人教版九年级数学上册第二十四章圆知识点总结
第24章圆第5课时 点与圆的位置关系-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)
人 教 版 九 年 级 数 学 上 册 讲 义
第二十四章 圆
第5课时 点与圆的位置关系
教学目的
1理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系.2三角形的外接圆、外心的概念
教学重点
能应用点和圆的三种位置关系解决问题
教学内容
知识要点
点和圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
规 律：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：
(1)点在圆外⇔ d>r ；
(2)点在圆上⇔ d＝r ；
(3)点在圆内⇔ d
2．三角形外接圆、外心的概念
外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外 心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，它是三角形三条边的 垂直平分线 的交点．
外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离 相等 ．
对应练习
1.锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心在 ；钝角三角形的外心在 ．
2.若AB=4cm，则过点A.B且半径为3cm的圆有个 ．
3.直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是 ．
4.若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．
5．下列说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点 B．过两点A.B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A.B.C的圆的圆心有且只有一点
6．已知A.B.c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（ ）
A．a=15，b=12，c=1 B．a=5，b=12， c=12C．a=5，b=12，c=13 D．a=5，b=12，c=14
7．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ）
A．任意三角形B． 直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
第2课 圆心角与圆周角、圆内接四边形=2021年人教版新九年级数学上册 第二十四章 圆
C．
圆心角与圆周角、圆内接四边形
学生/课程 年级 学科 数学
授课教师 日期 时段
核心内容 圆心角与圆周角、圆内接四边形 课型 一对一/一对N
教学目标 1．理解并掌握圆心角、弦、弧之间的关系，能够运用他们的关系分析解决相关的几何问题
2．理解并掌握圆周角的概念以及圆周角定理和推论．并熟练运用解决实际问题。
重、难点 1、圆心角与圆周角关系的转换，以及圆周角的推论的运用。
课首沟通
1．学校的上课进度如何？你在学习这些内容的过程中都遇到什么问题？
2．上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？
知识导图
课首小测
1. [单选题] 如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C和点D，则DC的长为（
）
A．2 B．4 D．2
2. [单选题] 已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD=8cm，AB⊥CD，那么圆心O到CD的距离是（ ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3. 如图，将半径为 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 ，则折痕 的长为
4. 如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=
5. ⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是 Cm
6. 如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．
导学一 ： 圆心角
知识点讲解 1：弧、弦、圆心角
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
2.定理：
（1）在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）在同圆或者等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
（3）在同圆或者等圆中，相等的两条弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。特别注意：只有圆心角与弧存在倍数关系。与弦不存在倍数关系。
例 1. [单选题] 在下图中，下列各角是圆心角的是（ ）
【单元练】九年级数学上册第二十四章《圆》知识点总结(1)
一、选择题
1．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B
解析：B
【分析】
根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．
【详解】
解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
（2）直径所对的圆周角是直角；正确；
（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；
（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
（5）圆内接四边形对角互补；正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．如图，正方形ABCD内接于O，直径//MNAD，则阴影部分的面积占圆面积的（ ）
A．12 B．16 C．13 D．14D
解析：D
【分析】
连接OC、OD，设O半径为r，利用正方形性质得：MN∥BC，根据三角形面积公式得：S△DON＝S△AON，S△CON＝S△BON，利用面积差可得S阴影部分＝S扇形COD，再利用正方形的性质得到∠COD＝90°，则S扇形＝214r，所以阴影部分面积是圆的面积的14
【详解】 解：如图，连接OC、OD，设O半径为r，
∵直径//MNAD，AD∥BC
∴MN∥BC，
根据三角形面积公式得：S△DON＝S△AON，S△CON＝S△BON，
∴S阴影部分＝S扇形COD，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠COD＝90°，
∴S扇形＝290360r＝214r，
∵圆的面积为2r
∴所以阴影部分面积是圆的面积的14
故选：D
【点睛】
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结
人教版九年级数学第二十四章《圆》 单元知识点总结
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
2. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
②优弧：大于半圆的弧叫做优弧； ③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
3.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
5、弧、弦、圆心角的关系 (1)圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
6、圆周角
（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（2）.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（3）.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
要点诠释：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
7.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：
第二十四章圆(完整知识点)人教版九年级数学上册
第二十四章 圆
一、圆的有关概念及表示方法
（一）圆的定义
1、描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
（二）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⨀O，读作“圆O”。
（三）圆具有的特性
1、圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念
1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。以AC为端点的弦，记作：弦AC。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧
2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。以A、B为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC 。 注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质
（一）垂直于弦的直径
1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 2、垂径定理及其推论（知二推三）；
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2022年九年级数学上册 第二十四章 圆知识点总结素材 (新版)新人教版
圆
一、知识回顾
圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²
圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）
二、知识要点
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 dr 点C在圆内；
2、点在圆上 dr 点B在圆上；
3、点在圆外 dr 点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 dr 无交点；
2、直线与圆相切 dr 有一个交点；
3、直线与圆相交 dr 有两个交点； rddCBAO
drd=rrd
四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 dRr；
外切（图2） 有一个交点 dRr；
相交（图3） 有两个交点 RrdRr；
内切（图4） 有一个交点 dRr；
内含（图5） 无交点 dRr；
图1rRd 图3rRd
九年级数学上册第二十四章圆基础知识点归纳总结(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆基础知识点归纳总结
单选题
1、如图，AB
是⊙O
的直径，PA
与⊙O
相切于点A
，∠ABC
＝25°，OC
的延长线交PA
于点P
，则∠P
的度数是( )
A．25°B．35°C．40°D．50°
答案：C
分析：根据圆周角定理可得∠𝐴𝑂𝐶=50°，根据切线的性质可得∠𝑃𝐴𝑂=90°，根据直角三角形两个锐角互余
即可求解．
∵𝐴𝐶⌢
=𝐴𝐶⌢
，∠ABC
＝25°，
∴∠𝐴𝑂𝐶=2∠𝐴𝐵𝐶=50°，
∵ AB
是⊙O
的直径，
∴ ∠𝑃𝐴𝑂=90°，
∴∠𝑃=90°−∠𝐴𝑂𝐶=40°．
故选C．
小提示：本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．
2、已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．36πcm2
B．24πcm2
C．16πcm2
D．12πcm2
答案：B
分析：利用圆锥侧面积计算公式计算即可：𝑆
侧=𝜋𝑟𝑙；
𝑆
侧=𝜋𝑟𝑙=𝜋×4×6=24𝜋 cm2
，
故选B．
小提示：本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可．
3、圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
答案：C
分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．
解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是𝑛°，
由题意得：𝑛⋅3𝜋
180=2𝜋×1，
解得𝑛=120，
则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
故选：C．
小提示：本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．
4、如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，CD
是⊙𝑂的直径，∠𝐴𝐶𝐷=40°，则∠𝐵=（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
答案：C
分析：由CD
是⊙O
的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷
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并且可以用于解决一些圆的问题。
在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。
七、切线与切点
1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线；
2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点；
3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。
在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的距离等于半径OA的长度。
参考答案： 一、圆的概念
集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。
三、直线与圆的位置关系
直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。
四、圆与圆的位置关系 圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。
五、垂径定理
垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
《常考题》初中九年级数学上册第二十四章《圆》知识点总结(含答案解析)
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCO中，45C，点A，B在⊙O上，点D在优弧ADB上，DADB，则AOD的度数为（ ）
A．165° B．155° C．145° D．135°
2．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（ ）
A．72π B．85 C．100 D．104
3．如图，分别以AB,AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是弧AEC中点，D是半圆ADC中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC长为（ ）
A．6+2 B．8+2 C． 6+22 D．8+22
4．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠BDC的度数（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
5．如图，AB为O的直径，C为O上一点，其中6AB，120AOC，P为O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．37 B．3272 C．237 D．33722
6．下列事件属于确定事件的为（ ）
A．氧化物中一定含有氧元素 B．弦相等，则所对的圆周角也相等
C．戴了口罩一定不会感染新冠肺炎 D．物体不受任何力的时候保持静止状态
7．如图，已知AB是O的直径，AD切O于点A，CECB．则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．OCBE B．//OCAE C．2COEBAC D．ODAC
8．如图，在ABC中，90C，7AB，4AC，以点C为圆心、CA为半径的圆交AB于点D，求弦AD的长为（ ）
A．4337 B．327 C．2337 D．167
9．如图，正方形ABCD内接于O，直径//MNAD，则阴影部分的面积占圆面积的（ ）
A．12
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷 2
- 1 - 《圆》章节知识点复习和练习附参考答案
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 dr 点C在圆内；
2、点在圆上 dr 点B在圆上；
3、点在圆外 dr 点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 dr 无交点；
2、直线与圆相切 dr 有一个交点；
3、直线与圆相交 dr 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 dRr；
外切（图2） 有一个交点 dRr；
相交（图3） 有两个交点 RrdRr；
内切（图4） 有一个交点 dRr；
内含（图5） 无交点 dRr； rdd=rdrrddCBAO
- 2 -
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；