选修2-2课件1.4生活中应用问题举例
上述解决优化问题的过 程是一个典型的数学 建模过程 .
当r 2时, f ' r 0.
解 由于瓶子的半径为r, 所以每瓶饮料的利润是 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 ' 2 0 r 6. 令f r 0.8π r 2r 0.
30 50 60 90 120
图1.4 1
汽车行驶的平均速度 v 之间关系的问题,然后利用 图象中的数据信息, 解决汽油使用效率最高的问题.
如图1.4 1函数 g f v 最小值的意义是什么 它是 , ? 否表示在此点处汽油的 使用效率最高?
W W/t 解 因为G . 15 S S/t g g 10 斜率 v L / km 这样,问题就转化为求 的 v g 5 g 最小值.从图象上看, 表示 vkm / h v 30 50 60 90 120 o v 什么 ? 图1.4 2 g 从图1.4 2可以看出, 表示经过原点与曲线上点 v v, g的直线的斜率. 继续观察图象,我们可以发现,
gL / h
那么 我们如何根据这个图象 , 中的数据信息解决汽 , 油使用效率最高的问题 ? 呢
从图象中我们不能直接 解决汽油使用效率最高 将问题转化为汽 油平均 消耗率 g (即每小时的汽 油消耗量 , 单位 : L / h) 与
o
15
gL / h
问题.因此, 我们首先需要 10
5
vk, R R 它的存储区是半径介于 与R 的 r 环形区域. r 1 是不是 r越小, 磁经盘的存储 量越大? 图1.4 3 2 r为多少时, 磁盘具有最大的 存储量(最外面的磁道不存储任 何信息) ? 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m, 且最外面的磁道不存储任何信息, 所 Rr 以磁道数最多可达 . m
② 半径为6cm时,利润最大 .
y 换一个角度 : 如果 我 们不用导 数工具 , 直接 从函数的图象(图 r3 2 1.4 4)上观察, 你有什么发现 ? f r 0.8π 3 r 从 图象上容 易看出,当 r 3 时, f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 2 3 o r 饮料的利润与饮料瓶的成本恰 好相等;当r 3 时, 利润才为正值.
单位 : km / h之间有一定关系汽油的消耗量w是汽车 ,
1 是不是汽车的速度越快汽油的消越量越大? , 2" 汽油的使用效率最高的含义是什么? "
速度v的函数.根据你的生活经验思考下面两个问题: ,
现实生活中当汽车行驶路程一定时我们希望汽油 , , 的使用效率最高,即每千米路程的汽油消 耗量最少 或每升汽油能够使汽车 行驶最长路程 这就需要考 . 虑如何提高汽油的使用 效率, 使汽油使用效率最高 .
当直线与曲线相切时 , 其斜率最小.在此切点处速 度约为90km / h.
gL / h
因此,当汽车行驶距离一定时 要使汽油 , 的使用效率最高, 即每千米的汽油消耗 量最少,此时的车速约为90km / h . 从数 值上看, 每千米的汽油消耗量就是图1.4 2中切线的斜率, 即f ' 90 ,约为 L.
'
思考 如果每条磁道存储信息 与磁道的长度成 正比,那么如何计算磁盘的存 储量? 此时, 是不是 r越小 磁盘的存储量越大 , ?
例3 饮料瓶大小对饮料公司 利润的影响 1 你是否注意过,市场上等量的小包装的 物品 一般比大包装的贵些 你想从数学上知道它的 ? 道理吗? 2是不是饮料瓶越大饮料公司的利润越大 , ? 背景知识 某制造商制造并出售球形瓶 装的 某种饮料瓶子的制造成本是 .8πr 2分, 其中r 是 . 0 瓶子的半径 单位是厘米已知每出售 mL 的饮 , . 1 料,制造商可获利 .2分,且制造商能制作的瓶子 0 最大半径为 cm. 6 问题 1 瓶子半径多大时能使每瓶饮料的利 , 润最大? 2 瓶子半径多大时每瓶饮料利润最小 , ?
即半径越大, 利润越高; 半径r 2时, f r 0,它表 示f r 单调递减, 即半径越大, 利润越低. ①半径为2cm时, 利润最小, 这时f 2 0, 表示此种 瓶内饮料的利润还不够瓶子成本,此时利润是负值.
'
当r 0,2时, f ' r 0;当r 2,6 时, f ' r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增,
又由于每条磁道上的比特数 相同, 为获得最大存储量, 最内 一条磁道必须装满 即每条磁 , 2πr 道上的比特数可达到 .所 n 以, 磁盘总存储量 R r 2πr 2π f r r R r . m n mn
R
r
图1.4 3
1它是关于r的二次函数, 从函数的解析式上可
1.4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润 最大、用料 最省、效率最高等问题 这些问题 ， 通常称为优化问题 .通 过 前面的学 习 我们知道, 导数是求函数最大小 , 值的有力工具.本节我们运用导数, 解决一些生活中的优化 问题.
例1 汽油的使用效率何时最 高
我们知道,汽油的消耗量w 单位 : L 与汽车的速度 v
例2
磁盘的最大存储量问题
1你知道计算机是如何存 储、检索信息的吗 ? 2你知道磁盘的结构吗 ? 3如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
信息?
背景知识 计算机把信息存储在磁 盘上.磁盘是带 有磁性介质的圆盘并由操作系统将其格式 , 化成磁 道和扇区磁道是指不同半径所构 . 成的同心圆轨道 , 扇区是指被圆心角分割 成扇形 R 区域.磁道上的定长的弧可作 为 r 基本存储单元根据其磁化与否 , 可分别记录数据 或1, 这个基本 0 单元通常称为比特 bit .磁盘的 图1.4 3 构造如图 .4 3所示. 1 为了保障磁盘的分辩率, 磁道之间的宽度必须大 于 m, 每比特所占用的磁道长 度不得小于 n .为了数据 检索的方便, 磁盘格式化时要求要求 所有磁道具有 相同的比特数.
当r 0,2时, f r 是减函数, 你能 图1.4 4 解释它的实际意义吗? 通过此问题的解决 我们很容易回答开始时的问 , 题.请同学们自己作出回答 .
动画演示 ,直观解释 .
由上述例子 我们不难发现 解决优化问题的基 , , 本思路是 :
优化问题
优化问题的答案
用函数表示的数学问题
以判断,不是r越小, 磁盘的存储量越大 .
2为求f r 的最大值, 计算f ' r 0.
2π R ' R 2r , 令 f r 0, 解得r . f r mn 2 R R R ' ' 当r 时, f r 0;当r 时, f r 0.因此,当r 2 2 2 2 πR 时, 磁盘具有最大存储量 最大存储量为 , . 2mn
研究汽油的使用效率单位 : L / km就是研究汽 油消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用G表示 w 每千米平均的汽油消耗量 ,那么 G , 其中, w s 表示汽油消耗量单位 : L , s表示汽车行驶的路 程 单位 : km. 这样,求" 每千米路程的汽车消耗 量最少" , 就是求G的最小值问题. 解决" 优化问题" 的途径之一是通过搜集大量的 统计数据, 并对数据进行整理 和分析, 建立与其 相应的函数模型 ; 再通过研究相应函数的性 质, 提出优化方案, 使问题得到解决.在这个过程中 , 导数往往是一个有力的工具.
通过大量的统计数据, 并 15 对数据进行分析、研究, 10 人们发现，汽车在行驶 过程中，汽油平均消耗 5 vkm / h 率g(即每小时的汽油消 30 50 60 90 120 o 耗量, 单位： / h)与汽车 L 图1.4 1 行驶的平均速度v(单位 : km / h)之间有如图1.4 1 所示的函数关系g f v .
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
数学：1.4《生活中的优化问题举例》教案(1)(新人教A版选修2-2)
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。
利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。
【26份】高中数学人教A版选修2-2教学课件 共838张PPT
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念 第20课时 数系的扩充和复数的概念 第21课时 复数的几何意义 3．2 复数代数形式的四则运算 第22课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义 第23课时 复数代数形式的乘除运算 第三章 章末专题整合
目标导航 1．了解函数的平均变化率的概念，会根据具体函数求出函数的平均 变化率． 2．理解瞬时速度的含义，了解并感受当Δt→0，用平均速度来逼近t0 时刻的瞬时速度的思想． 3．理解导数的概念，能利用导数的定义求某些函数的导数．
2 新视点· 名师博客 1.要准确了解平均变化率的概念 (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可 负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也 可为零，因此，平均变化率可正可负，也可为零． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． (4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
知识点二 平均速度 1.设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，在t0到t0＋Δt这段时间 ft0＋Δt－ft0 Δs 内，物体运动的平均速度是 v ＝ ＝ Δt . Δt Δs 2．在匀速直线运动中，比值 Δt 是恒定的．在非匀速直线运动 Δs 中，比值 Δt 不是恒定的．要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 Δs 体在每一时刻运动的快慢程度．注意结合物理学中的 Δt .
【练习1】 若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点 Δy Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝( ) Δx A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx
人教版高中数学选修2-21.4生活中的优化问题举例课后习题
【优化设计】 2015-2016 学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例课后习题新人教 A 版选修 2-2课时操练·促提高A组1.某城市在发展过程中,交通状况渐渐遇到大家更多的关注,据相关统计数据显示 ,从上午 6 时到 9 时 ,车辆经过该市某一路段的用时y(分钟 )与车辆进入该路段的时辰t 之间的关系可近似地用以下函数给出 :y=-t 3-t2+ 36t-. 则在这段时间内 ,经过该路段用时最多的时辰是()A.6 时B.7 时C.8时D.9 时分析 :y'=-t 2-t+ 36,令 y'= 0 解得 t= 8 或 t=- 12(舍 ),当 0<t< 8 时 ,y'> 0;当 t> 8 时 ,y'< 0,∴t= 8 为函数的最大值点 .∴t= 8 时 ,经过该路段用时最多 .答案 :C2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段 ,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 ()A. cm 2B.4 cm 2C.3 cm2D.2 cm 2分析 :设一个正三角形的边长为x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm, 则这两个正三角形的面积之和为 S=x2+ (4-x)2= [(x-2)2+ 4] ≥2(cm 2),应选 D.答案 :D3.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大 ,则其高为 ()A. cmB.10 cmC.15 cmD. cm分析 :设圆锥的高为x cm,则底面半径为 cm,其体积 V= πx(2022-x )(0<x< 20),V'= (400-3x2),令 V'= 0 得 x1= ,x2=- (舍去 ).∴当 x= cm 时 ,V 取最大值 .又当 0<x< 时 ,V'> 0;<x< 20 时 ,V'< 0,答案 :D4.设有一个容积V必定的铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价钱是铁的 3 倍 ,当总造价最少时 ,桶高为 ()A. B.C.2D.2分析 :设圆柱形铁桶的底面半径为r,高为 h,总造价为 y,单位面积铁的造价为a,则V= πr2h,y= πr2·3a+ πr2·a+ 2πrh ·a=a π,则 y'=a π.令 y'= 0,得 r= ,h== 2.答案 :C5.某厂生产某种产品x 件的总成本 :C(x)=1 200+x 3 (万元 ), 产品单价的平方与产品件数x 成反比 ,生产100 件这样的产品的单价为50 万元 ,总收益最大时,产量应定为 ()A.20 件B.25 件C.30 件D.45 件分析 :设产品单价为 a 万元 ,产品单价的平方与产品件数x 成反比 ,即 a2x=k ,由题知 k= 250 000,则 a2 x=250 000,所以 a=.总收益 y= 500x3-1 200(x>0),y'=x 2.由 y'= 0,得 x= 25,当 x∈ (0,25) 时 ,y'> 0,x∈ (25,+∞)时 ,y'< 0,所以x= 25 时 ,y 取最大值 .答案 :B6.电动自行车的耗电量y 与速度 x 之间的关系为32为使耗电量最小 ,则其速度应定y=x -x -40x(x>0),为.2分析 :由题设知 y'=x -39x-40,令 y'> 0,解得 x> 40,或 x<- 1,故函数 y=x 3-x2 -40x(x> 0)在 [40,+∞)上递加 ,在 (0,40] 上递减 .∴当 x= 40 时 ,y 获得最小值 .由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.答案 :407.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30 n mile/h, 当速度为 10 n mile/h 时,它的燃料费是每小时 25 元 ,其余花费 (不论速度怎样 )都是每小时400 元 .假如甲、乙两地相距 800 n mile, 则要使该海轮从甲地航行到乙地的总花费最低,它的航速应为.分析 :由题意设燃料费 y 与航速 x 间知足 y=ax 3(0≤ x≤ 30),又∵25=a ·103,∴a=.设从甲地到乙地海轮的航速为v,花费为 y,则 y=av 3××400= 20v2+.由 y'= 40v-=0,得 v= 20< 30.当 0<v< 20 时 ,y'< 0;当 20<v< 30 时 ,y'> 0,∴当 v=20 时 ,y 最小 .答案 :20 n mile/h8.已知球的直径为d,求当其内接正四棱柱体积最大时,正四棱柱的高为多少?解:以下图 ,设正四棱柱的底面边长为x,高为 h,因为 x2+x 2+h 2 =d 2,所以 x2= (d2-h2).V= x2·h= (d2h-h3),0<h<d.所以球内接正四棱柱的体积为令 V'= (d2-3h2)= 0,所以 h=d.在 (0,d)上 ,当 h 变化时 ,V',V 的变化状况以下表:h dV+0-'极V ↗大↘值由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为 d.9.某市旅行部门开发一种旅行纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月均匀销售a件,经过改良工艺 ,产品的成本不变 ,质量和技术含量提高 ,市场剖析的结果表示 ,假如产品的销售价提高的百分率为 x(0<x< 1),那么月均匀销售量减少的百分率为x2.记改良工艺后 ,旅行部门销售该纪念品的月平均收益是 y(元 ).(1)写出 y 与 x 的函数关系式 ;(2)改良工艺后 ,确立该纪念品的销售价 ,使得旅行部门销售该纪念品的月均匀收益最大 . 解:(1)改良工艺后 ,每件产品的销售价为 20(1+x )元 ,月均匀销售量为 a(1-x2)件 ,则月均匀收益y=a (1-x2 ) ·[20(1+x )-15] 元 ,所以 y 与 x 的函数关系式为y= 5a(1+ 4x-x2-4x3 )(0<x< 1).2(2)由 y'= 5a(4-2x-12x )= 0,得 x1= ,x2=- (舍 ).当 0<x< 时 ,y'> 0;<x< 1 时 ,y'< 0,23所以函数 y= 5a(1+ 4x-x -4x )(0<x< 1) 在 x= 处获得最大值.故改良工艺后,产品的销售价为20= 30(元 )时 ,旅行部门销售该纪念品的月均匀收益最大.B 组1.某企业生产一种产品,固定成本为20 000 元 ,每生产一单位的产品产量 x 的关系是R(x)= 则当总收益最大时,每年生产产品的单位数是分析 :由题意得 ,总收益,成本增添100 元,若总收入.R 与年P(x)=当 0≤x≤ 390 时 ,P'(x)=-+ 300,令 P'(x)= 0,解得 x= 300;当 0≤ x≤ 300 时,P'( x)>0;当 300<x< 390 时 ,P'(x)< 0.所以当 x= 300 时,P(x)max = 40 000,而当 x> 390 时 ,P(x)< 40 000,所以当 x= 300 时收益最大 . 答案 :3002.将边长为1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块 ,此中一块是梯形 ,记 S=,则S 的最小值是.分析 :设剪成的上边一块正三角形的边长为x.则 S=(0<x< 1), S'==- ,令 S'= 0,得 x= 或 x=3(舍去 ). ∴ x = 是 S 的极小值点且是最小值点 . ∴S min =.答案 :3.圆柱形金属饮料罐的容积一准时,它的高与底面直径之比为时 ,所用资料最省.分析 :设圆柱的高为 h,底面半径为 R,则表面积 S= 2πRh+ 2πR 2.2由V= πR h, 得 h= ,则 S(R)= 2πR+ 2πR 2=+ 2πR 2. 令 S'(R)=-+ 4πR= 0,解得 R= ,进而 h== 2,即 h= 2R.因为 S(R)只有一个极值 ,所以它是最小值 .故当罐的高与底面直径相等时 ,所用资料最省 .答案 :1∶ 1 4.请你设计一个帐篷 ,它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱 ,上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥 (如图) .试问当帐篷的极点 O 究竟面中心 O 1 的距离为多少时 ,帐篷的体积最大 ? 解: 设 OO 1 为 x m,则 1<x< 4.由题设可得正六棱锥底面边长为(单位 :m) .(单位 :m 2)于是底面正六边形的面积为 2 26××() = (8+2x-x ).帐篷的体积为 (单位 :m 3) V(x)= (8+ 2x-x 2)3= (16+ 12x-x ).求导数 ,得 V'(x)= (12-3x 2) .令 V'(x)= 0,解得 x=- 2(不合题意 ,舍去 ),x= 2. 当 1<x< 2 时 ,V'(x)> 0,V( x)单一递加 ; 当 2<x< 4 时 ,V'(x)< 0,V( x)单一递减 .所以当 x= 2 时 ,V(x)最大 ,即当帐篷的极点 O 究竟面中心 O 1 的距离为 2 m 时 ,帐篷的体积最大 . 5.某商场销售某种商品的经验表示 ,该商品每天的销售量 y(单位 : 千克 )与销售价钱 x(单位 :元 /千克 )满足关系式 y=+ 10 (x-6)2,此中 3<x< 6,a 为常数 .已知销售价钱为 5 元 /千克时 ,每天可售出该商品 11千克 .(1) 求 a 的值 ;(2) 若该商品的成本为 3 元 /千克 ,试确立销售价钱x 的值 ,使商场每天销售该商品所获取的收益最大.解:(1) 因为 x=5 时 ,y= 11,所以 + 10= 11,解得 a= 2.(2)由 (1) 知 ,该商品每天的销售量y=+ 10(x-6)2.所以商场每天销售该商品所获取的收益f(x)= (x-3) ·= 2+ 10(x-3)( x-6)2(3<x< 6).所以 f'(x)= 10[( x- 6)2+ 2(x-3)(x-6)]= 30(x-4)(x-6).令 f' (x)= 0,得 x= 4 或 x=6.当 x 变化时 ,f'(x),f(x)的变化状况以下表 :x(3,44(4,6))f'(x+0-)f(x↗极大↘)值 42由上表可得 ,x=4 是函数 f(x)在区间 (3,6)内的极大值点 ,也是最大值点 .所以当 x= 4 时 ,函数 f(x)获得最大值 ,且最大值为 f(4) = 42.即当销售价钱为 4 元 /千克时 ,商场每天销售该商品所获取的收益最大.6.某地建一座桥,两头的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只要建两头桥墩之间的桥面和桥墩.经测算 ,一个桥墩的工程花费为256 万元 ;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程花费为(2+ )x 万元 .假设桥墩等距离散布 ,全部桥墩都视为点,且不考虑其余要素,记余下工程的花费为y 万元 .(1)试写出 y 对于 x 的函数关系式 ;(2) 当 m= 640 米时 ,需新建多少个桥墩才能使y 最小 ?解:(1) 设需新建 n 个桥墩 ,则 (n+ 1)x=m ,即 n=- 1.所以 y=f (x)= 256n+ (n+ 1)(2+) x= 256(2+ )x=+m+ 2m-256(0<x<m ).(2)由 (1) 知 ,f'(x) =-- 512).令 f' (x)= 0,得= 512,所以 x=64.当 0<x< 64 时 ,f' ( x)< 0,f(x)在区间 (0,64) 内为减函数 ;当 64<x< 640 时 ,f'( x)> 0,f(x)在区间 (64,640) 内为增函数 ,所以 f(x)在 x= 64 处获得最小值 .此时 n=- 1=- 1= 9.故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 .。
1.4 生活中的优化问题---市级优质课课件
价为180元/天时，房间会全部住满；房间单
价每增加10元，就会有一个房间空闲。如果
游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的
各种维护费用，房间定价为多少时，宾馆利 润最大？
解：设每个房间每天的定价为x元， x 180 则利润f(x)=(50)(x-20) 10 1 2 =- x 70 x 1360(180 x 680) 10 1 ' 令f ( x) x 70 0, 解得x 350. 5 当x (180,350)时，f ' ( x) 0; 当x (350, 680)时，f ' ( x) 0. 因此，x 350是函数f ( x)的极大值点，也是最大值点， 所以当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大. 答：当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大.
练习3：在边长为a的正方形铁皮的四角切去相 等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一 个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子 容积最大？
x
x
解:设箱底边长为 x,则箱高
2
3x 求导数，得V ( x) ax 2 2
ax a 2 x V ( x) Sh x ( ) x , (0 x a) 2 22 2
ax h 2 箱子容积 3
2a 即当x 时，箱子容积最大。 3 2a
3x 2a 令V ( x) ax 0，解得x 或x （舍去） 0 2 32a 2a 当x (0, )时，V ( x) 0；当x ( , a)时，V ( x) 0. 3 3 2a x 是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点。 3
新课标人教A版选修2—2第一章 导数及其应用
巩固练习
答案：D
答案：A
数学人教A版选修2-2自我小测：1.4 生活中的优化问题举例
自我小测1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( ) A ．203 cm B ．10 cm C ．15 cm D ．2033cm4．设有一个容积V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，当总造价最少时，桶高为( )A ．1232V πB ．123V 2πC ．232V πD ．23V 2π5．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．20B ．25C ．30D ．456．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为__________．7．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是__________．8．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是__________．9．已知球的直径为d ，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？ 10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．参考答案1．解析：y ′＝－38t 2－32t ＋36，令y ′＝0解得t ＝8或t ＝－12(舍)，当0＜t ＜8时，y ′＞0；当t ＞8时，y ′＜0，∴t ＝8为函数的最大值点． ∴t ＝8时，通过该路段用时最多． 答案：C2．解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 答案：A3．解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)，V ′＝π3(400－3x 2)，令V ′＝0得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．又当0＜x ＜2033时，V ′＞0；2033＜x ＜20时，V ′＜0，∴当x ＝2033 cm 时，V 取最大值．答案：D4．解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r ，高为h ，总造价为y ，单位面积铁的造价为a ，则V ＝πr 2h ，y ＝πr 2·3a ＋πr 2·a ＋2πrh ·a ＝a π⎝⎛⎭⎫4r 2＋2V πr ，则y ′＝a π⎝⎛⎭⎫8r －2V πr 2. 令y ′＝0，得r ＝1232V π，h ＝Vπr 2＝232V π.答案：C5．解析：设产品单价为a 元，产品单价的平方与产品件数x 成反比， 即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000， 所以a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x ＞0)，y ′＝250x －225x 2.由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′＞0，x ∈(25，＋∞)时，y ′＜0，所以x ＝25时，y 取最大值．答案：B6．解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x ＞0，∴x ＝16.当x ＝16时，L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．答案：32和167．解析：由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，当0≤x ≤390时，P ′(x )＝－x 2300＋300，令P ′(x )＝0，解得x ＝300；当0≤x ≤300时，P ′(x )＞0； 当300＜x ＜390时，P ′(x )＜0.所以当x ＝300时，P (x )max ＝40 000，而当x ＞390时，P (x )＜40 000， 因此当x ＝300时利润最大． 答案：3008．解析：设剪成的上面一块正三角形的边长为x .则S ＝(3－x )234－34x 2＝433·(3－x )21－x 2(0＜x ＜1)，S ′＝433·－6x 2＋20x －6(1－x 2)2＝－833·(3x －1)(x －3)(1－x 2)2，令S ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)．∴x ＝13是S 的极小值点且是最小值点．∴S min＝433×⎝⎛⎭⎫3－1321－19＝3233.答案：323 39．解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2＋x2＋h2＝d2，所以x2＝12(d2－h2)．所以球内接正四棱柱的体积为V＝x2·h＝12(d2h－h3),0＜h＜d.令V′＝12(d2－3h2)＝0，所以h＝33d.在(0，d)上，当h变化时，V′，V的变化情况如下表：10．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)．当0＜x ＜12时，y ′＞0；12＜x ＜1时y ′＜0，所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，产品的销售价为20⎝⎛⎭⎫1＋12＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．。
新人教A版选修(2-2)《生活中的优化问题举例》word教案
学校：临清一中学科：数学编写人：张华审稿人：张林§1.4.1生活中的优化问题举例【教学目标】1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。
【教学重难点】教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。
（三）合作探究、精讲点拨（1）提出概念生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（2）引导探究例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.8r0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。
1.4 数学归纳法 课件(北师大选修2-2)
1＝(k＋1)2，
即n＝k＋1时不等式成立． 由①②知，当n∈N＋且n≥5时，不等式2n>n2成立．
4．用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋22＋32＋…＋
解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N＋)．
(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立．
②假设n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N＋)， 当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋
1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据①和②，可知等式对任何n∈N＋都成立．
2．证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3， ∴左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，
左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－ [2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2
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最新苏教版高三数学选修2-2电子 课本课件【全册】目录
0002页 0056页 0141页 0174页 0273页 0300页 0355页
第一章导数及其应用 1.2导数的运算 1.4导数在实际生活中的应用 第二章推理与证明 2.2直接证明与间接证明 第三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数的四则运算
第一章导数及其应用
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1.1导数的概念
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1.2导数的运算
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1.3导数在研究函数中的应用
人教版高中数学选修2-2全套课件
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的 值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析： Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41. 答案： B
2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速 度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81
1＋1＋1Δx＝2，
从而y′|x＝1＝2.
合作探究 课堂互动
求函数的平均变化率
求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平
均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
[思路点拨] 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代
入公式计算．
平均变化率为
函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的
fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为
6×2＋3×0.1＝12.3.
求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
我们用比值yxCC－－yxBB近似地量化 B，C 这一段曲线的陡峭程 度，并称该比值为[32,34]上的平均变化率．