:=3,故A选项错误;选项C:=2,不是最简二次根式,故C选项错误;选项D:=,不是最简二次根式,故D选项错误.故选B.(2014·济宁中考)如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①=,②·=1,③÷=-b,其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③〔解析〕∵ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0.①中,等号右边被开方数小于零,无意义,∴①不正确;②中,根据二次根式乘法法则得·===1,∴②正确;③中,÷====|b|=-b,∴③正确.故选B.(2014·河北中考)计算:×=.〔解析〕运用二次根式乘法法则计算,然后化简.×===2.故填2.。
【★】2023-2024学年人教版初中数学八年级下册数学课时练《16.2 二次的乘除》(含答案)
4．下列计算不正确的是（）．
A． B．
C． D．
5．若直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，则斜边上的高为（）
A． B． C． D．
6．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（）
A． B． C． D．
7．计算： =（）（a＞0，b＞0）
A． B． C．2aD．2a
三、解答题
14．化简：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ．
15．先化简，再求值： ，其中 ．
16．已知长方体的体积 ，高 ，求它的底面积S．
17
1．B2．C3．B4．C5．C6．D7．C
人教版八年级数学下册
《16.2二次根式的乘除》课时练
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（）．
A． B． C． D．
2．把 根号外的因式适当变形后移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
3．化简后，与 化简后的被开方数相同的二次根式是（）
8． （ ）； （ ）．
9．
10．
11．
12．1
13．160
14．解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ．
15．解：原式 ，
．
当 时，原式 ．
16．
17． ．
答：这个三角形的面积为5．
二、填空题
8．一般地，二次根式的除法法则是； __________，反过来，可得； _________．
人教版八年级数学下册第十六章16.2二次根的乘除课件(3课时,共61张PPT)
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.
八年级数学下册教学-16.2 二次根式的乘除 课件(共16张PPT).ppt
02
练一练
1．（2019·海口市丰南中学初三期末）已知： 是整数，则满足条件
的最小正整数为(
A．2
)
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
∵ 20 = 4 × 5 = 2 5 ，且 20 是整数，
∴2 5是整数，即5n是完全平方数，
∴n的最小正整数为5．
故选D．
02
练一练
2．已知 = ， = ，则 = (
PA R T
02
练一练
02
练一练
计算：
1） 14 × 7 = 14 × 7 = 2 × 72 = 7 2
2）2 10 × 3 5 = 2 × 3 × 10 × 5
= 6× 2×5×5
= 6 × 52 × 2=30 2
3） 3 ×
1
3
= 3 × 1 =
3
× 2= = 2 × =
A．2a
B．ab
C．
)
D．
【答案】D
【详解】
解： 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 ×
3 = ⋅ ⋅ = 2 ．
故选D．
3．（2019·肇庆市端州区南国中英文学校初二期中）下列
各数中,与2 的积为有理数的是(
A．2
B．3
C．
)
【答案】D
【详解】
解：A、2×2 3=4 3为无理数，故不能；
01
二次根式的乘法法则变形
注意公式成立条件
ab = • ≥ 0，b ≥ 0
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
计算：
1） 16 × 81 =
=
新课标人教版第十六章二次根式导学案
2.熟练进行二次根式的乘除法运算；
3.理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算；
4.了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式；
【重点难点】
二次根式的计算和化简；二次根式的混合运算.
【知识回顾】
1.二次根式的概念：形如
的式子叫做二次根式。
2.二次根式的性质：
⑴ a 0(a≥0)
1.二次根式乘法运算的法则：
2.化简：
⑴ 200 =
3.计算：
⑵ x3 x2 y =
1
⑴ × 24 =
2
⑵ a3 · ab =
【自主学习】 1.计算并用“>”、“<”或“=”填空.
⑴9 16
9
⑵ 25
16
36
25
⑶ 49
36
64
【合作探究】
1.已知 9 x 9 x ，且 x 为偶数，求 x 1 x2 5x 4 的值．
2
m 3n 2 3m2
⑶· ·
3 mnn
⑵ 1 3 ×2 3 ×（- 1 10 ）
5
2
2
⑷
xy5 ×（- 3
x3y ）×3
x
y
2
y5
16.3 二次根式在加减（1） 【学习目标】
1.理解和掌握二次根式加减的法则； 2.会利用二次根式在加减法则进行计算. 【重点难点】 二次根式在加减法则；熟练进行二次根式在加减运算. 【旧知回顾】 1.最简二次根式：
⑴ 6 8 3
⑵ 4 6 3 2 2 2
⑶
5
6 3
5
⑷
2
5
3 2 5
3
⑸ 3 2 2 2
⑹ 2 5 2 2
春八年级数学下册 第16章 二次根式 16.2 二次根式的运算 16.2.1 二次根式的乘除 第3课
第3课时二次根式的大小比较知识要点基础练知识点二次根式的大小比较1.下列式子中,值最小的是(D)A.√10B.πC.3D.√72.比2√3小的正整数有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个3.比较大小:(1)3√2>2√3;(2)-2√6>-6√2.综合能力提升练4.比较2,√5,√6的大小,正确的是(A)A.2<√5<√6B.2<√6<√5C.√6<2<√5D.√5<√6<25.比较大小:√32×√2与√128÷√2的结果是(B)A.前者大B.一样大C.后者大D.无法确定6.下列判断正确的是(A)<√3<2 B.2<√2+√3<3A.32C.1<√5−√3<2D.4<√3×√5<57.若两个连续整数x,y满足x<√13+1<y,则x+y的值为9.8.把5的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为-√5<√53<√5.9.比较大小:√5+√6与√6+√7(求差法).解:∵(√5+√6)-(√6+√7)=√5+√6−√6−√7=√5−√7<0,∴√5+√6<√6+√7.10.比较下列各式的大小:(1)-2√13与-3√6;(2)5-√3与2+√3.解:(1)∵(-2√13)2=52,(-3√6)2=54,52<54,∴(-2√13)2<(-3√6)2,∴-2√13>-3√6.(2)(5-√3)-(2+√3)=3-2√3,∵3=√9,2√3=√12,9<12,∴3<2√3,即3-2√3<0,∴5-√3<2+√3.拓展探究突破练11.阅读下列材料,解答后面的问题.材料:√2+√3=√2+√3)(√2-√3)√2-√3=√2-√3=√3-√2,我们把这种化简的方法叫做分子有理化.问题:采用分子有理化,比较√2019−√2018与√2018−√2017的大小.解:∵√2019−√2018=√2019-√2018)(√2019+√2018)√2019+√2018=√2019+√2018,√2018−√2017=√2018-√2017)(√2018+√2017)√2018+√2017=√2018+√2017,又∵√2019+√2018>√2018+√2017,∴√2019+√2018<√2018+√2017,∴√2019−√2018<√2018−√2017.。
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八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除（第3课时）导学案（新版）新人教版
第3课时学习目标：
1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式、
3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
学习重点：最简二次根式的运用。
学习难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。
学法指导：小组合作交流一对一结对子检查过关。
知识链接
1、化简（1）= （2）= （3） = (4）= （5）=
2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？自主学习观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1、被开方数不含分母；
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式、我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式、2、化简:(1)
(2)
(3)
(4)合作探究
1、计算：
2、比较下列数的大小（1）与（2）注：
1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。
2、判断是否为最简二次根式的两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于
2、拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：，，同理可得：
=，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（……+）（）的值、达标检测
1、选择题（1）如果（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（）、
A、（y>0）
B、（y>0）
C、（y>0）
D、以上都不对（2）化简二次根式的结果是
A、
B、-
C、
D、-
2、填空：（1）化简=_________、（x≥0）（2）已知，则的值等于__________、
3、计算：（1） (2)
1、计算：
（a>0,b>0）
2、若x、y为实数，且y=，求的值。