高中数学人教A版必修第一册《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第一课时)》 课件
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正弦函数、余弦函数的性质(三课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
上的函数
f
(x) 满足
f
x
f
x 2
，且
f
1 2
1 ，则
f
10.5
（
）
A．-1
B．-0.5
C．0.5
D．1
3．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) f (x) ，且当 x (0,1] 时 f (x) x(x 1) .
则当 x (2, 1] ， f (x) 的最小值是（ ）
（
）
A． 7
B．1
C． 0
D． 1
6．已知奇函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x)，且当 x 0,1 时，
f
x
log2
x
，则
f
7 2
的值为_______
常见函数性质隐藏了周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),
(2)若f(x+a)= 1 ,.
变式2：求函数y sin( 1 x )的单调增区间
23
练习：（1）y cos(2x ) （2）y cos(-3x )
3
6
类型四：周期、奇偶性
1.下列函数中周期是 ，且为偶函数的是（）
2
A.y sin 4x
B.y cos 1 x 4
C.y sin(4x )
2
D.y cos(1 x )
）
A．
x
π 6
B． x 0
C．
x
π 6
D．
x
π 2
2．设函数
y
sin( x
π 6
)(0
5)
图像的一条对称轴方程为
x
5.4.2(2) 正弦函数、余弦函数的性质 课件-高中数学人教A版(2019)必修第一册
5 3
， 3
.
课堂小结
一、利用三角函数线研究正弦函数、余弦函数的图象，并用五点法画正弦函数、余弦函数的 简图. 二、正弦函数、余弦函数的性质.
谢谢
敬请批评指正
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）
回顾
正弦函数、余弦函数的周期性，奇偶性
1.周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对
每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数， 非零常数T叫做这个函数的周期.
如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个 最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 正弦函数是周期函数， 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函数是周期函数， 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
正弦函数是奇函数、余弦函数是偶函数
知识海洋
3.单调性
正弦函数在每一个闭区间
2
2k
,
2
2k
k
Z
上都单调递增，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间2
2k
,
3 2
2k
k
Z
上都单调递减，其值从1减小到-1；
余弦函数在每一个闭区间 2k,2k k Z 上都单调递增，其值从-1增大到1；
解： (2)使函数y=cos x+1取得最大值x的集合，就是使y=cos x取得最大值的x
的集合
x | x 2k，k Z
使函数y=cos x+1取得最小值的x的集合，就是使y=cos x取得最小值的x的集
合
x | x 2k 1，k Z
函数y=-3sin 2x的最大值是1+1=2，最小值是-1+1=0.
人教A版高中数学必修一《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》精品课件(共2课时72页)
4．若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝2 021，则f(2)＝________. 解析：因为函数f(x)是周期为3的周期函数， 所以f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝2 021. 答案：2 021
题型一 三角函数的周期 【学透用活】
1．对函数最小正周期的两点说明 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数， 这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin 2x＝sin(2x＋ 2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x. (2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数f(x)＝c，任意一 个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
2.会求正弦函数、余弦函数的周期， 推理和数学抽象素养．
并会应用．
2.通过奇偶性的应用，提升数学运算
3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性， 素养.
会判断简单三角函数的奇偶性.
第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(一)教材梳理填空 1．函数的周期性：
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T ， 使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周 期函数． 非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那 么这个最小 正数 就叫做f(x)的 最小正周期 ．
题型一 三角函数的周期 【学透用活】
1．对函数最小正周期的两点说明 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数， 这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin 2x＝sin(2x＋ 2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x. (2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数f(x)＝c，任意一 个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
2.会求正弦函数、余弦函数的周期， 推理和数学抽象素养．
并会应用．
2.通过奇偶性的应用，提升数学运算
3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性， 素养.
会判断简单三角函数的奇偶性.
第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(一)教材梳理填空 1．函数的周期性：
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T ， 使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周 期函数． 非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那 么这个最小 正数 就叫做f(x)的 最小正周期 ．
正弦函数、余弦函数的性质一【新教材】人教A版高中数学必修第一册完美课件
5.4.2 第1课时正弦函数、余弦函数的性质( 一)-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共3 4张PPT )
• 4期．函若数函．数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为_3____的周 • 5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝__________.
• (1)f(x)＝xcos(π＋x)； • (2)f(x)＝sin(cosx)． • [解析] (1)函数f(x)的定义域为R， • ∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx， • ∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)． • ∴f(x)为奇函数． • (2)函数f(x)的定义域为R. • ∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．
C 项中，cos4x＋2π＝cosx＋48π＝cos4x，故 T＝8π； D 项中，cos(4x＋2π)＝cos[4(x＋π2)]＝cos4x，故 T＝π2，综上，D 项正 确．
5.4.2 第1课时正弦函数、余弦函数的性质( 一)-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共3 4张PPT )
5.4.2 第1课时正弦函数、余弦函数的性质( 一)-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共3 4张PPT )
[解析] A 项中，sin2x＋2π＝sinx＋24π＝sin2x，故 T＝4π；B 项中， sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x，故 T＝π；
• 【学法解读】
• 在本节学习中，学生从观察正弦、余弦函数图象，总结它们有哪些特殊 性质，从而可给出周期函数的定义，再利用诱导公式进行验证其性质， 提升学生的直观想象、数学运算等核心素养．
高中数学 弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教A版必修第一册
[归纳提升] 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数 x 都 满足 f(x＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，可利用 T＝|2ωπ|来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别 是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为__3_的周期 函数．
知识点 2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性
y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 奇函数
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 偶函数
想一想：(1)正弦曲线对称吗？ (2)余弦曲线对称吗？ 提示：(1)正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
【对点练习】❶ 求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin3x＋π3； (2)y＝|sin x|； (3)y＝sin2πx－π4.
[解析] (1)∵ω＝3，T＝23π. (2)作图如下：
观察图象可知最小正周期为 π. (3)∵ω＝2π，∴T＝22π＝π2.
π
题型二
三角函数奇偶性的判断
典例2 判断下列函数的奇偶性：
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
3 2.
[归纳提升] 1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周 期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合 周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加 以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．
高中数学人教A版 必修第一册 正弦函数、余弦函数的性质 课件
如果存在一个非零常数T,使得对每一个x ∈ D都有x + T ∈ D，且
f x + T = f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期性
问：正弦函数是否为周期函数？
问：正弦函数的周期是多少？
由sin x + 2kπ = sinx k ∈ Z 知，
正弦函数的周期是2( ∈ Z且 ≠ 0).
都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函数也是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
都是它的周期，最小正周期是2π.
奇偶性
问：观察正弦函数、余弦函数的图象，你发现它们有什么对称性？
= sin
正弦函数关于原点对称，诱导公式sin −x = sin
正弦函数是奇函数
= cos
余弦函数关于y轴对称，诱导公式cos −x = cos
2，4，6， ⋯ − 2, −4, −6, ⋯都是正弦函数的周期
如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期.
在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及
的周期，一般都是指函数的最小正周期.
周期性
正弦函数是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
os 2
即
所以
c o s 2x( + ) = c x，
o s x2 R
.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .
1
(3) y 2sin（ x ）
, x R.
2
6
1
（3）令 z = x ，由 x R 得 z R ，
2
6
且 y 2sin z 的周期为 2 ，
f x + T = f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期性
问：正弦函数是否为周期函数？
问：正弦函数的周期是多少？
由sin x + 2kπ = sinx k ∈ Z 知，
正弦函数的周期是2( ∈ Z且 ≠ 0).
都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函数也是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
都是它的周期，最小正周期是2π.
奇偶性
问：观察正弦函数、余弦函数的图象，你发现它们有什么对称性？
= sin
正弦函数关于原点对称，诱导公式sin −x = sin
正弦函数是奇函数
= cos
余弦函数关于y轴对称，诱导公式cos −x = cos
2，4，6， ⋯ − 2, −4, −6, ⋯都是正弦函数的周期
如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期.
在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及
的周期，一般都是指函数的最小正周期.
周期性
正弦函数是周期函数，2( ∈ 且 ≠ 0)
os 2
即
所以
c o s 2x( + ) = c x，
o s x2 R
.
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .
1
(3) y 2sin（ x ）
, x R.
2
6
1
（3）令 z = x ，由 x R 得 z R ，
2
6
且 y 2sin z 的周期为 2 ，