(证明大全)关于两个重要极限分析
关于两个重要极限分析
两个重要极限是很重要的知识点,关于这个的知识点要怎么证明呢?证明的过程是怎样的呢?下面就是百分网给大家整理的两个重要极限的证明内容,希望大家喜欢。
两个重要极限教案
教学目的:1使学生掌握极限存在的两个准则;并会利用它们求极限;
2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法;
教学重点:利用两个重要极限求极限
教学过程:
一、讲授新课:
准则I:如果数列满足下列条件:
(i)对;
(ii)那么,数列的极限存在,且。
证明:因为,所以对,当时,有,即
,对,当时,有,即,又因为,所以当时,有,
即有:,即,所以。
准则I′如果函数满足下列条件:
(i)当时,有。
(ii)当时,有。
那么当时,的极限存在,且等于。
第一个重要极限:
作为准则I′的应用,下面将证明第一个重要极限:。
证明:作单位圆,如下图:
设为圆心角,并设见图不难发现:,即:,即,
(因为,所以上不等式不改变方向)
当改变符号时,及1的值均不变,故对满足的一切
两个重要极限的介绍
第一个重要极限
如果数列满足:,就称之为单调增加数列;若满足:,就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减,以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果,使得:,就称数列为有上界;若,使得:,就称有下界。
准则Ⅱ′:单调上升,且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″:单调下降,且有下界的数列必有极限。
注1:由前已知,有界数列未必有极限,若加单调性,就有极限。
2:准则Ⅱ,Ⅱ′,Ⅱ″可推广到函数情形中去,在此不一一陈述了。
第二个重要极限:
作为准则Ⅱ的一个应用,下面来证明极限是不存在的。
先考虑取正整数时的情形:对于,有不等式:,即:,
即:(i)现令,显然,因为将其代入,所以,所以为单调数列。
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